การแก้ตัวอย่างโดยใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่ง ข้อจำกัดที่น่าทึ่ง: ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่หนึ่งและที่สอง

ตอนนี้ด้วยจิตวิญญาณที่สงบแล้วเรามาพิจารณากันต่อไป ขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยม.
ดูเหมือนว่า

แทนที่จะเป็นตัวแปร x สามารถแสดงฟังก์ชันต่างๆ ได้ สิ่งสำคัญคือมีแนวโน้มเป็น 0

จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัด

อย่างที่คุณเห็นขีด จำกัด นี้คล้ายกับขีด จำกัด แรกที่ยอดเยี่ยมมาก แต่นี่ไม่เป็นความจริงทั้งหมด โดยทั่วไป หากคุณสังเกตเห็นความบาปอยู่ในขีดจำกัด คุณควรคิดทันทีว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง

ตามกฎข้อที่ 1 ของเรา เราจะแทนที่ศูนย์แทน x:

เราเกิดความไม่แน่นอน

ทีนี้มาลองจัดระเบียบขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรกกัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาสร้างชุดค่าผสมง่ายๆ กัน:

เราจึงจัดตัวเศษและส่วนให้เน้นที่ 7x. ตอนนี้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่คุ้นเคยได้ปรากฏขึ้นแล้ว ขอแนะนำให้เน้นเมื่อตัดสินใจ:

ลองแทนที่คำตอบด้วยตัวอย่างแรกที่น่าทึ่งแล้วได้:

ลดความซับซ้อนของเศษส่วน:

คำตอบ: 7/3.

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างง่ายมาก

ดูเหมือนว่า โดยที่ e = 2.718281828... เป็นจำนวนอตรรกยะ

อาจมีฟังก์ชันต่างๆ ปรากฏแทนตัวแปร x สิ่งสำคัญคือมีแนวโน้มว่า

จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัด

ที่นี่เราเห็นการมีอยู่ของระดับภายใต้เครื่องหมายของขีดจำกัด ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองได้

เช่นเคย เราจะใช้กฎข้อ 1 - แทนที่ x แทน:

จะเห็นได้ว่าที่ x ฐานของดีกรีคือ และเลขชี้กำลังคือ 4x > นั่นคือ เราได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม:

ลองใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันที่สองเพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนของเรา แต่ก่อนอื่น เราต้องจัดระเบียบมันก่อน อย่างที่คุณเห็น เราจำเป็นต้องทำให้มีอยู่ในตัวบ่งชี้ โดยที่เราเพิ่มฐานเป็นยกกำลัง 3x และในเวลาเดียวกันยกกำลัง 1/3x เพื่อให้นิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง:

อย่าลืมเน้นขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมของเรา:

นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเป็นจริงๆ ขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยม!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับ ขอบเขตอันอัศจรรย์ประการที่หนึ่งและที่สองจากนั้นอย่าลังเลที่จะถามพวกเขาในความคิดเห็น
เราจะตอบทุกคนให้มากที่สุด

คุณสามารถทำงานร่วมกับครูในหัวข้อนี้ได้
เรามีความยินดีที่จะเสนอบริการในการเลือกติวเตอร์ที่มีคุณสมบัติเหมาะสมในเมืองของคุณ พันธมิตรของเราจะเลือกครูที่ดีสำหรับคุณอย่างรวดเร็วตามเงื่อนไขที่เป็นประโยชน์

ข้อมูลไม่เพียงพอ? - คุณทำได้!

คุณสามารถเขียนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ลงในสมุดบันทึกได้ การเขียนทีละรายการในสมุดบันทึกที่มีโลโก้จะดีกว่ามาก (http://www.blocnot.ru)

จากบทความข้างต้นคุณจะพบว่าขีดจำกัดคืออะไรและรับประทานร่วมกับอะไร - สิ่งนี้สำคัญมาก ทำไม คุณอาจไม่เข้าใจว่าปัจจัยกำหนดคืออะไรและแก้ปัญหาได้สำเร็จ คุณอาจไม่เข้าใจเลยว่ามันคืออะไรและค้นหาด้วย "A" แต่ถ้าคุณไม่เข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร การแก้ไขงานภาคปฏิบัติก็จะเป็นเรื่องยาก เป็นความคิดที่ดีที่จะทำความคุ้นเคยกับโซลูชันตัวอย่างและคำแนะนำในการออกแบบของฉัน ข้อมูลทั้งหมดนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้

และเพื่อจุดประสงค์ของบทเรียนนี้ เราจะต้องมีสื่อการสอนต่อไปนี้: ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์และ สูตรตรีโกณมิติ- สามารถพบได้บนหน้า วิธีที่ดีที่สุดคือพิมพ์คู่มือ - สะดวกกว่ามากและคุณมักจะต้องอ้างอิงแบบออฟไลน์

มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับขีดจำกัดที่น่าทึ่ง? สิ่งที่น่าทึ่งเกี่ยวกับขีดจำกัดเหล่านี้ก็คือ ได้รับการพิสูจน์โดยผู้มีสติปัญญาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง และผู้สืบทอดที่กตัญญูไม่จำเป็นต้องทนทุกข์ทรมานจากขีดจำกัดอันเลวร้ายด้วยกองฟังก์ชันตรีโกณมิติ ลอการิทึม และกำลัง นั่นคือเมื่อค้นหาขีดจำกัด เราจะใช้ผลลัพธ์สำเร็จรูปที่ได้รับการพิสูจน์ทางทฤษฎีแล้ว

มีข้อจำกัดที่ยอดเยี่ยมหลายประการ แต่ในทางปฏิบัติ ใน 95% ของกรณี นักเรียนนอกเวลามีขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยมสองประการ: ขีด จำกัด แรกที่ยอดเยี่ยม, ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง- ควรสังเกตว่าชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่เป็นที่ยอมรับในอดีต และเมื่อพูดถึง "ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง" พวกเขาหมายถึงสิ่งที่เฉพาะเจาะจงมาก ไม่ใช่ขีดจำกัดแบบสุ่มที่ดึงมาจากเพดาน

ขีด จำกัด แรกที่ยอดเยี่ยม

พิจารณาขีด จำกัด ต่อไปนี้: (แทนที่จะใช้ตัวอักษรพื้นเมือง "เขา" ฉันจะใช้อักษรกรีก "อัลฟา" ซึ่งจะสะดวกกว่าจากมุมมองของการนำเสนอเนื้อหา)

ตามกฎการค้นหาขีดจำกัดของเรา (ดูบทความ ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา) เราพยายามแทนที่ศูนย์ในฟังก์ชัน: ในตัวเศษเราจะได้ศูนย์ (ไซน์ของศูนย์คือศูนย์) และในตัวส่วนก็เห็นได้ชัดว่ายังมีศูนย์ด้วย ทำให้เราต้องเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบซึ่งโชคดีที่ไม่จำเป็นต้องเปิดเผย ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า:

ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่า ขีด จำกัด แรกที่ยอดเยี่ยม- ฉันจะไม่ให้หลักฐานเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับขีดจำกัด แต่เราจะดูความหมายทางเรขาคณิตในบทเรียนเกี่ยวกับ ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด.

บ่อยครั้งในงานภาคปฏิบัติสามารถจัดเรียงฟังก์ชันได้แตกต่างกัน ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย:

- ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรกเหมือนกัน

แต่คุณไม่สามารถจัดเรียงตัวเศษและส่วนเองได้! หากมีการกำหนดขีดจำกัดไว้ในแบบฟอร์ม จะต้องแก้ไขให้อยู่ในรูปแบบเดียวกันโดยไม่ต้องจัดเรียงสิ่งใดใหม่

ในทางปฏิบัติ ไม่เพียงแต่ตัวแปรเท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชันพื้นฐานหรือฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยที่สามารถทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ได้ สิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวคือมันมีแนวโน้มเป็นศูนย์.

ตัวอย่าง:
, , ,

ที่นี่ , , , และทุกอย่างดี - มีการใช้ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมแรก

แต่ข้อความต่อไปนี้เป็นบาป:

ทำไม เนื่องจากพหุนามไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จึงมีแนวโน้มเป็น 5

ยังไงก็ตาม คำถามสั้นๆ: ขีดจำกัดคืออะไร? - คำตอบสามารถพบได้ในตอนท้ายของบทเรียน

ในทางปฏิบัติ ไม่ใช่ว่าทุกอย่างจะราบรื่นนัก แทบไม่เคยมีนักเรียนคนใดได้รับการเสนอให้แก้ไขขีดจำกัดฟรีและรับบัตรผ่านแบบง่ายๆ อืม... ฉันกำลังเขียนบรรทัดเหล่านี้และมีความคิดที่สำคัญมากเข้ามาในใจ - ท้ายที่สุดแล้ว เป็นการดีกว่าที่จะจำคำจำกัดความและสูตรทางคณิตศาสตร์ "ฟรี" ด้วยใจจริง สิ่งนี้สามารถให้ความช่วยเหลืออันล้ำค่าในการทดสอบเมื่อคำถามจะ ตัดสินใจระหว่าง "สอง" และ "สาม" และครูตัดสินใจถามคำถามง่ายๆ หรือเสนอให้นักเรียนแก้ตัวอย่างง่ายๆ (“บางทีเขา/เธอยังรู้อะไรอยู่!”)

มาดูตัวอย่างเชิงปฏิบัติกันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาขีดจำกัด

ถ้าเราสังเกตเห็นไซน์ในลิมิต ก็ควรทำให้เราคิดถึงความเป็นไปได้ในการใช้ลิมิตแรกที่น่าทึ่งทันที

ขั้นแรก เราพยายามแทนที่ 0 ในนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายจำกัด (เราทำสิ่งนี้ทั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง):

ดังนั้นเราจึงมีความไม่แน่นอนของฟอร์มของมัน อย่าลืมระบุในการตัดสินใจ สำนวนใต้เครื่องหมายขีด จำกัด นั้นคล้ายกับขีด จำกัด อันมหัศจรรย์อันแรก แต่นี่ไม่ใช่ทั้งหมด มันอยู่ใต้ไซน์ แต่อยู่ในตัวส่วน

ในกรณีเช่นนี้ เราจำเป็นต้องจัดระเบียบขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งด้วยตัวเราเอง โดยใช้เทคนิคเทียม แนวการให้เหตุผลอาจเป็นดังนี้: “ภายใต้ไซน์ที่เรามี ซึ่งหมายความว่าเราต้องเข้าไปในตัวส่วนด้วย”
และสิ่งนี้ทำได้ง่ายมาก:

นั่นคือตัวส่วนจะคูณเทียมในกรณีนี้ด้วย 7 และหารด้วย 7 เท่าเดิม ตอนนี้การบันทึกของเราอยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคย
เมื่องานถูกวาดด้วยมือ ขอแนะนำให้ทำเครื่องหมายขีด จำกัด แรกที่น่าทึ่งด้วยดินสอง่ายๆ:

เกิดอะไรขึ้น อันที่จริงแล้ว สำนวนวงกลมของเรากลายเป็นหน่วยและหายไปในงาน:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือกำจัดเศษสามชั้น:

ใครลืมความเรียบง่ายของเศษส่วนหลายระดับแล้ว โปรดรีเฟรชเนื้อหาในสมุดอ้างอิง สูตรเด็ดสำหรับคอร์สคณิตศาสตร์โรงเรียน .

พร้อม. คำตอบสุดท้าย:

หากคุณไม่ต้องการใช้รอยดินสอ คุณสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาได้ดังนี้:

“

ลองใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรกกัน

“

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาขีดจำกัด

เราเห็นเศษส่วนและไซน์อยู่ในขีดจำกัดอีกครั้ง ลองแทนที่ศูนย์เป็นตัวเศษและส่วน:

แท้จริงแล้ว เรามีความไม่แน่นอน ดังนั้น เราจึงต้องพยายามจัดระเบียบขอบเขตอันมหัศจรรย์ประการแรก ในชั้นเรียน ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาเราพิจารณากฎที่ว่าเมื่อเรามีความไม่แน่นอน เราต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน นี่ก็เหมือนกัน เราจะแสดงองศาเป็นผลิตภัณฑ์ (ตัวคูณ):

เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราวาดดินสอรอบๆ ขีดจำกัดที่น่าทึ่ง (ในที่นี้มี 2 ขีดจำกัด) และบ่งชี้ว่าพวกมันมีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่งเดียวกัน:

จริงๆ แล้วคำตอบก็พร้อมแล้ว:

ในตัวอย่างต่อไปนี้ ฉันจะไม่ทำงานศิลปะใน Paint ฉันคิดว่าจะวาดวิธีแก้ปัญหาในสมุดบันทึกได้อย่างถูกต้อง - คุณเข้าใจแล้ว

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาขีดจำกัด

เราแทนที่ศูนย์ในนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายจำกัด:

ได้รับความไม่แน่นอนและจำเป็นต้องเปิดเผย หากมีแทนเจนต์อยู่ในขีด จำกัด มันจะถูกแปลงเป็นไซน์และโคไซน์เกือบทุกครั้งโดยใช้สูตรตรีโกณมิติที่รู้จักกันดี (โดยวิธีนี้พวกมันทำสิ่งเดียวกันกับโคแทนเจนต์โดยประมาณดูวัสดุวิธีการ สูตรตรีโกณมิติร้อนบนหน้า สูตรทางคณิตศาสตร์ ตาราง และวัสดุอ้างอิง).

ในกรณีนี้:

โคไซน์ของ 0 เท่ากับ 1 และกำจัดมันได้ง่าย (อย่าลืมทำเครื่องหมายว่ามีแนวโน้มเป็น 1):

ดังนั้น ถ้าโคไซน์เป็น MULTIPLIER ถึงขีดจำกัด ถ้าพูดคร่าวๆ แล้ว มันจะต้องถูกแปลงเป็นหน่วย ซึ่งจะหายไปในผลคูณ

ที่นี่ทุกอย่างดูง่ายขึ้นโดยไม่ต้องคูณหรือหาร ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งก็กลายเป็นหนึ่งเดียวและหายไปในผลิตภัณฑ์:

เป็นผลให้ได้รับอนันต์และสิ่งนี้ก็เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาขีดจำกัด

ลองแทนที่ศูนย์เป็นตัวเศษและส่วน:

ได้รับความไม่แน่นอน (โคไซน์ของศูนย์ตามที่เราจำได้มีค่าเท่ากับ 1)

เราใช้สูตรตรีโกณมิติ รับทราบ! ด้วยเหตุผลบางประการ ขีดจำกัดในการใช้สูตรนี้จึงเป็นเรื่องธรรมดามาก

ให้เราย้ายปัจจัยคงที่ไปเกินไอคอนขีดจำกัด:

มาจัดระเบียบขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรกกัน:

ที่นี่เรามีขีดจำกัดที่น่าทึ่งเพียงข้อเดียว ซึ่งจะกลายเป็นหนึ่งเดียวและหายไปในผลิตภัณฑ์:

เรามากำจัดโครงสร้างสามชั้นกันเถอะ:

ขีดจำกัดได้รับการแก้ไขแล้วจริงๆ เราระบุว่าไซน์ที่เหลือมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาขีดจำกัด

ตัวอย่างนี้ซับซ้อนกว่า ลองคิดดูเอง:

ขีดจำกัดบางอย่างสามารถลดลงเหลือขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันดับแรกได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในภายหลังในบทความ วิธีการแก้ไขขีดจำกัด.

ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง

ในทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า:

ข้อเท็จจริงข้อนี้เรียกว่า ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง.

อ้างอิง: เป็นจำนวนอตรรกยะ

พารามิเตอร์สามารถไม่เพียงแต่เป็นตัวแปรเท่านั้น แต่ยังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วย สิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวคือมันมุ่งมั่นเพื่อความไม่มีที่สิ้นสุด.

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาขีดจำกัด

เมื่อนิพจน์ใต้เครื่องหมายขีดจำกัดอยู่ในระดับหนึ่ง นี่เป็นสัญญาณแรกที่คุณต้องลองใช้ขีดจำกัดมหัศจรรย์อันที่สอง

แต่ก่อนอื่นเช่นเคยเราพยายามที่จะแทนที่จำนวนมหาศาลในนิพจน์ซึ่งมีการกล่าวถึงหลักการที่ใช้ทำสิ่งนี้ในบทเรียน ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

จะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าเมื่อใด พื้นฐานของระดับคือ และเลขชี้กำลังคือ นั่นคือมีความไม่แน่นอนของรูปแบบ:

ความไม่แน่นอนนี้ได้รับการเปิดเผยอย่างแม่นยำด้วยความช่วยเหลือจากขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง แต่อย่างที่มักเกิดขึ้น ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมประการที่สองไม่ได้อยู่บนจานเงิน และจำเป็นต้องจัดระเบียบอย่างดุเดือด คุณสามารถให้เหตุผลได้ดังนี้: ในตัวอย่างนี้ พารามิเตอร์คือ ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องจัดระเบียบในตัวบ่งชี้ด้วย ในการทำเช่นนี้ เรายกฐานขึ้นยกกำลัง และเพื่อให้สำนวนไม่เปลี่ยนแปลง เราจึงยกฐานขึ้นยกกำลัง:

เมื่องานเสร็จสิ้นด้วยมือ เราจะทำเครื่องหมายด้วยดินสอ:

เกือบทุกอย่างพร้อมแล้วระดับที่แย่มากกลายเป็นจดหมายที่ดี:

ในกรณีนี้ เราจะย้ายไอคอนขีดจำกัดไปที่ตัวบ่งชี้:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาขีดจำกัด

ความสนใจ! ขีดจำกัดประเภทนี้เกิดขึ้นบ่อยมาก โปรดศึกษาตัวอย่างนี้อย่างระมัดระวัง

เรามาลองแทนที่ตัวเลขจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดในนิพจน์ใต้เครื่องหมายจำกัด:

ผลลัพธ์คือความไม่แน่นอน แต่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองนั้นใช้กับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม จะทำอย่างไร? เราจำเป็นต้องแปลงฐานของดีกรี เราให้เหตุผลเช่นนี้: ในตัวส่วนเรามี ซึ่งหมายความว่าในตัวเศษเราต้องจัดระเบียบด้วย

การพิสูจน์:

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณีของลำดับก่อน

ตามสูตรทวินามของนิวตัน:

สมมติว่าเราได้รับ

จากความเท่าเทียมกันนี้ (1) จะตามมาว่าเมื่อ n เพิ่มขึ้น จำนวนเทอมบวกทางด้านขวาจะเพิ่มขึ้น นอกจากนี้ เมื่อ n เพิ่มขึ้น จำนวนจะลดลง ค่าต่างๆ จะลดลงด้วย กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นลำดับ เพิ่มขึ้น และ (2)*แสดงว่ามีขอบเขต แทนที่แต่ละวงเล็บทางขวาของค่าเท่ากันด้วยหนึ่ง ทางด้านขวาจะเพิ่มขึ้น และเราจะได้ค่าอสมการ

มาเสริมสร้างความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นแทนที่ 3,4,5, ... โดยยืนอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนด้วยหมายเลข 2: เราค้นหาผลรวมในวงเล็บโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: ดังนั้น (3)*

ดังนั้นลำดับจึงถูกผูกไว้จากด้านบนและเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (2) และ (3): ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของไวเออร์สแตรส (เกณฑ์สำหรับการลู่เข้าของลำดับ) ลำดับ เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจและมีจำกัด ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัด แสดงด้วยตัวอักษร e เหล่านั้น.

เมื่อรู้ว่าลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สองเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติของ x เราจึงพิสูจน์ลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สองสำหรับ x จริง นั่นคือเราพิสูจน์ว่า - ลองพิจารณาสองกรณี:

1. ให้แต่ละค่าของ x อยู่ระหว่างจำนวนเต็มบวก 2 ตัว: โดยที่ส่วนจำนวนเต็มของ x -

ถ้า แล้ว ดังนั้น ตามขีดจำกัด เรามี

ขึ้นอยู่กับเกณฑ์ (ประมาณขีดจำกัดของฟังก์ชันระดับกลาง) ของการมีอยู่ของขีดจำกัด

2. ให้. มาทำการแทนค่า − x = t กัน

จากทั้งสองกรณีนี้จึงเป็นไปตามนั้น สำหรับ x จริง

ผลที่ตามมา:

9 .) การเปรียบเทียบสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแทนที่ค่าจิ๋วด้วยค่าที่เท่ากันในลิมิต และทฤษฎีบทในส่วนหลักของค่าจิ๋ว

ให้ฟังก์ชัน a( x) และข( x) – บีม ที่ x ® x 0 .

คำจำกัดความ

1)ก( x) เรียกว่า ลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อย ข (x) ถ้า

เขียนลงไป: ก( x) = โอ(ข( x)) .

2)ก( x) และข( x)ถูกเรียกว่า จำนวนเล็กน้อยในลำดับเดียวกัน, ถ้า

ที่ไหน CÎℝและ ค¹ 0 .

เขียนลงไป: ก( x) = โอ(ข( x)) .

3)ก( x) และข( x) ถูกเรียกว่า เทียบเท่า , ถ้า

เขียนลงไป: ก( x) ~ข( x).

4)ก( x) เรียกว่า infinitesimal ของลำดับ k สัมพัทธ์
ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างแน่นอนข( x), ถ้าไม่มีขอบเขตก( x)และ(ข( x))ก มีคำสั่งเดียวกันคือ ถ้า

ที่ไหน CÎℝและ ค¹ 0 .

ทฤษฎีบท 6 (ในการแทนที่ค่าจิ๋วด้วยค่าที่เท่ากัน)

อนุญาตก( x), ข( x), 1 ( x), ข 1 ( x)– บีม ที่ x ® x 0 - ถ้าก( x) ~ ก 1 ( x), ข( x) ~ ข 1 ( x),

ที่

หลักฐาน: ให้( x) ~ ก 1 ( x), ข( x) ~ ข 1 ( x), แล้ว

ทฤษฎีบท 7 (เกี่ยวกับส่วนหลักของสิ่งเล็กน้อย)

อนุญาตก( x)และข( x)– บีม ที่ x ® x 0 , และข( x)– บีม ลำดับที่สูงกว่าก( x).

= , a เนื่องจาก b( x) – ลำดับที่สูงกว่า a( x) จากนั้น กล่าวคือ จาก เป็นที่ชัดเจนว่าก( x) + ข( x) ~ ก( x)

10) ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง (ในภาษาเอปไซลอน-เดลต้า ขีดจำกัดทางเรขาคณิต) ความต่อเนื่องด้านเดียว ความต่อเนื่องในช่วงเวลาบนเซ็กเมนต์ คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

1. คำจำกัดความพื้นฐาน

อนุญาต ฉ(x) ถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น x 0 .

คำจำกัดความ 1. ฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง x 0 ถ้าความเท่าเทียมกันเป็นจริง

หมายเหตุ.

1) โดยอาศัยทฤษฎีบท 5 §3 ความเท่าเทียมกัน (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

เงื่อนไข (2) – คำจำกัดความของความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งในภาษาของขีดจำกัดด้านเดียว.

2) ความเท่าเทียมกัน (1) สามารถเขียนได้เป็น:

พวกเขากล่าวว่า: “ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0 จากนั้นจึงสามารถสลับเครื่องหมายของขีดจำกัดและฟังก์ชันได้"

คำจำกัดความ 2 (ในภาษา E-d)

ฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง x 0 ถ้า"อี>0 $d>0 เช่น, อะไร

ถ้า xอู๋( x 0 , d) (เช่น | x – x 0 | < d),

แล้วฉ(x)ÎU( ฉ(x 0) จ) (เช่น | ฉ(x) – ฉ(x 0) | < e).

อนุญาต x, x 0 Î ดี(ฉ) (x 0 – คงที่ เอ็กซ์ –โดยพลการ)

เรามาแสดงว่า: D x= x – x 0 – อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น

ดี ฉ(x 0) = ฉ(x) – ฉ(x 0) – การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่ pointx 0

คำจำกัดความ 3 (เรขาคณิต)

ฟังก์ชัน ฉ(x) บน เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง x 0 ถ้า ณ จุดนี้การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในฟังก์ชัน, เช่น.

ให้ฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [ x 0 ; x 0 + d) (ตามช่วงเวลา ( x 0 – วัน; x 0 ]).

คำนิยาม. ฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง x 0 ขวา (ซ้าย ), ถ้าความเท่าเทียมกันเป็นจริง

เห็นได้ชัดว่า ฉ(x) มีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x 0 Û ฉ(x) มีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x 0 ขวาและซ้าย

คำนิยาม. ฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่า ต่อเนื่องเป็นระยะเวลาหนึ่ง อี ( ก; ข) ถ้ามันต่อเนื่องกันทุกจุดของช่วงเวลานี้.

ฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ [ก; ข] ถ้ามันต่อเนื่องกันตามช่วงเวลา (ก; ข) และมีความต่อเนื่องทางเดียวที่จุดเขตแดน(เช่น ต่อเนื่อง ณ จุดนั้น กทางด้านขวา ณ จุดนั้น ข- ซ้าย).

11) จุดพัก การจำแนกประเภท

คำนิยาม. ถ้าฟังก์ชัน f(x) กำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุด x 0 , แต่ก็ไม่ต่อเนื่องกัน ณ จุดนี้แล้ว ฉ(x) เรียกว่าไม่ต่อเนื่องที่จุด x 0 , และจุดนั้นเอง x 0 เรียกว่าจุดพัก ฟังก์ชั่นฉ(x) .

หมายเหตุ.

1) ฉ(x) สามารถกำหนดได้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ไม่สมบูรณ์ของจุด x 0 .

จากนั้นให้พิจารณาความต่อเนื่องทางเดียวที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

2) จากนิยามของจุด Þ x 0 คือจุดพักของฟังก์ชัน ฉ(x) ในสองกรณี:

ก) คุณ( x 0 , ง)โอ ดี(ฉ) แต่สำหรับ ฉ(x) ความเท่าเทียมกันไม่คงอยู่

ข) คุณ * ( x 0 , ง)โอ ดี(ฉ) .

สำหรับฟังก์ชันเบื้องต้น สามารถทำได้เฉพาะกรณี b) เท่านั้น

อนุญาต x 0 – จุดพักฟังก์ชัน ฉ(x) .

คำนิยาม. จุด x 0 เรียกว่า จุดพัก ฉัน เรียงลำดับของ ถ้าฟังก์ชัน f(x)มีขีดจำกัดด้านซ้ายและขวา ณ จุดนี้.

หากลิมิตเหล่านี้เท่ากัน ให้ชี้ x 0 เรียกว่า จุดพักที่ถอดออกได้ , มิฉะนั้น - จุดกระโดด .

คำนิยาม. จุด x 0 เรียกว่า จุดพัก ครั้งที่สอง เรียงลำดับของ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน f(x)ณ จุดนี้เท่ากัน¥ หรือไม่มีอยู่จริง.

12) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง (ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส (ไม่มีการพิสูจน์) และคอชี

ทฤษฎีบทของไวเออร์สตราส

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลานั้น

1)f(x)จำกัดอยู่เพียง

2) f(x) รับค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุดในช่วงเวลานั้น

คำนิยาม: ค่าของฟังก์ชัน m=f เรียกว่าค่าน้อยที่สุดถ้า m≤f(x) สำหรับ x€ D(f) ใดๆ

ค่าของฟังก์ชัน m=f กล่าวได้ว่ามีค่ามากที่สุดถ้า m≥f(x) สำหรับ x € D(f) ใดๆ

ฟังก์ชันสามารถรับค่าที่น้อยที่สุด/มากที่สุดได้หลายจุดของเซ็กเมนต์

ฉ(x 3)=ฉ(x 4)=สูงสุด

ทฤษฎีบทของคอชี

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ และให้ x เป็นตัวเลขที่อยู่ระหว่าง f(a) และ f(b) จากนั้นจะมีอย่างน้อยหนึ่งจุด x 0 € โดยที่ f(x 0)= g

สูตรสำหรับลิมิตที่น่าทึ่งตัวที่สองคือ lim x → ∞ 1 + 1 x x = e การเขียนอีกรูปแบบหนึ่งมีลักษณะดังนี้: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e

เมื่อเราพูดถึงขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง เราต้องจัดการกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ 1 ∞ กล่าวคือ หน่วยจนถึงระดับอนันต์

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ลองพิจารณาปัญหาที่ความสามารถในการคำนวณขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สองจะมีประโยชน์

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาลิมิต x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4

สารละลาย

เรามาแทนที่สูตรที่ต้องการแล้วทำการคำนวณ

ลิม x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

คำตอบของเรากลายเป็นคำตอบหนึ่งของพลังแห่งความไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อกำหนดวิธีการแก้ปัญหา เราใช้ตารางความไม่แน่นอน ลองเลือกขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองและทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร

เสื้อ = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - เสื้อ 2

ถ้า x → ∞ ดังนั้น t → - ∞

มาดูกันว่าเราได้อะไรหลังจากการทดแทน:

ลิม x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

คำตอบ:ลิม x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = อี - 1 2 .

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณขีดจำกัด ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x .

สารละลาย

ลองแทนอินฟินิตี้แล้วได้สิ่งต่อไปนี้

ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = ลิม x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

ในคำตอบ เราได้สิ่งเดียวกันกับปัญหาที่แล้วอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ขีดจำกัดมหัศจรรย์อันที่สองได้อีกครั้ง ต่อไป เราต้องเลือกส่วนที่ฐานของฟังก์ชันกำลัง:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

หลังจากนี้ ขีดจำกัดจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ลิม x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

แทนที่ตัวแปร สมมุติว่า t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ถ้า x → ∞ ดังนั้น t → ∞

หลังจากนั้น เราจดสิ่งที่เราได้รับไว้ในขีดจำกัดเดิม:

ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ลิม x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = ลิม x → ∞ 1 + 1 เสื้อ - 2 เสื้อ - 1 = = ลิม x → ∞ 1 + 1 เสื้อ - 2 t 1 + 1 t - 1 = ลิม x → ∞ 1 + 1 t - 2 t ลิม x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = ลิม x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = อี - 2

เพื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ เราใช้คุณสมบัติพื้นฐานของขีดจำกัดและกำลัง

คำตอบ:ลิม x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณขีดจำกัด ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

สารละลาย

ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ลิม x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

หลังจากนั้น เราจำเป็นต้องแปลงฟังก์ชันเพื่อใช้ขีดจำกัดใหญ่อันที่สอง เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = ลิม x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

เนื่องจากตอนนี้เรามีเลขชี้กำลังเท่ากันในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน (เท่ากับ 6) ขีดจำกัดของเศษส่วนที่อนันต์จะเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ที่กำลังสูงกว่า

ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

โดยการแทนค่า t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 เราจะได้ลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สอง ซึ่งหมายความว่า:

ลิม x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = ลิม x → ∞ 1 + 1 เสื้อ เสื้อ - 3 = e - 3

คำตอบ:ลิม x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

ข้อสรุป

ความไม่แน่นอน 1 ∞ เช่น ความเป็นหนึ่งเดียวกับกำลังอันไม่มีที่สิ้นสุดนั้นเป็นความไม่แน่นอนของกฎกำลัง ดังนั้นจึงสามารถเปิดเผยได้โดยใช้กฎในการค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลัง

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

บทความนี้: “ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง” เกี่ยวข้องกับการเปิดเผยภายในขอบเขตความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ และ $ ^\infty $

นอกจากนี้ ความไม่แน่นอนดังกล่าวสามารถเปิดเผยได้โดยใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล แต่นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งจะกล่าวถึงในบทความอื่น

สูตรและผลที่ตามมา

สูตรขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองเขียนได้ดังนี้: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( โดยที่ ) e \approx 2.718 $$

มันเป็นไปตามจากสูตร ผลที่ตามมาซึ่งสะดวกมากที่จะใช้ในการแก้ตัวอย่างที่มีขีดจำกัด: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( โดยที่ ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = อี $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

เป็นที่น่าสังเกตว่าขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สองไม่สามารถใช้กับฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เสมอไป แต่เฉพาะในกรณีที่ฐานมีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพเท่านั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คำนวณขีด จำกัด ของฐานทางจิตใจแล้วจึงสรุปผล ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ลองดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาโดยใช้สูตรตรงและผลที่ตามมา เราจะวิเคราะห์กรณีที่ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรด้วย การเขียนเฉพาะคำตอบที่พร้อมก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาลิมิต $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

สารละลาย

ลองแทนค่าอนันต์เข้าไปในลิมิตแล้วดูความไม่แน่นอน: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ ลองหาลิมิตของฐาน: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ เราได้ฐานเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้ลิมิตอันน่าทึ่งอันที่สองได้แล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ปรับฐานของฟังก์ชันให้เป็นสูตรโดยการลบและเพิ่ม: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ เราดูข้อพิสูจน์ประการที่สองและเขียนคำตอบไว้: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

ตัวอย่างที่ 4

แก้ขีดจำกัด $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

สารละลาย

เราหาลิมิตของฐานแล้วพบว่า $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้ลิมิตที่น่าทึ่งตัวที่สองได้ ตามแผนมาตรฐาน เราบวกและลบหนึ่งรายการจากฐานของระดับ: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ เราปรับเศษส่วนให้เป็นสูตรของโน้ตตัวที่ 2 ขีดจำกัด: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ ตอนนี้เรามาปรับระดับกัน กำลังจะต้องมีเศษส่วนเท่ากับตัวส่วนของฐาน $ \frac(3x^2-2)(6) $ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณและหารระดับแล้วแก้โจทย์ต่อไป: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ ลิมิตที่อยู่ในกำลังที่ $ e $ เท่ากับ: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $ ดังนั้นเราจึงดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:

คำตอบ

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

ให้เราตรวจสอบกรณีที่ปัญหาคล้ายกับขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง แต่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้มัน

ในบทความ: "ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง: ตัวอย่างของการแก้ปัญหา" มีการวิเคราะห์สูตร ผลที่ตามมา และระบุประเภทของปัญหาทั่วไปในหัวข้อนี้