คำตอบของอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน

คิดว่ายังมีเวลาก่อนสอบและจะมีเวลาเตรียมตัวมั้ย? บางทีอาจเป็นเช่นนี้ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ยิ่งนักเรียนเริ่มฝึกเร็วเท่าไหร่ เขาก็ยิ่งสอบผ่านได้มากเท่านั้น วันนี้เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความให้กับอสมการลอการิทึม นี่เป็นหนึ่งในงานซึ่งหมายถึงโอกาสในการได้รับคะแนนพิเศษ

คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึม (ล็อก) คืออะไร? เราหวังอย่างนั้นจริงๆ แต่แม้ว่าคุณจะไม่มีคำตอบสำหรับคำถามนี้ แต่ก็ไม่ใช่ปัญหา มันง่ายมากที่จะเข้าใจว่าลอการิทึมคืออะไร

ทำไม 4 แน่นอน? คุณต้องเพิ่มเลข 3 ให้เป็นกำลังเพื่อให้ได้ 81 เมื่อคุณเข้าใจหลักการแล้ว คุณสามารถดำเนินการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้

คุณผ่านความไม่เท่าเทียมกันเมื่อสองสามปีก่อน และตั้งแต่นั้นมา คุณมักจะพบกับพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์ หากคุณกำลังประสบปัญหาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน โปรดดูส่วนที่เกี่ยวข้อง
เมื่อเราคุ้นเคยกับแนวคิดแยกจากกัน เราจะส่งต่อไปยังการพิจารณาโดยทั่วไป

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตัวอย่างนี้ ยังมีอีกสามตัวที่มีเครื่องหมายต่างกันเท่านั้น ทำไมจึงจำเป็น? เพื่อให้เข้าใจวิธีการแก้อสมการด้วยลอการิทึมมากขึ้น ตอนนี้เรายกตัวอย่างที่ใช้ได้มากกว่านี้ ค่อนข้างง่าย เราปล่อยให้อสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนไว้ดูในภายหลัง

วิธีแก้ปัญหา? ทุกอย่างเริ่มต้นด้วย ODZ คุณควรทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้หากต้องการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่ายดาย

ODZ คืออะไร? DPV สำหรับอสมการลอการิทึม

ตัวย่อหมายถึงช่วงของค่าที่ถูกต้อง ในการมอบหมายการสอบ คำพูดนี้มักจะปรากฏขึ้น DPV มีประโยชน์กับคุณไม่เพียงในกรณีของอสมการลอการิทึมเท่านั้น

ดูตัวอย่างด้านบนอีกครั้ง เราจะพิจารณา ODZ ตามนั้น เพื่อให้คุณเข้าใจหลักการ และการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมจะไม่ทำให้เกิดคำถาม จากนิยามของลอการิทึมว่า 2x+4 ต้องมากกว่าศูนย์ ในกรณีของเรา นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้

ตัวเลขนี้ต้องเป็นค่าบวกตามคำจำกัดความ แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่นำเสนอข้างต้น สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยวาจา เป็นที่ชัดเจนว่า X ต้องไม่น้อยกว่า 2 คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันคือนิยามของช่วงของค่าที่ยอมรับได้
ทีนี้มาดูการแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดกัน

เราละทิ้งลอการิทึมจากทั้งสองส่วนของอสมการ ผลที่ตามมาคืออะไรสำหรับเรา? ความไม่เท่าเทียมกันง่ายๆ

มันง่ายที่จะแก้ปัญหา X ต้องมากกว่า -0.5 ตอนนี้เรารวมสองค่าที่ได้รับเข้ากับระบบ ทางนี้,

นี่จะเป็นขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้สำหรับอสมการลอการิทึมที่พิจารณา

ทำไม ODZ จึงจำเป็น? นี่เป็นโอกาสที่จะขจัดคำตอบที่ไม่ถูกต้องและเป็นไปไม่ได้ หากคำตอบไม่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ คำตอบก็ไม่สมเหตุสมผล สิ่งนี้ควรค่าแก่การจดจำเป็นเวลานานเนื่องจากในการสอบมักมีความจำเป็นต้องค้นหา ODZ และไม่เพียงเกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมเท่านั้น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

การแก้ปัญหาประกอบด้วยหลายขั้นตอน อันดับแรก จำเป็นต้องค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะมีสองค่าใน ODZ เราพิจารณาสิ่งนี้ข้างต้น ขั้นตอนต่อไปคือการแก้ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเอง วิธีการแก้ปัญหามีดังนี้:

• วิธีการเปลี่ยนตัวคูณ
• การสลายตัว;
• วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ควรใช้วิธีการใดวิธีการหนึ่งข้างต้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตรงไปที่วิธีแก้ปัญหา เราจะเปิดเผยวิธีการยอดนิยมที่เหมาะสมกับการแก้ปัญหา USE ในเกือบทุกกรณี ต่อไปเราจะพิจารณาวิธีการสลายตัว สามารถช่วยได้หากคุณพบความไม่เท่าเทียมกันที่ "ยุ่งยาก" โดยเฉพาะ ดังนั้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

ตัวอย่างโซลูชัน :

มันไม่ไร้ประโยชน์ที่เราเอาความไม่เท่าเทียมกันอย่างแม่นยำ! ให้ความสนใจกับฐาน ข้อควรจำ: หากมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายจะยังคงเหมือนเดิมเมื่อค้นหาช่วงของค่าที่ถูกต้อง มิฉะนั้นจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน:

ตอนนี้เรานำด้านซ้ายมาอยู่ในรูปของสมการเท่ากับศูนย์ แทนที่จะใส่เครื่องหมาย "น้อยกว่า" เราใส่ "เท่ากับ" เราแก้สมการ ดังนั้น เราจะพบ ODZ เราหวังว่าคุณจะไม่มีปัญหาในการแก้สมการง่ายๆ คำตอบคือ -4 และ -2 นั่นไม่ใช่ทั้งหมด. คุณต้องแสดงจุดเหล่านี้บนแผนภูมิ วาง "+" และ "-" ต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้? แทนที่ตัวเลขจากช่วงเป็นนิพจน์ โดยที่ค่าเป็นบวก เราจะใส่ "+" ไว้ที่นั่น

ตอบ: x ต้องไม่มากกว่า -4 และน้อยกว่า -2

เราพบช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับด้านซ้ายเท่านั้น ตอนนี้เราต้องค้นหาช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับด้านขวา สิ่งนี้ไม่ง่ายกว่า คำตอบ: -2. เราตัดกันทั้งสองพื้นที่ที่ได้รับ

และตอนนี้เราเริ่มแก้ความไม่เท่าเทียมกันเอง

เรามาลดความซับซ้อนให้มากที่สุดเพื่อให้ง่ายต่อการตัดสินใจ

เราใช้วิธีช่วงเวลาในการแก้ปัญหาอีกครั้ง ข้ามการคำนวณไปกับเขาทุกอย่างชัดเจนจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตอบ.

แต่วิธีนี้เหมาะถ้าอสมการลอการิทึมมีฐานเท่ากัน

การแก้สมการลอการิทึมและอสมการที่มีฐานต่างกันเกี่ยวข้องกับการลดลงเริ่มต้นเป็นฐานเดียว จากนั้นใช้วิธีข้างต้น แต่ก็มีกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น พิจารณาอสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนที่สุดประเภทหนึ่ง

อสมการลอการิทึมกับฐานตัวแปร

จะแก้ความไม่เท่าเทียมกันในลักษณะดังกล่าวได้อย่างไร? ใช่และสามารถพบได้ในการสอบ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีต่อไปนี้จะส่งผลดีต่อกระบวนการศึกษาของคุณ มาดูประเด็นโดยละเอียดกัน ทิ้งทฤษฏีแล้วลงมือปฏิบัติทันที ในการแก้อสมการลอการิทึม ก็เพียงพอแล้วที่จะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่าง

ในการแก้สมการลอการิทึมของแบบฟอร์มที่นำเสนอ จำเป็นต้องลดด้านขวาของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกัน หลักการนี้คล้ายกับการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน เป็นผลให้ความไม่เท่าเทียมกันจะมีลักษณะเช่นนี้

อันที่จริง มันยังคงสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยไม่มีลอการิทึม โดยใช้วิธีหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง เราส่งผ่านไปยังระบบอสมการที่เทียบเท่ากัน คุณจะเข้าใจกฎเองเมื่อคุณแทนที่ค่าที่เหมาะสมและติดตามการเปลี่ยนแปลง ระบบจะมีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

เมื่อใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองเมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องจำสิ่งต่อไปนี้: คุณต้องลบหนึ่งตัวออกจากฐาน x โดยนิยามของลอการิทึม จะถูกลบออกจากทั้งสองส่วนของความไม่เท่าเทียมกัน (ขวาจากซ้าย) ทั้งสอง นิพจน์จะถูกคูณและตั้งค่าภายใต้เครื่องหมายเดิมที่สัมพันธ์กับศูนย์

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมดำเนินการโดยวิธีช่วงเวลา ทุกอย่างง่ายที่นี่ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับคุณที่จะเข้าใจความแตกต่างในวิธีการแก้ปัญหา จากนั้นทุกอย่างจะเริ่มทำงานได้อย่างง่ายดาย

มีความแตกต่างหลายอย่างในอสมการลอการิทึม วิธีที่ง่ายที่สุดคือง่ายพอที่จะแก้ไข ทำอย่างไรจึงจะแก้ปัญหาแต่ละข้อได้โดยไม่มีปัญหา? คุณได้รับคำตอบทั้งหมดในบทความนี้แล้ว ตอนนี้คุณมีแนวปฏิบัติที่ยาวนานอยู่ข้างหน้าคุณ หมั่นฝึกฝนการแก้ปัญหาต่าง ๆ ภายในข้อสอบ และคุณจะสามารถได้คะแนนสูงสุด ขอให้โชคดีในการทำงานที่ยากลำบากของคุณ!

อสมการลอการิทึม

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการลอการิทึม และตอนนี้เรารู้แล้วว่ามันคืออะไรและจะแก้อย่างไร และบทเรียนในวันนี้จะทุ่มเทให้กับการศึกษาความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึม อะไรคืออสมการเหล่านี้และอะไรคือความแตกต่างระหว่างการแก้สมการลอการิทึมกับอสมการ

อสมการลอการิทึมคืออสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมหรือที่ฐาน

หรืออาจกล่าวได้ว่าอสมการลอการิทึมคืออสมการที่ค่าที่ไม่ทราบค่าของสมการลอการิทึมจะอยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้:

โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ x

ลองดูสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x-1.

การแก้อสมการลอการิทึม

ก่อนแก้สมการลอการิทึม เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อแก้แล้ว พวกมันจะคล้ายกับอสมการเลขชี้กำลัง กล่าวคือ:

อันดับแรก เมื่อย้ายจากลอการิทึมไปเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม เราต้องเปรียบเทียบฐานของลอการิทึมกับหนึ่งด้วย

ประการที่สอง เมื่อแก้อสมการลอการิทึมโดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันตามการเปลี่ยนแปลงนั้น จนกว่าเราจะได้อสมการที่ง่ายที่สุด

แต่เราเองที่พิจารณาช่วงเวลาที่คล้ายคลึงกันในการแก้อสมการลอการิทึม ทีนี้มาดูความแตกต่างที่ค่อนข้างสำคัญกัน คุณและฉันรู้ว่าฟังก์ชันลอการิทึมมีขอบเขตคำจำกัดความที่จำกัด ดังนั้นเมื่อย้ายจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม คุณต้องคำนึงถึงช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (ODV)

นั่นคือ พึงระลึกไว้เสมอว่าเมื่อแก้สมการลอการิทึม เราสามารถหารากของสมการได้ก่อน แล้วจึงตรวจสอบคำตอบนี้ แต่การแก้อสมการลอการิทึมจะไม่ทำงานในลักษณะนี้ เนื่องจากการย้ายจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม จึงจำเป็นต้องเขียน ODZ ของอสมการ

นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่าทฤษฎีความไม่เท่าเทียมกันประกอบด้วยจำนวนจริง ซึ่งเป็นจำนวนบวกและลบ รวมทั้งเลข 0

ตัวอย่างเช่น เมื่อตัวเลข "a" เป็นค่าบวก ต้องใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: a > 0 ในกรณีนี้ ทั้งผลรวมและผลคูณของตัวเลขดังกล่าวจะเป็นค่าบวกด้วย

หลักการพื้นฐานของการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคือการแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า แต่สิ่งสำคัญคือต้องเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกันที่ให้มา นอกจากนี้ เรายังได้รับความไม่เท่าเทียมกันและแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันอีกครั้งด้วยรูปแบบที่ง่ายกว่า เป็นต้น

การแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปร คุณต้องหาคำตอบทั้งหมดของมัน หากสองอสมการมีตัวแปร x เหมือนกัน อสมการดังกล่าวจะเท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่าคำตอบของทั้งสองเท่ากัน

เมื่อดำเนินการแก้ไขอสมการลอการิทึม จำเป็นต้องจำไว้ว่าเมื่อ a > 1 ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

วิธีแก้อสมการลอการิทึม

ทีนี้มาดูวิธีการบางอย่างที่เกิดขึ้นในการแก้อสมการลอการิทึม เพื่อความเข้าใจและการดูดซึมที่ดีขึ้น เราจะพยายามทำความเข้าใจโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

เรารู้ว่าอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังนี้:

ในความไม่เท่าเทียมกันนี้ V - เป็นหนึ่งในสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันเช่น:<,>, ≤ หรือ ≥

เมื่อฐานของลอการิทึมนี้มีค่ามากกว่าหนึ่ง (a>1) ทำให้การเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในเวอร์ชันนี้ เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่ และอสมการจะมีลักษณะดังนี้:

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบดังต่อไปนี้

ในกรณีที่ฐานของลอการิทึมมากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง (0

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบนี้:

มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดที่แสดงในภาพด้านล่าง:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ออกกำลังกาย.ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกันนี้:

การตัดสินใจของพื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้

ทีนี้ลองคูณทางขวาของมันด้วย:

มาดูกันว่าเราจะทำอะไรได้บ้าง:

ทีนี้ มาดูการแปลงของนิพจน์ย่อยลอการิทึมกัน เนื่องจากฐานของลอการิทึมคือ 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8

และจากนี้ไป ช่วงเวลาที่เราได้รับนั้นเป็นของ ODZ ทั้งหมดและเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว

นี่คือคำตอบที่เราได้รับ:

สิ่งที่จำเป็นในการแก้อสมการลอการิทึมคืออะไร?

ทีนี้มาลองวิเคราะห์สิ่งที่เราต้องการเพื่อแก้อสมการลอการิทึมให้สำเร็จกัน?

อันดับแรก มุ่งความสนใจทั้งหมดของคุณและพยายามอย่าทำผิดพลาดเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับจากความไม่เท่าเทียมกันนี้ นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว จำเป็นต้องป้องกันการขยายตัวและการจำกัดความไม่เท่าเทียมกันของ ODZ ซึ่งอาจนำไปสู่การสูญเสียหรือได้มาซึ่งโซลูชันที่ไม่เกี่ยวข้อง

ประการที่สอง เมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณต้องเรียนรู้ที่จะคิดอย่างมีตรรกะและเข้าใจความแตกต่างระหว่างแนวคิดต่างๆ เช่น ระบบของอสมการและชุดของอสมการ เพื่อให้คุณสามารถเลือกคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างง่ายดายในขณะที่ได้รับคำแนะนำจาก DHS

ประการที่สาม เพื่อที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้สำเร็จ คุณแต่ละคนต้องรู้คุณสมบัติทั้งหมดของฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอย่างดีและเข้าใจความหมายอย่างชัดเจน ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เพียงแต่รวมลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตรรกยะ พลัง ตรีโกณมิติ ฯลฯ ในคำเดียว ฟังก์ชันทั้งหมดที่คุณศึกษาระหว่างพีชคณิตของโรงเรียน

อย่างที่คุณเห็น เมื่อศึกษาหัวข้อของอสมการลอการิทึมแล้ว การแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมก็ไม่ใช่เรื่องยาก หากคุณต้องตั้งใจและแน่วแน่ในการบรรลุเป้าหมาย เพื่อที่จะไม่มีปัญหาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องฝึกฝนให้มากที่สุด แก้งานต่างๆ และในขณะเดียวกันก็จำวิธีการหลักในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและระบบของพวกมัน ด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ประสบความสำเร็จสำหรับอสมการลอการิทึม คุณควรวิเคราะห์ข้อผิดพลาดของคุณอย่างรอบคอบเพื่อที่คุณจะไม่กลับมาหาข้อผิดพลาดอีกในอนาคต

การบ้าน

เพื่อการดูดซึมที่ดีขึ้นของหัวข้อและการรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม ให้แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด ศึกษาอสมการที่มีฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขตามสูตรพิเศษซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างที่โรงเรียนไม่ค่อยสอน:

บันทึก k (x ) f (x ) ∨ บันทึก k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

แทนที่จะเป็นแม่แรง "∨" คุณสามารถใส่เครื่องหมายอสมการใดก็ได้: มากหรือน้อย สิ่งสำคัญคือในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองสัญญาณจะเหมือนกัน

ดังนั้นเราจึงกำจัดลอการิทึมและลดปัญหาให้เป็นอสมการตรรกยะ อันหลังแก้ได้ง่ายกว่ามาก แต่เมื่อละทิ้งลอการิทึม รูตพิเศษอาจปรากฏขึ้น หากต้องการตัดออก ก็เพียงพอที่จะหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หากคุณลืม ODZ ของลอการิทึม ขอแนะนำให้ทำซ้ำ - ดู "ลอการิทึมคืออะไร"

ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะต้องเขียนและแก้ไขแยกกัน:

f(x) > 0; ก.(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่นี้ประกอบขึ้นเป็นระบบและต้องเติมเต็มพร้อมกัน เมื่อพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้ มันยังคงข้ามมันด้วยคำตอบของอสมการเชิงเหตุผล - และคำตอบก็พร้อม

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ขั้นแรก ให้เขียน ODZ ของลอการิทึม:

อสมการสองตัวแรกจะดำเนินการโดยอัตโนมัติ และอสมการสุดท้ายจะต้องถูกเขียน เนื่องจากกำลังสองของตัวเลขเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวตัวเลขนั้นเป็นศูนย์ เราจึงมี:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞) ตอนนี้เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหลัก:

เราดำเนินการเปลี่ยนจากอสมการลอการิทึมเป็นอสมการตรรกยะ ในอสมการเดิมจะมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จึงควรมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ด้วย เรามี:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

ศูนย์ของนิพจน์นี้: x = 3; x = -3; x = 0 นอกจากนี้ x = 0 ยังเป็นรูทของทวีคูณที่สอง ซึ่งหมายความว่าเมื่อผ่านไป เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง เรามี:

เราได้ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ชุดนี้มีอยู่ใน ODZ ของลอการิทึมอย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่านี่คือคำตอบ

การแปลงอสมการลอการิทึม

บ่อยครั้งที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมแตกต่างจากที่กล่าวข้างต้น ซึ่งแก้ไขได้ง่ายตามกฎมาตรฐานสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม" กล่าวคือ:

1. ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมด้วยฐานที่กำหนด
2. ผลรวมและผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันสามารถแทนที่ด้วยลอการิทึมเดียว

แยกจากกัน ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากอาจมีลอการิทึมหลายลอการิทึมในอสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องหา DPV ของแต่ละลอการิทึม ดังนั้นรูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมจึงเป็นดังนี้:

1. ค้นหา ODZ ของลอการิทึมแต่ละตัวที่รวมอยู่ในอสมการ
2. ลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับการบวกและลบลอการิทึม
3. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นตามรูปแบบด้านบน

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ (ODZ) ของลอการิทึมแรก:

เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา การหาศูนย์ของตัวเศษ:

3x − 2 = 0;
x = 2/3

จากนั้น - ศูนย์ของตัวส่วน:

x − 1 = 0;
x = 1

เราทำเครื่องหมายศูนย์และเครื่องหมายบนลูกศรพิกัด:

เราได้ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ลอการิทึมที่สองของ ODZ จะเท่ากัน ถ้าไม่เชื่อก็เช็คได้ ตอนนี้เราแปลงลอการิทึมที่สองเพื่อให้ฐานเป็นสอง:

อย่างที่คุณเห็น เลขสามตัวที่ฐานและก่อนที่ลอการิทึมจะหดตัวลง รับลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน มารวมกัน:

บันทึก 2 (x − 1) 2< 2;
บันทึก 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

เราได้รับอสมการลอการิทึมมาตรฐาน เรากำจัดลอการิทึมด้วยสูตร เนื่องจากมีเครื่องหมายน้อยกว่าในอสมการดั้งเดิม นิพจน์ตรรกยะที่ได้จึงต้องน้อยกว่าศูนย์ด้วย เรามี:

(f (x) - ก. (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

เราได้สองชุด:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ตอบผู้สมัคร: x ∈ (-1; 3)

ยังคงต้องข้ามชุดเหล่านี้ - เราได้รับคำตอบที่แท้จริง:

เราสนใจจุดตัดของเซตต่างๆ ดังนั้นเราจึงเลือกช่วงเวลาที่แรเงาบนลูกศรทั้งสอง เราได้ x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) - จุดทั้งหมดถูกเจาะ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การสอน:

• ระดับ 1 - สอนวิธีแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดโดยใช้คำจำกัดความของลอการิทึมคุณสมบัติของลอการิทึม
• ระดับ 2 - แก้อสมการลอการิทึม เลือกวิธีการแก้ปัญหาของคุณเอง
• ระดับ 3 - สามารถใช้ความรู้และทักษะในสถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐาน

กำลังพัฒนา:พัฒนาความจำ ความสนใจ การคิดเชิงตรรกะ ทักษะการเปรียบเทียบ สามารถสรุปและสรุปผลได้

เกี่ยวกับการศึกษา:เพื่อปลูกฝังความถูกต้องความรับผิดชอบในงานที่ทำการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน

วิธีการสอน: วาจา , ภาพ , ใช้ได้จริง , ค้นหาบางส่วน , การปกครองตนเอง , ควบคุม.

รูปแบบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน: หน้าผาก , รายบุคคล , ทำงานเป็นคู่.

อุปกรณ์: ชุดงานทดสอบ บันทึกอ้างอิง แผ่นเปล่าสำหรับการแก้ปัญหา

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้วัสดุใหม่

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กรมีการประกาศธีมและเป้าหมายของบทเรียน โครงร่างของบทเรียน: นักเรียนแต่ละคนจะได้รับใบประเมินผล ซึ่งนักเรียนกรอกระหว่างบทเรียน สำหรับนักเรียนแต่ละคู่ - สื่อสิ่งพิมพ์พร้อมงานคุณต้องทำงานเป็นคู่ แผ่นเปล่าสำหรับการตัดสินใจ แผ่นอ้างอิง: คำจำกัดความของลอการิทึม กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม คุณสมบัติ คุณสมบัติของลอการิทึม อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

การตัดสินใจทั้งหมดหลังจากการประเมินตนเองจะถูกส่งไปยังครู

ใบคะแนนนักเรียน

2. การทำให้เป็นจริงของความรู้

คำแนะนำของครู จำคำจำกัดความของลอการิทึม กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม และคุณสมบัติของมัน ในการทำเช่นนี้ ให้อ่านข้อความในหน้า 88–90, 98–101 ของหนังสือเรียน “พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 10–11” แก้ไขโดย Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin และคนอื่นๆ

นักเรียนจะได้รับแผ่นงานที่เขียน: คำจำกัดความของลอการิทึม แสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม คุณสมบัติ คุณสมบัติของลอการิทึม อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม ตัวอย่างของการแก้อสมการลอการิทึมที่ลดให้เหลือกำลังสอง

3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

การแก้ปัญหาของอสมการลอการิทึมขึ้นอยู่กับความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันลอการิทึม

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม:

A) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของอสมการ (นิพจน์ย่อยลอการิทึมมีค่ามากกว่าศูนย์)
B) แสดง (ถ้าเป็นไปได้) ส่วนซ้ายและขวาของอสมการเป็นลอการิทึมในฐานเดียวกัน
C) กำหนดว่าฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง: ถ้า t>1 แสดงว่าเพิ่มขึ้น ถ้า 0 1 แล้วลดลง
D) ไปที่ความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า (นิพจน์ย่อยลอการิทึม) โดยพิจารณาว่าเครื่องหมายอสมการจะยังคงอยู่หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและจะเปลี่ยนหากลดลง

องค์ประกอบการเรียนรู้ #1

จุดประสงค์: เพื่อแก้ไขคำตอบของอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

รูปแบบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน: งานเดี่ยว

งานสำหรับงานอิสระ 10 นาที สำหรับอสมการแต่ละข้อ มีหลายคำตอบ คุณต้องเลือกคำตอบที่ถูกต้องและตรวจสอบด้วยคีย์

คีย์: 13321 คะแนนสูงสุด - 6 หน้า

องค์ประกอบการเรียนรู้ #2

วัตถุประสงค์: เพื่อแก้ไขคำตอบของอสมการลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

คำแนะนำของครู เรียกคืนคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ในการทำเช่นนี้ ให้อ่านข้อความในหนังสือเรียนที่หน้า 92, 103–104

งานสำหรับงานอิสระ 10 นาที

คีย์: 2113 จำนวนคะแนนสูงสุดคือ 8 ข.

องค์ประกอบการเรียนรู้ #3

วัตถุประสงค์: เพื่อศึกษาคำตอบของอสมการลอการิทึมโดยวิธีลดกำลังสอง

คำแนะนำของครู: วิธีการลดความไม่เท่าเทียมกันเป็นกำลังสองคือการแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบที่ฟังก์ชันลอการิทึมบางตัวแสดงโดยตัวแปรใหม่ ในขณะที่ได้ค่าอสมการกำลังสองที่สัมพันธ์กับตัวแปรนี้

ลองใช้วิธีการแบบช่วงเวลา

คุณได้ผ่านระดับแรกของการดูดซึมของวัสดุ ตอนนี้ คุณจะต้องเลือกวิธีการแก้สมการลอการิทึมอย่างอิสระโดยใช้ความรู้และความสามารถทั้งหมดของคุณ

องค์ประกอบการเรียนรู้หมายเลข 4

วัตถุประสงค์: เพื่อรวมการแก้ปัญหาของอสมการลอการิทึมโดยเลือกวิธีที่มีเหตุผลในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง

งานอิสระ 10 นาที

องค์ประกอบการเรียนรู้หมายเลข 5

คำแนะนำของครู ทำได้ดี! คุณเข้าใจการแก้สมการของความซับซ้อนระดับที่สองแล้ว วัตถุประสงค์ของงานต่อไปของคุณคือการใช้ความรู้และทักษะของคุณในสถานการณ์ที่ซับซ้อนและไม่ได้มาตรฐานมากขึ้น

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำแนะนำของครู เป็นเรื่องที่ดีถ้าคุณได้ทำงานทั้งหมด ทำได้ดี!

เกรดสำหรับบทเรียนทั้งหมดขึ้นอยู่กับจำนวนคะแนนที่ทำได้สำหรับองค์ประกอบทางการศึกษาทั้งหมด:

• ถ้า N ≥ 20 คุณจะได้คะแนน “5”
• สำหรับ 16 ≤ N ≤ 19 – คะแนน “4”
• สำหรับ 8 ≤ N ≤ 15 – คะแนน “3”
• ที่ N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

ประมาณว่าจิ้งจอกจะมอบให้ครู

5. การบ้าน: ถ้าคุณได้คะแนนไม่เกิน 15 b - แก้ไขข้อผิดพลาด (สามารถแก้ปัญหาได้จากครู) ถ้าคุณได้คะแนนมากกว่า 15 b - ทำงานสร้างสรรค์ในหัวข้อ "อสมการลอการิทึม"

อสมการเรียกว่าลอการิทึมหากมีฟังก์ชันลอการิทึม

วิธีการแก้อสมการลอการิทึมไม่ต่างจากสองสิ่ง

อย่างแรก เมื่อส่งต่อจากอสมการลอการิทึมไปเป็นอสมการของฟังก์ชันลอการิทึมย่อย จะได้ดังนี้ ปฏิบัติตามเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น. มันปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้

หากฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมีค่ามากกว่า $1$ จากนั้นเมื่อส่งผ่านจากอสมการลอการิทึมไปยังอสมการของฟังก์ชันลอการิทึมย่อย เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่ และหากน้อยกว่า $1$ เครื่องหมายอสมการจะกลับกัน

ประการที่สอง การแก้ปัญหาของอสมการใด ๆ เป็นช่วง ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันของฟังก์ชันลอการิทึมย่อย จำเป็นต้องจัดระบบของสองอสมการ: ความไม่เท่าเทียมกันแรกของระบบนี้จะเป็นอสมการของ ฟังก์ชันลอการิทึมย่อย และช่วงที่สองจะเป็นช่วงของโดเมนของนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมที่รวมอยู่ในอสมการลอการิทึม

ฝึกฝน.

มาแก้ความไม่เท่าเทียมกันกัน:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

ฐานของลอการิทึมคือ $2>1$ ดังนั้นเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง โดยใช้คำจำกัดความของลอการิทึม เราได้รับ:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )