คำตอบของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย ตัวอย่างสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น

สมการเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นสมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จัก หากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของสิ่งแปลกปลอมที่รวมอยู่ในนั้น มันจะเรียกว่าตัวตน ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์เช่น (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) ถือสำหรับค่าทั้งหมดของ x

หากสมการที่เกี่ยวข้องกับ x ที่ไม่รู้จักมีไว้สำหรับค่า x บางค่าเท่านั้น ไม่ใช่สำหรับทุกค่าของ x เช่นในกรณีของเอกลักษณ์ ดังนั้นการกำหนดค่า x เหล่านั้นอาจมีประโยชน์ สมการนั้นถูกต้อง ค่า x ดังกล่าวเรียกว่ารากหรือคำตอบของสมการ ตัวอย่างเช่น เลข 5 คือรากของสมการ 2x + 7= 17

ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า ทฤษฎีสมการ หัวข้อหลักของการศึกษาคือวิธีการแก้สมการ ที่ หลักสูตรของโรงเรียนสมการพีชคณิตได้รับความสนใจอย่างมาก

ประวัติการศึกษาสมการย้อนกลับไปหลายศตวรรษ นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดที่มีส่วนในการพัฒนาทฤษฎีสมการคือ:

อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287-212 ปีก่อนคริสตกาล) - นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ นักคณิตศาสตร์ และช่างเครื่อง ในการศึกษาปัญหาหนึ่งที่ลดลงไป สมการลูกบาศก์อาร์คิมิดีสค้นพบบทบาทของลักษณะเฉพาะ ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในฐานะผู้เลือกปฏิบัติ

François Viet มีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 16 พระองค์ทรงมีคุณูปการอย่างยิ่งต่อการศึกษา ปัญหาต่างๆคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาแนะนำสัญกรณ์ตัวอักษรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ และสร้างความสัมพันธ์ระหว่างรากของสมการกำลังสอง

Leonhard Euler (1707 - 1783) - นักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง นักฟิสิกส์ และนักดาราศาสตร์ ผู้เขียนเซนต์. 800 บทความเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์, เรขาคณิต, ทฤษฎีจำนวน, การคำนวณโดยประมาณ, กลศาสตร์ท้องฟ้า, คณิตศาสตร์, ทัศนศาสตร์, ขีปนาวุธ, การต่อเรือ, ทฤษฎีดนตรี ฯลฯ เขามีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์ เขาได้รับสูตร (สูตรออยเลอร์) แสดง ฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวแปร x ผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ลากรองจ์ โจเซฟ หลุยส์ (1736 - 1813), นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและช่างเครื่อง เขาเป็นเจ้าของงานวิจัยที่โดดเด่น ซึ่งรวมถึงงานวิจัยเกี่ยวกับพีชคณิต (ฟังก์ชันสมมาตรของรากของสมการ สมการเชิงอนุพันธ์ (ทฤษฎีการแก้ปัญหาเอกพจน์ วิธีการแปรผันของค่าคงที่)

J. Lagrange และ A. Vandermonde - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในปี ค.ศ. 1771 มีการใช้วิธีการแก้ระบบสมการ (วิธีการแทนค่า) เป็นครั้งแรก

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เขียนหนังสือที่สรุปทฤษฎีสมการหารวงกลม (เช่น สมการ xn - 1 = 0) ซึ่งเป็นต้นแบบของทฤษฎี Galois ในหลายๆ ด้าน นอกเหนือจาก วิธีการทั่วไปการแก้สมการเหล่านี้สร้างการเชื่อมต่อระหว่างสมการกับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ เป็นครั้งแรกหลังจากนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้ก้าวไปข้างหน้าอย่างมีนัยสำคัญในเรื่องนี้กล่าวคือ: เขาพบค่าทั้งหมดของ n ซึ่ง n-gon ปกติสามารถสร้างได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด เรียนรู้วิธีการเพิ่ม เขาสรุปว่าระบบสมการสามารถเพิ่ม หาร และคูณกันเองได้

O. I. Somov - เสริมส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ด้วยผลงานที่สำคัญและมากมายรวมถึงทฤษฎีสมการพีชคณิตบางอย่าง องศาที่สูงขึ้น.

Galois Evariste (1811-1832) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ข้อดีหลักของเขาคือการกำหนดชุดความคิดซึ่งเขาเชื่อมโยงกับการวิจัยต่อเนื่องเกี่ยวกับการแก้สมการพีชคณิตซึ่งเริ่มโดย J. Lagrange, N. Abel และคนอื่น ๆ ได้สร้างทฤษฎีสมการพีชคณิตที่สูงขึ้น องศาด้วยไม่ทราบ

A. V. Pogorelov (2462-2524) - ในงานของเขาวิธีการทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับ วิธีการวิเคราะห์ทฤษฎีสมการอนุพันธ์อนุพันธ์ย่อย ผลงานของเขายังมีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น

P. Ruffini - นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เขาอุทิศงานจำนวนหนึ่งเพื่อพิสูจน์การแก้ไม่ได้ของสมการระดับที่ 5 โดยใช้ความปิดของชุดการแทนที่อย่างเป็นระบบ

แม้ว่านักวิทยาศาสตร์จะศึกษาสมการมาเป็นเวลานาน แต่วิทยาศาสตร์ไม่รู้ว่าผู้คนจำเป็นต้องใช้สมการอย่างไรและเมื่อใด เป็นที่ทราบกันดีว่าปัญหาที่นำไปสู่การแก้สมการที่ง่ายที่สุดนั้นได้รับการแก้ไขโดยผู้คนตั้งแต่ตอนที่พวกเขากลายเป็นคน อีก 3 - 4 พันปีก่อนคริสต์ศักราช อี ชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการ กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ยังไม่รู้ว่าพวกเขามาถึงจุดนี้ได้อย่างไร

ที่ อียิปต์โบราณและบาบิโลนใช้วิธีตำแหน่งเท็จ สมการของดีกรีแรกที่มีสมการที่ไม่รู้จักสามารถถูกลดทอนให้อยู่ในรูป ax + b = c โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม ตามกฎ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขวาน \u003d c - b,

ถ้า b > c แล้ว c b เป็นจำนวนลบ ตัวเลขติดลบไม่เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์และชนชาติอื่น ๆ ในภายหลัง (ในระดับที่เท่าเทียมกับ ตัวเลขที่เป็นบวกพวกเขาเริ่มใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่สิบเจ็ดเท่านั้น) เพื่อแก้ปัญหาที่เราแก้ด้วยสมการในระดับที่ 1 ได้คิดค้นวิธีตำแหน่งเท็จ ในปาปิรุสแห่งอาห์เมส 15 ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ ชาวอียิปต์มีเครื่องหมายพิเศษเพื่อแสดง หมายเลขที่ไม่รู้จักซึ่งจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้อ่านว่า "อย่างไร" และแปลโดยคำว่า "กอง" ("กอง" หรือ "จำนวนที่ไม่รู้จัก" ของหน่วย) ตอนนี้พวกเขาอ่านไม่ถูกต้องน้อยลงเล็กน้อย: "aha" วิธีการแก้ปัญหาที่ Ahmes ใช้เรียกว่าวิธีการหนึ่งตำแหน่งเท็จ ใช้วิธีนี้ สมการของรูปแบบ ax = b จะถูกแก้ไข วิธีนี้ประกอบด้วยการหารแต่ละด้านของสมการด้วย a ใช้โดยทั้งชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน ที่ คนที่แตกต่างกันใช้วิธีการของตำแหน่งเท็จสองตำแหน่ง ชาวอาหรับใช้กลไกวิธีนี้และได้รับรูปแบบที่ส่งผ่านไปยังตำราเรียนของชาวยุโรปรวมถึงเลขคณิตของ Magnitsky Magnitsky เรียกวิธีการแก้ไข "กฎเท็จ" และเขียนในส่วนของหนังสือของเขาอธิบายวิธีการนี้:

Zelo bo เจ้าเล่ห์คือส่วนนี้ เช่นเดียวกับที่คุณสามารถใส่ทุกอย่างลงไปได้ ไม่ใช่แค่สิ่งที่อยู่ในความเป็นพลเมืองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิทยาศาสตร์ที่สูงขึ้นในอวกาศด้วย แม้จะอยู่ในขอบเขตของสวรรค์ เช่นเดียวกับผู้มีปัญญาก็มีความจำเป็น

เนื้อหาของบทกวีของ Magnitsky สรุปได้ดังนี้: ส่วนนี้ของเลขคณิตนั้นยุ่งยากมาก ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถคำนวณได้ไม่เพียงแค่สิ่งที่จำเป็นในการปฏิบัติประจำวันเท่านั้น แต่ยังสามารถแก้ไขคำถามที่ "สูงกว่า" ที่เผชิญหน้ากับ "คนฉลาด" ได้อีกด้วย Magnitsky ใช้ "กฎเท็จ" ในรูปแบบที่ชาวอาหรับกำหนดโดยเรียกมันว่า "เลขคณิตของข้อผิดพลาดสองข้อ" หรือ "วิธีการชั่งน้ำหนัก" นักคณิตศาสตร์อินเดียมักให้โจทย์เป็นข้อๆ ความท้าทายของโลตัส:

เหนือทะเลสาบอันเงียบสงบ เหนือระดับน้ำครึ่งวัด มองเห็นสีของดอกบัว เขาเติบโตขึ้นอย่างโดดเดี่ยวและลมในคลื่นก็พัดพาเขาไปด้านข้างและไม่ได้อีกต่อไป

ดอกไม้เหนือน้ำ. พบตาชาวประมงของเขาสองมาตรการจากที่เขาเติบโตขึ้นมา ทะเลสาบที่นี่มีน้ำลึกกี่แห่ง? ฉันจะเสนอคำถามให้คุณ

ประเภทของสมการ

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นเป็นสมการในรูปแบบ: ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่จำนวนหนึ่ง หาก a ไม่เท่ากับศูนย์ สมการจะมีหนึ่งรูท: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.)

ตัวอย่างเช่น: แก้สมการเชิงเส้น: 4x + 12 = 0

วิธีแก้ปัญหา: T. ถึง a \u003d 4 และ b \u003d 12 จากนั้น x \u003d - 12: 4; x = - 3.

ตรวจสอบ: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

เนื่องจาก k 0 = 0 ดังนั้น -3 จึงเป็นรากของสมการเดิม

ตอบ. x = -3

ถ้า a เป็นศูนย์และ b เป็นศูนย์ แสดงว่ารากของสมการ ax + b = 0 คือจำนวนใดๆ

ตัวอย่างเช่น:

0 = 0 เนื่องจาก 0 คือ 0 ดังนั้นรากของสมการ 0x + 0 = 0 จึงเป็นจำนวนใดๆ

ถ้า a เป็นศูนย์และ b ไม่เป็นศูนย์ สมการ ax + b = 0 จะไม่มีราก

ตัวอย่างเช่น:

0 \u003d 6 เนื่องจาก 0 ไม่เท่ากับ 6 ดังนั้น 0x - 6 \u003d 0 จึงไม่มีราก

ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นคือระบบที่สมการทั้งหมดเป็นแบบเส้นตรง

การแก้ปัญหาระบบหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด

ก่อนแก้ระบบสมการเชิงเส้น คุณสามารถกำหนดจำนวนของคำตอบได้

ให้กำหนดระบบสมการ: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

ถ้า a1 หารด้วย a2 ไม่เท่ากับ b1 หารด้วย b2 ระบบจะมีคำตอบเดียว

ถ้า a1 หารด้วย a2 เท่ากับ b1 หารด้วย b2 แต่เท่ากับ c1 หารด้วย c2 แสดงว่าระบบไม่มีคำตอบ

ถ้า a1 หารด้วย a2 เท่ากับ b1 หารด้วย b2 และเท่ากับ c1 หารด้วย c2 ระบบจะมีคำตอบมากมายมหาศาล

ระบบสมการที่มีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบเรียกว่าเข้ากันได้

ระบบข้อต่อเรียกว่าแน่นอนถ้ามี จำนวนจำกัดคำตอบ และไม่มีกำหนดถ้าเซตของคำตอบเป็นอนันต์

ระบบที่ไม่มีโซลูชันเดียวเรียกว่าไม่สอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกัน

วิธีการแก้สมการเชิงเส้น

มีหลายวิธีในการแก้สมการเชิงเส้น:

1) วิธีการคัดเลือก. นี่คือที่สุด วิธีที่ง่ายที่สุด. ประกอบด้วยความจริงที่ว่าพวกเขาเลือกทั้งหมด ค่าที่อนุญาตไม่ทราบโดยการแจงนับ

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

ให้ x = 1 จากนั้น

4 = 6 เนื่องจาก 4 ไม่เท่ากับ 6 ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ว่า x = 1 ไม่ถูกต้อง

ให้ x = 2

6 = 6 เนื่องจาก 6 เท่ากับ 6 ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ว่า x = 2 นั้นถูกต้อง

คำตอบ: x = 2

2) วิธีทำให้ง่ายขึ้น

วิธีนี้อยู่ในข้อเท็จจริงที่ว่าสมาชิกทั้งหมดที่มีนิรนามถูกโอนไปทางด้านซ้ายและทราบทางด้านขวาด้วย ป้ายตรงข้าม, ให้ค่าที่คล้ายกันและหารทั้งสองข้างของสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนาม

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

ตอบ. x = 5.

3) ทางกราฟิก

ประกอบด้วยความจริงที่ว่ากราฟของฟังก์ชันถูกสร้างขึ้น สมการที่กำหนด. เนื่องจากในสมการเชิงเส้น y \u003d 0 กราฟจะขนานกับแกน y จุดตัดของกราฟกับแกน x จะเป็นคำตอบของสมการนี้

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

ให้ y = 7 จากนั้น y = 2x + 3

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันของสมการทั้งสอง:

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 มีการศึกษาสามวิธีในการแก้ระบบสมการ:

1) วิธีการทดแทน

วิธีนี้ประกอบด้วยความจริงที่ว่าในสมการหนึ่งสมการที่ไม่รู้จักจะแสดงในรูปของอีกสมการหนึ่ง นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์จะถูกแทนที่ลงในสมการอื่น ซึ่งจะกลายเป็นสมการที่ไม่ทราบค่า จากนั้นจึงแก้ไขได้ ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่รู้จักนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ ของระบบเดิม และพบค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สอง

ตัวอย่างเช่น.

แก้ระบบสมการ

5x - 2y - 2 = 1

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

แทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่น:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการ 3x + y \u003d 4

3 1 + ย = 4;

3 + ย = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1

การตรวจสอบ.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

คำตอบ: x = 1; y = 1

2) วิธีการบวก

วิธีนี้เป็นว่าถ้า ระบบนี้ประกอบด้วยสมการที่เมื่อเพิ่มคำศัพท์ทีละคำแล้วสร้างสมการที่ไม่ทราบค่า จากนั้นแก้สมการนี้ เราจะได้ค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่รู้จักนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ ของระบบเดิม และพบค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สอง

ตัวอย่างเช่น:

แก้ระบบสมการ

/ 3y - 2x \u003d 5,

\5x - 3y \u003d 4.

มาแก้สมการผลลัพธ์กันเถอะ

3x = 9; : (3) x = 3.

ลองแทนค่าที่ได้ลงในสมการ 3y - 2x = 5

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) ย = 11/3; y = 3 2/3.

ดังนั้น x = 3; y = 3 2/3.

การตรวจสอบ.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

ตอบ. x = 3; y = 3 2/3

3) ทางกราฟิก

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่ากราฟของสมการถูกลงจุดในระบบพิกัดเดียว ถ้ากราฟของสมการตัดกัน พิกัดของจุดตัดกันคือคำตอบของระบบนี้ ถ้ากราฟของสมการเป็นเส้นคู่ขนาน แสดงว่าระบบนั้นไม่มีคำตอบ หากกราฟของสมการรวมกันเป็นเส้นตรงเส้นเดียว แสดงว่าระบบมีคำตอบมากมายมหาศาล

ตัวอย่างเช่น.

แก้ระบบสมการ

18x + 3y - 1 = 8

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d 2x - 5 และ y \u003d 3 - 6x บนระบบพิกัดเดียวกัน

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d 2x - 5 และ y \u003d 3 - 6x ตัดกันที่จุด A (1; -3)

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการนี้จะเป็น x = 1 และ y = -3

การตรวจสอบ.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

ตอบ. x = 1; y = -3

บทสรุป

จากทั้งหมดข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการมีความจำเป็นใน โลกสมัยใหม่ไม่เพียง แต่สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังเป็นเครื่องมือทางวิทยาศาสตร์อีกด้วย ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์จำนวนมากจึงได้ศึกษาเรื่องนี้และทำการศึกษาต่อไป

สมการที่แสดงถึง สี่เหลี่ยมจตุรัสโดยทั่วไปเรียกว่าสมการกำลังสอง จากมุมมองของพีชคณิต สูตรนี้อธิบายโดย a*x^2+b*x+c=0 ในสูตรนี้ x คือค่าที่ไม่รู้จัก (เรียกว่าตัวแปรอิสระ) a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์ตัวเลข สำหรับองค์ประกอบของสิ่งนี้ มีข้อจำกัดหลายประการ ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ a ไม่ควรเท่ากับ 0

การแก้สมการ: แนวคิดของการเลือกปฏิบัติ

ค่าของ x ที่ไม่รู้จักซึ่ง สมการกำลังสองกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เรียกว่ารากของสมการดังกล่าว ในการแก้สมการกำลังสอง ก่อนอื่นคุณต้องหาค่าของสัมประสิทธิ์พิเศษ - ค่าจำแนก ซึ่งจะแสดงจำนวนรากของความเท่าเทียมกันที่พิจารณา การเลือกปฏิบัติคำนวณโดยสูตร D=b^2-4ac ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการคำนวณอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

ในกรณีนี้ ควรระลึกไว้เสมอว่าแนวคิดกำหนดให้เฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ a เท่านั้นที่แตกต่างจาก 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ b สามารถเท่ากับ 0 และสมการในกรณีนี้คือ a * x ^ 2 + ค \u003d 0. ในสถานการณ์เช่นนี้ ควรใช้ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 0 ในสูตรสำหรับการคำนวณค่าจำแนกและราก ดังนั้น การเลือกปฏิบัติในกรณีนี้จะถูกคำนวณเป็น D=-4ac

คำตอบของสมการที่มีการเลือกปฏิบัติเชิงบวก

หากการแยกแยะสมการกำลังสองกลายเป็นบวก เราสามารถสรุปได้ว่าความเท่าเทียมกันนี้มีรากสองราก รากเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a ดังนั้นในการคำนวณค่าของรากของสมการกำลังสองสำหรับ ค่าบวกจำแนกที่ใช้ ค่าที่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ที่มีอยู่ใน . ด้วยการใช้ผลรวมและความแตกต่างในสูตรสำหรับการคำนวณรากผลลัพธ์ของการคำนวณจะเป็นสองค่าที่ทำให้ความเท่าเทียมกันในคำถามเป็นค่าที่ถูกต้อง

คำตอบของสมการที่มีศูนย์และตัวจำแนกเป็นลบ

หากการจำแนกสมการกำลังสองกลายเป็น 0 เราสามารถสรุปได้ว่า สมการดังกล่าวมีหนึ่งราก พูดอย่างเคร่งครัด ในสถานการณ์นี้ สมการยังคงมีสองราก แต่เนื่องจากการแยกแยะเป็นศูนย์ พวกมันจะเท่ากัน ในกรณีนี้ x=-b/2a หากในระหว่างการคำนวณค่าของการเลือกปฏิบัติกลายเป็นลบควรสรุปได้ว่าสมการกำลังสองที่พิจารณานั้นไม่มีรากนั่นคือค่า x ดังกล่าวซึ่งจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

และอื่น ๆ มันเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะทำความคุ้นเคยกับสมการประเภทอื่น บรรทัดถัดไปคือ สมการเชิงเส้นการศึกษาที่มีจุดประสงค์ซึ่งเริ่มต้นในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7

เป็นที่ชัดเจนว่าก่อนอื่นคุณต้องอธิบายว่าสมการเชิงเส้นคืออะไร ให้คำจำกัดความของสมการเชิงเส้น ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ แสดงให้เห็น แบบฟอร์มทั่วไป. จากนั้นคุณสามารถหาจำนวนคำตอบของสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์และวิธีการหาราก สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถแก้ไขตัวอย่างและรวบรวมทฤษฎีที่ศึกษาได้ ในบทความนี้เราจะทำสิ่งนี้: เราจะลงรายละเอียดเกี่ยวกับประเด็นทางทฤษฎีและการปฏิบัติทั้งหมดเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นและวิธีแก้ปัญหา

สมมติว่าที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวและในบทความแยกต่างหากเราจะศึกษาหลักการของการแก้ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร.

การนำทางหน้า

สมการเชิงเส้นคืออะไร?

คำจำกัดความของสมการเชิงเส้นจะได้รับจากรูปแบบของสัญกรณ์ นอกจากนี้ในตำราคณิตศาสตร์และพีชคณิตที่แตกต่างกันสูตรของคำจำกัดความของสมการเชิงเส้นมีความแตกต่างบางอย่างที่ไม่ส่งผลกระทบต่อสาระสำคัญของปัญหา

ตัวอย่างเช่น ในตำราพีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 โดย Yu. N. Makarycheva และคนอื่นๆ สมการเชิงเส้นถูกกำหนดดังนี้:

คำนิยาม.

พิมพ์สมการ ขวาน=ขโดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b เป็นตัวเลข เรียกว่า สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว.

ให้เรายกตัวอย่างสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกับคำจำกัดความที่เปล่งออกมา ตัวอย่างเช่น 5 x=10 เป็นสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x หนึ่งตัว ค่าสัมประสิทธิ์ a คือ 5 และตัวเลข b คือ 10 อีกตัวอย่างหนึ่ง: −2.3 y=0 ก็เป็นสมการเชิงเส้นเช่นกัน แต่มีตัวแปร y โดยที่ a=−2.3 และ b=0 และในสมการเชิงเส้น x=−2 และ −x=3.33 a ไม่มีอยู่อย่างชัดเจนและมีค่าเท่ากับ 1 และ −1 ตามลำดับ ในขณะที่สมการแรก b=−2 และในสมการที่สอง - b=3.33 .

หนึ่งปีก่อนหน้านี้ในตำราคณิตศาสตร์โดย N. Ya Vilenkin สมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จักนอกจากสมการในรูปแบบ a x = b ยังถือเป็นสมการที่สามารถลดลงเป็นรูปแบบนี้ได้โดยการถ่ายโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่ง ของสมการไปยังอีกอันหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม รวมทั้งการลดพจน์ที่เหมือนกัน ตามคำจำกัดความนี้ สมการในรูปแบบ 5 x=2 x+6 เป็นต้น ยังเป็นเชิงเส้น

ในทางกลับกัน คำจำกัดความต่อไปนี้ให้ไว้ในตำราพีชคณิตสำหรับ 7 ชั้นเรียนโดย A. G. Mordkovich:

คำนิยาม.

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว xเป็นสมการในรูปแบบ a x+b=0 โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขบางตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นประเภทนี้คือ 2 x−12=0 ในที่นี้สัมประสิทธิ์ a เท่ากับ 2 และ b เท่ากับ −12 และ 0.2 y+4.6=0 ด้วยสัมประสิทธิ์ a=0.2 และ b =4.6 แต่ในขณะเดียวกัน ก็มีตัวอย่างสมการเชิงเส้นที่มีรูปแบบไม่ใช่ a x+b=0 แต่ a x=b เช่น 3 x=12

เพื่อไม่ให้เกิดความคลาดเคลื่อนในอนาคต ภายใต้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x หนึ่งตัวและค่าสัมประสิทธิ์ a และ b เราจะเข้าใจสมการในรูปแบบ a x+b=0 . สมการเชิงเส้นประเภทนี้ดูเหมือนจะมีเหตุผลมากที่สุด เนื่องจากสมการเชิงเส้นคือ สมการพีชคณิต ระดับแรก และสมการอื่นๆ ทั้งหมดข้างต้น ตลอดจนสมการที่ใช้ การแปลงที่เทียบเท่าจะถูกลดรูปแบบ a x+b=0 เราจะเรียกว่า การลดสมการเป็นสมการเชิงเส้น. ด้วยวิธีนี้ สมการ 2 x+6=0 เป็นสมการเชิงเส้น และ 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 เป็นต้น เป็นสมการเชิงเส้น

จะแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

ตอนนี้ก็ถึงเวลาหาวิธีแก้ปัญหาสมการเชิงเส้น a x+b=0 แล้ว กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถึงเวลาค้นหาว่าสมการเชิงเส้นมีรากหรือไม่ ถ้ามี จะมีกี่ราก และจะหาได้อย่างไร

การปรากฏตัวของรากของสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a และ b ในกรณีนี้ สมการเชิงเส้น a x+b=0 มี

• รูทเดียวที่ a≠0 ,
• ไม่มีรากสำหรับ a=0 และ b≠0 ,
• มีรากมากมายไม่จำกัดสำหรับ a=0 และ b=0 ซึ่งในกรณีนี้ จำนวนใดๆ จะเป็นรากของสมการเชิงเส้น

ให้เราอธิบายว่าผลลัพธ์เหล่านี้ได้มาอย่างไร

เรารู้ว่าในการแก้สมการ เป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนจากสมการดั้งเดิมไปเป็นสมการที่สมมูลกัน นั่นคือ สมการที่มีรากเดียวกันหรือเช่นสมการดั้งเดิมที่ไม่มีราก ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้การแปลงที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

• การถ่ายโอนเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
• และยังคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

ดังนั้น ในสมการเชิงเส้นกับหนึ่ง ตัวแปรประเภท a x+b=0 เราสามารถย้ายพจน์ b จากด้านซ้ายไป ด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม. ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ a x=−b

จากนั้นหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยจำนวน a แต่มีสิ่งหนึ่ง: จำนวน a สามารถเท่ากับศูนย์ซึ่งในกรณีนี้เป็นไปไม่ได้ที่จะหาร เพื่อจัดการกับปัญหานี้ ก่อนอื่นเราจะถือว่าตัวเลข a แตกต่างจากศูนย์และพิจารณากรณีของศูนย์แยกกันในภายหลัง

ดังนั้น เมื่อ a ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถหารทั้งสองส่วนของสมการ a x=−b ด้วย a หลังจากนั้นจึงแปลงเป็นรูปแบบ x=(−b):a ผลลัพธ์นี้สามารถเขียนได้โดยใช้ a เส้นทึบเป็น .

ดังนั้น สำหรับ a≠0 สมการเชิงเส้น a·x+b=0 จะเทียบเท่ากับสมการ ซึ่งสามารถมองเห็นรากของมันได้

เป็นการง่ายที่จะแสดงว่ารูทนี้ไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ สมการเชิงเส้นไม่มีรูทอื่น สิ่งนี้ช่วยให้คุณทำวิธีที่ตรงกันข้าม

ให้แสดงรูตเป็น x 1 สมมติว่ามีรากของสมการเชิงเส้นอีกอันหนึ่ง ซึ่งเราแสดงว่า x 2 และ x 2 ≠ x 1 ซึ่งเนื่องจาก คำจำกัดความ จำนวนเท่ากันผ่านความแตกต่างเทียบเท่ากับเงื่อนไข x 1 − x 2 ≠0 เนื่องจาก x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการเชิงเส้น a x+b=0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข a x 1 +b=0 และ a x 2 +b=0 จึงเกิดขึ้น เราสามารถลบส่วนที่สอดคล้องกันของความเท่าเทียมกันเหล่านี้ ซึ่งคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขช่วยให้เราทำได้ เรามี a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 ดังนั้น a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 แล้ว a (x 1 − x 2)=0 และความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากทั้ง a≠0 และ x 1 − x 2 ≠0 ดังนั้นเราจึงพบความขัดแย้ง ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากของสมการเชิงเส้น a·x+b=0 สำหรับ a≠0

ดังนั้นเราจึงแก้สมการเชิงเส้น a x+b=0 ด้วย a≠0 ผลลัพธ์แรกที่ได้รับในตอนต้นของส่วนย่อยนี้ถือว่าชอบธรรม มีอีกสองตัวที่ตรงตามเงื่อนไข a=0

สำหรับ a=0 สมการเชิงเส้น a·x+b=0 จะกลายเป็น 0·x+b=0 จากสมการนี้และคุณสมบัติของการคูณจำนวนด้วยศูนย์ จะได้ว่าไม่ว่าเราจะแทนค่า x ลงในสมการ 0 x+b=0 เราจะได้ค่าความเท่ากันของตัวเลข b=0 ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเมื่อ b=0 และในกรณีอื่นๆ เมื่อ b≠0 ความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นเท็จ

ดังนั้น สำหรับ a=0 และ b=0 จำนวนใดๆ คือรากของสมการเชิงเส้น a x+b=0 เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การแทนจำนวนใดๆ แทน x จะให้ค่าความเท่ากันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0=0 และสำหรับ a=0 และ b≠0 สมการเชิงเส้น a x+b=0 ไม่มีราก เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การแทนที่จำนวนใดๆ แทน x จะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง b=0

การให้เหตุผลข้างต้นทำให้สามารถสร้างลำดับของการกระทำที่ช่วยให้สามารถแก้สมการเชิงเส้นได้ ดังนั้น, อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นเป็น:

• อันดับแรก โดยการเขียนสมการเชิงเส้น เราจะหาค่าของสัมประสิทธิ์ a และ b
• ถ้า a=0 และ b=0 สมการนี้มีรากมากมายนับไม่ถ้วน กล่าวคือ จำนวนใดๆ เป็นรากของสมการเชิงเส้นนี้
• ถ้า a แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น
• ค่าสัมประสิทธิ์ b ถูกถ่ายโอนไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม ในขณะที่สมการเชิงเส้นถูกแปลงเป็นรูปแบบ a x=−b ,
• หลังจากนั้นทั้งสองส่วนของสมการผลลัพธ์จะถูกหารด้วยเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ a ซึ่งจะให้รากที่ต้องการของสมการเชิงเส้นเดิม

อัลกอริทึมที่เป็นลายลักษณ์อักษรเป็นคำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วนสำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเชิงเส้น

โดยสรุปย่อหน้านี้ ควรกล่าวว่าอัลกอริทึมที่คล้ายกันใช้ในการแก้สมการในรูปแบบ a x=b ความแตกต่างอยู่ที่ว่าเมื่อ a≠0 ทั้งสองส่วนของสมการถูกหารด้วยจำนวนนี้ทันที b จะอยู่ในส่วนที่ต้องการของสมการอยู่แล้วและไม่จำเป็นต้องโอน

ในการแก้สมการในรูปแบบ a x=b ใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ถ้า a=0 และ b=0 สมการนั้นมีรากจำนวนมากเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ
• ถ้า a=0 และ b≠0 สมการเดิมจะไม่มีราก
• หาก a ไม่เป็นศูนย์ ทั้งสองข้างของสมการจะถูกหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a ซึ่งจะพบรากเดียวของสมการที่เท่ากับ b / a

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้น

ไปฝึกกันต่อครับ ให้เราวิเคราะห์ว่ามีการใช้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นอย่างไร ให้เรานำเสนอคำตอบของตัวอย่างทั่วไปที่สอดคล้องกับ ความหมายที่แตกต่างกันค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

แก้สมการเชิงเส้น 0 x−0=0 .

การตัดสินใจ.

ในสมการเชิงเส้นนี้ a=0 และ b=−0 ซึ่งเหมือนกับ b=0 . ดังนั้น สมการนี้มีรากมากมายไม่จำกัด จำนวนใดๆ คือรากของสมการนี้

ตอบ:

x เป็นจำนวนใดๆ

ตัวอย่าง.

สมการเชิงเส้น 0 x+2.7=0 มีคำตอบหรือไม่?

การตัดสินใจ.

ที่ กรณีนี้สัมประสิทธิ์ a เท่ากับศูนย์ และสัมประสิทธิ์ b ของสมการเชิงเส้นนี้เท่ากับ 2.7 นั่นคือมันแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นสมการเชิงเส้นจึงไม่มีราก

สมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหา, ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นไม่ได้ดีที่สุด หัวข้อที่ยาก คณิตศาสตร์ของโรงเรียน. แต่มีเทคนิคบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้กระทั่งนักเรียนที่ได้รับการฝึกฝน เราจะคิดออก?)

สมการเชิงเส้นมักจะถูกกำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบ:

ขวาน + ข = 0 ที่ไหน ก และ ข- ตัวเลขใด ๆ

2x + 7 = 0 ตรงนี้ ก=2, ข=7

0.1x - 2.3 = 0 ตรงนี้ เท่ากับ 0.1, ข=-2.3

12x + 1/2 = 0 ตรงนี้ ก=12, ข=1/2

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตคำ: "โดยที่ a และ b เป็นจำนวนใดๆ"... และถ้าคุณสังเกตเห็น แต่คิดอย่างประมาท?) ท้ายที่สุดถ้า ก=0, ข=0(เป็นตัวเลขอะไรก็ได้?) จากนั้นเราก็ได้สำนวนตลกๆ:

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,ก ข=5,มันกลายเป็นเรื่องที่ไร้สาระมาก:

อะไรที่ทำให้เครียดและบั่นทอนความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ ใช่ ... ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสอบ แต่จากสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีเลย. และที่น่าแปลกใจคือ X นี้หาได้ง่ายมาก เราจะเรียนรู้วิธีการทำ ในบทเรียนนี้

จะรับรู้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร? มันขึ้นอยู่กับอะไร รูปร่าง.) เคล็ดลับคือสมการเชิงเส้นไม่ได้เรียกว่าสมการในรูปแบบเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่ลดขนาดลงเป็นรูปแบบนี้ด้วยการแปลงและการทำให้เข้าใจง่าย แล้วใครจะรู้ว่าลดหรือเปล่า)

สมการเชิงเส้นสามารถรับรู้ได้อย่างชัดเจนในบางกรณี สมมุติว่า ถ้าเรามีสมการที่มีแต่ค่าที่ไม่รู้ในระดับแรก ก็จะเป็นตัวเลข และสมการไม่ได้ เศษส่วนหารด้วย ไม่ทราบ , มันเป็นสิ่งสำคัญ! และหารด้วย ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข - แค่นั้นแหละ! ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนอยู่ที่นี่ แต่ไม่มี x ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x ในตัวส่วน เช่น ไม่ หารด้วย x. และนี่คือสมการ

ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ ตรงนี้ x อยู่ในดีกรีที่ 1 ทั้งหมด แต่มี การหารด้วยนิพจน์ด้วย x. หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายและการแปลงแล้ว คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ

ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะหาสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนจนกว่าคุณจะแก้มันได้เกือบหมด มันทำให้อารมณ์เสีย แต่ตามกฎแล้วในการมอบหมายงาน พวกเขาจะไม่ถามเกี่ยวกับรูปแบบของสมการใช่ไหม ในงาน จะมีการเรียงลำดับสมการ แก้ปัญหา.แค่นี้ก็ดีใจแล้ว)

คำตอบของสมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

คำตอบทั้งหมดของสมการเชิงเส้นประกอบด้วยการแปลงสมการที่เหมือนกัน ยังไงก็ตาม การแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) อยู่ภายใต้การแก้ปัญหา สมการคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งการตัดสินใจ ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการแปลงเดียวกันนี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น สมการนั้น (คำตอบ) ของการแปลงเหล่านี้จะจบลงด้วยคำตอบที่สมบูรณ์ เข้าท่าตามลิงค์เลยใช่ไหมล่ะ) นอกจากนั้นยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้น

เริ่มจากตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้

x - 3 = 2 - 4x

นี่คือสมการเชิงเส้น Xs ล้วนยกกำลังหนึ่ง ไม่มีการหารด้วย X แต่จริงๆ แล้ว เราไม่สนใจว่าสมการคืออะไร เราต้องแก้ปัญหาให้ได้ โครงร่างที่นี่เรียบง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มี x ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกอย่างที่ไม่มี x (ตัวเลข) ทางด้านขวา

ในการทำเช่นนี้คุณต้องโอน - 4x ไปทางซ้ายพร้อมเครื่องหมายเปลี่ยนแน่นอน แต่ - 3 - ไปทางขวา. อย่างไรก็ตามนี่คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ดังนั้นพวกเขาไม่ได้ไปตามลิงค์ แต่เปล่าประโยชน์ ... ) เราได้รับ:

x + 4x = 2 + 3

เราให้สิ่งที่คล้ายกัน เราพิจารณา:

เราขาดอะไรไป ความสุขสมบูรณ์? ใช่เพื่อให้มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้าย! ห้าเข้ามาขวางทาง กำจัดห้าด้วย การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งที่สองกล่าวคือ เราหารทั้งสองส่วนของสมการด้วย 5 เราได้คำตอบสำเร็จรูป:

แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างเบื้องต้น นี่เป็นการอุ่นเครื่อง) ไม่ชัดเจนว่าทำไมฉันถึงจำการแปลงที่เหมือนกันได้ที่นี่? ตกลง. เราจับวัวด้วยเขา) มาตัดสินใจสิ่งที่น่าประทับใจกว่านี้กันเถอะ

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการนี้:

เราจะเริ่มต้นที่ไหน ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? อาจเป็นเช่นนั้น ในขั้นตอนเล็กๆ ถนนยาว. และคุณสามารถทำได้ในทันทีด้วยวิธีที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าในคลังแสงของคุณจะมีการแปลงสมการที่เหมือนกัน

ฉันถามคุณ คำถามสำคัญ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดในสมการนี้

95 คนจาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน ! คำตอบคือถูกต้อง ดังนั้นมากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การแปลงที่เหมือนกันครั้งที่สอง. คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรเพื่อให้ตัวส่วนลดลงอย่างสมบูรณ์ ถูกต้อง 3. และด้านขวา? ด้วย 4 แต่คณิตศาสตร์ให้เราคูณทั้งสองข้างด้วย หมายเลขเดียวกัน. เราจะออกไปได้อย่างไร? มาคูณทั้งสองข้างด้วย 12 กันเถอะ! เหล่านั้น. บน ตัวส่วนร่วม. จากนั้นสามจะลดลงและสี่ อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน โดยสิ้นเชิง. นี่คือลักษณะของขั้นตอนแรก:

การขยายวงเล็บ:

บันทึก! เศษ (x+2)ฉันใส่วงเล็บ! เนื่องจากเมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษจะคูณด้วยจำนวนทั้งหมด! และตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนและลด:

เปิดวงเล็บที่เหลือ:

ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่ยินดีอย่างยิ่ง!) ตอนนี้เราจำคาถาได้จาก เกรดต่ำกว่า: ด้วย x - ไปทางซ้ายโดยไม่มี x - ไปทางขวา!และใช้การแปลงนี้:

นี่คือบางอย่างเช่น:

และเราหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงที่สองอีกครั้ง:

นั่นคือทั้งหมด ตอบ: เอ็กซ์=0,16

รับทราบ: เพื่อนำสมการที่สับสนดั้งเดิมมาสู่รูปแบบที่น่าพึงพอใจ เราใช้สองอัน (เพียงสองอันเท่านั้น!) การแปลงที่เหมือนกัน- แปลจากซ้าย-ขวาพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมายและคูณ-หารสมการด้วยเลขเดียวกัน มัน วิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ ใดๆ สมการ! อย่างใด นั่นคือเหตุผลที่ฉันทำซ้ำการแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้ตลอดเวลา)

อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นด้วย การแปลงที่เหมือนกันก่อนจะได้รับคำตอบ ปัญหาหลักที่นี่อยู่ในการคำนวณไม่ใช่ในหลักการของการแก้ปัญหา

แต่ ... มีความประหลาดใจเช่นนี้ในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นที่พวกเขาสามารถนำไปสู่อาการมึนงงอย่างรุนแรง ... ) โชคดีที่มีเพียงสองสิ่งที่น่าประหลาดใจเท่านั้น ขอเรียกว่าเป็นกรณีพิเศษ

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

เซอร์ไพรส์ก่อนเลย

สมมติว่าคุณได้รับ สมการเบื้องต้น, สิ่งที่ต้องการ:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

เบื่อเล็กน้อยเราถ่ายโอนด้วย X ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา ... ด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายทุกอย่างคือ chin-chinar ... เราได้รับ:

2x-5x+3x=5-2-3

เราเชื่อและ ... โอ้! เราได้รับ:

ในตัวของมันเอง ความเสมอภาคนี้ไม่เป็นที่รังเกียจ ศูนย์เป็นศูนย์จริงๆ แต่ X หายไป! และเราต้องเขียนตอบไปว่า x เท่ากับอะไรไม่งั้นไม่นับเฉลย ใช่...) ทางตัน?

ความสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัยเช่นนั้นกฎทั่วไปจะบันทึกไว้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร มันหมายความว่า ค้นหาค่า x ทั้งหมดที่เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิมจะทำให้เราได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แต่เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง แล้วเกิดขึ้น! 0=0 จริงที่ไหน! มันยังคงต้องหาว่า x นี่ได้อะไรมา แทนค่า x ลงในค่าใดได้บ้าง ต้นฉบับสมการถ้า x พวกนี้ ยังหดตัวเป็นศูนย์?มาเร็ว?)

ใช่!!! Xs ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอะไร. อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อลองดูก็ได้) แทนค่า x ใดๆเข้าไป ต้นฉบับสมการและคำนวณ ตลอดเวลาจะได้รับความจริงอันบริสุทธิ์: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ไปเรื่อยๆ

นี่คือคำตอบของคุณ: x เป็นจำนวนใดๆ

คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและสมบูรณ์

เซอร์ไพรส์วินาที

ลองใช้สมการเชิงเส้นมูลฐานเดียวกันแล้วเปลี่ยนเพียงตัวเลขเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

หลังจากการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน เราได้รับบางสิ่งที่น่าสนใจ:

แบบนี้. แก้สมการเชิงเส้น ได้ความเท่าเทียมกันแปลกๆ การพูด ภาษาคณิตศาสตร์เราได้ ความเท่าเทียมที่ไม่ถูกต้องและการพูด ภาษาธรรมดา, นี่ไม่เป็นความจริง. คลั่ง แต่ถึงกระนั้น เรื่องไร้สาระนี้ก็ค่อนข้างเป็นเหตุผลที่ดี การตัดสินใจที่ถูกต้องสมการ)

อีกครั้งเราคิดจาก กฎทั่วไป. เมื่อแทนค่า x ลงในสมการเดิม จะให้ค่าอะไรแก่เรา ถูกต้องความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มี xes ดังกล่าว อะไรมาแทนก็ลดลงหมด ความไร้สาระ ก็จะยังคงอยู่)

นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีทางแก้ไข

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์เช่นกัน ในทางคณิตศาสตร์ คำตอบดังกล่าวมักเกิดขึ้น

แบบนี้. ตอนนี้ฉันหวังว่าการสูญเสีย Xs ในกระบวนการแก้สมการใด ๆ (ไม่ใช่เฉพาะเชิงเส้น) จะไม่รบกวนคุณเลย เรื่องนี้เป็นเรื่องที่คุ้นเคย)

ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้ได้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ: สมการเชิงเส้นคืออะไรและสมการใดที่ควรเรียกว่าง่ายที่สุด

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและมีดีกรีที่หนึ่งเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. วงเล็บเปิดถ้ามี
2. ย้ายเงื่อนไขที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเงื่อนไขที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. ตะกั่ว เช่นข้อกำหนดทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือ บางครั้งหลังจากกลไกทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ กลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณได้รับ $0\cdot x=8$ นั่นคือ ด้านซ้ายเป็นศูนย์ และด้านขวาเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. คำตอบคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการถูกลดทอนเป็นโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างมีเหตุผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไร มันจะยังคงกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น แก้ไขความเท่าเทียมกันของตัวเลข

ทีนี้มาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับตัวอย่างของปัญหาจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เราจัดการกับสมการเชิงเส้นและเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และสมการนั้นจะมีค่าเท่ากับระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขด้วยวิธีเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่นคุณต้องเปิดวงเล็บถ้ามี (ตามที่เรา ตัวอย่างสุดท้าย);
2. จากนั้นนำสิ่งที่คล้ายกัน
3. สุดท้าย แยกตัวแปร เช่น ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร - เงื่อนไขที่มีอยู่ - จะถูกโอนไปยังด้านหนึ่งและทุกสิ่งที่เหลืออยู่โดยไม่มีตัวแปรจะถูกโอนไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณต้องนำความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นในแต่ละด้านมาคล้ายกันและหลังจากนั้นจะเหลือเพียงการหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ "x" และเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ในทางทฤษฎีแล้ว สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถทำผิดพลาดในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยปกติแล้ว ข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บเหลี่ยมหรือเมื่อนับ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือเพื่อให้คำตอบเป็นเส้นจำนวนทั้งหมด เช่น หมายเลขใดก็ได้ เราจะวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนวันนี้ แต่เราจะเริ่มตามที่คุณเข้าใจแล้วมากที่สุด งานง่ายๆ.

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

เริ่มต้นด้วย ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

1. ขยายวงเล็บ ถ้ามี
2. ตัวแปรแยกเช่น ทุกอย่างที่มี "x" จะถูกโอนไปด้านหนึ่ง และไม่มี "x" - ไปที่อีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ "x"

แน่นอนว่ารูปแบบนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่าง และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

งาน #1

ในขั้นตอนแรก เราต้องเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามไป ขั้นตอนนี้. ในขั้นตอนที่สอง เราต้องแยกตัวแปร บันทึก: เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับแต่ละองค์ประกอบเท่านั้น มาเขียนกันเถอะ:

เราให้คำศัพท์ที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและด้านขวา แต่สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยปัจจัย:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ที่นี่เรามีคำตอบ

งาน #2

ในงานนี้ เราสามารถสังเกตวงเล็บได้ ดังนั้นเรามาขยายกัน:

ทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวาเราจะเห็นโครงสร้างเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมเช่น ตัวแปร sequester:

นี่คือบางอย่างเช่น:

สิ่งนี้ใช้งานได้ที่รากอะไร คำตอบ: สำหรับข้อใด ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า $x$ เป็นจำนวนใดๆ ก็ได้

งาน #3

สมการเชิงเส้นที่สามนั้นน่าสนใจกว่าอยู่แล้ว:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บสองสามอันที่นี่ แต่พวกมันไม่ได้คูณด้วยอะไรเลยพวกมันแค่ยืนอยู่ข้างหน้าพวกมัน ป้ายต่างๆ. มาทำลายมันกันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนที่สองที่เรารู้จักแล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาคำนวณกัน:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - เราหารทุกอย่างด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

ข้อควรจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานที่ง่ายเกินไป ฉันอยากจะพูดต่อไปนี้:

• ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ไม่ใช่สมการเชิงเส้นทุกสมการที่มีคำตอบ - บางครั้งก็ไม่มีราก
• แม้ว่าจะมีราก แต่ศูนย์ก็สามารถเข้าไปอยู่ในกลุ่มนั้นได้ - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นจำนวนเดียวกับที่เหลือ คุณไม่ควรแยกแยะหรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์แสดงว่าคุณทำอะไรผิด

คุณลักษณะอื่นเกี่ยวข้องกับการขยายวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บ เราจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม. จากนั้นเราสามารถเปิดได้ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

ความเข้าใจนี้ ความจริงง่ายๆจะป้องกันไม่ให้คุณทำผิดพลาดโง่ ๆ และเจ็บปวดในโรงเรียนมัธยมเมื่อทำสิ่งเหล่านี้โดยไม่ได้รับอนุญาต

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

มาดูกันต่อดีกว่า สมการที่ซับซ้อน. ตอนนี้โครงสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้นเมื่อทำการแปลงต่างๆ อย่างไรก็ตามคุณไม่ควรกลัวสิ่งนี้เพราะหากเราแก้สมการเชิงเส้นตามความตั้งใจของผู้เขียนแล้วในกระบวนการแปลงหน่วย monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องลดลง

ตัวอย่าง #1

แน่นอน ขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บ มาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ขอความเป็นส่วนตัว:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางอย่างเช่น:

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นในคำตอบเราจึงเขียนดังนี้:

\[\ความหลากหลาย \]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่าง #2

เราทำตามขั้นตอนเดียวกัน ขั้นแรก:

ย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

นี่คือบางอย่างเช่น:

แน่นอน สมการเชิงเส้นนี้ไม่มีคำตอบ เราจึงเขียนแบบนี้:

\[\varnothing\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองถูกแก้ไขอย่างสมบูรณ์ ในตัวอย่างของนิพจน์ทั้งสองนี้ เราตรวจสอบอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกสิ่งต้องไม่ง่ายนัก: สามารถมีอย่างใดอย่างหนึ่งหรือไม่มีเลย หรือมากมายอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ โดยทั้งสองสมการไม่มีราก

แต่ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงอื่น: วิธีการทำงานกับวงเล็บเหลี่ยมและวิธีขยายหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "x" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม. ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการแปลงที่ดูเหมือนเบื้องต้น แต่ที่สำคัญและอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว วงเล็บสามารถเปิดได้จากมุมมองที่มีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหลังหรือไม่ ใช่ ใช่ ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างด้านล่างเปลี่ยนเครื่องหมายเท่านั้น ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กน้อยที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการเป็นลำดับเสมอ การแปลงเบื้องต้นที่ไม่สามารถแสดงความสามารถได้อย่างชัดเจน ขั้นตอนง่ายๆนำไปสู่การที่นักเรียนมัธยมมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่าย ๆ อีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณฝึกฝนทักษะเหล่านี้ให้เป็นอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการแปลงมากมายในแต่ละครั้ง คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนมากยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

งาน #1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาพักผ่อนกันเถอะ:

นี่คือบางอย่างเช่น:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายกัน:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้โจทย์เรามีสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกำลังสอง แต่พวกมันกลับตัดกัน ซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นเส้นตรง ไม่ใช่กำลังสอง

งาน #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกอย่างระมัดระวัง: คูณทุกองค์ประกอบในวงเล็บแรกด้วยทุกองค์ประกอบในวงเล็บที่สอง โดยรวมแล้วควรได้รับคำศัพท์ใหม่สี่คำหลังจากการแปลง:

และตอนนี้ทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "x" ไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

นี่คือคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบที่ชัดเจน

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

ข้อสังเกตที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้คือ: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งพจน์ การดำเนินการนี้จะเป็นไปตามกฎต่อไปนี้: เรานำพจน์แรกจากพจน์แรกมาคูณกับแต่ละองค์ประกอบ จากวินาที; จากนั้นเรานำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกมาคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากองค์ประกอบที่สองในทำนองเดียวกัน เป็นผลให้เราได้รับสี่เงื่อนไข

เกี่ยวกับผลรวมเชิงพีชคณิต

ในตัวอย่างสุดท้าย ฉันต้องการเตือนนักเรียนว่าคืออะไร ผลรวมเชิงพีชคณิต. ในคณิตศาสตร์คลาสสิก $1-7$ หมายถึงการสร้างอย่างง่าย: เราลบเจ็ดออกจากหนึ่ง ในพีชคณิต เราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: เราเพิ่มจำนวนอื่นคือ "ลบเจ็ด" ไปยังหมายเลข "หนึ่ง" ผลรวมเชิงพีชคณิตนี้แตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่ดำเนินการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณจะเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

โดยสรุป เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ เราจะต้องขยายอัลกอริทึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว จะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนในอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันจะเตือนอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. นำที่คล้ายกัน
4. หารด้วยตัวประกอบ

อนิจจา อัลกอริทึมที่ยอดเยี่ยมนี้สำหรับประสิทธิภาพทั้งหมดนั้นไม่เหมาะสมอย่างยิ่งเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ข้างหน้าเรา และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่าง เรามีเศษส่วนทางซ้ายและทางขวาในทั้งสองสมการ

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนในอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนการกระทำแรกและหลังจากนั้นคือเพื่อกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน
2. เปิดวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. นำที่คล้ายกัน
5. หารด้วยตัวประกอบ

"กำจัดเศษส่วน" หมายความว่าอย่างไร และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังขั้นตอนมาตรฐานแรก ในความเป็นจริง ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวเลขในรูปของตัวส่วน เช่น ทุกที่ที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองส่วนของสมการด้วยตัวเลขนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนได้

ตัวอย่าง #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

มากำจัดเศษส่วนในสมการนี้กัน:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot สี่\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองอันไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละอันด้วย "สี่" มาเขียนกันเถอะ:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้มาเปิดกันเถอะ:

เราทำการแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้ การตัดสินใจครั้งสุดท้ายเราผ่านไปยังสมการที่สอง

ตัวอย่าง #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำสิ่งเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

แก้ไขปัญหา.

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ผลการวิจัยที่สำคัญมีดังนี้:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• ไม่ต้องกังวลหากคุณมีที่ไหนสักแห่ง ฟังก์ชันกำลังสองเป็นไปได้มากว่าในกระบวนการเปลี่ยนแปลงต่อไป พวกเขาจะลดลง
• รากในสมการเชิงเส้น แม้แต่แบบที่ง่ายที่สุดก็มีสามประเภท: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดเป็นราก ไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อง่ายๆ แต่สำคัญมากสำหรับความเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ทั้งหมด หากมีสิ่งใดไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์ แก้ไขตัวอย่างที่แสดงที่นั่น คอยติดตามมีสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!