การแก้ระบบสมการสมมาตร สมการสมมาตร สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

การแนะนำ

ความสมมาตร... เป็นแนวคิดที่มนุษย์พยายามมานานหลายศตวรรษเพื่อทำความเข้าใจและสร้างระเบียบ ความงาม และความสมบูรณ์แบบ

แนวคิดเรื่องความสมมาตรดำเนินไปตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษย์ มันถูกค้นพบแล้วที่ต้นกำเนิดของความรู้ของมนุษย์ มันเกิดขึ้นจากการศึกษาเกี่ยวกับสิ่งมีชีวิต กล่าวคือ มนุษย์ และถูกใช้โดยช่างแกะสลักย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช จ.
คำว่า "สมมาตร" เป็นภาษากรีก มันหมายถึง "ความเป็นสัดส่วน", "ความเป็นสัดส่วน", ความสม่ำเสมอในการจัดเรียงชิ้นส่วน มันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในทุกสาขาของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยไม่มีข้อยกเว้น
ผู้ยิ่งใหญ่หลายคนคิดเกี่ยวกับรูปแบบนี้ ตัวอย่างเช่น L.N. Tolstoy กล่าวว่า: “เมื่อยืนอยู่หน้ากระดานดำและวาดรูปต่างๆ ด้วยชอล์ก ฉันก็เกิดความคิดขึ้นมา: เหตุใดความสมมาตรจึงมองเห็นได้ชัดเจน? สมมาตรคืออะไร? มันเป็นความรู้สึกโดยกำเนิด มันมีพื้นฐานมาจากอะไร?”
แน่นอนว่าความสมมาตรนั้นน่าพึงพอใจ ใครบ้างที่ไม่เคยชื่นชมความสมมาตรแห่งการสร้างสรรค์ของธรรมชาติ ทั้งใบไม้ ดอกไม้ นก สัตว์ต่างๆ หรือการสร้างสรรค์ของมนุษย์: อาคาร เทคโนโลยี - ทุกสิ่งที่อยู่รอบตัวเราตั้งแต่วัยเด็ก ทุกสิ่งที่มุ่งมั่นเพื่อความสวยงามและความสามัคคี
สมมาตร (กรีกโบราณ συμμετρία - "สัดส่วน") ในแง่กว้าง - ไม่เปลี่ยนรูปภายใต้การเปลี่ยนแปลงใด ๆ ตัวอย่างเช่น ความสมมาตรทรงกลมของร่างกายหมายความว่ารูปลักษณ์ของร่างกายจะไม่เปลี่ยนแปลงหากถูกหมุนในอวกาศในมุมที่กำหนด (โดยคงจุดหนึ่งไว้กับที่) ความสมมาตรทวิภาคีหมายความว่าด้านขวาและด้านซ้ายของเครื่องบินมีลักษณะเหมือนกัน
เราพบกับความสมมาตรทุกที่ ไม่ว่าจะเป็นในธรรมชาติ เทคโนโลยี ศิลปะ วิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่นให้เราสังเกตลักษณะสมมาตรของผีเสื้อและใบเมเปิ้ลความสมมาตรของรถยนต์และเครื่องบินความสมมาตรในโครงสร้างจังหวะของบทกวีและวลีดนตรีความสมมาตรของเครื่องประดับและเส้นขอบความสมมาตร โครงสร้างอะตอมของโมเลกุลและคริสตัล แนวคิดเรื่องความสมมาตรดำเนินไปตลอดประวัติศาสตร์ความคิดสร้างสรรค์ของมนุษย์ที่มีมายาวนานหลายศตวรรษ มันถูกค้นพบแล้วที่ต้นกำเนิดของความรู้ของมนุษย์ มันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในทุกสาขาของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยไม่มีข้อยกเว้น หลักการของสมมาตรมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เคมีและชีววิทยา เทคโนโลยีและสถาปัตยกรรม จิตรกรรมและประติมากรรม กวีนิพนธ์และดนตรี กฎแห่งธรรมชาติที่ควบคุมภาพปรากฏการณ์ที่ไม่สิ้นสุดในความหลากหลายของปรากฏการณ์นั้น ในทางกลับกัน จะขึ้นอยู่กับหลักการของความสมมาตร

เป้าหมาย:

พิจารณาประเภทและประเภทของสมมาตร

วิเคราะห์วิธีการและตำแหน่งที่ใช้สมมาตร

พิจารณาว่ามีการใช้ความสมมาตรในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนอย่างไร

สมมาตร.
คำว่า "สมมาตร" มีการตีความแบบคู่ ในแง่หนึ่ง ความสมมาตรหมายถึงบางสิ่งที่มีสัดส่วนและสมดุลมาก ความสมมาตรแสดงวิธีการประสานส่วนต่างๆ เข้าด้วยกัน โดยนำส่วนต่างๆ มารวมกันเป็นชิ้นเดียว ความหมายที่สองของคำนี้คือความสมดุล อริสโตเติลยังกล่าวถึงความสมมาตรในฐานะสภาวะที่มีลักษณะเฉพาะด้วยความสัมพันธ์แบบสุดขั้ว จากคำกล่าวนี้ เป็นไปตามที่อริสโตเติลอาจใกล้เคียงที่สุดกับการค้นพบกฎพื้นฐานประการหนึ่งของธรรมชาติ นั่นก็คือ กฎแห่งความเป็นคู่ของมัน
มีความจำเป็นต้องเน้นประเด็นต่างๆ โดยที่ความสมมาตรเป็นไปไม่ได้:
1) วัตถุนั้นเป็นผู้ถือความสมมาตร สิ่งของ กระบวนการ รูปทรงเรขาคณิต นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ สิ่งมีชีวิต ฯลฯ สามารถทำหน้าที่เป็นวัตถุสมมาตรได้

2) คุณลักษณะบางอย่าง เช่น ปริมาณ คุณสมบัติ ความสัมพันธ์ กระบวนการ ปรากฏการณ์ ของวัตถุ ซึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลงสมมาตร พวกมันถูกเรียกว่าค่าคงที่หรือค่าคงที่

3) การเปลี่ยนแปลง (ของวัตถุ) ซึ่งทำให้วัตถุนั้นเหมือนกันกับตัวมันเองตามลักษณะที่ไม่แปรเปลี่ยน การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการแปลงสมมาตร

4) คุณสมบัติของวัตถุที่จะแปลงเป็นตัวเองหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันตามคุณลักษณะที่เลือก

ดังนั้น ความสมมาตรจึงเป็นการแสดงออกถึงการเก็บรักษาบางสิ่งบางอย่างแม้จะมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง หรือการเก็บรักษาบางสิ่งบางอย่างแม้จะมีการเปลี่ยนแปลงก็ตาม สมมาตรสันนิษฐานถึงความคงที่ไม่เพียงแต่ของวัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงคุณสมบัติใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงที่ทำกับวัตถุด้วย ความไม่เปลี่ยนรูปของวัตถุบางอย่างสามารถสังเกตได้จากการดำเนินการต่างๆ - การหมุน, การแปล, การเปลี่ยนชิ้นส่วนร่วมกัน, การสะท้อนกลับ ฯลฯ ในเรื่องนี้มีความโดดเด่นของความสมมาตรประเภทต่างๆ

ความไม่สมมาตร

ความไม่สมมาตรคือการไม่มีหรือละเมิดความสมมาตร
ในสถาปัตยกรรม ความสมมาตรและความไม่สมมาตรเป็นสองวิธีที่ขัดแย้งกันของการจัดรูปแบบเชิงพื้นที่ตามปกติ องค์ประกอบที่ไม่สมมาตรในกระบวนการพัฒนาสถาปัตยกรรมเกิดขึ้นเนื่องจากเป็นศูนย์รวมของการผสมผสานที่ซับซ้อนของกระบวนการชีวิตและสภาพแวดล้อม

ความไม่สมมาตร

เราเรียกว่าสมมาตรที่แตกหักและไม่พอใจบางส่วน ความไม่สมมาตร .
ความไม่สมมาตรเป็นปรากฏการณ์ที่แพร่หลายในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิต มันเป็นเรื่องปกติสำหรับมนุษย์เช่นกัน บุคคลนั้นไม่สมมาตรแม้ว่าโครงร่างของร่างกายของเขาจะมีระนาบสมมาตรก็ตาม ความไม่สมมาตรส่งผลกระทบต่อ
ควบคุมมือข้างหนึ่งได้ดีขึ้นในการจัดเรียงหัวใจและอวัยวะอื่น ๆ ที่ไม่สมมาตรในโครงสร้างของอวัยวะเหล่านี้
ความไม่สมมาตรของร่างกายมนุษย์มีความคล้ายคลึงกับการเบี่ยงเบนจากความสมมาตรที่แน่นอนในสถาปัตยกรรม โดยปกติแล้วจะมีสาเหตุมาจากความจำเป็นในทางปฏิบัติ โดยข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันที่หลากหลายไม่พอดีกับขอบเขตของกฎสมมาตรที่เข้มงวด บางครั้งการเบี่ยงเบนดังกล่าวเป็นพื้นฐานของผลกระทบทางอารมณ์ที่รุนแรง

↑ ประเภทของสมมาตรที่พบในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์:

สมมาตรทวิภาคี- สมมาตรการสะท้อนของกระจก ซึ่งวัตถุมีระนาบสมมาตรหนึ่งระนาบ สัมพันธ์กับที่ทั้งสองซีกของวัตถุมีความสมมาตรของกระจก ในสัตว์ ความสมมาตรทวิภาคีปรากฏให้เห็นในความคล้ายคลึงหรือเอกลักษณ์ที่เกือบจะสมบูรณ์ของครึ่งซ้ายและขวาของร่างกาย ในกรณีนี้ มีการเบี่ยงเบนแบบสุ่มจากความสมมาตรอยู่เสมอ (เช่น ความแตกต่างในเส้น papillary การแตกแขนงของหลอดเลือด บ่อยครั้งมีความแตกต่างเล็กน้อยแต่เป็นธรรมชาติในโครงสร้างภายนอก และความแตกต่างที่สำคัญระหว่างครึ่งด้านขวาและด้านซ้ายของร่างกายใน การจัดเรียงอวัยวะภายใน เช่น หัวใจในสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมมักจะวางไม่สมมาตรโดยเลื่อนไปทางซ้าย

ในสัตว์การปรากฏตัวของความสมมาตรทวิภาคีในวิวัฒนาการเกี่ยวข้องกับการคลานไปตามพื้นผิว (ตามด้านล่างของอ่างเก็บน้ำ) เนื่องจากด้านหลังและหน้าท้องรวมถึงครึ่งขวาและซ้ายของร่างกายปรากฏขึ้น โดยทั่วไปแล้ว ในบรรดาสัตว์ ความสมมาตรแบบทวิภาคีจะเด่นชัดกว่าในรูปแบบที่เคลื่อนที่ได้ดีกว่าในพืช โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่สิ่งมีชีวิตทั้งหมดที่มีความสมมาตรแบบทวิภาคี แต่แต่ละส่วน - ใบไม้หรือดอกไม้ นักพฤกษศาสตร์เรียกดอกไม้ที่มีสมมาตรทั้งสองข้างว่าไซโกมอร์ฟิก

^สมมาตรลำดับที่ N- ความสมมาตรด้วยความเคารพต่อการหมุนผ่านมุม 360°/n รอบแกนใดๆ อธิบายโดยกลุ่ม Zn

สมมาตรตามแนวแกน(สมมาตรแนวรัศมี, สมมาตรลำแสง) - รูปแบบของสมมาตรที่ร่างกาย (หรือรูปร่าง) เกิดขึ้นพร้อมกันเมื่อวัตถุหมุนรอบจุดหรือเส้นบางจุด บ่อยครั้งจุดนี้เกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์กลางของความสมมาตรของวัตถุ ซึ่งก็คือจุดที่นั่นเอง
แกนสมมาตรทวิภาคีจำนวนอนันต์ตัดกัน วัตถุทางเรขาคณิต เช่น วงกลม ทรงกลม ทรงกระบอก หรือกรวย มีความสมมาตรในแนวรัศมี อธิบายโดยกลุ่ม SO(2)

↑ สมมาตรทรงกลม- ความสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการหมุนในพื้นที่สามมิติในมุมใดก็ได้ อธิบายโดยกลุ่ม SO(3) ความสมมาตรทรงกลมเฉพาะที่ของอวกาศหรือตัวกลางเรียกอีกอย่างว่าไอโซโทรปี

↑ สมมาตรแบบหมุน- คำที่หมายถึงความสมมาตรของวัตถุโดยคำนึงถึงการหมุนที่เหมาะสมของปริภูมิยูคลิดมิติ m

↑ ความสมมาตรในสัตว์และมนุษย์

ความสมมาตรเป็นคุณลักษณะสำคัญที่สะท้อนถึงลักษณะของโครงสร้าง วิถีชีวิต และพฤติกรรมของสัตว์ รูปร่างสมมาตรเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับปลาที่จะว่ายน้ำ นกที่จะบิน ดังนั้นความสมมาตรในธรรมชาติจึงดำรงอยู่ด้วยเหตุผล: มันก็มีประโยชน์เช่นกัน หรืออีกนัยหนึ่งคือ สมควร ในทางชีววิทยา ศูนย์กลางของความสมมาตรมี: ดอกไม้ แมงกะพรุน ปลาดาว ฯลฯ การปรากฏตัวของรูปแบบสมมาตรสามารถตรวจสอบได้ในเซลล์เดียวที่ง่ายที่สุด (ciliates, อะมีบา) ร่างกายมนุษย์ถูกสร้างขึ้นบนหลักการของทวิภาคี สมมาตร. สมองแบ่งออกเป็นสองซีก เพื่อให้สอดคล้องกับความสมมาตรทั่วไปของร่างกายมนุษย์ แต่ละซีกโลกจึงแทบจะเป็นภาพสะท้อนในกระจกของอีกซีกโลกหนึ่ง การควบคุมการเคลื่อนไหวพื้นฐานของร่างกายมนุษย์และการทำงานของประสาทสัมผัสนั้นมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันระหว่างสมองซีกโลกทั้งสอง ซีกซ้ายควบคุมสมองซีกขวา และซีกขวาควบคุมซีกซ้าย การศึกษาพบว่าใบหน้าที่สมมาตรดูน่าดึงดูดยิ่งขึ้น นักวิจัยยังอ้างว่าใบหน้าที่มีสัดส่วนที่เหมาะสมเป็นสัญญาณว่าร่างกายของเจ้าของพร้อมที่จะต่อสู้กับการติดเชื้อ โรคหวัด หอบหืด และไข้หวัดใหญ่มีแนวโน้มที่จะดีขึ้นในผู้ที่มีด้านซ้ายเหมือนกับด้านขวาทุกประการ และตามกฎแล้วคนในเสื้อผ้าก็พยายามรักษาความรู้สึกสมมาตร: แขนเสื้อขวาตรงกับด้านซ้ายขากางเกงขวาตรงกับด้านซ้าย กระดุมบนแจ็คเก็ตและเสื้อเชิ้ตอยู่ตรงกลางพอดี และหากหลุดออกจากกระดุมก็จะอยู่ในระยะที่สมมาตร และในเวลาเดียวกันบางครั้งคน ๆ หนึ่งพยายามเน้นและเสริมสร้างความแตกต่างระหว่างซ้ายและขวา ในยุคกลาง ผู้ชายครั้งหนึ่งสวมกางเกงขายาวที่มีขาสีต่างกัน (เช่น ข้างหนึ่งสีแดงและอีกข้างหนึ่งเป็นสีดำหรือขาว) แต่
แฟชั่นดังกล่าวมีอายุสั้นเสมอ การเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากความสมมาตรที่มีไหวพริบและไหวพริบเท่านั้นยังคงอยู่เป็นเวลานาน

ความสมมาตรในงานศิลปะ

ความสมมาตรในงานศิลปะโดยทั่วไปและโดยเฉพาะในวิจิตรศิลป์มีต้นกำเนิดในความเป็นจริงซึ่งประกอบไปด้วยรูปแบบที่จัดเรียงอย่างสมมาตร
การจัดองค์ประกอบภาพอย่างสมมาตรมีลักษณะเฉพาะด้วยความสมดุลของส่วนต่างๆ ทั้งในด้านมวล โทนสี สี และรูปทรง ในกรณีเช่นนี้ ส่วนหนึ่งแทบจะเป็นภาพสะท้อนของอีกส่วนหนึ่ง องค์ประกอบแบบสมมาตรส่วนใหญ่มักมีจุดศูนย์กลางที่เด่นชัด ตามกฎแล้วมันจะเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตของระนาบภาพ หากจุดที่หายไปถูกเลื่อนจากจุดศูนย์กลาง ชิ้นส่วนส่วนหนึ่งจะเต็มไปด้วยมวลมากกว่า หรือภาพถูกสร้างขึ้นในแนวทแยง ทั้งหมดนี้จะทำให้องค์ประกอบภาพมีความไดนามิก และขัดขวางความสมดุลในอุดมคติในระดับหนึ่ง
กฎแห่งความสมมาตรยังใช้โดยช่างแกะสลักของกรีกโบราณ ตัวอย่างคือองค์ประกอบของหน้าจั่วด้านตะวันตกของวิหารซุสและโอลิมเปีย มีพื้นฐานมาจากการต่อสู้ของชาวลาพิธ (กรีก) กับเซนทอร์ต่อหน้าเทพเจ้าอพอลโล การเคลื่อนไหวจะค่อยๆ เข้มข้นขึ้นจากขอบไปจนถึงตรงกลาง มันแสดงอารมณ์ได้อย่างสูงสุดในรูปของชายหนุ่มสองคนที่เหวี่ยงไปที่เซนทอร์ การเคลื่อนไหวที่เพิ่มมากขึ้นดูเหมือนจะหยุดลงทันทีที่เข้าใกล้ร่างของอพอลโล โดยยืนอย่างสงบและสง่าผ่าเผยตรงกลางหน้าจั่ว
แนวคิดเกี่ยวกับผลงานที่สูญหายของจิตรกรชื่อดังในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช จ. สามารถรวบรวมได้จากภาพวาดแจกันโบราณและจิตรกรรมฝาผนังปอมเปอี ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจตามที่นักวิจัยเชื่อจากผลงานของปรมาจารย์ชาวกรีกในยุคคลาสสิก...
การประพันธ์แบบสมมาตรยังพบเห็นได้ในหมู่ปรมาจารย์ชาวกรีกในศตวรรษที่ 4-3 ก่อนคริสต์ศักราช จ. สิ่งนี้สามารถตัดสินได้จากสำเนาของจิตรกรรมฝาผนัง ในจิตรกรรมฝาผนังปอมเปอี ตัวเลขหลักอยู่ตรงกลางขององค์ประกอบเสี้ยมซึ่งมีลักษณะสมมาตร
ศิลปินมักหันไปใช้กฎแห่งความสมมาตรเมื่อวาดภาพการประชุมที่มีผู้คนหนาแน่น ขบวนพาเหรด การประชุมในห้องโถงขนาดใหญ่ ฯลฯ
ศิลปินในยุคเรอเนซองส์ตอนต้นให้ความสนใจอย่างมากกับกฎแห่งความสมมาตร โดยมีหลักฐานจากการวาดภาพขนาดใหญ่ (เช่น จิตรกรรมฝาผนังของจิออตโต) ในช่วงยุคเรอเนซองส์สูง องค์ประกอบของอิตาลีมีความสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่นในภาพวาด "St. Anne กับ Mary and the Child Christ" Leonardo da Vinci จัดเรียงร่างสามร่างเป็นรูปสามเหลี่ยมชี้ขึ้น ที่มุมขวาล่างเขามอบตุ๊กตาแกะที่ถือโดยพระคริสต์องค์น้อย ทุกอย่างถูกจัดเรียงในลักษณะที่สามารถเดาสามเหลี่ยมนี้ได้ภายใต้กลุ่มตัวเลขเชิงปริมาตรและเชิงพื้นที่เท่านั้น
The Last Supper โดย Leonardo da Vinci สามารถเรียกได้ว่าเป็นองค์ประกอบที่สมมาตร ภาพปูนเปียกนี้แสดงช่วงเวลาที่น่าทึ่งเมื่อ
พระคริสต์ตรัสกับเหล่าสาวกของพระองค์ว่า “คนหนึ่งในพวกท่านจะทรยศเรา” ปฏิกิริยาทางจิตวิทยาของอัครสาวกต่อคำทำนายเหล่านี้เชื่อมโยงตัวละครกับศูนย์กลางการเรียบเรียงซึ่งมีรูปของพระคริสต์ตั้งอยู่ ความรู้สึกถึงความซื่อสัตย์จากการจัดองค์ประกอบแบบศูนย์กลางนี้ได้รับการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นไปอีกโดยข้อเท็จจริงที่ว่าศิลปินได้แสดงโรงอาหารในมุมมองโดยมีจุดที่เส้นคู่ขนานหายไปตรงกลางหน้าต่าง ซึ่งเป็นภาพศีรษะของพระคริสต์ที่วาดไว้อย่างชัดเจน ดังนั้นการจ้องมองของผู้ชมจึงมุ่งไปที่บุคคลสำคัญของภาพโดยไม่ได้ตั้งใจ
ในบรรดาผลงานที่แสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของความสมมาตร เราสามารถตั้งชื่อผลงานว่า "Betrothal of Mary" ของราฟาเอลได้ ซึ่งเทคนิคการจัดองค์ประกอบภาพในยุคเรอเนซองส์พบว่ามีการแสดงออกที่สมบูรณ์แบบที่สุด
ภาพวาดของ V. M. Vasnetsov“ Bogatyrs” นั้นถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของกฎแห่งความสมมาตรเช่นกัน ศูนย์กลางขององค์ประกอบคือร่างของ Ilya Muromets ไปทางซ้ายและขวาราวกับอยู่ในภาพสะท้อนในกระจกคือ Alyosha Popovich และ Dobrynya Nikitich ร่างเหล่านั้นตั้งอยู่ตามระนาบภาพ นั่งอย่างสงบบนหลังม้า โครงสร้างองค์ประกอบที่สมมาตรบ่งบอกถึงสภาวะความสงบสุข ตัวเลขด้านซ้ายและขวามีมวลไม่เท่ากันอันเนื่องมาจากแผนอุดมการณ์ของผู้เขียน แต่ทั้งคู่มีพลังน้อยกว่าเมื่อเทียบกับร่างของ Muromets และโดยรวมแล้วให้ความสมดุลอย่างสมบูรณ์กับองค์ประกอบ
ความเสถียรขององค์ประกอบทำให้ผู้ชมรู้สึกมั่นใจในการอยู่ยงคงกระพันของฮีโร่ผู้พิทักษ์ดินแดนรัสเซีย ยิ่งไปกว่านั้นใน "Bogatyrs" จะมีการถ่ายทอดสภาวะแห่งความสงบที่ตึงเครียดใกล้จะเปลี่ยนไปสู่การปฏิบัติ ซึ่งหมายความว่าความสมมาตรยังนำพาเชื้อโรคของการเคลื่อนไหวแบบไดนามิกในเวลาและสถานที่อยู่ภายในตัวมันเองด้วย

สมมาตรในพีชคณิต

นิพจน์สมมาตรที่ง่ายที่สุดสำหรับรากของสมการกำลังสองพบได้ในทฤษฎีบทของเวียตา ซึ่งช่วยให้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสองได้ ลองดูตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1:

สมการกำลังสอง มีรากและ. โดยไม่ต้องแก้สมการนี้ เราจะแสดงผ่าน และผลรวม , . การแสดงออกมีความสมมาตรด้วยความเคารพ และ ลองเขียนมันในรูปของ + และ แล้วใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

หน้าแรก > วิธีแก้ปัญหา

สมการตรรกยะและอสมการ

I. สมการตรรกยะ

สมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการกลับกัน

สูตรของเวียตนามสำหรับพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า

ระบบสมการระดับที่สอง

วิธีการแนะนำสิ่งที่ไม่ทราบใหม่ๆ เมื่อแก้สมการและระบบสมการ

สมการเอกพันธ์

การแก้ระบบสมการสมมาตร

สมการและระบบสมการพร้อมพารามิเตอร์

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

สมการที่มีเครื่องหมายโมดูลัส

วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการตรรกยะ

ครั้งที่สอง ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล

คุณสมบัติของอสมการที่เท่ากัน

อสมการพีชคณิต

วิธีช่วงเวลา

อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน

อสมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์

อสมการกับพารามิเตอร์

ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล

คำตอบเชิงกราฟิกของอสมการ

ที่สาม การทดสอบการคัดกรอง

สมการตรรกยะ

หน้าที่ของแบบฟอร์ม

P(x) = a 0 xn + a 1 xn – 1 + a 2 xn – 2 + … + a n – 1 x + a n

โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ 0, 1,…, a n คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด

สมการที่อยู่ในรูป P(x) = 0 โดยที่ P(x) คือฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด เรียกว่า สมการตรรกยะทั้งหมด

สมการของแบบฟอร์ม

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P ม. (x) / Q ม. (x) = 0,

โดยที่ P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) เป็นฟังก์ชันตรรกศาสตร์ทั้งหมดเรียกว่า สมการตรรกยะ

การแก้สมการตรรกยะ P (x) / Q (x) = 0 โดยที่ P (x) และ Q (x) เป็นพหุนาม (Q (x)  0) ลงมาเพื่อแก้สมการ P (x) = 0 และ ตรวจสอบว่ารากตรงตามเงื่อนไข Q (x)  0

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+b=0 โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่ เรียกว่าสมการเชิงเส้น

ถ้า a0 สมการเชิงเส้นจะมีรากเดียว: x = -b /a

ถ้าa=0; b0 ดังนั้นสมการเชิงเส้นจึงไม่มีคำตอบ

ถ้าa=0; b=0 จากนั้น ให้เขียนสมการเดิมใหม่ในรูปแบบ ax = -b จะเห็นว่า x ใดๆ เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น

สมการของเส้นตรงคือ: y = ax + b

หากเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด X 0 และ Y 0 พิกัดเหล่านี้จะเป็นไปตามสมการของเส้นนั้น นั่นคือ Y 0 = aX 0 + b

ตัวอย่างที่ 1.1- แก้สมการ

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

สารละลาย. เปิดวงเล็บตามลำดับ เพิ่มพจน์ที่คล้ายกันแล้วหา x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3

ตัวอย่างที่ 1.2แก้สมการ

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7

สารละลาย. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 1.3- แก้สมการ

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5

สารละลาย. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

คำตอบ: ตัวเลขใดก็ได้

ระบบสมการเชิงเส้น

สมการของแบบฟอร์ม

ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + … + ก n x n = b

โดยที่ 1, b 1, …, a n, b เป็นค่าคงที่บางค่า เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีค่าไม่ทราบค่า n x 1, x 2, …, x n

ระบบสมการจะเรียกว่าเชิงเส้นถ้าสมการทั้งหมดที่รวมอยู่ในระบบเป็นแบบเชิงเส้น หากระบบประกอบด้วย n ไม่ทราบ เป็นไปได้สามกรณีต่อไปนี้:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเดียวเท่านั้น

ระบบมีโซลูชั่นมากมายไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 2.4แก้ระบบสมการ

สารละลาย. คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้โดยใช้วิธีการทดแทน ซึ่งประกอบด้วยการแสดงค่าที่ไม่ทราบในรูปของค่าที่ไม่ทราบอื่นๆ สำหรับสมการใดๆ ของระบบ จากนั้นจึงแทนค่าของค่าที่ไม่ทราบนี้ลงในสมการที่เหลือ

จากสมการแรกเราแสดง: x= (8 – 3y) / 2 เราแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่สองแล้วได้ระบบสมการ

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7 จากสมการที่สอง เราได้ y = 2 เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ จากสมการแรก x = 1 คำตอบ: (1 ; 2) ตัวอย่างที่ 2.5 แก้ระบบสมการ

สารละลาย. ระบบไม่มีคำตอบ เนื่องจากไม่สามารถสมการของระบบสองสมการพร้อมกันได้ (จากสมการแรก x + y = 3 และจากสมการที่สอง x + y = 3.5)

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 2.6 แก้ระบบสมการ

สารละลาย. ระบบมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากสมการที่สองได้มาจากสมการแรกโดยการคูณด้วย 2 (นั่นคือ จริงๆ แล้วมีเพียงสมการเดียวเท่านั้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว)

คำตอบ: มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างที่ 2.7 แก้ระบบสมการ

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

สารละลาย. เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น จะสะดวกกว่าการใช้วิธีเกาส์ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนระบบให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

เราคูณสมการแรกของระบบด้วย – 2 และเมื่อบวกผลลัพธ์ที่ได้กับสมการที่สอง เราก็ได้ – 3y + 6z = – 3 สมการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น y – 2z = 1 การบวกสมการแรกด้วย อย่างที่สาม เราได้ 7y = 7 หรือ y = 1

ดังนั้นระบบจึงได้รูปทรงสามเหลี่ยม

x + y – z = 2,

เมื่อแทน y = 1 ในสมการที่สอง เราจะพบ z = 0 เมื่อแทน y = 1 และ z = 0 ในสมการแรก เราจะพบ x = 1 คำตอบ: (1; 1; 0) ค่าพารามิเตอร์ a คือระบบสมการใด

2x + ay = a + 2,

(ก + 1)x + 2ay = 2a + 4

มีวิธีแก้ปัญหามากมายเหลือเฟือใช่ไหม? สารละลาย. จากสมการแรกเราแสดง x:

x = – (ก / 2)y + ก / 2 +1

เราได้แทนนิพจน์นี้เป็นสมการที่สอง

(ก + 1)(– (ก / 2)y + ก / 2 +1) + 2ay = 2a + 4

(ก + 1)(ก + 2 – อัยย์) + 4ay = 4a + 8,

4ay – ก(ก + 1)y = 4(ก + 2) – (ก + 1)(ก + 2)

ยา(4 – ก – 1) = (ก + 2)(4 – ก – 1)

ยา(3 – ก) = (ก + 2)(3 – ก)

จากการวิเคราะห์สมการสุดท้าย เราสังเกตว่าสำหรับ a = 3 จะมีรูปแบบ 0y = 0 นั่นคือ มันพอใจกับค่าใด ๆ ของ y คำตอบ: 3.

สมการกำลังสองและสมการที่สามารถลดขนาดลงได้

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง (a0)

x เป็นตัวแปรที่เรียกว่าสมการกำลังสอง

สูตรการแก้สมการกำลังสอง

ก่อนอื่น ลองหารทั้งสองข้างของสมการ ax 2 + bx + c = 0 ด้วย a ซึ่งจะไม่เปลี่ยนรากของมัน เพื่อแก้สมการผลลัพธ์

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = 0

เลือกช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์ทางด้านซ้าย

x 2 + (ข / ก) + (ค / ก) = (x 2 + 2(ข / 2a)x + (ข / 2a) 2) – (ข / 2a) 2 + (ค / ก) =

= (x + (ข / 2a)) 2 – (ข 2) / (4a 2) + (ค / ก) = (x + (ข / 2a)) 2 – ((ข 2 – 4ac) / (4a 2 )).

เพื่อความกระชับ เราแสดงนิพจน์ (b 2 – 4ac) โดย D จากนั้นอัตลักษณ์ผลลัพธ์จะอยู่ในรูปแบบ

เป็นไปได้สามกรณี:

หากตัวเลข D เป็นบวก (D > 0) ในกรณีนี้ คุณสามารถหารากที่สองของ D แล้วเขียน D ในรูปแบบ D = (D) 2 แล้ว

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 ดังนั้นอัตลักษณ์จึงมีรูปแบบ

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

จากการใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง เราได้มาจากที่นี่:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– ข – D) / 2a))

ทฤษฎีบท:หากมีตัวตนอยู่

ขวาน 2 + bx + c = ก(x – x 1)(x – x 2),

ดังนั้นสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 สำหรับ X 1  X 2 มีสองราก X 1 และ X 2 และสำหรับ X 1 = X 2 - มีเพียงรากเดียวเท่านั้น X 1

โดยอาศัยทฤษฎีบทนี้ จากอัตลักษณ์ที่ได้รับข้างต้นจะเป็นไปตามสมการนั้น

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = 0,

ดังนั้นสมการ ax 2 + bx + c = 0 จึงมีราก 2 อัน:

เอ็กซ์ 1 =(-b +  ง) / 2a; X 2 = (-b -  D) / 2a

ดังนั้น x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2)

โดยปกติแล้วรากเหล่านี้จะเขียนด้วยสูตรเดียว:

โดยที่ ข 2 – 4ac = D.

ถ้าตัวเลข D เป็นศูนย์ (D = 0) แสดงว่าข้อมูลประจำตัว

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = (x + (ข / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

ใช้แบบฟอร์ม x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

ตามมาว่าสำหรับ D = 0 สมการ ax 2 + bx + c = 0 มีหนึ่งรากของการคูณ 2: X 1 = – b / 2a

3) ถ้าตัวเลข D เป็นลบ (D< 0), то – D >0 และด้วยเหตุนี้จึงเป็นนิพจน์

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = (x + (ข / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

คือผลรวมของสองเทอม โดยเทอมหนึ่งไม่เป็นลบ และอีกเทอมเป็นบวก ผลรวมดังกล่าวไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นสมการ

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = 0

ไม่มีรากที่แท้จริง สมการ ax 2 + bx + c = 0 ก็ไม่มีเช่นกัน

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสอง เราควรคำนวณการแบ่งแยก

ง = ข 2 – 4เอซี

ถ้า D = 0 สมการกำลังสองจะมีคำตอบเฉพาะ:

ถ้า D > 0 สมการกำลังสองจะมีรากสองค่า:

X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a)

ถ้า D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

หากค่าสัมประสิทธิ์ b หรือ c ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ สมการกำลังสองก็สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องคำนวณตัวจำแนก:

ข = 0; ค 0; ค/ก<0; X1,2 = (-c / a)

ข 0; ค = 0; X1 = 0, X2= -b / ก.

สูตรสามารถหารากของสมการกำลังสองทั่วไป ax 2 + bx + c = 0 ได้

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 1 เรียกว่าการลดลง โดยปกติแล้วสมการกำลังสองที่กำหนดจะแสดงดังนี้:

x 2 + px + q = 0

ทฤษฎีบทของเวียตตา

เราได้รับอัตลักษณ์แล้ว

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = (x – x1)(x – x2)

โดยที่ X 1 และ X 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c =0 ให้เราเปิดวงเล็บทางด้านขวาของตัวตนนี้

x 2 + (ข / ก)x + (ค / ก) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2

เป็นไปตามนั้น X 1 + X 2 = – b / a และ X 1 X 2 = c / a เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ซึ่งก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส F. Vieta (1540 - 1603):

ทฤษฎีบท 1 (เวียตต้า) ผลรวมของรากของสมการกำลังสองเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ X โดยถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้ามและหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ X 2 ; ผลคูณของรากของสมการนี้เท่ากับเทอมอิสระหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ X 2 .

ทฤษฎีบท 2 (ตรงกันข้าม) หากได้ความเท่าเทียมกันแล้ว

X 1 + X 2 = – b / a และ X 1 X 2 = c / a,

ดังนั้นตัวเลข X 1 และ X 2 จึงเป็นรากของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0

ความคิดเห็น สูตร X 1 + X 2 = – b / a และ X 1 X 2 = c / a ยังคงเป็นจริงในกรณีที่สมการ ax 2 + bx + c = 0 มีหนึ่งรูท X 1 ของหลาย 2 ถ้าเราใส่ X ในสูตรที่ระบุ 2 = X 1 ดังนั้นจึงเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าที่ D = 0 สมการ ax 2 + bx +c = 0 มีสองรากที่ตรงกัน

เมื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของเวียตต้า การใช้ความสัมพันธ์จะเป็นประโยชน์

(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2)

ตัวอย่างที่ 3.9แก้สมการ 2x 2 + 5x – 1 = 0

สารละลาย. ง = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4

คำตอบ: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4

ตัวอย่าง 3.10.แก้สมการ x 3 – 5x 2 + 6x = 0

สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ x(x 2 – 5x + 6) = 0,

ดังนั้น x = 0 หรือ x 2 – 5x + 6 = 0

การแก้สมการกำลังสองเราจะได้ X 1 = 2, X 2 = 3

คำตอบ: 0; 2; 3.

ตัวอย่างที่ 3.11

x 3 – 3x + 2 = 0. วิธีแก้ ลองเขียนสมการใหม่โดยเขียน –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0 และตอนนี้ให้จัดกลุ่ม x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. คำตอบ: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2.ตัวอย่าง 3.12. แก้สมการ 7

(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)วิธีแก้ปัญหา มาหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ x:X + 2  0; x – 6  0; 2x – 7  0 หรือ x  – 2; x  6; x  3.5. เราลดสมการให้อยู่ในรูปแบบ (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12) เปิดวงเล็บ – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0.11x 3 – 93x 2 + 190x = 0.x(11x 2 – 93x + 190) = 0.x 1 = 011x2 – 93x + 190 = 0.93(8649 – 8360) 93  17 x 2.3 = = ,

เหล่านั้น. x 1 = 5; x 2 = 38/11.

ค่าที่พบเป็นไปตาม ODZ

คำตอบ: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38/11.

ตัวอย่างที่ 3.13แก้สมการ x 6 – 5x 3 + 4 = 0

สารละลาย. ให้เราแสดงว่า y = x 3 จากนั้นสมการดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ

y 2 – 5y + 4 = 0 แก้โจทย์ว่าเราได้ Y 1 = 1; ย2 = 4

ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงเท่ากับเซต

สมการ: x 3 = 1 หรือ x 3 = 4 เช่น X 1 = 1 หรือ X 2 = 3 4

คำตอบ: 1; 3 4.

ตัวอย่างที่ 3.14แก้สมการ (x 3 – 27) / (x – 3) = 27

สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบเศษ (โดยใช้สูตรผลต่างของลูกบาศก์):

รายงาน

ผู้บังคับบัญชาด้านวิทยาศาสตร์: Kulabukhov Sergey Yuryevich ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ ครูการศึกษาเพิ่มเติม สถาบันการศึกษาเทศบาลด้านการศึกษาและวิทยาศาสตร์สำหรับเด็ก Rostov-on-Don

สำหรับคุณ เราได้สมการแล้ว ให้เรานึกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากตรรกยะของพหุนาม (§ 2.1.5) ต้องค้นหารากตรรกยะของสมการของเราจากตัวหารของตัวเลข –4 เมื่อพิจารณาตัวหารทั้งหมดแล้ว เรามั่นใจว่าสมการไม่มีรากที่เป็นตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทนี้ไม่ใช่ทฤษฎีบทของการดำรงอยู่ของราก ทฤษฎีบทนี้ระบุเฉพาะสิ่งต่อไปนี้: ถ้าพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีรากที่เป็นตรรกยะ (แต่ก็ยังเป็นไปได้ที่พวกมันไม่มีอยู่) รากเหล่านี้ก็จะมีรูปแบบพิเศษบางอย่าง ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้อธิบายกรณีที่ไม่มีรากที่เป็นเหตุเป็นผล

ลองค้นหารากของสมการของระบบดั้งเดิมจากจำนวนอตรรกยะกัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะต้องใช้ความคิดสร้างสรรค์: การแทนที่มาตรฐานสำหรับระบบสมมาตรเห็นได้ชัดว่าใช้ไม่ได้ที่นี่

เมื่อยกสมการที่สองเป็นลูกบาศก์ เราจะได้: ดังนั้นตามทฤษฎีบทของเวียตา และเป็นรากของสมการกำลังสอง Hence และ Hence

ในขณะที่ศึกษาวรรณกรรมเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการ ฉันได้พบกับระบบรูปแบบใหม่ - สมมาตร และฉันก็ตั้งเป้าหมายไว้ว่า

สรุปข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ในหัวข้อ “ระบบสมการ”

ทำความเข้าใจและเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

3) พิจารณาทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการสมมาตร

4) เรียนรู้การแก้ระบบสมการสมมาตร

ประวัติความเป็นมาของการแก้ระบบสมการ

มีการใช้การกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบออกจากสมการเชิงเส้นมานานแล้ว ในศตวรรษที่ 17-18 วี. เทคนิคการแยกได้รับการพัฒนาโดย Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange

ในสัญกรณ์สมัยใหม่ ระบบของสมการเชิงเส้นสองตัวที่มีไม่ทราบค่าสองตัวมีรูปแบบ: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 คำตอบของระบบนี้แสดงเป็นสูตร

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

ขอบคุณวิธีการประสานงานที่สร้างขึ้นในศตวรรษที่ 17 แฟร์มาต์และเดส์การตส์ ก็สามารถแก้ระบบสมการแบบกราฟิกได้

ในตำราบาบิโลนโบราณที่เขียนขึ้นในช่วงสหัสวรรษที่ 3-2 ก่อนคริสต์ศักราช จ. มีปัญหามากมายที่สามารถแก้ไขได้โดยการสร้างระบบสมการซึ่งมีการนำสมการระดับที่สองมาใช้ด้วย

ตัวอย่าง #1:

ฉันบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งสองของฉัน: 25 ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สองเท่ากับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกและอีก 5 ด้าน ระบบสมการที่สอดคล้องกันในรูปแบบที่สอดคล้องกันจะมีลักษณะดังนี้: x2 + y2 = 25, y = x = 5

ไดโอแฟนทัสซึ่งไม่มีป้ายกำกับสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบจำนวนมาก ได้ใช้ความพยายามอย่างมากในการเลือกสิ่งที่ไม่ทราบในลักษณะที่จะลดคำตอบของระบบให้เหลือเพียงคำตอบของสมการเดียว

ตัวอย่าง #2:

“จงหาจำนวนธรรมชาติสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลรวมของกำลังสองของมันคือ 208”

ปัญหายังแก้ไขได้ด้วยการสร้างระบบสมการ x + y = 20 แต่แก้ x2 + y2 = 208 ได้

ไดโอแฟนทัส เลือกครึ่งหนึ่งของผลต่างของตัวเลขที่ต้องการเป็นค่าที่ไม่รู้จัก เช่น

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- ไม่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้นถ้า z = 2x = 12 และ y = 8

แนวคิดของระบบสมการพีชคณิต

ในปัญหาหลายๆ อย่าง จำเป็นต้องค้นหาปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนหลายๆ ปริมาณ โดยรู้ว่าปริมาณอื่นๆ ที่เกิดขึ้นด้วยความช่วยเหลือ (ฟังก์ชันของสิ่งที่ไม่ทราบ) นั้นเท่ากันหรือเท่ากับปริมาณที่กำหนด ลองดูตัวอย่างง่ายๆ

ที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 2,400 ตร.ม. มีรั้วกั้นยาว 200 ม. หาความยาวและความกว้างของแปลง อันที่จริงแล้ว “แบบจำลองพีชคณิต” ของปัญหานี้คือระบบที่มีสองสมการและหนึ่งอสมการ

ควรคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นไปได้เสมอ เมื่อคุณแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเขียนระบบสมการ แต่สิ่งสำคัญคือการแก้สมการด้วยตัวเอง ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับวิธีการที่ใช้

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ

ระบบสมการคือชุดของสมการหลายสมการ (มากกว่าหนึ่ง) ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายปีกกา

วงเล็บปีกกาหมายความว่าสมการทั้งหมดของระบบจะต้องดำเนินการพร้อมกัน และแสดงว่าคุณจำเป็นต้องค้นหาคู่ของตัวเลข (x; y) ที่จะเปลี่ยนแต่ละสมการให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

วิธีแก้ของระบบคือคู่ของตัวเลข x และ y ซึ่งเมื่อแทนที่ในระบบนี้แล้ว จะแปลงแต่ละสมการให้เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาคำตอบทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย

วิธีการทดแทน

วิธีการทดแทนคือในสมการหนึ่งตัวแปรหนึ่งจะแสดงในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง นิพจน์ผลลัพธ์จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่น ซึ่งต่อมาจะกลายเป็นสมการที่มีตัวแปรตัวหนึ่ง จากนั้นจึงแก้ไข ค่าผลลัพธ์ของตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใด ๆ ของระบบดั้งเดิมและพบตัวแปรตัวที่สอง

อัลกอริทึม

1. เขียน y ถึง x จากสมการหนึ่งของระบบ

2. แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทน y ลงในสมการอื่นของระบบ

3. แก้สมการผลลัพธ์ของ x

4. แทนที่แต่ละรากของสมการที่พบในขั้นตอนที่สามแทน x ลงในนิพจน์ y ถึง x ที่ได้จากขั้นตอนแรก

5) เขียนคำตอบเป็นคู่ของค่า (x; y)

ตัวอย่างที่ 1 y = x – 1,

แทน y = x – 1 ลงในสมการที่สอง เราจะได้ 5x + 2 (x – 1) = 16 ซึ่ง x = 2 แทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการแรก: y = 2 – 1 = 1

คำตอบ: (2; 1)

ตัวอย่าง #2:

8ป – x = 4, 1) 2 (8ป – 4) – 21ป = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2х – 21у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8ป – 4) – 21ป = 2 x = 8ป – 4, y = -2 x = -20, y = -2

คำตอบ: (-20; -2)

ตัวอย่างที่ 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – สมการกำลังสอง y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

ดังนั้น (-2; -4); (4; 8) – วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้

วิธีการบวก

วิธีการบวกคือหากระบบที่กำหนดประกอบด้วยสมการที่เมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้วจะสร้างสมการด้วยตัวแปรตัวเดียว จากนั้นเมื่อแก้สมการนี้ เราก็จะได้ค่าของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง พบค่าของตัวแปรตัวที่สอง เช่นเดียวกับในวิธีการทดแทน

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบโดยใช้วิธีการบวก

1. ปรับโมดูลของค่าสัมประสิทธิ์ให้เท่ากันกับค่าที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่ง

2. เมื่อบวกหรือลบสมการผลลัพธ์ ให้หาสมการที่ไม่รู้จัก

3. แทนที่ค่าที่พบลงในสมการหนึ่งของระบบดั้งเดิมแล้วค้นหาค่าที่ไม่รู้จักที่สอง

ตัวอย่างหมายเลข 1 แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการบวก: x + y = 20, x – y = 10

เราลบสมการที่สองจากสมการแรก

ให้เราแสดงจากนิพจน์ที่สอง x = 20 - y

แทน y = 5 ในนิพจน์นี้: x = 20 – 5 x = 15

คำตอบ: (15; 5)

ตัวอย่าง #2:

ให้เราแสดงสมการของระบบที่นำเสนอในรูปแบบของผลต่างที่เราได้รับ

7y = 21 โดยที่ y = 3

ลองแทนค่านี้เป็น x = แสดงจากสมการที่สองของระบบ เราจะได้ x = 4

คำตอบ: (4; 3)

ตัวอย่าง #3:

2x + 11y = 15,

10x – 11ป = 9

เมื่อเพิ่มสมการเหล่านี้แล้ว เราก็จะได้:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2 เมื่อแทนค่านี้เป็นสมการที่สอง เราจะได้:

10 * 2 – 11y = 9 โดยที่ y = 1

วิธีแก้ของระบบนี้คือคู่: (2; 1)

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ

อัลกอริทึม

1. สร้างกราฟของแต่ละสมการของระบบ

2. ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่สร้างขึ้น

กรณีการจัดเรียงเส้นร่วมกันบนเครื่องบิน

1. ถ้าเส้นตัดกัน นั่นคือมีจุดร่วมจุดเดียว ระบบสมการก็จะมีคำตอบเดียว

2. ถ้าเส้นตรงขนานกัน นั่นคือไม่มีจุดร่วม แสดงว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ

3. ถ้าเส้นตรงตรงกัน นั่นคือมีหลายจุด แสดงว่าระบบสมการมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง #1:

แก้ระบบสมการแบบกราฟิก x – y = -1,

ให้เราแสดง y จากสมการแรกและสมการที่สอง: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

มาสร้างกราฟของสมการระบบแต่ละสมการกัน:

1) y = 1 + x – กราฟของฟังก์ชันคือเส้นตรง x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – กราฟของฟังก์ชันคือเส้นตรง x 0 1 y 4 2

คำตอบ: (1; 2)

ตัวอย่างหมายเลข 2: y x + 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - กราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรง x 0 2 y 3 2 y = - กราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรง x 0 2 y 2 1

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3: y x – 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - กราฟของฟังก์ชันจะเป็นเส้นตรง x 0 2 y -1 0

คำตอบ: ระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่คือนำตัวแปรใหม่เข้ามาในสมการเดียวหรือตัวแปรใหม่สองตัวสำหรับทั้งสองสมการพร้อมกัน จากนั้นสมการหรือสมการจะถูกแก้ตามตัวแปรใหม่ หลังจากนั้นก็ยังคงแก้ระบบที่ง่ายกว่า ของสมการที่เราหาคำตอบที่ต้องการได้

ตัวอย่าง #1:

X + y = 5

ให้เราแสดงว่า = z แล้ว =

สมการแรกจะอยู่ในรูปแบบ z + = ซึ่งเทียบเท่ากับ 6z – 13 + 6 = 0 เมื่อแก้สมการผลลัพธ์แล้ว เราก็จะได้ z = ; ซี =. จากนั้น = หรือ = กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการแรกแบ่งออกเป็นสองสมการ ดังนั้นเราจึงมีสองระบบ:

X + y = 5 x + y = 5

คำตอบของระบบเหล่านี้คือคำตอบของระบบที่กำหนด

คำตอบของระบบแรกคือคู่: (2; 3) และวิธีที่สองคือคู่ (3; 2)

ดังนั้น ผลเฉลยของระบบ + = , x + y = 5

คู่คือ (2; 3); (3; 2)

ตัวอย่าง #2:

ให้ = X, a = Y.

X = , 5 * - 2Y = 1

5У – 2У = 1 2.5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7.5U – 2U = 1

เอ็กซ์ = , -9.5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

เราจะทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

2 x = 1, y = 0.5

คำตอบ: (1; 0.5)

ระบบสมการสมมาตร

ระบบที่ไม่มีสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกเรียกว่าสมมาตร หากระบบไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่

ระบบสมมาตรของสมการสองสมการที่มี x และ y ไม่ทราบสองตัว แก้ได้โดยการแทนที่ u = x + y, v = xy โปรดทราบว่าสำนวนที่พบในระบบสมมาตรจะแสดงในรูปของ u และ v ขอให้เรายกตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างที่น่าสนใจอย่างไม่ต้องสงสัยสำหรับการแก้ระบบสมมาตรหลายๆ ระบบ: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = ยู ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v เป็นต้น

ระบบสมมาตรของสมการสามสมการสำหรับค่าที่ไม่รู้จัก x y, z แก้ได้โดยการแทนที่ x + y + z = u, xy + yz + xz = w หากพบ u, v, w สมการลูกบาศก์ t2 – ut2 + vt – w = 0 จะถูกคอมไพล์ รากที่ t1, t2, t3 ในการเรียงสับเปลี่ยนต่างๆ เป็นคำตอบของระบบดั้งเดิม สำนวนที่พบบ่อยที่สุดในระบบดังกล่าวจะแสดงในรูปของ u, v, w ดังนี้: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

ตัวอย่างที่ 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

ให้ x + y = u, xy = v

ยู2 – วี = 13, ยู = 4

16 – โวลต์ = 13, ยู = 4 โวลต์ = 3, ยู = 4

เราจะทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

คำตอบ: (1; 3); (3; 1).

ตัวอย่างที่ 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

ให้ x + y = u, xy = v

ยู3 – 3ยูวี = 28, ยู = 4

64 – 12 โวลต์ = 28, ยู = 4

12v = -36 คุณ = 4 v = 3, คุณ = 4

เราจะทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

คำตอบ: (1; 3); (3; 1).

ตัวอย่างหมายเลข 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

ให้ x =y = u, xy =v

ยู + วี = 7, u2 – วี = 13 u2 – วี = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 โวลต์ = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – วี =13 u = 4 โวลต์ = 7 – คุณ, คุณ = 4 โวลต์ = 3, คุณ = 4

เราจะทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

คำตอบ: (1; 3); (3; 1).

ตัวอย่างที่ 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

ให้ x + y = u, xy = v

ยู = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 คุณ = 5, v = 4 v = 4

เราจะทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

คำตอบ: (4; 1); (1; 4)

ตัวอย่างที่ 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

มาทำการเปลี่ยนแปลงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ ระบบจะอยู่ในรูปแบบ u2 + v = 49, u + v = 23

เมื่อบวกสมการเหล่านี้ เราจะได้ u2 + u – 72 = 0 โดยมีราก u1 = 8, u2 = -9 ดังนั้น v1 = 15, v2 = 32 ยังคงต้องแก้ชุดของระบบ x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

ระบบ x + y = 8 มีคำตอบ x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3

ระบบ x + y = -9 ไม่มีคำตอบที่แท้จริง

คำตอบ: (3; 5), (5; 3)

ตัวอย่างหมายเลข 6 แก้ระบบสมการ

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

การใช้พหุนามสมมาตรหลัก u = y + x และ v = xy เราได้ระบบสมการต่อไปนี้

2u2 – 7v = 16, คุณ + v = -3

การแทนที่นิพจน์ v = -3 – u จากสมการที่สองของระบบเป็นสมการแรกเราได้สมการต่อไปนี้ 2u2 + 7u + 5 = 0 โดยมีรากคือ u1 = -1 และ u2 = -2.5; และด้วยเหตุนี้ ค่า v1 = -2 และ v2 = -0.5 ได้จาก v = -3 – u

ตอนนี้ยังคงต้องแก้ชุดของระบบต่อไปนี้ x + y = -1 และ x + y = -2.5, xy = -2 xy = -0.5

วิธีแก้ปัญหาของระบบชุดนี้และดังนั้นระบบดั้งเดิม (เนื่องจากความเท่าเทียมกัน) จึงเป็นดังนี้: (1; -2), (-2; 1), (;)

ตัวอย่าง #7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

การใช้พหุนามสมมาตรพื้นฐาน สามารถเขียนระบบได้ในรูปแบบต่อไปนี้

3ยูวี – 2โวลต์ = 78,

การแสดง u = จากสมการที่สองและแทนที่เป็นสมการแรกเราจะได้ 9v2 – 28v – 156 = 0 รากของสมการนี้ v1 = 6 และ v2 = - ช่วยให้เราสามารถค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน u1 = 5 u2 = - จากนิพจน์ u =

ตอนนี้ให้เราแก้ชุดของระบบต่อไปนี้ x + y = 5 และ x + y = -, xy = 6 xy = -

x = 5 – y และ y = -x -, xy = 6 xy = -

x = 5 – y และ y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -

x = 5 – y และ y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 และ x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

คำตอบ: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;)

บทสรุป.

ในกระบวนการเขียนบทความ ฉันได้ทำความคุ้นเคยกับระบบสมการพีชคณิตประเภทต่างๆ สรุปข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ในหัวข้อ “ระบบสมการ”

ฉันคิดออกและเรียนรู้ที่จะแก้ไขโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ทบทวนทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการสมมาตร

เรียนรู้การแก้ระบบสมการสมมาตร

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา:การฝึกแก้ระบบสมการที่มีสมการเอกพันธ์ ระบบสมการสมมาตร
การพัฒนา: การพัฒนาความคิดความสนใจความจำความสามารถในการเน้นสิ่งสำคัญ
ทางการศึกษา:การพัฒนาทักษะการสื่อสาร

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

เทคโนโลยีการสอนที่ใช้:

ทำงานเป็นกลุ่ม
วิธีการออกแบบ

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์, โปรเจคเตอร์มัลติมีเดีย

หนึ่งสัปดาห์ก่อนบทเรียน นักเรียนจะได้รับหัวข้อสำหรับการมอบหมายงานสร้างสรรค์ (ตามตัวเลือก)
ฉันมีตัวเลือก ระบบสมการสมมาตร โซลูชั่น.
ตัวเลือกที่สอง ระบบที่มีสมการเอกพันธ์ โซลูชั่น.

นักเรียนแต่ละคนต้องใช้วรรณกรรมการศึกษาเพิ่มเติมเพื่อค้นหาสื่อการเรียนรู้ที่เหมาะสม เลือกระบบสมการและแก้โจทย์
นักเรียนหนึ่งคนจากแต่ละตัวเลือกสร้างงานนำเสนอมัลติมีเดียในหัวข้องานสร้างสรรค์ ครูจะให้คำปรึกษาแก่นักเรียนหากจำเป็น

I. แรงจูงใจในการทำกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

กล่าวเปิดงานของอาจารย์
ในบทเรียนที่แล้ว เราดูการแก้ระบบสมการโดยการแทนที่สิ่งที่ไม่รู้ ไม่มีกฎทั่วไปในการเลือกตัวแปรใหม่ อย่างไรก็ตาม ระบบสมการสองประเภทสามารถแยกแยะได้เมื่อมีตัวแปรให้เลือกที่สมเหตุสมผล: