การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่าย การแก้ปัญหาคราบโดยใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่าย

หัวข้อที่ 3. คำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตวิธีการวนซ้ำ

วิธีการโดยตรงสำหรับการแก้ไข SLAE ที่อธิบายไว้ข้างต้นไม่ได้มีประสิทธิภาพมากนักเมื่อแก้ไขระบบมิติขนาดใหญ่ (เช่น เมื่อค่า n ใหญ่พอ) ในกรณีเช่นนี้ วิธีการวนซ้ำมีความเหมาะสมมากกว่าสำหรับการแก้ไข SLAE

วิธีการวนซ้ำเพื่อแก้ SLAE(ชื่อที่สองคือวิธีการ การประมาณต่อเนื่องกับวิธีแก้ปัญหา) ไม่ได้ให้คำตอบที่แน่นอนของ SLAE แต่เป็นเพียงการประมาณวิธีแก้ปัญหาและแต่ละข้อ การประมาณครั้งต่อไปได้มาจากอันที่แล้วและแม่นยำกว่าอันที่แล้ว (โดยมีเงื่อนไขว่า การบรรจบกันการวนซ้ำ) การประมาณเริ่มต้น (หรือที่เรียกว่าศูนย์) จะถูกเลือกให้ใกล้กับคำตอบที่คาดหวังหรือเลือกตามอำเภอใจ (สามารถใช้เวกเตอร์ของด้านขวาของระบบได้) วิธีแก้ที่แน่นอนคือขีดจำกัดของการประมาณเนื่องจากจำนวนของมันมีแนวโน้มที่จะไม่สิ้นสุด ตามกฎแล้วสำหรับ หมายเลขสุดท้ายขั้นตอน (เช่น การวนซ้ำ) ไม่ถึงขีดจำกัดนี้ ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงมีการนำเสนอแนวคิดนี้ ความแม่นยำของโซลูชันกล่าวคือ ให้ตัวเลขจำนวนบวกและจำนวนน้อยเพียงพอ จและกระบวนการคำนวณ (การวนซ้ำ) จะดำเนินการจนกว่าความสัมพันธ์จะเป็นที่พอใจ .

นี่คือการประมาณวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับหลังหมายเลขการวนซ้ำ n , a คือคำตอบที่แน่นอนของ SLAE (ซึ่งไม่ทราบล่วงหน้า) จำนวนการวนซ้ำ n = n (จ ) จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนดสำหรับ วิธีการเฉพาะสามารถหาได้จากการพิจารณาทางทฤษฎี (เช่น มี สูตรการคำนวณ- คุณภาพของวิธีการวนซ้ำต่างๆ สามารถเปรียบเทียบได้ด้วยจำนวนวนซ้ำที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำเท่ากัน

เพื่อศึกษาวิธีการทำซ้ำใน การบรรจบกันคุณต้องสามารถคำนวณบรรทัดฐานของเมทริกซ์ได้ บรรทัดฐานของเมทริกซ์- นี่เป็นเรื่องแน่นอน ค่าตัวเลขกำหนดลักษณะขนาดขององค์ประกอบเมทริกซ์ในค่าสัมบูรณ์ ใน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นมีหลายอย่าง ประเภทต่างๆบรรทัดฐานของเมทริกซ์ซึ่งมักจะเทียบเท่ากัน ในหลักสูตรของเราเราจะใช้เพียงอันเดียวเท่านั้น กล่าวคือภายใต้ บรรทัดฐานของเมทริกซ์เราจะเข้าใจ ค่าสูงสุดระหว่างผลรวมของค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบของแต่ละแถวของเมทริกซ์- เพื่อระบุบรรทัดฐานของเมทริกซ์ ชื่อของเมทริกซ์จะอยู่ในแถบแนวตั้งสองคู่ ดังนั้นสำหรับเมทริกซ์ ก ตามปกติแล้วเราหมายถึงปริมาณ

. (3.1)

ตัวอย่างเช่น บรรทัดฐานของเมทริกซ์ A จากตัวอย่างที่ 1 จะพบได้ดังนี้:

วิธีการทำซ้ำสามวิธีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากที่สุดในการแก้ปัญหา SLAE:

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

วิธีจาโคบี

วิธีกัวส-ไซเดล

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากการเขียน SLAE ในรูปแบบดั้งเดิม (2.1) ไปเป็นการเขียนในรูปแบบ

(3.2)

หรือสิ่งที่อยู่ในนั้นด้วย รูปแบบเมทริกซ์,

x = กับ × x + ดี , (3.3)

ค - เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบมิติที่ถูกแปลง n ´ n

x - เวกเตอร์ของสิ่งไม่รู้ประกอบด้วย n ส่วนประกอบ

ดี - เวกเตอร์ของส่วนที่ถูกต้องของระบบการแปลงประกอบด้วย n ส่วนประกอบ.

ระบบในรูปแบบ (3.2) สามารถแสดงในรูปแบบลดขนาดได้

จากมุมมองนี้ สูตรการวนซ้ำอย่างง่ายจะมีลักษณะเช่นนี้

ที่ไหน ม - หมายเลขการวนซ้ำ และ - ค่า เอ็กซ์เจ บน ม - ขั้นตอนการทำซ้ำครั้งที่ แล้ว, หากกระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกันเมื่อมีจำนวนการวนซ้ำเพิ่มมากขึ้น ก็จะสังเกตเห็นได้

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกันถ้า บรรทัดฐานเมทริกซ์ ดี จะ หน่วยน้อยลงส.

หากเราใช้เวกเตอร์ของเงื่อนไขอิสระเป็นการประมาณเริ่มต้น (ศูนย์) นั่นคือ x (0) = ดี , ที่ ขนาดของข้อผิดพลาดดูเหมือนว่า

(3.5)

ที่นี่ภายใต้ x * เข้าใจวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงของระบบแล้ว เพราะฉะนั้น,

ถ้า แล้วตาม ความแม่นยำที่ระบุจ สามารถคำนวณล่วงหน้าได้ จำนวนการวนซ้ำที่ต้องการ- กล่าวคือจากความสัมพันธ์

หลังจากการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ที่เราได้รับ

. (3.6)

เมื่อดำเนินการวนซ้ำหลายครั้ง จะรับประกันความแม่นยำที่ระบุในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบ การประมาณค่าทางทฤษฎีนี้ ปริมาณที่ต้องการขั้นตอนการวนซ้ำค่อนข้างถูกประเมินสูงเกินไป ในทางปฏิบัติ ความแม่นยำที่ต้องการสามารถทำได้โดยใช้การวนซ้ำน้อยลง

สะดวกในการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาสำหรับ SLAE ที่กำหนดโดยใช้วิธีการวนซ้ำแบบง่ายๆ โดยการป้อนผลลัพธ์ที่ได้รับในตารางในรูปแบบต่อไปนี้:

x 1	x 2	*เอ็กซ์เอ็น*

ควรสังเกตเป็นพิเศษว่าในการแก้ SLAE โดยใช้วิธีนี้ ซับซ้อนและใช้เวลานานที่สุดคือการดำเนินการเปลี่ยนแปลงระบบจากรูปแบบ (2.1) เป็นรูปแบบ (3.2) การแปลงเหล่านี้จะต้องเทียบเท่ากัน กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนวิธีแก้ปัญหาของระบบเดิม และรับประกันค่าของบรรทัดฐานของเมทริกซ์ ค (หลังจากทำเสร็จแล้ว) หน่วยที่เล็กกว่า ไม่มีสูตรสำเร็จสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ในกรณีนี้ ในแต่ละกรณี มีความจำเป็นต้องสร้างสรรค์ ลองพิจารณาดู ตัวอย่างซึ่งจะให้วิธีการบางอย่างในการแปลงระบบให้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1ให้เราค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย (ด้วยความแม่นยำ จ= 0.001)

ระบบนี้ถูกนำมาสู่แบบฟอร์มที่ต้องการด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด ลองย้ายพจน์ทั้งหมดจากด้านซ้ายไปด้านขวา แล้วบวกเข้ากับทั้งสองด้านของแต่ละสมการ x ฉัน (ฉัน =1, 2, 3, 4) เราได้รับระบบที่แปลงแล้วในรูปแบบต่อไปนี้

เมทริกซ์ ค และเวกเตอร์ ดี ในกรณีนี้จะเป็นดังนี้

ค = , ดี = .

ลองคำนวณบรรทัดฐานของเมทริกซ์กัน ค . เราได้รับ

เนื่องจากบรรทัดฐานกลายเป็นน้อยกว่าเอกภาพ จึงรับประกันการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย ในการประมาณค่าเริ่มต้น (ศูนย์) เราจะหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ ดี . เราได้รับ

, , , .

โดยใช้สูตร (3.6) เราคำนวณจำนวนขั้นตอนการวนซ้ำที่ต้องการ ให้เรากำหนดบรรทัดฐานของเวกเตอร์ก่อน ดี . เราได้รับ

ดังนั้นเพื่อให้ได้ความแม่นยำตามที่กำหนด จึงจำเป็นต้องทำซ้ำอย่างน้อย 17 ครั้ง เรามาทำซ้ำครั้งแรกกัน เราได้รับ

เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดแล้วเราก็จะได้

ในทำนองเดียวกัน เราจะดำเนินการตามขั้นตอนการวนซ้ำเพิ่มเติม เราสรุปผลลัพธ์ไว้ในตารางต่อไปนี้ ( ดี - มูลค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดการเปลี่ยนแปลงส่วนประกอบของโซลูชันระหว่างขั้นตอนปัจจุบันและก่อนหน้า)

ม

เนื่องจากหลังจากขั้นตอนที่สิบ ความแตกต่างระหว่างค่าในการวนซ้ำสองครั้งล่าสุดน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ เราจะหยุดกระบวนการวนซ้ำ เมื่อพบวิธีแก้ปัญหาเราจะนำค่าที่ได้รับในขั้นตอนสุดท้าย

ตัวอย่างที่ 2

ลองทำแบบเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราได้รับ

เมทริกซ์ ค จะมีระบบดังกล่าว

ค =.

มาคำนวณบรรทัดฐานกัน เราได้รับ

แน่นอนว่ากระบวนการวนซ้ำสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวจะไม่มาบรรจบกัน มีความจำเป็นต้องหาวิธีอื่นในการแปลงระบบสมการที่กำหนด

ให้เราจัดเรียงสมการแต่ละตัวใหม่ในระบบสมการดั้งเดิมเพื่อให้บรรทัดที่สามกลายเป็นบรรทัดที่หนึ่ง บรรทัดที่หนึ่ง - ที่สอง ที่สอง - ที่สาม จากนั้นเราก็เปลี่ยนมันในลักษณะเดียวกัน

เมทริกซ์ ค จะมีระบบดังกล่าว

ค =.

มาคำนวณบรรทัดฐานกัน เราได้รับ

เนื่องจากเป็นบรรทัดฐานของเมทริกซ์ ค กลับกลายเป็นว่ามีความเอกภาพน้อยกว่า ระบบที่แปลงด้วยวิธีนี้ จึงเหมาะสมกับการแก้ปัญหาด้วยวิธีวนซ้ำอย่างง่าย

ตัวอย่างที่ 3มาเปลี่ยนระบบสมการกัน

เป็นรูปแบบที่จะอนุญาตให้ใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่ายในการแก้ปัญหา

ก่อนอื่นให้เราดำเนินการคล้ายกับตัวอย่างที่ 1 เราได้รับ

เมทริกซ์ ค จะมีระบบดังกล่าว

ค =.

มาคำนวณบรรทัดฐานกัน เราได้รับ

แน่นอนว่ากระบวนการวนซ้ำสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวจะไม่มาบรรจบกัน

ในการแปลงเมทริกซ์ดั้งเดิมให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย เราดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก เราสร้างระบบสมการ "ตัวกลาง" โดยที่

- สมการแรกคือผลรวมของสมการที่หนึ่งและที่สองของระบบเดิม

- สมการที่สอง- ผลรวมของสองเท่าของสมการที่สามกับสมการที่สองลบสมการแรก

- สมการที่สาม- ความแตกต่างระหว่างสมการที่สามและสมการที่สองของระบบเดิม

เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการ "ระดับกลาง" ที่เทียบเท่ากับระบบสมการดั้งเดิม

จากนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับระบบอื่นซึ่งเป็นระบบ "ระดับกลาง"

และจากการเปลี่ยนแปลงนั้น

เมทริกซ์ ค จะมีระบบดังกล่าว

ค =.

มาคำนวณบรรทัดฐานกัน เราได้รับ

กระบวนการวนซ้ำสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวจะลู่เข้ากัน

วิธีจาโคบี ถือว่าองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์ ก ของระบบเดิม (2.2) มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบเดิมสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

(3.7)

จากบันทึกดังกล่าว ระบบจึงถูกสร้างขึ้น สูตรการวนซ้ำวิธีจาโคบี

เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำของวิธีจาโคบีคือเงื่อนไขที่เรียกว่า อำนาจเหนือเส้นทแยงมุมในระบบเดิม (แบบ (2,1)) วิเคราะห์แล้วเงื่อนไขนี้เขียนอยู่ในรูปแบบ

. (3.9)

ควรสังเกตว่าหากเข้า ระบบที่กำหนดสมการ เงื่อนไขการลู่เข้าของวิธีจาโคบี (เช่น เงื่อนไขการครอบงำของเส้นทแยงมุม) ไม่เป็นที่พอใจ ในหลายกรณี เป็นไปได้โดย การแปลงที่เท่ากันนำโซลูชัน SLAE ดั้งเดิมไปใช้กับโซลูชันของ SLAE ที่เทียบเท่าซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขนี้

ตัวอย่างที่ 4มาเปลี่ยนระบบสมการกัน

เป็นรูปแบบที่จะอนุญาตให้ใช้วิธีจาโคบีในการแก้ปัญหาได้

เราได้พิจารณาระบบนี้ในตัวอย่างที่ 3 แล้ว ดังนั้นเรามาต่อจากระบบนี้ไปยังระบบสมการ "ระดับกลาง" ที่ได้รับที่นั่นกัน เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ได้ว่าเงื่อนไขการครอบงำในแนวทแยงของมันเป็นไปตามที่พอใจ ดังนั้นให้เราเปลี่ยนมันให้อยู่ในรูปแบบที่จำเป็นเพื่อใช้วิธีจาโคบี เราได้รับ

จากนั้นเราได้สูตรสำหรับการคำนวณโดยใช้วิธี Jacobi สำหรับ SLAE ที่กำหนด

ถือเป็นการเริ่มต้นนั่นคือ ศูนย์, การประมาณเวกเตอร์ของเงื่อนไขอิสระ เราจะทำการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมด มาสรุปผลลัพธ์ในตารางกัน

ม					ดี

เพียงพอ ความแม่นยำสูงวิธีแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นนั้นทำได้สำเร็จในการวนซ้ำหกครั้ง

วิธีเกาส์-ไซเดล เป็นการปรับปรุงวิธี Jacobi และยังถือว่าองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์ ก ของระบบเดิม (2.2) มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบที่คล้ายกับวิธีจาโคบี แต่จะแตกต่างออกไปเล็กน้อย

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ หากในเครื่องหมายผลรวม ดัชนีบนน้อยกว่าดัชนีล่าง จะไม่มีการบวกใดๆ

แนวคิดของวิธี Gauss-Seidel คือผู้เขียนวิธีนี้มองเห็นโอกาสในการเร่งกระบวนการคำนวณให้เร็วขึ้นโดยสัมพันธ์กับวิธี Jacobi เนื่องจากในกระบวนการวนซ้ำครั้งถัดไปพบค่าใหม่ x 1 สามารถ โดยทันทีใช้ค่าใหม่นี้ ในการวนซ้ำเดียวกันเพื่อคำนวณตัวแปรที่เหลือ ในทำนองเดียวกัน ยิ่งกว่านั้น ได้พบคุณค่าใหม่แล้ว x 2 คุณสามารถใช้มันในการวนซ้ำเดียวกันได้ทันที ฯลฯ

บนพื้นฐานนี้ สูตรการวนซ้ำสำหรับวิธีเกาส์-ไซเดลมี มุมมองถัดไป

เพียงพอมาตราการบรรจบกันกระบวนการวนซ้ำของวิธี Gauss-Seidel นั้นมีเงื่อนไขเดียวกัน อำนาจเหนือเส้นทแยงมุม (3.9). ความเร็วบรรจบกันวิธีนี้สูงกว่าวิธีจาโคบีเล็กน้อย

ตัวอย่างที่ 5ให้เราแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์-ไซเดล

เราได้พิจารณาระบบนี้ในตัวอย่างที่ 3 และ 4 แล้ว ดังนั้นเราจะย้ายจากระบบนี้ไปยังระบบสมการที่ถูกแปลงทันที (ดูตัวอย่างที่ 4) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับการครอบงำของเส้นทแยงมุม จากนั้นเราได้สูตรสำหรับการคำนวณโดยใช้วิธี Gauss-Seidel

เราใช้เวกเตอร์ของเงื่อนไขอิสระเป็นการประมาณเริ่มต้น (เช่น ศูนย์) เพื่อทำการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมด มาสรุปผลลัพธ์ในตารางกัน

ม

โซลูชันที่ได้รับมีความแม่นยำสูงในการทำซ้ำห้าครั้ง

ข้อดีของวิธีการวนซ้ำคือการนำไปใช้กับระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดีและระบบที่มีลำดับสูง การแก้ไขตัวเอง และความง่ายในการใช้งานบนพีซี เพื่อเริ่มการคำนวณ วิธีการวนซ้ำจำเป็นต้องระบุการประมาณเบื้องต้นของโซลูชันที่ต้องการ

ควรสังเกตว่าเงื่อนไขและอัตราการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเมทริกซ์อย่างมีนัยสำคัญ กระบบและการเลือกการประมาณเบื้องต้น

หากต้องการใช้วิธีการวนซ้ำ ระบบเดิม (2.1) หรือ (2.2) จะต้องลดลงเป็นรูปแบบ

หลังจากนั้นจึงดำเนินการกระบวนการวนซ้ำตาม สูตรที่เกิดซ้ำ

, เค = 0, 1, 2, ... . (2.26ก)

เมทริกซ์ ชและเวกเตอร์ได้มาจากการเปลี่ยนแปลงของระบบ (2.1)

สำหรับการบรรจบกัน (2.26 ก) มีความจำเป็นและเพียงพอเพื่อให้ |l ฉัน(ช)| < 1, где lฉัน(ช) - ทั้งหมด ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ ช- การบรรจบกันจะเกิดขึ้นหาก || ช|| < 1, так как |lฉัน(ช)| < " ||ช|| โดยที่ " คือค่าใดก็ได้

สัญลักษณ์ || - หมายถึงบรรทัดฐานของเมทริกซ์ เมื่อพิจารณามูลค่า ส่วนใหญ่มักจะหยุดที่การตรวจสอบเงื่อนไขสองประการ:

||ช- = หรือ || ช|| = , (2.27)

ที่ไหน . รับประกันการบรรจบกันหากเมทริกซ์ดั้งเดิม กมีอำนาจเหนือในแนวทแยงเช่น

. (2.28)

หากเป็นไปตาม (2.27) หรือ (2.28) วิธีการวนซ้ำจะมาบรรจบกันสำหรับการประมาณเริ่มต้นใดๆ ส่วนใหญ่แล้วเวกเตอร์จะถูกนำมาเป็นศูนย์หรือหน่วย หรือเวกเตอร์นั้นนำมาจาก (2.26)

มีหลายวิธีในการแปลงระบบดั้งเดิม (2.2) ด้วยเมทริกซ์ กเพื่อให้แน่ใจว่าแบบฟอร์ม (2.26) หรือเป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้า (2.27) และ (2.28)

เช่น (2.26) สามารถรับได้ดังนี้

อนุญาต ก = ใน+ กับ, เดช ใน#0; แล้ว ( บี+ กับ)= Þ บี= −ค+ Þ Þ บี –1 บี= −บี –1 ค+ บี–1, จากไหน= - บี –1 ค+ บี –1 .

วาง - บี –1 ค = ช, บี–1 = เราได้รับ (2.26)

จากเงื่อนไขลู่เข้า (2.27) และ (2.28) จะเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นตัวแทน ก = ใน+ กับไม่สามารถกำหนดเองได้

ถ้าเป็นเมทริกซ์ กเป็นไปตามเงื่อนไข (2.28) จากนั้นเป็นเมทริกซ์ ในคุณสามารถเลือกรูปสามเหลี่ยมด้านล่างได้:

, ครั้งที่สอง ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

โดยการเลือกพารามิเตอร์ a เราจะมั่นใจได้ว่า || ช|| = ||อี+ ก ก|| < 1.

ถ้า (2.28) ชนะ การแปลงเป็น (2.26) สามารถทำได้โดยการแก้โจทย์แต่ละข้อ ฉันสมการของระบบ (2.1) เทียบกับ x ฉันตามสูตรการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้

(2.28ก)

ถ้าอยู่ในเมทริกซ์ กไม่มีการครอบงำในแนวทแยง แต่ต้องใช้บางส่วนเท่านั้น การแปลงเชิงเส้นโดยไม่ละเมิดความเท่าเทียมกัน

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาระบบ

(2.29)

อย่างที่คุณเห็น ในสมการ (1) และ (2) ไม่มีส่วนเด่นในแนวทแยง แต่ใน (3) มี เราจึงปล่อยให้มันไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ขอให้เราบรรลุความโดดเด่นในแนวทแยงในสมการ (1) ลองคูณ (1) ด้วย a, (2) ด้วย b เพิ่มทั้งสองสมการและในสมการผลลัพธ์ให้เลือก a และ b เพื่อให้มีความโดดเด่นในแนวทแยง:

(2เอ + 3บี) เอ็กซ์ 1 + (–1.8a + 2b) เอ็กซ์ 2 +(0.4a – 1.1b) เอ็กซ์ 3 = ก.

เมื่อ a = b = 5 เราจะได้ 25 เอ็กซ์ 1 + เอ็กซ์ 2 – 3,5เอ็กซ์ 3 = 5.

ในการแปลงสมการ (2) ด้วยความเด่นของ (1) คูณด้วย g (2) คูณด้วย d และลบ (1) จาก (2) เราได้รับ

(3 วัน – 2 กรัม) เอ็กซ์ 1 + (2 วัน + 1.8 ก.) เอ็กซ์ 2 +(–1.1d – 0.4ก.) เอ็กซ์ 3 = −ก.

ใส่ d = 2, g = 3 เราจะได้ 0 เอ็กซ์ 1 + 9,4 เอ็กซ์ 2 – 3,4 เอ็กซ์ 3 = −3 เป็นผลให้เราได้รับระบบ

(2.30)

เทคนิคนี้สามารถใช้เพื่อค้นหาคำตอบของเมทริกซ์ประเภทต่างๆ ได้

หรือ

ใช้เวกเตอร์ = (0.2; –0.32; 0) เป็นการประมาณเริ่มต้น ตเราจะแก้ปัญหาระบบนี้โดยใช้เทคโนโลยี (2.26 ก):

เค = 0, 1, 2, ... .

กระบวนการคำนวณจะหยุดลงเมื่อการประมาณเวกเตอร์ของสารละลายที่อยู่ใกล้เคียงกันสองครั้งเกิดขึ้นพร้อมกันอย่างแม่นยำ กล่าวคือ

เทคโนโลยี วิธีแก้ปัญหาแบบวนซ้ำประเภท (2.26 ก) ชื่อ วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย .

ระดับ ข้อผิดพลาดแน่นอนสำหรับวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย:

สัญลักษณ์อยู่ที่ไหน || - หมายถึงปกติ

ตัวอย่างที่ 2.1- ใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายด้วยความแม่นยำ e = 0.001 แก้ระบบ สมการเชิงเส้น:

จำนวนขั้นตอนที่ให้คำตอบที่แม่นยำถึง e = 0.001 สามารถกำหนดได้จากความสัมพันธ์

0.001 ปอนด์

ให้เราประมาณค่าการลู่เข้าโดยใช้สูตร (2.27) ที่นี่ || ช- = = สูงสุด(0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

ในการประมาณเบื้องต้น เราใช้เวกเตอร์ของเทอมอิสระ เช่น = (2.15; –0.83; 1.16; 0.44) ต- ลองแทนค่าเวกเตอร์เป็น (2.26 ก):

ดำเนินการคำนวณต่อไปเราป้อนผลลัพธ์ลงในตาราง:

เค	เอ็กซ์ 1	เอ็กซ์ 2	เอ็กซ์ 3	เอ็กซ์ 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

การบรรจบกันในพันเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ 10 แล้ว

คำตอบ: เอ็กซ์ 1 » 3.571; เอ็กซ์ 2 "-0.957; เอ็กซ์ 3 » 1.489; เอ็กซ์ 4 "-0.836.

สารละลายนี้สามารถหาได้โดยใช้สูตร (2.28 ก).

ตัวอย่างที่ 2.2- เพื่อแสดงอัลกอริทึมโดยใช้สูตร (2.28 ก) พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของระบบ (เพียงสองครั้งเท่านั้น):

; . (2.31)

ให้เราแปลงระบบเป็นรูปแบบ (2.26) ตาม (2.28 ก):

Þ (2.32)

ลองประมาณเริ่มต้น = (0; 0; 0) ต- แล้วสำหรับ เค= 0 จะเห็นได้ว่าค่า = (0.5; 0.8; 1.5) ต- ให้เราแทนค่าเหล่านี้เป็น (2.32) เช่น เมื่อ เค= 1 เราได้ = (1.075; 1.3; 1.175) ต.

ข้อผิดพลาด อี 2 = = สูงสุด(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575

บล็อกไดอะแกรมของอัลกอริธึมสำหรับค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา SLAE โดยใช้วิธีการ การวนซ้ำอย่างง่ายตามสูตรการทำงาน (2.28 ก) แสดงไว้ในรูปที่ 2.4.

คุณสมบัติพิเศษของแผนภาพบล็อกคือการมีบล็อกต่อไปนี้:

– บล็อก 13 – จุดประสงค์ของมันถูกกล่าวถึงด้านล่าง

– บล็อก 21 – การแสดงผลลัพธ์บนหน้าจอ

– บล็อก 22 – ตรวจสอบ (ตัวบ่งชี้) ของการลู่เข้า

ให้เราวิเคราะห์โครงร่างที่เสนอโดยใช้ตัวอย่างระบบ (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0.001):

= ; .

ปิดกั้น 1. ป้อนข้อมูลเริ่มต้น ก, ,เรา, n: n= 3, ก = 1, อี = 0.001

วงจรที่ 1- ตั้งค่าเริ่มต้นของเวกเตอร์ x 0ฉันและ x ฉัน (ฉัน = 1, 2, 3).

ปิดกั้น 5. รีเซ็ตตัวนับการวนซ้ำ

ปิดกั้น 6. รีเซ็ตตัวนับข้อผิดพลาดปัจจุบันให้เป็นศูนย์

ในรอบที่ 2 หมายเลขแถวเมทริกซ์จะเปลี่ยนไป กและเวกเตอร์

รอบที่สอง:ฉัน = 1: ส = ข 1 = 2 (บล็อก 8)

ไปที่ลูปที่ซ้อนกัน III บล็อก 9 – ตัวนับหมายเลขคอลัมน์เมทริกซ์ ก: เจ = 1.

ปิดกั้น 10: เจ = ฉันดังนั้นเราจึงกลับไปที่บล็อก 9 และเพิ่มขึ้น เจต่อหน่วย: เจ = 2.

ในบล็อก 10 เจ ¹ ฉัน(2 ¹ 1) – เราย้ายไปบล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 2 – (–1) × เอ็กซ์ 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2 ไปที่บล็อก 9 โดยที่ เจเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง: เจ = 3.

ในบล็อก 10 สภาพ เจ ¹ ฉันสำเร็จแล้ว เรามาต่อกันที่บล็อก 11 กันดีกว่า

ปิดกั้น 11: ส= 2 – (–1) × เอ็กซ์ 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2 หลังจากนั้นเราไปยังบล็อก 9 โดยที่ เจเพิ่มขึ้นหนึ่ง ( เจ= 4) ความหมาย เจมากกว่า n (n= 3) – เราจบวงจรและไปยังบล็อก 12

ปิดกั้น 12: ส = ส / ก 11 = 2 / 4 = 0,5.

ปิดกั้น 13: ก = 1; ส = ส + 0 = 0,5.

ปิดกั้น 14: ง = | x ฉัน – ส | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

ปิดกั้น 15: x ฉัน = 0,5 (ฉัน = 1).

ปิดกั้น 16.ตรวจสภาพ ง > เดอ: 0.5 > 0 ดังนั้นไปที่บล็อก 17 ที่เรากำหนดไว้ เดอ= 0.5 และคืนโดยใช้ลิงค์ “ ก» ไปยังขั้นตอนถัดไปของรอบที่ 2 – เพื่อบล็อก 7 ซึ่งในนั้น ฉันเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง

รอบที่สอง: ฉัน = 2: ส = ข 2 = 4 (บล็อก 8)

เจ = 1.

ผ่านบล็อก 10 เจ ¹ ฉัน(1 ¹ 2) – เราย้ายไปบล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 4 – 1 × 0 = 4 ไปที่บล็อก 9 โดยในนั้น เจเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง: เจ = 2.

ในบล็อก 10 ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นเราจึงไปยังบล็อก 9 ซึ่งในนั้น เจเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง: เจ= 3 โดยการเปรียบเทียบ เราจะไปยังบล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 4 – (–2) × 0 = 4 หลังจากนั้นเราจบรอบที่ 3 และไปต่อที่บล็อก 12

ปิดกั้น 12: ส = ส/ ก 22 = 4 / 5 = 0,8.

ปิดกั้น 13: ก = 1; ส = ส + 0 = 0,8.

ปิดกั้น 14: ง = | 1 – 0,8 | = 0,2.

ปิดกั้น 15: x ฉัน = 0,8 (ฉัน = 2).

ปิดกั้น 16.ตรวจสภาพ ง > เดอ: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ก» ไปยังขั้นตอนถัดไปของรอบที่ 2 - เพื่อบล็อก 7

รอบที่สอง: ฉัน = 3: ส = ข 3 = 6 (บล็อก 8)

ไปที่ลูปซ้อน III บล็อก 9: เจ = 1.

ปิดกั้น 11: ส= 6 – 1 × 0 = 6 ไปที่บล็อก 9: เจ = 2.

การใช้บล็อก 10 เราย้ายไปที่บล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 6 – 1 × 0 = 6 เราจบรอบที่ 3 แล้วไปต่อที่บล็อก 12

ปิดกั้น 12: ส = ส/ ก 33 = 6 / 4 = 1,5.

ปิดกั้น 13: ส = 1,5.

ปิดกั้น 14: ง = | 1 – 1,5 | = 0,5.

ปิดกั้น 15: x ฉัน = 1,5 (ฉัน = 3).

ตามบล็อก 16 (รวมถึงการอ้างอิง " ก" และ " กับ") เราออกจากวงจรที่ 2 และไปยังบล็อก 18

ปิดกั้น 18. การเพิ่มจำนวนการวนซ้ำ มัน = มัน + 1 = 0 + 1 = 1.

ในบล็อก 19 และ 20 ของรอบที่ 4 เราจะแทนที่ค่าเริ่มต้น เอ็กซ์ 0ฉันค่าที่ได้รับ x ฉัน (ฉัน = 1, 2, 3).

ปิดกั้น 21. เราพิมพ์ค่ากลางของการวนซ้ำปัจจุบันใน ในกรณีนี้: = (0,5; 0,8; 1,5)ต, มัน = 1; เดอ = 0,5.

เราไปที่รอบที่ 2 เพื่อบล็อก 7 และทำการคำนวณที่พิจารณาแล้วด้วยการคำนวณใหม่ ค่าเริ่มต้น เอ็กซ์ 0ฉัน (ฉัน = 1, 2, 3).

หลังจากนั้นเราก็ได้ เอ็กซ์ 1 = 1,075; เอ็กซ์ 2 = 1,3; เอ็กซ์ 3 = 1,175.

ในกรณีนี้ วิธีการของไซเดลมาบรรจบกัน

ตามสูตร (2.33)

เค	เอ็กซ์ 1	เอ็กซ์ 2	เอ็กซ์ 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

คำตอบ: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

ความคิดเห็น- หากการวนซ้ำอย่างง่ายและวิธีการ Seidel มาบรรจบกันสำหรับระบบเดียวกัน วิธี Seidel ก็เหมาะกว่า อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ พื้นที่ของการลู่เข้าของวิธีการเหล่านี้อาจแตกต่างกัน กล่าวคือ วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมาบรรจบกัน แต่วิธี Seidel แตกต่าง และในทางกลับกัน สำหรับทั้งสองวิธี ถ้า || ช- ใกล้กับ หน่วย, ความเร็วลู่เข้าต่ำมาก

เพื่อเร่งการบรรจบกันจึงใช้เทคนิคประดิษฐ์ที่เรียกว่า วิธีการผ่อนคลาย - สาระสำคัญของมันคือค่าถัดไปที่ได้รับจากวิธีการวนซ้ำ x ฉัน (เค) จะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร

โดยที่ w มักจะเปลี่ยนในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2 (0< w £ 2) с каким-либо шагом (ชม.= 0.1 หรือ 0.2) พารามิเตอร์ w ถูกเลือกเพื่อให้การลู่เข้าของวิธีการทำได้ในจำนวนการวนซ้ำขั้นต่ำ

ผ่อนคลาย– สภาวะของร่างกายใด ๆ ที่ค่อยๆ อ่อนลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปหลังจากการยุติปัจจัยที่ทำให้เกิดสภาวะนี้ (วิศวกรรมกายภาพ)

ตัวอย่างที่ 2.4- ให้เราพิจารณาผลลัพธ์ของการวนซ้ำครั้งที่ 5 โดยใช้สูตรการผ่อนคลาย ลองใช้ w = 1.5:

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์ของการวนซ้ำเกือบเจ็ดครั้งนั้นเกิดขึ้น

การแนะนำ

1. การแก้ปัญหาด้วยวิธีทำซ้ำง่ายๆ

1.1 คำอธิบายวิธีการแก้ปัญหา

1.2 ข้อมูลเบื้องต้น

1.3 อัลกอริทึม

1.4 โปรแกรมเป็นภาษา QBasic

1.5 ผลลัพธ์ของโปรแกรม

1.6 การตรวจสอบผลลัพธ์ของโปรแกรม

2. การปรับแต่งรูทโดยใช้วิธีแทนเจนต์

2.1 คำอธิบายวิธีการแก้ปัญหา

2.2 ข้อมูลเบื้องต้น

2.3 อัลกอริทึม

2.4 โปรแกรมเป็นภาษา QBasic

2.5 ผลลัพธ์ของโปรแกรม

2.6 การตรวจสอบผลลัพธ์ของโปรแกรม

3. การบูรณาการเชิงตัวเลขตามกฎสี่เหลี่ยม

3.1 คำอธิบายวิธีการแก้ปัญหา

3.2 ข้อมูลเบื้องต้น

3.3 อัลกอริทึม

3.4 โปรแกรมเป็นภาษา QBasic

3.5 การตรวจสอบผลลัพธ์ของโปรแกรม

4.1 ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับโปรแกรม

4.1.1 วัตถุประสงค์และ คุณสมบัติที่โดดเด่น

4.1.2 ข้อจำกัดของ WinRAR

4.1.3 ข้อกำหนดของระบบ WinRAR

4.2 อินเทอร์เฟซ WinRAR

4.3 โหมดการจัดการไฟล์และไฟล์เก็บถาวร

4.4 การใช้เมนูบริบท

บทสรุป

ข้อมูลอ้างอิง

การแนะนำ

จุดประสงค์นี้ งานหลักสูตรคือการพัฒนาอัลกอริธึมและโปรแกรมสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีคอร์ด สำหรับ การบูรณาการเชิงตัวเลขตามกฎสี่เหลี่ยมคางหมู

สมการพีชคณิตคือสมการที่มีเฉพาะฟังก์ชันพีชคณิตเท่านั้น (จำนวนเต็ม ตรรกยะ และอตรรกยะ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามคือฟังก์ชันพีชคณิตทั้งหมด สมการที่มีฟังก์ชันอื่นๆ (ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และอื่นๆ) เรียกว่า สมการเหนือธรรมชาติ

วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม:

· วิธีการที่แน่นอน ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่มีขอบเขตจำกัดสำหรับการคำนวณรากของระบบ (การแก้ระบบโดยใช้ เมทริกซ์ผกผัน, กฎของแครเมอร์, วิธีของเกาส์ ฯลฯ ),

· วิธีการวนซ้ำที่ทำให้สามารถหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบด้วยความแม่นยำที่กำหนดผ่านกระบวนการวนซ้ำแบบลู่เข้า (วิธีการวนซ้ำ วิธี Seidel ฯลฯ)

เนื่องจากการปัดเศษอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ผลลัพธ์จึงเท่ากัน วิธีการที่แม่นยำเป็นการประมาณ เมื่อใช้วิธีการวนซ้ำ ข้อผิดพลาดของวิธีการก็จะถูกเพิ่มเข้าไปด้วย

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นหนึ่งในปัญหาหลักของพีชคณิตเชิงเส้นเชิงคำนวณ แม้ว่าปัญหาการแก้ระบบสมการเชิงเส้นไม่ค่อยสนใจการประยุกต์ใช้งานมากนัก แต่ความเป็นไปได้มักขึ้นอยู่กับความสามารถในการแก้ระบบดังกล่าวอย่างมีประสิทธิผล การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กระบวนการต่างๆ มากมายโดยใช้คอมพิวเตอร์ ส่วนสำคัญของวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาต่างๆ (โดยเฉพาะแบบไม่เชิงเส้น) รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นขั้นตอนเบื้องต้นของอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้อง

เพื่อให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมีวิธีแก้ ลำดับของเมทริกซ์หลักจึงจำเป็นและเพียงพอ เท่ากับอันดับเมทริกซ์ขยาย ถ้าอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายและ เท่ากับจำนวนไม่ทราบ ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ถ้าอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแต่ ตัวเลขที่น้อยกว่าไม่ทราบ ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ไขจำนวนอนันต์

วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นวิธีหนึ่งที่พบบ่อยที่สุดคือวิธีเกาส์ วิธีการนี้เป็นที่รู้จักกันใน ตัวเลือกต่างๆเป็นเวลานานกว่า 2,000 ปี วิธีเกาส์เป็นวิธีดั้งเดิมในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) นี่คือวิธีการ การกำจัดตามลำดับตัวแปรเมื่อใช้งาน การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่ากันซึ่งมีรูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ซึ่งตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะพบตามลำดับ โดยเริ่มจากตัวแปรสุดท้าย (ตามตัวเลข)

หากพูดอย่างเคร่งครัด วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้นนี้เรียกว่าวิธีกำจัดเกาส์-จอร์แดนอย่างถูกต้อง เนื่องจากเป็นรูปแบบหนึ่งของวิธีเกาส์ที่อธิบายโดยนักสำรวจวิลเฮล์ม จอร์แดนในปี พ.ศ. 2430 เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบด้วยว่าพร้อมกับจอร์แดน (และตามข้อมูลบางส่วนก่อนหน้าเขา) อัลกอริทึมนี้ถูกคิดค้นโดย B.-I

ภายใต้ สมการไม่เชิงเส้นเราเข้าใจสมการพีชคณิตและสมการเหนือธรรมชาติของรูปแบบ โดยที่ x - จำนวนจริง, เอ - ฟังก์ชันไม่เชิงเส้น- ในการแก้สมการเหล่านี้ จะใช้วิธีคอร์ด - วนซ้ำ วิธีการเชิงตัวเลขตำแหน่งโดยประมาณของราก ดังที่ทราบกันดีว่าสมการและระบบสมการจำนวนมากไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ สิ่งนี้ใช้กับสมการเหนือธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นหลัก ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสูตรที่สามารถใช้เพื่อแก้สมการพีชคณิตตามอำเภอใจที่มีระดับสูงกว่าสี่ได้ นอกจากนี้ ในบางกรณี สมการจะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบเพียงโดยประมาณเท่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวกับปัญหานั้นเอง คำจำกัดความที่แม่นยำรากของสมการสูญเสียความหมาย เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ จะมีการใช้วิธีการวนซ้ำตามระดับความแม่นยำที่กำหนด การแก้สมการโดยใช้วิธีวนซ้ำหมายถึงการกำหนดว่ามีรากหรือไม่ มีกี่ราก และการค้นหาค่าของรากด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ปัญหาในการหารากของสมการ f(x) = 0 โดยใช้วิธีการวนซ้ำประกอบด้วยสองขั้นตอน:

·การแยกราก - ค้นหาค่าโดยประมาณของรูตหรือส่วนที่มีมัน

· การชี้แจงรากโดยประมาณ - นำไปสู่ระดับความแม่นยำที่กำหนด

อินทิกรัลที่แน่นอนฟังก์ชัน f(x) ซึ่งถ่ายในช่วงเวลาจาก กถึง ขคือขีดจำกัดที่ผลรวมอินทิกรัลมีแนวโน้มเป็นช่วงทั้งหมด ∆x i มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ตามกฎสี่เหลี่ยมคางหมู จำเป็นต้องแทนที่กราฟของฟังก์ชัน F(x) ด้วยเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด (x 0,y 0) และ (x 0 +h,y 1) แล้วคำนวณค่า ขององค์ประกอบของผลรวมอินทิกรัลเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู: .

การแก้ปัญหา SLAU ด้วยวิธีทำซ้ำง่ายๆ

1.1 คำอธิบายวิธีการวนซ้ำอย่างต่อเนื่อง

ระบบสมการพีชคณิต (SLAE) มีรูปแบบดังนี้

หรือเมื่อเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ในทางปฏิบัติมีการใช้วิธีสองประเภท วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข SLAU – ทางตรงและทางอ้อม เมื่อใช้วิธีการโดยตรง SLAE จะลดลงเป็นรูปแบบพิเศษรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง (แนวทแยง สามเหลี่ยม) ซึ่งช่วยให้ได้สารละลายที่ต้องการอย่างแม่นยำ (ถ้ามี) วิธีการแก้ SLAE โดยตรงที่ใช้กันมากที่สุดคือวิธีเกาส์เซียน วิธีการวนซ้ำจะใช้เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของ SLAE ด้วยความแม่นยำที่กำหนด ควรสังเกตว่ากระบวนการวนซ้ำไม่ได้มาบรรจบกันกับวิธีแก้ปัญหาของระบบเสมอไป แต่จะเกิดขึ้นเมื่อลำดับของการประมาณที่ได้รับระหว่างการคำนวณมีแนวโน้มที่จะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนเท่านั้น เมื่อแก้ไข SLAE โดยใช้วิธีวนซ้ำแบบง่าย ค่าดังกล่าวจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรที่ต้องการเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่อยู่ทางด้านซ้าย:

โดยระบุการประมาณเบื้องต้นไว้แล้ว x i, i=1,2,…,n, แทนที่พวกมันเข้าไป ด้านขวานิพจน์และคำนวณค่าใหม่ x- กระบวนการนี้ถูกทำซ้ำจนกระทั่งถึงค่าสูงสุดของค่าคงเหลือที่กำหนดโดยนิพจน์:

จะไม่น้อยกว่าความแม่นยำที่กำหนด ε หากเกิดความคลาดเคลื่อนสูงสุดที่ เคการวนซ้ำจะมากกว่าความคลาดเคลื่อนสูงสุดที่ เค-1การวนซ้ำแล้วกระบวนการจะสิ้นสุดลงอย่างผิดปกติเพราะว่า กระบวนการวนซ้ำแตกต่างกันไป เพื่อลดจำนวนการวนซ้ำ ค่า x ใหม่สามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าคงเหลือจากการวนซ้ำครั้งก่อน

บรรยาย วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นพีชคณิตแบบวนซ้ำ

เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำ วิธีจาโคบี

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

พิจารณาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากต้องการใช้วิธีการวนซ้ำ ระบบจะต้องถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน

จากนั้นจะมีการเลือกการประมาณเริ่มต้นของระบบสมการและพบลำดับของการประมาณราก

เพื่อให้กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน เงื่อนไขก็เพียงพอแล้ว
(บรรทัดฐานเมทริกซ์) เกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำขึ้นอยู่กับวิธีการวนซ้ำที่ใช้

วิธีจาโคบี .

วิธีที่ง่ายที่สุดในการนำระบบมาอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำมีดังนี้:

จากสมการแรกของระบบเราแสดงความไม่ทราบ x 1 จากสมการที่สองของระบบที่เราแสดงออก x 2 ฯลฯ

เป็นผลให้เราได้ระบบสมการที่มีเมทริกซ์ B ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นศูนย์บนเส้นทแยงมุมหลักและองค์ประกอบที่เหลือคำนวณโดยใช้สูตร:

ส่วนประกอบของเวกเตอร์ d คำนวณโดยใช้สูตร:

สูตรการคำนวณสำหรับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายคือ:

หรือในรูปแบบพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

เกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำในวิธี Jacobi มีรูปแบบดังนี้

ถ้า
จากนั้นเราสามารถใช้เกณฑ์ที่ง่ายกว่านี้ในการสิ้นสุดการวนซ้ำได้

ตัวอย่างที่ 1การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีจาโคบี

ให้ระบบสมการได้รับ:

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ไขระบบให้ถูกต้องแม่นยำ

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

ให้เราเลือกการประมาณเบื้องต้น เช่น

- เวกเตอร์ของด้านขวา

จากนั้นการวนซ้ำครั้งแรกจะเป็นดังนี้:

การประมาณค่าต่อไปนี้ของสารละลายได้มาในทำนองเดียวกัน

ลองหาบรรทัดฐานของเมทริกซ์ B กัน

เราจะใช้บรรทัดฐาน

เนื่องจากผลรวมของโมดูลขององค์ประกอบในแต่ละแถวคือ 0.2 ดังนั้น
ดังนั้นเกณฑ์ในการยุติการวนซ้ำในปัญหานี้คือ

มาคำนวณบรรทัดฐานของความแตกต่างของเวกเตอร์:

เพราะ
บรรลุความแม่นยำที่ระบุในการวนซ้ำครั้งที่สี่

คำตอบ: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

วิธีไซเดล .

วิธีการนี้ถือได้ว่าเป็นการปรับเปลี่ยนวิธีจาโคบี แนวคิดหลักก็คือเมื่อคำนวณต่อไป (n+1)- แนวทางสู่สิ่งที่ไม่รู้จัก x ฉันที่ ฉัน >1ใช้เจอแล้ว (n+1)- e กำลังเข้าใกล้สิ่งที่ไม่รู้จัก x 1 ,x 2 , ...,xฉัน - 1 และไม่ใช่ nการประมาณค่า เช่นเดียวกับวิธีจาโคบี

สูตรการคำนวณของวิธีการในรูปแบบพิกัดมีลักษณะดังนี้:

เงื่อนไขการบรรจบกันและเกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำสามารถดำเนินการได้เช่นเดียวกับในวิธีจาโคบี

ตัวอย่างที่ 2การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีไซเดล

ให้เราพิจารณาการแก้สมการ 3 ระบบพร้อมกัน:

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

โปรดทราบว่าเงื่อนไขการบรรจบกัน
ทำเฉพาะระบบแรกเท่านั้น มาคำนวณการประมาณค่าประมาณ 3 ค่าแรกกับโซลูชันในแต่ละกรณีกัน

ระบบที่ 1:

วิธีแก้ไขที่แน่นอนจะเป็นค่าต่อไปนี้: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 - กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน

ระบบที่ 2:

จะเห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำนั้นแตกต่างกัน

ทางออกที่แน่นอน x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

ระบบที่ 3:

จะเห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำดำเนินไปเป็นรอบ

ทางออกที่แน่นอน x 1 = 1, x 2 = 2 .

ปล่อยให้เมทริกซ์ของระบบสมการ A มีความสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน จากนั้น สำหรับการเลือกการประมาณเริ่มต้น วิธีไซเดลก็จะมาบรรจบกัน ไม่มีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเล็กของบรรทัดฐานของเมทริกซ์บางตัว

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย.

ถ้า A เป็นเมทริกซ์แน่นอนแบบสมมาตรและเป็นบวก ระบบสมการมักจะถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน:

x=x-τ (ก x- b), τ – พารามิเตอร์การวนซ้ำ

สูตรการคำนวณของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายในกรณีนี้มีรูปแบบ:

x (n+1) =x n- τ (อ x (n) - ข)

และเลือกพารามิเตอร์ τ > 0 เพื่อลดค่าให้เหลือน้อยที่สุด หากเป็นไปได้