การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นสองตัว ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

ลองดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาระบบอสมการเชิงเส้น

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ในการแก้ปัญหาระบบ คุณต้องมีองค์ประกอบที่ไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่าง มีเพียงการตัดสินใจเท่านั้นที่จะไม่เขียนแยกกัน แต่รวมเข้าด้วยกันด้วยเครื่องหมายปีกกา

ในแต่ละความไม่เท่าเทียมกันของระบบ เราย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักไปด้านหนึ่ง และสิ่งที่รู้แล้วไปอีกด้านหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

หลังจากลดรูปลงแล้ว อสมการทั้งสองข้างจะต้องหารด้วยตัวเลขที่อยู่หน้า X เราหารอสมการแรกด้วยจำนวนบวก ดังนั้นเครื่องหมายของอสมการจึงไม่เปลี่ยนแปลง เราหารอสมการที่สองด้วยจำนวนลบ ดังนั้นเครื่องหมายอสมการจะต้องกลับด้าน:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เราทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นจำนวน:

ในการตอบสนอง เราเขียนจุดตัดของคำตอบ นั่นคือส่วนที่มีการแรเงาบนทั้งสองเส้น

คำตอบ: x∈[-2;1)

ในอสมการแรก ลองกำจัดเศษส่วนออกไป. ในการทำเช่นนี้ เราจะคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด 2 เมื่อคูณด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง

ในอสมการที่สองเราจะเปิดวงเล็บ ผลคูณของผลรวมและผลต่างของสองนิพจน์จะเท่ากับผลต่างของกำลังสองของนิพจน์เหล่านี้ ทางด้านขวาคือกำลังสองของความแตกต่างระหว่างสองนิพจน์

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เราย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักไปด้านหนึ่ง สิ่งที่รู้จักไปอีกด้านหนึ่งโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม และทำให้ง่ายขึ้น:

เราหารทั้งสองด้านของอสมการด้วยตัวเลขหน้า X ในอสมการแรก เราหารด้วยจำนวนลบ ดังนั้นเครื่องหมายของอสมการจึงกลับกัน ประการที่สองเราหารด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

อสมการทั้งสองมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" (ไม่สำคัญว่าเครื่องหมายหนึ่งจะ "น้อยกว่า" อย่างเคร่งครัด ส่วนอีกเครื่องหมายหลวม "น้อยกว่าหรือเท่ากับ") เราไม่สามารถทำเครื่องหมายทั้งสองวิธีได้ แต่ใช้กฎ " " อันที่เล็กกว่าคือ 1 ดังนั้นระบบจึงลดความไม่เท่าเทียมกัน

เราทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาไว้บนเส้นจำนวน:

คำตอบ: x∈(-∞;1]

การเปิดวงเล็บ ในความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก - . มันเท่ากับผลรวมของกำลังสามของนิพจน์เหล่านี้

ประการที่สอง ผลคูณของผลรวมและผลต่างของสองนิพจน์ ซึ่งเท่ากับผลต่างของกำลังสอง เนื่องจากที่นี่มีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ จึงเป็นการดีกว่าถ้าเปิดเป็นสองขั้นตอน: ขั้นแรกให้ใช้สูตร จากนั้นจึงเปิดวงเล็บโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมไปในทางตรงกันข้าม

เราย้ายสิ่งไม่รู้ไปในทิศทางหนึ่ง สิ่งรู้ไปในทิศทางตรงกันข้ามด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ทั้งสองยิ่งใหญ่กว่าสัญญาณ การใช้กฎ "มากกว่ามากกว่า" เราจะลดระบบความไม่เท่าเทียมกันให้เหลือเพียงความไม่เท่าเทียมกันเดียว จำนวนที่มากกว่าของทั้งสองจำนวนคือ 5 ดังนั้น

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

เราทำเครื่องหมายวิธีแก้ไขอสมการบนเส้นจำนวนแล้วเขียนคำตอบ:

คำตอบ: x∈(5;∞)

เนื่องจากในระบบพีชคณิตของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นไม่เพียงพบเป็นงานอิสระเท่านั้น แต่ยังอยู่ในหลักสูตรของการแก้สมการอสมการประเภทต่างๆ ฯลฯ สิ่งสำคัญคือต้องเชี่ยวชาญหัวข้อนี้ในเวลาที่เหมาะสม

คราวหน้าเราจะดูตัวอย่างการแก้ระบบอสมการเชิงเส้นในกรณีพิเศษ เมื่ออสมการตัวใดตัวหนึ่งไม่มีคำตอบหรือคำตอบเป็นตัวเลขใดๆ

หมวดหมู่: |

ดูเพิ่มเติมที่ การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก รูปแบบ Canonical ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ระบบข้อจำกัดสำหรับปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปรสองตัว:
และฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ เอฟ = ค 1 x + ค 2 ยซึ่งจำเป็นต้องขยายให้ใหญ่สุด

มาตอบคำถามกัน: ตัวเลขคู่ใด ( x; ย) เป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกัน กล่าวคือ พวกมันตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างไปพร้อมๆ กันหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกหมายถึงอะไร?
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าอะไรคือคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวหนึ่งกับค่าไม่ทราบสองตัว
การแก้อสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวหมายถึงการกำหนดค่าที่ไม่ทราบค่าคู่ทั้งหมดซึ่งมีความไม่เท่าเทียมกันอยู่
ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกัน 3 x – 5ย≥ 42 คู่ที่ตอบสนอง ( x , ย) : (100, 2); (3, –10) ฯลฯ ภารกิจคือค้นหาคู่ดังกล่าวทั้งหมด
ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ขวาน + โดย≤ ค, ขวาน + โดย≥ ค- ตรง ขวาน + โดย = คแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งเพื่อให้พิกัดของจุดหนึ่งในนั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน + โดย >คและความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ ขวาน + +โดย <ค.
จริงๆ เรามาจับประเด็นเรื่องการประสานงานกันดีกว่า x = x 0 ; แล้วมีจุดนอนอยู่บนเส้นและมีฝี x 0 มีลำดับ

ปล่อยให้มั่นใจ ก< 0, ข>0, ค>0. ทุกจุดมีแอบซิสซา x 0 นอนอยู่เหนือ ป(เช่น จุด ม), มี คุณเอ็ม>ย 0 และทุกจุดที่อยู่ต่ำกว่าจุด ป, กับแอบซิสซา x 0 มี ใช่<ย 0 . เพราะ x 0 เป็นจุดใดก็ได้ โดยจะมีจุดอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงเสมอ ขวาน+ โดย > คก่อตัวเป็นระนาบครึ่งและอีกด้านหนึ่ง - ชี้ไปที่ ขวาน + โดย< ค.

รูปที่ 1

เครื่องหมายอสมการในครึ่งระนาบขึ้นอยู่กับตัวเลข ก, ข , ค.
นี่แสดงถึงวิธีการต่อไปนี้สำหรับการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบกราฟิกในตัวแปรสองตัว ในการแก้ปัญหาระบบที่คุณต้องการ:

1. สำหรับอสมการแต่ละอย่าง ให้เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการนี้
2. สร้างเส้นตรงที่เป็นกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยสมการ
3. สำหรับแต่ละบรรทัด ให้กำหนดครึ่งระนาบซึ่งกำหนดโดยอสมการ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่บนเส้นและแทนที่พิกัดของมันให้เป็นอสมการ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง แล้วครึ่งหนึ่งของระนาบที่มีจุดที่เลือกจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม หากอสมการเป็นเท็จ แสดงว่าครึ่งระนาบที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นตรงคือเซตของคำตอบสำหรับอสมการนี้
4. ในการแก้ปัญหาระบบอสมการนั้น จำเป็นต้องหาพื้นที่ตัดกันของระนาบครึ่งระนาบทั้งหมดที่เป็นคำตอบของอสมการแต่ละระบบ

พื้นที่นี้อาจกลายเป็นพื้นที่ว่างเปล่า จากนั้น ระบบความไม่เท่าเทียมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน มิฉะนั้นจะบอกว่าระบบมีความสม่ำเสมอ
อาจมีคำตอบจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ก็ได้ พื้นที่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดหรือไม่มีขอบเขตก็ได้

ลองดูตัวอย่างที่เกี่ยวข้องสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบแบบกราฟิก:
x + คุณ – 1 ≤ 0;
–2เอ็กซ์ – 2ย + 5 ≤ 0.

• พิจารณาสมการ x+y–1=0 และ –2x–2y+5=0 ที่สอดคล้องกับอสมการ
• มาสร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้กัน

รูปที่ 2

ให้เรานิยามระนาบครึ่งที่กำหนดโดยอสมการ ลองใช้จุดใดก็ได้, ให้ (0; 0) ลองพิจารณาดู x+ คุณ– 1 0 แทนจุด (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0 ซึ่งหมายความว่าในระนาบครึ่งระนาบที่จุด (0; 0) อยู่ x + ย – 1 ≤ 0 เช่น ระนาบครึ่งหนึ่งที่อยู่ต่ำกว่าเส้นคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก แทนที่จุดนี้ (0; 0) ลงในวินาทีเราจะได้: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0 เช่น ในระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุด (0; 0) อยู่ –2 x – 2ย+ 5≥ 0 และเราถูกถามว่าอยู่ที่ไหน –2 x – 2ยดังนั้น + 5 ≤ 0 ดังนั้นในอีกครึ่งระนาบ - ในระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง
ลองหาจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบทั้งสองนี้กัน เส้นขนานกัน ดังนั้นระนาบจึงไม่ตัดกันที่ใดเลย ซึ่งหมายความว่าระบบของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับระบบอสมการ:

รูปที่ 3
1. เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง
x + 2ย– 2 = 0

x	2	0
ย	0	1

ย – x – 1 = 0

x	0	2
ย	1	3

ย + 2 = 0;
ย = –2.
2. เมื่อเลือกจุด (0; 0) เราจะกำหนดสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันในระนาบครึ่ง:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0 เช่น x + 2ย– 2 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น ย –x– 1 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 + 2 =2 ≥ 0 เช่น ย+ 2 ≥ 0 ในระนาบครึ่งระนาบเหนือเส้นตรง
3. จุดตัดของระนาบครึ่งทั้งสามนี้จะเป็นพื้นที่ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม การค้นหาจุดยอดของภูมิภาคเป็นจุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ใช่เรื่องยาก


ดังนั้น, ก(–3; –2), ใน(0; 1), กับ(6; –2).

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งไม่จำกัดโดเมนโซลูชันผลลัพธ์ของระบบ

คำจำกัดความ 1 . ชุดของจุดในอวกาศ ร n ซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ ก 1 เอ็กซ์ 1 + ก 2 เอ็กซ์ 2 +…+ ก n x n = ข, เรียกว่า ( n - 1 ) - ไฮเปอร์เพลนมิติใน n-พื้นที่มิติ

ทฤษฎีบท 1 ไฮเปอร์เพลนแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นสองช่องครึ่ง ครึ่งปริภูมิเป็นเซตนูน

จุดตัดของปริภูมิครึ่งจำนวนจำกัดคือเซตนูน

ทฤษฎีบท 2 . การแก้อสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ

ก 1 เอ็กซ์ 1 + ก 2 เอ็กซ์ 2 +…+ ก n x n ข

เป็นหนึ่งในช่องว่างครึ่งหนึ่งที่พื้นที่ทั้งหมดถูกหารด้วยไฮเปอร์เพลน

ก 1 เอ็กซ์ 1 + ก 2 เอ็กซ์ 2 +…+ก n x n= ข.

พิจารณาระบบของ มอสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ

วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของระบบคือการใช้ครึ่งสเปซที่แน่นอน วิธีแก้ของระบบคือจุดตัดของครึ่งปริภูมิทั้งหมด ชุดนี้จะปิดและนูน

การแก้ระบบอสมการเชิงเส้น

ด้วยสองตัวแปร

ปล่อยให้ระบบของ มอสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว

วิธีแก้ของอสมการแต่ละอย่างคือหนึ่งในระนาบครึ่งระนาบซึ่งระนาบทั้งหมดถูกหารด้วยเส้นตรงที่สอดคล้องกัน วิธีแก้ปัญหาของระบบคือจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้แบบกราฟิกบนเครื่องบิน เอ็กซ์ 1 0 เอ็กซ์ 2 .

37. การเป็นตัวแทนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความ 1. ปิด นูนมีจำนวนจำกัด รมีจำนวนจำกัด จุดมุมเรียกว่านูน n- รูปทรงหลายเหลี่ยมมิติ

คำจำกัดความ 2 . ปิดนูนไม่มีขอบเขตตั้งอยู่ใน รการที่มีจุดมุมจำนวนจำกัดเรียกว่าบริเวณรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความ 3 . มากมาย กร n เรียกว่ามีขอบเขตถ้ามี n-ลูกบอลมิติบรรจุชุดนี้

คำจำกัดความที่ 4 การรวมกันของจุดเชิงเส้นนูนคือการแสดงออก โดยที่ t ฉัน , .

ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน)จุดใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดมุมของมันได้

38. ขอบเขตของคำตอบที่ยอมรับได้ของระบบสมการและอสมการ

ปล่อยให้ระบบของ มสมการเชิงเส้นและอสมการด้วย nไม่ทราบ

คำจำกัดความ 1 . จุด ร n เรียกว่าคำตอบที่เป็นไปได้ของระบบ หากพิกัดของมันเป็นไปตามสมการและอสมการของระบบ ชุดของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (PSA) ของระบบ

คำจำกัดความ 2 ผลเฉลยที่เป็นไปได้ซึ่งมีพิกัดไม่เป็นลบเรียกว่าผลเฉลยของระบบที่เป็นไปได้ ชุดของโซลูชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่าโดเมนโซลูชันที่เป็นไปได้ (ADA) ของระบบ

ทฤษฎีบท 1 . ODR คือเซตย่อยแบบปิด นูน มีขอบเขต (หรือไม่มีขอบเขต) ร n.

ทฤษฎีบท 2 โซลูชันที่ยอมรับได้ของระบบคือโซลูชันอ้างอิงหากจุดนี้เป็นจุดมุมของ ODS เท่านั้น

ทฤษฎีบท 3 (ทฤษฎีบทการแทน ODR)ถ้า ODS เป็นเซตที่มีขอบเขต ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดมุมของ ODS (ในรูปแบบของการรวมเชิงเส้นนูนของโซลูชันรองรับของระบบ)

ทฤษฎีบท 4 (ทฤษฎีบทการมีอยู่ของคำตอบสนับสนุนของระบบ) หากระบบมีโซลูชันที่ยอมรับได้อย่างน้อยหนึ่งโซลูชัน (ADS) ดังนั้นในบรรดาโซลูชันที่ยอมรับได้ก็จะมีโซลูชันอ้างอิงอย่างน้อยหนึ่งโซลูชัน

มีเพียง "X's" และเฉพาะแกน x แต่ตอนนี้ "Y's" จะถูกเพิ่มเข้าไปและขอบเขตของกิจกรรมจะขยายไปยังระนาบพิกัดทั้งหมด นอกจากนี้ในข้อความ วลี "ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น" เข้าใจได้ในความหมายสองมิติ ซึ่งจะชัดเจนในเวลาไม่กี่วินาที

นอกจากเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว วัสดุนี้ยังเกี่ยวข้องกับปัญหาหลายประการในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้ศึกษาการบรรยายนี้อย่างจริงจัง

อสมการเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นมีสองประเภท:

1) เข้มงวดความไม่เท่าเทียมกัน: .

2) หละหลวมความไม่เท่าเทียมกัน: .

ความหมายทางเรขาคณิตของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้คืออะไร?หากสมการเชิงเส้นกำหนดเส้นตรง แสดงว่าอสมการเชิงเส้นถูกกำหนด ครึ่งระนาบ.

เพื่อทำความเข้าใจข้อมูลด้านล่างนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ประเภทของเส้นบนเครื่องบินและสามารถสร้างเส้นตรงได้ หากคุณมีปัญหาใด ๆ ในส่วนนี้ โปรดอ่านความช่วยเหลือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน– ย่อหน้าเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงเส้น

เริ่มจากอสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดกันก่อน ความฝันของนักเรียนที่ยากจนทุกคนคือระนาบประสานงานซึ่งไม่มีอะไรเลย:

ดังที่คุณทราบ แกน x ถูกกำหนดโดยสมการ - "y" อยู่เสมอ (สำหรับค่าใด ๆ ของ "x") เท่ากับศูนย์

ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน จะเข้าใจอย่างไม่เป็นทางการได้อย่างไร? “Y” จะเป็นค่าบวกเสมอ (สำหรับค่าใดๆ ของ “x”) เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้กำหนดระนาบครึ่งบน - ท้ายที่สุดแล้วคะแนนทั้งหมดที่มี "เกม" เชิงบวกจะอยู่ที่นั่น

ในกรณีที่ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวดถึงระนาบครึ่งบน นอกจากนี้มีการเพิ่มแกนเอง

ในทำนองเดียวกัน: ทุกจุดของระนาบครึ่งล่างจะเป็นที่น่าพอใจ อสมการแบบไม่เข้มงวดสอดคล้องกับแกน + ครึ่งระนาบล่าง

มันเป็นเรื่องธรรมดาเดียวกันกับแกน y:

– อสมการระบุครึ่งระนาบด้านขวา
– อสมการระบุครึ่งระนาบด้านขวา รวมทั้งแกนพิกัดด้วย
– อสมการระบุระนาบครึ่งด้านซ้าย
– อสมการระบุระนาบครึ่งซ้าย รวมถึงแกนพิกัดด้วย

ในขั้นตอนที่สอง เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันซึ่งตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งหายไป

ไม่มี "Y":

หรือไม่มี "x":

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถจัดการได้สองวิธี: โปรดพิจารณาทั้งสองแนวทาง- ระหว่างทาง มาจดจำและรวมการกระทำของโรงเรียนเข้ากับความไม่เท่าเทียมที่ได้พูดคุยกันไปแล้วในชั้นเรียน โดเมนฟังก์ชัน.

ตัวอย่างที่ 1

แก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น:

การแก้ไขอสมการเชิงเส้นหมายความว่าอย่างไร

การแก้อสมการเชิงเส้นหมายถึงการค้นหาครึ่งระนาบซึ่งมีคะแนนที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันนี้ (บวกกับเส้นตรงด้วย หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด) สารละลายตามกฎแล้ว กราฟิก.

สะดวกกว่าในการดำเนินการวาดภาพทันทีแล้วใส่ความคิดเห็นทุกอย่าง:

ก) แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีที่หนึ่ง

วิธีการนี้ชวนให้นึกถึงเรื่องราวที่มีแกนพิกัดซึ่งเราได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้ว แนวคิดคือการแปลงความไม่เท่าเทียมกัน โดยปล่อยให้ตัวแปรตัวหนึ่งอยู่ทางด้านซ้ายโดยไม่มีค่าคงที่ ในกรณีนี้คือตัวแปร “x”

กฎ: ในความเหลื่อมล้ำ เงื่อนไขต่างๆ จะถูกโอนจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายในขณะที่เครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันนั้นเอง ไม่เปลี่ยนแปลง(เช่น หากมีเครื่องหมาย “น้อยกว่า” ก็จะยังคงเป็น “น้อยกว่า”)

เราย้าย "ห้า" ไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

กฎ เชิงบวก ไม่เปลี่ยนแปลง.

ตอนนี้วาดเส้นตรง (เส้นประสีน้ำเงิน) เส้นตรงที่วาดเป็นเส้นประเพราะความไม่เท่าเทียมกัน เข้มงวดและคะแนนที่อยู่ในบรรทัดนี้จะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหาอย่างแน่นอน

ความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงอะไร? “X” มีค่าน้อยกว่าเสมอ (สำหรับค่าใดๆ ของ “Y”) แน่นอนว่าข้อความนี้พอใจกับทุกจุดของครึ่งระนาบซ้าย โดยหลักการแล้ว ครึ่งระนาบนี้สามารถแรเงาได้ แต่ฉันจะ จำกัด ตัวเองไว้ที่ลูกศรสีน้ำเงินลูกเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้ภาพวาดกลายเป็นจานสีศิลปะ

วิธีที่สอง

นี่เป็นวิธีสากล อ่านอย่างระมัดระวัง!

ขั้นแรกเราวาดเส้นตรง เพื่อความชัดเจนแนะนำให้นำเสนอสมการในรูปแบบ .

ตอนนี้เลือกจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ไม่ได้เป็นของโดยตรง- ในกรณีส่วนใหญ่ แน่นอนว่าจุดที่น่าสนใจก็คือ ลองแทนที่พิกัดของจุดนี้เป็นอสมการ:

ได้รับ ความไม่เท่าเทียมกันที่ผิดพลาด(พูดง่ายๆ ก็คือ เป็นไปไม่ได้) หมายความว่าประเด็นนั้นไม่สนองความไม่เท่าเทียมกัน

กฎสำคัญของงานของเรา:
ไม่พอใจความไม่เท่าเทียมกันแล้ว ทั้งหมดคะแนนของครึ่งระนาบที่กำหนด ไม่พอใจความไม่เท่าเทียมกันนี้
– ถ้าจุดใดครึ่งระนาบ (ไม่อยู่ในเส้น) พอใจความไม่เท่าเทียมกันแล้ว ทั้งหมดคะแนนของครึ่งระนาบที่กำหนด ทำให้พึงพอใจความไม่เท่าเทียมกันนี้

คุณสามารถทดสอบได้: จุดใดๆ ทางด้านขวาของเส้นจะไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

ข้อสรุปจากการทดลองมีประเด็นอะไร? ไม่มีที่ไหนให้ไปความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจของทุกจุด - ครึ่งระนาบซ้าย (คุณสามารถตรวจสอบได้เช่นกัน)

b) แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีที่หนึ่ง

มาแปลงความไม่เท่าเทียมกันกันเถอะ:

กฎ: อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วย เชิงลบตัวเลขที่มีเครื่องหมายอสมการ การเปลี่ยนแปลงในทางตรงกันข้าม (เช่น ถ้ามีเครื่องหมาย “มากกว่าหรือเท่ากับ” ก็จะกลายเป็น “น้อยกว่าหรือเท่ากับ”)

เราคูณอสมการทั้งสองด้านด้วย:

ลองวาดเส้นตรง (สีแดง) แล้วลากเส้นทึบเนื่องจากเรามีความไม่เท่าเทียมกัน ไม่เข้มงวดและเส้นตรงเป็นของคำตอบอย่างเห็นได้ชัด

เมื่อวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นแล้ว เราก็ได้ข้อสรุปว่าวิธีแก้ปัญหาคือระนาบครึ่งล่าง (+ เส้นตรงนั่นเอง)

เราแรเงาหรือทำเครื่องหมายครึ่งระนาบที่เหมาะสมด้วยลูกศร

วิธีที่สอง

ลองวาดเส้นตรงกัน ลองเลือกจุดใดก็ได้บนระนาบ (ไม่ใช่ของเส้น) และแทนที่พิกัดของมันลงในอสมการของเรา:

ได้รับ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างแท้จริงซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน และโดยทั่วไปแล้ว จุดทั้งหมดของระนาบครึ่งระนาบล่างจะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันนี้

จากจุดทดลอง เรา "ตี" ระนาบครึ่งระนาบที่ต้องการ

วิธีแก้ไขปัญหาจะแสดงด้วยเส้นสีแดงและลูกศรสีแดง

โดยส่วนตัวแล้ว ฉันชอบวิธีแรกมากกว่า เนื่องจากวิธีที่สองเป็นทางการมากกว่า

ตัวอย่างที่ 2

แก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น:

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง พยายามแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี (โดยวิธีนี้ นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบวิธีแก้ไข) คำตอบท้ายบทเรียนจะมีเพียงภาพวาดสุดท้ายเท่านั้น

ฉันคิดว่าหลังจากการกระทำทั้งหมดในตัวอย่างแล้ว คุณจะต้องแต่งงานกับพวกเขา การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดเช่น ฯลฯ จะไม่ใช่เรื่องยาก

ให้เราพิจารณากรณีทั่วไปที่สาม เมื่อตัวแปรทั้งสองมีอยู่ในอสมการ:

อีกทางหนึ่ง คำว่า "ce" ฟรีอาจเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาระนาบครึ่งระนาบที่สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้:

สารละลาย: ใช้วิธีการแก้ปัญหาสากลด้วยการแทนที่จุดที่นี่

ก) มาสร้างสมการของเส้นตรงกัน และควรวาดเส้นเป็นเส้นประ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวดและเส้นตรงจะไม่รวมอยู่ในคำตอบ

เราเลือกจุดทดลองของระนาบที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด เป็นต้น และแทนที่พิกัดของมันลงในอสมการของเรา:

ได้รับ ความไม่เท่าเทียมกันที่ผิดพลาดซึ่งหมายความว่าจุดและจุดทั้งหมดของระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดไม่เป็นไปตามอสมการ วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นอีกแบบครึ่งระนาบ มาชื่นชมสายฟ้าสีน้ำเงินกันดีกว่า:

b) มาแก้อสมการกันเถอะ ก่อนอื่น มาสร้างเส้นตรงกันก่อน สิ่งนี้ทำได้ไม่ยาก เรามีสัดส่วนโดยตรงตามแบบบัญญัติ เราวาดเส้นอย่างต่อเนื่องเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด

ให้เราเลือกจุดใดจุดหนึ่งของระนาบที่ไม่เป็นเส้นตรง ฉันอยากจะใช้ต้นกำเนิดอีกครั้ง แต่อนิจจา ตอนนี้มันไม่เหมาะแล้ว ดังนั้นคุณจะต้องทำงานกับเพื่อนอีกคน มันจะทำกำไรได้มากกว่าหากเลือกจุดที่มีค่าพิกัดน้อย เช่น ลองแทนที่พิกัดของมันลงในอสมการของเรา:

ได้รับ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างแท้จริงซึ่งหมายความว่าจุดและจุดทั้งหมดของระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดเป็นไปตามอสมการ ระนาบครึ่งระนาบที่ต้องการจะมีเครื่องหมายลูกศรสีแดงกำกับไว้ นอกจากนี้วิธีแก้ปัญหายังรวมถึงเส้นตรงด้วย

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาระนาบครึ่งระนาบที่สอดคล้องกับอสมการ:

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์ ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายโดยประมาณและคำตอบท้ายบทเรียน

ลองดูปัญหาผกผัน:

ตัวอย่างที่ 5

ก) ให้เส้นตรง กำหนด ระนาบครึ่งซึ่งจุดนั้นตั้งอยู่ในขณะที่ต้องรวมเส้นตรงไว้ในโซลูชันด้วย

b) ให้เส้นตรง กำหนด ระนาบครึ่งระนาบที่จุดนั้นตั้งอยู่ เส้นตรงไม่รวมอยู่ในโซลูชัน

สารละลาย: ไม่จำเป็นต้องเขียนแบบที่นี่ และวิธีแก้ปัญหาจะได้รับการวิเคราะห์ ไม่มีอะไรยาก:

ก) มาเขียนพหุนามเสริมและคำนวณค่าของมันที่จุด:
- ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องการจะมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ตามเงื่อนไข เส้นตรงจะรวมอยู่ในสารละลายด้วย ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เข้มงวด:

b) ลองเขียนพหุนามและคำนวณค่าของมันที่จุด:
- ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องการจะมีเครื่องหมาย "มากกว่า" ตามเงื่อนไข เส้นตรงจะไม่รวมอยู่ในคำตอบ ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันจะเข้มงวด:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่สร้างสรรค์สำหรับการศึกษาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 6

ให้คะแนนและเส้นตรง ในบรรดาจุดที่ระบุ ให้ค้นหาจุดที่อยู่ด้านเดียวกันของเส้นที่กำหนดพร้อมกับที่มาของพิกัด

คำแนะนำเล็กน้อย: ก่อนอื่นคุณต้องสร้างความไม่เท่าเทียมกันซึ่งกำหนดครึ่งระนาบซึ่งมีต้นกำเนิดของพิกัดอยู่ เฉลยเชิงวิเคราะห์และคำตอบท้ายบทเรียน

ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

อย่างที่คุณเข้าใจ ระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นคือระบบที่ประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ 555 ฉันให้คำจำกัดความไปแล้ว =) เม่นก็คือเม่น มีดก็คือมีด แต่มันเป็นเรื่องจริง – มันกลายเป็นเรื่องง่ายและเข้าถึงได้! ไม่ จริงๆ แล้ว ฉันไม่ต้องการยกตัวอย่างทั่วไป ดังนั้น เรามาเข้าประเด็นปัญหาเร่งด่วนกันดีกว่า:

การแก้ระบบอสมการเชิงเส้นหมายความว่าอย่างไร

แก้ระบบอสมการเชิงเส้น- นี่หมายความว่า หาเซตของจุดบนเครื่องบินซึ่งทำให้พอใจ ถึงทุกคนความไม่เท่าเทียมกันของระบบ

เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ให้พิจารณาระบบความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดพิกัดส่วนสี่ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (“ภาพของนักเรียนที่ยากจน” อยู่ที่จุดเริ่มต้นของบทเรียน):

ระบบอสมการกำหนดพิกัดไตรมาสแรก (ขวาบน) พิกัดของจุดใด ๆ ในไตรมาสแรก เช่น ฯลฯ ทำให้พึงพอใจ ถึงทุกคนความไม่เท่าเทียมกันของระบบนี้

เช่นเดียวกัน:
– ระบบอสมการระบุพิกัดไตรมาสที่สอง (ซ้ายบน)
– ระบบความไม่เท่าเทียมกันกำหนดพิกัดไตรมาสที่สาม (ซ้ายล่าง)
– ระบบอสมการกำหนดพิกัดไตรมาสที่สี่ (ขวาล่าง)

ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหานั่นคือจะเป็น ไม่ใช่ข้อต่อ- ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง: . เห็นได้ชัดว่า "x" ไม่สามารถมากกว่าสามและน้อยกว่าสองพร้อมกันได้

คำตอบของระบบอสมการอาจเป็นเส้นตรง เช่น หงส์ กั้ง ที่ไม่มีหอก กำลังลากเกวียนไปสองทิศทาง ใช่ สิ่งต่างๆ ยังคงอยู่ที่นั่น วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้คือเส้นตรง

แต่กรณีที่พบบ่อยที่สุดคือเมื่อมีการแก้ไขปัญหาของระบบอยู่บ้าง พื้นที่เครื่องบิน. พื้นที่การแก้ปัญหาอาจจะ ไม่จำกัด(เช่น พิกัดไตรมาส) หรือ จำกัด- เรียกว่าขอบเขตโซลูชันที่จำกัด ระบบการแก้ปัญหารูปหลายเหลี่ยม.

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบอสมการเชิงเส้น

ในทางปฏิบัติ ในกรณีส่วนใหญ่ เราต้องจัดการกับความไม่เท่าเทียมที่อ่อนแอ ดังนั้นสิ่งเหล่านั้นจะเป็นผู้นำในการเต้นรำรอบตลอดบทเรียนที่เหลือ

สารละลาย: ความไม่เท่าเทียมมีมากเกินไปก็ไม่ควรน่ากลัว ในระบบมีความไม่เท่าเทียมกันได้มากเพียงใด?ใช่มากเท่าที่คุณต้องการ สิ่งสำคัญคือต้องปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่มีเหตุผลเพื่อสร้างพื้นที่แก้ปัญหา:

1) ก่อนอื่นเราจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุด อสมการจะกำหนดไตรมาสพิกัดแรก รวมถึงขอบเขตของแกนพิกัดด้วย ง่ายกว่ามากอยู่แล้ว เนื่องจากพื้นที่การค้นหาแคบลงอย่างมาก ในภาพวาดเราจะทำเครื่องหมายครึ่งระนาบที่เกี่ยวข้องทันทีด้วยลูกศร (ลูกศรสีแดงและสีน้ำเงิน)

2) อสมการที่ง่ายที่สุดอันดับสองคือไม่มี "Y" ในที่นี้ ประการแรก เราสร้างเส้นตรงขึ้นมาเอง และประการที่สอง หลังจากแปลงความไม่เท่าเทียมกันเป็นรูปแบบ จะเห็นได้ชัดทันทีว่า "X" ทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า 6 เราทำเครื่องหมายครึ่งระนาบที่สอดคล้องกันด้วยลูกศรสีเขียว พื้นที่การค้นหามีขนาดเล็กลง - สี่เหลี่ยมดังกล่าวไม่ จำกัด จากด้านบน

3) ในขั้นตอนสุดท้าย เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน "ด้วยกระสุนเต็ม": . เราได้กล่าวถึงอัลกอริทึมการแก้ปัญหาโดยละเอียดในย่อหน้าก่อนหน้า กล่าวโดยย่อ: ขั้นแรกเราสร้างเส้นตรง จากนั้นใช้จุดทดลอง เราจะพบระนาบครึ่งระนาบที่เราต้องการ

ลุกขึ้นยืนเด็ก ๆ ยืนเป็นวงกลม:


พื้นที่การแก้ปัญหาของระบบคือรูปหลายเหลี่ยม โดยในภาพวาดจะมีเส้นสีแดงเข้มและแรเงาไว้ ฉันทำมันมากเกินไปเล็กน้อย =) ในสมุดบันทึกก็เพียงพอแล้วที่จะแรเงาพื้นที่แก้ปัญหาหรือร่างให้โดดเด่นยิ่งขึ้นด้วยดินสอธรรมดา

จุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดจะตอบสนองทุกความไม่เท่าเทียมกันของระบบ (คุณสามารถตรวจสอบเพื่อความสนุกสนานได้)

คำตอบ: วิธีแก้ของระบบคือรูปหลายเหลี่ยม

เมื่อสมัครขอสำเนาที่สะอาด เป็นความคิดที่ดีที่จะอธิบายรายละเอียดว่าจุดใดที่คุณใช้ในการสร้างเส้นตรง (ดูบทเรียน กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน) และวิธีกำหนดครึ่งระนาบ (ดูย่อหน้าแรกของบทเรียนนี้) อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะได้รับเครดิตว่าเป็นเพียงรูปวาดที่ถูกต้อง การคำนวณสามารถทำได้แบบร่างหรือแบบปากเปล่าก็ได้

นอกเหนือจากรูปหลายเหลี่ยมโซลูชันของระบบแล้ว ในทางปฏิบัติ แม้ว่าจะมีความถี่น้อยกว่า แต่ก็ยังมีพื้นที่เปิดอีกด้วย พยายามทำความเข้าใจตัวอย่างต่อไปนี้ด้วยตัวเอง แม้ว่าเพื่อความถูกต้องจะไม่มีการทรมานที่นี่ - อัลกอริธึมการก่อสร้างก็เหมือนกัน แต่เพียงว่าพื้นที่จะไม่จำกัด

ตัวอย่างที่ 8

แก้ระบบ

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน คุณน่าจะมีชื่อตัวอักษรที่แตกต่างกันสำหรับจุดยอดของขอบเขตผลลัพธ์ นี่ไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือต้องหาจุดยอดให้ถูกต้องและสร้างพื้นที่ให้ถูกต้อง

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ปัญหาไม่เพียงแต่ต้องสร้างโดเมนโซลูชันของระบบเท่านั้น แต่ยังต้องค้นหาพิกัดของจุดยอดของโดเมนด้วย ในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ พิกัดของจุดเหล่านี้ชัดเจน แต่ในทางปฏิบัติทุกอย่างยังห่างไกลจากน้ำแข็ง:

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบและค้นหาพิกัดของจุดยอดของขอบเขตผลลัพธ์

สารละลาย: ให้เราพรรณนาในการวาดภาพพื้นที่การแก้ปัญหาของระบบนี้ อสมการกำหนดครึ่งระนาบด้านซ้ายด้วยแกนกำหนด และไม่มีของแจกฟรีอีกต่อไป หลังจากการคำนวณสำเนา/ร่างขั้นสุดท้ายหรือกระบวนการคิดเชิงลึกแล้ว เราจะได้แนวทางแก้ไขดังนี้: