การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีสวีต หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา
วิธีการผ่านเป็นการดัดแปลงวิธีเกาส์สำหรับกรณีพิเศษของระบบกระจัดกระจาย - ระบบสมการด้วย เมทริกซ์สามเหลี่ยมระบบดังกล่าวได้มาจากการสร้างแบบจำลองบางส่วน ปัญหาทางวิศวกรรมและเมื่อไรด้วย วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขปัญหาค่าขอบเขตสำหรับ สมการเชิงอนุพันธ์.
ให้เราเขียนระบบสมการในรูปแบบ
บนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ของระบบนี้มีองค์ประกอบอยู่ ข 1, ข 2, …, พันล้านด้านบนเป็นองค์ประกอบต่างๆ กับ1, s2,... , สn-1 ด้านล่างเป็นองค์ประกอบ ก 2, ก 3,... , ขึ้น(โดยปกติแล้วสัมประสิทธิ์ทั้งหมด สองไม่เท่ากับศูนย์) องค์ประกอบที่เหลือของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์
วิธีการผ่านประกอบด้วยสองขั้นตอน - วิ่งตรง(คล้ายกับการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียน) และ กวาดย้อนกลับ(คล้ายกับการผกผันของวิธีเกาส์เซียน) การกวาดโดยตรงประกอบด้วยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกวาด AI,บีด้วยความช่วยเหลือซึ่งแต่ละ x ที่ไม่รู้จัก ฉันแสดงออกมาผ่าน ซี+1 :
จากสมการแรกของระบบ (2.13) เราพบ
ในทางกลับกัน ตามสูตร (2.14) การเท่ากันของสัมประสิทธิ์ในทั้งสองนิพจน์สำหรับ เอ็กซ์ 1, เราได้รับ
(2.15)
ให้เราแทนสมการที่สองของระบบ (2.13) แทน เอ็กซ์ 1 การแสดงออกผ่าน เอ็กซ์ 2ตามสูตร (2.14):
แสดงออกจากที่นี่ เอ็กซ์ 2 ผ่าน เอ็กซ์ 3:
ค่าสัมประสิทธิ์การวิ่งจะถูกคำนวณในทำนองเดียวกันสำหรับตัวเลขใดๆ ฉัน:
(2.16)
การกวาดย้อนกลับประกอบด้วยการคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ ซี. ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา เอชพีในการดำเนินการนี้ เราใช้นิพจน์ (2.14) สำหรับ ฉัน = n–1 และสมการสุดท้ายของระบบ (2.13) มาเขียนกัน:
ดังนั้น ยกเว้น เอ็กซ์n-1เราพบ
ถัดไปโดยใช้สูตร (2.14) และค่าสัมประสิทธิ์การกวาดที่คำนวณก่อนหน้านี้โดยใช้สูตร (2.15), (2.16) เราจะคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดตามลำดับ เอ็กซ์n- 1, xn-2 ,....,เอ็กซ์ 1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาระบบ สมการเชิงเส้นดังรูป (2.13) โดยวิธีกวาด ดังรูป 2.4.
ข้าว. 2.4. อัลกอริทึมของวิธีการกวาด
เมื่อวิเคราะห์อัลกอริทึมของวิธีการกวาด จะต้องคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการหารด้วยศูนย์ในสูตร (2.15), (2.16) แสดงให้เห็นว่าหากเงื่อนไขของความเด่นขององค์ประกอบในแนวทแยงเป็นที่พอใจ เช่น ถ้า และอย่างน้อยหนึ่งค่า ฉันการรักษาความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด การหารด้วยศูนย์จะไม่เกิดขึ้น และระบบ (2.13) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
เงื่อนไขที่กำหนดสำหรับความเด่นขององค์ประกอบในแนวทแยงยังช่วยให้มั่นใจในความเสถียรของวิธีการกวาดโดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการปัดเศษ กรณีหลังทำให้เราสามารถใช้วิธีกวาดเพื่อแก้ปัญหาได้ ระบบขนาดใหญ่สมการ โปรดทราบว่าเงื่อนไขนี้เพื่อความเสถียรของการกวาดก็เพียงพอแล้ว แต่ไม่จำเป็น ในหลายกรณี สำหรับระบบที่มีเงื่อนไขอย่างดีของแบบฟอร์ม (2.13) วิธีการกวาดจะมีความเสถียร แม้ว่าสภาพของความเด่นขององค์ประกอบในแนวทแยงจะถูกละเมิดก็ตาม
วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น
3. วิธีการวิ่ง
วิธีการกวาดเป็นอัลกอริธึมที่ง่ายและมีประสิทธิภาพในการแก้ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตโดยมีเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ตรีทแยงมุมอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้
ระบบประเภทนี้มักเกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาทางวิศวกรรมต่างๆ เช่น เมื่อประมาณค่าฟังก์ชันด้วยเส้นโค้ง
ให้เราแปลงสมการแรกของระบบ (8) ให้อยู่ในรูปแบบ x 1 = 1 x 2 + 1 โดยที่
1 = -c 1 / b 1 และ 1 = -d 1 / b 1 . ให้เราแทนนิพจน์ที่ได้รับสำหรับ x 1 เป็นสมการที่สองของระบบ (8)
ก 2 (1 x 2 + 1) + ข 2 x 2 + ค 2 x 3 = ง 2 .
ลองนำเสนอสมการนี้ในรูปแบบ x 2 = 2 x 3 + 2 โดยที่ 2 = -c 2 / (b 2 + a 2 1) และ 2 = (d 2 - a 2 1) / (b 2 + a 2 1 ). เราแทนที่นิพจน์ที่ได้รับสำหรับ x 2 ลงในสมการที่สามของระบบ (8) เป็นต้น
ที่ขั้นตอนที่ i (1< i < n) процесса สมการ iระบบใช้แบบฟอร์ม
x ผม = ผม x ผม+1 + ผม , (9)
โดยที่ i = -с i / (b i + a i i-1) และ i = (d i - a i i-1) / (b i + a i i-1)
เมื่อสุดท้าย ขั้นตอนที่ nการแทนที่นิพจน์ x n -1 = n -1 x n + n -1 ลงในสมการสุดท้ายของระบบ (8) ให้สมการ a n (n -1 x n + n -1) + b n x n = d n ซึ่งเราสามารถกำหนดค่าได้ x n = n = (d n - n n-1) / (b n + n n-1)
ค่าของค่าที่ไม่รู้จักที่เหลือ x i (i = n-1, n-2, ..., 1) คำนวณอย่างง่ายดายโดยใช้สูตร (9)
ดังนั้นอัลกอริธึมการกวาดเช่นเดียวกับวิธีเกาส์เซียนจึงมีสองขั้นตอน - การเคลื่อนไปข้างหน้า (การกวาดไปข้างหน้า) และการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ (การกวาดแบบย้อนกลับ)
กระบวนการโดยตรงของวิธีการกวาดประกอบด้วยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกวาด
ฉัน (i =) และฉัน (i =)
สำหรับ i = 1 ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้คำนวณโดยใช้สูตร:
1 = -ค 1/1 ; 1 = -ง 1/1 ; 1 = ข 1 .
สำหรับ i = จะใช้สูตรการเกิดซ้ำต่อไปนี้:
ฉัน = -с ฉัน / ฉัน ; ผม = (d ผม - ผม ผม-1) / ผม ; ผม = ข ผม + ผม ผม-1 .
การส่งต่อสิ้นสุดที่ i = n:
n = (d n - n n-1) / n ; n = ข n + n n-1 .
จังหวะย้อนกลับวิธีการกวาดช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักได้ ก่อนอื่นเราถือว่า xn = n แล้วเข้า. ลำดับย้อนกลับใช้สูตร (9) กำหนดค่าของสิ่งที่ไม่รู้จัก x n -1 , x n -2 , ..., x 1 .
คุณสมบัติของวิธีการกวาด ความซับซ้อนของวิธีการกวาดคาดว่าจะมีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ประมาณ 8n ซึ่งมีความสำคัญมาก วิธีการน้อยลงเกาส์. รับประกันการมีอยู่ของโซลูชันสำหรับระบบ (8) และความเป็นเอกลักษณ์เมื่อใด เงื่อนไขที่เพียงพอกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท. ให้ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (8) เป็นไปตามอสมการต่อไปนี้
ข ก ก +ค ; ขก >ก ; k = โดยที่ 1 = 0; bn = 0 จากนั้น i 0 และ i
1 สำหรับทุกคน i =
โปรดทราบว่าสำหรับ i 0 ทั้งหมด การคำนวณโดยใช้สูตรการกวาดโดยตรงสามารถทำได้ (ไม่มีตัวส่วนใดจะเป็นศูนย์) ในเวลาเดียวกัน ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด i เช่น i 1 รับประกันความเสถียรตามข้อมูลอินพุตของระยะการกวาดย้อนกลับตามสูตร (9)
คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ
วิธีการแบ่งครึ่งเป็นวิธีแก้สมการไม่เชิงเส้นที่ง่ายและน่าเชื่อถือที่สุด ให้ทราบจากการวิเคราะห์เบื้องต้นว่ารากของสมการ (2.1) อยู่บนเซกเมนต์ คือ x* ดังนั้น f(x*) = 0...
คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ
วิธีการของนิวตันมีมากที่สุด วิธีการที่มีประสิทธิภาพการแก้สมการไม่เชิงเส้น ให้รูตเป็น x* ดังนั้น f(a)f(b)< 0. Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b...
คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ
ในนี้และ ส่วนถัดไปลองพิจารณาการปรับเปลี่ยนวิธีการของนิวตัน ดังที่เห็นได้จากสูตร (2.13) วิธีการของนิวตันจำเป็นต้องมีการคำนวณอนุพันธ์สำหรับการนำไปใช้ ซึ่งจำกัดการประยุกต์ใช้ วิธีตัดเส้นไม่มีข้อเสียเปรียบนี้...
วิธีค้นหาขั้นต่ำทั่วโลก เรียกว่าวิธีค้นหากริด มีความน่าเชื่อถือ แต่ใช้ได้เฉพาะกับปัญหามิติต่ำเท่านั้น (n<4). Неправильный выбор начального шага сетки может привести к тому...
การโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น
การวนซ้ำ 1. จำนวนการวนซ้ำ k = 0 การวนซ้ำ 2. จำนวนการวนซ้ำ k = 1 การค้นหาเสร็จสิ้น 3.3...
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาทางเทคนิค
ข้อมูลทางทฤษฎี การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ y/=f(x,y) ด้วยวิธีการเชิงตัวเลขหมายถึง สำหรับลำดับอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด x0, x1..., xn และตัวเลข y0 โดยไม่ต้องกำหนดฟังก์ชัน y=F(x) ให้ค้นหา ค่าต่อไปนี้ y1, y2,..., โดยที่ уi=F(xi)(i=1,2,…, n) และ F(x0)=y0...
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระหว่างการทดลองที่ใช้งานอยู่
เริมปกติในปริภูมิ En คือเซตของจุด n+1 (จุดยอดของซิมเพล็กซ์) ที่มีระยะห่างเท่ากัน ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดเรียกว่าขอบด้านเดียว...
การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์
วิธีของนิวตัน อัลกอริธึมของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด ในการแก้สมการ f(x)=0 โดยใช้การวนซ้ำอย่างง่าย...
วิธีการหมุนเวียนเพื่อแก้ SLAE
วิธีการแปลงเรขาคณิตเพื่อแก้ปัญหาการก่อสร้างทางเรขาคณิต
ลองพิจารณาการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตอื่น - การผกผันซึ่งทำให้สามารถแก้ไขปัญหาการก่อสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งยากต่อการแก้ไขโดยใช้เทคนิคอื่นที่เราพิจารณา...
การแก้สมการพาราโบลา
ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของปัญหาที่เกิดขึ้นในส่วนก่อนหน้า ในพื้นที่ ให้หาคำตอบของสมการด้วยเงื่อนไขขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้น พิจารณารูปแบบการคำนวณที่เสถียร...
ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
จนถึงตอนนี้เราได้แก้สมการเชิงเส้นหนึ่งสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่แล้ว อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่าระบบสมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สามารถลดเหลือสมการเดียวได้ในแง่หนึ่ง...
การวิเคราะห์ระบบกลุ่มการเปลี่ยนแปลงของสถานะลูกบาศก์รูบิค
CFOP เป็นชื่อของการประกอบสี่ขั้นตอน (รูปที่ 3.2): Cross, F2L, OLL, PLL: 1) Cross - การประกอบของ cross...
วิธีการเชิงตัวเลขพีชคณิตเชิงเส้น
วิธีการกวาดเป็นอัลกอริธึมที่ง่ายและมีประสิทธิภาพสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ตรีทแยงมุมของค่าสัมประสิทธิ์ในรูปแบบต่อไปนี้ (8) ระบบประเภทนี้มักเกิดขึ้นเมื่อแก้ต่าง ๆ...
วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการทิพย์
ให้สมการ (1) มีรากอยู่บนช่วงเวลา และ f (x) และ f "(x) มีความต่อเนื่องและคงเครื่องหมายคงที่ไว้ตลอดช่วงเวลาทั้งหมด ความหมายทางเรขาคณิตของวิธีของนิวตันคือส่วนโค้งของเส้นโค้ง y = f (x) ถูกแทนที่ด้วยแทนเจนต์ ..
วิธีนี้เป็นการดัดแปลงวิธีเกาส์เป็นกรณีพิเศษด้วย เบาบางระบบ - ระบบที่มีเมทริกซ์ประเภทสามเหลี่ยม (ปัญหาค่าขอบเขต DE)
รูปแบบการบันทึกตามรูปแบบบัญญัติ
(1.6)
หรือในรูปแบบขยาย:
|
|
(1.7)ในกรณีนี้ตามกฎแล้วค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ข ฉัน 0.
วิธีนี้ดำเนินการในสองขั้นตอน - จังหวะไปข้างหน้าและย้อนกลับ
จังหวะตรง - ทุกไม่รู้จัก x ฉันแสดงออกมาผ่าน x ฉัน +1
(x ฉัน = ก ฉัน x ฉัน +1 + บี ฉันสำหรับ ฉัน = 1,2, ..., n– 1) (1.8)
ผ่านสัมประสิทธิ์การวิ่ง ก ฉันและ บี ฉัน- ให้เรากำหนดอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณ
จากสมการแรกของระบบ (1.7) เราพบ x 1:
.
จากสมการ (1.8) ณ ฉัน = 1 x 1 = ก 1 x 2 + บี 1. เพราะฉะนั้น,
และตามสมการ (1.8) ด้วย ฉัน = 2 x 2 = ก 2 x 3 + บี 2 ดังนั้น:
,
ที่ไหน จ 2 = ก 2 ก 1 + ข 2 .
เมื่อมุ่งเน้นไปที่อัตราส่วนของดัชนีสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ (1.9) และ (1.9*) เราจะได้ความสัมพันธ์เหล่านี้สำหรับกรณีทั่วไป:
,
ที่ไหน จ ฉัน = ก ฉัน ก ฉัน –1 + ข ฉัน (ฉัน= 2,3, ..., n– 1) . (1.10)
ย้อนกลับย้าย จากสมการสุดท้ายของระบบ (1.7) โดยใช้ข้อมูลนิพจน์ (1.8) ด้วย ฉัน = n – 1
|
|
.เมื่อใช้วิธีการกวาดจะต้องคำนึงถึงสิ่งที่ให้ไว้ด้วย
(1.12)
หรืออย่างน้อยก็สำหรับหนึ่ง ข ฉันความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด (1.12) ยังคงอยู่ การหารด้วย "0" จะถูกตัดออก และระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
โปรดทราบว่าเงื่อนไข (1.12) เพียงพอแล้ว แต่ไม่จำเป็น ในหลายกรณี สำหรับระบบที่มีการปรับสภาพอย่างดี (1.7) วิธีการกวาดสามารถมีเสถียรภาพได้ แม้ว่าจะไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (1.12) ก็ตาม
แผนภาพอัลกอริทึมของวิธีการกวาดอาจมีลักษณะดังแสดงในรูปที่ 1.2
รูปที่ 1.2 - บล็อกไดอะแกรมของวิธีการกวาด
วิธีการทำซ้ำในการแก้ปัญหาคราบ
ข้อดีของวิธีการวนซ้ำคือการนำไปใช้กับระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดีและระบบที่มีลำดับสูง การแก้ไขตัวเอง และความง่ายในการใช้งานบนคอมพิวเตอร์ เพื่อเริ่มการคำนวณ วิธีการวนซ้ำจำเป็นต้องระบุการประมาณเบื้องต้นของโซลูชันที่ต้องการ
ควรสังเกตว่าเงื่อนไขและอัตราการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเมทริกซ์อย่างมีนัยสำคัญ กระบบและการเลือกการประมาณเบื้องต้น
เพื่อใช้วิธีการวนซ้ำ ระบบดั้งเดิมจะต้องถูกนำมาสู่รูปแบบวนซ้ำ
(1.13)
จากนั้นดำเนินการกระบวนการวนซ้ำโดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:
, เค
= 0, 1, 2, ... . (1.13*)
เมทริกซ์ ชและเวกเตอร์ 
ที่ได้รับจากการเปลี่ยนแปลงของระบบเดิม
สำหรับการลู่เข้าของวิธี (1.13*) จำเป็นและเพียงพอที่ | ฉัน (ช)| < 1, где ฉัน (ช) - ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์ ช- การบรรจบกันจะเกิดขึ้นหาก || ช|| < 1, ибо | ฉัน (ช)| < ||ช- ( - อะไรก็ได้)
สัญลักษณ์ ||...|| หมายถึงบรรทัดฐานของเมทริกซ์ เมื่อพิจารณามูลค่า ส่วนใหญ่มักจะหยุดที่การตรวจสอบเงื่อนไขสองประการ:
||ช||
=
หรือ || ช||
=
,
(1.14)
ที่ไหน 
- รับประกันการบรรจบกันหากเมทริกซ์ดั้งเดิม กมีอำนาจเหนือในแนวทแยงเช่น
. (1.15)
เมื่อเงื่อนไข (1.14) หรือ (1.15) เป็นไปตามเงื่อนไข วิธีการวนซ้ำจะมาบรรจบกันสำหรับการประมาณเริ่มต้นใดๆ 
- ส่วนใหญ่มักเป็นเวกเตอร์ 
ใช้ศูนย์หรือหน่วยหรือเวกเตอร์เอง 
จากระบบ (1.13)
หากเป็นไปตามเงื่อนไข (1.15) การแปลงเป็นรูปแบบวนซ้ำ (1.13) สามารถทำได้ง่ายๆ โดยการแก้โจทย์แต่ละข้อ ฉันสมการของระบบ (1) เทียบกับ x ฉันตามสูตรการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้
ก ฉัน = − ก ฉัน / ก ครั้งที่สอง ; ก ครั้งที่สอง = 0; ฉ ฉัน = ข ฉัน / ก ครั้งที่สอง , (1.15*)
เช่น. 
.
ถ้าอยู่ในเมทริกซ์ กไม่มีการครอบงำในแนวทแยง จะต้องได้รับผ่านการแปลงเชิงเส้นบางส่วนที่ไม่ละเมิดความเท่าเทียมกัน
วัตถุประสงค์. บริการนี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยใช้วิธีการเดินหน้าและถอยหลังในโหมดออนไลน์ (ดูตัวอย่างการแก้ปัญหาการกระจายการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด)คำแนะนำ. เลือกจำนวนวัตถุและจำนวนกลุ่มของตัวเลือกที่เป็นไปได้ คลิกถัดไป ในหน้าต่างใหม่ ให้เลือก วิธีการกวาด.
ตัวอย่างหมายเลข 1 แก้ไขปัญหาโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกในเวลาไปข้างหน้าและย้อนกลับสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ระบุในตารางF(x 1 ,x 2 ,x 3) = f 1 (x 1) + f 2 (x 2) + f 3 (x 3) → สูงสุด
x 1 + 2x 2 + 2x 3 ≤ 5
| เอ็กซ์ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ฉ 1 (x 1) | 6 | 7 | 11 | 12 | 15 | 16 |
| ฉ 2 (x 2) | 9 | 11 | 13 | 15 | ||
| ฉ 3 (x 3) | 8 | 12 | 14 | 16 |
ด่านที่ 1 การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไข- ฉ 1 (L) = สูงสุด(ฉ 1); 0 ≤ x 1 ≤ 5; x 1 = 0,1,2,3,4,5.
ฉ 1 (0) = สูงสุด = 6
ฉ 1 (1) = สูงสุด = 7
ฉ 1 (2) = สูงสุด = 11
ฉ 1 (3) = สูงสุด = 12
ฉ 1 (4) = สูงสุด = 15
ฉ 1 (5) = สูงสุด = 16
ตารางที่ 1 - การคำนวณค่าของฟังก์ชัน f 1 (L)
| ล | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ฉ 1 (ล) | 6 | 7 | 11 | 12 | 15 | 16 |
| x1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
ฉ 2 (0) = สูงสุด = 15
ฉ 2 (1) = สูงสุด = 16
ฉ 2 (2) = สูงสุด = 20
ฉ 2 (3) = สูงสุด = 21
ฉ 2 (4) = สูงสุด = 24
ฉ 2 (5) = สูงสุด = 25
ตารางที่ 2 - การคำนวณค่าของฟังก์ชัน f 2 (L)
| ล | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f2(ล) | 15 | 16 | 20 | 21 | 24 | 25 |
| x2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ฉ 3 (0) = สูงสุด = 23
ฉ 3 (1) = สูงสุด = 24
ฉ 3 (2) = สูงสุด = 28
ฉ 3 (3) = สูงสุด = 29
ฉ 3 (4) = สูงสุด = 32
ฉ 3 (5) = สูงสุด = 33
ตารางที่ 3 - การคำนวณค่าของฟังก์ชัน f 3 (L)
| ล | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ฉ 3 (ล) | 23 | 24 | 28 | 29 | 32 | 33 |
| x3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ด่านที่สอง การเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่มีเงื่อนไข.
ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ f 3 (5) = 33
ในกรณีนี้ x 3 = 0 เนื่องจาก f 3 (5) = 33 จะได้ที่ x 3 = 0 (ดูตารางที่ 3)
x ที่เหลือมีการกระจายดังนี้:
ล = 5 - 2 * 0 = 5
f 2 (5) = 25 ทำได้ที่ x 2 = 0 (ดูตารางที่ 2)
ล = 5 - 2 * 0 = 5
f 1 (5) = 16 ทำได้ที่ x 1 = 5 (ดูตารางที่ 1)
L = 5 - 1 * 5 = 0
เป็นผลให้ได้ตัวเลือกที่ดีที่สุดด้วยค่าต่อไปนี้: x 1 = 5, x 2 = 0, x 3 = 0
ตัวอย่างหมายเลข 2 ให้เราพิจารณาปัญหาของการจัดสรรเงินทุนที่เหมาะสมที่สุด K = nh ใน m กองทุนอิสระที่แตกต่างกัน (ธนาคาร องค์กร บริษัท ฯลฯ ) ซึ่งผลกำไรที่คาดหวัง f i เป็นที่รู้จักจากการลงทุน x i = ih, i = 1.. n. โดยที่ n คือจำนวนการเพิ่มทีละขั้นแบบไม่ต่อเนื่อง h (แบบไม่ต่อเนื่อง) โดยที่ K ตัวพิมพ์ใหญ่จะถูกหาร
ปล่อยให้ข้อมูลดังกล่าวพร้อมใช้งานสำหรับกองทุนสี่ (m=4) สำหรับ h = 1 ล้านรูเบิล, n = 6
สารละลาย.
ด่านที่ 1 การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไข
ขั้นตอนที่ 1: k = 4
สมมติว่าเงินทั้งหมดจำนวน x 4 = 6 มอบให้กับองค์กรที่ 4 ในกรณีนี้ รายได้สูงสุดดังดูจากตารางที่ 1* จะเป็น 0.56 ดังนั้น:
ฉ 4 (ค 4) = ก 4 (x 4)
ตารางที่ 1.
| 0 | x1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x4 | ฉ 0 (x 0) / ฉ 4 (x 4) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0.2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.2 | 0 |
| 2 | 0.33 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.33 | 0 | 0 |
| 3 | 0.42 | 0 | 0 | 0 | 0.42 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.48 | 0 | 0 | 0.48 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.53 | 0 | 0.53 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0.56 | 0.56* | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| ค 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ฉ 0 (ค 1) | 0 | 0.2 | 0.33 | 0.42 | 0.48 | 0.53 | 0.56 |
| x1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
F 3 (ค 3) = สูงสุด [ ก 3 (x 3) + F 4 (ค 3 - x 3)]
ตารางที่ 2.
| 0 | x2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x3 | ฉ 3 (x 3) / ฉ 3 (x 3) | 0 | 0.2 | 0.33 | 0.42 | 0.48 | 0.53 | 0.56 |
| 0 | 0 | 0 | 0.2* | 0.33 | 0.42 | 0.48 | 0.53 | 0.56 |
| 1 | 0.15 | 0.15 | 0.35* | 0.48* | 0.57 | 0.63 | 0.68 | 0 |
| 2 | 0.25 | 0.25 | 0.45 | 0.58 | 0.67 | 0.73 | 0 | 0 |
| 3 | 0.4 | 0.4 | 0.6* | 0.73* | 0.82 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.5 | 0.5 | 0.7 | 0.83* | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.62 | 0.62 | 0.82 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0.73 | 0.73 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ตารางที่ 2*.
| ค 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ฉ 3 (ค 2) | 0 | 0.2 | 0.35 | 0.48 | 0.6 | 0.73 | 0.83 |
| x2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 3 | 4 |
เรากำหนดกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการกระจายเงินทุนระหว่างองค์กรอื่นๆ ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำของ Bellman มีรูปแบบ:
F 2 (ค 2) = สูงสุด [ ก 2 (x 2) + F 3 (ค 2 - x 2)]
ตารางที่ 3.
| 0 | x3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x2 | ฉ 4 (x 4) / ฉ 2 (x 2) | 0 | 0.2 | 0.35 | 0.48 | 0.6 | 0.73 | 0.83 |
| 0 | 0 | 0 | 0.2 | 0.35 | 0.48 | 0.6 | 0.73 | 0.83 |
| 1 | 0.25 | 0.25* | 0.45* | 0.6 | 0.73 | 0.85 | 0.98 | 0 |
| 2 | 0.41 | 0.41 | 0.61* | 0.76* | 0.89 | 1.01 | 0 | 0 |
| 3 | 0.55 | 0.55 | 0.75 | 0.9* | 1.03* | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.65 | 0.65 | 0.85 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.75 | 0.75 | 0.95 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0.8 | 0.8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ตารางที่ 3*.
| ค 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ฉ 4 (ค 3) | 0 | 0.25 | 0.45 | 0.61 | 0.76 | 0.9 | 1.03 |
| x3 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
เรากำหนดกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการกระจายเงินทุนระหว่างองค์กรอื่นๆ ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำของ Bellman มีรูปแบบ:
F 1 (ค 1) = สูงสุด [ ก 1 (x 1) + F 2 (ค 1 - x 1)]
ตารางที่ 4.
| 0 | x4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x1 | ฉ 5 (x 5) / ฉ 1 (x 1) | 0 | 0.25 | 0.45 | 0.61 | 0.76 | 0.9 | 1.03 |
| 0 | 0 | 0 | 0.25 | 0.45 | 0.61 | 0.76 | 0.9 | 1.03 |
| 1 | 0.28 | 0.28* | 0.53* | 0.73* | 0.89 | 1.04 | 1.18 | 0 |
| 2 | 0.45 | 0.45 | 0.7 | 0.9 | 1.06 | 1.21 | 0 | 0 |
| 3 | 0.65 | 0.65 | 0.9* | 1.1* | 1.26* | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.78 | 0.78 | 1.03 | 1.23 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.9 | 0.9 | 1.15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 1.02 | 1.02 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ตารางที่ 4*.
| ค 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ฉ 5 (ค 4) | 0 | 0.28 | 0.53 | 0.73 | 0.9 | 1.1 | 1.26 |
| x4 | 0 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 |
ขั้นตอนที่ 1: k = 1
ตามตารางที่ 4* รายได้สูงสุดเมื่อกระจาย 6 ระหว่างองค์กรคือ c 1 = 6, F 1 (6) = 1.26 ในกรณีนี้ องค์กรที่ 1 ต้องจัดสรร x 1 = 3
ขั้นตอนที่ 2: k = 2
ค 2 = ค 1 - x 1 = 6 - 3 = 3
ตามตารางที่ 3* รายได้สูงสุดเมื่อกระจาย 3 ระหว่างองค์กรคือ c 2 = 3, F 2 (3) = 0.61 ในกรณีนี้ องค์กรที่ 2 ต้องจัดสรร x 2 = 2
ขั้นตอนที่ 3: k = 3
ให้เรากำหนดจำนวนเงินคงเหลือที่เป็นของวิสาหกิจที่เหลือ
ค 3 = ค 2 - x 2 = 3 - 2 = 1
ตามตารางที่ 2* รายได้สูงสุดเมื่อกระจาย 1 ระหว่างองค์กรคือ c 3 = 1, F 3 (1) = 0.2 ในกรณีนี้ องค์กรที่ 3 จำเป็นต้องได้รับการจัดสรร x 3 = 0
ขั้นตอนที่ 4: k = 4
ให้เรากำหนดจำนวนเงินคงเหลือที่เป็นของวิสาหกิจที่เหลือ
ค 4 = ค 3 - x 3 = 1 - 0 = 1
ตามตารางที่ 1* รายได้สูงสุดเมื่อกระจาย 1 ระหว่างองค์กรคือ c 4 = 1, F 4 (1) = 0.20 ในกรณีนี้ องค์กรที่ 4 จำเป็นต้องได้รับการจัดสรร x 4 = 1
ดังนั้น แผนการลงทุนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับองค์กรคือ:
x 1 = 3
x 2 = 2
x 3 = 0
x 4 = 1
ซึ่งจะให้รายได้สูงสุดเท่ากับ: F(6) = g 1 (3) + g 2 (2) + g 3 (0) + g 4 (1) = 0.65 + 0.41 + 0 + 0.20 = 1.26
อัลกอริธึมที่ง่ายที่สุดในการคำนวณผลต่างคือสำหรับโครงร่างที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม วิธีการที่ชัดเจนจะเสถียรสำหรับความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างขั้นตอนของกริดเท่านั้น การปฏิบัติตามข้อกำหนดด้านเสถียรภาพทำให้เกิดความจำเป็นในการแบ่งตัวแปรเวลาอย่างละเอียด ซึ่งจะเพิ่มเวลาในการคำนวณ
ตามกฎแล้วโครงร่างโดยนัยนั้นปราศจากข้อเสียเปรียบนี้และอนุญาตให้เลือกขั้นตอนกริดในเวลาและพื้นที่ได้อย่างอิสระ อย่างไรก็ตาม ในแต่ละชั้นเวลา (การวนซ้ำ) จำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตที่ไม่ทราบค่าจำนวนหนึ่งเท่ากับจำนวนโหนดบนชั้นที่อยู่ระหว่างการพิจารณา หากคุณไม่คำนึงถึงลักษณะเฉพาะของระบบนี้ (เมทริกซ์กระจัดกระจาย) และแก้ไขเป็นระบบทั่วไปคุณจะต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก
วิธีการแก้ระบบสมการที่เกิดจากแผนผลต่างที่มีประสิทธิภาพคือ วิธีการกวาดให้เราพิจารณาอัลกอริทึมของมันโดยใช้ตัวอย่างของผลต่างของปัญหาค่าขอบเขตแรกสำหรับสมการความร้อน สำหรับปัญหาค่าขอบเขตในพื้นที่สี่เหลี่ยม
พิจารณารูปแบบความแตกต่างโดยนัย
ที่นี่ ไอ = ซี = 1, บิ = 1 + /?. 2 /(2at), D = ลี 2 (-คุณ"- g/")/(2at) ในกรณีของเรา ก j, D และ C* ไม่ได้ขึ้นอยู่กับดัชนี ฉันอย่างไรก็ตาม หากขั้นตอนกริดเป็นแบบแปรผัน ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับหมายเลขโหนด สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่า A(, Bj, Ci, g n+l, / n+1 เป็นปริมาณที่ทราบ ความสัมพันธ์ (7.2) คือระบบสมการเชิงเส้นสำหรับค่าที่ไม่รู้จัก Uq + , Mdg +
เมทริกซ์แบบขยายของระบบนี้มีรูปแบบ
ในเมทริกซ์นี้ องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จะอยู่ที่เส้นทแยงมุมหลักและอีกสององค์ประกอบที่อยู่ติดกัน เมทริกซ์ประเภทนี้เรียกว่า สามเหลี่ยม
การมีอยู่ของเงื่อนไขขอบเขตด้านซ้าย (mq +1 = n+1) ช่วยให้เราสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ (เพื่อความง่ายของสัญลักษณ์ จะละเว้นตัวยกของสิ่งที่ไม่รู้จัก) ความสัมพันธ์
มันเรียกว่า อัตราส่วนการทำงานและค่าสัมประสิทธิ์ที่รวมอยู่ในนั้นคือ A"*_i และ Li- - สัมประสิทธิ์การขับขี่สำหรับ ฉัน = 1 (7.1) ถือว่าพอใจหากเรายอมรับ
ด้วยวิธีนี้ ค่าเริ่มต้นของอัตราต่อรองจะถูกตั้งค่าไว้
ให้เรากำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไปด้วยความช่วยเหลือของสมการ (7.3) ช-1 จาก (7.2):
เราได้รับการแปลงพีชคณิตที่ง่ายที่สุด
ในรูปแบบที่สอดคล้องกับอัตราส่วนการขับขี่ การเปรียบเทียบ (7.5) และ (7.3) ให้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสำหรับค่าสัมประสิทธิ์การกวาด:
การใช้ค่าเริ่มต้น บริษัท = 0, Lq = สามารถคำนวณตามลำดับได้ เค แอล], ถึง2 , ^2, ..., Ln- - ส่วนประกอบ เวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์การวิ่ง กระบวนการคำนวณนี้เรียกว่า วิ่งตรง เป็นการง่ายที่จะเห็นว่าการกวาดโดยตรงด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นจะแปลงเมทริกซ์สามเหลี่ยมของระบบเชิงเส้นดั้งเดิมไปเป็นระบบเส้นทแยงมุมบนและจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (เนื่องจากรูปแบบพิเศษของเมทริกซ์ดั้งเดิม) นั้นเป็นสัดส่วนกับ จำนวนสิ่งที่ไม่รู้ 1.
รูปแบบเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์ที่ได้ทำให้ง่ายต่อการสร้างกระบวนการคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบ การรันความสัมพันธ์สำหรับโหนดสุดท้าย wjv-i = คนอุ่น+ ล^~ 1 พร้อมด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่ถูกต้อง = ฉันช่วยให้คุณสามารถคำนวณ idg_ 1 จากนั้นใช้สูตรที่เกิดซ้ำ (7.3) เพื่อกำหนดการไม่ทราบทั้งหมดตามลำดับ ยกเลิก-2, อูน-3, ..., ชปัญหาความแตกต่าง เรียกว่าการคำนวณตามลำดับของสิ่งที่ไม่ทราบโดยใช้ความสัมพันธ์แบบกวาด (7.3) วิ่งย้อนกลับ โดยแก่นแท้แล้ว วิธีการกวาดเป็นรูปแบบหนึ่งของการกำจัดแบบเกาส์เซียน ซึ่งคำนึงถึงคุณลักษณะเชิงโครงสร้างของเมทริกซ์ตรีทแยงมุม และกำจัดการดำเนินการกับองค์ประกอบที่เป็นศูนย์
จะเห็นได้ง่ายว่าเมื่อแก้ระบบเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้วยวิธีกวาด จำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะเป็นสัดส่วนกับจำนวนโหนดของกริดที่ต่างกัน ดังนั้น การใช้วิธีกวาดทำให้สามารถสร้างได้ โครงการความแตกต่างทางเศรษฐกิจ
สถานการณ์ที่สำคัญอีกประการหนึ่งซึ่งสามารถพบข้อพิสูจน์ได้ในเอกสารเฉพาะทางคือความเสถียรในการคำนวณของวิธีการกวาด ซึ่งหมายความว่าความแม่นยำของผลลัพธ์ที่ได้จะเหมือนกับความแม่นยำของการคำนวณขั้นกลางที่ดำเนินการ
วิธีการกวาดถูกเสนอครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต เกลฟอนด์ และโลคุตซีฟสกี ในทศวรรษ 1950 เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาค่าขอบเขตเชิงตัวเลข ความคุ้มทุนและความเสถียรของวิธีการทำให้เป็นองค์ประกอบหลักในการแก้ไขแผนความแตกต่างโดยนัยในคราวเดียว การประยุกต์ใช้แนวคิดในการแบ่งออกเป็นตัวแปรเชิงพื้นที่ทำให้สามารถขยายอัลกอริธึมการพยากรณ์โรคไปสู่ระดับปัญหาหลายมิติได้ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ต้องขอบคุณการเติบโตอย่างรวดเร็วของทรัพยากรคอมพิวเตอร์ (ส่วนใหญ่อยู่ใน RAM) อัลกอริธึมอื่น ๆ สำหรับการแก้ปัญหาระบบพีชคณิตมิติสูงที่มีเมทริกซ์กระจัดกระจายจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งแตกต่างจากวิธีการกวาดซึ่งไม่ได้ผูกมัดกับความเข้มงวดดังกล่าว ความต้องการเป็นสามเหลี่ยม
- การเบี่ยงเบนจากแนวทแยงสำหรับตัวแปรสุดท้ายในกรณีของเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สองหรือสามนั้นสามารถเอาชนะได้อย่างง่ายดาย
- เงื่อนไขความเสถียรจะเป็นที่พอใจหากเมทริกซ์มีคุณสมบัติเด่นในแนวทแยง คุณสมบัตินี้มีไว้สำหรับเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นตามโครงร่างที่แตกต่างกันของคลาสที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
ที่มาของวันในสัปดาห์ในงานมอบหมายบทเรียนภาษาเยอรมัน
ทฤษฎีไซโครเมทริกแห่งเชาวน์ปัญญา ทฤษฎีเชาวน์ปัญญาที่ถือว่าระดับเชาวน์ปัญญา
เกิดอะไรขึ้นกับบุคคลหลังความตายในมุมมองทางวิทยาศาสตร์ อะไรเกิดขึ้นหลังจากการเสียชีวิตของบุคคลนั้นเป็นวิทยาศาสตร์