ตัวอย่างการแก้คราบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน วิธีเกาส์เซียน (การกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ)

เครื่องคิดเลขออนไลน์เครื่องนี้ค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น (SLE) โดยใช้วิธีเกาส์เซียน มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด ในการคำนวณ ให้เลือกจำนวนตัวแปรและจำนวนสมการ จากนั้นป้อนข้อมูลลงในเซลล์แล้วคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"

x1 +x2 +x3 x1 +x2 +x3 x1 +x2 +x3 = = =

การแสดงตัวเลข:

จำนวนเต็มและ/หรือเศษส่วนร่วม
จำนวนเต็มและ/หรือทศนิยม

จำนวนตำแหน่งหลังตัวคั่นทศนิยม

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน ต้องป้อนเศษส่วนในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

วิธีเกาส์

วิธีเกาส์เป็นวิธีการเปลี่ยนจากระบบเดิมของสมการเชิงเส้น (โดยใช้การแปลงที่เท่ากัน) ไปเป็นระบบที่แก้ง่ายกว่าระบบเดิม

การแปลงที่เท่ากันของระบบสมการเชิงเส้นคือ:

• การสลับสองสมการในระบบ
• การคูณสมการใดๆ ในระบบด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
• บวกสมการหนึ่งเข้ากับอีกสมการหนึ่งคูณด้วยจำนวนใดก็ได้

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น:

(1)

ให้เราเขียนระบบ (1) ในรูปแบบเมทริกซ์:

ขวาน=ข

(2)

(3)

ก- เรียกว่าเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ ข− ด้านขวาของข้อจำกัด x− เวกเตอร์ของตัวแปรที่จะพบ ให้อันดับ( ก)=พี.

การแปลงที่เท่ากันจะไม่เปลี่ยนอันดับของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์และอันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบ ชุดโซลูชันของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงที่เท่ากัน สาระสำคัญของวิธีเกาส์คือการลดเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ กเป็นแนวทแยงหรือก้าว

มาสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบกัน:

ในขั้นตอนต่อไป เราจะรีเซ็ตองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ 2 ด้านล่างองค์ประกอบ หากองค์ประกอบนี้เป็นศูนย์ แถวนี้จะถูกสลับกับแถวที่อยู่ด้านล่างแถวนี้และมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในคอลัมน์ที่สอง ถัดไป รีเซ็ตองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ 2 ด้านล่างองค์ประกอบนำ ก 22. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัด 3, ... มด้วยสตริงที่ 2 คูณด้วย - ก 32 /ก 22 , ..., −กตร.ม./ ก 22 ตามลำดับ ดำเนินการตามขั้นตอนต่อไปเราจะได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบแนวทแยงหรือแบบขั้นบันได ปล่อยให้เมทริกซ์ขยายที่ได้มีรูปแบบ:

(7)

เพราะ rangA=รัง(ก|ข) ดังนั้นเซตของคำตอบ (7) คือ ( n−พี)− ความหลากหลาย เพราะฉะนั้น n−พีสิ่งที่ไม่รู้จักสามารถเลือกได้ตามใจชอบ สิ่งที่ไม่ทราบที่เหลือจากระบบ (7) มีการคำนวณดังนี้ จากสมการสุดท้ายที่เราแสดง x p ผ่านตัวแปรที่เหลือและแทรกลงในนิพจน์ก่อนหน้า ต่อไป จากสมการสุดท้ายที่เราแสดงออกมา x p−1 ผ่านตัวแปรที่เหลือและแทรกลงในนิพจน์ก่อนหน้า ฯลฯ ลองดูวิธีเกาส์โดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

ให้เราแสดงโดย กองค์ประกอบ ij ฉัน-บรรทัดที่ และ เจคอลัมน์ที่

ก 1 1 . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัด 2,3 ด้วยบรรทัดที่ 1 คูณด้วย -2/3,-1/2 ตามลำดับ:

ประเภทการบันทึกแบบเมทริกซ์: ขวาน=ข, ที่ไหน

ให้เราแสดงโดย กองค์ประกอบ ij ฉัน-บรรทัดที่ และ เจคอลัมน์ที่

ลองแยกองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 ของเมทริกซ์ที่อยู่ด้านล่างองค์ประกอบออก ก 11. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัด 2,3 ด้วยบรรทัดที่ 1 คูณด้วย -1/5,-6/5 ตามลำดับ:

เราแบ่งเมทริกซ์แต่ละแถวด้วยองค์ประกอบนำหน้าที่สอดคล้องกัน (หากมีองค์ประกอบนำหน้าอยู่):

ที่ไหน x 3 , x

เมื่อแทนนิพจน์บนไปเป็นนิพจน์ล่าง เราก็ได้คำตอบ

จากนั้นสามารถแสดงวิธีแก้ปัญหาเวกเตอร์ได้ดังนี้:

ที่ไหน x 3 , x 4 เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม

สมการเชิงเส้นสองระบบเรียกว่าสมมูลหากเซตของคำตอบทั้งหมดตรงกัน

การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการคือ:

1. การลบสมการเล็กๆ น้อยๆ ออกจากระบบ เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
2. การคูณสมการด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
3. การบวกสมการที่ i ใดๆ เข้ากับสมการที่ j ใดๆ คูณด้วยจำนวนใดๆ

ตัวแปร x i เรียกว่าว่าง หากไม่อนุญาตให้ใช้ตัวแปรนี้ แต่อนุญาตให้ใช้ระบบสมการทั้งหมดได้

ทฤษฎีบท. การแปลงเบื้องต้นจะเปลี่ยนระบบสมการให้เป็นระบบที่เทียบเท่ากัน

ความหมายของวิธีเกาส์เซียนคือการแปลงระบบสมการดั้งเดิมและได้ระบบสมการที่ได้รับการแก้ไขแล้วหรือระบบที่ไม่สอดคล้องกันที่เทียบเท่ากัน

ดังนั้น วิธีเกาส์เซียนประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ลองดูสมการแรกกัน ลองเลือกสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์อันแรกแล้วหารสมการทั้งหมดด้วยค่านั้น เราได้สมการที่ตัวแปรบางตัว x i เข้ามาด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 1;
2. ลองลบสมการนี้ออกจากสมการอื่นๆ ทั้งหมด แล้วคูณด้วยตัวเลขจนค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x i ในสมการที่เหลือเป็นศูนย์ เราได้ระบบที่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่อตัวแปร x i และเทียบเท่ากับตัวแปรดั้งเดิม
3. หากสมการเล็กๆ น้อยๆ เกิดขึ้น (เกิดขึ้นไม่บ่อยนัก แต่เกิดขึ้น เช่น 0 = 0) เราจะตัดสมการเหล่านั้นออกจากระบบ เป็นผลให้มีสมการน้อยลงหนึ่งสมการ
4. เราทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้านี้ไม่เกิน n ครั้ง โดยที่ n คือจำนวนสมการในระบบ แต่ละครั้งที่เราเลือกตัวแปรใหม่สำหรับ "กำลังประมวลผล" หากสมการไม่สอดคล้องกันเกิดขึ้น (เช่น 0 = 8) ระบบจะไม่สอดคล้องกัน

ผลก็คือ หลังจากผ่านไปไม่กี่ขั้นตอน เราก็จะได้ระบบที่แก้ไขแล้ว (อาจมีตัวแปรอิสระ) หรือระบบที่ไม่สอดคล้องกัน ระบบที่อนุญาตแบ่งออกเป็นสองกรณี:

1. จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ ซึ่งหมายความว่าระบบถูกกำหนดไว้แล้ว
2. จำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ เรารวบรวมตัวแปรอิสระทั้งหมดทางด้านขวา - เราได้สูตรสำหรับตัวแปรที่อนุญาต สูตรเหล่านี้เขียนอยู่ในคำตอบ

แค่นั้นแหละ! ระบบสมการเชิงเส้นแก้ได้แล้ว! นี่เป็นอัลกอริธึมที่ค่อนข้างง่าย และเพื่อให้เชี่ยวชาญ คุณไม่จำเป็นต้องติดต่อครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ที่สูงกว่า ลองดูตัวอย่าง:

งาน. แก้ระบบสมการ:

คำอธิบายของขั้นตอน:

1. ลบสมการแรกจากสมการที่สองและสาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1;
2. เราคูณสมการที่สองด้วย (−1) และหารสมการที่สามด้วย (−3) - เราได้สมการสองสมการโดยที่ตัวแปร x 2 เข้ามาด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 1;
3. เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการแรก และลบออกจากสมการที่สาม เราได้รับตัวแปรที่อนุญาต x 2 ;
4. ในที่สุด เราก็ลบสมการที่สามออกจากสมการแรก - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 3
5. เราได้รับระบบที่อนุมัติแล้ว ให้จดคำตอบไว้

คำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันคือระบบใหม่ ซึ่งเทียบเท่ากับระบบเดิม ซึ่งตัวแปรที่อนุญาตทั้งหมดจะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระ

เมื่อใดที่อาจจำเป็นต้องใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป? ถ้าต้องทำขั้นตอนน้อยกว่า k (k คือจำนวนสมการที่มี) อย่างไรก็ตาม สาเหตุที่ทำให้กระบวนการสิ้นสุดในบางขั้นตอน l< k , может быть две:

1. หลังจากขั้นตอนที่ l เราได้ระบบที่ไม่มีสมการที่มีตัวเลข (l + 1) อันที่จริงมันก็ดีนะเพราะว่า... ยังคงได้รับระบบที่ได้รับอนุญาต - แม้จะเร็วกว่านี้เพียงไม่กี่ขั้นตอนก็ตาม
2. หลังจากขั้นตอนที่ l เราได้รับสมการโดยสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของตัวแปรเท่ากับศูนย์ และสัมประสิทธิ์อิสระแตกต่างจากศูนย์ นี่เป็นสมการที่ขัดแย้งกัน ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าการเกิดขึ้นของสมการไม่สอดคล้องกันโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นเป็นพื้นฐานที่เพียงพอสำหรับความไม่สอดคล้องกัน ในเวลาเดียวกันเราทราบว่าจากขั้นตอนที่ 1 ทำให้ไม่มีสมการเล็ก ๆ น้อย ๆ เหลืออยู่ - สมการทั้งหมดถูกขีดฆ่าทันทีในกระบวนการ

คำอธิบายของขั้นตอน:

1. ลบสมการแรกคูณด้วย 4 จากสมการที่สอง เรายังเพิ่มสมการแรกเข้ากับสมการที่สาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1;
2. ลบสมการที่สามคูณด้วย 2 จากสมการที่สอง - เราจะได้สมการที่ขัดแย้งกัน 0 = −5

ดังนั้นระบบจึงไม่สอดคล้องกันเนื่องจากมีการค้นพบสมการที่ไม่สอดคล้องกัน

งาน. สำรวจความเข้ากันได้และค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปสำหรับระบบ:

คำอธิบายของขั้นตอน:

1. เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (หลังจากคูณด้วยสอง) และสมการที่สาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1;
2. ลบสมการที่สองจากสมการที่สาม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการเหล่านี้เท่ากัน สมการที่สามจึงกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ในเวลาเดียวกัน ให้คูณสมการที่สองด้วย (−1)
3. ลบอันที่สองจากสมการแรก - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 2 ขณะนี้ระบบสมการทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้วเช่นกัน
4. เนื่องจากตัวแปร x 3 และ x 4 ว่าง เราจึงย้ายพวกมันไปทางขวาเพื่อแสดงตัวแปรที่อนุญาต นี่คือคำตอบ

ดังนั้น ระบบจึงมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน เนื่องจากมีตัวแปรที่อนุญาตสองตัว (x 1 และ x 2) และตัวแปรอิสระสองตัว (x 3 และ x 4)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบจาก nสมการเชิงเส้นด้วย nตัวแปรที่ไม่รู้จัก
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ: การกำจัดครั้งแรก x1ไม่รวมสมการทั้งหมดของระบบตั้งแต่สมการที่สองเป็นต้นไป x2จากสมการทั้งหมด เริ่มจากสมการที่สาม ไปเรื่อยๆ จนเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จักยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย เอ็กซ์เอ็น- กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากเสร็จสิ้นการก้าวหน้าไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนแล้ว จากสมการสุดท้ายที่เราพบ เอ็กซ์เอ็นโดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้ายที่เราคำนวณ เอ็กซ์เอ็น-1และอื่นๆ จากสมการแรกที่เราพบ x1- กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ กำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x1จากสมการทั้งหมดของระบบเริ่มจากสมการที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย เข้ากับสมการที่สามของระบบ เราบวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ nในสมการที่เราบวกอันแรกคูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดงออก x1ผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบและนิพจน์ผลลัพธ์จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x1แยกออกจากสมการทั้งหมดโดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สอง คูณด้วย ลงในสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อๆ ไปในสมการที่สี่ nเราบวกอันที่สองเข้ากับสมการ คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x2แยกออกจากสมการทั้งหมดตั้งแต่สมการที่สาม

ต่อไปเราจะดำเนินการกำจัดสิ่งไม่รู้ออกไป x3ในกรณีนี้เราจะทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในภาพ

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไปเราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ เอ็กซ์เอ็นจากสมการสุดท้ายเป็นโดยใช้ค่าที่ได้รับ เอ็กซ์เอ็นเราพบ เอ็กซ์เอ็น-1จากสมการสุดท้าย เป็นต้น เราพบว่า x1จากสมการแรก

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ลังเลอยู่นานโดยเลือกระหว่างปรัชญากับคณิตศาสตร์ บางทีอาจเป็นเพียงความคิดนี้เองที่ทำให้เขาสามารถสร้าง "มรดก" ที่เห็นได้ชัดเจนในวิทยาศาสตร์โลก โดยเฉพาะด้วยการสร้าง "วิธีเกาส์" ...

เป็นเวลาเกือบ 4 ปีแล้วที่บทความบนเว็บไซต์นี้เกี่ยวข้องกับการศึกษาในโรงเรียน โดยส่วนใหญ่มาจากมุมมองของปรัชญา หลักการของความเข้าใจที่ผิด (ผิด) ได้ถูกนำมาสู่จิตใจของเด็ก ๆ ถึงเวลาแล้วสำหรับตัวอย่าง และวิธีการที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น... ฉันเชื่อว่านี่คือแนวทางที่คุ้นเคย สับสน และ สำคัญพื้นที่ของชีวิตให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า

คนเราได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่ว่าเราจะพูดถึงมากแค่ไหนก็ตาม การคิดเชิงนามธรรม, แต่ ความเข้าใจ เสมอเกิดขึ้นผ่านตัวอย่าง- หากไม่มีตัวอย่างก็ไม่สามารถเข้าใจหลักการได้... เช่นเดียวกับที่ขึ้นไปบนยอดเขาไม่ได้นอกจากเดินตามทางลาดทั้งหมดจากตีนเขา

เช่นเดียวกับโรงเรียน: สำหรับตอนนี้ เรื่องราวชีวิตยังไม่เพียงพอที่เราจะถือว่าที่นี่เป็นสถานที่ซึ่งเด็กๆ ได้รับการสอนให้เข้าใจโดยสัญชาตญาณเท่านั้นยังไม่พอ

เช่น การสอนวิธีเกาส์เซียน...

วิธีเกาส์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5

ฉันจะจองทันที: วิธี Gauss มีการใช้งานที่กว้างกว่ามาก เช่น เมื่อแก้ไข ระบบสมการเชิงเส้น- สิ่งที่เราจะพูดถึงเกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นี้ เริ่มเมื่อเข้าใจว่าสิ่งใดจะง่ายกว่ามากที่จะเข้าใจ "ตัวเลือกขั้นสูง" ที่มากกว่า ในบทความนี้เรากำลังพูดถึง วิธีการของเกาส์ (วิธีการ) ในการหาผลรวมของอนุกรม

นี่คือตัวอย่างที่ลูกชายคนเล็กของฉันซึ่งเข้าเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ที่โรงยิมมอสโกนำมาจากโรงเรียน

โรงเรียนสาธิตวิธีเกาส์

ครูคณิตศาสตร์คนหนึ่งที่ใช้ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (วิธีการสอนสมัยใหม่) ให้เด็กๆ ได้เห็นการนำเสนอประวัติความเป็นมาของ "การสร้างวิธีการ" โดยเกาส์ตัวน้อย

ครูในโรงเรียนเฆี่ยนตีคาร์ลตัวน้อย (วิธีที่ล้าสมัยซึ่งปัจจุบันไม่ได้ใช้ในโรงเรียน) เพราะเขา

แทนที่จะบวกตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ตามลำดับ ให้หาผลรวมของมัน สังเกตเห็นคู่ตัวเลขที่มีระยะห่างเท่ากันจากขอบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะรวมกันเป็นตัวเลขเดียวกัน ตัวอย่างเช่น 100 และ 1, 99 และ 2 เมื่อนับจำนวนคู่ดังกล่าวแล้ว Gauss ตัวน้อยก็แก้ไขปัญหาที่ครูเสนอแทบจะในทันที ซึ่งเขาถูกประหารต่อหน้าสาธารณชนที่ประหลาดใจ เพื่อให้คนอื่นหมดกำลังใจในการคิด

เกาส์ตัวน้อยทำอะไร? ที่พัฒนา ความรู้สึกเชิงตัวเลข? สังเกตเห็นคุณสมบัติบางอย่างชุดตัวเลขที่มีขั้นคงที่ (ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์) และ นั่นคือสิ่งที่ทำให้เขากลายเป็นนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในเวลาต่อมา ผู้ที่รู้จักสังเกต, มี ความรู้สึก สัญชาตญาณแห่งความเข้าใจ.

นี่คือเหตุผลว่าทำไมคณิตศาสตร์จึงมีคุณค่าและกำลังพัฒนา ความสามารถในการมองเห็นทั่วไปโดยเฉพาะ - การคิดเชิงนามธรรม- ดังนั้นผู้ปกครองและนายจ้างส่วนใหญ่ ถือว่าคณิตศาสตร์เป็นวินัยที่สำคัญโดยสัญชาตญาณ ...

“ถ้าอย่างนั้น คุณต้องเรียนรู้คณิตศาสตร์ เพราะมันจะทำให้จิตใจของคุณเป็นระเบียบ
เอ็ม.วี.โลโมโนซอฟ"

อย่างไรก็ตาม ผู้ติดตามของผู้ที่เฆี่ยนตีอัจฉริยะในอนาคตด้วยไม้เรียวทำให้วิธีการกลายเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ดังที่หัวหน้างานของฉันพูดเมื่อ 35 ปีที่แล้ว: “เราได้เรียนรู้คำถามนี้แล้ว” หรืออย่างที่ลูกชายคนเล็กของฉันพูดเมื่อวานนี้เกี่ยวกับวิธีการของเกาส์: “บางทีมันไม่คุ้มค่าที่จะสร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากเรื่องนี้ใช่ไหม”

ผลที่ตามมาจากความคิดสร้างสรรค์ของ "นักวิทยาศาสตร์" สามารถมองเห็นได้ในระดับคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในปัจจุบัน ระดับการสอน และความเข้าใจของ "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" โดยคนส่วนใหญ่

อย่างไรก็ตาม มาทำต่อ...

วิธีการอธิบายวิธีเกาส์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5

ครูคณิตศาสตร์ที่โรงยิมมอสโกอธิบายวิธีเกาส์ตาม Vilenkin ทำให้งานซับซ้อนขึ้น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าความแตกต่าง (ขั้นตอน) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่หนึ่ง แต่เป็นอีกจำนวนหนึ่ง? ตัวอย่างเช่น 20

ปัญหาที่เขาให้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

ก่อนที่จะทำความคุ้นเคยกับวิธียิมเนเซียมเรามาดูอินเทอร์เน็ตกันก่อนว่าครูในโรงเรียนและครูสอนคณิตศาสตร์ทำอย่างไร?..

วิธีเกาส์เซียน: คำอธิบายหมายเลข 1

ครูสอนพิเศษที่มีชื่อเสียงในช่อง YOUTUBE ของเขาให้เหตุผลดังต่อไปนี้:

“ลองเขียนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ดังนี้:

อันดับแรกคือชุดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 50 และต่ำกว่านั้นอีกชุดคือชุดตัวเลขตั้งแต่ 50 ถึง 100 แต่กลับกัน"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"โปรดทราบ: ผลรวมของตัวเลขแต่ละคู่จากแถวบนและล่างเท่ากันและเท่ากับ 101! ลองนับจำนวนคู่กันเป็น 50 และคูณผลรวมของหนึ่งคู่ด้วยจำนวนคู่! Voila: The คำตอบพร้อมแล้ว!”

“ถ้าไม่เข้าใจก็อย่าโกรธ!” ครูพูดซ้ำสามครั้งระหว่างการอธิบาย “คุณจะใช้วิธีนี้ในเกรด 9!”

วิธีเกาส์เซียน: คำอธิบายหมายเลข 2

ครูสอนพิเศษอีกคนที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก (ตัดสินจากจำนวนการดู) ใช้วิธีการที่เป็นวิทยาศาสตร์มากกว่า โดยเสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหา 5 คะแนนที่ต้องดำเนินการตามลำดับ

สำหรับผู้ที่ไม่ได้ฝึกหัด 5 เป็นหนึ่งในตัวเลขฟีโบนัชชีที่แต่ก่อนถือว่ามีมนต์ขลัง ตัวอย่างเช่น วิธีการแบบ 5 ขั้นตอนมีความเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าวิธีแบบ 6 ขั้นตอนเสมอ ...และนี่ไม่ใช่อุบัติเหตุ เป็นไปได้มากว่าผู้เขียนเป็นผู้ที่แอบแฝงทฤษฎีฟีโบนัชชี

เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

อัลกอริทึมในการค้นหาผลรวมของตัวเลขในชุดข้อมูลโดยใช้วิธีเกาส์:

ขั้นตอนที่ 1: เขียนลำดับตัวเลขที่กำหนดกลับด้าน อย่างแน่นอนภายใต้อันแรก

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณผลรวมของคู่ตัวเลขที่อยู่ในแถวแนวตั้ง: 260

ขั้นตอนที่ 3: นับจำนวนคู่ดังกล่าวในชุดตัวเลข เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบค่าต่ำสุดออกจากจำนวนสูงสุดของชุดตัวเลขแล้วหารด้วยขนาดขั้นตอน: (256 - 4) / 6 = 42

ในขณะเดียวกันคุณต้องจำไว้ บวกหนึ่งกฎ : เราต้องบวกหนึ่งเข้ากับผลหารผลลัพธ์: ไม่เช่นนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจำนวนคู่จริงทีละ 1: 42 + 1 = 43

ขั้นตอนที่ 4: คูณผลรวมของตัวเลขหนึ่งคู่ด้วยจำนวนคู่: 260 x 43 = 11,180

ขั้นตอนที่ 5: เนื่องจากเราได้คำนวณจำนวนเงินแล้ว คู่ตัวเลขดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ควรหารด้วยสอง: 11,180/2 = 5590

นี่คือผลรวมที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 4 ถึง 256 โดยมีผลต่าง 6!

วิธีเกาส์: คำอธิบายในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ที่โรงยิมมอสโก

วิธีแก้ปัญหาการหาผลรวมของอนุกรมมีดังนี้

20+40+60+ ... +460+480+500

ในโรงยิมมอสโกชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 หนังสือเรียนของ Vilenkin (อ้างอิงจากลูกชายของฉัน)

หลังจากแสดงการนำเสนอแล้ว ครูคณิตศาสตร์ได้แสดงตัวอย่างสองสามตัวอย่างโดยใช้วิธีเกาส์เซียน และมอบหมายให้ชั้นเรียนค้นหาผลรวมของตัวเลขในชุดโดยเพิ่มทีละ 20

สิ่งนี้ต้องการสิ่งต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1: อย่าลืมจดตัวเลขทั้งหมดในชุดลงในสมุดบันทึกของคุณจาก 20 ถึง 500 (เพิ่มขั้นละ 20)

ขั้นตอนที่ 2: เขียนคำศัพท์ตามลำดับ - คู่ตัวเลข:อันแรกกับอันสุดท้าย อันที่สองกับอันสุดท้าย ฯลฯ และคำนวณจำนวนเงินของพวกเขา

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณ "ผลรวม" และค้นหาผลรวมของทั้งชุด

อย่างที่คุณเห็น นี่เป็นเทคนิคที่กะทัดรัดและมีประสิทธิภาพมากกว่า: เลข 3 ยังเป็นสมาชิกของลำดับฟีโบนัชชีด้วย

ความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับวิธีเกาส์เวอร์ชันโรงเรียน

นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คงจะเลือกปรัชญาอย่างแน่นอนถ้าเขาคาดการณ์ล่วงหน้าว่าผู้ติดตามของเขาจะเปลี่ยน “วิธีการ” ของเขาให้กลายเป็นอะไร ครูสอนภาษาเยอรมันผู้ซึ่งเฆี่ยนตีคาร์ลด้วยไม้เรียว เขาคงได้เห็นสัญลักษณ์ เกลียววิภาษวิธี และความโง่เขลาอันเป็นอมตะของ “ครู” พยายามวัดความสอดคล้องของความคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตกับพีชคณิตของความเข้าใจผิด ....

โดยวิธีการ: คุณรู้ไหม. ว่าระบบการศึกษาของเรามีรากฐานมาจากโรงเรียนเยอรมันในศตวรรษที่ 18 และ 19?

แต่เกาส์เลือกคณิตศาสตร์

สาระสำคัญของวิธีการของเขาคืออะไร?

ใน ลดความซับซ้อน- ใน การสังเกตและโลภรูปแบบตัวเลขอย่างง่าย ใน เปลี่ยนเลขคณิตของโรงเรียนแห้งให้เป็น กิจกรรมที่น่าสนใจและน่าตื่นเต้น กระตุ้นความปรารถนาที่จะดำเนินต่อไปในสมองแทนที่จะปิดกั้นกิจกรรมทางจิตที่มีต้นทุนสูง

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะคำนวณผลรวมของตัวเลขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย "การแก้ไขวิธีการ" ของเกาส์อย่างใดอย่างหนึ่งที่กำหนด? ทันที- ตาม "อัลกอริทึม" คาร์ลตัวน้อยจะได้รับการรับรองว่าจะหลีกเลี่ยงการตีก้นพัฒนาความเกลียดชังคณิตศาสตร์และระงับแรงกระตุ้นที่สร้างสรรค์ของเขาในตา

เหตุใดครูสอนพิเศษจึงแนะนำนักเรียนเกรด 5 อย่างต่อเนื่องว่า "อย่ากลัวความเข้าใจผิด" เกี่ยวกับวิธีการนี้ และโน้มน้าวพวกเขาว่าพวกเขาจะแก้ไขปัญหา "ดังกล่าว" ได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 การกระทำที่ไม่รู้หนังสือทางจิตวิทยา. มันเป็นการเคลื่อนไหวที่ดีที่ควรทราบ: "พบกันใหม่ อยู่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 แล้วคุณทำได้แก้ปัญหาที่คุณจะสำเร็จได้ใน 4 ปีเท่านั้น! คุณเป็นเพื่อนที่ดีจริงๆ!”

หากต้องการใช้วิธีเกาส์เซียน ระดับ 3 ก็เพียงพอแล้วเมื่อเด็กปกติรู้วิธีบวกคูณหารเลข 2-3 หลักแล้ว ปัญหาเกิดขึ้นเนื่องจากการที่ครูผู้ใหญ่ที่ “ขาดการติดต่อ” ไม่สามารถอธิบายสิ่งที่ง่ายที่สุดในภาษามนุษย์ปกติได้ ไม่ต้องพูดถึงคณิตศาสตร์... พวกเขาไม่สามารถดึงดูดผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์และท้อแท้แม้แต่คนที่เป็น “ มีความสามารถ."

หรืออย่างที่ลูกชายของฉันแสดงความคิดเห็น: “สร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากมัน”

(ในกรณีทั่วไป) คุณจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขใดที่คุณควร "ขยาย" บันทึกตัวเลขในวิธีที่ 1

จะทำอย่างไรถ้าจำนวนสมาชิกของซีรีส์กลายเป็น แปลก?

ทำไมต้องเปลี่ยนเป็น “กฎบวก 1” สิ่งที่เด็กสามารถทำได้ง่ายๆ เรียนรู้แม้แต่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ถ้าฉันพัฒนา "ความรู้สึกของตัวเลข" และ จำไม่ได้“นับสิบ”?

และสุดท้าย: ZERO หายไปไหน สิ่งประดิษฐ์อันยอดเยี่ยมที่มีอายุมากกว่า 2,000 ปี และครูคณิตศาสตร์ยุคใหม่คนไหนที่หลีกเลี่ยงการใช้!

วิธีเกาส์ คำอธิบายของฉัน

ฉันและภรรยาได้อธิบาย “วิธีการ” นี้ให้ลูกของเราฟัง ดูเหมือนก่อนไปโรงเรียนด้วยซ้ำ...

ความเรียบง่ายแทนที่จะเป็นความซับซ้อนหรือเกมคำถามและคำตอบ

“ดูสิ นี่คือตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 คุณเห็นอะไร”

ประเด็นไม่ได้อยู่ที่สิ่งที่เด็กมองเห็นอย่างแน่นอน เคล็ดลับคือการทำให้เขาดู

“จะเอามารวมกันได้ยังไง” ลูกชายตระหนักว่าคำถามดังกล่าวไม่ได้ถูกถาม “แบบนั้น” และคุณต้องมองคำถาม “แตกต่างไปจากปกติ”

ไม่สำคัญว่าเด็กจะเห็นวิธีแก้ปัญหาทันทีหรือไม่ แต่ก็ไม่น่าเป็นไปได้ มันเป็นสิ่งสำคัญที่เขา เลิกกลัวที่จะมองหรืออย่างที่ฉันพูดว่า "ย้ายงาน"- นี่คือจุดเริ่มต้นของการเดินทางสู่ความเข้าใจ

“อันไหนง่ายกว่า: เพิ่มเช่น 5 และ 6 หรือ 5 และ 95” คำถามสำคัญ... แต่การฝึกอบรมใดๆ ก็ตามมีจุดประสงค์เพื่อ "แนะนำ" บุคคลให้ได้รับ "คำตอบ" - ในทางใดก็ตามที่เขายอมรับได้

ในขั้นตอนนี้อาจมีการเดาเกี่ยวกับวิธีการ "บันทึก" ในการคำนวณอยู่แล้ว

สิ่งที่เราทำก็แค่บอกเป็นนัย: วิธีการนับแบบ "ด้านหน้า เส้นตรง" ไม่ใช่วิธีเดียวที่เป็นไปได้ หากเด็กเข้าใจสิ่งนี้แล้วเขาก็จะเกิดวิธีการดังกล่าวอีกมากมายในภายหลัง เพราะมันน่าสนใจ!!!และเขาจะหลีกเลี่ยงคณิตศาสตร์ที่ "เข้าใจผิด" อย่างแน่นอน และจะไม่รู้สึกรังเกียจมัน เขาได้รับชัยชนะ!

ถ้า เด็กค้นพบการบวกคู่ตัวเลขที่รวมกันได้เป็นร้อยก็เป็นเรื่องง่าย "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยผลต่าง 1"- สิ่งที่ค่อนข้างน่าเบื่อและไม่น่าสนใจสำหรับเด็ก - ทันใดนั้น พบชีวิตสำหรับเขา . ระเบียบเกิดขึ้นจากความสับสนวุ่นวาย และสิ่งนี้ทำให้เกิดความกระตือรือร้นอยู่เสมอ: นั่นคือวิธีที่เราถูกสร้างขึ้น!

คำถามที่ต้องตอบ: ทำไมหลังจากได้รับข้อมูลเชิงลึกที่เด็กได้รับแล้ว เขาจึงควรถูกบังคับให้เข้าสู่กรอบของอัลกอริธึมแบบแห้งอีกครั้ง ซึ่งในกรณีนี้ก็ไม่มีประโยชน์เช่นกัน!

เหตุใดจึงต้องบังคับให้เขียนซ้ำโง่ ๆหมายเลขลำดับในสมุดบันทึก: แม้แต่ผู้มีความสามารถก็ไม่มีโอกาสเข้าใจแม้แต่ครั้งเดียว? แน่นอนว่าในทางสถิติ แต่การศึกษามวลชนมุ่งเน้นไปที่ "สถิติ"...

ศูนย์หายไปไหน?

ถึงกระนั้น การบวกตัวเลขที่รวมกันได้ 100 ก็เป็นที่ยอมรับของจิตใจมากกว่าการบวกตัวเลขที่รวมกันได้ 101...

"วิธีการแบบเกาส์สคูล" ต้องการสิ่งนี้: พับอย่างไม่ใส่ใจคู่ตัวเลขที่ห่างจากจุดศูนย์กลางความก้าวหน้าเท่ากัน ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น.

ถ้าคุณดูล่ะ?

อย่างไรก็ตาม ศูนย์ถือเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของมนุษย์ซึ่งมีอายุมากกว่า 2,000 ปี และครูคณิตศาสตร์ยังคงเพิกเฉยต่อเขา

การแปลงชุดตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย 1 เป็นชุดที่ขึ้นต้นด้วย 0 ง่ายกว่ามาก ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงใช่ไหม ต้องหยุด “คิดในตำรา” แล้วเริ่มมองหา...และดูว่าคู่ที่มีผลรวม 101 สามารถถูกแทนที่ด้วยคู่ที่มีผลรวม 100 ได้อย่างสมบูรณ์!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

จะยกเลิก "กฎบวก 1" ได้อย่างไร?

พูดตามตรง ครั้งแรกที่ฉันได้ยินกฎดังกล่าวจากครูสอน YouTube คนนั้น...

ฉันยังต้องทำอย่างไรเมื่อต้องกำหนดจำนวนสมาชิกของซีรีส์?

ฉันดูลำดับ:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

และเมื่อคุณเหนื่อยมากแล้ว ให้ไปยังแถวที่ง่ายกว่า:

1, 2, 3, 4, 5

และฉันคิดว่า: ถ้าคุณลบหนึ่งออกจาก 5 คุณจะได้ 4 แต่ฉันชัดเจนมาก ฉันเห็น 5 หมายเลข! ดังนั้นคุณต้องเพิ่มอันหนึ่ง! สัมผัสเชิงจำนวนที่พัฒนาขึ้นในโรงเรียนประถมศึกษาแนะนำว่า แม้ว่าสมาชิกในชุดนี้จะมี Google ทั้งหมด (10 ยกกำลัง 100) รูปแบบจะยังคงเหมือนเดิม

มีกฎเกณฑ์บ้าอะไร..

เพื่อว่าในอีกสองสามปีคุณจะสามารถเติมเต็มช่องว่างระหว่างหน้าผากและหลังศีรษะและหยุดคิดได้? จะหาขนมปังและเนยได้อย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว เรากำลังก้าวเข้าสู่อันดับเท่าๆ กันในยุคของเศรษฐกิจดิจิทัล!

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการสอนของเกาส์: “เหตุใดจึงต้องสร้างวิทยาศาสตร์จากสิ่งนี้?..”

ฉันไม่ได้โพสต์ภาพหน้าจอจากสมุดบันทึกของลูกชายเพื่ออะไร...

“เกิดอะไรขึ้นในชั้นเรียน?”

“ ฉันนับทันทียกมือขึ้น แต่เธอไม่ถาม ดังนั้นในขณะที่คนอื่นกำลังนับอยู่ฉันก็เริ่มทำการบ้านเป็นภาษารัสเซียเพื่อไม่ให้เสียเวลา จากนั้นเมื่อคนอื่น ๆ เขียนเสร็จ (? ??) เธอโทรหาฉันที่กระดาน ฉันตอบไป”

“ถูกต้อง แสดงให้ฉันเห็นว่าคุณแก้ไขมันได้อย่างไร” อาจารย์กล่าว ฉันแสดงให้เห็นแล้ว เธอพูดว่า: “ผิดแล้ว คุณต้องนับตามที่ฉันแสดง!”

“เป็นเรื่องดีที่เธอไม่ได้ให้คะแนนฉันแย่ และเธอให้ฉันเขียน “แนวทางการแก้ปัญหา” ในแบบของพวกเขาเอง ทำไมจึงต้องสร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากเรื่องนี้?..”

อาชญากรรมหลักของครูคณิตศาสตร์

หลังจากนั้นแทบจะไม่ เหตุการณ์นั้น Carl Gauss ได้รับความเคารพอย่างสูงต่อครูคณิตศาสตร์ในโรงเรียนของเขา แต่ถ้าเขารู้วิธี สาวกของอาจารย์คนนั้น จะบิดเบือนสาระสำคัญของวิธีการ... เขาจะคำรามด้วยความขุ่นเคืองและผ่านองค์การทรัพย์สินทางปัญญาโลก WIPO บรรลุการห้ามใช้ชื่อที่ดีของเขาในหนังสือเรียนของโรงเรียน!..

ในสิ่งที่ ข้อผิดพลาดหลักของแนวทางโรงเรียน- หรืออย่างที่ฉันพูดไว้ อาชญากรรมของครูคณิตศาสตร์ในโรงเรียนต่อเด็ก?

อัลกอริทึมของความเข้าใจผิด

นักระเบียบวิธีของโรงเรียนทำอะไร ซึ่งคนส่วนใหญ่ไม่รู้ว่าจะคิดอย่างไร

พวกเขาสร้างวิธีการและอัลกอริธึม (ดู) นี้ ปฏิกิริยาป้องกันที่ปกป้องครูจากการวิพากษ์วิจารณ์ (“ทุกอย่างทำตาม…”) และไม่ให้เด็ก ๆ เข้าใจ และด้วยเหตุนี้ - จากความปรารถนาที่จะวิพากษ์วิจารณ์ครู!(อนุพันธ์อันดับสองของ "ปัญญา" ของระบบราชการ ซึ่งเป็นแนวทางทางวิทยาศาสตร์ในการแก้ปัญหา) คนที่ไม่เข้าใจความหมายจะค่อนข้างโทษความเข้าใจผิดของตัวเองมากกว่าความโง่เขลาของระบบโรงเรียน

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น: พ่อแม่ตำหนิลูก ๆ ของพวกเขา และครู... ก็ทำเช่นเดียวกันกับเด็ก ๆ ที่ "ไม่เข้าใจคณิตศาสตร์!"

คุณฉลาดไหม?

คาร์ลตัวน้อยทำอะไร?

แนวทางที่แหวกแนวโดยสิ้นเชิงสำหรับงานตามสูตร- นี่คือแก่นแท้ของแนวทางของพระองค์ นี้ สิ่งสำคัญที่ควรสอนในโรงเรียนคือการคิดไม่ใช่ด้วยตำราเรียน แต่ต้องคิดด้วยหัวของคุณ- แน่นอนว่ายังมีเครื่องดนตรีที่สามารถใช้เพื่อ...ในการค้นหา วิธีการนับที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากขึ้น.

วิธีเกาส์ตาม Vilenkin

ในโรงเรียนพวกเขาสอนว่าวิธีการของเกาส์คือการ

เป็นคู่หาผลรวมของตัวเลขที่มีระยะห่างเท่ากันจากขอบของชุดตัวเลข แน่นอนเริ่มจากขอบ!

หาจำนวนคู่ดังกล่าว เป็นต้น

อะไร, ถ้าจำนวนสมาชิกของอนุกรมเป็นเลขคี่เช่นเดียวกับปัญหาที่มอบหมายให้ลูกชายของฉัน?..

"การจับ" ก็คือในกรณีนี้ คุณควรหาหมายเลข "พิเศษ" ในซีรีส์นี้และบวกเข้ากับผลรวมของคู่นั้น ในตัวอย่างของเรา หมายเลขนี้คือ 260.

จะตรวจจับได้อย่างไร? Copy เลขทุกคู่ลงสมุด!(นี่คือสาเหตุที่ครูทำให้เด็กๆ ทำงานโง่ๆ โดยพยายามสอน "ความคิดสร้างสรรค์" โดยใช้วิธีเกาส์เซียน... และนี่คือสาเหตุที่ "วิธีการ" ดังกล่าวไม่สามารถใช้ได้กับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ในทางปฏิบัติ และนี่คือเหตุผลว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ไม่ใช่วิธีเกาส์เซียน)

ความคิดสร้างสรรค์เล็กๆ น้อยๆ ในกิจวัตรของโรงเรียน...

ลูกชายทำตัวแตกต่างออกไป

ประการแรกเขาสังเกตว่าการคูณเลข 500 นั้นง่ายกว่า ไม่ใช่ 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

จากนั้นเขาคำนวณ: จำนวนก้าวกลายเป็นคี่: 500/20 = 25

จากนั้นเขาก็เพิ่ม ZERO ในตอนต้นของซีรีส์ (แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะทิ้งเทอมสุดท้ายของซีรีส์ ซึ่งจะช่วยรับประกันความเท่าเทียมกันด้วย) และเพิ่มตัวเลขที่ให้ผลรวม 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 ก้าว มี 13 คู่ “ห้าร้อย”: 13 x 500 = 6500..

หากเราทิ้งเทอมสุดท้ายของอนุกรม คู่นี้จะเป็น 12 แต่เราไม่ควรลืมบวก "ทิ้ง" ห้าร้อยเข้ากับผลการคำนวณ จากนั้น: (12 x 500) + 500 = 6500!

ไม่ยากใช่ไหม?

แต่ในทางปฏิบัติมันจะง่ายยิ่งขึ้นไปอีกซึ่งช่วยให้คุณสละเวลา 2-3 นาทีสำหรับการสำรวจระยะไกลในภาษารัสเซียในขณะที่ส่วนที่เหลือกำลัง "นับ" นอกจากนี้ ยังคงรักษาจำนวนขั้นตอนของวิธีการไว้: 5 ซึ่งไม่อนุญาตให้มีการวิพากษ์วิจารณ์แนวทางดังกล่าวว่าไม่มีหลักวิทยาศาสตร์

แน่นอนว่าแนวทางนี้ง่ายกว่า เร็วกว่า และเป็นสากลมากกว่า ในรูปแบบของวิธีการ แต่... ครูไม่เพียงแต่ไม่ชมเชยเท่านั้น แต่ยังบังคับให้ฉันเขียนใหม่ “ในทางที่ถูกต้อง” (ดูภาพหน้าจอ) นั่นคือเธอพยายามอย่างยิ่งยวดที่จะระงับแรงกระตุ้นที่สร้างสรรค์และความสามารถในการเข้าใจคณิตศาสตร์ตั้งแต่ต้นตอ! ปรากฏว่าภายหลังเธอสามารถจ้างเป็นครูสอนพิเศษได้... เธอโจมตีผิดคน...

ทุกสิ่งที่ฉันอธิบายมานานและน่าเบื่อสามารถอธิบายให้เด็กปกติเข้าใจได้ภายในเวลาสูงสุดครึ่งชั่วโมง พร้อมทั้งยกตัวอย่าง.

และในแบบที่เขาจะไม่มีวันลืมมัน

และมันจะเป็น ก้าวไปสู่ความเข้าใจ...ไม่ใช่แค่นักคณิตศาสตร์เท่านั้น

ยอมรับเถอะ: ในชีวิตของคุณคุณบวกด้วยวิธีเกาส์เซียนมากี่ครั้งแล้ว? และฉันไม่เคยทำ!

แต่ สัญชาตญาณของความเข้าใจซึ่งพัฒนา (หรือดับไป) ในกระบวนการเรียนวิธีคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน... โอ้!.. นี่มันเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้จริงๆ!

โดยเฉพาะในยุคดิจิทัลสากลที่เราก้าวเข้ามาอย่างเงียบๆ ภายใต้การนำอันเข้มงวดของพรรคและรัฐบาล

คำไม่กี่คำเพื่อปกป้องครู...

มันไม่ยุติธรรมและผิดที่จะมอบความรับผิดชอบทั้งหมดสำหรับรูปแบบการสอนนี้ให้กับครูในโรงเรียนแต่เพียงผู้เดียว ระบบมีผลใช้งานแล้ว

บางครูเข้าใจถึงความไร้สาระของสิ่งที่เกิดขึ้น แต่จะทำอย่างไร? กฎหมายว่าด้วยการศึกษา มาตรฐานการศึกษาของรัฐบาลกลาง วิธีการ แผนการสอน... ทุกอย่างจะต้องทำ “ตามและบนพื้นฐาน” และทุกอย่างจะต้องได้รับการบันทึกไว้ หลีกเลี่ยง - ยืนเข้าแถวเพื่อถูกไล่ออก อย่าเป็นคนหน้าซื่อใจคด: เงินเดือนครูมอสโกดีมาก... ถ้าพวกเขาไล่คุณออกจะไปไหน?..

ดังนั้นเว็บไซต์นี้ ไม่เกี่ยวกับการศึกษา- เขาเกี่ยวกับ การศึกษารายบุคคลวิธีเดียวที่จะออกจากฝูงชนได้ รุ่น Z ...

ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 16-18 นักคณิตศาสตร์ได้เริ่มศึกษาฟังก์ชันอย่างเข้มข้น ซึ่งต้องขอบคุณการเปลี่ยนแปลงมากมายในชีวิตของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์คงอยู่ไม่ได้หากไม่มีความรู้นี้ แนวคิด ทฤษฎีบท และเทคนิคการแก้ปัญหาต่างๆ ถูกสร้างขึ้นเพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน สมการเชิงเส้น และฟังก์ชัน หนึ่งในวิธีการและเทคนิคที่เป็นสากลและมีเหตุผลในการแก้สมการเชิงเส้นและระบบของพวกมันคือวิธีเกาส์ เมทริกซ์ อันดับ ปัจจัยกำหนด - ทุกอย่างสามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้การดำเนินการที่ซับซ้อน

สลอวคืออะไร

ในทางคณิตศาสตร์ มีแนวคิดเรื่อง SLAE ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เธอเป็นยังไงบ้าง? นี่คือชุดของสมการ m ที่มีปริมาณที่ไม่ทราบค่าที่ต้องการ ซึ่งมักจะแสดงเป็น x, y, z หรือ x 1, x 2 ... xn หรือสัญลักษณ์อื่นๆ การแก้ปัญหาระบบที่กำหนดโดยใช้วิธีเกาส์เซียนหมายถึงการค้นหาสิ่งแปลกปลอมที่ไม่รู้จักทั้งหมด หากระบบมีจำนวนไม่ทราบและสมการเท่ากัน ระบบจะเรียกว่าระบบลำดับที่ n

วิธีการแก้ SLAE ที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

ในสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษาจะมีการศึกษาวิธีการต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว ส่วนใหญ่มักเป็นสมการง่ายๆ ที่ประกอบด้วยสองสิ่งที่ไม่ทราบ ดังนั้นวิธีการที่มีอยู่ในการหาคำตอบจะไม่ใช้เวลามากนัก นี่อาจเป็นเหมือนวิธีการทดแทน เมื่ออีกสมการหนึ่งได้มาจากสมการหนึ่งและแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิม หรือวิธีการบวกลบทีละเทอม แต่วิธีเกาส์ถือเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดและเป็นสากลที่สุด ทำให้สามารถแก้สมการที่ไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุใดเทคนิคเฉพาะนี้จึงถือว่ามีเหตุผล มันง่ายมาก สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการเมทริกซ์คือไม่จำเป็นต้องเขียนสัญลักษณ์ที่ไม่จำเป็นซ้ำหลายครั้งโดยไม่ทราบค่า การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับสัมประสิทธิ์ก็เพียงพอแล้ว - และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้

SLAE นำไปใช้ในทางปฏิบัติที่ไหน?

วิธีแก้ SLAE คือจุดตัดกันของเส้นบนกราฟฟังก์ชัน ในยุคคอมพิวเตอร์ไฮเทคของเรา ผู้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาเกมและโปรแกรมอื่นๆ จำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว สิ่งที่พวกเขาเป็นตัวแทน และวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ตามมา บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์พัฒนาโปรแกรมเครื่องคิดเลขพีชคณิตเชิงเส้นแบบพิเศษซึ่งรวมถึงระบบสมการเชิงเส้นด้วย วิธีเกาส์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดได้ นอกจากนี้ยังใช้สูตรและเทคนิคแบบง่ายอื่นๆ อีกด้วย

เกณฑ์ความเข้ากันได้ของ SLAU

ระบบดังกล่าวจะสามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อเข้ากันได้เท่านั้น เพื่อความชัดเจน ให้เราแสดง SLAE ในรูปแบบ Ax=b มันมีวิธีแก้ปัญหาถ้า rang(A) เท่ากับ rang(A,b) ในกรณีนี้ (A,b) คือเมทริกซ์รูปแบบขยายที่สามารถหาได้จากเมทริกซ์ A โดยการเขียนใหม่ด้วยเงื่อนไขอิสระ ปรากฎว่าการแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นค่อนข้างง่าย

บางทีสัญลักษณ์บางตัวอาจไม่ชัดเจนนัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาทุกอย่างด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีระบบ: x+y=1; 2x-3y=6. ประกอบด้วยสมการเพียงสองสมการซึ่งมี 2 ไม่ทราบ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย อันดับคืออะไร? นี่คือจำนวนบรรทัดอิสระของระบบ ในกรณีของเรา อันดับของเมทริกซ์คือ 2 เมทริกซ์ A จะประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับค่าที่ไม่รู้จัก และค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมาย “=” จะพอดีกับเมทริกซ์แบบขยายด้วย

เหตุใด SLAE จึงสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้

จากเกณฑ์ความเข้ากันได้ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ เมื่อใช้วิธีการเรียงซ้อนแบบเกาส์เซียน คุณสามารถแก้เมทริกซ์และรับคำตอบที่เชื่อถือได้เพียงคำตอบเดียวสำหรับทั้งระบบ ถ้าอันดับของเมทริกซ์ธรรมดาเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย แต่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ แสดงว่าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

การแปลงเมทริกซ์

ก่อนที่จะไปสู่การแก้เมทริกซ์ คุณต้องรู้ว่าสิ่งใดที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบของเมทริกซ์ มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นหลายประการ:

• ด้วยการเขียนระบบใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์แล้วแก้โจทย์ คุณสามารถคูณองค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมด้วยสัมประสิทธิ์เดียวกันได้
• ในการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบมาตรฐาน คุณสามารถสลับแถวคู่ขนานสองแถวได้ รูปแบบบัญญัติบอกเป็นนัยว่าองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักจะกลายเป็นองค์ประกอบหนึ่ง และองค์ประกอบที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์
• สามารถเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวคู่ขนานของเมทริกซ์เข้าด้วยกันได้

วิธีจอร์แดน-เกาส์

สาระสำคัญของการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นและสมการเอกพันธ์เชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนคือการค่อยๆ กำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป สมมติว่าเรามีระบบสองสมการโดยที่ไม่ทราบค่าสองตัว หากต้องการค้นหาคุณจะต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ สมการนี้แก้ได้ง่ายมากด้วยวิธีเกาส์ จำเป็นต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับแต่ละค่าที่ไม่รู้จักในรูปแบบเมทริกซ์ ในการแก้ปัญหาระบบ คุณจะต้องเขียนเมทริกซ์ขยายออกมา หากสมการใดสมการมีจำนวนค่าที่ไม่ทราบน้อยกว่า จะต้องใส่ "0" แทนองค์ประกอบที่ขาดหายไป วิธีการแปลงที่รู้จักทั้งหมดจะนำไปใช้กับเมทริกซ์: การคูณ การหารด้วยตัวเลข การบวกองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมเข้าด้วยกัน และอื่นๆ ปรากฎว่าในแต่ละแถวจำเป็นต้องปล่อยให้ตัวแปรตัวหนึ่งมีค่า "1" ส่วนที่เหลือควรลดลงเหลือศูนย์ เพื่อความเข้าใจที่แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาวิธีเกาส์พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างง่ายๆ ของการแก้ระบบ 2x2

ขั้นแรก ลองใช้ระบบสมการพีชคณิตอย่างง่าย ซึ่งจะมีสิ่งไม่ทราบ 2 ตัว

ลองเขียนมันใหม่เป็นเมทริกซ์ขยายกัน

ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ จำเป็นต้องมีการดำเนินการเพียงสองครั้งเท่านั้น เราจำเป็นต้องนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบมาตรฐานเพื่อให้มีเมทริกซ์อยู่ในแนวทแยงหลัก ดังนั้น เมื่อย้ายจากรูปแบบเมทริกซ์กลับมาที่ระบบ เราจะได้สมการ: 1x+0y=b1 และ 0x+1y=b2 โดยที่ b1 และ b2 เป็นคำตอบผลลัพธ์ในกระบวนการแก้ปัญหา

1. การกระทำแรกเมื่อแก้ไขเมทริกซ์แบบขยายจะเป็นดังนี้: แถวแรกจะต้องคูณด้วย -7 และเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องลงในแถวที่สองเพื่อกำจัดหนึ่งที่ไม่รู้จักในสมการที่สอง
2. เนื่องจากการแก้สมการโดยใช้วิธีเกาส์เกี่ยวข้องกับการลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จึงจำเป็นต้องดำเนินการเดียวกันกับสมการแรกและลบตัวแปรตัวที่สองออก ในการทำเช่นนี้ เราจะลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรกและรับคำตอบที่ต้องการ - คำตอบของ SLAE หรือตามที่แสดงในภาพ เราคูณแถวที่สองด้วยปัจจัย -1 และเพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองเข้ากับแถวแรก มันเป็นเรื่องเดียวกัน

ดังที่เราเห็น ระบบของเราได้รับการแก้ไขโดยวิธี Jordan-Gauss เราเขียนมันใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ: x=-5, y=7

ตัวอย่างของโซลูชัน 3x3 SLAE

สมมติว่าเรามีระบบสมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนกว่า วิธีเกาส์ทำให้สามารถคำนวณคำตอบได้แม้ในระบบที่ดูน่าสับสนที่สุดก็ตาม ดังนั้น เพื่อเจาะลึกวิธีการคำนวณ คุณสามารถไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นโดยไม่ทราบข้อมูลสามประการ

ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบของเมทริกซ์แบบขยาย และเริ่มทำให้ระบบอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

เพื่อแก้ปัญหาระบบนี้ คุณจะต้องดำเนินการมากกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้

1. ขั้นแรก คุณต้องทำให้คอลัมน์แรกมีองค์ประกอบหนึ่งหน่วยและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วย -1 แล้วบวกสมการที่สองลงไป สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเราเขียนบรรทัดแรกใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สองในรูปแบบที่แก้ไข
2. ต่อไป เราจะลบสิ่งเดียวกันอันแรกที่ไม่รู้จักนี้ออกจากสมการที่สาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย -2 และเพิ่มลงในแถวที่สาม ตอนนี้บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองถูกเขียนใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สาม - มีการเปลี่ยนแปลง ดังที่คุณเห็นจากผลลัพธ์ เราได้อันแรกที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และศูนย์ที่เหลือ อีกไม่กี่ขั้นตอน ระบบสมการโดยวิธีเกาส์เซียนจะได้รับการแก้ไขอย่างน่าเชื่อถือ
3. ตอนนี้คุณต้องดำเนินการกับองค์ประกอบอื่นๆ ของแถว การกระทำที่สามและสี่สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียวได้ เราจำเป็นต้องหารเส้นที่สองและสามด้วย -1 เพื่อกำจัดเส้นลบบนเส้นทแยงมุม เราได้นำบรรทัดที่สามมาสู่แบบฟอร์มที่ต้องการแล้ว
4. ต่อไปเราจะนำบรรทัดที่สองมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน ในการทำเช่นนี้เราจะคูณองค์ประกอบของแถวที่สามด้วย -3 และเพิ่มลงในแถวที่สองของเมทริกซ์ จากผลปรากฏว่าเส้นที่ 2 ก็ลดลงตามฟอร์มที่เราต้องการด้วย ยังคงต้องดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองสามรายการและลบค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักออกจากบรรทัดแรก
5. หากต้องการสร้าง 0 จากองค์ประกอบที่สองของแถว คุณต้องคูณแถวที่สามด้วย -3 แล้วบวกเข้ากับแถวแรก
6. ขั้นตอนที่เด็ดขาดต่อไปคือการเพิ่มองค์ประกอบที่จำเป็นของแถวที่สองลงในแถวแรก วิธีนี้ทำให้เราได้รูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นคำตอบ

อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการโดยใช้วิธีเกาส์นั้นค่อนข้างง่าย

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการ 4x4

ระบบสมการที่ซับซ้อนกว่านี้บางระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเกาส์เซียนโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักลงในเซลล์ว่างที่มีอยู่และโปรแกรมจะคำนวณผลลัพธ์ที่ต้องการทีละขั้นตอนโดยอธิบายรายละเอียดแต่ละการกระทำ

ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำทีละขั้นตอนสำหรับการแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว

ในขั้นตอนแรก ค่าสัมประสิทธิ์อิสระและตัวเลขสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกป้อนลงในเซลล์ว่าง ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ขยายแบบเดียวกับที่เราเขียนด้วยตนเอง

และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดจะดำเนินการเพื่อนำเมทริกซ์แบบขยายมาสู่รูปแบบมาตรฐาน จำเป็นต้องเข้าใจว่าคำตอบของระบบสมการไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป บางครั้งคำตอบอาจมาจากเลขเศษส่วน

การตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหา

วิธี Jordan-Gauss ใช้สำหรับตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ หากต้องการทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์คำนวณได้ถูกต้องหรือไม่ คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ผลลัพธ์ลงในระบบสมการเดิม ด้านซ้ายของสมการจะต้องตรงกับด้านขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับ หากคำตอบไม่ตรงกัน คุณจะต้องคำนวณระบบใหม่หรือลองใช้วิธีอื่นในการแก้ SLAE ที่คุณรู้จัก เช่น การทดแทน หรือการลบและการบวกแบบทีละเทอม ท้ายที่สุดแล้ว คณิตศาสตร์ก็คือวิทยาศาสตร์ที่มีวิธีแก้โจทย์ต่างๆ มากมาย แต่โปรดจำไว้ว่า: ผลลัพธ์ควรเหมือนเดิมเสมอ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบใดก็ตาม

วิธีเกาส์: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเมื่อแก้ไข SLAE

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น ข้อผิดพลาดมักเกิดขึ้นบ่อยที่สุด เช่น การถ่ายโอนค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบเมทริกซ์ไม่ถูกต้อง มีระบบที่ไม่ทราบค่าบางตัวหายไปจากสมการหนึ่ง ดังนั้นเมื่อถ่ายโอนข้อมูลไปยังเมทริกซ์แบบขยาย ข้อมูลเหล่านั้นอาจสูญหายได้ ส่งผลให้เมื่อแก้ระบบนี้แล้วผลลัพธ์อาจไม่ตรงกับความเป็นจริง

ข้อผิดพลาดสำคัญอีกประการหนึ่งอาจเขียนผลลัพธ์สุดท้ายไม่ถูกต้อง มีความจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์แรกจะสอดคล้องกับค่าแรกที่ไม่รู้จักจากระบบค่าที่สอง - ถึงค่าที่สองและอื่น ๆ

วิธีเกาส์อธิบายรายละเอียดการแก้สมการเชิงเส้น ด้วยเหตุนี้จึงง่ายต่อการดำเนินการที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์ที่ถูกต้อง นอกจากนี้ยังเป็นเครื่องมือสากลในการค้นหาคำตอบที่เชื่อถือได้สำหรับสมการที่ซับซ้อน บางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักใช้เมื่อแก้ไข SLAE