การแก้สมการตรีโกณมิติสำหรับหุ่น การแก้สมการตรีโกณมิติ

เมื่อแก้หลายๆ ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนเกรด 10 ลำดับของการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายนั้นชัดเจน ปัญหาดังกล่าวรวมถึง ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นและกำลังสอง อสมการเชิงเส้นและกำลังสอง สมการเศษส่วน และสมการที่ลดขนาดเป็นกำลังสอง หลักการของการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จของแต่ละงานที่กล่าวถึงมีดังนี้: จำเป็นต้องกำหนดประเภทของปัญหาที่กำลังแก้ไขอยู่จำลำดับของการกระทำที่จำเป็นซึ่งจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดประเภทของสมการที่ถูกแก้ไขอย่างถูกต้องเป็นส่วนใหญ่ ลำดับของขั้นตอนทั้งหมดของการแก้ปัญหานั้นถูกต้องเพียงใด แน่นอนว่าในกรณีนี้จำเป็นต้องมีทักษะในการแปลงและการคำนวณที่เหมือนกัน

สถานการณ์ที่แตกต่างกันเกิดขึ้นกับ สมการตรีโกณมิติไม่ยากที่จะระบุความจริงที่ว่าสมการนั้นเป็นตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับของการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง

บางครั้งก็ยากที่จะกำหนดประเภทของสมการโดยลักษณะที่ปรากฏ และโดยที่ไม่ทราบประเภทของสมการ ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ เราต้องลอง:

1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการเป็น "มุมที่เท่ากัน"
2. นำสมการ "ฟังก์ชันเดียวกัน";
3. แยกตัวประกอบด้านซ้ายของสมการ เป็นต้น

พิจารณา วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ

I. การย่อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของส่วนประกอบที่รู้จัก

ขั้นตอนที่ 2ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:

คอส x = ก; x = ±ส่วนโค้ง a + 2πn, n ЄZ

บาป x = ก; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z

สีแทน x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z

ctg x = ก; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z

ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

การตัดสินใจ.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z

คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z

ครั้งที่สอง การแทนที่ตัวแปร

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.นำสมการไปอยู่ในรูปพีชคณิตที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวใดตัวหนึ่ง

ขั้นตอนที่ 2แสดงฟังก์ชันผลลัพธ์โดยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้ระบุข้อจำกัดของ t)

ขั้นตอนที่ 3เขียนและแก้สมการพีชคณิตที่เป็นผลลัพธ์

ขั้นตอนที่ 4ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่าง.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0

การตัดสินใจ.

1) 2(1 - บาป 2 (x/2)) - 5บาป (x/2) - 5 = 0;

2บาป 2(x/2) + 5บาป(x/2) + 3 = 0

2) ให้ sin (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข |t| ≤ 1

4) บาป (x/2) = 1

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z

คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z

สาม. วิธีลดลำดับสมการ

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แทนที่สมการนี้ด้วยสมการเชิงเส้นโดยใช้สูตรการลดกำลัง:

บาป 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

คอส 2 x = 1/2 (1 + คอส 2x);

แทน 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)

ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธี I และ II

ตัวอย่าง.

cos2x + cos2x = 5/4

การตัดสินใจ.

1) คอส 2x + 1/2 (1 + คอส 2x) = 5/4

2) คอส 2x + 1/2 + 1/2 คอส 2x = 5/4;

3/2 คอส 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z

คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z

IV. สมการเอกพันธ์

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.นำสมการนี้ไปอยู่ในฟอร์ม

a) บาป x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของระดับแรก)

หรือไปชมวิว

b) บาป 2 x + b บาป x cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของระดับที่สอง)

ขั้นตอนที่ 2หารทั้งสองข้างของสมการด้วย

ก) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

และรับสมการสำหรับ tg x:

ก) ก x + ข = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีการที่ทราบ

ตัวอย่าง.

5บาป 2 x + 3บาป x cos x - 4 = 0

การตัดสินใจ.

1) 5บาป 2 x + 3บาป x cos x – 4(บาป 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

บาป 2 x + 3บาป x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0

3) ให้ tg x = t แล้ว

เสื้อ 2 + 3 เสื้อ - 4 = 0;

t = 1 หรือ t = -4 ดังนั้น

tg x = 1 หรือ tg x = -4

จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z

V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.ใช้สูตรตรีโกณมิติทุกประเภท นำสมการนี้ไปเป็นสมการที่สามารถแก้ได้โดยวิธี I, II, III, IV

ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีการที่ทราบ

ตัวอย่าง.

บาป + บาป 2x + บาป 3x = 0

การตัดสินใจ.

1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;

2บาป 2x cos x + บาป 2x = 0

2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;

บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;

จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2

เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z

เป็นผลให้ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z

คำตอบ: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z

ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก ที่สำคัญการพัฒนาของพวกเขาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและครู

ปัญหามากมายของ stereometry ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติกระบวนการแก้ปัญหาดังกล่าวมีความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับเมื่อศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติเป็นสถานที่สำคัญในกระบวนการสอนคณิตศาสตร์และการพัฒนาบุคลิกภาพโดยทั่วไป

คุณมีคำถามใดๆ? ไม่ทราบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากติวเตอร์ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site ด้วยการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของ Profile USE ในวิชาคณิตศาสตร์ เหมาะสำหรับสอบผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่าน 90-100 คะแนน ต้องแก้ตอนที่ 1 ให้เสร็จภายใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

หลักสูตรเตรียมสอบสำหรับเกรด 10-11 เช่นเดียวกับครู ทุกสิ่งที่จำเป็นในการแก้ข้อสอบส่วนที่ 1 ในวิชาคณิตศาสตร์ (โจทย์ 12 ข้อแรก) และโจทย์ข้อ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และไม่มีนักเรียนร้อยคะแนนหรือนักมนุษยนิยมไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด เฉลยด่วน กับดักและความลับของข้อสอบ งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้เป็นไปตามข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างครบถ้วน

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อจะได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบหลายร้อยงาน ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่เรียบง่ายและง่ายต่อการจดจำ เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สามมิติ เคล็ดลับไหวพริบในการแก้ปัญหา, สูตรโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ไปจนถึงงานที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความสำคัญถึงคุณ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

ในกรณีที่จำเป็น - ตามกฎหมาย, คำสั่งศาล, ในกระบวนการทางกฎหมาย, และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในดินแดนของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมสำหรับเหตุผลด้านความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยแก่พนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

บทเรียนของการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ซับซ้อน

เป้าหมายของบทเรียน

พิจารณาวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการตรีโกณมิติ
การพัฒนาความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนโดยการแก้สมการ
ส่งเสริมให้นักเรียนควบคุมตนเอง ควบคุมร่วมกัน วิเคราะห์กิจกรรมการศึกษาด้วยตนเอง

อุปกรณ์: จอภาพ โปรเจคเตอร์ วัสดุอ้างอิง

ระหว่างเรียน

บทสนทนาเบื้องต้น.

วิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติคือการลดลงที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ จะใช้วิธีปกติ เช่น การแยกตัวประกอบ ตลอดจนเทคนิคที่ใช้สำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น มีเทคนิคเหล่านี้ค่อนข้างมาก เช่น การแทนที่ตรีโกณมิติแบบต่างๆ การแปลงมุม การแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ใช้การแปลงตรีโกณมิติตามอำเภอใจมักจะไม่ได้ทำให้สมการง่ายขึ้น แต่ทำให้ซับซ้อนอย่างหายนะ ในการพัฒนาแผนสำหรับการแก้สมการในแง่ทั่วไปเพื่อร่างวิธีลดสมการให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดก่อนอื่นจำเป็นต้องวิเคราะห์มุม - ข้อโต้แย้งของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวมอยู่ในสมการ

วันนี้เราจะพูดถึงวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ วิธีการที่เลือกอย่างถูกต้องมักจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ ดังนั้นวิธีการทั้งหมดที่เราศึกษาควรเก็บไว้ในขอบเขตที่เราสนใจเสมอเพื่อแก้สมการตรีโกณมิติด้วยวิธีที่เหมาะสมที่สุด

ครั้งที่สอง (ใช้โปรเจ็กเตอร์ เราทำซ้ำวิธีการแก้สมการ)

1. วิธีการลดสมการตรีโกณมิติเป็นพีชคณิต

จำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดด้วยอาร์กิวเมนต์เดียวกัน สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและผลที่ตามมา เราได้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชัน เราได้รับสมการพีชคณิต เราพบรากของมันและกลับไปที่เก่าที่ไม่รู้จัก แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

2. วิธีการแยกตัวประกอบ

ในการเปลี่ยนมุม สูตรสำหรับการลดลง ผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์ ตลอดจนสูตรสำหรับการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลิตภัณฑ์ และในทางกลับกันมักมีประโยชน์

บาป + sin3x = บาป 2x + บาป 4x

3. วิธีการแนะนำมุมเพิ่มเติม

4. วิธีการใช้การแทนที่แบบสากล

สมการในรูปแบบ F(sinx, cosx, tgx) = 0 จะลดลงเป็นสมการพีชคณิตโดยใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

แสดงค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม เคล็ดลับนี้สามารถนำไปสู่สมการลำดับที่สูงขึ้น การตัดสินใจที่ยาก