แก้สมการตรีโกณมิติพร้อมองศา สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมักจะแก้ได้ด้วยสูตร ผมขอเตือนคุณว่าสมการตรีโกณมิติต่อไปนี้เรียกว่าง่ายที่สุด:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x คือมุมที่จะพบ
a คือตัวเลขใดๆ

และนี่คือสูตรที่คุณสามารถเขียนคำตอบของสมการที่ง่ายที่สุดเหล่านี้ได้ทันที

สำหรับไซนัส:

สำหรับโคไซน์:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

สำหรับแทนเจนต์:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

สำหรับโคแทนเจนต์:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

อันที่จริง นี่คือส่วนทางทฤษฎีของการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด และทั้งหมด!) ไม่มีอะไรเลย อย่างไรก็ตาม จำนวนข้อผิดพลาดในหัวข้อนี้เพิ่งจะพลิกกลับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยมีการเบี่ยงเบนเล็กน้อยของตัวอย่างจากเทมเพลต ทำไม

ใช่ เพราะหลายคนเขียนจดหมายเหล่านี้ โดยไม่เข้าใจความหมายเลย!ด้วยความเข้าใจเขาเขียนลงไปไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น ...) สิ่งนี้จะต้องถูกแยกออก ตรีโกณมิติสำหรับคนหรือคนตรีโกณมิติหลังจากทั้งหมด!?)

ลองคิดออก?

มุมหนึ่งจะเท่ากับ อาร์คคอสเอ, ที่สอง: -อาร์คคอส เอ

และนั่นคือวิธีที่มันจะได้ผลเสมอสำหรับใดๆ ก.

หากคุณไม่เชื่อฉัน ให้วางเมาส์เหนือรูปภาพหรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) ฉันเปลี่ยนหมายเลขแล้ว เอ เชิงลบบางอย่าง ยังไงก็ได้มุมหนึ่ง อาร์คคอสเอ, ที่สอง: -อาร์คคอส เอ

ดังนั้น คำตอบสามารถเขียนเป็นรากที่สองได้เสมอ:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

เรารวมสองชุดนี้เป็นหนึ่งเดียว:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

และทุกสิ่ง เราได้รับสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดด้วยโคไซน์

ถ้าท่านเข้าใจว่านี่ไม่ใช่ปัญญาชั้นยอด แต่ เพียงบันทึกย่อของคำตอบสองชุดคุณและงาน "C" จะอยู่บนไหล่ ด้วยความไม่เท่าเทียมกันด้วยการเลือกรูตจากช่วงเวลาที่กำหนด ... คำตอบที่มีบวก / ลบจะไม่หมุน และถ้าคุณปฏิบัติต่อคำตอบเหมือนธุรกิจ และแบ่งออกเป็นสองคำตอบแยกกัน ทุกอย่างจะถูกตัดสิน) อันที่จริง สำหรับสิ่งนี้เราเข้าใจ อะไร อย่างไร และที่ไหน

ในสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

sinx = a

รับรูทสองชุดด้วย ตลอดเวลา. และสองชุดนี้ยังสามารถบันทึกได้อีกด้วย หนึ่งบรรทัด เฉพาะบรรทัดนี้จะฉลาดกว่า:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

แต่สาระสำคัญยังคงเหมือนเดิม นักคณิตศาสตร์เพียงสร้างสูตรเพื่อสร้างหนึ่งแทนที่จะเป็นสองระเบียนของชุดราก และนั่นแหล่ะ!

ลองตรวจสอบนักคณิตศาสตร์? เท่านั้นยังไม่พอ...)

ในบทเรียนที่แล้ว วิธีแก้ปัญหา (โดยไม่มีสูตรใดๆ) ของสมการตรีโกณมิติกับไซน์ได้รับการวิเคราะห์โดยละเอียด:

คำตอบกลายเป็นสองชุดของราก:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

หากเราแก้สมการเดียวกันโดยใช้สูตร เราจะได้คำตอบ:

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

อันที่จริงนี่เป็นคำตอบกึ่งสำเร็จรูป) นักเรียนต้องรู้ว่า อาร์คซิน 0.5 = π /6คำตอบที่สมบูรณ์จะเป็น:

x = (-1) n พาย /6+ πn, น ∈ Z

คำถามที่น่าสนใจเกิดขึ้นที่นี่ ตอบกลับผ่าน x 1; x2 (นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง!) และผ่านความเหงา X (และนี่คือคำตอบที่ถูกต้อง!) - สิ่งเดียวกันหรือไม่? มาหาคำตอบกันตอนนี้)

แทนคำตอบด้วย x 1 ค่า น =0; หนึ่ง; 2; ฯลฯ พิจารณา เราได้รับชุดของราก:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 และอื่นๆ

ด้วยการทดแทนเดียวกันเพื่อตอบสนองต่อ x2 , เราได้รับ:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 และอื่นๆ

และตอนนี้เราแทนค่า น (0; 1; 2; 3; 4...) เป็นสูตรทั่วไปสำหรับคนเหงา X . นั่นคือ เรายกกำลังลบหนึ่งยกกำลังศูนย์ จากนั้นยกกำลังหนึ่ง วินาที และอื่นๆ และแน่นอน เราแทน 0 ลงในเทอมที่สอง หนึ่ง; 2 3; 4 เป็นต้น และเราคิดว่า เราได้รับชุด:

x = พาย/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 และอื่นๆ

นั่นคือทั้งหมดที่คุณเห็น) สูตรทั่วไปทำให้เรา ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการซึ่งเป็นสองคำตอบแยกกัน ทั้งหมดในคราวเดียวตามลำดับ นักคณิตศาสตร์ไม่ได้หลอกลวง)

สูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถตรวจสอบได้ แต่อย่าเลย) พวกเขาไม่โอ้อวดมาก

ฉันวาดการทดแทนและการตรวจสอบทั้งหมดนี้โดยตั้งใจ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสิ่งง่ายๆ อย่างหนึ่งที่นี่: มีสูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเบื้องต้น เพียงสรุปคำตอบเพื่อความกระชับนี้ ผมต้องใส่บวก/ลบลงในสารละลายโคไซน์และ (-1) n ลงในสารละลายไซน์

ส่วนแทรกเหล่านี้ไม่รบกวนงานที่คุณเพียงแค่ต้องเขียนคำตอบของสมการเบื้องต้น แต่ถ้าคุณต้องการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน หรือคุณจำเป็นต้องทำบางอย่างกับคำตอบ: เลือกรูทตามช่วงเวลา ตรวจสอบ ODZ ฯลฯ เม็ดมีดเหล่านี้อาจทำให้บุคคลสับสนได้ง่าย

และจะทำอย่างไร? ใช่ ระบายสีคำตอบเป็นสองชุด หรือแก้สมการ/อสมการในวงกลมตรีโกณมิติ จากนั้นเม็ดมีดเหล่านี้จะหายไปและชีวิตจะง่ายขึ้น)

คุณสามารถสรุปได้

ในการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด มีสูตรคำตอบสำเร็จรูป สี่ชิ้น. เหมาะสำหรับเขียนคำตอบของสมการในทันที ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการ:

sinx = 0.3

อย่างง่ายดาย: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

ไม่มีปัญหา: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

อย่างง่ายดาย: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3.7

เหลืออีกหนึ่ง: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1.8

หากคุณเปล่งประกายด้วยความรู้ให้เขียนคำตอบทันที:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

ถ้าอย่างนั้นคุณก็เปล่งประกายแล้ว นี่ ... ที่ ... จากแอ่งน้ำ) คำตอบที่ถูกต้องคือ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ไม่เข้าใจว่าทำไม? อ่านว่าอาร์คโคไซน์คืออะไร นอกจากนี้หากทางด้านขวาของสมการดั้งเดิมมีค่าตารางของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 เป็นต้น - คำตอบผ่านซุ้มประตูจะยังไม่เสร็จ ซุ้มประตูจะต้องแปลงเป็นเรเดียน

และถ้าคุณเจอความไม่เท่าเทียมกันแล้ว เช่น

แล้วคำตอบคือ:

x πn, น ∈ Z

มีเรื่องไร้สาระที่หายากใช่ ...) ที่นี่จำเป็นต้องตัดสินใจเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ สิ่งที่เราจะทำในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

สำหรับผู้ที่อ่านถึงบรรทัดเหล่านี้อย่างกล้าหาญ ฉันอดไม่ได้ที่จะชื่นชมความพยายามของไททานิคของคุณ คุณเป็นโบนัส)

โบนัส:

เมื่อเขียนสูตรในสถานการณ์การต่อสู้ที่กระวนกระวายใจ แม้แต่พวกเนิร์ดที่แข็งกระด้างก็มักจะสับสนว่า พีเอ็น, และที่ไหน 2πn. นี่เป็นเคล็ดลับง่ายๆ สำหรับคุณ ใน ทั้งหมดสูตร น. ยกเว้นสูตรเดียวที่มีอาร์คโคไซน์ มันยืนอยู่ตรงนั้น 2πn. สองพาย คำสำคัญ - สอง.ในสูตรเดียวคือ สองลงชื่อเข้าใช้ที่จุดเริ่มต้น บวกและลบ ที่นี่และที่นั่น - สอง.

ดังนั้นถ้าคุณเขียน สองเครื่องหมายด้านหน้าอาร์คโคไซน์จะง่ายกว่าที่จะจำสิ่งที่จะเกิดขึ้นในตอนท้าย สองพาย และในทางกลับกันก็เกิดขึ้น ข้ามป้ายผู้ชาย ± , ไปให้สุด, เขียนให้ถูก สอง pien ใช่แล้วจับมัน ไปข้างหน้าของบางสิ่งบางอย่าง สองเข้าสู่ระบบ! คนนั้นจะกลับไปสู่จุดเริ่มต้น แต่เขาจะแก้ไขข้อผิดพลาด! แบบนี้.)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

สมการตรีโกณมิติไม่ใช่หัวข้อที่ง่ายที่สุด พวกมันมีความหลากหลายอย่างเจ็บปวด) ตัวอย่างเช่น:

sin2x + cos3x = ctg5x

บาป(5x+π/4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ฯลฯ...

แต่สัตว์ประหลาดตรีโกณมิติเหล่านี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) มีคุณสมบัติทั่วไปและจำเป็นสองประการ อย่างแรก - คุณจะไม่เชื่อหรอก - มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ในสมการ) ประการที่สอง: นิพจน์ทั้งหมดที่มี x คือ ภายในฟังก์ชันเดียวกันนี้และที่นั่นเท่านั้น! ถ้า x ปรากฏที่ใดที่หนึ่ง ข้างนอก,ตัวอย่างเช่น, บาป2x + 3x = 3,นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวต้องใช้วิธีการเฉพาะบุคคล ที่นี่เราจะไม่พิจารณาพวกเขา

เราจะไม่แก้สมการชั่วร้ายในบทเรียนนี้เช่นกัน) เราจะจัดการกับ สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดทำไม ใช่เพราะการตัดสินใจ ใดๆสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก สมการความชั่วร้ายจะลดลงเป็นสมการง่าย ๆ โดยการแปลงแบบต่างๆ ในวินาที - สมการที่ง่ายที่สุดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่มีทางอื่น.

ดังนั้นหากคุณมีปัญหาในระยะที่สอง ระยะแรกไม่สมเหตุสมผลเลย)

สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีลักษณะอย่างไร

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

ที่นี่ เอ ย่อมาจากหมายเลขใด ๆ ใดๆ.

อย่างไรก็ตาม ภายในฟังก์ชันอาจไม่มี x บริสุทธิ์ แต่มีนิพจน์บางอย่าง เช่น:

cos(3x+π/3) = 1/2

เป็นต้น สิ่งนี้ทำให้ชีวิตซับซ้อน แต่ไม่ส่งผลต่อวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

จะแก้สมการตรีโกณมิติได้อย่างไร?

สมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้สองวิธี วิธีแรก: การใช้ตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ เราจะสำรวจเส้นทางนี้ที่นี่ วิธีที่สอง - การใช้หน่วยความจำและสูตร - จะได้รับการพิจารณาในบทเรียนถัดไป

วิธีแรกคือชัดเจน เชื่อถือได้ และลืมยาก) เป็นการดีสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ อสมการ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐานที่ยุ่งยากทุกประเภท ตรรกะแข็งแกร่งกว่าความจำ!

เราแก้สมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ

เรารวมตรรกะเบื้องต้นและความสามารถในการใช้วงกลมตรีโกณมิติ ทำไม่ได้!? อย่างไรก็ตาม... วิชาตรีโกณมิติจะยากสำหรับคุณ...) แต่ก็ไม่สำคัญ ดูบทเรียน "วงกลมตรีโกณมิติ ...... มันคืออะไร" และ "การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ" ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ไม่เหมือนตำรา...)

อ่า รู้ยัง!? และยังเชี่ยวชาญ "งานจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ"!? ยอมรับแสดงความยินดี หัวข้อนี้จะใกล้เคียงและเข้าใจได้สำหรับคุณ) สิ่งที่น่าพอใจเป็นพิเศษคือวงกลมตรีโกณมิติไม่สนใจว่าคุณจะแก้สมการใด ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - ทุกอย่างเหมือนกันสำหรับเขา หลักการแก้ปัญหาเหมือนกัน

เราจึงใช้สมการตรีโกณมิติมูลฐานใดๆ อย่างน้อยนี้:

cosx = 0.5

ฉันต้องหา X พูดภาษามนุษย์ต้อง หามุม (x) ที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.5

ก่อนหน้านี้เราใช้วงกลมอย่างไร? เราวาดมุมบนมัน เป็นองศาหรือเรเดียน และทันที เห็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนี้ ทีนี้มาทำตรงกันข้ามกัน วาดโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนวงกลมแล้วทันที เราจะเห็น มุม. เหลือเพียงการเขียนคำตอบ) ใช่ใช่!

เราวาดวงกลมและทำเครื่องหมายโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนแกนโคไซน์ แน่นอน แบบนี้:

ทีนี้ลองวาดมุมที่โคไซน์นี้ให้เรากัน วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และ ดูมุมเดียวกันนี้ เอ็กซ์

มุมใดมีโคไซน์เท่ากับ 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= คอส ( พาย /3) = 0,5

บางคนจะครางอย่างไม่มั่นใจ ใช่... พวกเขาว่า มันคุ้มไหมที่จะปิดล้อมวงกลม เมื่อทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว... คุณสามารถบ่นได้...) แต่ความจริงก็คือนี่เป็นความผิดพลาด คำตอบ. หรือค่อนข้างไม่เพียงพอ ผู้ชื่นชอบวงกลมเข้าใจว่ายังมีมุมอีกจำนวนมากที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5

หากคุณหมุน OA . ด้านที่เคลื่อนที่ได้ เพื่อการพลิกกลับอย่างเต็มที่, จุด A จะกลับสู่ตำแหน่งเดิม ด้วยโคไซน์เท่ากันเท่ากับ 0.5 เหล่านั้น. มุมก็จะเปลี่ยนไป 360° หรือ 2π เรเดียน และ โคไซน์ไม่ได้มุมใหม่ 60° + 360° = 420° จะเป็นคำตอบของสมการด้วยเพราะ

การหมุนเต็มจำนวนนั้นมีจำนวนอนันต์... และมุมใหม่ทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นคำตอบของสมการตรีโกณมิติของเรา และพวกเขาทั้งหมดต้องเขียนลงอย่างใด ทั้งหมด.มิฉะนั้นจะไม่ถือว่าการตัดสินใจใช่ ... )

คณิตศาสตร์สามารถทำได้อย่างเรียบง่ายและสวยงาม ให้เขียนคำตอบสั้นๆ ชุดอนันต์โซลูชั่น นี่คือสิ่งที่ดูเหมือนสำหรับสมการของเรา:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ฉันจะถอดรหัส ยังคงเขียน อย่างมีความหมายดีกว่าการวาดตัวอักษรลึกลับอย่างโง่เขลาใช่ไหม)

พาย /3 เป็นมุมเดียวกับที่เรา เลื่อยบนวงกลมและ มุ่งมั่นตามตารางโคไซน์

2π เป็นหนึ่งเทิร์นเต็มเป็นเรเดียน

น - นี่คือจำนวนที่สมบูรณ์เช่น ทั้งหมดการปฏิวัติ เป็นที่ชัดเจนว่า น สามารถเป็น 0, ±1, ±2, ±3.... และอื่นๆ ตามที่ระบุไว้โดยรายการสั้น:

น ∈ จ

น เป็นของ ( ∈ ) เป็นเซตของจำนวนเต็ม ( Z ). อีกอย่าง แทนที่จะเป็นตัวอักษร น สามารถใช้ตัวอักษรได้ k, m, t เป็นต้น

สัญกรณ์นี้หมายความว่าคุณสามารถใช้จำนวนเต็ม น . อย่างน้อย -3 อย่างน้อย 0, อย่างน้อย +55 คุณต้องการอะไร. หากคุณนำตัวเลขนั้นมาแทนคำตอบ คุณจะได้มุมเฉพาะ ซึ่งแน่นอนว่าจะเป็นคำตอบของสมการที่รุนแรงของเรา)

หรืออีกนัยหนึ่งคือ x \u003d π / 3 เป็นรากเดียวของเซตอนันต์ เพื่อให้ได้รากอื่น ๆ ทั้งหมดก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรอบเต็มเป็น π / 3 ( น ) เป็นเรเดียน เหล่านั้น. 2πn เรเดียน.

ทุกอย่าง? เลขที่ ฉันยืดความสุขโดยเฉพาะ เพื่อให้จำได้ดีขึ้น) เราได้รับเพียงส่วนหนึ่งของคำตอบของสมการของเรา ฉันจะเขียนส่วนแรกของการแก้ปัญหาดังนี้:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ไม่ใช่หนึ่งรูท แต่เป็นชุดของรูตทั้งหมด เขียนในรูปแบบย่อ

แต่มีมุมอื่นที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 ด้วย!

กลับไปที่ภาพของเราตามที่เราเขียนคำตอบไว้ เธออยู่ที่นั่น:

เลื่อนเมาส์ไปที่รูปภาพและ ดูอีกมุมที่ ยังให้โคไซน์ของ 0.5คุณคิดว่ามันเท่ากับอะไร? สามเหลี่ยมเหมือนกัน... ใช่! เท่ากับมุม X , วางแผนไปในทางลบเท่านั้น นี่คือมุม -X. แต่เราได้คำนวณ x แล้ว π /3 หรือ 60 องศา ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

x 2 \u003d - π / 3

และแน่นอน เราเพิ่มมุมทั้งหมดที่ได้รับจากการเลี้ยวเต็ม:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่) ในวงกลมตรีโกณมิติ เรา เลื่อย(ใครเข้าใจ แน่นอน)) ทั้งหมดมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 และพวกเขาเขียนมุมเหล่านี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์สั้นๆ คำตอบคือชุดรากอนันต์สองชุด:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

หวัง, หลักการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติด้วยความช่วยเหลือของวงกลมเป็นที่เข้าใจได้ เราทำเครื่องหมายโคไซน์ (ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์) จากสมการที่กำหนดบนวงกลม วาดมุมที่สอดคล้องกันแล้วจดคำตอบแน่นอน คุณต้องคิดให้ออกว่าเราอยู่มุมไหน เลื่อยบนวงกลม บางครั้งก็ไม่ชัดเจนนัก อย่างที่ฉันพูดต้องใช้ตรรกะที่นี่)

ตัวอย่างเช่น ลองวิเคราะห์สมการตรีโกณมิติอื่น:

โปรดทราบว่าตัวเลข 0.5 ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้ในสมการ!) มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะเขียนมันมากกว่ารากและเศษส่วน

เราทำงานตามหลักการทั่วไป เราวาดวงกลมทำเครื่องหมาย (บนแกนไซน์แน่นอน!) 0.5 เราวาดทุกมุมที่สอดคล้องกับไซน์นี้ทันที เราได้ภาพนี้:

มาจัดการกับมุมกันก่อน X ในไตรมาสแรก เราจำตารางไซน์และกำหนดค่าของมุมนี้ เรื่องง่าย:

x \u003d π / 6

เราจำได้ว่าผลัดกันเต็มและเขียนคำตอบชุดแรกด้วยจิตสำนึกที่ชัดเจน:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ครึ่งงานเสร็จแล้ว ตอนนี้เราต้องกำหนด มุมที่สอง...นี่มันยากกว่าในโคไซน์ใช่ ... แต่ตรรกะจะช่วยเรา! วิธีการกำหนดมุมที่สอง ผ่าน x? ใช่ง่าย! สามเหลี่ยมในภาพเหมือนกันและมุมสีแดง X เท่ากับมุม X . นับเฉพาะจากมุม π ในทิศทางลบเท่านั้น นั่นเป็นสาเหตุที่มันเป็นสีแดง) และสำหรับคำตอบ เราต้องการมุมที่วัดได้อย่างถูกต้องจากเซมิแกนบวก OX นั่นคือ จากมุม 0 องศา

วางเคอร์เซอร์เหนือรูปภาพและดูทุกอย่าง ฉันลบมุมแรกเพื่อไม่ให้ภาพซับซ้อน มุมที่เราสนใจ (วาดด้วยสีเขียว) จะเท่ากับ:

พาย - x

x เรารู้แล้ว พาย /6 . ดังนั้นมุมที่สองจะเป็น:

π - π /6 = 5π /6

อีกครั้งเราจำการเพิ่มการปฏิวัติเต็มรูปแบบและเขียนคำตอบชุดที่สอง:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยรากศัพท์สองชุด:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

สมการที่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้หลักการทั่วไปเดียวกันสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ แน่นอน คุณรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

ในตัวอย่างข้างต้น ฉันใช้ค่าตารางของไซน์และโคไซน์: 0.5 เหล่านั้น. หนึ่งในความหมายที่นักเรียนรู้ ต้อง.ตอนนี้เรามาขยายความสามารถของเราเป็น ค่าอื่นๆ ทั้งหมดตัดสินใจแล้ว ตัดสินใจ!)

สมมุติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิติต่อไปนี้:

ไม่มีค่าของโคไซน์ดังกล่าวในตารางสั้น เราเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงที่น่ากลัวนี้อย่างเยือกเย็น เราวาดวงกลม ทำเครื่องหมาย 2/3 บนแกนโคไซน์แล้ววาดมุมที่สอดคล้องกัน เราจะได้ภาพนี้

เราเข้าใจสำหรับการเริ่มต้นด้วยมุมในไตรมาสแรก หากต้องการทราบว่า x เท่ากับเท่าใด พวกเขาจะจดคำตอบทันที! เราไม่รู้... ล้มเหลว!? ความสงบ! คณิตศาสตร์ไม่ทิ้งปัญหา! เธอคิดค้นอาร์คโคไซน์สำหรับกรณีนี้ ไม่ทราบ? เปล่าประโยชน์ หาคำตอบ มันง่ายกว่าที่คุณคิดมาก ตามลิงค์นี้ ไม่มีการสะกดคำที่ยุ่งยากแม้แต่ครั้งเดียวเกี่ยวกับ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน" ... ไม่จำเป็นในหัวข้อนี้

หากคุณเป็นผู้รู้ ให้พูดกับตัวเองว่า "X คือมุมที่มีโคไซน์เป็น 2/3" และทันทีโดยนิยามของอาร์คโคไซน์อย่างหมดจด เราสามารถเขียนได้ว่า:

เราจำได้เกี่ยวกับการปฏิวัติเพิ่มเติมและจดรากศัพท์ชุดแรกอย่างใจเย็นของสมการตรีโกณมิติของเรา:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

รากชุดที่สองเขียนเกือบโดยอัตโนมัติสำหรับมุมที่สอง ทุกอย่างเหมือนเดิม มีเพียง x (arccos 2/3) เท่านั้นที่จะมีเครื่องหมายลบ:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

และทุกสิ่ง! นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ง่ายกว่าด้วยค่าแบบตาราง ไม่ต้องจำอะไรทั้งนั้น) อย่างไรก็ตาม ผู้สนใจมากที่สุดจะสังเกตเห็นว่าภาพนี้แก้ทางผ่านอาร์คโคไซน์ โดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากรูปภาพสำหรับสมการ cosx = 0.5

อย่างแน่นอน! หลักการทั่วไปในเรื่องนั้นและเรื่องทั่วไป! ฉันวาดภาพที่เกือบจะเหมือนกันสองภาพโดยเฉพาะ วงกลมแสดงให้เราเห็นมุม X โดยโคไซน์ของมัน มันเป็นโคไซน์ตารางหรือไม่ - วงกลมไม่รู้ นี่คือมุมแบบไหน π / 3 หรือโคไซน์ส่วนโค้งแบบไหนขึ้นอยู่กับเราที่จะตัดสินใจ

ด้วยไซน์เพลงเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

เราวาดวงกลมอีกครั้งทำเครื่องหมายไซน์เท่ากับ 1/3 วาดมุม ปรากฎว่าภาพนี้:

และอีกครั้งภาพก็เกือบจะเหมือนกับสมการ บาป = 0.5อีกครั้งเราเริ่มต้นจากมุมในไตรมาสแรก x เท่ากับเท่าไหร่ถ้าไซน์ของมันคือ 1/3? ไม่มีปัญหา!

ดังนั้นชุดรากแรกก็พร้อม:

x 1 = อาร์คซิน 1/3 + 2π n, n ∈ Z

มาดูมุมที่สองกัน ในตัวอย่างที่มีค่าตารางเท่ากับ 0.5 จะเท่ากับ:

พาย - x

ดังนั้นที่นี่จะเหมือนกันทุกประการ! ต่างกันเพียง x, arcsin 1/3 แล้วไง!? คุณสามารถเขียนรากที่สองได้อย่างปลอดภัย:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์ แม้จะดูไม่ค่อยคุ้นเคย แต่ก็พอเข้าใจได้นะ)

นี่คือวิธีแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลม เส้นทางนี้ชัดเจนและเข้าใจได้ เขาเป็นคนที่บันทึกในสมการตรีโกณมิติด้วยการเลือกรากในช่วงเวลาที่กำหนดในความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ - โดยทั่วไปจะแก้ไขได้เกือบทุกครั้งในวงกลม กล่าวโดยย่อ ในงานใดๆ ที่ซับซ้อนกว่างานมาตรฐานเล็กน้อย

นำความรู้ไปปฏิบัติ?

แก้สมการตรีโกณมิติ:

ในตอนแรกจะง่ายกว่าในบทเรียนนี้โดยตรง

ตอนนี้มันยากขึ้น

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องคิดเกี่ยวกับวงกลม ส่วนตัว.)

และตอนนี้ไม่โอ้อวดภายนอก ... พวกเขายังถูกเรียกว่ากรณีพิเศษ

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องคิดในวงกลมที่มีคำตอบสองชุดและมีหนึ่งชุด ... และวิธีเขียนคำตอบหนึ่งชุดแทนที่จะเป็นสองชุด ใช่เพื่อไม่ให้รูทเดียวจากจำนวนอนันต์หายไป!)

ค่อนข้างง่าย):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องรู้ว่าอาร์คไซน์คืออะไร อาร์โคไซน์คืออะไร? อาร์คแทนเจนต์, อาร์คแทนเจนต์คืออะไร? คำจำกัดความที่ง่ายที่สุด แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำค่าตารางใดๆ ทั้งสิ้น!)

แน่นอน คำตอบอยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x2= π - arcsin0.3 + 2

ทุกอย่างไม่ได้ผล? มันเกิดขึ้น. อ่านบทเรียนอีกครั้ง เท่านั้น อย่างรอบคอบ(มีคำที่ล้าสมัย...) และตามลิงค์ ลิงค์หลักเกี่ยวกับวงกลม หากไม่มีตรีโกณมิติ - วิธีปิดตาข้ามถนน บางครั้งก็ได้ผล)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือสมการ

Cos(x)=a, บาป(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

สมการ cos(x) = a

คำอธิบายและเหตุผล

1. รากของสมการ cosx = a เมื่อ | a | > 1 สมการไม่มีรากเพราะ | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 หรือที่< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

ให้ | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x ในช่วงเวลา ฟังก์ชัน y = cos x ลดลงจาก 1 เป็น -1 แต่ฟังก์ชันการลดลงใช้ค่าแต่ละค่าที่จุดหนึ่งของโดเมนคำจำกัดความเท่านั้น ดังนั้นสมการ cos x \u003d a มีเพียงหนึ่งรูทในช่วงเวลานี้ ซึ่งตามคำจำกัดความของอาร์คโคไซน์ คือ: x 1 \u003d arccos a (และสำหรับรูทนี้ cos x \u003d a)

โคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้นในช่วงเวลา [-p; 0] สมการ cos x = และยังมีรากเดียว - ตัวเลขตรงข้ามกับ x 1 นั่นคือ

x 2 = -อาร์คคอส ก.

ดังนั้นในช่วง [-n; n] (ความยาว 2n) สมการ cos x = a สำหรับ | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

ฟังก์ชัน y = cos x เป็นคาบที่มีคาบ 2n ดังนั้นรูตอื่นๆ ทั้งหมดจึงแตกต่างจาก 2np ที่พบ (n € Z) เราได้สูตรต่อไปนี้สำหรับรากของสมการ cos x = a เมื่อ

x = ± arccos a + 2n, n £ Z

1. กรณีพิเศษของการแก้สมการ cosx = a

เป็นประโยชน์ที่จะจำสัญลักษณ์พิเศษสำหรับรากของสมการ cos x = a when

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1 ซึ่งสามารถหาได้ง่ายโดยใช้วงกลมหน่วยเป็นแนวทาง

เนื่องจากโคไซน์เท่ากับ abscissa ของจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมหนึ่งหน่วย เราจะได้ cos x = 0 ถ้าหากจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุด A หรือจุด B

ในทำนองเดียวกัน cos x = 1 ก็ต่อเมื่อจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมหนึ่งหน่วยเป็นจุด C ดังนั้น

x = 2πp, k € Z.

นอกจากนี้ cos x \u003d -1 ถ้าหากจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมหน่วยเป็นจุด D ดังนั้น x \u003d n + 2n

สมการบาป (x) = a

คำอธิบายและเหตุผล

1. รากของสมการ sinx = a เมื่อ | a | > 1 สมการไม่มีรากเพราะ | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 หรือที่< -1 не пересекает график функции y = sinx).

อัตราส่วนระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก - ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - ถูกกำหนด สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีความสัมพันธ์กันค่อนข้างมากระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่จึงอธิบายความอุดมสมบูรณ์ของสูตรตรีโกณมิติด้วย บางสูตรเชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน อื่นๆ - ฟังก์ชันของหลายมุม อื่นๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับลง ส่วนที่สี่ - เพื่อแสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งเพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์ แล้วป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง พวกเขาติดตามจากนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เช่นเดียวกับแนวคิดของวงกลมหน่วย พวกมันทำให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งผ่านฟังก์ชันอื่นๆ

สำหรับคำอธิบายโดยละเอียดของสูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ ตัวอย่างที่มาและตัวอย่างการใช้งาน โปรดดูบทความ

สูตรหล่อ

สูตรหล่อตามมาจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ กล่าวคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมบัติของสมมาตร และสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ทำให้คุณสามารถย้ายจากการทำงานกับมุมใดก็ได้เป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ศูนย์ถึง 90 องศา

เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้ กฎช่วยในการจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรเสริม

สูตรบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมสองมุมแสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้อย่างไร สูตรเหล่านี้ใช้เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของพวกเขาขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม .

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงในรูปของโคไซน์ของมุมจำนวนเต็มอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการสมัครสามารถพบได้ในบทความ

สูตรลด

สูตรตรีโกณมิติลดองศาได้รับการออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากพลังธรรมชาติของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขายอมลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดหมายหลัก สูตรผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยการเปลี่ยนไปใช้ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้แยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นผลรวมหรือผลต่างจะดำเนินการโดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

เราทบทวนสูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติด้วยสูตรที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของแทนเจนต์ของครึ่งมุม การแทนที่นี้เรียกว่า การแทนที่ตรีโกณมิติสากล. ความสะดวกของมันอยู่ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดแสดงในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุมอย่างมีเหตุมีผลโดยไม่มีราก

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต: Proc. สำหรับ 9 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน / ยู. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด. S. A. Telyakovsky.- M.: การตรัสรู้, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2536. - 351 น.: ป่วย. - ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: การตรัสรู้, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า รร. 2527-351 น.

ลิขสิทธิ์โดย นักเรียนฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนหนึ่งส่วนใดของไซต์ รวมถึงวัสดุภายในและการออกแบบภายนอก ในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้ !!!

ความเท่าเทียมกันที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (`sin x, cos x, tg x` หรือ `ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติ และเราจะพิจารณาสูตรต่อไป

สมการที่ง่ายที่สุดคือ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` โดยที่ `x' คือมุมที่จะหา `a' คือจำนวนใดๆ มาเขียนสูตรรูทสำหรับแต่ละสูตรกัน

1. สมการ `บาป x=a`

สำหรับ `|a|>1` ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ด้วย `|a| \leq 1` มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

สูตรราก: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. สมการ `cos x=a`

สำหรับ `|a|>1` - ในกรณีของไซน์ ไม่มีคำตอบระหว่างจำนวนจริง

ด้วย `|a| \leq 1` มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

สูตรราก: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

กรณีพิเศษสำหรับไซน์และโคไซน์ในกราฟ

3. สมการ `tg x=a`

มีคำตอบมากมายสำหรับค่าของ "a"

สูตรราก: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. สมการ `ctg x=a`

นอกจากนี้ยังมีคำตอบมากมายสำหรับค่าของ `a'

สูตรราก: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

สูตรหารากของสมการตรีโกณมิติในตาราง

สำหรับไซนัส:
สำหรับโคไซน์:
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติใดๆ ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• ใช้เพื่อแปลงให้ง่ายที่สุด
• แก้สมการง่าย ๆ ที่ได้โดยใช้สูตรข้างต้นสำหรับรากและตาราง

ลองพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาหลักโดยใช้ตัวอย่าง

วิธีพีชคณิต

ในวิธีนี้ จะทำการแทนที่ตัวแปรและการแทนที่ตัวแปรให้เป็นความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ทำการแทนที่: `cos(x+\frac \pi 6)=y` จากนั้น `2y^2-3y+1=0`

เราพบราก: `y_1=1, y_2=1/2` ซึ่งสองกรณีดังต่อไปนี้:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`

คำตอบ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `บาป x+cos x=1`

วิธีการแก้. เลื่อนเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมดไปทางซ้าย: `sin x+cos x-1=0` ใช้ เราแปลงและแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย:

`บาป x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `บาป x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

คำตอบ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

ลดสมการเอกพันธ์

ขั้นแรก คุณต้องนำสมการตรีโกณมิตินี้มาเป็นรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบ:

`a sin x+b cos x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก) หรือ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง)

จากนั้นแยกทั้งสองส่วนด้วย `cos x \ne 0` สำหรับกรณีแรก และโดย `cos^2 x \ne 0` สำหรับกรณีที่สอง เราได้รับสมการสำหรับ `tg x`: `a tg x+b=0` และ `a tg^2 x + b tg x +c =0` ซึ่งต้องแก้ไขโดยใช้วิธีที่รู้จัก

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 บาป^2 x+บาป x cos x - cos^2 x=1`

วิธีการแก้. ลองเขียนด้านขวาเป็น `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x=` `บาป^2 x+cos^2 x`,

`2 บาป^2 x+บาป x cos x - cos^2 x -` ` บาป^2 x - cos^2 x=0`

`บาป^2 x+บาป x cos x - 2 cos^2 x=0`

นี่คือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง หารส่วนซ้ายและขวาด้วย `cos^2 x \ne 0` เราจะได้:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0` เรามาแนะนำการแทนที่ `tg x=t` กัน ซึ่งส่งผลให้ `t^2 + t - 2=0` รากของสมการนี้คือ `t_1=-2` และ `t_2=1` แล้ว:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`

ตอบ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`

ไปที่ครึ่งมุม

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 บาป x - 2 cos x = 10`

วิธีการแก้. ใช้สูตรมุมสองเท่า ผลลัพธ์คือ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

การใช้วิธีพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้นเราได้รับ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`

ตอบ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`

การแนะนำมุมเสริม

ในสมการตรีโกณมิติ `a sin x + b cos x =c` โดยที่ a,b,c เป็นสัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปร เราหารทั้งสองส่วนด้วย `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายมีคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ผลรวมของกำลังสองเท่ากับ 1 และโมดูลัสของพวกมันไม่เกิน 1 แทนค่าเหล่านี้: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C` แล้ว:

`cos \varphi บาป x + บาป \varphi cos x =C`

ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 บาป x+4 cos x=2`

วิธีการแก้. หารทั้งสองข้างของสมการด้วย `sqrt (3^2+4^2)` ​​เราจะได้:

`\frac (3 บาป x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 บาป x+4/5 cos x=2/5`

แสดงว่า `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi' เนื่องจาก `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` เราจึงใช้ `\varphi=arcsin 4/5` เป็นมุมเสริม จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบ:

`cos \varphi บาป x+บาป \varphi cos x=2/5`

การใช้สูตรสำหรับผลรวมของมุมสำหรับไซน์ เราเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:

`บาป(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`

ตอบ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`

สมการตรีโกณมิติเศษส่วน

สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันกับเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งมีฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง. แก้สมการ. `\frac (บาป x)(1+cos x)=1-cos x`

วิธีการแก้. คูณและหารด้านขวาของสมการด้วย `(1+cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)-` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (บาป x บาป^2 x)(1+cos x)=0`

เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เราจึงได้ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`

หาตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0` จากนั้น `sin x=0` หรือ `1-sin x=0`

1. `บาป x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-บาป x=0`, `บาป x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`

ระบุว่า ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` คำตอบคือ `x=2\pi n, n \in Z` และ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z'

ตอบ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`

โดยเฉพาะตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติ ถูกใช้ในเกือบทุกด้านของเรขาคณิต ฟิสิกส์ และวิศวกรรม การศึกษาเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีงานสำหรับการสอบอยู่เสมอดังนั้นพยายามจำสูตรทั้งหมดของสมการตรีโกณมิติ - พวกเขาจะมีประโยชน์สำหรับคุณอย่างแน่นอน!

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจำมันด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสาระสำคัญ และสามารถอนุมานได้ ไม่ยากอย่างที่คิด ดูด้วยตัวคุณเองด้วยการดูวิดีโอ