คำตอบของสมการตรีโกณมิติของค่าไซน์ วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ

ไม่มีความลับใดที่ความสำเร็จหรือความล้มเหลวในกระบวนการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดขึ้นอยู่กับความถูกต้องของการกำหนดประเภทของสมการที่กำหนดตลอดจนความถูกต้องของการทำซ้ำลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม ในกรณีของสมการตรีโกณมิติ การระบุข้อเท็จจริงที่ว่าสมการนั้นเป็นตรีโกณมิตินั้นไม่ยากเลย แต่ในกระบวนการกำหนดลำดับของการกระทำที่ควรนำเราไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง เราอาจประสบปัญหาบางอย่าง มาดูวิธีแก้สมการตรีโกณมิติให้ถูกต้องกันตั้งแต่ต้น

การแก้สมการตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลองทำจุดต่อไปนี้:

เรานำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการของเราเป็น "มุมเดียวกัน"
จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่ "ฟังก์ชันที่เหมือนกัน"
เราแบ่งด้านซ้ายของสมการที่กำหนดเป็นปัจจัยหรือส่วนประกอบที่จำเป็นอื่นๆ

วิธีการ

วิธีที่ 1 จำเป็นต้องแก้สมการดังกล่าวในสองขั้นตอน ขั้นแรก เราแปลงสมการเพื่อให้ได้รูปแบบที่ง่ายที่สุด (แบบง่าย) สมการ: Cosx = a, Sinx = a และสิ่งที่คล้ายคลึงกันเรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ขั้นตอนที่สองคือการแก้สมการง่าย ๆ ที่ได้ ควรสังเกตว่าสมการที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยวิธีพีชคณิตซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับเราจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรียกอีกอย่างว่าวิธีการทดแทนและการแทนที่ตัวแปร ด้วยความช่วยเหลือของสูตรการย่อ คุณต้องแปลงก่อน จากนั้นทำการแทนที่แล้วค้นหาราก

ต่อไป คุณต้องแยกสมการของเราเป็นปัจจัยที่เป็นไปได้ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องย้ายเทอมทั้งหมดไปทางซ้าย จากนั้นคุณสามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบได้ ทีนี้ คุณต้องนำสมการนี้ไปเป็นสมการเอกพันธ์ โดยที่พจน์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับดีกรีเดียวกัน และโคไซน์กับไซน์มีมุมเท่ากัน

ก่อนแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องย้ายเทอมของมันไปทางด้านซ้าย เอามาจากด้านขวา จากนั้นเราจะเอาตัวส่วนร่วมทั้งหมดในวงเล็บออก เราถือวงเล็บและตัวประกอบเป็นศูนย์ วงเล็บเหลี่ยมของเราเป็นสมการเอกพันธ์ดีกรีที่ลดขนาดแล้วหารด้วย sin(cos) ยกกำลังสูงสุด ตอนนี้เราแก้สมการพีชคณิตที่ได้สัมพันธ์กับสีแทน

วิธีที่ 2 อีกวิธีหนึ่งที่คุณสามารถแก้สมการตรีโกณมิติได้คือการเปลี่ยนไปใช้มุมครึ่ง ตัวอย่างเช่น เราแก้สมการ: 3sinx-5cosx=7

เราต้องไปครึ่งมุม ในกรณีของเราคือ: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) หลังจากนั้นเราลดเงื่อนไขทั้งหมดเป็นส่วนเดียว (เพื่อความสะดวก ควรเลือกอันที่ถูกต้อง) และดำเนินการแก้สมการต่อไป

หากจำเป็น คุณสามารถป้อนมุมเสริมได้ สิ่งนี้ทำได้เมื่อคุณต้องการแทนที่ค่าจำนวนเต็ม sin (a) หรือ cos (a) และเครื่องหมาย “a” จะทำหน้าที่เป็นมุมเสริม

สินค้าที่จะรวม

จะแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้ผลคูณได้อย่างไร? วิธีการที่เรียกว่าการแปลงผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมยังสามารถใช้เพื่อแก้สมการดังกล่าว ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้สูตรที่สอดคล้องกับสมการ

ตัวอย่างเช่น เรามีสมการ: 2sinx * sin3x= cos4x

เราต้องแก้ปัญหานี้โดยแปลงด้านซ้ายเป็นผลรวม กล่าวคือ:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8

หากวิธีการข้างต้นไม่เหมาะสม และคุณยังไม่รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด คุณสามารถใช้วิธีอื่น - การแทนที่สากล คุณสามารถเปลี่ยนนิพจน์และทำการแทนที่ได้ ตัวอย่างเช่น: Cos(x/2)=u ตอนนี้เราสามารถแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนด u และเมื่อได้ผลลัพธ์ที่ต้องการแล้วอย่าลืมแปลค่านี้ให้ตรงกันข้าม

ขอแนะนำให้นักเรียนที่ "มีประสบการณ์" หลายคนหันมาหาคนออนไลน์เพื่อแก้สมการ วิธีแก้สมการตรีโกณมิติออนไลน์คุณถาม ในการแก้ปัญหาทางออนไลน์ ให้ไปที่ฟอรัมของหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ซึ่งคุณสามารถขอคำแนะนำหรือแก้ปัญหาได้ แต่สิ่งที่ดีที่สุดคือพยายามจัดการด้วยตัวเอง

ทักษะและความสามารถในการแก้สมการตรีโกณมิติมีความสำคัญและมีประโยชน์มาก การพัฒนาของพวกเขาจะต้องใช้ความพยายามอย่างมากจากคุณ ปัญหามากมายในฟิสิกส์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการดังกล่าว และขั้นตอนในการแก้ปัญหาดังกล่าวบ่งบอกถึงการมีทักษะและความรู้ที่สามารถรับได้ในขณะที่ศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ

เรียนรู้สูตรตรีโกณมิติ

ในกระบวนการแก้สมการ คุณอาจต้องใช้สูตรใดก็ได้จากตรีโกณมิติ แน่นอน คุณสามารถเริ่มค้นหาได้ในตำราเรียนและเอกสารโกงของคุณ และถ้าสูตรเหล่านี้อยู่ในหัวของคุณ คุณจะไม่เพียงแต่ช่วยคลายความกังวล แต่ยังทำให้งานของคุณง่ายขึ้นมาก โดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาข้อมูลที่จำเป็น ดังนั้น คุณจะมีโอกาสคิดหาวิธีการแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุด

สมการตรีโกณมิติไม่ใช่หัวข้อที่ง่ายที่สุด พวกมันมีความหลากหลายอย่างเจ็บปวด) ตัวอย่างเช่น:

sin2x + cos3x = ctg5x

บาป(5x+π/4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ฯลฯ...

แต่สัตว์ประหลาดตรีโกณมิติเหล่านี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) มีคุณสมบัติทั่วไปและจำเป็นสองประการ อย่างแรก - คุณจะไม่เชื่อหรอก - มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ในสมการ) ประการที่สอง: นิพจน์ทั้งหมดที่มี x คือ ภายในฟังก์ชันเดียวกันนี้และที่นั่นเท่านั้น! ถ้า x ปรากฏที่ใดที่หนึ่ง ข้างนอก,ตัวอย่างเช่น, บาป2x + 3x = 3,นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวต้องใช้วิธีการเฉพาะบุคคล ที่นี่เราจะไม่พิจารณาพวกเขา

เราจะไม่แก้สมการชั่วร้ายในบทเรียนนี้เช่นกัน) เราจะจัดการกับ สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดทำไม ใช่เพราะการตัดสินใจ ใดๆสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก สมการความชั่วร้ายจะลดลงเป็นสมการง่าย ๆ โดยการแปลงแบบต่างๆ ในวินาที - สมการที่ง่ายที่สุดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่มีทางอื่น.

ดังนั้นหากคุณมีปัญหาในระยะที่สอง ระยะแรกไม่สมเหตุสมผลเลย)

สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีลักษณะอย่างไร

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

ที่นี่ เอ ย่อมาจากหมายเลขใด ๆ ใดๆ.

อย่างไรก็ตาม ภายในฟังก์ชันอาจไม่มี x บริสุทธิ์ แต่มีนิพจน์บางอย่าง เช่น:

cos(3x+π/3) = 1/2

เป็นต้น สิ่งนี้ทำให้ชีวิตซับซ้อน แต่ไม่ส่งผลต่อวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

จะแก้สมการตรีโกณมิติได้อย่างไร?

สมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้สองวิธี วิธีแรก: การใช้ตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ เราจะสำรวจเส้นทางนี้ที่นี่ วิธีที่สอง - การใช้หน่วยความจำและสูตร - จะได้รับการพิจารณาในบทเรียนถัดไป

วิธีแรกคือชัดเจน เชื่อถือได้ และลืมยาก) เป็นการดีสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ อสมการ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐานที่ยุ่งยากทุกประเภท ตรรกะแข็งแกร่งกว่าความจำ!

เราแก้สมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ

เรารวมตรรกะเบื้องต้นและความสามารถในการใช้วงกลมตรีโกณมิติ ทำไม่ได้!? อย่างไรก็ตาม... วิชาตรีโกณมิติจะยากสำหรับคุณ...) แต่ก็ไม่สำคัญ ดูบทเรียน "วงกลมตรีโกณมิติ ...... มันคืออะไร" และ "การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ" ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ไม่เหมือนตำรา...)

อ่า รู้ยัง!? และยังเชี่ยวชาญ "งานจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ"!? ยอมรับแสดงความยินดี หัวข้อนี้จะใกล้เคียงและเข้าใจได้สำหรับคุณ) สิ่งที่น่าพอใจเป็นพิเศษคือวงกลมตรีโกณมิติไม่สนใจว่าคุณจะแก้สมการใด ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - ทุกอย่างเหมือนกันสำหรับเขา หลักการแก้ปัญหาเหมือนกัน

เราจึงใช้สมการตรีโกณมิติมูลฐานใดๆ อย่างน้อยนี้:

cosx = 0.5

ฉันต้องหา X พูดภาษามนุษย์ต้อง หามุม (x) ที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.5

ก่อนหน้านี้เราใช้วงกลมอย่างไร? เราวาดมุมบนมัน เป็นองศาหรือเรเดียน และทันที เห็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนี้ ทีนี้มาทำตรงกันข้ามกัน วาดโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนวงกลมแล้วทันที เราจะเห็น มุม. เหลือเพียงการเขียนคำตอบ) ใช่ใช่!

เราวาดวงกลมและทำเครื่องหมายโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนแกนโคไซน์ แน่นอน แบบนี้:

ทีนี้ลองวาดมุมที่โคไซน์นี้ให้เรากัน วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และ ดูมุมเดียวกันนี้ เอ็กซ์

มุมใดมีโคไซน์เท่ากับ 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= คอส ( พาย /3) = 0,5

บางคนจะครางอย่างไม่มั่นใจ ใช่... พวกเขาว่า มันคุ้มไหมที่จะปิดล้อมวงกลม เมื่อทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว... คุณสามารถบ่นได้...) แต่ความจริงก็คือนี่เป็นความผิดพลาด คำตอบ. หรือค่อนข้างไม่เพียงพอ ผู้ชื่นชอบวงกลมเข้าใจว่ายังมีมุมอีกจำนวนมากที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5

หากคุณหมุน OA . ด้านที่เคลื่อนที่ได้ เพื่อการพลิกกลับอย่างเต็มที่, จุด A จะกลับสู่ตำแหน่งเดิม ด้วยโคไซน์เท่ากันเท่ากับ 0.5 เหล่านั้น. มุมก็จะเปลี่ยนไป 360° หรือ 2π เรเดียน และ โคไซน์ไม่ได้มุมใหม่ 60° + 360° = 420° จะเป็นคำตอบของสมการด้วยเพราะ

การหมุนเต็มจำนวนนั้นมีจำนวนอนันต์... และมุมใหม่ทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นคำตอบของสมการตรีโกณมิติของเรา และพวกเขาทั้งหมดต้องเขียนลงอย่างใด ทั้งหมด.มิฉะนั้นจะไม่ถือว่าการตัดสินใจใช่ ... )

คณิตศาสตร์สามารถทำได้อย่างเรียบง่ายและสวยงาม ให้เขียนคำตอบสั้นๆ ชุดอนันต์โซลูชั่น นี่คือสิ่งที่ดูเหมือนสำหรับสมการของเรา:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ฉันจะถอดรหัส ยังคงเขียน อย่างมีความหมายดีกว่าการวาดตัวอักษรลึกลับอย่างโง่เขลาใช่ไหม)

พาย /3 เป็นมุมเดียวกับที่เรา เลื่อยบนวงกลมและ มุ่งมั่นตามตารางโคไซน์

2π เป็นหนึ่งเทิร์นเต็มเป็นเรเดียน

น - นี่คือจำนวนที่สมบูรณ์เช่น ทั้งหมดการปฏิวัติ เป็นที่ชัดเจนว่า น สามารถเป็น 0, ±1, ±2, ±3.... และอื่นๆ ตามที่ระบุไว้โดยรายการสั้น:

น ∈ จ

น เป็นของ ( ∈ ) เป็นเซตของจำนวนเต็ม ( Z ). อีกอย่าง แทนที่จะเป็นตัวอักษร น สามารถใช้ตัวอักษรได้ k, m, t เป็นต้น

สัญกรณ์นี้หมายความว่าคุณสามารถใช้จำนวนเต็ม น . อย่างน้อย -3 อย่างน้อย 0, อย่างน้อย +55 คุณต้องการอะไร. หากคุณนำตัวเลขนั้นมาแทนคำตอบ คุณจะได้มุมเฉพาะ ซึ่งแน่นอนว่าจะเป็นคำตอบของสมการที่รุนแรงของเรา)

หรืออีกนัยหนึ่งคือ x \u003d π / 3 เป็นรากเดียวของเซตอนันต์ เพื่อให้ได้รากอื่น ๆ ทั้งหมดก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรอบเต็มเป็น π / 3 ( น ) เป็นเรเดียน เหล่านั้น. 2πn เรเดียน.

ทุกอย่าง? เลขที่ ฉันยืดความสุขโดยเฉพาะ เพื่อให้จำได้ดีขึ้น) เราได้รับเพียงส่วนหนึ่งของคำตอบของสมการของเรา ฉันจะเขียนส่วนแรกของการแก้ปัญหาดังนี้:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ไม่ใช่หนึ่งรูท แต่เป็นชุดของรูตทั้งหมด เขียนในรูปแบบย่อ

แต่มีมุมอื่นที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 ด้วย!

กลับไปที่ภาพของเราตามที่เราเขียนคำตอบไว้ เธออยู่ที่นั่น:

เลื่อนเมาส์ไปที่รูปภาพและ ดูอีกมุมที่ ยังให้โคไซน์ของ 0.5คุณคิดว่ามันเท่ากับอะไร? สามเหลี่ยมเหมือนกัน... ใช่! เท่ากับมุม X , วางแผนไปในทางลบเท่านั้น นี่คือมุม -X. แต่เราได้คำนวณ x แล้ว π /3 หรือ 60 องศา ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

x 2 \u003d - π / 3

และแน่นอน เราเพิ่มมุมทั้งหมดที่ได้รับจากการเลี้ยวเต็ม:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่) ในวงกลมตรีโกณมิติ เรา เลื่อย(ใครเข้าใจ แน่นอน)) ทั้งหมดมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 และพวกเขาเขียนมุมเหล่านี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์สั้นๆ คำตอบคือชุดรากอนันต์สองชุด:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

หวัง, หลักการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติด้วยความช่วยเหลือของวงกลมเป็นที่เข้าใจได้ เราทำเครื่องหมายโคไซน์ (ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์) จากสมการที่กำหนดบนวงกลม วาดมุมที่สอดคล้องกันแล้วจดคำตอบแน่นอน คุณต้องคิดให้ออกว่าเราอยู่มุมไหน เลื่อยบนวงกลม บางครั้งก็ไม่ชัดเจนนัก อย่างที่ฉันพูดต้องใช้ตรรกะที่นี่)

ตัวอย่างเช่น ลองวิเคราะห์สมการตรีโกณมิติอื่น:

โปรดทราบว่าตัวเลข 0.5 ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้ในสมการ!) มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะเขียนมันมากกว่ารากและเศษส่วน

เราทำงานตามหลักการทั่วไป เราวาดวงกลมทำเครื่องหมาย (บนแกนไซน์แน่นอน!) 0.5 เราวาดทุกมุมที่สอดคล้องกับไซน์นี้ทันที เราได้ภาพนี้:

มาจัดการกับมุมกันก่อน X ในไตรมาสแรก เราจำตารางไซน์และกำหนดค่าของมุมนี้ เรื่องง่าย:

x \u003d π / 6

เราจำได้ว่าผลัดกันเต็มและเขียนคำตอบชุดแรกด้วยจิตสำนึกที่ชัดเจน:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ครึ่งงานเสร็จแล้ว ตอนนี้เราต้องกำหนด มุมที่สอง...นี่มันยากกว่าในโคไซน์ใช่ ... แต่ตรรกะจะช่วยเรา! วิธีการกำหนดมุมที่สอง ผ่าน x? ใช่ง่าย! สามเหลี่ยมในภาพเหมือนกันและมุมสีแดง X เท่ากับมุม X . นับเฉพาะจากมุม π ในทิศทางลบเท่านั้น นั่นเป็นสาเหตุที่มันเป็นสีแดง) และสำหรับคำตอบ เราต้องการมุมที่วัดได้อย่างถูกต้องจากเซมิแกนบวก OX นั่นคือ จากมุม 0 องศา

วางเคอร์เซอร์เหนือรูปภาพและดูทุกอย่าง ฉันลบมุมแรกเพื่อไม่ให้ภาพซับซ้อน มุมที่เราสนใจ (วาดด้วยสีเขียว) จะเท่ากับ:

พาย - x

x เรารู้แล้ว พาย /6 . ดังนั้นมุมที่สองจะเป็น:

π - π /6 = 5π /6

อีกครั้งเราจำการเพิ่มการปฏิวัติเต็มรูปแบบและเขียนคำตอบชุดที่สอง:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยรากศัพท์สองชุด:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

สมการที่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้หลักการทั่วไปเดียวกันสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ แน่นอน คุณรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

ในตัวอย่างข้างต้น ฉันใช้ค่าตารางของไซน์และโคไซน์: 0.5 เหล่านั้น. หนึ่งในความหมายที่นักเรียนรู้ ต้อง.ตอนนี้เรามาขยายความสามารถของเราไปที่ ค่าอื่นๆ ทั้งหมดตัดสินใจแล้ว ตัดสินใจ!)

สมมุติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิติต่อไปนี้:

ไม่มีค่าของโคไซน์ดังกล่าวในตารางสั้น เราเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงที่น่ากลัวนี้อย่างเยือกเย็น เราวาดวงกลม ทำเครื่องหมาย 2/3 บนแกนโคไซน์แล้ววาดมุมที่สอดคล้องกัน เราจะได้ภาพนี้

เราเข้าใจสำหรับการเริ่มต้นด้วยมุมในไตรมาสแรก หากต้องการทราบว่า x เท่ากับเท่าใด พวกเขาจะจดคำตอบทันที! เราไม่รู้... ล้มเหลว!? ความสงบ! คณิตศาสตร์ไม่ทิ้งปัญหา! เธอคิดค้นอาร์คโคไซน์สำหรับกรณีนี้ ไม่ทราบ? เปล่าประโยชน์ หาคำตอบ มันง่ายกว่าที่คุณคิดมาก ตามลิงค์นี้ ไม่มีการสะกดคำที่ยุ่งยากแม้แต่ครั้งเดียวเกี่ยวกับ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน" ... ไม่จำเป็นในหัวข้อนี้

หากคุณเป็นผู้รู้ ให้พูดกับตัวเองว่า "X คือมุมที่มีโคไซน์เป็น 2/3" และทันทีโดยนิยามของอาร์คโคไซน์อย่างหมดจด เราสามารถเขียนได้ว่า:

เราจำได้เกี่ยวกับการปฏิวัติเพิ่มเติมและจดรากศัพท์ชุดแรกอย่างใจเย็นของสมการตรีโกณมิติของเรา:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

รากชุดที่สองเขียนเกือบโดยอัตโนมัติสำหรับมุมที่สอง ทุกอย่างเหมือนเดิม มีเพียง x (arccos 2/3) เท่านั้นที่จะมีเครื่องหมายลบ:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

และทุกสิ่ง! นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ง่ายกว่าด้วยค่าแบบตาราง ไม่ต้องจำอะไรทั้งนั้น) อย่างไรก็ตาม ผู้สนใจมากที่สุดจะสังเกตเห็นว่าภาพนี้แก้ทางผ่านอาร์คโคไซน์ โดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากรูปภาพสำหรับสมการ cosx = 0.5

อย่างแน่นอน! หลักการทั่วไปในเรื่องนั้นและเรื่องทั่วไป! ฉันวาดภาพที่เกือบจะเหมือนกันสองภาพโดยเฉพาะ วงกลมแสดงให้เราเห็นมุม X โดยโคไซน์ของมัน มันเป็นโคไซน์ตารางหรือไม่ - วงกลมไม่รู้ นี่คือมุมแบบไหน π / 3 หรือโคไซน์ส่วนโค้งแบบไหนขึ้นอยู่กับเราที่จะตัดสินใจ

ด้วยไซน์เพลงเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

เราวาดวงกลมอีกครั้งทำเครื่องหมายไซน์เท่ากับ 1/3 วาดมุม ปรากฎว่าภาพนี้:

และอีกครั้งภาพก็เกือบจะเหมือนกับสมการ บาป = 0.5.อีกครั้งเราเริ่มต้นจากมุมในไตรมาสแรก x เท่ากับเท่าไหร่ถ้าไซน์ของมันคือ 1/3? ไม่มีปัญหา!

ดังนั้นชุดรากแรกก็พร้อม:

x 1 = อาร์คซิน 1/3 + 2π n, n ∈ Z

มาดูมุมที่สองกัน ในตัวอย่างที่มีค่าตารางเท่ากับ 0.5 จะเท่ากับ:

พาย - x

ดังนั้นที่นี่จะเหมือนกันทุกประการ! ต่างกันเพียง x, arcsin 1/3 แล้วไง!? คุณสามารถเขียนรากที่สองได้อย่างปลอดภัย:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์ แม้จะดูไม่ค่อยคุ้นเคย แต่ก็พอเข้าใจได้นะ)

นี่คือวิธีแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลม เส้นทางนี้ชัดเจนและเข้าใจได้ เขาเป็นคนที่บันทึกในสมการตรีโกณมิติด้วยการเลือกรากในช่วงเวลาที่กำหนดในความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ - โดยทั่วไปจะแก้ไขได้เกือบทุกครั้งในวงกลม กล่าวโดยย่อ ในงานใดๆ ที่ซับซ้อนกว่างานมาตรฐานเล็กน้อย

นำความรู้ไปปฏิบัติ?

แก้สมการตรีโกณมิติ:

ในตอนแรกจะง่ายกว่าในบทเรียนนี้โดยตรง

ตอนนี้มันยากขึ้น

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องคิดเกี่ยวกับวงกลม ส่วนตัว.)

และตอนนี้ไม่โอ้อวดภายนอก ... พวกเขายังถูกเรียกว่ากรณีพิเศษ

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องคิดในวงกลมที่มีคำตอบสองชุดและมีหนึ่งชุด ... และวิธีเขียนคำตอบหนึ่งชุดแทนที่จะเป็นสองชุด ใช่เพื่อไม่ให้รูทเดียวจากจำนวนอนันต์หายไป!)

ค่อนข้างง่าย):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องรู้ว่าอาร์คไซน์คืออะไร อาร์โคไซน์คืออะไร? อาร์คแทนเจนต์, อาร์คแทนเจนต์คืออะไร? คำจำกัดความที่ง่ายที่สุด แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำค่าตารางใดๆ ทั้งสิ้น!)

แน่นอน คำตอบอยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x2= π - arcsin0.3 + 2

ทุกอย่างไม่ได้ผล? มันเกิดขึ้น. อ่านบทเรียนอีกครั้ง เท่านั้น อย่างรอบคอบ(มีคำที่ล้าสมัย...) และตามลิงค์ ลิงค์หลักเกี่ยวกับวงกลม หากไม่มีตรีโกณมิติ - วิธีปิดตาข้ามถนน บางครั้งก็ได้ผล)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ 60-65 คะแนน งานทั้งหมด 1-13 ของโปรไฟล์ที่ใช้ในทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยนิยมไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี กลเม็ดเคล็ดลับในการแก้โจทย์, แผ่นโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

คู่มือและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 10 จาก 1C
เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานเชิงโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

เราจะเรียนอะไร:
1. สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

3. สองวิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
4. สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
5. ตัวอย่าง

สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

พวกเราได้ศึกษาอาร์กไซน์อาร์คโคไซน์อาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์แล้ว ทีนี้มาดูสมการตรีโกณมิติโดยทั่วไปกัน

สมการตรีโกณมิติ - สมการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราทำซ้ำรูปแบบการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

1) ถ้า |a|≤ 1 แล้วสมการ cos(x) = a มีคำตอบ:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) ถ้า |а|≤ 1 แล้วสมการ sin(x) = a มีคำตอบ:

3) ถ้า |a| > 1 แล้วสมการ sin(x) = a และ cos(x) = a ไม่มีคำตอบ 4) สมการ tg(x)=a มีคำตอบ: x=arctg(a)+ πk

5) สมการ ctg(x)=a มีคำตอบ: x=arcctg(a)+ πk

สำหรับทุกสูตร k เป็นจำนวนเต็ม

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังนี้ Т(kx+m)=a, T- ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ: ก) บาป(3x)= √3/2

วิธีการแก้:

A) แสดงว่า 3x=t จากนั้นเราจะเขียนสมการของเราใหม่ในรูปแบบ:

คำตอบของสมการนี้คือ: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn

จากตารางค่าที่เราได้รับ: t=((-1)^n)×π/3+ πn

กลับไปที่ตัวแปรของเรา: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

จากนั้น x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

คำตอบ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม (-1)^n - ลบหนึ่งยกกำลังของ n

ตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการตรีโกณมิติ

แก้สมการ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

วิธีการแก้:

A) คราวนี้เราจะไปที่การคำนวณรากของสมการทันที:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. จากนั้น x/5= πk => x=5πk

คำตอบ: x=5πk โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

B) เราเขียนในรูปแบบ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. เรารู้ว่า: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

คำตอบ: x=2π/9 + πk/3 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

แก้สมการ: cos(4x)= √2/2. และค้นหารากทั้งหมดในส่วนนั้น

วิธีการแก้:

ลองแก้สมการในรูปแบบทั่วไป: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ตอนนี้เรามาดูกันว่ารากใดที่ตกลงบนส่วนของเรา สำหรับ k สำหรับ k=0, x= π/16 เราอยู่ในส่วนที่กำหนด
ด้วย k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 พวกเขาตีอีกครั้ง
สำหรับ k=2, x= π/16+ π=17π/16 แต่ที่นี่เราไม่ได้ตี ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่ตีสำหรับ k มากเช่นกัน

คำตอบ: x= π/16, x= 9π/16

วิธีการแก้ปัญหาหลักสองวิธี

เราได้พิจารณาสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่ก็มีสมการที่ซับซ้อนกว่านั้นอยู่ ในการแก้ปัญหานั้นจะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่และวิธีการแยกตัวประกอบ มาดูตัวอย่างกัน

มาแก้สมการกัน:

วิธีการแก้:
ในการแก้สมการ เราใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งแสดงแทน: t=tg(x)

จากการแทนที่เราได้รับ: t 2 + 2t -1 = 0

หารากของสมการกำลังสอง: t=-1 และ t=1/3

จากนั้น tg(x)=-1 และ tg(x)=1/3 เราได้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ลองหารากของมันกัน

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

คำตอบ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ตัวอย่างของการแก้สมการ

แก้สมการ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

วิธีการแก้:

มาใช้เอกลักษณ์กันเถอะ: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

สมการของเรากลายเป็น: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

มาแนะนำการแทนที่ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

คำตอบของสมการกำลังสองคือราก: t=2 และ t=-1/2

จากนั้น cos(x)=2 และ cos(x)=-1/2

เพราะ โคไซน์ไม่สามารถรับค่ามากกว่าหนึ่งค่าได้ ดังนั้น cos(x)=2 จึงไม่มีราก

สำหรับ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

คำตอบ: x= ±2π/3 + 2πk

สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำนิยาม: สมการของรูปแบบ sin(x)+b cos(x) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีหนึ่ง

สมการของแบบฟอร์ม

สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

ในการแก้สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีหนึ่ง ให้หารด้วย cos(x): เป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยโคไซน์ถ้ามันเท่ากับศูนย์ ให้แน่ใจก่อนว่าไม่เป็นเช่นนั้น:
ให้ cos(x)=0 แล้ว asin(x)+0=0 => sin(x)=0 แต่ไซน์และโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน เราจึงได้ข้อขัดแย้ง เราจึงแบ่งได้อย่างปลอดภัย โดยศูนย์

แก้สมการ:
ตัวอย่าง: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

วิธีการแก้:

นำตัวประกอบร่วมออก: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

จากนั้นเราต้องแก้สมการสองสมการ:

cos(x)=0 และ cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 สำหรับ x= π/2 + πk;

พิจารณาสมการ cos(x)+sin(x)=0 หารสมการของเราด้วย cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

คำตอบ: x= π/2 + πk และ x= -π/4+πk

จะแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สองได้อย่างไร?
พวกปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เสมอ!

1. ดูว่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับเท่าใด ถ้า a \u003d 0 สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่อยู่ในรูปแบบก่อนหน้า สไลด์

2. ถ้า a≠0 คุณต้องหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง เราจะได้:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร t=tg(x) เราได้รับสมการ: