น ตัวอย่างที่ 2.3หารากของสมการ

x- tg (x)= 0. (2.18)

ขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหา (stage การแยกราก) ได้ดำเนินการในส่วน 2.1 (ตัวอย่าง 2.2) รากของสมการที่ต้องการอยู่บนเซ็กเมนต์ xО ซึ่งสามารถเห็นได้ในกราฟ (รูปที่ 2.9)

รูปที่ 2.9 ขั้นตอนการแยกราก

ขั้นตอนการปรับแต่งรากดำเนินการโดยใช้ Excel มาสาธิตสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง กระบวนการ แบ่งครึ่ง . รูปแบบการคำนวณสำหรับ วิธีการสัมผัสและ คอร์ดแตกต่างจากแผนภาพด้านล่างเล็กน้อย

ลำดับ:

1. เตรียมตารางดังรูป 2.10 แล้วใส่ค่า เอ, ข, ε ลงในเซลล์ В3, В4, В5 ตามลำดับ

2. กรอกบรรทัดแรกของตาราง:

D4=0 จำนวนการวนซ้ำ;

E4=B3, F4=B4, เพื่อคำนวณ ฉ(ก): G4=E4-TAN(E4),

ในทำนองเดียวกันในเซลล์ H4, I4, J4 เราจะแนะนำสูตรการคำนวณตามลำดับ ฉ(ข), x น=(a+b)/2 และ ฉ(x น);

ในเซลล์ K4 ให้คำนวณความยาวของเซ็กเมนต์ [ เอ, ข]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1 เพื่อสร้างจำนวนการวนซ้ำ

4. ในเซลล์ E5, F5 เราแนะนำสูตรสำหรับสร้างส่วนท้ายของส่วนที่ซ้อนกันตามอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในส่วน 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. เลือกเซลล์ G4:K4 และคัดลอกลงไปที่ หนึ่งบรรทัด.

6. เลือกเซลล์ D5:K5 และคัดลอกลงไปที่ส่วนท้ายของตาราง

รูปที่ 2.10. แบบแผนสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยวิธีทวิภาค

เราแบ่งส่วนต่อไปจนกว่าความยาวของส่วนหลังจะน้อยกว่า ε ที่กำหนดเช่น จนกว่าจะเข้าเงื่อนไข

เพื่อให้เห็นภาพการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ เราใช้ การจัดรูปแบบตามเงื่อนไข

การจัดรูปแบบตามเงื่อนไข -นี่คือการจัดรูปแบบของเซลล์ที่เลือกตามเกณฑ์บางประการ อันเป็นผลมาจากการที่เซลล์จะถูกระบายสี เนื้อหาที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ (ในกรณีของเราคือ )

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ให้เลือกเซลล์ของคอลัมน์สุดท้าย (K) ของรูปแบบการคำนวณ (รูปที่ 2.10) ซึ่งจะมีการตั้งค่าเกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ

ดำเนินการคำสั่ง

Home\Styles\ การจัดรูปแบบตามเงื่อนไข;

รูปที่ 2.11 หน้าต่างที่ การจัดรูปแบบคำ

ในหน้าต่างที่ปรากฏขึ้น (รูปที่ 2.11) เลือกบรรทัด:

กฎการเลือกเซลล์ \ น้อยกว่า;

ที่ด้านซ้ายของกล่องโต้ตอบที่ปรากฏขึ้น น้อย (รูปที่ 2.12) ตั้งค่าที่จะใช้เป็นเกณฑ์ (ในตัวอย่างของเราคือที่อยู่ของเซลล์ B5 ซึ่งเป็นที่ตั้งของค่า ε ).

รูปที่ 2.12 หน้าต่างโต้ตอบ น้อย

ที่ด้านขวาของหน้าต่าง น้อย เลือกสีที่จะใช้ในการระบายสีเซลล์ที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ และกดปุ่ม ตกลง.

จากการจัดรูปแบบนี้ เซลล์ของคอลัมน์ K , ที่มีค่า น้อยกว่า 0.1,ย้อมสี, รูปที่ 2.10.

ดังนั้น สำหรับค่าประมาณของรากของสมการ x- tg (x)= 0 ด้วยความแม่นยำ e=0.1 ยอมรับการทำซ้ำครั้งที่ 3 เช่น x*" 4.46875. สำหรับ e=0.01 - x * » 4.49609(ซ้ำครั้งที่ 6)

วิธีการแก้ ไม่ สมการเชิงเส้นโดยใช้ส่วนเสริม "เลือกพารามิเตอร์"

การแก้สมการไม่เชิงเส้นสามารถนำมาใช้ในแอปพลิเคชัน MS เก่งโดยใช้ ส่วนเสริมการเลือกพารามิเตอร์ ที่มีการนำกระบวนการวนซ้ำมาใช้

ให้เราหารากของสมการข้างต้น (2.18)

สำหรับการประมาณค่าศูนย์ของคำตอบของสมการดังที่เห็นได้จากรูปที่ 2.13 เราสามารถหา X 0 =4 หรือ X 0 =4,5.

ลำดับ

1. เตรียมโต๊ะ ดังรูป 2.13 สู่เซลล์ A2 ใส่ค่า x 0 (ตัวอย่างเช่น X 0 =4) จากฟังก์ชัน ODZ y=f(x). นี่จะเป็นการประมาณเบื้องต้นสำหรับกระบวนการวนซ้ำที่แอปพลิเคชันนำไปใช้ การเลือกพารามิเตอร์

2. เซลล์ ใน2 เป็น เซลล์กลายพันธุ์ ในขณะที่ส่วนเสริมกำลังทำงาน ลองใส่ค่านี้เข้าไป x 0 และในเซลล์ C3 คำนวณค่าของฟังก์ชัน ฉ(xn) สำหรับการประมาณนี้

3. เลือกคำสั่ง:

Data \ การทำงานกับข้อมูล \ การวิเคราะห์ "What-if" \ การเลือกพารามิเตอร์

4. ในหน้าต่าง "การเลือกพารามิเตอร์" ให้ทำการตั้งค่าดังแสดงในรูปที่ 2.13 แล้วกดปุ่ม OK

รูปที่ 2.13 การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้ Parameter Lookup Add-In

หากทุกอย่างถูกต้องแล้วในเซลล์ B2 (รูปที่ 2.13) จะได้รับค่าประมาณของรูทของสมการของเรา

ดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้อีกครั้งด้วยค่าประมาณเริ่มต้นที่ต่างออกไป เช่น x 0 \u003d 4.5.

คำถามทดสอบ

1. สมการใดเรียกว่าไม่เชิงเส้น คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นคืออะไร

2. การตีความทางเรขาคณิตของคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น

3. วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้น (แบบตรงและแบบวนซ้ำ) อะไรคือความแตกต่าง

4. สองขั้นตอน การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสมการไม่เชิงเส้น อะไรคืองานในระยะแรกและระยะที่สอง

5. ขั้นตอนแรกของการแก้สมการไม่เชิงเส้น วิธีการเลือกค่าประมาณศูนย์ (การวนซ้ำเป็นศูนย์)

6. การสร้างลำดับการวนซ้ำ แนวคิดของการบรรจบกันของลำดับการวนซ้ำ การหาค่าโดยประมาณของรูทของสมการไม่เชิงเส้นที่มีความแม่นยำ ε

7. การตีความทางเรขาคณิตของวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น: การหารครึ่ง, นิวตัน (แทนเจนต์), คอร์ด

บทที่ 3

จะได้สมการ F(x)=0 มัน - แบบฟอร์มทั่วไปสมการไม่เชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง ตามกฎแล้วอัลกอริทึมสำหรับการค้นหารูทประกอบด้วยสองขั้นตอน:

1. การหาค่าประมาณของรูทหรือเซ็กเมนต์บนแกน x ที่บรรจุอยู่

2. การปรับแต่งค่าโดยประมาณของรูทให้มีความแม่นยำ

ในขั้นตอนแรก ใช้วิธีขั้นตอนของการแยกราก ในขั้นตอนที่สอง - หนึ่งในวิธีการปรับแต่ง (วิธีแบ่งครึ่ง วิธีของนิวตัน วิธีคอร์ด หรือวิธีวนซ้ำอย่างง่าย)

ขั้นตอนวิธีการ

ตัวอย่างเช่น ให้พิจารณาสมการ x 2 - 11x + 30 = 0 ช่วงการค้นหา ขั้นตอน h = 0.3 มาแก้โดยใช้ ความสามารถพิเศษแพ็คเกจเอ็กเซล ลำดับของการกระทำ (ดูรูปที่ 1):

1. จัดรูปแบบส่วนหัวในบรรทัดที่ 1 " วิธีการเชิงตัวเลขแก้สมการไม่เชิงเส้น”

2. ออกแบบหัวเรื่องในบรรทัดที่ 3 "วิธีขั้นตอน"

3. ในเซลล์ A6 และ C6 และ B6 ให้จดข้อมูลในงาน

4. ในเซลล์ B9 และ C9 เขียนชื่อเรื่องของแถว - ตามลำดับ x และ F(x)

5. ในเซลล์ B10 และ B11 ให้ป้อนสองค่าแรกของอาร์กิวเมนต์ - 3 และ 3.3

6. เลือกเซลล์ B5-B6 แล้วลากชุดข้อมูลไปที่ค่าสุดท้าย (3.3) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้จัดแนวความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้อง

7. ป้อนสูตรในเซลล์ C10"=B10*B10-11*B10+30".

8. คัดลอกสูตรไปยังส่วนที่เหลือของแถวโดยใช้การลากแล้วปล่อย ในช่วง C10:C18 จะได้ผลลัพธ์จำนวนหนึ่งของการคำนวณฟังก์ชัน F(x) จะเห็นได้ว่าฟังก์ชั่นเปลี่ยนเครื่องหมายครั้งเดียว รูทของสมการจะอยู่ในช่วงเวลา

9. เพื่อสร้างกราฟการพึ่งพา F(x) ใช้ Insert - Diagram (ประเภท "Spot" เครื่องหมายเชื่อมต่อด้วยเส้นโค้งเรียบ)

วิธีผ่าครึ่ง

ตัวอย่างเช่น ให้พิจารณาสมการ x 2 - 11x + 30 = 0 ช่วงการค้นหา โดยมีความแม่นยำ ε=0.01 มาแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติพิเศษของแพ็คเกจ Excel

1. ป้อนในเซลล์ B21 หัวข้อ "วิธีการแบ่งส่วนครึ่ง"

2. ป้อนข้อมูลงานในเซลล์ A23, C23, E23

3. ในพื้นที่ B25:H25 ให้วาดส่วนหัวของตาราง (แถว B - เส้นขอบด้านซ้ายของส่วน "a" แถว C - ตรงกลางของส่วน "x" แถว D - เส้นขอบด้านขวาของส่วน "b ", แถว E - ค่าของฟังก์ชันที่ขอบด้านซ้ายของกลุ่ม "F( a)", ชุด F - ค่าของฟังก์ชันที่อยู่ตรงกลางของส่วน "F(x)", ชุด G - ผลิตภัณฑ์ "F(a) * F(x)", series H - ตรวจสอบความสำเร็จของความแม่นยำ "ê F(x) .<е».

4. ป้อนค่าเริ่มต้นของส่วนท้ายของกลุ่ม: ในเซลล์ B26 "4.8" ในเซลล์ D26 "5.1"

5. ป้อนสูตร "=(B26+D26)/2" ในเซลล์ C26

6. ป้อนสูตรในเซลล์ E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. ป้อนสูตรในเซลล์ F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. ป้อนสูตร "=E26*F26" ในเซลล์ G26

9. ป้อนสูตรในเซลล์ H26 "=IF(ABS(F26)<0.01; ² รูท² )"

1 0. เลือกพื้นที่ B21:H21 แล้วลากในแนวตั้งจนกระทั่งข้อความ “root” ปรากฏในแถว H (เซลล์ H29, H30)

วิธีสัมผัส (นิวตัน)

1. ป้อนในเซลล์ J23 หัวข้อ "วิธีแทนเจนต์ (นิวตัน)"

2. ป้อนข้อความ “e=” ในเซลล์ L23 และค่าของความแม่นยำ “0.00001” ในเซลล์ M23

3. ในพื้นที่ K25:N25 ให้วาดส่วนหัวของตาราง (แถว K - ค่าของอาร์กิวเมนต์ "x" แถว L - ค่าของฟังก์ชัน "F (x)" แถว M - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน " F¢ (x)", ชุด N - ตรวจสอบความสำเร็จของความแม่นยำ "ê F(x)ê<е».

4. ในเซลล์ K26 ให้ป้อนตัวแรก ค่าเริ่มต้นการโต้แย้ง"-2".

5. ป้อนสูตร "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" ลงในเซลล์ L26

6. ป้อนสูตร "=3*K26*K26+4*K26+3" ลงในเซลล์ M26

7. ป้อนสูตรในเซลล์ N26 "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. ป้อนสูตรในเซลล์ K27"=K26-L26/M26"

9. เลือกพื้นที่ L27:N27 แล้วลากในแนวตั้งจนกว่าข้อความ "root" จะปรากฏในแถว N (เซลล์ N30)

วิธีคอร์ด

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาสมการ x 3 +2x 2 +3x+5= 0 ความแม่นยำ ε=0.01 มาแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติพิเศษของแพ็คเกจ Excel

1. ป้อนหัวข้อ "วิธีคอร์ด" ในเซลล์ B32

2. ป้อนข้อความ "e=" ในเซลล์ C34 และค่า "0.00001" ในเซลล์ E34

3. ในพื้นที่ B36:D36 วาดส่วนหัวของตาราง (แถว B - ค่าของอาร์กิวเมนต์ "x" แถว C - ค่าของฟังก์ชัน "F (x)" แถว D - ตรวจสอบความสำเร็จของความถูกต้อง "ê F(x) .<е».

4. ในเซลล์ B37 และ B38 ให้ป้อนค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์"-2" และ. "-หนึ่ง"

5. ป้อนสูตรในเซลล์ C37 "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5"

6. ป้อนสูตรในเซลล์ D37"=ถ้า(ABS(B38-B37))<$D$34;"корень")».

7. ป้อนสูตรในเซลล์ B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)"

8. เลือกพื้นที่ C39:D39 แล้วลากในแนวตั้งจนกว่าข้อความ "root" จะปรากฏในแถว D (เซลล์ D43)

วิธีการทำซ้ำอย่างง่าย

ตัวอย่างเช่น ให้พิจารณาสมการ x 2 - 11x + 30 = 0 ช่วงการค้นหาคือ โดยมีความแม่นยำ e = 0.05

1. ป้อนในเซลล์ K32 หัวข้อ "วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย"

2. ป้อนข้อความ “e =” ในเซลล์ N34 และค่าความแม่นยำ “0.05” ในเซลล์ O34

3. เลือกฟังก์ชัน j (x) ที่ตรงตามเงื่อนไขการบรรจบกัน ในกรณีของเรา ฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชัน S(x)=(x*x+30)/11

4. ในพื้นที่ K38:N38 ให้วาดส่วนหัวของตาราง (แถว K - ค่าของอาร์กิวเมนต์ "x" แถว L - ค่าของฟังก์ชัน "F (x)" แถว M - ค่าของฟังก์ชันเสริม " S (x)", แถว N - ตรวจสอบความสำเร็จของความแม่นยำ "ê F(x) .<е».

5. ในเซลล์ K39 ให้ป้อนค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์ "4.8"

6. ป้อนสูตรในเซลล์ L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. ป้อนสูตร "=(K39*K39+30)/11" ลงในเซลล์ M39

8. ป้อนในเซลล์ N39 สูตร "=IF(ABS(L39))<$O$34;"корень")».

9. ป้อนสูตร "=M39" ในเซลล์ K40

1 0. คัดลอกเซลล์ L39:N39 ไปยังเซลล์ L40:N40

สิบเอ็ด. เลือกพื้นที่ L40:N40 แล้วลากในแนวตั้งจนกว่าข้อความ "root" จะปรากฏในแถว N (เซลล์ N53)

รูปที่ 1 การแก้สมการไม่เชิงเส้นใน Excel

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย

งบประมาณของรัฐบาลกลาง

สถาบันการศึกษา

การศึกษาระดับมืออาชีพที่สูงขึ้น

«ซามารา สเตท

มหาวิทยาลัยสถาปัตยกรรมศาสตร์และการก่อสร้าง»

ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์และวิศวกรรมคอมพิวเตอร์

เก่งและMathcad

คำแนะนำวิธีการ

สำหรับงานห้องปฏิบัติการ

ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์"

แก้สมการไม่เชิงเส้นในExcel และMathcad: วิธี. พระราชกฤษฎีกา / คอมพ์ , - Samara: SGASU, 20p.

คำแนะนำแบบมีระเบียบได้รับการพัฒนาตามมาตรฐานการศึกษาของรัฐสำหรับการศึกษาสาขาวิชา "คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ"

พิจารณาการนำวิธีการเชิงตัวเลขมาใช้ในการแก้สมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการใน Excel และ MathCad มีการมอบหมายงานที่หลากหลายสำหรับประสิทธิภาพส่วนบุคคลและคำถามสำหรับการควบคุมตนเองและการทดสอบ

ออกแบบมาสำหรับนักเรียนพิเศษ 230201 - "ระบบสารสนเทศและเทคโนโลยี" ของการศึกษาทุกรูปแบบ

ดุษฎีบัณฑิต น.

Ó , การรวบรวม, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 การแยกราก
1.5 วิธีคอร์ด
1.6 วิธีของนิวตัน (แทนเจนต์)
1.7 วิธีผสมผสาน
1.8 วิธีการวนซ้ำ
2.2 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นโดยวิธีของนิวตัน
3 งานสำหรับห้องปฏิบัติการ
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 1 การแยกรากและเครื่องมือมาตรฐานสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 2 การเปรียบเทียบวิธีการปรับแต่งรากของสมการไม่เชิงเส้น
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 3 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น
ห้องปฏิบัติการหมายเลข 4 วิธีการเขียนโปรแกรมสำหรับการแก้สมการและระบบไม่เชิงเส้น
4 คำถามและแบบทดสอบการควบคุมตนเอง

1 การแก้สมการไม่เชิงเส้น

1.1 ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับการแก้สมการไม่เชิงเส้น

ตามกฎแล้วสมการไม่เชิงเส้นของรูปแบบทั่วไป f(x)=0วิเคราะห์ไม่ได้ก็แก้ไม่ได้ สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติ ก็เพียงพอที่จะหาค่าประมาณ xซึ่งในแง่หนึ่งนั้นใกล้เคียงกับคำตอบของสมการที่แน่นอน khtochn.

ในกรณีส่วนใหญ่ การค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณเกี่ยวข้องกับสองขั้นตอน บน ระยะแรก แยกรูตคือค้นหาส่วนดังกล่าวซึ่งมีหนึ่งรูตเท่านั้น บน ขั้นตอนที่สอง ชี้แจงรูทบนหนึ่งในเซ็กเมนต์เหล่านี้ เช่น ค้นหาค่าด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ความแม่นยำที่ได้รับสามารถประเมินได้ทั้ง "โดยฟังก์ชัน" (ที่จุดที่พบ x, ฟังก์ชั่นใกล้เคียงกับ 0 เพียงพอเช่นเงื่อนไข | ฉ(x)|≤อีฉ, ที่ไหน อีฉความแม่นยำที่ต้องการตามแกน y) หรือ "โดยอาร์กิวเมนต์" (พบส่วนเล็ก ๆ เพียงพอ [ กข]ซึ่งภายในมีรูทคือ | ข–ก|≤อีx, ที่ไหน อีxต้องการความแม่นยำบนแกน x)

1.2 การแยกราก

การแยกรากสามารถทำได้โดยการรวมกัน กราฟิกและ วิเคราะห์การวิจัยฟังก์ชัน การศึกษาดังกล่าวมีพื้นฐานอยู่บนทฤษฎีบทไวเออร์สตราส ซึ่งต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์ [ กข]ฟังก์ชั่น ฉ(x) และตัวเลขใดๆ yซึ่งตรงตามเงื่อนไข ฉ(ก) ≤y≤ฉ(ข), มีจุดในส่วนนี้ xโดยฟังก์ชันจะเท่ากับ y. ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง การหาเซกเมนต์ที่จุดสิ้นสุดของฟังก์ชันนั้นก็เพียงพอแล้ว และคุณสามารถมั่นใจได้ว่าเซกเมนต์นี้มีรากของสมการ f(x)=0.

สำหรับวิธีการปรับแต่งหลายวิธี ขอแนะนำให้ส่วนที่พบในขั้นตอนแรกมีเพียงรากเดียวของสมการ เงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจหากฟังก์ชันในช่วงเวลาเป็นแบบโมโนโทนิก สามารถตรวจสอบความซ้ำซากจำเจได้โดยกราฟของฟังก์ชันหรือโดยเครื่องหมายของอนุพันธ์

ตัวอย่างหาจำนวนเต็ม ทั้งหมดรากของสมการไม่เชิงเส้น y(x)=x3-10x+7=0 a) โดยการสร้างตารางและ b) โดยการสร้างกราฟ ค้นหารากของสมการในส่วนที่เลือกโดยใช้ตัวเลือก "การเลือกพารามิเตอร์" และ "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา"

วิธีการแก้มาสร้างตารางใน Excel ที่มีอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชันและสร้างมันขึ้นมา พล็อตกระจาย . รูปที่ 1 เป็นภาพรวมของโซลูชัน

กราฟแสดงให้เห็นว่าสมการมีรากสามรากที่เป็นของกลุ่ม [-4, -3] และ ส่วนเหล่านี้สามารถระบุได้ด้วยการสังเกตการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณของฟังก์ชันในตาราง ตามกราฟที่สร้างขึ้น เราสามารถสรุปได้ว่าในส่วนที่ระบุฟังก์ชัน ฉ(x) เป็นเสียงเดียวและดังนั้นแต่ละอันจึงมีเพียงหนึ่งรูท

การวิเคราะห์เดียวกันสามารถทำได้ในแพ็คเกจ Mathcad เมื่อต้องการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะพิมพ์คำจำกัดความของฟังก์ชัน ฉ(x) โดยใช้ตัวดำเนินการมอบหมาย (:=) และแบบแผนธรรมชาติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันมาตรฐาน ตั้งค่าลูปเพื่อเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ เช่น แล้วแสดงตารางค่าฟังก์ชัน (อยู่ในบรรทัดเดียวกัน ด้วยคำสั่ง x= ฉ(x)= ) และกราฟ สามารถระบุไซเคิลได้ เช่น ด้วยคำสั่ง x:=-5,-4.5…5 . ขั้นตอนของวงจรเกิดขึ้นจากการตั้งค่าเริ่มต้นและค่าที่ตามมาของตัวแปร และก่อนค่าสุดท้ายของตัวแปร เครื่องหมายอัฒภาคจะถูกวาง ซึ่งจะแสดงบนหน้าจอเป็นจุดไข่ปลา

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

รูปที่ 1 - ตารางและกราฟสำหรับแยกรากของสมการไม่เชิงเส้น

1.3 การปรับแต่งรูทโดยใช้เครื่องมือ Excel และ Mathcad มาตรฐาน

ในวิธีการปรับแต่งรากทั้งหมด จำเป็นต้องตั้งค่าการประมาณเริ่มต้น ซึ่งจากนั้นจะได้รับการขัดเกลา หากสมการมีหลายราก จะพบตัวใดตัวหนึ่งขึ้นอยู่กับค่าประมาณเริ่มต้นที่เลือก ด้วยการประมาณค่าเริ่มต้นที่เลือกไม่สำเร็จ อาจไม่พบวิธีแก้ปัญหา หากเลือกเซกเมนต์ที่มีรูทเดียวของสมการแล้ว จุดใดๆ ของเซ็กเมนต์นี้สามารถใช้เป็นค่าประมาณเบื้องต้นได้ อันเป็นผลมาจากขั้นตอนแรกของการคำนวณ

ใน Excel เพื่อปรับแต่งค่าของราก คุณสามารถใช้ตัวเลือก "การเลือกพารามิเตอร์" และ "ค้นหาโซลูชัน" ตัวอย่างของการออกแบบโซลูชันแสดงในรูปที่ 2 และ 3

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

รูปที่ 3 - ผลลัพธ์ของการใช้วิธีการแก้สมการในเก่ง

ใน Mathcad เพื่อปรับแต่งรากของสมการ คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน ราก(….) หรือ บล็อกการตัดสินใจ. ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชัน root(…) แสดงในรูปที่ 4 และบล็อกการตัดสินใจในรูปที่ 5 โปรดทราบว่าในบล็อกการตัดสินใจ (หลังส่วนหัวของบล็อก ที่ให้ไว้) ระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของสมการควรเป็น เครื่องหมายเท่ากับตัวหนา(ข้อมูลประจำตัว) ซึ่งสามารถรับได้โดยการเลือกจากจานเครื่องมือที่เกี่ยวข้อง หรือโดยการกดปุ่มพร้อมกัน Ctrlและ = .

243" height="31">

รูปที่ 5 - การแก้สมการโดยใช้บล็อกการแก้ในMathcad

อย่างที่คุณเห็น เครื่องมือมาตรฐานแต่ละอย่างจะค้นหาคำตอบของสมการด้วยความแม่นยำที่แน่นอน ความแม่นยำนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้ในแพ็คเกจและการตั้งค่าของแพ็คเกจในระดับหนึ่ง การควบคุมความแม่นยำของผลลัพธ์ที่นี่ค่อนข้างยาก และมักจะเป็นไปไม่ได้

ในเวลาเดียวกัน มันง่ายมากที่จะสร้างตารางของคุณเองหรือเขียนโปรแกรมที่ใช้วิธีการปรับแต่งรูทอย่างใดอย่างหนึ่ง คุณสามารถใช้เกณฑ์ความแม่นยำในการคำนวณที่ผู้ใช้ระบุได้ที่นี่ ในขณะเดียวกัน ความเข้าใจในกระบวนการคำนวณก็ทำได้สำเร็จโดยไม่ต้องอาศัยหลักการของ Mitrofanushka: "มีคนขับ เขาจะพาคุณไป"

ด้านล่างนี้คือวิธีการทั่วไปบางส่วน สังเกตจุดที่ชัดเจน: สำหรับคนอื่น ๆ เงื่อนไขที่เท่าเทียมกัน วิธีนั้นความละเอียดของรากจะมีประสิทธิภาพมากขึ้น โดยจะพบผลลัพธ์ที่มีข้อผิดพลาดเช่นเดียวกันกับ เล็กกว่าจำนวนการประเมินฟังก์ชัน เอฟ(x)(สิ่งนี้ยังบรรลุความแม่นยำสูงสุดที่ เบอร์เดียวกันการคำนวณฟังก์ชัน)

1.4 วิธีแบ่งสองส่วน

ในวิธีนี้ ในแต่ละขั้นตอน เซ็กเมนต์จะแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นจึงเปรียบเทียบสัญญาณของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของทั้งสองส่วน (เช่น โดยเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์ของค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้าย) กำหนดตัวที่มีสารละลาย (เครื่องหมาย ของฟังก์ชันที่ปลายต้องต่างกัน) และ ทำให้ส่วนแคบลงถ่ายโอนขอบเขตไปยังจุดที่พบ ( เอหรือ ข). เงื่อนไขการสิ้นสุดคือความเล็กของส่วนที่มีราก ("ความแม่นยำใน x”) หรือความใกล้ชิดกับ 0 ของค่าฟังก์ชันตรงกลางเซกเมนต์ (“ความแม่นยำใน y”) คำตอบของสมการคือจุดกึ่งกลางของส่วนที่พบในขั้นตอนสุดท้าย

ตัวอย่าง. สร้างตารางเพื่อปรับแต่งรากของสมการ x3 –10 x+7=0 ในส่วน [-4, -3] โดยแบ่งส่วนครึ่ง กำหนดจำนวนขั้นตอนที่ต้องดำเนินการโดยแบ่งส่วนออกเป็นครึ่งหนึ่งและความแม่นยำที่ทำได้ในกรณีนี้ เอ็กซ์,เพื่อให้ได้ความแม่นยำใน yเท่ากับ 0.1; 0.01; 0.001.

วิธีการแก้คุณสามารถใช้สเปรดชีตเพื่อแก้ปัญหาได้ โปรเซสเซอร์ Excelซึ่งทำให้เส้นสามารถดำเนินการต่อได้โดยอัตโนมัติ ในขั้นตอนแรกเราป้อนค่าของปลายด้านซ้ายและขวาของเซ็กเมนต์เริ่มต้นที่เลือกลงในตารางและคำนวณค่าตรงกลางของเซ็กเมนต์ กับ=(เอ+ข)/2 แล้วเราก็แนะนำสูตรการคำนวณฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ (ฉ(เอ)) และยืด (คัดลอก) เพื่อคำนวณ ฉ(ค) และ ฉ(ข). ในคอลัมน์สุดท้ายเราคำนวณนิพจน์ ( ข-เอ)/2 กำหนดระดับความแม่นยำในการคำนวณ สูตรที่พิมพ์ทั้งหมดสามารถคัดลอกไปยังแถวที่สองของตารางได้

ในขั้นตอนที่สอง คุณต้องทำให้กระบวนการค้นหาครึ่งหนึ่งของกลุ่มที่มีรูทเป็นไปโดยอัตโนมัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ฟังก์ชันตรรกะ IF ( เมนู: InsertFunctionBoolean). สำหรับขอบซ้ายใหม่ของเซ็กเมนต์ เราตรวจสอบความจริงของเงื่อนไข ฉ(เอ)*ฉ(ค)>0 หากเป็นจริง เราจะนำตัวเลขมาเป็นค่าใหม่ของปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ ค เอ, ค เอ. ในทำนองเดียวกัน สำหรับขอบขวาใหม่ของส่วน เราตรวจสอบความจริงของเงื่อนไข ฉ(ค)* ฉ(ข)>0 หากเป็นจริง เราจะนำตัวเลขมาเป็นค่าใหม่ของส่วนขวาสุดของเซ็กเมนต์ ค(เพราะเงื่อนไขนี้แสดงว่ารูทบนช่วง [ ค, ข] ไม่) มิฉะนั้น ให้ทิ้งค่าไว้ ข.

บรรทัดที่สองของตารางสามารถต่อได้ (คัดลอก) สำหรับจำนวนบรรทัดถัดไปที่ต้องการ

กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดลงเมื่อค่าถัดไปในคอลัมน์สุดท้ายน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ เช่น ในกรณีนี้ ค่าตรงกลางของเซ็กเมนต์ในการประมาณค่าสุดท้ายจะเป็นค่าโดยประมาณของรูทที่ต้องการของสมการไม่เชิงเส้น รูปที่ 6 แสดงภาพรวมของโซลูชัน ในการสร้างกระบวนการที่คล้ายกันใน Mathcad คุณสามารถใช้แบบฟอร์มที่คล้ายกับที่แสดงในรูปที่ 7 จำนวนขั้นตอน N สามารถเปลี่ยนแปลงได้จนกว่าจะได้ความถูกต้องตามที่ต้องการในตารางผลลัพธ์ ตารางจะยาวขึ้นหรือสั้นลงโดยอัตโนมัติ

ดังนั้น หนึ่งในสามรากของสมการไม่เชิงเส้น x 3 – 10x+ 7=0 พบได้อย่างแม่นยำ e=0.0001 is x= - 3.46686. อย่างที่เราเห็น มันเป็นของกลุ่ม [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

รูปที่ 7 - การปรับแต่งรากโดยแบ่งส่วนออกเป็นครึ่งในMathcad

1.5 วิธีคอร์ด

ในวิธีนี้ ฟังก์ชันไม่เชิงเส้น เอฟ(x)ในช่วงเวลาที่แยกจากกัน [ ก, ข] ถูกแทนที่ด้วยเส้นตรง - สมการของคอร์ด นั่นคือ เส้นตรงที่เชื่อมจุดขอบเขตของกราฟบนเซ็กเมนต์ เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีการคือความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันในส่วนเริ่มต้น ซึ่งทำให้มั่นใจถึงความเป็นเอกลักษณ์ของรูทในส่วนนี้ การคำนวณโดยวิธีคอร์ดจะคล้ายกับการคำนวณโดยวิธีการแบ่งเซกเมนต์เป็นครึ่งๆ แต่ตอนนี้ในแต่ละขั้นตอน จุดใหม่ xภายในส่วน [ เอ, ข] คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(x) > 0 ) หรือขอบเขตด้านขวา: x0 = ข(ถ้า f (b) f "(x)> 0). การคำนวณค่าประมาณใหม่ในขั้นตอนต่อไป ผม+1 ผลิตโดยสูตร:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

รูปที่ 8 - การปรับแต่งรูทโดยวิธีแทนเจนต์ใน Excel

การคำนวณใน Mathcad ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ในเวลาเดียวกัน การมีอยู่ของตัวดำเนินการในแพ็คเกจนี้จะช่วยบรรเทาได้อย่างมาก ซึ่งจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยอัตโนมัติ

องค์ประกอบที่ใช้เวลานานที่สุดในการคำนวณของนิวตันคือการคำนวณอนุพันธ์ในแต่ละขั้นตอน

สามารถใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ วิธีแบบง่ายของนิวตันซึ่งคำนวณอนุพันธ์เพียงครั้งเดียว - ที่จุดเริ่มต้น ในกรณีนี้จะใช้สูตรดัดแปลง

.

โดยธรรมชาติแล้ววิธีการแบบง่ายนั้นต้องการตามกฎ มากกว่าขั้นตอน

หากการคำนวณอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับปัญหาร้ายแรง (เช่น หากฟังก์ชันไม่ได้กำหนดโดยนิพจน์เชิงวิเคราะห์ แต่ให้โดยโปรแกรมที่คำนวณค่าของฟังก์ชัน) จะใช้ฟังก์ชันนี้ วิธีการแก้ไขนิวตัน เรียกว่า วิธีซีแคนต์. ในที่นี้ อนุพันธ์จะคำนวณโดยประมาณจากค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุดติดต่อกันนั่นคือสูตรที่ใช้

.

ในวิธีซีแคนต์จำเป็นต้องระบุไม่ใช่หนึ่ง แต่มีจุดเริ่มต้นสองจุด - x0 และ x1 . Dot x1มักจะได้รับโดยกะ x0ไปยังขอบเขตอื่นของเซ็กเมนต์ในปริมาณเล็กน้อย เช่น 0.01

1.7 วิธีผสมผสาน

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าถ้าในส่วนเริ่มต้นของฟังก์ชัน เอฟ(x)สัญญาณของอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นวิธีคอร์ดและนิวตันเข้าใกล้รากจากจุดต่างๆ วิธีการแบบผสมผสานจะใช้อัลกอริธึมทั้งสองพร้อมกันเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในแต่ละขั้นตอน ในกรณีนี้ ช่วงเวลาที่มีรูทจะลดลงทั้งสองด้าน ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขอื่นในการยุติการค้นหา การค้นหาสามารถหยุดได้ทันทีที่ช่วงกลางของช่วงที่ได้รับในขั้นตอนต่อไป ค่าของฟังก์ชันจะกลายเป็นโมดูโลน้อยกว่าข้อผิดพลาดที่กำหนดไว้ อีฉ.

หากเป็นไปตามกฎที่กำหนดไว้ข้างต้น วิธีการของนิวตันถูกนำไปใช้กับขอบเขตด้านขวาของเซ็กเมนต์ จะใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับการคำนวณ:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">

ถ้าใช้วิธีของนิวตันกับขอบด้านซ้าย - ในสูตรก่อนหน้า การกำหนดจะกลับกัน เอและ ข.

1.8 วิธีการวนซ้ำ

ให้ใช้สมการเดิม f(x)=0แปลงเป็นรูปแบบ: x=y(X). จากนั้นเลือกค่าเริ่มต้น x0และแทนที่มันทางด้านซ้ายของสมการ, ได้, in กรณีทั่วไป, x1 = y(x0)¹ x0¹ y(x1), เพราะว่า x0โดยพลการและไม่ใช่รากของสมการ มูลค่าที่ได้รับ x1ถือว่าเป็นการประมาณการอื่นของราก เขาถูกใส่ร้ายอีกครั้งใน ด้านขวาสมการและรับ ค่าต่อไป x2=y(x1)). การคำนวณจะดำเนินต่อไปตามสูตร xi+1=y(ซี). ลำดับผลลัพธ์คือ: x0, x1, x2, x3 x4,...มาบรรจบกันที่รากภายใต้เงื่อนไขบางประการ khtochn.

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกันภายใต้เงื่อนไข
|y’ (x) | < 1 на [เอ, ข].

มีอยู่ วิธีต่างๆการแปลงสมการ เอฟ(x)= 0 ถึงใจดี y(X) = Xและในบางกรณี บางส่วนจะนำไปสู่การบรรจบกัน และบางกรณีจะนำไปสู่กระบวนการคำนวณที่แตกต่างกัน

วิธีหนึ่งคือการใช้สูตร

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

ที่ไหน เอ็ม= สูงสุด | y’ (x)| บน [ เอ, ข].

2 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

2.1 ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

ระบบ นสมการไม่เชิงเส้นด้วย นไม่รู้จัก x1, x2, ..., xnถูกเขียนในรูปแบบ:

ที่ไหน F1, F2,…, fnเป็นหน้าที่ของตัวแปรอิสระซึ่งมีตัวแปรไม่เชิงเส้น

ในกรณีของระบบสมการเชิงเส้น คำตอบของระบบจะเป็นเวกเตอร์ X* ซึ่งเมื่อถูกแทนที่ จะแปลงสมการทั้งหมดของระบบเป็นข้อมูลประจำตัวพร้อมๆ กัน

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

ค่าเริ่มต้น x0 และ y0 กำหนดแบบกราฟิก เพื่อค้นหาแต่ละค่าประมาณต่อเนื่องกัน (xi+1 , ยี่+1 ) ใช้เวกเตอร์ของค่าฟังก์ชันและเมทริกซ์ของค่าของอนุพันธ์ตัวแรกที่คำนวณที่จุดก่อนหน้า (xi, ยี่) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

การคำนวณค่าประมาณใหม่ในขั้นตอน ฉัน+1ใช้สูตรเมทริกซ์

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">

สูตรข้างต้นเขียนได้ง่ายเป็นพิเศษใน Mathcad ซึ่งมีตัวดำเนินการสำหรับคำนวณอนุพันธ์และการดำเนินการด้วยเมทริกซ์ อย่างไรก็ตาม เมื่อ การใช้งานที่ถูกต้อง การดำเนินการเมทริกซ์สูตรเหล่านี้เขียนได้ง่ายใน Excel จริงที่นี่จำเป็นต้องได้รับสูตรสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ล่วงหน้า Mathcad ยังสามารถใช้ในการคำนวณอนุพันธ์เชิงวิเคราะห์ได้อีกด้วย

2.3 การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นโดยวิธีวนซ้ำ

ในการนำวิธีการเหล่านี้ไปใช้ ระบบสมการเดิมจะต้องเป็น การแปลงพีชคณิตแสดงตัวแปรแต่ละตัวอย่างชัดเจนในแง่ของตัวแปรอื่น สำหรับกรณีของสมการสองสมการที่มีสองนิรนาม ระบบใหม่จะมีลักษณะ

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">

ถ้าหนึ่งในโซลูชั่นของระบบและค่าเริ่มต้น x0 และ y0 อยู่ในพื้นที่ ดีกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน: เอ ≤ x ≤ ข, ค ≤ y ≤ dแล้วคำนวณโดยวิธี ทำซ้ำง่าย ๆมาบรรจบกันเมื่อดำเนินการในภูมิภาค ดีอัตราส่วน:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

ที่ วิธีการวนซ้ำ Seidelสำหรับการคำนวณแต่ละครั้งจะใช้ค่าที่แม่นยำที่สุดสำหรับตัวแปรแต่ละตัวแล้ว สำหรับกรณีที่พิจารณาของตัวแปรสองตัว ตรรกะดังกล่าวนำไปสู่สูตร

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

เครื่องมือ (ตัวเลือก)

การประมาณเริ่มต้น

รากx

เอฟ(x)

3. จัดเรียงผลลัพธ์ตามความถูกต้องของโซลูชัน

ให้หาค่าประมาณของรากของสมการหาได้ ฉ(x) = 0, แสดงว่า x น. สูตรคำนวณ วิธีการของนิวตันเพื่อหาค่าประมาณต่อไป x น+1 สามารถรับได้สองวิธี

วิธีแรกแสดงออก ความหมายทางเรขาคณิตวิธีการของนิวตันและประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าแทนที่จะเป็นจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) กับแกน วัว, เรากำลังหาจุดตัดกับแกน วัวแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด ( x น, ฉ(x น)) ดังแสดงในรูป 2.6. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ

ข้าว. 2.7. วิธีของนิวตัน (แทนเจนต์)

ที่จุดตัดของแทนเจนต์กับแกน วัวตัวแปร y= 0. เท่ากับ yศูนย์ เราแสดง xและรับสูตร วิธีสัมผัส:

(2.6)

วิธีที่สอง ขยายฟังก์ชัน ฉ(x) ลงในซีรีส์เทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด x = x น:

เรา จำกัด ตัวเองให้เป็นเชิงเส้นด้วยความเคารพ ( x-xn) เงื่อนไข เราเท่ากับศูนย์ ฉ(x) และแสดงความไม่รู้จักจากสมการผลลัพธ์ xและแสดงมันผ่าน x น+1 เราได้รับสูตร (2.6)

ให้เรานำเสนอเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการบรรจบกันของวิธีการของนิวตัน

ทฤษฎีบท 2.3ให้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ในช่วงเวลา:

1) ฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องกัน

2) อนุพันธ์และแตกต่างจากศูนย์และคงค่าคงที่บางอย่างไว้

3) (ฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายบนเซ็กเมนต์)

จากนั้นมีส่วนที่มีรากที่ต้องการของสมการ ซึ่งลำดับการวนซ้ำมาบรรจบกัน หากเป็นค่าประมาณศูนย์ เราเลือกจุดขอบเขตที่เครื่องหมายของฟังก์ชันตรงกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง นั่นคือ จากนั้นลำดับการวนซ้ำจะมาบรรจบกันแบบโมโนโทน (รูปที่ 2.8)

การพิสูจน์. เนื่องจากเป็นแบบต่อเนื่อง สัญญาณการเปลี่ยนแปลง และเป็นแบบโมโนโทนิก ดังนั้นเป็นช่วงการแยกรูท มาแทนรากที่ต้องการโดย . พิจารณาฟังก์ชั่น และหาอนุพันธ์ของมัน ดังนั้น ต่อเนื่องบน หายไปที่จุด เนื่องจากฟังก์ชันหายไป ณ จุดนี้ ดังนั้นจึงมีส่วนดังกล่าว () ที่ . หากเราเอาส่วนของส่วนนั้นมาโดยที่ ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้น แต่จากนั้น ลำดับจะเป็นแบบโมโนโทนิก

ข้าว. 2.8. เงื่อนไขที่เพียงพอการบรรจบกันของวิธีการของนิวตัน

ความคิดเห็นโปรดทราบว่าวิธีคอร์ดเพิ่งมาพร้อมกับ ฝั่งตรงข้ามและทั้งสองวิธีนี้ สามารถเติมเต็มซึ่งกันและกันและผสมผสานกันได้ วิธีคอร์ดแทนเจนต์.

ตัวอย่าง 2.7ปรับแต่งเป็น 0.000001 โดยวิธีของนิวตัน รากของสมการ
บาป 5 x+ x 2 – 1 = 0. ใช้เป็นค่าเริ่มต้น x 0 = – 0,7.

วิธีการแก้.มาหาอนุพันธ์กันเถอะ .

ที่ โปรแกรม Excelแนะนำ สูตรการคำนวณ:

1) มาแนะนำสูตรและสัญกรณ์ในเซลล์ของช่วง อา 1:ดี 3 และคัดลอกลงด้วยเครื่องหมายเติมของเซลล์ด้วยสูตร: บี 3 - ก่อน บี 5,
ค 2 - ก่อน ค 5, ดี 2 - ก่อน ดี 5;

ตาราง 2.9

	อา	บี	ค	ดี
	k	x	เอฟ(x)	ฉ"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

ผลการคำนวณแสดงในตารางที่ 2.10 ได้รับค่ารูท - 0.726631609 ≈ - 0.726632 โดยมีข้อผิดพลาด 0.000001

ตาราง 2.10

	อา	บี	ค	ดี	อา
	k	x	เอฟ(x)	ฉ"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1.00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1.45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

มาสร้างฟังก์ชันใน Excel . กันเถอะเพื่อแก้สมการจากตัวอย่างที่ 2.7 โดยวิธีของนิวตัน

"ต่างจากวิธีคอร์ด ในวิธีแทนเจนต์ แทนที่จะเป็นคอร์ด จะวาดแทนเจนต์ของเส้นโค้งในแต่ละขั้นตอน y=F(x)ที่ x=x นและค้นหาจุดตัดของแทนเจนต์กับแกน abscissa:

สูตรสำหรับการประมาณ (n+1) คือ:

ถ้า F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, มิฉะนั้น x 0 =b.

กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะพบว่า:

ตัวอย่าง:

ให้งานต่อไปนี้ได้รับ:ปรับแต่งรากของสมการ cos(2x)+x-5=0วิธีแทนเจนต์ที่มีความแม่นยำ 0.00001

เริ่มแรก คุณต้องตัดสินใจว่า x0 มีค่าเท่ากับ a หรือ b คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

หาอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 จะมีลักษณะดังนี้: f1(x)=-2sin(2x)+1

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 มันจะมีลักษณะดังนี้: f2(x)=-4cos(2x)

ผลที่ได้คือ:

เนื่องจาก x0=b คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

กรอกข้อมูลในเซลล์ดังนี้ (ให้ความสนใจกับชื่อและตัวเลขของคอลัมน์เมื่อกรอก - ต้องเหมือนกับในรูป):

ในเซลล์ A6 ให้ป้อนสูตร =D5

เลือกช่วงของเซลล์ B5:E5 และเติมช่วงของเซลล์ B6:E6 โดยการลาก

เลือกช่วงของเซลล์ A6:E5 และเติมช่วงของเซลล์ที่อยู่ด้านล่างโดยการลากจนกระทั่งได้ผลลัพธ์ในเซลล์หนึ่งของคอลัมน์ E (ช่วงของเซลล์ A6:E9)

เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

4. วิธีการผสมคอร์ดและแทนเจนต์

เพื่อให้ได้ข้อผิดพลาดที่แม่นยำที่สุด จำเป็นต้องใช้วิธีการของคอร์ดและแทนเจนต์พร้อมกัน "ตามสูตรคอร์ดพบว่า x n+1และตามสูตรแทนเจนต์ - z n+1. กระบวนการค้นหารูทหยุดโดยประมาณทันที:

เป็นรูทโดยประมาณ ใช้ค่าเท่ากับ (11) :"[2 ]

ให้จำเป็นต้องปรับแต่งรากของสมการ cos(2x)+x-5=0 โดยวิธีรวมที่มีความแม่นยำ 0.00001

ในการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยใช้ Excel คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

เนื่องจากในวิธีการรวมกันนั้น จำเป็นต้องใช้หนึ่งในสูตรของคอร์ดและสูตรของแทนเจนต์ เพื่อความง่าย ควรใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

สำหรับสูตรของคอร์ดแสดงว่า:

ตัวแปร c จะเล่นบทบาทของ a หรือ b ขึ้นอยู่กับสถานการณ์

สัญกรณ์ที่เหลือจะคล้ายกับที่กำหนดในสูตรของคอร์ด โดยคำนึงถึงตัวแปรที่แนะนำข้างต้นเท่านั้น

สำหรับสูตรแทนเจนต์แสดงว่า:

การกำหนดที่เหลือจะคล้ายกับที่กำหนดในสูตรแทนเจนต์ โดยคำนึงถึงตัวแปรที่แนะนำข้างต้นเท่านั้น

หาอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 จะมีลักษณะดังนี้: f1(x)=-2sin(2x)+1

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x)=cos(2x)+x-5 มันจะมีลักษณะดังนี้: f2(x)=-4cos(2x)

กรอกข้อมูลในเซลล์ดังนี้ (ให้ความสนใจกับชื่อและตัวเลขของคอลัมน์เมื่อกรอก - ต้องเหมือนกับในรูป):

ผลที่ได้คือ:

ในเซลล์ G1 ให้ป้อน e และใน G2 ให้ป้อนตัวเลข 0.00001

ในเซลล์ H1 ให้ป้อน c และใน H2 ให้ป้อนตัวเลข 6 เนื่องจาก c=b (ดูเซลล์ F2)

ในเซลล์ I1 ให้ป้อน f(c) และใน I2 ให้ป้อนสูตร =COS(2*H2)+H2-5

กรอกข้อมูลในเซลล์ตามลำดับดังนี้ (ให้ความสนใจกับชื่อและตัวเลขของคอลัมน์เมื่อกรอกข้อมูล - จะต้องเหมือนกับในรูป):

ในเซลล์ A6 ให้ป้อนสูตร =E5

ในเซลล์ F6 ให้ป้อนสูตร =I5

เลือกช่วงของเซลล์ B5:E5 และใช้เครื่องหมายป้อนอัตโนมัติเพื่อเติมช่วงของเซลล์ B6:E6

เลือกช่วงของเซลล์ G5:K5 และเติมช่วงของเซลล์ G6:K6 ด้วยเครื่องหมายป้อนอัตโนมัติ

เลือกช่วงของเซลล์ A6:K6 และเติมเซลล์ด้านล่างทั้งหมดโดยการลากจนกว่าจะได้รับคำตอบในเซลล์หนึ่งของคอลัมน์ K (ช่วงของเซลล์ A6:K9)

เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

คำตอบ: รากของสมการ cos(2x)+x-5=0 คือ 5.32976