แก้ระบบสมการด้วยเครื่องคำนวณวิธีเมทริกซ์ วิธีเมทริกซ์ออนไลน์

ระบบสมการเชิงเส้น m กับ n ไม่ทราบค่าเรียกว่าระบบของรูป

ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (ผม=1,…,ม; ข=1,…,น) เป็นตัวเลขที่รู้จักและ x 1 ,…,x น- ไม่ทราบ ในสัญกรณ์ของสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก ผมหมายถึงจำนวนของสมการและวินาที เจคือจำนวนที่ไม่รู้จักซึ่งสัมประสิทธิ์นี้อยู่

ค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนามจะถูกเขียนในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะเรียกว่า เมทริกซ์ระบบ.

ตัวเลขทางด้านขวาของสมการ b 1 ,…,b mเรียกว่า สมาชิกฟรี

รวม นตัวเลข ค 1 ,…,ค นเรียกว่า การตัดสินใจของระบบนี้ หากสมการของระบบแต่ละสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันหลังจากแทนตัวเลขลงในสมการนั้นแล้ว ค 1 ,…,ค นแทนสิ่งที่ไม่รู้ที่สอดคล้องกัน x 1 ,…,x น.

งานของเราคือหาแนวทางแก้ไขให้กับระบบ ในกรณีนี้ อาจมีสามสถานการณ์:

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเรียกว่า ข้อต่อ. มิฉะนั้น กล่าวคือ ถ้าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็เรียกว่า เข้ากันไม่ได้.

พิจารณาหาแนวทางแก้ไขระบบ

วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นสั้น ๆ ได้ ให้ระบบ 3 สมการที่มีสามไม่ทราบค่า:

พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี

มาหาสินค้ากัน

เหล่านั้น. เป็นผลคูณของผลลัพธ์ เราได้ทางซ้ายมือของสมการของระบบนี้ จากนั้น ใช้นิยามของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น

หรือสั้นกว่า อา∙X=B.

ที่นี่ เมทริกซ์ อาและ บีเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ Xไม่ทราบ เธอต้องหาให้เจอเพราะ องค์ประกอบของมันคือการแก้ปัญหาของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.

ให้ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | อา| ≠ 0 จากนั้นสมการเมทริกซ์จะได้รับการแก้ไขดังนี้ คูณทั้งสองข้างของสมการทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ A-1, ผกผันของเมทริกซ์ อา: . เพราะว่า A -1 A = Eและ อี∙X=Xจากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในรูปแบบ X = A -1 B .

สังเกตว่า เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันหาได้เฉพาะเมทริกซ์กำลังสอง เมทริกซ์เมทริกซ์จึงสามารถแก้ระบบที่ จำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบค่า. อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์เมทริกซ์ของระบบยังเป็นไปได้ในกรณีที่จำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนนิรนาม จากนั้นเมทริกซ์ อาไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาคำตอบของระบบในรูปแบบ X = A -1 B.

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

กฎของแครมเมอร์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ค่า:

ดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของระบบ นั่นคือ ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า

เรียกว่า ตัวกำหนดระบบ.

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์อีกสามตัวดังนี้: เราแทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับในดีเทอร์มีแนนต์ D ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

จากนั้นเราสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท (กฎของแครมเมอร์)หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 ระบบที่พิจารณาจะมีคำตอบเดียวเท่านั้น และ

การพิสูจน์. ดังนั้น ให้พิจารณาระบบสมการ 3 ตัวที่มีสามไม่ทราบค่า คูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิต A 11ธาตุ 11, สมการที่ 2 - on A21และที่ 3 - on เอ 31:

มาบวกสมการเหล่านี้กัน:

พิจารณาวงเล็บแต่ละอันและด้านขวาของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแง่ขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า และ .

ในที่สุดก็เห็นได้ง่าย ๆ ว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน: .

เพราะเหตุนี้, .

ความเท่าเทียมกันและได้รับมาในทำนองเดียวกันซึ่งการยืนยันของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ดังนั้นเราจึงทราบว่าหากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบเป็น Δ ≠ 0 ระบบจะมีโซลูชันเฉพาะและในทางกลับกัน หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีคำตอบ กล่าวคือ เข้ากันไม่ได้

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

วิธีเกาส์

วิธีการที่พิจารณาก่อนหน้านี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาเฉพาะระบบที่มีจำนวนสมการตรงกับจำนวนไม่ทราบค่า และดีเทอร์มีแนนต์ของระบบต้องแตกต่างจากศูนย์ วิธีเกาส์เซียนมีความเป็นสากลมากกว่าและเหมาะสำหรับระบบที่มีสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกจากสมการของระบบอย่างต่อเนื่อง

พิจารณาระบบสมการสามสมการอีกครั้งโดยมีค่าไม่ทราบสามตัว:

.

เราปล่อยให้สมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง และจากข้อที่ 2 และ 3 เราไม่รวมเงื่อนไขที่มี x 1. ในการทำเช่นนี้ เราหารสมการที่สองด้วย เอ 21 และคูณด้วย - เอ 11 แล้วบวกด้วยสมการที่ 1 ในทำนองเดียวกัน เราแบ่งสมการที่สามออกเป็น เอ 31 และคูณด้วย - เอ 11 แล้วเพิ่มลงในอันแรก เป็นผลให้ระบบเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

จากสมการที่แล้ว เราตัดพจน์ที่มี x2. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สามด้วย คูณด้วย แล้วบวกลงในสมการที่สอง เราจะมีระบบสมการดังนี้

ดังนั้นจากสมการสุดท้ายจึงหาได้ง่าย x 3แล้วจากสมการที่ 2 x2และในที่สุดจากวันที่ 1 - x 1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน สมการสามารถแลกเปลี่ยนกันได้หากจำเป็น

บ่อยครั้ง แทนที่จะเขียนระบบสมการใหม่ พวกเขาจำกัดตัวเองให้เขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

แล้วนำไปเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือแนวทแยงโดยใช้การแปลงเบื้องต้น

ถึง การแปลงร่างเบื้องต้นเมทริกซ์รวมถึงการแปลงต่อไปนี้:

1. การเปลี่ยนแปลงของแถวหรือคอลัมน์
2. การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
3. เพิ่มไปยังบรรทัดอื่น

ตัวอย่าง:แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

นี่คือแนวคิดที่สรุปการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ดำเนินการด้วยเมทริกซ์ เมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ - ตารางองค์ประกอบ เกี่ยวกับตารางที่ มเส้นและ นคอลัมน์ พวกเขาบอกว่าเมทริกซ์นี้มีมิติ มบน น.

มุมมองทั่วไปของเมทริกซ์:

สำหรับ เมทริกซ์โซลูชั่นคุณต้องเข้าใจว่าเมทริกซ์คืออะไรและรู้พารามิเตอร์หลักของมัน องค์ประกอบหลักของเมทริกซ์:

• เส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยองค์ประกอบ 11, 22 ..... หนึ่งนาที.
• เส้นทแยงมุมด้านข้างประกอบด้วยองค์ประกอบ 1n ,а 2n-1 …..а m1.

เมทริกซ์ประเภทหลัก:

• สี่เหลี่ยมจัตุรัส - เมทริกซ์ดังกล่าวโดยที่จำนวนแถว = จำนวนคอลัมน์ ( ม=น).
• ศูนย์ - โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ = 0
• Transposed Matrix - เมทริกซ์ ที่ซึ่งได้มาจากเมทริกซ์เดิม อาโดยแทนที่แถวด้วยคอลัมน์
• เดี่ยว - องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลัก = 1 ส่วนอื่น ๆ ทั้งหมด = 0
• เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิม จะทำให้เกิดเมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์สามารถสมมาตรตามเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุม นั่นคือถ้า a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... m-1n = m-1จากนั้นเมทริกซ์จะสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก เฉพาะเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นที่สามารถสมมาตรได้

วิธีการแก้เมทริกซ์

เกือบทั้งหมด วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์คือการหาตัวกำหนดของมัน นลำดับและส่วนใหญ่ค่อนข้างยุ่งยาก ในการหาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่ 2 และ 3 มีวิธีอื่นที่สมเหตุสมผลกว่า

การหาตัวกำหนดลำดับที่ 2

ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ แต่ลำดับที่ 2 มีความจำเป็นต้องลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก:

วิธีการหาดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่ 3

ด้านล่างนี้เป็นกฎสำหรับการหาดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ 3

ลดความซับซ้อนของกฎสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งใน วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์, สามารถแสดงได้ดังนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่งผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในดีเทอร์มีแนนต์แรกที่เชื่อมต่อด้วยเส้นจะมีเครื่องหมาย "+" นอกจากนี้ สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่ 2 - ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องจะมีเครื่องหมาย "-" นั่นคือตามรูปแบบต่อไปนี้:

ที่ การแก้เมทริกซ์ด้วยกฎซาร์รัสทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์จะเพิ่ม 2 คอลัมน์แรกและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องบนเส้นทแยงมุมหลักและบนเส้นทแยงมุมที่ขนานไปกับเครื่องหมาย "+" และผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและเส้นทแยงมุมที่ขนานกันโดยมีเครื่องหมาย "-":

การขยายแถวหรือคอลัมน์ของดีเทอร์มีแนนต์เมื่อแก้เมทริกซ์

ดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวดีเทอร์มีแนนต์และส่วนประกอบเชิงพีชคณิตของพวกมัน มักจะเลือกแถว/คอลัมน์ที่มีศูนย์ แถวหรือคอลัมน์ที่มีการสลายตัวจะแสดงด้วยลูกศร

การลดดีเทอร์มีแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมเมื่อแก้เมทริกซ์

ที่ การแก้เมทริกซ์โดยการลดดีเทอร์มีแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม มันทำงานดังนี้: ใช้การแปลงที่ง่ายที่สุดบนแถวหรือคอลัมน์ ดีเทอร์มีแนนต์จะกลายเป็นสามเหลี่ยม จากนั้นค่าของมัน ตามคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ จะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบ ที่ยืนอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก

ทฤษฎีบทลาปลาซสำหรับการแก้เมทริกซ์

เมื่อแก้เมทริกซ์โดยใช้ทฤษฎีบทของ Laplace จำเป็นต้องรู้ทฤษฎีบทโดยตรง ทฤษฎีบทของลาปลาซ: Let Δ เป็นตัวกำหนด น-คำสั่งที่ เราเลือกใด ๆ kแถว (หรือคอลัมน์) ที่ให้ไว้ k≤ น - 1. ในกรณีนี้ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของผู้เยาว์ทั้งหมด kคำสั่งที่มีอยู่ในรายการที่เลือก kแถว (คอลัมน์) การเพิ่มพีชคณิตจะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์

สารละลายเมทริกซ์ผกผัน

ลำดับของการกระทำสำหรับ โซลูชันเมทริกซ์ผกผัน:

1. ค้นหาว่าเมทริกซ์ที่กำหนดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ ในกรณีของคำตอบเชิงลบ จะเห็นได้ชัดว่าไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับคำตอบนั้น
2. เราคำนวณการเพิ่มพีชคณิต
3. เราสร้างเมทริกซ์ที่เป็นพันธมิตร (ซึ่งกันและกันแนบมา) ค.
4. เราเขียนเมทริกซ์ผกผันจากการบวกเชิงพีชคณิต: องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน คหารด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ตั้งต้น เมทริกซ์ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการเมื่อเทียบกับเมทริกซ์ที่ให้มา
5. เราตรวจสอบงานที่ทำเสร็จแล้ว เราคูณเมทริกซ์ของค่าตั้งต้นและเมทริกซ์ผลลัพธ์ ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

โซลูชันของระบบเมทริกซ์

สำหรับ โซลูชั่นของระบบเมทริกซ์ที่ใช้กันมากที่สุดคือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์เป็นวิธีการมาตรฐานสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) และประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรต่างๆ ถูกกำจัดไปตามลำดับ กล่าวคือ ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ระบบของสมการจะถูกนำไปยังระบบที่เทียบเท่ากันของ รูปสามเหลี่ยมและจากมันตามลำดับโดยเริ่มจากสุดท้าย (ตามตัวเลข) ค้นหาแต่ละองค์ประกอบของระบบ

วิธีเกาส์เป็นเครื่องมือที่หลากหลายและดีที่สุดสำหรับการค้นหาโซลูชันเมทริกซ์ หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนนับไม่ถ้วนหรือระบบเข้ากันไม่ได้ ก็ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของแครมเมอร์และเมทริกซ์

วิธีเกาส์ยังบอกเป็นนัยโดยตรง (การลดเมทริกซ์ขยายให้อยู่ในรูปแบบขั้น เช่น ได้ศูนย์ใต้เส้นทแยงหลัก) และย้อนกลับ (ได้ศูนย์เหนือเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ขยาย) เคลื่อนที่ การเคลื่อนไปข้างหน้าเป็นวิธีเกาส์ การย้อนกลับเป็นวิธีเกาส์-จอร์แดน วิธีเกาส์-จอร์แดนแตกต่างจากวิธีเกาส์เฉพาะในลำดับการกำจัดตัวแปรเท่านั้น

สมการโดยทั่วไป สมการพีชคณิตเชิงเส้นและระบบ ตลอดจนวิธีการแก้สมการ ใช้พื้นที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ ทั้งทางทฤษฎีและทางประยุกต์

เนื่องจากปัญหาทางกายภาพ เศรษฐกิจ เทคนิค และแม้กระทั่งการสอนส่วนใหญ่สามารถอธิบายและแก้ไขได้โดยใช้สมการและระบบต่างๆ ที่หลากหลาย เมื่อเร็ว ๆ นี้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับความนิยมเป็นพิเศษในหมู่นักวิจัย นักวิทยาศาสตร์ และผู้ปฏิบัติงานในเกือบทุกสาขาวิชา ซึ่งอธิบายได้จากข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือวิธีการอื่นๆ ที่เป็นที่รู้จักและพิสูจน์แล้วสำหรับการศึกษาวัตถุที่มีลักษณะหลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เรียกว่าซับซ้อน ระบบต่างๆ มีคำจำกัดความของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มากมายที่นักวิทยาศาสตร์มอบให้ในช่วงเวลาต่างๆ กัน แต่ในความเห็นของเรา สิ่งที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือข้อความต่อไปนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่แสดงโดยสมการ ดังนั้นความสามารถในการเขียนและแก้สมการและระบบของพวกมันจึงเป็นลักษณะสำคัญของผู้เชี่ยวชาญสมัยใหม่

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีที่ใช้บ่อยที่สุดคือ: Cramer, Jordan-Gauss และวิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ - วิธีการแก้ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

หากเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จัก xi ลงในเมทริกซ์ A รวบรวมค่าที่ไม่รู้จักลงในเวกเตอร์คอลัมน์ X และคำศัพท์อิสระลงในเวกเตอร์คอลัมน์ B จากนั้นระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเขียนได้ รูปแบบของสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ A X = B ซึ่งมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้ X = อา-หนึ่ง · บี, ที่ไหน อา-1 - เมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์มีดังนี้

ให้ระบบสมการเชิงเส้นแทนด้วย นไม่ทราบ:

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน = บี, ที่ไหน อา- เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ X- คอลัมน์ของสมาชิกอิสระและวิธีแก้ปัญหาของระบบ ตามลำดับ:

คูณสมการเมทริกซ์นี้ทางซ้ายด้วย อา-1 - เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ อา: อา -1 (ขวาน) = อา -1 บี

เพราะ อา -1 อา = อี, เราได้รับ X= เอ -1 บี. ทางด้านขวามือของสมการนี้จะให้คอลัมน์ของคำตอบของระบบเดิม เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้ของวิธีนี้ (เช่นเดียวกับการมีอยู่ทั่วไปของการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบค่า) คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ อา. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ อา: det อา≠ 0.

สำหรับระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ บี = 0 , แน่นอนกฎตรงกันข้าม: ระบบ ขวาน = 0 มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (นั่นคือไม่ใช่ศูนย์) เฉพาะในกรณีที่ det อา= 0 การเชื่อมต่อระหว่างการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นเรียกว่าทางเลือกของ Fredholm

ตัวอย่าง การแก้ปัญหาของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น.

ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนามของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นไม่เท่ากับศูนย์

ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณการเติมเต็มเชิงพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนาม พวกมันจะต้องหาเมทริกซ์ผกผัน

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การก่อสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งกีฬา มนุษย์ใช้สมการมาตั้งแต่สมัยโบราณและนับแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น วิธีเมทริกซ์ช่วยให้ค้นหาคำตอบของ SLAE (ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น) ของความซับซ้อนใดๆ กระบวนการทั้งหมดในการแก้ปัญหา SLAE แบ่งออกเป็นสองขั้นตอนหลัก:

การกำหนดเมทริกซ์ผกผันตามเมทริกซ์หลัก:

การคูณของเมทริกซ์ผกผันที่เป็นผลลัพธ์โดยเวกเตอร์คอลัมน์ของโซลูชัน

สมมติว่าเราได้รับ SLAE ในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

มาเริ่มแก้สมการนี้โดยเขียนเมทริกซ์ของระบบ:

เมทริกซ์ด้านขวา:

ลองนิยามเมทริกซ์ผกผันกัน คุณสามารถหาเมทริกซ์ของลำดับที่ 2 ได้ดังนี้: 1 - เมทริกซ์เองจะต้องไม่เป็นเอกพจน์ 2 - องค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักจะสลับกัน และสำหรับองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ เราทำการเปลี่ยนแปลงสัญญาณไปในทางตรงข้าม หลังจากนั้นเราแบ่งองค์ประกอบที่ได้รับด้วยดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ เราได้รับ:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ เริ่มต้น(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะถือว่าเท่ากันหากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่ากัน ด้วยเหตุนี้ เรามีคำตอบสำหรับโซลูชัน SLAE ดังต่อไปนี้:

ฉันจะแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเมทริกซ์ออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้ระบบสมการบนเว็บไซต์ของเรา โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเราได้ และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ มีการแก้ปัญหาที่ละเอียดมาก ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ให้เลือกจำนวนตัวแปร เลือกวิธีการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน จากนั้นป้อนข้อมูลในเซลล์และคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดหรือไม่

ปิด ล้าง

คำแนะนำการป้อนข้อมูลตัวเลขจะถูกป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ตัวเลขทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนต้องพิมพ์เป็น a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

โดยคำนึงถึงคำจำกัดความของเมทริกซ์ผกผัน เรามี อา −1 อา=อี, ที่ไหน อีคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้น (4) สามารถเขียนได้ดังนี้:

ดังนั้น ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (1) (หรือ (2)) ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณค่าผกผันกับ อาเมทริกซ์ต่อเวกเตอร์ข้อจำกัด ข.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีเมทริกซ์:

หาค่าผกผันของเมทริกซ์ A โดยวิธีจอร์แดน-เกาส์กัน ทางด้านขวาของเมทริกซ์ อาเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์:

ไม่รวมองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 ของเมทริกซ์ที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลัก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแถว 2,3 กับแถวที่ 1 คูณด้วย -1/3, -1/3 ตามลำดับ:

ไม่รวมองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลัก เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่ 3 โดยที่บรรทัดที่ 2 คูณด้วย -24/51:

ไม่รวมองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลัก เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เพิ่มแถวที่ 1 กับแถวที่ 2 คูณด้วย -3/17:

แยกด้านขวาของเมทริกซ์ เมทริกซ์ผลลัพธ์คือผกผันของ อา :

รูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ขวาน=b, ที่ไหน

คำนวณการเติมเต็มเชิงพีชคณิตทั้งหมดของเมทริกซ์ อา:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

เมทริกซ์ผกผันคำนวณจากนิพจน์ต่อไปนี้