แก้สมการ y 0 วิธีการแก้สมการต่างๆ
ให้เราวิเคราะห์คำตอบสองประเภทสำหรับระบบสมการ:
1. การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการทดแทน
2. การแก้ระบบโดยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม
เพื่อที่จะแก้ระบบสมการ โดยวิธีทดแทนคุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมง่ายๆ:
1. ด่วน. จากสมการใด ๆ เราแสดงตัวแปรหนึ่งตัว
2. ทดแทน. เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นสมการอื่นแทนตัวแปรที่แสดง
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ
เพื่อตัดสินใจ ระบบโดยวิธีบวก (ลบ) ทีละเทอมจำเป็นต้อง:
1. เลือกตัวแปรที่เราจะสร้างสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน
2. เราบวกหรือลบสมการส่งผลให้ได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว
3. แก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์ เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ
วิธีแก้ของระบบคือจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน
ให้เราพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่าง #1:
ลองแก้ด้วยวิธีทดแทนกัน
การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน2x+5y=1 (1 สมการ)
x-10y=3 (สมการที่ 2)
1. ด่วน
จะเห็นได้ว่าในสมการที่สอง มีตัวแปร x ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งหมายความว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงตัวแปร x จากสมการที่สอง
x=3+10y
2.หลังจากที่เราเขียนออกมาแล้ว เราก็แทนที่ 3+10y ลงในสมการแรกแทนตัวแปร x
2(3+10y)+5y=1
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว
2(3+10y)+5y=1 (เปิดวงเล็บ)
6+20y+5y=1
25ป=1-6
25ป=-5 |: (25)
ย=-5:25
ย=-0.2
วิธีแก้ของระบบสมการคือจุดตัดกันของกราฟ ดังนั้นเราจึงต้องหา x และ y เนื่องจากจุดตัดกันประกอบด้วย x และ y ลองหา x ในจุดแรกที่เราเขียนแทนค่า y ตรงนั้น .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนจุดในตอนแรกที่เราเขียนตัวแปร x และอันดับที่สองเขียนตัวแปร y
คำตอบ: (1; -0.2)
ตัวอย่าง #2:
ลองแก้โดยใช้วิธีบวก (ลบ) ทีละเทอม
การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก3x-2y=1 (1 สมการ)
2x-3y=-10 (สมการที่ 2)
1. เราเลือกตัวแปร สมมติว่าเราเลือก x ในสมการแรก ตัวแปร x มีค่าสัมประสิทธิ์ 3 ในสมการที่สอง - 2 เราจำเป็นต้องทำให้สัมประสิทธิ์เท่ากัน ด้วยเหตุนี้ เราจึงมีสิทธิ์คูณสมการหรือหารด้วยตัวเลขใดก็ได้ เราคูณสมการแรกด้วย 2 และสมการที่สองด้วย 3 และได้สัมประสิทธิ์รวมเป็น 6
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. ลบสมการที่สองออกจากสมการแรกเพื่อกำจัดตัวแปร x
__6x-4y=2
5y=32 | :5
ย=6.4
3. หา x เราแทนค่า y ที่พบลงในสมการใดๆ สมมติว่าเป็นสมการแรก
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
จุดตัดจะเป็น x=4.6; ย=6.4
คำตอบ: (4.6; 6.4)
อยากเตรียมตัวสอบฟรีมั้ย? ติวเตอร์ออนไลน์ ฟรี- ไม่มีเรื่องตลก
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0
ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาหนึ่งรูทโดยใช้วิธีการเลือก โดยปกติแล้วจะเป็นตัวหารของคำอิสระ ในกรณีนี้คือตัวหารของตัวเลข 6 เป็น ±1, ±2, ±3, ±6
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ หมายเลข 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ จำนวน -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม
2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ หมายเลข 2 คือรากของพหุนาม
เราพบรากของพหุนามแล้ว 1 รายการ รากของพหุนามคือ 2, ซึ่งหมายความว่าพหุนามดั้งเดิมจะต้องหารด้วย x - 2- เพื่อที่จะทำการหารพหุนาม เราใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:
4 | -19 | 19 | 6 | |
2 |
ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมจะแสดงอยู่ที่บรรทัดบนสุด รากที่เราพบจะอยู่ในเซลล์แรกของแถวที่สอง 2. บรรทัดที่สองประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นผลจากการหาร พวกเขาจะถูกนับดังนี้:
|
ในเซลล์ที่สองของแถวที่สองเราเขียนตัวเลข 1, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่เกี่ยวข้องของแถวแรก | ||||||||||
|
2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
|
2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
|
2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
ตัวเลขสุดท้ายคือเศษที่เหลือของการหาร ถ้ามันเท่ากับ 0 แสดงว่าเราคำนวณทุกอย่างถูกต้องแล้ว
ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบพหุนามดั้งเดิม:
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)
และตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหารากของสมการกำลังสอง
4x 2 - 11x - 3 = 0
ง = ข 2 - 4เอซี = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ สมการมี 2 ราก
เราได้พบรากของสมการทั้งหมดแล้ว
I. สมการเชิงเส้น
ครั้งที่สอง สมการกำลังสอง
ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ +ค= 0, ก≠ 0 มิฉะนั้นสมการจะกลายเป็นเส้นตรง
รากของสมการกำลังสองสามารถคำนวณได้หลายวิธี เช่น
เราเก่งในการแก้สมการกำลังสอง สมการที่มีระดับสูงกว่าหลายสมการสามารถลดลงเป็นสมการกำลังสองได้
ที่สาม
สมการลดลงเป็นกำลังสอง ขวานการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร: ก) สมการกำลังสอง บีเอ็กซ์ 2n+ ค = 0,ก ≠ 0,n+ ≥ 2
n
2) สมการสมมาตรของระดับ 3 – สมการของรูปแบบ
ขวาน 4 + บีเอ็กซ์ 3 + 3) สมการสมมาตรของระดับ 4 – สมการของรูปแบบ 2 +ซีเอ็กซ์ + บีเอ็กซ์ = 0, บีเอ็กซ์ก ≠ 0 สัมประสิทธิ์ ก ก ค ก ก
ขวาน 4 + บีเอ็กซ์ 3 + 3) สมการสมมาตรของระดับ 4 – สมการของรูปแบบ 2 –ซีเอ็กซ์ + บีเอ็กซ์ = 0, บีเอ็กซ์หรือ ≠ 0, สัมประสิทธิ์
เป็น ข ค (–b) ก เพราะ x เพราะ= 0 ไม่ใช่รากของสมการ จึงเป็นไปได้ที่จะหารทั้งสองข้างของสมการด้วย
2 แล้วเราจะได้: . บีเอ็กซ์(ด้วยการทดแทนเราจะแก้สมการกำลังสอง 2 – 2) + ที + บาท = 0
ค เพราะ 4 – 2เพราะ 3 – เพราะ 2 – 2เพราะตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกัน เพราะ 2 ,
+ 1 = 0 หารทั้งสองข้างด้วย ด้วยการทดแทนเราจะแก้สมการกำลังสอง 2 – 2ด้วยการทดแทนเราจะแก้สมการกำลังสอง – 3 = 0
– สมการไม่มีราก
4) สมการของแบบฟอร์ม ( x–ก)(x-ข)(x-ค)(x-d) = ขวาน 2 ค่าสัมประสิทธิ์ ab = ซีดี
ตัวอย่างเช่น, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. เมื่อคูณวงเล็บ 1–4 และ 2–3 เราจะได้ ( เพราะ 2 + 14เพราะ+ 24)(เพราะ 2 +11เพราะ + 24) = 4เพราะ 2. หารทั้งสองข้างของสมการด้วย เพราะ 2 เราได้รับ:
เรามี ( ด้วยการทดแทนเราจะแก้สมการกำลังสอง+ 14)(ด้วยการทดแทนเราจะแก้สมการกำลังสอง + 11) = 4.
5) สมการเอกพันธ์ของดีกรี 2 - สมการในรูปแบบ P(x,y) = 0 โดยที่ P(x,y) เป็นพหุนาม ซึ่งแต่ละเทอมมีดีกรี 2
คำตอบ: -2; -0.5; 0
IV. สมการข้างต้นทั้งหมดเป็นที่รู้จักและเป็นแบบอย่าง แต่สมการที่มีรูปแบบตามอำเภอใจล่ะ?
ให้พหุนามได้รับ ปไม่มี ( เพราะ) = บีเอ็กซ์ n เพราะ n+ บีเอ็กซ์ n-1 เพราะ n-1 + ...+ บีเอ็กซ์ 1x+ ก 0 ที่ไหน บีเอ็กซ์ n ≠ 0
พิจารณาวิธีการลดระดับของสมการ
เป็นที่ทราบกันว่าถ้าค่าสัมประสิทธิ์ บีเอ็กซ์เป็นจำนวนเต็มและ บีเอ็กซ์ n = 1 จากนั้นรากจำนวนเต็มของสมการ ปไม่มี ( เพราะ) = 0 อยู่ในตัวหารของพจน์อิสระ บีเอ็กซ์ 0 . ตัวอย่างเช่น, เพราะ 4 + 2เพราะ 3 – 2เพราะ 2 – 6เพราะ+ 5 = 0 ตัวหารของตัวเลข 5 คือตัวเลข 5; –5; 1; –1. แล้ว ป 4 (1) = 0 เช่น เพราะ= 1 คือรากของสมการ ลองลดระดับของสมการลง ป 4 (เพราะ) = 0 โดยการหารพหุนามด้วย "มุม" ด้วยตัวประกอบ x –1 เราจะได้
ป 4 (เพราะ) = (เพราะ – 1)(เพราะ 3 + 3เพราะ 2 + เพราะ – 5).
เช่นเดียวกัน, ป 3 (1) = 0 แล้ว ป 4 (เพราะ) = (เพราะ – 1)(เพราะ – 1)(เพราะ 2 + 4เพราะ+5) เช่น สมการ ป 4 (x) = 0 มีราก เพราะ 1 = เพราะ 2 = 1 ลองแสดงคำตอบที่สั้นกว่าของสมการนี้ (โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์)
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
วิธี, เพราะ 1 = 1 หมายถึง เพราะ 2 = 1.
ดังนั้น, ( เพราะ– 1) 2 (เพราะ 2 + 4เพราะ + 5) = 0
เราทำอะไร? เราลดระดับของสมการลง
V. พิจารณาสมการสมมาตรของระดับ 3 และ 5
ก) ขวาน 3 + บีเอ็กซ์ 2 + บีเอ็กซ์ + บีเอ็กซ์= 0 แน่นอน เพราะ= –1 คือรากของสมการ จากนั้นเราจะลดระดับของสมการลงเหลือ 2
ข) ขวาน 5 + บีเอ็กซ์ 4 + 3) สมการสมมาตรของระดับ 4 – สมการของรูปแบบ 3 + 3) สมการสมมาตรของระดับ 4 – สมการของรูปแบบ 2 + บีเอ็กซ์ + บีเอ็กซ์= 0 แน่นอน เพราะ= –1 คือรากของสมการ จากนั้นเราจะลดระดับของสมการลงเหลือ 2
ตัวอย่างเช่น ลองแสดงคำตอบของสมการที่ 2 กัน เพราะ 5 + 3เพราะ 4 – 5เพราะ 3 – 5เพราะ 2 + 3เพราะ + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
เพราะ = –1
เราได้รับ ( เพราะ – 1) 2 (เพราะ + 1)(2เพราะ 2 + 5เพราะ+ 2) = 0 ซึ่งหมายความว่ารากของสมการคือ: 1; 1; –1; –2; –0.5.
วี. ต่อไปนี้คือรายการสมการต่างๆ ที่ต้องแก้ในชั้นเรียนและที่บ้าน
ผมแนะนำให้ผู้อ่านแก้สมการ 1-7 ด้วยตัวเองแล้วได้คำตอบ...
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาหนึ่งรูทโดยใช้วิธีการเลือก โดยปกติแล้วจะเป็นตัวหารของคำอิสระ ในกรณีนี้คือตัวหารของตัวเลข 12 เป็น ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12มาเริ่มแทนที่กันทีละรายการ:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ จำนวน 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ จำนวน -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ หมายเลข 2 คือรากของพหุนาม
เราพบรากของพหุนามแล้ว 1 รายการ รากของพหุนามคือ 2, ซึ่งหมายความว่าพหุนามดั้งเดิมจะต้องหารด้วย x - 2- เพื่อที่จะทำการหารพหุนาม เราใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมจะแสดงอยู่ที่บรรทัดบนสุด รากที่เราพบจะอยู่ในเซลล์แรกของแถวที่สอง 2. บรรทัดที่สองประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นผลจากการหาร พวกเขาจะถูกนับดังนี้:
|
ในเซลล์ที่สองของแถวที่สองเราเขียนตัวเลข 2, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่เกี่ยวข้องของแถวแรก | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
ตัวเลขสุดท้ายคือเศษที่เหลือของการหาร ถ้ามันเท่ากับ 0 แสดงว่าเราคำนวณทุกอย่างถูกต้องแล้ว
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
แต่นี่ไม่ใช่จุดสิ้นสุด คุณสามารถลองขยายพหุนามด้วยวิธีเดียวกันได้ 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6
เรากำลังมองหารากของตัวหารของคำอิสระอีกครั้ง ตัวหารจำนวน -6 เป็น ±1, ±2, ±3, ±6
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ หมายเลข 1 ไม่ใช่รากของพหุนาม
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ หมายเลข -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ หมายเลข 2 ไม่ใช่รากของพหุนาม
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ หมายเลข -2 คือรากของพหุนาม
มาเขียนรูทที่พบลงในแผน Horner ของเรา และเริ่มกรอกข้อมูลในเซลล์ว่าง:
|
ในเซลล์ที่สองของแถวที่สามเราเขียนตัวเลข 2, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่สอดคล้องกันของแถวที่สอง | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบพหุนามดั้งเดิม:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
พหุนาม 2x 2 + 5x - 3ยังสามารถแยกตัวประกอบได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองโดยใช้ตัวจำแนก หรือคุณอาจหารากระหว่างตัวหารของตัวเลขก็ได้ -3. ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะได้ข้อสรุปว่ารากของพหุนามนี้คือตัวเลข -3
|
ในเซลล์ที่สองของแถวที่สี่เราเขียนตัวเลข 2, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่สอดคล้องกันของแถวที่สาม | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
ดังนั้นเราจึงแยกพหุนามดั้งเดิมออกเป็นปัจจัยเชิงเส้น:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
และรากของสมการก็คือ