ซีรีย์ฟีโบนัชชี สำคัญ

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
ผลงานเวอร์ชันเต็มมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

วัตถุประสงค์สูงสุดของคณิตศาสตร์คือการค้นหาลำดับที่ซ่อนอยู่ในความสับสนวุ่นวายที่ล้อมรอบเรา

วิเนอร์ เอ็น.

บุคคลพยายามแสวงหาความรู้มาตลอดชีวิตโดยพยายามศึกษาโลกรอบตัวเขา และในกระบวนการสังเกตก็มีคำถามที่ต้องการคำตอบเกิดขึ้น พบคำตอบแล้ว แต่มีคำถามใหม่เกิดขึ้น ในการค้นพบทางโบราณคดีในร่องรอยของอารยธรรมซึ่งห่างไกลจากกันในเวลาและสถานที่พบองค์ประกอบหนึ่งและเหมือนกัน - ลวดลายในรูปแบบของเกลียว บางคนคิดว่ามันเป็นสัญลักษณ์ของดวงอาทิตย์และเชื่อมโยงกับแอตแลนติสในตำนาน แต่ยังไม่ทราบความหมายที่แท้จริงของมัน รูปร่างของกาแล็กซีและพายุไซโคลนในชั้นบรรยากาศ การเรียงตัวของใบไม้บนก้าน และการเรียงตัวของเมล็ดทานตะวันมีอะไรเหมือนกัน รูปแบบเหล่านี้มีมาจนถึงเกลียวที่เรียกว่า “เกลียวทอง” ซึ่งเป็นลำดับฟีโบนัชชีที่น่าทึ่งที่ค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 13

ประวัติความเป็นมาของตัวเลขฟีโบนัชชี

เป็นครั้งแรกที่ฉันได้ยินว่าตัวเลขฟีโบนัชชีคืออะไรจากครูคณิตศาสตร์คนหนึ่ง แต่อีกอย่าง ฉันไม่รู้ว่าลำดับของตัวเลขเหล่านี้มารวมกันได้อย่างไร นี่คือสิ่งที่ซีเควนซ์นี้มีชื่อเสียงจริงๆ ว่ามันส่งผลต่อบุคคลอย่างไร ฉันอยากจะบอกคุณ ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับ Leonardo Fibonacci ไม่มีแม้แต่วันเดือนปีเกิดที่แน่นอนของเขาด้วยซ้ำ เป็นที่รู้กันว่าเขาเกิดในปี 1170 ในครอบครัวพ่อค้าในเมืองปิซาในอิตาลี พ่อของ Fibonacci มักจะไปเยี่ยมแอลจีเรียในเรื่องการค้า และ Leonardo ศึกษาคณิตศาสตร์ที่นั่นกับครูชาวอาหรับ ต่อจากนั้นเขาได้เขียนผลงานทางคณิตศาสตร์หลายชิ้น งานที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ "Book of Abacus" ซึ่งมีข้อมูลเลขคณิตและพีชคณิตเกือบทั้งหมดในยุคนั้น 2

หมายเลขฟีโบนัชชีเป็นลำดับของตัวเลขที่มีคุณสมบัติหลายประการ ฟีโบนัชชีค้นพบลำดับตัวเลขนี้โดยบังเอิญเมื่อเขาพยายามแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับกระต่ายในปี 1202 “มีคนวางกระต่ายคู่หนึ่งไว้ในที่แห่งหนึ่งโดยมีกำแพงล้อมรอบทุกด้านเพื่อดูว่ากระต่ายจะเกิดกี่คู่ในหนึ่งปีถ้าธรรมชาติของกระต่ายเป็นเช่นนั้นหลังจากผ่านไปหนึ่งเดือนแล้วหนึ่งคู่ กระต่ายจะออกลูกอีกคู่หนึ่ง และกระต่ายจะออกลูกตั้งแต่เดือนที่สองหลังจากที่คุณเกิด" เมื่อแก้ไขปัญหาเขาคำนึงว่ากระต่ายแต่ละคู่ให้กำเนิดอีกสองคู่ตลอดชีวิตแล้วจึงตาย นี่คือลักษณะลำดับของตัวเลขที่ปรากฏ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ในลำดับนี้ แต่ละหมายเลขถัดไปจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า มันถูกเรียกว่าลำดับฟีโบนัชชี คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของลำดับ

ฉันต้องการสำรวจลำดับนี้ และฉันก็ค้นพบคุณสมบัติบางอย่างของมัน รูปแบบนี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง ลำดับค่อยๆ เข้าใกล้อัตราส่วนคงที่ประมาณ 1.618 และอัตราส่วนของจำนวนใดๆ ต่อจำนวนถัดไปจะอยู่ที่ประมาณ 0.618

คุณสามารถสังเกตเห็นคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการของตัวเลขฟีโบนัชชี: ตัวเลขที่อยู่ติดกันสองตัวนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ทุก ๆ ตัวเลขที่สามเป็นเลขคู่ ทุก ๆ สิบห้าลงท้ายด้วยศูนย์ ทุก ๆ สี่คือผลคูณของสาม หากคุณเลือกตัวเลขที่อยู่ติดกัน 10 ตัวจากลำดับฟีโบนัชชีแล้วบวกเข้าด้วยกัน คุณจะได้ตัวเลขที่เป็นพหุคูณของ 11 เสมอ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด ผลรวมแต่ละผลจะเท่ากับเลข 11 คูณด้วยเทอมที่ 7 ของลำดับที่กำหนด นี่เป็นอีกคุณสมบัติที่น่าสนใจ สำหรับ n ใดๆ ผลรวมของเทอมที่ 1 ของลำดับจะเท่ากับผลต่างระหว่าง (n+ 2) กับเทอมที่ 1 ของลำดับเสมอ ข้อเท็จจริงนี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1 ตอนนี้เรามีเคล็ดลับต่อไปนี้: การหาผลรวมของพจน์ทั้งหมด

ลำดับระหว่างพจน์ที่กำหนดสองพจน์ ก็เพียงพอแล้วที่จะหาผลต่างของพจน์ (n+2)-x ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น 26 +…+a 40 = 42 - a 27 ตอนนี้เรามาดูความเชื่อมโยงระหว่าง Fibonacci, Pythagoras และ “อัตราส่วนทองคำ” กัน หลักฐานที่มีชื่อเสียงที่สุดเกี่ยวกับอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ของมนุษยชาติคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: c 2 =b 2 +a 2 จากมุมมองทางเรขาคณิต เราสามารถพิจารณาทุกด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสามที่สร้างขึ้นบนสามเหลี่ยมมุมฉากเหล่านั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าพื้นที่รวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้าความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจำนวนเต็ม ก็จะรวมกลุ่มของตัวเลขสามจำนวนที่เรียกว่า แฝดพีทาโกรัส เมื่อใช้ลำดับฟีโบนัชชี คุณจะพบแฝดดังกล่าว ลองนำตัวเลขสี่ตัวใดๆ ติดต่อกันจากลำดับ เช่น 2, 3, 5 และ 8 แล้วสร้างตัวเลขเพิ่มอีกสามจำนวนดังนี้ 1) ผลคูณของจำนวนสุดขั้วสองตัว: 2*8=16; 2) ผลคูณสองเท่า ของตัวเลขสองตัวที่อยู่ตรงกลาง: 2* (3*5)=30;3) ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขเฉลี่ยสองตัว: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. วิธีนี้ใช้ได้กับตัวเลขฟีโบนัชชีสี่ตัวติดต่อกัน ตัวเลขสามตัวต่อเนื่องกันในชุดฟีโบนัชชีมีพฤติกรรมในลักษณะที่คาดเดาได้ หากคุณคูณค่าสุดขั้วทั้งสองและเปรียบเทียบผลลัพธ์กับกำลังสองของตัวเลขเฉลี่ย ผลลัพธ์จะต่างกันทีละค่าเสมอ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข 5, 8 และ 13 เราจะได้: 5*13=8 2 +1 หากคุณมองทรัพย์สินนี้จากมุมมองทางเรขาคณิต คุณจะสังเกตเห็นบางสิ่งที่แปลก แบ่งสี่เหลี่ยม

ขนาด 8x8 (รวมสี่เหลี่ยมเล็กๆ ทั้งหมด 64 ช่อง) แบ่งออกเป็นสี่ส่วน ความยาวของด้านเท่ากับเลขฟีโบนัชชี จากส่วนเหล่านี้เราจะสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 5x13 พื้นที่ของมันคือ 65 สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ สี่เหลี่ยมพิเศษมาจากไหน? ประเด็นก็คือว่าสี่เหลี่ยมในอุดมคติไม่ได้ถูกสร้างขึ้น แต่ยังมีช่องว่างเล็กๆ อยู่ ซึ่งโดยรวมแล้วจะทำให้หน่วยพื้นที่เพิ่มเติมนี้ สามเหลี่ยมของปาสคาลมีความเชื่อมโยงกับลำดับฟีโบนัชชีเช่นกัน คุณเพียงแค่ต้องเขียนเส้นของสามเหลี่ยมปาสคาลไว้ข้างใต้ แล้วบวกองค์ประกอบต่างๆ ในแนวทแยง ผลลัพธ์ที่ได้คือลำดับฟีโบนัชชี

ทีนี้ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีทอง ซึ่งด้านหนึ่งยาวกว่าอีกด้าน 1.618 เท่า เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนสี่เหลี่ยมธรรมดาสำหรับเรา อย่างไรก็ตาม เรามาทำการทดลองง่ายๆ กับบัตรธนาคารธรรมดาสองใบกัน ลองวางอันใดอันหนึ่งในแนวนอนและอีกอันในแนวตั้งเพื่อให้ด้านล่างของพวกเขาอยู่ในบรรทัดเดียวกัน หากเราวาดเส้นทแยงมุมในแผนที่แนวนอนและขยายออกไป เราจะเห็นว่ามันจะผ่านมุมขวาบนของแผนที่แนวตั้งพอดี - เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจ บางทีนี่อาจเป็นอุบัติเหตุ หรือบางทีสี่เหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ที่ใช้ "อัตราส่วนทองคำ" เหล่านี้อาจดูน่าพึงพอใจเป็นพิเศษ Leonardo da Vinci คิดถึงอัตราส่วนทองคำในขณะที่ทำงานชิ้นเอกของเขาหรือไม่? ดูเหมือนว่าไม่น่าเป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าเขาให้ความสำคัญอย่างยิ่งกับความเชื่อมโยงระหว่างสุนทรียศาสตร์และคณิตศาสตร์

ตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

ความเชื่อมโยงของอัตราส่วนทองคำกับความงามไม่ได้เป็นเพียงเรื่องของการรับรู้ของมนุษย์เท่านั้น ดูเหมือนว่าธรรมชาติเองก็ได้จัดสรรบทบาทพิเศษให้กับ F. หากคุณเขียนสี่เหลี่ยมตามลำดับลงในสี่เหลี่ยม “สีทอง” จากนั้นวาดส่วนโค้งในแต่ละสี่เหลี่ยม คุณจะได้เส้นโค้งอันงดงามที่เรียกว่าเกลียวลอการิทึม มันไม่ใช่ความอยากรู้ทางคณิตศาสตร์เลย 5

ในทางตรงกันข้าม เส้นอันน่าทึ่งนี้มักพบในโลกทางกายภาพ ตั้งแต่เปลือกของหอยโข่งไปจนถึงแขนของกาแล็กซี และในกลีบดอกกุหลาบที่กำลังเบ่งบานเป็นเกลียวอันสง่างาม ความเชื่อมโยงระหว่างอัตราส่วนทองคำกับตัวเลขฟีโบนัชชีนั้นมีมากมายและน่าประหลาดใจ ลองพิจารณาดอกไม้ที่ดูแตกต่างจากดอกกุหลาบมาก - ดอกทานตะวันที่มีเมล็ด สิ่งแรกที่เราเห็นคือเมล็ดถูกจัดเรียงเป็นเกลียวสองประเภท: ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา หากเรานับวงก้นหอยตามเข็มนาฬิกา เราจะได้ตัวเลขที่ดูเหมือนธรรมดาสองตัว: 21 และ 34 นี่ไม่ใช่เพียงตัวอย่างเดียวที่สามารถพบเลขฟีโบนัชชีในโครงสร้างพืชได้

ธรรมชาติให้ตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการจัดเรียงวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งอธิบายโดยเลขฟีโบนักชี ในการจัดเรียงเกลียวต่างๆ ของชิ้นส่วนพืชขนาดเล็ก มักจะมองเห็นเกลียวสองตระกูลได้ ในตระกูลหนึ่งเหล่านี้ เกลียวจะขดตามเข็มนาฬิกา ในขณะที่อีกตระกูลจะขดทวนเข็มนาฬิกา จำนวนเกลียวประเภทหนึ่งและอีกประเภทหนึ่งมักจะกลายเป็นเลขฟีโบนักชีที่อยู่ติดกัน ดังนั้นเมื่อนำกิ่งสนเล็ก ๆ มาสังเกตได้ง่ายว่าเข็มนั้นก่อตัวเป็นเกลียวสองวงจากล่างซ้ายไปขวาบน ในกรวยจำนวนมาก เมล็ดจะเรียงกันเป็นเกลียวสามวง ค่อยๆ พันรอบก้านของกรวย ตั้งอยู่ในวงก้นหอยห้าวงซึ่งคดเคี้ยวสูงชันไปในทิศทางตรงกันข้าม ในกรวยขนาดใหญ่ คุณสามารถสังเกตเกลียว 5 และ 8 และแม้กระทั่ง 8 และ 13 เกลียวได้ เกลียวฟีโบนัชชียังมองเห็นได้ชัดเจนบนสับปะรด โดยปกติจะมี 8 และ 13 เส้น

การยิงชิกโครีพุ่งออกสู่อวกาศอย่างแรง หยุด ปล่อยใบไม้ แต่คราวนี้สั้นกว่าครั้งแรก พุ่งออกสู่อวกาศอีกครั้ง แต่มีแรงน้อยกว่า ปล่อยใบไม้ที่มีขนาดเล็กกว่าและถูกดีดออกมาอีกครั้ง . แรงกระตุ้นของการเติบโตค่อยๆ ลดลงตามสัดส่วนของส่วน "ทอง" หากต้องการชื่นชมบทบาทอันมหาศาลของตัวเลข Fibonacci คุณเพียงแค่ต้องดูความงามของธรรมชาติรอบตัวเรา ตัวเลขฟีโบนัชชีสามารถพบได้ในปริมาณ

กิ่งก้านบนลำต้นของพืชแต่ละต้นและตามจำนวนกลีบ

มานับกลีบของดอกไม้บางชนิดกันดีกว่า - ไอริสมี 3 กลีบ, พริมโรส 5 กลีบ, แร็กวีด 13 กลีบ, คอร์นฟลาวเวอร์ 34 กลีบ, ดอกแอสเตอร์ 55 กลีบ เป็นต้น นี่เป็นเรื่องบังเอิญหรือเป็นกฎแห่งธรรมชาติ? จงดูลำต้นและดอกของยาร์โรว์ ดังนั้นลำดับฟีโบนัชชีทั้งหมดจึงสามารถตีความรูปแบบการแสดงออกของตัวเลข “สีทอง” ที่พบในธรรมชาติได้อย่างง่ายดาย กฎหมายเหล่านี้ดำเนินการโดยไม่คำนึงถึงจิตสำนึกและความปรารถนาที่จะยอมรับกฎหมายเหล่านี้หรือไม่ รูปแบบของความสมมาตร "สีทอง" ปรากฏในการเปลี่ยนแปลงพลังงานของอนุภาคมูลฐาน ในโครงสร้างของสารประกอบเคมีบางชนิด ในระบบดาวเคราะห์และจักรวาล ในโครงสร้างยีนของสิ่งมีชีวิต ในโครงสร้างของอวัยวะมนุษย์แต่ละส่วนและร่างกาย โดยรวมและยังแสดงออกมาใน biorhythms และการทำงานของสมองและการรับรู้ทางสายตา

ตัวเลขฟีโบนัชชีในสถาปัตยกรรม

“อัตราส่วนทองคำ” ยังปรากฏให้เห็นในการสร้างสรรค์สถาปัตยกรรมที่น่าทึ่งมากมายตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษย์ ปรากฎว่านักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณและอียิปต์โบราณรู้จักค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้มาก่อนฟีโบนัชชีและเรียกพวกมันว่า "อัตราส่วนทองคำ" ชาวกรีกใช้หลักการของ "อัตราส่วนทองคำ" ในการก่อสร้างวิหารพาร์เธนอน และชาวอียิปต์ใช้มหาพีระมิดแห่งกิซ่า ความก้าวหน้าในเทคโนโลยีการก่อสร้างและการพัฒนาวัสดุใหม่เปิดโอกาสใหม่สำหรับสถาปนิกในศตวรรษที่ 20 American Frank Lloyd Wright เป็นหนึ่งในผู้เสนอหลักของสถาปัตยกรรมออร์แกนิก ไม่นานก่อนที่เขาจะเสียชีวิต เขาได้ออกแบบพิพิธภัณฑ์โซโลมอน กุกเกนไฮม์ในนิวยอร์ก ซึ่งเป็นรูปก้นหอยแบบกลับหัว และภายในพิพิธภัณฑ์มีลักษณะคล้ายหอยโข่ง สถาปนิกชาวโปแลนด์-อิสราเอล Zvi Hecker ยังใช้โครงสร้างเกลียวในการออกแบบของเขาสำหรับโรงเรียน Heinz Galinski ในกรุงเบอร์ลิน ซึ่งสร้างเสร็จในปี 1995 เฮกเกอร์เริ่มต้นด้วยแนวคิดเรื่องดอกทานตะวันที่มีวงกลมตรงกลางจากที่ไหน

องค์ประกอบทางสถาปัตยกรรมทั้งหมดมีความแตกต่างกัน อาคารเป็นแบบผสมผสาน

เกลียวตั้งฉากและศูนย์กลาง เป็นสัญลักษณ์ของปฏิสัมพันธ์ของความรู้อันจำกัดของมนุษย์และความสับสนวุ่นวายของธรรมชาติที่ถูกควบคุม สถาปัตยกรรมของมันเลียนแบบต้นไม้ที่เคลื่อนที่ตามการโคจรของดวงอาทิตย์ ห้องเรียนจึงได้รับแสงสว่างตลอดทั้งวัน

ใน Quincy Park ซึ่งตั้งอยู่ในเมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ (สหรัฐอเมริกา) มักพบเกลียว "สีทอง" สวนสาธารณะแห่งนี้ได้รับการออกแบบในปี 1997 โดยศิลปิน David Phillips และตั้งอยู่ใกล้กับสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ สถาบันนี้เป็นศูนย์กลางการวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ใน Quincy Park คุณสามารถเดินเล่นท่ามกลางเกลียว "สีทอง" และเส้นโค้งโลหะ ภาพนูนของเปลือกหอยสองใบ และหินที่มีสัญลักษณ์รากที่สอง ป้ายประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับอัตราส่วน "ทองคำ" แม้แต่ที่จอดจักรยานก็ใช้สัญลักษณ์ F

ตัวเลขฟีโบนัชชีในทางจิตวิทยา

ในด้านจิตวิทยา จุดเปลี่ยน วิกฤตการณ์ และการปฏิวัติ ได้รับการบันทึกไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างและหน้าที่ของจิตวิญญาณในเส้นทางชีวิตของบุคคล หากบุคคลสามารถเอาชนะวิกฤติเหล่านี้ได้สำเร็จ เขาก็จะสามารถแก้ไขปัญหาของชนชั้นใหม่ที่เขาไม่เคยคิดมาก่อนด้วยซ้ำ

การมีอยู่ของการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานทำให้มีเหตุผลในการพิจารณาเวลาชีวิตเป็นปัจจัยชี้ขาดในการพัฒนาคุณสมบัติทางวิญญาณ ท้ายที่สุดแล้ว ธรรมชาติไม่ได้วัดเวลาอย่างเอื้อเฟื้อสำหรับเรา “จะมากเพียงใด ก็จะมากขนาดนั้น” แต่เพียงเพียงพอสำหรับกระบวนการพัฒนาที่จะเกิดขึ้นจริง:

ในโครงสร้างร่างกาย

ในความรู้สึก การคิด และทักษะทางจิต - จนกว่าจะได้รับ ความสามัคคีที่จำเป็นสำหรับการเกิดขึ้นและการเปิดตัวกลไก

ความคิดสร้างสรรค์;

ในโครงสร้างศักยภาพพลังงานของมนุษย์

ไม่สามารถหยุดการพัฒนาของร่างกายได้: เด็กจะกลายเป็นผู้ใหญ่ ด้วยกลไกของความคิดสร้างสรรค์ ทุกอย่างจึงไม่ง่ายนัก การพัฒนาสามารถหยุดได้และทิศทางก็เปลี่ยนไป

มีโอกาสที่จะทันเวลาหรือไม่? ไม่ต้องสงสัยเลย แต่สำหรับสิ่งนี้คุณต้องทำงานให้มากกับตัวเอง สิ่งที่พัฒนาอย่างอิสระตามธรรมชาติไม่จำเป็นต้องใช้ความพยายามพิเศษ: เด็กพัฒนาอย่างอิสระและไม่สังเกตเห็นงานอันยิ่งใหญ่นี้เพราะกระบวนการพัฒนาอย่างอิสระนั้นถูกสร้างขึ้นโดยปราศจากความรุนแรงต่อตนเอง

ความหมายของการเดินทางของชีวิตในจิตสำนึกในชีวิตประจำวันเข้าใจได้อย่างไร? คนทั่วไปมองเช่นนี้: ที่จุดต่ำสุดคือการเกิด ที่ด้านบนคือจุดสูงสุดของชีวิต แล้วทุกสิ่งจะตกต่ำลง

ปราชญ์จะพูดว่า: ทุกอย่างซับซ้อนกว่านี้มาก เขาแบ่งการขึ้นเป็นช่วง: วัยเด็ก วัยรุ่น เยาวชน... ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? มีเพียงไม่กี่คนที่สามารถตอบได้แม้ว่าทุกคนจะแน่ใจว่าสิ่งเหล่านี้ปิดอยู่และเป็นช่วงสำคัญของชีวิต

เพื่อค้นหาว่ากลไกของความคิดสร้างสรรค์พัฒนาอย่างไร V.V. Klimenko ใช้คณิตศาสตร์ ได้แก่ กฎของตัวเลขฟีโบนัชชีและสัดส่วนของ "ส่วนสีทอง" - กฎแห่งธรรมชาติและชีวิตมนุษย์

ตัวเลขฟีโบนัชชีแบ่งชีวิตของเราออกเป็นช่วงๆ ตามจำนวนปีที่มีชีวิตอยู่: 0 - จุดเริ่มต้นของการนับถอยหลัง - เด็กเกิด เขายังคงขาดไม่เพียงแต่ทักษะทางจิต การคิด ความรู้สึก จินตนาการ แต่ยังขาดศักยภาพด้านพลังงานในการดำเนินงานอีกด้วย พระองค์ทรงเป็นจุดเริ่มต้นของชีวิตใหม่ ความปรองดองใหม่

1 - เด็กเชี่ยวชาญการเดินและเชี่ยวชาญสภาพแวดล้อมปัจจุบันของเขา

2 - เข้าใจคำพูดและการกระทำโดยใช้คำสั่งทางวาจา

3 - กระทำด้วยคำพูดถามคำถาม;

5 - "ยุคแห่งความสง่างาม" - ความกลมกลืนของจิต ความทรงจำ จินตนาการและความรู้สึกซึ่งทำให้เด็กสามารถโอบกอดโลกได้อย่างซื่อสัตย์

8 - ความรู้สึกเกิดขึ้นข้างหน้า พวกเขารับใช้ด้วยจินตนาการ และการคิดผ่านวิพากษ์วิจารณ์มีจุดมุ่งหมายเพื่อสนับสนุนความสามัคคีภายในและภายนอกของชีวิต

13 - กลไกของความสามารถเริ่มทำงานโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเปลี่ยนวัสดุที่ได้มาจากกระบวนการสืบทอดเพื่อพัฒนาความสามารถของตนเอง

21 - กลไกของความคิดสร้างสรรค์เข้าใกล้สภาวะแห่งความสามัคคีและมีความพยายามที่จะทำงานที่มีความสามารถ

34—ความกลมกลืนของการคิด ความรู้สึก จินตนาการ และทักษะทางจิต: ความสามารถในการทำงานอย่างชาญฉลาดเกิดขึ้น

55 - ในวัยนี้ หากรักษาความกลมกลืนของจิตวิญญาณและร่างกายไว้ บุคคลก็พร้อมที่จะเป็นผู้สร้าง และอื่นๆ...

เซริฟตัวเลข Fibonacci คืออะไร? เปรียบได้กับเขื่อนตามเส้นทางชีวิต เขื่อนเหล่านี้รอเราอยู่ทุกคน ก่อนอื่นคุณต้องเอาชนะแต่ละอย่างจากนั้นจึงยกระดับการพัฒนาของคุณอย่างอดทนจนกว่าวันหนึ่งมันจะพังทลายลงโดยเปิดทางไปสู่วันถัดไปอย่างอิสระ

ตอนนี้เราเข้าใจความหมายของประเด็นสำคัญของพัฒนาการตามวัยแล้ว เรามาลองถอดรหัสว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไร

บี1ปีอาจารย์เด็กกำลังเดิน ก่อนหน้านี้เขาได้สัมผัสกับโลกทั้งใบ ตอนนี้เขาได้รู้จักโลกด้วยมือของเขาเอง ซึ่งเป็นสิทธิพิเศษอันยอดเยี่ยมของมนุษย์ สัตว์นั้นเคลื่อนที่ไปในอวกาศ และด้วยการเรียนรู้ เขาจึงเชี่ยวชาญพื้นที่และเชี่ยวชาญอาณาเขตที่เขาอาศัยอยู่

2 ปี- เข้าใจคำและปฏิบัติตามคำนั้น หมายความว่า:

เด็กเรียนรู้คำศัพท์จำนวนขั้นต่ำ - ความหมายและรูปแบบการกระทำ

ยังไม่แยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมและหลอมรวมเป็นหนึ่งเดียวกับสิ่งแวดล้อม

ดังนั้นเขาจึงปฏิบัติตามคำสั่งของคนอื่น ในวัยนี้เขาเชื่อฟังและเป็นที่ชื่นชอบของพ่อแม่มากที่สุด จากคนที่มีราคะ เด็กจะกลายเป็นคนที่มีความรู้ความเข้าใจ

3 ปี- การกระทำโดยใช้คำพูดของตัวเอง การแยกบุคคลนี้ออกจากสิ่งแวดล้อมได้เกิดขึ้นแล้ว - และเขาเรียนรู้ที่จะเป็นคนแสดงอย่างอิสระ จากที่นี่เขา:

ต่อต้านสิ่งแวดล้อมและผู้ปกครอง ครูอนุบาล ฯลฯ อย่างมีสติ;

ตระหนักถึงอำนาจอธิปไตยของตนและต่อสู้เพื่อเอกราช

พยายามปราบคนใกล้ชิดและคนมีชื่อเสียงตามความประสงค์ของเขา

ตอนนี้สำหรับเด็ก คำพูดคือการกระทำ นี่คือจุดเริ่มต้นของคนที่กระตือรือร้น

5 ปี- “ยุคแห่งความสง่างาม” พระองค์ทรงเป็นตัวตนแห่งความสามัคคี เกมการเต้นรำการเคลื่อนไหวที่คล่องแคล่ว - ทุกอย่างอิ่มตัวด้วยความสามัคคีซึ่งบุคคลพยายามที่จะเชี่ยวชาญด้วยความแข็งแกร่งของเขาเอง พฤติกรรมจิตที่ประสานกันช่วยสร้างสภาวะใหม่ ดังนั้นเด็กจึงมุ่งเน้นไปที่กิจกรรมทางจิตและมุ่งมั่นในการดำเนินการที่กระตือรือร้นที่สุด

การทำให้เป็นรูปธรรมของผลิตภัณฑ์ของงานที่ละเอียดอ่อนนั้นดำเนินการผ่าน:

ความสามารถในการแสดงสภาพแวดล้อมและตัวเราเป็นส่วนหนึ่งของโลกนี้ (เราได้ยิน มองเห็น สัมผัส กลิ่น ฯลฯ - ประสาทสัมผัสทั้งหมดทำงานสำหรับกระบวนการนี้)

ความสามารถในการออกแบบโลกภายนอกรวมทั้งตัวเองด้วย

(การสร้างธรรมชาติที่สอง สมมติฐาน - ทำสิ่งนี้และในวันพรุ่งนี้ สร้างเครื่องจักรใหม่ แก้ปัญหา) โดยพลังของการคิดเชิงวิพากษ์ ความรู้สึก และจินตนาการ

ความสามารถในการสร้างธรรมชาติที่สองที่มนุษย์สร้างขึ้นผลิตภัณฑ์ของกิจกรรม (การบรรลุแผนการดำเนินการทางจิตหรือจิตเฉพาะกับวัตถุและกระบวนการเฉพาะ)

หลังจากผ่านไป 5 ปี กลไกจินตนาการก็เริ่มเข้ามาครอบงำกลไกอื่นๆ เด็กทำงานจำนวนมหาศาลสร้างภาพอันน่าอัศจรรย์และใช้ชีวิตอยู่ในโลกแห่งเทพนิยายและตำนาน จินตนาการมากเกินไปของเด็กทำให้เกิดความประหลาดใจในผู้ใหญ่ เพราะจินตนาการไม่สอดคล้องกับความเป็นจริง

8 ปี— ความรู้สึกปรากฏอยู่เบื้องหน้าและมาตรฐานความรู้สึกของตนเอง (ความรู้ความเข้าใจ คุณธรรม สุนทรียศาสตร์) เกิดขึ้นเมื่อเด็กเกิดความเข้าใจผิด:

ประเมินสิ่งที่รู้และไม่รู้

แยกศีลธรรมออกจากผิดศีลธรรม ศีลธรรมจากผิดศีลธรรม

ความงามจากสิ่งที่คุกคามชีวิต ความกลมกลืนจากความวุ่นวาย

13 ปี— กลไกของความคิดสร้างสรรค์เริ่มทำงาน แต่นี่ไม่ได้หมายความว่ามันทำงานเต็มประสิทธิภาพ องค์ประกอบหนึ่งของกลไกมาถึงเบื้องหน้า และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดมีส่วนช่วยในการทำงานของมัน หากในยุคแห่งการพัฒนานี้ยังคงรักษาความสามัคคีซึ่งสร้างโครงสร้างขึ้นมาใหม่เกือบตลอดเวลา เยาวชนก็จะไปถึงเขื่อนถัดไปอย่างไม่ลำบาก โดยเขาจะเอาชนะมันได้โดยไม่มีใครสังเกตเห็น และจะอยู่ในยุคแห่งการปฏิวัติ ในยุคแห่งการปฏิวัติ เยาวชนจะต้องก้าวไปข้างหน้า: แยกจากสังคมที่ใกล้ที่สุดและใช้ชีวิตและกิจกรรมที่กลมกลืนกัน ไม่ใช่ทุกคนจะสามารถแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นต่อหน้าเราแต่ละคนได้

อายุ 21 ปี.หากนักปฏิวัติประสบความสำเร็จในการเอาชนะจุดสูงสุดของชีวิตที่กลมกลืนกันเป็นครั้งแรก กลไกความสามารถของเขาก็สามารถแสดงความสามารถได้

งาน. ความรู้สึก (ความรู้ความเข้าใจ ศีลธรรม หรือสุนทรียศาสตร์) บางครั้งบดบังความคิด แต่โดยทั่วไปแล้ว องค์ประกอบทั้งหมดทำงานสอดคล้องกัน ความรู้สึกเปิดกว้างต่อโลก และการคิดเชิงตรรกะสามารถตั้งชื่อและค้นหาการวัดสิ่งต่าง ๆ จากจุดสูงสุดนี้ได้

กลไกของความคิดสร้างสรรค์ซึ่งพัฒนาตามปกติถึงสภาวะที่อนุญาตให้ได้รับผลบางอย่าง เขาเริ่มทำงาน ในวัยนี้กลไกของความรู้สึกจะเกิดขึ้น เมื่อจินตนาการและผลิตภัณฑ์ได้รับการประเมินโดยประสาทสัมผัสและจิตใจ การต่อต้านกันก็เกิดขึ้นระหว่างสิ่งเหล่านั้น ความรู้สึกชนะ. ความสามารถนี้ค่อยๆ ได้รับพลัง และเด็กชายก็เริ่มใช้มัน

34 ปี- ความสมดุลและความสามัคคีประสิทธิผลของความสามารถพิเศษ ความกลมกลืนของการคิดความรู้สึกและจินตนาการทักษะทางจิตซึ่งเติมเต็มด้วยศักยภาพพลังงานที่เหมาะสมและกลไกโดยรวม - โอกาสในการทำงานที่ยอดเยี่ยมถือกำเนิดขึ้น

55 ปี- บุคคลสามารถเป็นผู้สร้างได้ จุดสูงสุดแห่งความสามัคคีประการที่สามของชีวิต: การคิดพิชิตพลังแห่งความรู้สึก

ตัวเลขฟีโบนัชชีหมายถึงระยะของการพัฒนามนุษย์ การที่บุคคลจะเดินไปตามเส้นทางนี้โดยไม่หยุดนั้นขึ้นอยู่กับพ่อแม่และครู ระบบการศึกษา และจากนั้นก็ขึ้นอยู่กับตัวเขาเองและวิธีที่บุคคลจะเรียนรู้และเอาชนะตัวเอง

บนเส้นทางแห่งชีวิตบุคคลค้นพบวัตถุความสัมพันธ์ 7 ประการ:

ตั้งแต่วันเกิดถึง 2 ปี - การค้นพบโลกทางกายภาพและวัตถุประสงค์ของสภาพแวดล้อมทันที

จาก 2 ถึง 3 ปี - การค้นพบตนเอง: "ฉันเป็นตัวของตัวเอง"

ตั้งแต่ 3 ถึง 5 ปี - คำพูด, โลกแห่งคำพูด, ความสามัคคีและระบบ "ฉัน - คุณ"

ตั้งแต่ 5 ถึง 8 ปี - การค้นพบโลกแห่งความคิด ความรู้สึก และภาพของผู้อื่น - ระบบ "ฉัน - เรา"

ตั้งแต่ 8 ถึง 13 ปี - การค้นพบโลกแห่งงานและปัญหาที่แก้ไขโดยอัจฉริยะและพรสวรรค์ของมนุษยชาติ - ระบบ "ฉัน - จิตวิญญาณ"

จาก 13 ถึง 21 ปี - การค้นพบความสามารถในการแก้ไขปัญหาที่รู้จักกันดีอย่างอิสระเมื่อความคิดความรู้สึกและจินตนาการเริ่มทำงานอย่างแข็งขันระบบ "I - Noosphere" ก็เกิดขึ้น

อายุ 21 ถึง 34 ปี - การค้นพบความสามารถในการสร้างโลกใหม่หรือชิ้นส่วนของมัน - การรับรู้ถึงแนวคิดของตนเอง "ฉันคือผู้สร้าง"

เส้นทางชีวิตมีโครงสร้าง spatiotemporal ประกอบด้วยอายุและแต่ละช่วงซึ่งกำหนดโดยปัจจัยชีวิตหลายอย่าง บุคคลหนึ่งสามารถควบคุมสถานการณ์ในชีวิตของเขาได้ในระดับหนึ่ง กลายเป็นผู้สร้างประวัติศาสตร์ของเขาและเป็นผู้สร้างประวัติศาสตร์ของสังคม อย่างไรก็ตาม ทัศนคติต่อชีวิตที่สร้างสรรค์อย่างแท้จริงไม่ได้เกิดขึ้นทันทีและไม่ใช่ในทุกคนด้วยซ้ำ มีความเชื่อมโยงทางพันธุกรรมระหว่างช่วงต่างๆ ของเส้นทางชีวิต และสิ่งนี้จะกำหนดลักษณะตามธรรมชาติของมัน โดยหลักการแล้ว มันเป็นไปได้ที่จะทำนายการพัฒนาในอนาคตบนพื้นฐานของความรู้เกี่ยวกับระยะเริ่มต้นของมัน

ตัวเลขฟีโบนัชชีในทางดาราศาสตร์

จากประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์เป็นที่ทราบกันว่า I. Titius นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันแห่งศตวรรษที่ 18 โดยใช้ชุดฟีโบนัชชี ค้นพบรูปแบบและลำดับในระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ แต่มีกรณีหนึ่งที่ดูเหมือนจะขัดแย้งกับกฎหมาย: ไม่มีดาวเคราะห์ระหว่างดาวอังคารและดาวพฤหัสบดี แต่หลังจากการตายของติติอุสเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 การสังเกตท้องฟ้าส่วนนี้อย่างเข้มข้นนำไปสู่การค้นพบแถบดาวเคราะห์น้อย

บทสรุป

ในระหว่างการวิจัย ฉันพบว่าตัวเลข Fibonacci ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางเทคนิคของราคาหุ้น วิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการใช้ตัวเลข Fibonacci ในทางปฏิบัติคือการกำหนดช่วงเวลาที่เหตุการณ์หนึ่งๆ จะเกิดขึ้น เช่น การเปลี่ยนแปลงของราคา นักวิเคราะห์นับจำนวนวันหรือสัปดาห์ Fibonacci (13,21,34,55 เป็นต้น) จากเหตุการณ์ที่คล้ายกันครั้งก่อนและทำการคาดการณ์ แต่นี่ยังยากเกินไปสำหรับฉันที่จะเข้าใจ แม้ว่า Fibonacci จะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งยุคกลาง แต่อนุสาวรีย์เพียงแห่งเดียวของ Fibonacci ก็คือรูปปั้นที่อยู่หน้าหอเอนเมืองปิซาและถนนสองสายที่เป็นชื่อของเขา โดยแห่งหนึ่งในเมืองปิซาและอีกแห่งหนึ่งในเมืองฟลอเรนซ์ แต่เนื่องจากทุกสิ่งที่ฉันได้ดูและอ่าน คำถามที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติก็เกิดขึ้น ตัวเลขเหล่านี้มาจากไหน? ใครคือสถาปนิกแห่งจักรวาลที่พยายามทำให้มันสมบูรณ์แบบ? จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป? เมื่อพบคำตอบสำหรับคำถามหนึ่งแล้ว คุณจะได้รับคำถามถัดไป หากคุณแก้ปัญหาได้ คุณจะได้อันใหม่สองตัว เมื่อคุณจัดการกับพวกมันแล้ว อีกสามคนก็จะปรากฏขึ้น เมื่อแก้ไขได้แล้ว คุณจะมีห้ารายการที่ยังไม่ได้แก้ไข แล้วแปด สิบสาม ฯลฯ อย่าลืมว่ามือทั้งสองมีห้านิ้ว สองนิ้วประกอบด้วยสองช่วงแขน และแปดในสามนิ้ว

วรรณกรรม:

โวโลชินอฟ เอ.วี. “คณิตศาสตร์และศิลปะ”, อ., การศึกษา, 2535.

Vorobyov N.N. “ตัวเลขฟีโบนัชชี”, M., Nauka, 1984

สตาคอฟ เอ.พี. “ The Da Vinci Code และ Fibonacci Series”, รูปแบบเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2549

F. Corvalan “อัตราส่วนทองคำ. ภาษาคณิตศาสตร์แห่งความงาม", M., De Agostini, 2014

มักซิเมนโก เอส.ดี. "ช่วงเวลาที่ละเอียดอ่อนของชีวิตและรหัสของมัน"

"ตัวเลขฟีโบนัชชี". วิกิพีเดีย

ยังมีความลึกลับอีกมากมายที่ยังไม่ได้ไขในจักรวาล ซึ่งนักวิทยาศาสตร์บางส่วนสามารถระบุและอธิบายได้แล้ว ตัวเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำเป็นพื้นฐานในการไขโลกรอบตัวเรา สร้างรูปแบบและการรับรู้ทางสายตาที่เหมาะสมที่สุดโดยบุคคล ซึ่งช่วยให้เขาสัมผัสได้ถึงความงดงามและความกลมกลืน

อัตราส่วนทองคำ

หลักการกำหนดขนาดของอัตราส่วนทองคำเป็นรากฐานของความสมบูรณ์แบบของโลกทั้งโลกและส่วนต่างๆ ของมันในโครงสร้างและหน้าที่ของมัน ซึ่งการสำแดงออกมาสามารถเห็นได้ในธรรมชาติ ศิลปะ และเทคโนโลยี หลักคำสอนเรื่องสัดส่วนทองคำก่อตั้งขึ้นจากการวิจัยโดยนักวิทยาศาสตร์โบราณเกี่ยวกับธรรมชาติของตัวเลข

ขึ้นอยู่กับทฤษฎีสัดส่วนและอัตราส่วนของการแบ่งส่วนซึ่งสร้างขึ้นโดยนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวพีทาโกรัสในสมัยโบราณ เขาพิสูจน์ว่าเมื่อแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วน: X (เล็กกว่า) และ Y (ใหญ่กว่า) อัตราส่วนของส่วนที่ใหญ่กว่าต่อส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับอัตราส่วนของผลรวม (ทั้งส่วน):

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ: x 2 - x - 1=0,ซึ่งแก้ได้เป็น x=(1±√5)/2

หากเราพิจารณาอัตราส่วน 1/x ก็จะเท่ากับ 1,618…

หลักฐานการใช้อัตราส่วนทองคำโดยนักคิดโบราณมีอยู่ในหนังสือ "องค์ประกอบ" ของ Euclid ซึ่งเขียนย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งใช้กฎนี้เพื่อสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ ในบรรดาชาวพีทาโกรัส ตัวเลขนี้ถือว่าศักดิ์สิทธิ์เพราะมีทั้งสมมาตรและไม่สมมาตร รูปดาวห้าแฉกเป็นสัญลักษณ์ของชีวิตและสุขภาพ

ตัวเลขฟีโบนัชชี

หนังสือชื่อดัง Liber abaci โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Leonardo of Pisa ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อ Fibonacci ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1202 ในนั้นนักวิทยาศาสตร์อ้างถึงรูปแบบของตัวเลขเป็นครั้งแรกในชุดซึ่งแต่ละตัวเลขคือผลรวมของ 2 หลักก่อนหน้า ลำดับหมายเลขฟีโบนัชชีเป็นดังนี้:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ฯลฯ.

นักวิทยาศาสตร์ยังได้อ้างถึงรูปแบบหลายประการ:

• จำนวนใดๆ จากอนุกรมที่หารด้วยจำนวนถัดไปจะเท่ากับค่าที่มีแนวโน้มว่าจะเท่ากับ 0.618 ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขฟีโบนัชชีตัวแรกไม่ได้ให้ตัวเลขดังกล่าว แต่เมื่อเราย้ายจากจุดเริ่มต้นของลำดับ อัตราส่วนนี้จะแม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ
• หากนำเลขชุดก่อนหน้ามาหารผลจะพุ่งไปที่ 1.618
• ตัวเลขหนึ่งตัวหารด้วยตัวถัดไปจะแสดงค่ามีแนวโน้มเป็น 0.382

การประยุกต์ใช้การเชื่อมโยงและรูปแบบของส่วนสีทอง หมายเลขฟีโบนัชชี (0.618) สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังพบในธรรมชาติ ประวัติศาสตร์ สถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง และในวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

เกลียวอาร์คิมิดีสและสี่เหลี่ยมสีทอง

วงก้นหอยซึ่งมีอยู่ทั่วไปในธรรมชาติได้รับการศึกษาโดยอาร์คิมิดีส ผู้ซึ่งได้สมการของมันมาด้วยซ้ำ รูปร่างของเกลียวจะขึ้นอยู่กับกฎของอัตราส่วนทองคำ เมื่อคลายออก จะได้ความยาวที่สามารถใช้สัดส่วนและตัวเลขฟีโบนัชชีได้ ขั้นตอนจะเพิ่มขึ้นเท่าๆ กัน

ความขนานระหว่างตัวเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำสามารถเห็นได้โดยการสร้าง "สี่เหลี่ยมสีทอง" ซึ่งด้านข้างเป็นสัดส่วน 1.618:1 สร้างขึ้นโดยการย้ายจากสี่เหลี่ยมที่ใหญ่กว่าไปเป็นสี่เหลี่ยมที่เล็กกว่า เพื่อให้ความยาวของด้านเท่ากับตัวเลขจากอนุกรม นอกจากนี้ยังสามารถสร้างในลำดับย้อนกลับได้ โดยเริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส “1” เมื่อมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงตรงกลางทางแยก จะได้ค่าฟีโบนัชชีหรือเกลียวลอการิทึม

ประวัติการใช้สัดส่วนทองคำ

อนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมโบราณหลายแห่งในอียิปต์ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สัดส่วนทองคำ เช่น ปิรามิดแห่ง Cheops อันโด่งดัง ฯลฯ สถาปนิกของกรีกโบราณใช้สิ่งเหล่านี้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้างวัตถุทางสถาปัตยกรรม เช่น วัด อัฒจันทร์ และสนามกีฬา ตัวอย่างเช่น สัดส่วนดังกล่าวถูกนำมาใช้ในการก่อสร้างวิหารโบราณแห่งวิหารพาร์เธนอน (เอเธนส์) และวัตถุอื่นๆ ที่กลายเป็นผลงานชิ้นเอกของสถาปัตยกรรมโบราณ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความกลมกลืนตามรูปแบบทางคณิตศาสตร์

ในศตวรรษต่อมา ความสนใจในอัตราส่วนทองคำลดลง และรูปแบบต่างๆ ถูกลืมไป แต่กลับมากลับมาอีกครั้งในยุคเรอเนซองส์ด้วยหนังสือของพระภิกษุฟรานซิสกัน แอล. ปาซิโอลี ดิ บอร์โก “The Divine Proportion” (1509) มีภาพประกอบโดยเลโอนาร์โด ดา วินชี ผู้ก่อตั้งชื่อใหม่ว่า "อัตราส่วนทองคำ" คุณสมบัติ 12 ประการของอัตราส่วนทองคำได้รับการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์เช่นกัน และผู้เขียนได้พูดคุยเกี่ยวกับวิธีที่มันแสดงออกมาในธรรมชาติ ในงานศิลปะ และเรียกมันว่า "หลักการของการสร้างโลกและธรรมชาติ"

วิทรูเวียนแมน เลโอนาร์โด

ภาพวาดซึ่งเลโอนาร์โด ดาวินชีใช้ประกอบหนังสือวิทรูเวียสในปี ค.ศ. 1492 เป็นภาพมนุษย์ใน 2 ตำแหน่งโดยกางแขนออกไปด้านข้าง ร่างนั้นถูกจารึกไว้ในวงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส ภาพวาดนี้ถือเป็นสัดส่วนตามบัญญัติของร่างกายมนุษย์ (ชาย) ซึ่งเลโอนาร์โดบรรยายโดยอิงจากการศึกษาในบทความของ Vitruvius สถาปนิกชาวโรมัน

จุดศูนย์กลางลำตัวเป็นจุดที่เท่ากันจากปลายแขนและขาคือสะดือ ความยาวของแขนเท่ากับความสูงของบุคคล ความกว้างสูงสุดของไหล่ = 1/8 ของความสูง ระยะห่างจากด้านบนของอกถึงผม = 1/7 จากด้านบนของหน้าอกถึงด้านบนของศีรษะ = 1/6 เป็นต้น

ตั้งแต่นั้นมา ภาพวาดก็ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์แสดงความสมมาตรภายในของร่างกายมนุษย์

เลโอนาร์โดใช้คำว่า "อัตราส่วนทองคำ" เพื่อกำหนดความสัมพันธ์ตามสัดส่วนในร่างมนุษย์ ตัวอย่างเช่น ระยะห่างจากเอวถึงเท้าสัมพันธ์กับระยะห่างจากสะดือถึงด้านบนของศีรษะในลักษณะเดียวกับความสูงถึงความยาวช่วงแรก (จากเอวลงมา) การคำนวณนี้ทำคล้ายกับอัตราส่วนของส่วนเมื่อคำนวณสัดส่วนทองคำและมีแนวโน้มที่ 1.618

ศิลปินมักใช้สัดส่วนที่กลมกลืนกันเหล่านี้เพื่อสร้างผลงานที่สวยงามและน่าประทับใจ

การวิจัยเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำในศตวรรษที่ 16 ถึง 19

การใช้อัตราส่วนทองคำและตัวเลขฟีโบนัชชี การวิจัยเกี่ยวกับสัดส่วนเกิดขึ้นมานานหลายศตวรรษ ควบคู่ไปกับ Leonardo da Vinci ศิลปินชาวเยอรมัน Albrecht Durer ยังทำงานเพื่อพัฒนาทฤษฎีสัดส่วนที่ถูกต้องของร่างกายมนุษย์ เพื่อจุดประสงค์นี้ เขายังสร้างเข็มทิศพิเศษขึ้นมาด้วย

ในศตวรรษที่ 16 คำถามเกี่ยวกับการเชื่อมโยงระหว่างหมายเลขฟีโบนัชชีกับอัตราส่วนทองคำนั้นอุทิศให้กับงานของนักดาราศาสตร์ I. Kepler ซึ่งเป็นคนแรกที่นำกฎเหล่านี้ไปใช้กับพฤกษศาสตร์

“การค้นพบ” ใหม่กำลังรอคอยอัตราส่วนทองคำในศตวรรษที่ 19 ด้วยการตีพิมพ์ “Aesthetic Investigation” ของศาสตราจารย์ไซซิก นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน เขายกสัดส่วนเหล่านี้เป็นสัมบูรณ์และประกาศว่าเป็นสากลสำหรับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติทั้งหมด เขาทำการศึกษาผู้คนจำนวนมากหรือสัดส่วนร่างกายของพวกเขา (ประมาณ 2 พันคน) โดยขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่ได้ข้อสรุปเกี่ยวกับรูปแบบที่ได้รับการยืนยันทางสถิติในอัตราส่วนของส่วนต่าง ๆ ของร่างกาย: ความยาวของไหล่ แขน มือ นิ้ว ฯลฯ

ยังได้ศึกษาวัตถุทางศิลปะ (แจกัน โครงสร้างทางสถาปัตยกรรม) โทนเสียงดนตรี และขนาดในการเขียนบทกวีด้วย - Zeisig แสดงทั้งหมดนี้ผ่านความยาวของส่วนและตัวเลข และเขายังแนะนำคำว่า "สุนทรียภาพทางคณิตศาสตร์" หลังจากได้รับผลลัพธ์ ปรากฎว่าได้อนุกรม Fibonacci

หมายเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ

ในโลกของพืชและสัตว์มีแนวโน้มไปทางสัณฐานวิทยาในรูปแบบสมมาตรซึ่งสังเกตได้ในทิศทางของการเจริญเติบโตและการเคลื่อนไหว แบ่งออกเป็นส่วนสมมาตรโดยสังเกตสัดส่วนสีทอง - รูปแบบนี้มีอยู่ในพืชและสัตว์หลายชนิด

ธรรมชาติรอบตัวเราสามารถอธิบายได้โดยใช้ตัวเลขฟีโบนัชชี ตัวอย่างเช่น:

• การจัดเรียงใบหรือกิ่งก้านของพืชใด ๆ รวมถึงระยะทางนั้นสอดคล้องกับชุดของตัวเลขที่กำหนด 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 และอื่น ๆ
• เมล็ดทานตะวัน (เกล็ดบนโคน, เซลล์สับปะรด) เรียงเป็นสองแถวตามแนวเกลียวบิดไปในทิศทางที่ต่างกัน
• อัตราส่วนของความยาวของหางและทั้งตัวของจิ้งจก
• รูปร่างของไข่ ถ้าคุณลากเส้นผ่านส่วนกว้างของมัน
• อัตราส่วนขนาดนิ้วบนมือของบุคคล

และแน่นอนว่า รูปร่างที่น่าสนใจที่สุด ได้แก่ เปลือกหอยที่หมุนวน ลวดลายบนใยแมงมุม การเคลื่อนที่ของลมภายในพายุเฮอริเคน เกลียวคู่ใน DNA และโครงสร้างของกาแลคซี ซึ่งทั้งหมดนี้เกี่ยวข้องกับลำดับฟีโบนัชชี

การใช้อัตราส่วนทองคำในงานศิลปะ

นักวิจัยค้นหาตัวอย่างการใช้อัตราส่วนทองคำในการศึกษาศิลปะโดยละเอียดเกี่ยวกับวัตถุทางสถาปัตยกรรมและผลงานศิลปะต่างๆ มีผลงานประติมากรรมที่มีชื่อเสียงซึ่งผู้สร้างยึดถือสัดส่วนทองคำ - รูปปั้นของ Olympian Zeus, Apollo Belvedere และ

หนึ่งในผลงานสร้างสรรค์ของเลโอนาร์โด ดา วินชี “ภาพเหมือนของโมนาลิซา” เป็นหัวข้อที่นักวิทยาศาสตร์ค้นคว้าวิจัยมาหลายปีแล้ว พวกเขาค้นพบว่าองค์ประกอบของงานประกอบด้วย "สามเหลี่ยมทองคำ" ทั้งหมดรวมกันเป็นดาวห้าเหลี่ยมปกติ ผลงานทั้งหมดของดาวินชีเป็นข้อพิสูจน์ว่าความรู้ของเขาลึกซึ้งเพียงใดในโครงสร้างและสัดส่วนของร่างกายมนุษย์ ต้องขอบคุณสิ่งนี้ที่เขาสามารถจับภาพรอยยิ้มอันลึกลับของโมนาลิซ่าได้

อัตราส่วนทองคำในสถาปัตยกรรม

ตัวอย่างเช่น นักวิทยาศาสตร์ตรวจสอบผลงานชิ้นเอกทางสถาปัตยกรรมที่สร้างขึ้นตามกฎของ "อัตราส่วนทองคำ": ปิรามิดของอียิปต์, วิหารแพนธีออน, วิหารพาร์เธนอน, มหาวิหารนอเทรอดามแห่งปารีส, มหาวิหารเซนต์เบซิล ฯลฯ

วิหารพาร์เธนอน - หนึ่งในอาคารที่สวยที่สุดในกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) - มี 8 คอลัมน์และมี 17 คอลัมน์ในด้านต่างๆ อัตราส่วนของความสูงต่อความยาวของด้านข้างคือ 0.618 ส่วนที่ยื่นออกมาบนด้านหน้าทำขึ้นตาม "อัตราส่วนทองคำ" (ภาพด้านล่าง)

นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งที่คิดค้นและประยุกต์ใช้การปรับปรุงระบบสัดส่วนของวัตถุทางสถาปัตยกรรมแบบโมดูลาร์ได้สำเร็จ (ที่เรียกว่า "โมดูลาร์") คือสถาปนิกชาวฝรั่งเศส เลอ กอร์บูซีเยร์ โมดูเลเตอร์นั้นใช้ระบบการวัดที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งตามเงื่อนไขออกเป็นส่วน ๆ ของร่างกายมนุษย์

สถาปนิกชาวรัสเซีย M. Kazakov ผู้สร้างอาคารที่พักอาศัยหลายแห่งในมอสโก เช่นเดียวกับอาคารวุฒิสภาในเครมลินและโรงพยาบาล Golitsyn (ปัจจุบันเป็นคลินิกแห่งแรกที่ตั้งชื่อตาม N. I. Pirogov) เป็นหนึ่งในสถาปนิกที่ใช้กฎหมายในการออกแบบและ การก่อสร้างเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำ

การใช้สัดส่วนในการออกแบบ

ในการออกแบบเสื้อผ้า นักออกแบบแฟชั่นทุกคนสร้างภาพและนางแบบใหม่โดยคำนึงถึงสัดส่วนของร่างกายมนุษย์และกฎของอัตราส่วนทองคำ แม้ว่าโดยธรรมชาติแล้วไม่ใช่ทุกคนที่มีสัดส่วนในอุดมคติ

เมื่อวางแผนการออกแบบภูมิทัศน์และสร้างองค์ประกอบสวนสาธารณะสามมิติด้วยความช่วยเหลือของพืช (ต้นไม้และพุ่มไม้) น้ำพุและวัตถุทางสถาปัตยกรรมขนาดเล็ก สามารถใช้กฎของ "สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์" ได้เช่นกัน ท้ายที่สุดแล้วองค์ประกอบของสวนสาธารณะควรมุ่งเน้นไปที่การสร้างความประทับใจให้กับผู้มาเยี่ยมชมซึ่งจะสามารถนำทางได้อย่างอิสระและค้นหาศูนย์กลางการแต่งเพลง

องค์ประกอบทั้งหมดของสวนสาธารณะอยู่ในสัดส่วนที่สร้างความรู้สึกถึงความกลมกลืนและความสมบูรณ์แบบด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างทางเรขาคณิต ตำแหน่งสัมพัทธ์ การส่องสว่าง และแสง

การประยุกต์อัตราส่วนทองคำในไซเบอร์เนติกส์และเทคโนโลยี

กฎของส่วนสีทองและหมายเลขฟีโบนัชชียังปรากฏในการเปลี่ยนพลังงาน ในกระบวนการที่เกิดขึ้นกับอนุภาคมูลฐานที่ประกอบเป็นสารประกอบทางเคมี ในระบบอวกาศ และในโครงสร้างทางพันธุกรรมของ DNA

กระบวนการที่คล้ายกันเกิดขึ้นในร่างกายมนุษย์โดยแสดงออกในจังหวะชีวิตของชีวิตในการทำงานของอวัยวะต่างๆเช่นสมองหรือการมองเห็น

อัลกอริธึมและรูปแบบของสัดส่วนทองคำถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในไซเบอร์เนติกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ งานง่ายๆ อย่างหนึ่งที่โปรแกรมเมอร์มือใหม่ได้รับมอบหมายให้แก้คือการเขียนสูตรและหาผลรวมของตัวเลขฟีโบนัชชีจนถึงจำนวนที่กำหนดโดยใช้ภาษาการเขียนโปรแกรม

การวิจัยสมัยใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีอัตราส่วนทองคำ

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 ความสนใจในปัญหาและอิทธิพลของกฎสัดส่วนทองต่อชีวิตมนุษย์เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว และจากนักวิทยาศาสตร์หลายคนจากหลากหลายอาชีพ: นักคณิตศาสตร์ นักวิจัยชาติพันธุ์ นักชีววิทยา นักปรัชญา พนักงานทางการแพทย์ นักเศรษฐศาสตร์ นักดนตรี ฯลฯ

ในสหรัฐอเมริกา นิตยสาร The Fibonacci Quarterly เริ่มตีพิมพ์ในปี 1970 ซึ่งมีการตีพิมพ์ผลงานในหัวข้อนี้ ผลงานปรากฏในสื่อซึ่งใช้กฎทั่วไปของอัตราส่วนทองคำและชุดฟีโบนัชชีในความรู้สาขาต่างๆ ตัวอย่างเช่น การเข้ารหัสข้อมูล การวิจัยทางเคมี การวิจัยทางชีววิทยา เป็นต้น

ทั้งหมดนี้ยืนยันข้อสรุปของนักวิทยาศาสตร์โบราณและสมัยใหม่ว่าสัดส่วนทองคำนั้นเกี่ยวข้องพหุภาคีกับประเด็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์และปรากฏให้เห็นในความสมมาตรของการสร้างสรรค์และปรากฏการณ์มากมายของโลกรอบตัวเรา

ตัวเลขฟีโบนัชชีเป็นองค์ประกอบของลำดับตัวเลข

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 โดยแต่ละหมายเลขที่ตามมาจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า ชื่อนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ยุคกลาง เลโอนาร์โดแห่งปิซา (หรือฟีโบนัชชี) ซึ่งอาศัยและทำงานเป็นพ่อค้าและนักคณิตศาสตร์ในเมืองปิซาของอิตาลี เขาเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคนั้น ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดประการหนึ่งของเขาคือการแนะนำเลขอารบิคซึ่งมาแทนที่เลขโรมัน Fn = Fn-1 + Fn-2

อนุกรมทางคณิตศาสตร์แบบไม่แสดงกำกับ (นั่นคือ เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อยๆ) มีแนวโน้มที่จะมีอัตราส่วนคงที่ อย่างไรก็ตาม ทัศนคตินี้ไม่มีเหตุผล มันมีลำดับทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดและคาดเดาไม่ได้เรียงกันตามมา มันไม่สามารถแสดงออกมาได้อย่างแน่ชัด หากตัวเลขแต่ละตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของอนุกรมถูกหารด้วยหมายเลขก่อนหน้า (เช่น 13-^8 หรือ 21 -IZ) ผลลัพธ์ของการกระทำจะแสดงเป็นอัตราส่วนที่ผันผวนรอบจำนวนอตรรกยะ 1.61803398875 มากกว่าหรือเล็กน้อยเล็กน้อย น้อยกว่าอัตราส่วนข้างเคียงของซีรีส์ อัตราส่วนจะไม่มีวันแม่นยำจนถึงหลักสุดท้าย (แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังที่สุดที่สร้างขึ้นในยุคของเราก็ตาม) เพื่อความกระชับ เราจะใช้ 1.618 เป็นอัตราส่วน Fibonacci และขอให้ผู้อ่านตระหนักถึงข้อผิดพลาดนี้

ตัวเลขฟีโบนัชชีก็มีความสำคัญเช่นกันเมื่อทำการวิเคราะห์อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อหาตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสองตัว ตัวเลขฟีโบนักชีมาจากสูตรหาเส้นทแยงมุมของสามเหลี่ยมปาสกาล (ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม)

ตัวเลขฟีโบนัชชีมีความเกี่ยวข้องกับ "อัตราส่วนทองคำ"

อัตราส่วนทองคำเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณและบาบิโลนในอินเดียและจีน “อัตราส่วนทองคำ” คืออะไร? คำตอบยังไม่ทราบ ตัวเลขฟีโบนัชชีมีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการปฏิบัติในยุคของเรามาก ความสำคัญที่เพิ่มขึ้นเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 20 และดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ การใช้ตัวเลขฟีโบนัชชีในด้านเศรษฐศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ดึงดูดผู้คนจำนวนมากให้มาศึกษาวิจัย

วิธีการวิจัยของฉันประกอบด้วยการศึกษาวรรณกรรมเฉพาะทางและสรุปข้อมูลที่ได้รับ ตลอดจนดำเนินการวิจัยของตนเองและระบุคุณสมบัติของตัวเลขและขอบเขตการใช้งาน

ในระหว่างการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ เธอได้กำหนดแนวความคิดเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนัชชีและคุณสมบัติของพวกมัน ฉันยังพบรูปแบบที่น่าสนใจในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิตโดยตรงในโครงสร้างของเมล็ดทานตะวัน

บนดอกทานตะวัน เมล็ดจะเรียงกันเป็นเกลียว และจำนวนเกลียวที่ไปในทิศทางอื่นจะแตกต่างกัน - เป็นเลขฟีโบนักชีที่ต่อเนื่องกัน

ทานตะวันนี้มี 34 และ 55

เช่นเดียวกับผลสับปะรดซึ่งมีเกลียว 8 และ 14 เส้น ใบข้าวโพดมีความเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเฉพาะของตัวเลขฟีโบนักชี

เศษส่วนในรูปแบบ a/b ซึ่งสอดคล้องกับการจัดเรียงใบของขาของลำต้นเป็นเกลียว มักเป็นอัตราส่วนของตัวเลขฟีโบนักชีที่ต่อเนื่องกัน สำหรับเฮเซล อัตราส่วนนี้คือ 2/3 สำหรับไม้โอ๊ค 3/5 สำหรับป็อปลาร์ 5/8 สำหรับวิลโลว์ 8/13 เป็นต้น

เมื่อดูการเรียงตัวของใบบนลำต้นจะสังเกตได้ว่าระหว่างใบแต่ละคู่ (A และ C) ใบที่ 3 จะอยู่ที่ตำแหน่งของอัตราส่วนทองคำ (B)

คุณสมบัติที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของเลขฟีโบนักชีก็คือผลคูณและผลหารของตัวเลขฟีโบนักชีที่ต่างกันสองตัวใดๆ ที่ไม่ใช่เลขหนึ่งจะไม่เป็นเลขฟีโบนักชีเลย

จากการวิจัย ฉันก็ได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้: ตัวเลขฟีโบนัชชีเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะเฉพาะซึ่งปรากฏในคริสต์ศตวรรษที่ 13 ความก้าวหน้านี้ไม่ได้สูญเสียความเกี่ยวข้องซึ่งได้รับการยืนยันระหว่างการวิจัยของฉัน ตัวเลขฟีโบนัชชียังพบได้ในการเขียนโปรแกรมและการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ ในการวาดภาพ สถาปัตยกรรม และดนตรี ภาพวาดของศิลปินชื่อดังอย่าง Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael และ Botticelli ซ่อนความมหัศจรรย์ของอัตราส่วนทองคำไว้ แม้แต่ I. I. Shishkin ก็ใช้อัตราส่วนทองคำในภาพวาดของเขา "Pine Grove"

ยากที่จะเชื่อ แต่อัตราส่วนทองคำยังพบได้ในผลงานดนตรีของนักประพันธ์เพลงที่ยอดเยี่ยมเช่น Mozart, Beethoven, Chopin ฯลฯ

ตัวเลขฟีโบนัชชีก็พบได้ในสถาปัตยกรรมเช่นกัน ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนทองคำถูกใช้ในการก่อสร้างวิหารพาร์เธนอนและมหาวิหารนอเทรอดาม

ฉันค้นพบว่ามีการใช้หมายเลขฟีโบนัชชีในพื้นที่ของเราเช่นกัน เช่น ของแต่งบ้าน, หน้าจั่ว

โลกรอบตัวเรา ตั้งแต่อนุภาคเล็กที่สุดที่มองไม่เห็นไปจนถึงกาแล็กซีอันห่างไกลในอวกาศอันไม่มีที่สิ้นสุด เต็มไปด้วยปริศนาลึกลับมากมายที่ยังไขไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ม่านแห่งความลึกลับได้ถูกเปิดออกแล้วบางส่วนด้วยความคิดที่อยากรู้อยากเห็นของนักวิทยาศาสตร์จำนวนหนึ่ง

ตัวอย่างหนึ่งก็คือ “อัตราส่วนทองคำ” และตัวเลขฟีโบนัชชี ซึ่งเป็นรากฐานของมัน รูปแบบนี้สะท้อนให้เห็นในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ และมักพบในธรรมชาติที่อยู่รอบตัวมนุษย์ ไม่รวมความเป็นไปได้ที่มันจะเกิดขึ้นจากความบังเอิญอีกครั้ง

ตัวเลขฟีโบนัชชีและลำดับของมัน

ลำดับฟีโบนัชชีของตัวเลข คือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละตัวเป็นผลรวมของสองตัวก่อนหน้า:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

ความไม่ชอบมาพากลของลำดับนี้คือค่าตัวเลขที่ได้รับจากการหารตัวเลขของซีรีย์นี้ด้วยกัน

ชุดตัวเลขฟีโบนัชชีมีรูปแบบที่น่าสนใจของตัวเอง:

• ในชุดตัวเลข Fibonacci แต่ละตัวเลขหารด้วยถัดไปจะแสดงค่าแนวโน้ม 0,618 . ยิ่งตัวเลขอยู่ห่างจากตอนต้นของซีรีส์มากเท่าใด อัตราส่วนก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น เช่น ตัวเลขที่นำมาต้นแถว 5 และ 8 จะแสดง 0,625 (5/8=0,625 ). ถ้าเราเอาตัวเลข 144 และ 233 จากนั้นจะแสดงอัตราส่วน 0.618 .
• ในทางกลับกัน หากเราหารตัวเลขด้วยตัวเลขก่อนหน้าในชุดตัวเลข Fibonacci ผลลัพธ์ของการหารจะมีแนวโน้มว่า 1,618 . ตัวอย่างเช่น มีการใช้ตัวเลขเดียวกันกับที่กล่าวไว้ข้างต้น: 8/5=1,6 และ 233/144=1,618 .
• ตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขถัดไปหลังจากนั้นจะแสดงค่าที่ใกล้เข้ามา 0,382 . และยิ่งนำตัวเลขไปไกลจากจุดเริ่มต้นของอนุกรม ค่าของอัตราส่วนก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้น: 5/13=0,385 และ 144/377=0,382 . การหารตัวเลขในลำดับย้อนกลับจะให้ผลลัพธ์ 2,618 : 13/5=2,6 และ 377/144=2,618 .

เมื่อใช้วิธีการคำนวณที่อธิบายไว้ข้างต้นและเพิ่มช่องว่างระหว่างตัวเลข คุณจะได้ชุดค่าต่อไปนี้: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236 ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในเครื่องมือ Fibonacci ในตลาด Forex

อัตราส่วนทองคำหรือสัดส่วนศักดิ์สิทธิ์

การเปรียบเทียบกับส่วนแสดงถึง "อัตราส่วนทองคำ" และตัวเลขฟีโบนักชีอย่างชัดเจน หากส่วน AB ถูกหารด้วยจุด C ในอัตราส่วนที่ตรงตามเงื่อนไข:

AC/BC=BC/AB ก็จะเป็น “อัตราส่วนทองคำ”

อ่านบทความต่อไปนี้ด้วย:

น่าแปลกที่นี่คือความสัมพันธ์ที่สามารถสืบย้อนได้จากชุดฟีโบนัชชี เมื่อนำตัวเลขสองสามตัวจากอนุกรมมา คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการคำนวณว่าเป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ลำดับเลขฟีโบนัชชีนี้... 55, 89, 144 ... ให้เลข 144 เป็นส่วนจำนวนเต็ม AB ดังที่กล่าวข้างต้น เนื่องจาก 144 คือผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า ดังนั้น 55+89=AC+BC=144

การแบ่งส่วนจะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้:

เอซี/บีซี=55/89=0.618

พ.ศ./AB=89/144=0.618

หากเราหาส่วน AB ทั้งหมดหรือเป็นหน่วย ดังนั้น AC=55 จะเป็น 0.382 ของทั้งหมดนี้ และ BC=89 จะเท่ากับ 0.618

ตัวเลข Fibonacci เกิดขึ้นที่ไหน?

ชาวกรีกและชาวอียิปต์รู้จักลำดับเลขฟีโบนัชชีแบบปกติมาก่อนลีโอนาโด ฟีโบนัชชีเสียอีก ชุดตัวเลขนี้ได้รับชื่อนี้หลังจากที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังรายนี้รับประกันว่าปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้จะถูกเผยแพร่ในหมู่นักวิทยาศาสตร์อย่างกว้างขวาง

สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าตัวเลขฟีโบนัชชีสีทองไม่ได้เป็นเพียงวิทยาศาสตร์ แต่เป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของโลกรอบตัวเรา ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติหลายอย่าง ตัวแทนของพืชและสัตว์มี "อัตราส่วนทองคำ" ในสัดส่วนของมัน เหล่านี้คือเกลียวขดของเปลือกหอย และการจัดเรียงของเมล็ดทานตะวัน กระบองเพชร และสับปะรด

เกลียวซึ่งเป็นสัดส่วนของกิ่งก้านที่อยู่ภายใต้กฎของ "อัตราส่วนทองคำ" เป็นรากฐานของการก่อตัวของพายุเฮอริเคน การทอผ้าของแมงมุม รูปร่างของกาแลคซีหลายแห่ง การพันกันของโมเลกุล DNA และ ปรากฏการณ์อื่น ๆ อีกมากมาย

ความยาวของหางจิ้งจกต่อลำตัวมีอัตราส่วน 62 ต่อ 38 หน่อชิโครีจะดีดออกก่อนที่จะปล่อยใบไม้ หลังจากปล่อยแผ่นแรก การดีดออกครั้งที่สองจะเกิดขึ้นก่อนที่จะปล่อยแผ่นที่สอง โดยมีแรงเท่ากับ 0.62 ของหน่วยแรงปกติของการดีดออกครั้งแรก ค่าผิดปกติที่สามคือ 0.38 และตัวที่สี่คือ 0.24

สำหรับเทรดเดอร์ สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งก็คือการเคลื่อนไหวของราคาในตลาด Forex มักจะขึ้นอยู่กับรูปแบบของตัวเลข Fibonacci สีทอง ตามลำดับนี้ มีการสร้างเครื่องมือจำนวนหนึ่งที่เทรดเดอร์สามารถใช้ในคลังแสงของเขาได้

เครื่องมือ “ ” ซึ่งเทรดเดอร์มักใช้ สามารถแสดงเป้าหมายการเคลื่อนไหวของราคา รวมถึงระดับการปรับฐานด้วยความแม่นยำสูง

ลำดับฟีโบนัชชีทุกคนรู้จักจากภาพยนตร์เรื่อง "The Da Vinci Code" - ชุดตัวเลขที่อธิบายในรูปแบบของปริศนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Leonardo of Pisa หรือที่รู้จักกันดีในชื่อเล่น Fibonacci ในศตวรรษที่ 13 สาระสำคัญของปริศนาโดยย่อ:

มีคนวางกระต่ายคู่หนึ่งไว้ในที่ปิดแห่งหนึ่งเพื่อดูว่ากระต่ายจะเกิดกี่คู่ในระหว่างปี ถ้าลักษณะของกระต่ายเป็นเช่นนั้นทุกเดือนจะมีกระต่ายตัวหนึ่งออกลูกอีกคู่หนึ่ง และพวกเขาก็ สามารถให้กำเนิดลูกหลานได้เมื่ออายุครบสองเดือน

ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดตัวเลขดังนี้: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 โดยแสดงจำนวนคู่ของกระต่ายในแต่ละเดือนทั้ง 12 เดือน โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด สาระสำคัญของมันคือแต่ละหมายเลขถัดไปคือผลรวมของสองตัวก่อนหน้า

ซีรีส์นี้มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์หลายประการที่ต้องสัมผัสอย่างแน่นอน มันมีแนวโน้มเชิงเส้นกำกับ (เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อยๆ) มีแนวโน้มที่จะมีอัตราส่วนคงที่ อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนนี้ไม่ลงตัว กล่าวคือ เป็นตัวเลขที่มีลำดับทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดและคาดเดาไม่ได้ในส่วนของเศษส่วน มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงออกอย่างแม่นยำ

ดังนั้น อัตราส่วนของสมาชิกใดๆ ของอนุกรมต่ออัตราส่วนก่อนหน้าจึงผันผวนไปตามจำนวน 1,618 บางครั้งก็เกินเลย บางครั้งก็ไม่ถึง อัตราส่วนต่อไปนี้เข้าใกล้ตัวเลขในทำนองเดียวกัน 0,618 ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผัน 1,618 . ถ้าเราหารองค์ประกอบด้วยหนึ่งเราจะได้ตัวเลข 2,618 และ 0,382 ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันเช่นกัน สิ่งเหล่านี้เรียกว่าอัตราส่วนฟีโบนัชชี

ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? นี่คือวิธีที่เราเข้าใกล้หนึ่งในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่ลึกลับที่สุด เลโอนาร์โดผู้รอบรู้ไม่ได้ค้นพบสิ่งใหม่โดยพื้นฐานแล้วเขาเพียงแค่เตือนโลกถึงปรากฏการณ์เช่นนี้ อัตราส่วนทองคำซึ่งไม่ได้ด้อยกว่าในความสำคัญกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เราแยกแยะวัตถุต่างๆ รอบตัวเราด้วยรูปร่างของมัน เราชอบบางอย่างมากกว่า บางอันน้อยกว่า บางอันก็ดูไม่เข้าท่าเลย บางครั้งความสนใจสามารถถูกกำหนดโดยสถานการณ์ในชีวิต และบางครั้งโดยความสวยงามของวัตถุที่สังเกตได้ รูปร่างที่สมมาตรและเป็นสัดส่วนส่งเสริมการรับรู้ทางสายตาที่ดีที่สุดและกระตุ้นความรู้สึกของความงามและความกลมกลืน รูปภาพที่สมบูรณ์จะประกอบด้วยส่วนที่มีขนาดต่างกันซึ่งมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันและโดยรวมเสมอ อัตราส่วนทองคำ- การสำแดงสูงสุดของความสมบูรณ์แบบขององค์รวมและส่วนต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ ศิลปะ และธรรมชาติ

หากต้องการใช้ตัวอย่างง่ายๆ อัตราส่วนทองคำคือการแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนในอัตราส่วนที่ส่วนที่ใหญ่กว่าสัมพันธ์กับส่วนที่เล็กกว่า เนื่องจากผลรวม (ทั้งส่วน) เท่ากับส่วนที่ใหญ่กว่า

ถ้าเราเอาทั้งส่วน ค ด้านหลัง 1 จากนั้นส่วน ก จะเท่ากัน 0,618 , ส่วนของเส้นตรง ข - 0,382 ด้วยวิธีนี้เท่านั้นที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขของอัตราส่วนทองคำ (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . ทัศนคติ ค ถึง ก เท่ากับ 1,618 , ก กับ ถึง ข 2,618 . นี่เป็นอัตราส่วน Fibonacci แบบเดียวกับที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

แน่นอนว่ายังมีสี่เหลี่ยมสีทอง สามเหลี่ยมทองคำ และแม้แต่ทรงลูกบาศก์สีทองด้วย สัดส่วนของร่างกายมนุษย์นั้นใกล้เคียงกับมาตราสีทองหลายประการ

ภาพ: marcus-frings.de

แต่ความสนุกเริ่มต้นเมื่อเรารวมความรู้ที่เราได้รับ ตัวเลขแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำอย่างชัดเจน เราเริ่มต้นด้วยสองสี่เหลี่ยมของขนาดแรก เพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดที่สองไว้ด้านบน วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสข้างๆ โดยให้ด้านเท่ากับผลรวมของด้านข้างของขนาด 2/3 ก่อนหน้า โดยการเปรียบเทียบจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดห้าปรากฏขึ้น และต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าคุณจะเหนื่อย สิ่งสำคัญคือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถัดไปแต่ละด้านจะเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านของสองด้านก่อนหน้า เราเห็นชุดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเป็นตัวเลขฟีโบนัชชี และที่น่าแปลกก็คือ พวกมันถูกเรียกว่าสี่เหลี่ยมฟีโบนักชี

ถ้าเราวาดเส้นเรียบๆ ผ่านมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะไม่ได้อะไรมากไปกว่าเกลียวอาร์คิมิดีส ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอเสมอ

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ?

รูปถ่าย: เอธานไฮน์บนฟลิคเกอร์

และไม่เพียงแต่ในเปลือกหอยเท่านั้นที่คุณจะพบเกลียวของอาร์คิมิดีส แต่ในดอกไม้และพืชหลายชนิด พวกมันไม่ได้ชัดเจนนัก

ว่านหางจระเข้มัลติโฟเลีย:

รูปถ่าย: หนังสือเบียร์บนฟลิคเกอร์

รูปถ่าย: beart.org.uk
รูปถ่าย: เอสดราสคัลเดอรันบนฟลิคเกอร์
รูปถ่าย: มันจ98บนฟลิคเกอร์

และตอนนี้ก็ถึงเวลาจดจำมาตราทองคำแล้ว! ภาพถ่ายเหล่านี้มีการสร้างสรรค์ธรรมชาติที่สวยงามและกลมกลืนกันมากที่สุดบางส่วนหรือไม่ และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด หากมองใกล้ ๆ จะพบรูปแบบที่คล้ายคลึงกันในหลายรูปแบบ

แน่นอนว่าข้อความที่ว่าปรากฏการณ์ทั้งหมดนี้อิงกับลำดับฟีโบนัชชีฟังดูดังเกินไป แต่แนวโน้มนั้นชัดเจน นอกจากนี้ตัวเธอเองยังห่างไกลจากความสมบูรณ์แบบเหมือนทุกสิ่งในโลกนี้

มีข้อสันนิษฐานว่าอนุกรมฟีโบนัชชีเป็นความพยายามโดยธรรมชาติในการปรับให้เข้ากับลำดับลอการิทึมอัตราส่วนทองคำที่เป็นพื้นฐานและสมบูรณ์แบบมากขึ้น ซึ่งเกือบจะเหมือนกัน เพียงแต่เริ่มต้นจากที่ไหนเลยและไปไม่ถึงไหนเลย ธรรมชาติต้องการการเริ่มต้นทั้งหมดอย่างแน่นอน มันไม่สามารถสร้างบางสิ่งบางอย่างจากความว่างเปล่าได้ อัตราส่วนของเทอมแรกของลำดับฟีโบนักชีอยู่ไกลจากอัตราส่วนทองคำ แต่ยิ่งเราเคลื่อนไปไกลเท่าไหร่ ความเบี่ยงเบนเหล่านี้ก็จะยิ่งราบรื่นมากขึ้นเท่านั้น ในการกำหนดซีรี่ส์ใด ๆ ก็เพียงพอที่จะรู้คำศัพท์สามคำของมันมาทีละคำ แต่ไม่ใช่สำหรับลำดับสีทอง สองอันก็เพียงพอแล้ว มันเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและเลขคณิตในเวลาเดียวกัน บางคนอาจคิดว่ามันเป็นพื้นฐานของลำดับอื่นๆ ทั้งหมด

แต่ละเทอมของลำดับลอการิทึมสีทองคือกำลังของอัตราส่วนทองคำ ( z). ส่วนหนึ่งของซีรีส์มีลักษณะดังนี้: ... z -5 ; ซี -4 ; ซี -3 ; ซี -2 ; ซี -1 ; ซี 0 ; ซี 1 ; ซี 2 ; z 3 ; z 4 ; ซี 5...ถ้าเราปัดเศษของอัตราส่วนทองคำเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง เราก็จะได้ z=1.618จากนั้นซีรีส์จะมีลักษณะดังนี้: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... แต่ละเทอมถัดไปสามารถรับได้ไม่เพียงแค่คูณเทอมก่อนหน้าด้วย 1,618 แต่ยังเพิ่มสองรายการก่อนหน้าด้วย ดังนั้นการเติบโตแบบทวีคูณจึงทำได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบที่อยู่ติดกันสองรายการ มันเป็นอนุกรมที่ไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด และนั่นคือสิ่งที่ลำดับฟีโบนัชชีพยายามจะเป็นเช่นนี้ ด้วยจุดเริ่มต้นที่ชัดเจน เธอมุ่งมั่นเพื่ออุดมคติแต่ไม่เคยบรรลุมันเลย นั่นคือชีวิต

แต่เนื่องจากทุกสิ่งที่เราได้เห็นและอ่าน มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น:
ตัวเลขเหล่านี้มาจากไหน? ใครคือสถาปนิกแห่งจักรวาลที่พยายามทำให้มันสมบูรณ์แบบ? ทุกอย่างเป็นไปตามที่เขาต้องการหรือเปล่า? และถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุใดจึงผิดพลาด? การกลายพันธุ์? เลือกฟรี? จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป? เกลียวม้วนงอหรือคลี่คลายหรือไม่?

เมื่อพบคำตอบสำหรับคำถามหนึ่งแล้ว คุณจะได้รับคำถามถัดไป หากคุณแก้ปัญหาได้ คุณจะได้อันใหม่สองตัว เมื่อคุณจัดการกับพวกมันแล้ว อีกสามคนก็จะปรากฏขึ้น เมื่อแก้ไขได้แล้ว คุณจะมีห้ารายการที่ยังไม่ได้แก้ไข แปดแล้วก็สิบสาม 21, 34, 55...

ที่มา: ; ; ;