อนุกรมการกระจายของ c แบบแยกส่วนใน x ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ตัวแปรสุ่ม”
บทที่ 1 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
§ 1. แนวคิดของตัวแปรสุ่ม
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
คำนิยาม : สุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดสอบ โดยนำค่าเพียงค่าเดียวจากชุดค่าที่เป็นไปได้ โดยไม่ทราบล่วงหน้าและขึ้นอยู่กับเหตุผลที่สุ่ม
ตัวแปรสุ่มมีสองประเภท: แบบแยกและแบบต่อเนื่อง
คำนิยาม : เรียกตัวแปรสุ่ม X ไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) ถ้าเซตของค่านั้นมีจำกัดหรืออนันต์แต่นับได้
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้
ตัวแปรสุ่มสามารถอธิบายได้โดยใช้กฎการแจกแจง
คำนิยาม : กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เรียกความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X สามารถระบุได้ในรูปแบบของตารางในแถวแรกซึ่งค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มจะถูกระบุตามลำดับจากน้อยไปหามากและในแถวที่สองความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันของสิ่งเหล่านี้ ค่านิยมเช่น
โดยที่ р1+ р2+…+ рn=1
ตารางดังกล่าวเรียกว่าชุดการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
หากชุดของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนั้นไม่มีที่สิ้นสุด อนุกรม p1+ p2+…+ pn+… มาบรรจบกันและผลรวมของมันจะเท่ากับ 1
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบแยก X สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ โดยเส้นขาดจะถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม โดยเชื่อมต่อจุดตามลำดับด้วยพิกัด (xi; pi), i=1,2,…n บรรทัดผลลัพธ์เรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปที่ 1)
เคมีอินทรีย์" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">เคมีอินทรีย์คือ 0.7 และ 0.8 ตามลำดับ ให้ร่างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนข้อสอบที่นักเรียนจะผ่าน
สารละลาย. ตัวแปรสุ่มที่พิจารณา X ซึ่งเป็นผลมาจากการสอบสามารถรับค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้: x1=0, x2=1, x3=2
มาหาความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้กัน
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
ดังนั้น กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X จึงได้รับจากตาราง:
ควบคุม: 0.6+0.38+0.56=1
§ 2. ฟังก์ชั่นการกระจาย
คำอธิบายที่สมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มจะได้รับจากฟังก์ชันการแจกแจงด้วย
คำนิยาม: ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X เรียกว่าฟังก์ชัน F(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะได้รับค่าน้อยกว่า x:
ฉ(x)=ป(X<х)
ในเชิงเรขาคณิต ฟังก์ชันการกระจายถูกตีความว่าเป็นความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะนำค่าที่แสดงบนเส้นจำนวนจากจุดที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด x
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) เป็นฟังก์ชันไม่ลดลงบน (-∞;+∞);
3) F(x) - ต่อเนื่องทางด้านซ้ายที่จุด x= xi (i=1,2,...n) และต่อเนื่องที่จุดอื่นๆ ทั้งหมด
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
ถ้ากฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ให้ไว้ในรูปแบบของตาราง:
ดังนั้นฟังก์ชันการแจกแจง F(x) จะถูกกำหนดโดยสูตร:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 สำหรับ x≤ x1,
р1 ที่ x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 ที่ x2< х≤ х3
1 สำหรับ x>xn
กราฟแสดงไว้ในรูปที่ 2:
§ 3. ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ลักษณะตัวเลขที่สำคัญประการหนึ่งคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
คำนิยาม: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าทั้งหมดและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:
เอ็ม(เอ็กซ์) = ∑ ซิริ= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นลักษณะของค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
1)M(C)=C โดยที่ C คือค่าคงที่
2)ม(ค X)=ค ม(X),
3)ม(X±Y)=ม(X) ±ม(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y) โดยที่ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ
5)M(X±C)=M(X)±C โดยที่ C คือค่าคงที่
เพื่อระบุลักษณะระดับการกระจายตัวของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องรอบค่าเฉลี่ย จะใช้การกระจายตัว
คำนิยาม: ความแปรปรวน ดี ( เอ็กซ์ ) ตัวแปรสุ่ม X คือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
คุณสมบัติการกระจายตัว:
1)D(C)=0 โดยที่ C คือค่าคงที่
2)D(X)>0 โดยที่ X คือตัวแปรสุ่ม
3)D(C X)=C2 D(X) โดยที่ C คือค่าคงที่
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y) โดยที่ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ
ในการคำนวณความแปรปรวน มักใช้สูตรดังนี้
ง(X)=ม(X2)-(ม(X))2,
โดยที่ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
ความแปรปรวน D(X) มีมิติของตัวแปรสุ่มกำลังสอง ซึ่งไม่สะดวกเสมอไป ดังนั้นค่า √D(X) จึงถูกใช้เป็นตัวบ่งชี้การกระจายตัวของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มด้วย
คำนิยาม: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซิ(X) ตัวแปรสุ่ม X เรียกว่ารากที่สองของความแปรปรวน:
ภารกิจที่ 2ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ถูกระบุโดยกฎการกระจาย:
ค้นหา P2 ซึ่งเป็นฟังก์ชันการกระจาย F(x) และเขียนกราฟ รวมถึง M(X), D(X), σ(X)
สารละลาย: เนื่องจากผลรวมของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X เท่ากับ 1 ดังนั้น
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
ลองหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x)=P(X ในเชิงเรขาคณิต ความเท่าเทียมกันนี้สามารถตีความได้ดังนี้ F(x) คือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่าที่แสดงบนแกนตัวเลขโดยจุดที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด x ถ้า x≤-1 แล้ว F(x)=0 เนื่องจากไม่มีค่าเดียวของตัวแปรสุ่มนี้บน (-∞;x) ถ้า -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; ถ้า 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) มีสองค่า x1=-1 และ x2=0; ถ้า 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; ถ้า 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; ถ้า x>3 แล้ว F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1 เนื่องจากสี่ค่า x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 อยู่ในช่วง (-∞;x) และ x5=3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 ที่ x≤-1, 0.1 ที่ -1<х≤0, 0.2 ที่ 0<х≤1, F(x)= 0.5 ที่ 1<х≤2, 0.7 ที่ 2<х≤3, 1 ที่ x>3 เรามาแสดงฟังก์ชัน F(x) แบบกราฟิก (รูปที่ 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">หยาบคาย1.2845 §
4. กฎหมายการกระจายแบบทวินาม ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง กฎของปัวซอง คำนิยาม: ทวินาม
เรียกว่ากฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองซ้ำแบบอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละเหตุการณ์ A อาจเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p หรือไม่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1-p จากนั้น P(X=m) - ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งในการทดลอง n ครั้งคำนวณโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี: Р( Raj=m)=Сmnpmqn-m ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X ที่แจกแจงตามกฎไบนารี่ ตามลำดับ โดยใช้สูตร: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A - "เปิดตัวห้า" ในการทดลองแต่ละครั้งจะเท่ากันและเท่ากับ 1/6 เช่น . P(A)=p=1/6 จากนั้น P(A)=1-p=q=5/6 โดยที่ - “ล้มเหลวในการได้รับ A” ตัวแปรสุ่ม X สามารถรับค่าต่อไปนี้: 0;1;2;3 เราค้นหาความน่าจะเป็นของแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของ X โดยใช้สูตรของ Bernoulli: Р( Raj=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р( Raj=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р( Raj=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р( Raj=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. ที่. กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X มีรูปแบบ: ควบคุม: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. มาหาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X: ม(X)=np=3 (1/6)=1/2, ง(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, ภารกิจที่ 4เครื่องประทับตราชิ้นส่วนอัตโนมัติ ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ผลิตจะชำรุดคือ 0.002 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนที่เลือก 1,000 ชิ้น: ก) มีข้อบกพร่อง 5 รายการ; b) มีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งรายการ สารละลาย:
ตัวเลข n=1000 มีค่ามาก ความน่าจะเป็นในการผลิตชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง p=0.002 มีน้อย และเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา (ชิ้นส่วนกลายเป็นว่ามีข้อบกพร่อง) มีความเป็นอิสระ ดังนั้นสูตรปัวซองจึงถือว่า: รน(ม.)= จ-
λ
แลม ลองหา แลมบ์ดา = np = 1,000 0.002 = 2 ก) จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้น (m=5) Р1,000(5)= จ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุดอย่างน้อยหนึ่งชิ้น เหตุการณ์ A - “ชิ้นส่วนที่เลือกอย่างน้อยหนึ่งชิ้นมีข้อบกพร่อง” เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ - “ชิ้นส่วนที่เลือกทั้งหมดไม่มีข้อบกพร่อง” ดังนั้น P(A) = 1-P() ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจึงเท่ากับ: P(A)=1-P1000(0)=1- จ-2
20
= 1- อี-2=1-0.13534µ0.865 งานสำหรับงานอิสระ
1.1
1.2.
ตัวแปรสุ่มแบบกระจาย X ถูกระบุโดยกฎการกระจาย: ค้นหา p4 ซึ่งเป็นฟังก์ชันการแจกแจง F(X) และเขียนกราฟ รวมถึง M(X), D(X), σ(X) 1.3.
ในกล่องมีปากกามาร์กเกอร์ 9 อัน โดย 2 อันไม่ได้เขียนอีกต่อไป สุ่มเครื่องหมาย 3 อัน ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนเครื่องหมายการเขียนในบรรดาเครื่องหมายที่ถ่าย เขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม 1.4.
มีหนังสือเรียน 6 เล่มจัดเรียงแบบสุ่มบนชั้นห้องสมุด โดย 4 เล่มถูกผูกไว้ บรรณารักษ์หยิบหนังสือเรียน 4 เล่มแบบสุ่ม ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนหนังสือเรียนที่เข้าเล่ม เขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม 1.5.
มีสองงานบนตั๋ว ความน่าจะเป็นที่จะแก้ไขปัญหาแรกได้อย่างถูกต้องคือ 0.9 ส่วนที่สองคือ 0.7 ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนปัญหาที่แก้ไขถูกต้องในตั๋ว เขียนกฎการแจกแจง คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้ และหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) แล้วสร้างกราฟ 1.6.
มือปืนสามคนกำลังยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าด้วยนัดเดียวคือ 0.5 สำหรับมือปืนคนแรก, 0.8 สำหรับมือที่สอง และ 0.7 สำหรับมือที่สาม ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนครั้งที่โจมตีเป้าหมายหากผู้ยิงยิงทีละนัด ค้นหากฎการกระจาย M(X),D(X) 1.7.
ผู้เล่นบาสเกตบอลยิงลูกบอลลงห่วงตาข่ายโดยมีความน่าจะเป็นที่จะตีแต่ละช็อตที่ 0.8 สำหรับการโจมตีแต่ละครั้ง เขาได้รับ 10 คะแนน และหากเขาพลาด จะไม่ได้รับคะแนนจากเขา ร่างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนคะแนนที่ผู้เล่นบาสเก็ตบอลได้รับใน 3 ช็อต ค้นหา M(X),D(X) และความน่าจะเป็นที่เขาได้คะแนนมากกว่า 10 คะแนน 1.8.
ตัวอักษรเขียนบนการ์ด มีสระ 5 ตัว และพยัญชนะ 3 ตัว สุ่มเลือกไพ่ 3 ใบ และทุกครั้งที่ได้ไพ่คืน ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนสระที่นำมา เขียนกฎการกระจายและหา M(X),D(X),σ(X) 1.9.
โดยเฉลี่ยแล้ว น้อยกว่า 60% ของสัญญา บริษัทประกันภัยจะจ่ายเงินประกันที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยเกิดขึ้น จัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนสัญญาที่จ่ายประกันให้กับสี่สัญญาที่เลือกโดยการสุ่ม ค้นหาลักษณะเชิงตัวเลขของปริมาณนี้ 1.10.
สถานีวิทยุจะส่งสัญญาณเรียก (ไม่เกินสี่สัญญาณ) ในช่วงเวลาหนึ่งจนกว่าจะมีการสื่อสารแบบสองทาง ความน่าจะเป็นที่จะได้รับการตอบสนองต่อสัญญาณเรียกขานคือ 0.3 ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนสัญญาณเรียกที่ส่ง เขียนกฎการกระจายและหา F(x) 1.11.
มีกุญแจอยู่ 3 ดอก โดยมีเพียงดอกเดียวเท่านั้นที่ล็อคได้ ร่างกฎสำหรับการกระจายตัวแปรสุ่มจำนวน X ของความพยายามในการเปิดล็อค หากคีย์ที่ลองใช้ไม่มีส่วนร่วมในการพยายามครั้งต่อๆ ไป หา M(X),D(X) 1.12.
มีการทดสอบความน่าเชื่อถือของอุปกรณ์ทั้งสามอย่างต่อเนื่องโดยอิสระ อุปกรณ์ที่ตามมาแต่ละเครื่องจะได้รับการทดสอบเฉพาะเมื่ออุปกรณ์ก่อนหน้านี้เชื่อถือได้เท่านั้น ความน่าจะเป็นที่จะผ่านการทดสอบสำหรับแต่ละอุปกรณ์คือ 0.9 จัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวน X ของอุปกรณ์ที่ทดสอบ 1.13
. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X มีค่าที่เป็นไปได้สามค่า: x1=1, x2, x3 และ x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
บล็อกอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เหมือนกัน 100 รายการ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบในช่วงเวลา T คือ 0.002 องค์ประกอบต่างๆ ทำงานอย่างเป็นอิสระ ค้นหาความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบจะล้มเหลวไม่เกินสององค์ประกอบในช่วงเวลา T 1.15.
หนังสือเรียนนี้ตีพิมพ์ด้วยยอดจำหน่าย 50,000 เล่ม ความน่าจะเป็นที่หนังสือเรียนผูกไม่ถูกต้องคือ 0.0002 ค้นหาความน่าจะเป็นที่การหมุนเวียนประกอบด้วย: ก) หนังสือชำรุดสี่เล่ม b) หนังสือที่มีข้อบกพร่องน้อยกว่าสองเล่ม 1
.16.
จำนวนสายที่มาถึง PBX ทุกนาทีจะกระจายตามกฎของปัวซอง โดยมีพารามิเตอร์ แล = 1.5 จงหาความน่าจะเป็นที่สิ่งต่อไปนี้จะมาถึงในหนึ่งนาที: ก) สองสาย; b) อย่างน้อยหนึ่งครั้ง 1.17.
ค้นหา M(Z),D(Z) ถ้า Z=3X+Y 1.18.
กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะได้รับ: ค้นหา M(Z),D(Z) ถ้า Z=X+2Y คำตอบ:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; 0 ที่x≤-2, 0.3 ที่ -2<х≤0, F(x)= 0.5 ที่ 0<х≤2, 0.9 ที่ 2<х≤5, 1 ที่ x>5 0.3 ที่ -1<х≤0, 0.4 ที่ 0<х≤1, F(x)= 0.6 ที่ 1<х≤2, 0.7 ที่ 2<х≤3, 1 ที่ x>3 ม(X)=1; ง(X)=2.6; σ(X) µ1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 ที่ x≤0, 0.03 ที่ 0<х≤1, F(x)= 0.37 ที่ 1<х≤2, 1 สำหรับ x>2 ม(X)=2; ด(X)=0.62 ม(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
ม(X)=15/8; ด(X)=45/64; σ(XX) µ ม(X)=2.4; ด(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
ม(X)=2; ด(X)=2/3 1.14.
1.22 อี-0.2ñ0.999 1.15.
ก)0.0189; ข) 0.00049 1.16.
ก)0.0702; ข)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. บทที่ 2 ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
คำนิยาม: ต่อเนื่อง
พวกเขาเรียกปริมาณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งเติมช่วงขอบเขตหรืออนันต์ของเส้นจำนวนโดยสมบูรณ์ เห็นได้ชัดว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องสามารถระบุได้โดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจง คำนิยาม:เอฟ ฟังก์ชั่นการกระจาย
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เรียกว่าฟังก์ชัน F(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> ร ฟังก์ชันการแจกแจงบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันการแจกแจงสะสม คุณสมบัติของฟังก์ชันการแจกแจง:
1)1≤ เอฟ(x) ≤1 2) สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ฟังก์ชันการแจกแจงจะต่อเนื่องที่จุดใดก็ได้และสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ยกเว้นบางทีที่แต่ละจุด 3) ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะตกอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง (a;b), [a;b], [a;b] เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชัน F(x) ที่จุด a และ b เช่น ร(ก)<Х 4) ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X จะใช้ค่าที่แยกกันหนึ่งค่าคือ 0 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 การระบุตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องโดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจงไม่ใช่วิธีเดียว ให้เราแนะนำแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น (ความหนาแน่นของการแจกแจง) คำนิยาม
:
ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น
ฉ
(
x
)
ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระจาย เช่น: ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่างหรือกฎการแจกแจงส่วนต่าง กราฟของการแจกแจงความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) เรียกว่า เส้นการกระจายความน่าจะเป็น
.
คุณสมบัติของการกระจายความหนาแน่นของความน่าจะเป็น:
1) f(x) ≥0, ที่ xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK13"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8 วินาที; b) เป็นที่รู้กันว่า F(x)= ∫ f(x)dx ดังนั้น x ถ้า x≤2 แล้ว F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 ถ้า x>6 แล้ว F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. ดังนั้น, 0 ที่ x≤2, F(x)= (x-2)2/16 ที่ 2<х≤6, 1 สำหรับ x>6 กราฟของฟังก์ชัน F(x) แสดงในรูปที่ 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 ที่ x≤0, F(x)= (3 อาร์คแทน x)/π ที่ 0<х≤√3, 1 สำหรับ x>√3 ค้นหาฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง f(x) สารละลาย:
เนื่องจาก f(x)= F’(x) ดังนั้น DIV_ADBLOCK14"> · ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M (X)
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: M(X)= ∫ x ฉ(x)dx, โดยมีเงื่อนไขว่าอินทิกรัลนี้มาบรรจบกันโดยสมบูรณ์ · การกระจายตัว
ดี
(
เอ็กซ์
)
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx หรือ D(X)= ∫ x2 ฉ(x)dx - (M(x))2 · ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(X)
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: คุณสมบัติทั้งหมดของความคาดหวังและการกระจายทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบกระจายนั้นใช้ได้กับตัวแปรต่อเนื่องเช่นกัน ภารกิจที่ 3ตัวแปรสุ่ม X ถูกระบุโดยฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> ป(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
2.1.
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถูกระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง: 0 ที่ x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 สำหรับ x≤ π/6, F(x)= - cos 3x ที่ π/6<х≤ π/3, 1 สำหรับ x> π/3 ค้นหาฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง f(x) และด้วย Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 ที่ x≤2, ฉ(x)= ค x ที่ 2<х≤4, 0 สำหรับ x>4 2.4.
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถูกระบุโดยความหนาแน่นของการแจกแจง: 0 ที่ x≤0, f(x)= ค √x ที่ 0<х≤1, 0 สำหรับ x>1 ค้นหา: ก) หมายเลข c; ข) ม(X), ง(X) 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> ที่ x, 0 ที่ x ค้นหา: a) F(x) และพล็อตมัน; ข) M(X),D(X), σ(X); c) ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระสี่ครั้ง ค่าของ X จะเป็น 2 เท่าของค่าที่เป็นของช่วง (1;4) 2.6.
ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X จะได้รับ: ฉ(x)= 2(x-2) ที่ x, 0 ที่ x ค้นหา: a) F(x) และพล็อตมัน; ข) M(X),D(X), σ (X); c) ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระสามครั้ง ค่าของ X จะเป็น 2 เท่าของค่าที่เป็นของกลุ่ม 2.7.
ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดเป็น: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดเป็น: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; พาย /4]. ค้นหา: a) ค่าของค่าคงที่ c ซึ่งฟังก์ชันจะเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มบางตัว X; b) ฟังก์ชันการกระจาย F(x) 2.9.
ตัวแปรสุ่ม X ซึ่งเน้นที่ช่วงเวลา (3;7) ถูกระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง F(x)= จงหาความน่าจะเป็นนั้น ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่า: a) น้อยกว่า 5, b) ไม่น้อยกว่า 7 2.10.
ตัวแปรสุ่ม X เน้นที่ช่วงเวลา (-1;4) ได้รับจากฟังก์ชันการแจกแจง F(x)= จงหาความน่าจะเป็นนั้น ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่า: a) น้อยกว่า 2, b) ไม่น้อยกว่า 4 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. ค้นหา: ก) หมายเลข c; ข) ม(X); ค) ความน่าจะเป็น P(X> M(X)) 2.12.
ตัวแปรสุ่มถูกระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่าง: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . ค้นหา: ก) M(X); b) ความน่าจะเป็น P(X≤M(X)) 2.13.
การแจกแจง Rem กำหนดโดยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> สำหรับ x ≥0 พิสูจน์ว่า f(x) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 2.14.
ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X จะได้รับ: DIV_ADBLOCK17"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(รูปที่ 5) 2.16.
ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายตามกฎ “สามเหลี่ยมมุมฉาก” ในช่วงเวลา (0;4) (รูปที่ 5) ค้นหานิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) บนเส้นจำนวนทั้งหมด คำตอบ
0 ที่ x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 สำหรับ x≤ π/6, F(x)= 3ซิน 3x ที่ π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 สำหรับx≤a, ฉ(x)= สำหรับ ก<х 0 สำหรับ x≥b กราฟของฟังก์ชัน f(x) จะแสดงในรูป 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)= ภารกิจที่ 1ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนเซ็กเมนต์ หา: ก) ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) และพล็อตมัน b) ฟังก์ชันการแจกแจง F(x) และพล็อตมัน ค) M(X),D(X), σ(X) สารละลาย:
เมื่อใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น โดยมี a=3, b=7 เราพบว่า: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> ที่ 3≤х≤7, 0 สำหรับ x>7 มาสร้างกราฟกันเถอะ (รูปที่ 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 ที่ x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">รูปที่ 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 ที่ x<0, ฉ(x)= แลเล-แลฮ สำหรับ x≥0 ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งแจกแจงตามกฎเลขชี้กำลังได้มาจากสูตร: DIV_ADBLOCK19"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> รูปที่ 6 ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเท่ากับ: M(X)= , D(X)=, σ (XX)= ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังจึงมีค่าเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ X จะตกอยู่ในช่วง (a;b) คำนวณโดยสูตร: ป(ก<Х ภารกิจที่ 2เวลาการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวโดยเฉลี่ยของอุปกรณ์คือ 100 ชั่วโมง สมมติว่าเวลาการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวของอุปกรณ์มีกฎการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ให้ค้นหา: ก) ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น b) ฟังก์ชั่นการกระจาย; c) ความน่าจะเป็นที่เวลาการทำงานที่ปราศจากข้อผิดพลาดของอุปกรณ์จะเกิน 120 ชั่วโมง สารละลาย:
ตามเงื่อนไข การแจกแจงทางคณิตศาสตร์ M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 ที่ x<0, ก) ฉ(x)= 0.01e -0.01x สำหรับx≥0 b) F(x)= 0 ที่ x<0, 1-e -0.01x ที่ x≥0 c) เราค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจง: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- อี -1.2)= อี -1.2γ0.3. §
3.กฎหมายการกระจายสินค้าแบบปกติ คำนิยาม:
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X มี กฎการแจกแจงแบบปกติ (กฎของเกาส์)
หากความหนาแน่นของการกระจายมีรูปแบบ: โดยที่ m=M(X), σ2=D(X), σ>0 เรียกว่าเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติ เส้นโค้งปกติหรือเกาส์เซียน
(รูปที่ 7) ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งกระจายตามกฎปกติแสดงผ่านฟังก์ชัน Laplace Ф (x) ตามสูตร: ฟังก์ชันลาปลาซอยู่ที่ไหน ความคิดเห็น:
ฟังก์ชัน Ф(x) เป็นเลขคี่ (Ф(-х)=-Ф(х)) นอกจากนี้ สำหรับ x>5 เราสามารถถือว่า Ф(х) γ1/2 ได้ กราฟของฟังก์ชันการกระจาย F(x) แสดงในรูปที่ 1 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> ความน่าจะเป็นที่ค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบนน้อยกว่าจำนวนบวก δ คำนวณโดยสูตร: โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ m=0 จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: "กฎสามซิกมา"
หากตัวแปรสุ่ม X มีกฎการแจกแจงแบบปกติที่มีพารามิเตอร์ m และ σ เกือบจะแน่นอนว่าค่าของมันอยู่ในช่วง (a-3σ; a+3σ) เนื่องจาก https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) ลองใช้สูตร: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> จากตารางค่าฟังก์ชัน Ф(х) เราพบ Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: ป(28 งานสำหรับงานอิสระ
3.1.
ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (-3;5) หา: b) ฟังก์ชันการกระจาย F(x); c) ลักษณะเชิงตัวเลข ง) ความน่าจะเป็น P(4<х<6). 3.2.
ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนเซ็กเมนต์ หา: ก) ความหนาแน่นของการกระจาย f(x); b) ฟังก์ชันการกระจาย F(x); c) ลักษณะเชิงตัวเลข ง) ความน่าจะเป็น P(3≤x≤6) 3.3.
มีการติดตั้งสัญญาณไฟจราจรอัตโนมัติบนทางหลวง โดยไฟเขียวสำหรับยานพาหนะ 2 นาที สีเหลือง 3 วินาที และสีแดง 30 วินาที เป็นต้น รถยนต์แล่นไปตามทางหลวงในช่วงเวลาสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่รถจะผ่านสัญญาณไฟจราจรโดยไม่หยุด 3.4.
รถไฟใต้ดินวิ่งเป็นประจำทุกๆ 2 นาที ผู้โดยสารเข้าสู่ชานชาลาในเวลาสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ผู้โดยสารต้องรอรถไฟนานกว่า 50 วินาทีเป็นเท่าใด ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X - เวลาที่รอรถไฟ 3.5.
ค้นหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจง: F(x)= 0 ที่ x<0, อันดับ 1-8x สำหรับ x≥0 3.6.
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถูกระบุโดยความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น: ฉ(x)= 0 ที่ x<0, 0.7 e-0.7x ที่ x≥0 ก) ตั้งชื่อกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มที่กำลังพิจารณา b) ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(X) และคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X 3.7.
ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายตามกฎเลขชี้กำลังที่ระบุโดยความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น: ฉ(x)= 0 ที่ x<0, 0.4 e-0.4 x ที่x≥0 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทดสอบ X จะนำค่าจากช่วงเวลา (2.5;5) 3.8.
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X จะถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลังที่ระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง: F(x)= 0 ที่ x<0, อันดับ 1-0.6x ที่ x≥0 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลการทดสอบ X จะนำค่าจากส่วนนั้น 3.9.
ค่าคาดหวังและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติคือ 8 และ 2 ตามลำดับ ค้นหา: ก) ความหนาแน่นของการกระจาย f(x); b) ความน่าจะเป็นที่ผลจากการทดสอบ X จะนำค่าจากช่วงเวลา (10;14) 3.10.
ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงตามปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับ 3.5 และความแปรปรวนเท่ากับ 0.04 หา: ก) ความหนาแน่นของการกระจาย f(x); b) ความน่าจะเป็นที่ผลจากการทดสอบ X จะนำค่าจากส่วนนั้น 3.11.
ตัวแปรสุ่ม X โดยปกติจะแจกแจงด้วย M(X)=0 และ D(X)=1 เหตุการณ์ใด: |X|≤0.6 หรือ |X|≥0.6 มีแนวโน้มมากกว่า 3.12.
ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายตามปกติด้วย M(X)=0 และ D(X)=1 จากช่วงใด (-0.5;-0.1) หรือ (1;2) มีแนวโน้มที่จะรับค่าระหว่างการทดสอบหนึ่งครั้งมากกว่าหรือไม่ 3.13.
ราคาปัจจุบันต่อหุ้นสามารถจำลองโดยใช้กฎการกระจายแบบปกติโดย M(X)=10 den หน่วย และ σ (X)=0.3 เดน หน่วย หา: ก) ความน่าจะเป็นที่ราคาหุ้นปัจจุบันจะอยู่ที่ 9.8 Den หน่วย สูงสุด 10.4 วัน หน่วย; b) ใช้ "กฎสามซิกมา" ค้นหาขอบเขตซึ่งราคาหุ้นปัจจุบันจะอยู่ 3.14.
ชั่งน้ำหนักสารโดยไม่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ ข้อผิดพลาดในการชั่งน้ำหนักแบบสุ่มจะขึ้นอยู่กับกฎปกติโดยมีอัตราส่วนกำลังสองเฉลี่ย σ=5g ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระสี่ครั้ง ข้อผิดพลาดในการชั่งน้ำหนักสามครั้งจะไม่เกิดขึ้นในค่าสัมบูรณ์ 3r 3.15.
ตัวแปรสุ่ม X โดยปกติจะแจกแจงด้วย M(X)=12.6 ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะตกอยู่ในช่วง (11.4;13.8) คือ 0.6826 ค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ 3.16.
ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายตามปกติด้วย M(X)=12 และ D(X)=36 ค้นหาช่วงเวลาที่ตัวแปรสุ่ม X จะตกลงไปจากการทดสอบด้วยความน่าจะเป็น 0.9973 3.17.
ชิ้นส่วนที่ผลิตโดยเครื่องจักรอัตโนมัติจะถือว่ามีข้อบกพร่องหากค่าเบี่ยงเบน X ของพารามิเตอร์ที่ควบคุมจากค่าที่ระบุเกินหน่วยการวัดแบบโมดูโล 2 สันนิษฐานว่าตัวแปรสุ่ม X โดยปกติจะแจกแจงด้วย M(X)=0 และ σ(X)=0.7 เครื่องจักรผลิตชิ้นส่วนที่ชำรุดกี่เปอร์เซ็นต์? 3.18.
พารามิเตอร์ X ของชิ้นส่วนมีการกระจายตามปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับ 2 เท่ากับค่าที่ระบุและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 0.014 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ส่วนเบี่ยงเบนของ X จากค่าระบุจะไม่เกิน 1% ของค่าระบุ คำตอบ
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 สำหรับ x≤-3, F(x)= ซ้าย"> 3.10.
ก)ฉ(x)= , ข) Р(3.1≤H≤3.7) data0.8185 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
ก) P(9.8≤H≤10.4) µ0.6562 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ตัวแปรสุ่ม”
งาน 1
- มีการออกตั๋วลอตเตอรีจำนวน 100 ใบ สุ่มรางวัลหนึ่งรางวัลมูลค่า 50 USD และรางวัลสิบรางวัลมูลค่า 10 USD ต่อรางวัล ค้นหากฎการกระจายของค่า X - ต้นทุนของการชนะที่เป็นไปได้ สารละลาย. ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ X: x 1
= 0; x 2
= 10 และ x 3
= 50 เนื่องจากมีตั๋ว "ว่าง" 89 ใบ ดังนั้น p 1
= 0.89 ความน่าจะเป็นที่จะชนะ $10 (10 ใบ) – หน้า 2
= 0.10 และรับรางวัล 50 USD -พี 3
= 0.01. ดังนั้น: 0,89
0,10
0,01
ควบคุมง่าย: . งาน 2.
ความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อได้อ่านโฆษณาสินค้าล่วงหน้าคือ 0.6 (p=0.6) การควบคุมคุณภาพโฆษณาแบบเลือกสรรดำเนินการโดยการสำรวจผู้ซื้อก่อนคนแรกที่ศึกษาโฆษณาล่วงหน้า จัดทำชุดการจัดจำหน่ายสำหรับจำนวนผู้ซื้อที่สำรวจ สารละลาย. ตามเงื่อนไขของปัญหา p = 0.6 จาก: q=1 -p = 0.4. แทนที่ค่าเหล่านี้เราจะได้:และสร้างซีรีย์การจัดจำหน่าย: พี ฉัน 0,24
งาน 3.
คอมพิวเตอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระสามส่วน: ยูนิตระบบ จอภาพ และคีย์บอร์ด เมื่อแรงดันไฟฟ้าเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเพียงครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบคือ 0.1 จากการกระจายแบบเบอร์นูลลี ให้ร่างกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวระหว่างไฟกระชากในเครือข่าย สารละลาย. ลองพิจารณาดู การกระจายเบอร์นูลลี(หรือทวินาม): ความน่าจะเป็นนั้น n การทดสอบ เหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอนเค ครั้งหนึ่ง: ถาม n พี n ใน กลับมาที่ภารกิจกันดีกว่า ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ X (จำนวนความล้มเหลว): x 0 =0 – ไม่มีองค์ประกอบใดล้มเหลว x 1 =1 – ความล้มเหลวขององค์ประกอบหนึ่ง; x 2 =2 – ความล้มเหลวของสององค์ประกอบ; x 3 =3 – ความล้มเหลวขององค์ประกอบทั้งหมด เนื่องจากตามเงื่อนไข p = 0.1 ดังนั้น q = 1 – p = 0.9 จากการใช้สูตรของเบอร์นูลลี เราได้ , ,
, .
ควบคุม: . ดังนั้นกฎหมายการจำหน่ายที่จำเป็น: 0,729
0,243
0,027
0,001
ปัญหาที่ 4- ผลิต 5,000 รอบ ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกหนึ่งตลับชำรุด สารละลาย. ใช้งานได้ การกระจายปัวซอง: การแจกแจงนี้ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นนั้น สำหรับค่าที่มีขนาดใหญ่มาก จำนวนการทดสอบ (mass test) โดยแต่ละรายการมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A น้อยมาก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้ง: ที่นี่ n = 5,000, p = 0.0002, k = 3 เราพบ แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ: ปัญหาที่ 5- เมื่อทำการยิงจนโดนครั้งแรกด้วยความน่าจะเป็นของการโจมตี p
= 0.6 เมื่อทำการยิง คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดการโจมตีในนัดที่สาม สารละลาย. ให้เราใช้การแจกแจงทางเรขาคณิต: ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น p (และไม่เกิดขึ้น q = 1 – p) การทดสอบจะสิ้นสุดทันทีที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองครั้งที่ k จะถูกกำหนดโดยสูตร: ที่นี่ p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3 ดังนั้น ปัญหาที่ 6- ให้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X ได้รับ: ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ สารละลาย. - โปรดทราบว่าความหมายความน่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ปัญหาที่ 7- ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ด้วยกฎการแจกแจงต่อไปนี้: สารละลาย. ที่นี่
.
กฎการกระจายสำหรับค่ากำลังสองของ X 2
:
เอ็กซ์ 2
ความแปรปรวนที่ต้องการ: . การกระจายตัวเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดค่าเบี่ยงเบน (การกระจายตัว) ของตัวแปรสุ่มจากการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ ปัญหาที่ 8- ให้ตัวแปรสุ่มได้รับจากการแจกแจง: 10ม ค้นหาลักษณะเชิงตัวเลขของมัน วิธีแก้ปัญหา: ม, ม 2
,
ม 2
, ม. เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม X เราสามารถพูดได้ทั้งสองอย่าง: ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ 6.4 ม. โดยมีความแปรปรวน 13.04 ม. 2
หรือ – ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 6.4 ม. โดยมีค่าเบี่ยงเบนเป็น ม. สูตรที่สองชัดเจนกว่าอย่างเห็นได้ชัด งาน 9.
ตัวแปรสุ่มเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย: ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลการทดสอบค่า X จะนำค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลานั้น สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่ X จะได้รับค่าจากช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันอินทิกรัลในช่วงเวลานี้ กล่าวคือ - ในกรณีของเรา และ ดังนั้น งาน 10.
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเอ็กซ์ กำหนดไว้ในกฎหมายว่าด้วยการจำหน่าย: ค้นหาฟังก์ชันการกระจายฉ(x ) และพล็อตมัน สารละลาย. เนื่องจากฟังก์ชันการกระจาย ที่ ; ที่ ; ที่ ; ที่ ; แผนภูมิที่เกี่ยวข้อง: ปัญหาที่ 11.ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง: ค้นหาความน่าจะเป็นของการตี X ต่อช่วงเวลา สารละลาย. โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีพิเศษของกฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ลองใช้สูตร: งาน 12.
ค้นหาคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่ระบุโดยกฎการกระจาย: –5
X2: เอ็กซ์ 2 .
,
ที่ไหน ค่าของฟังก์ชันนี้พบได้โดยใช้ตาราง ในกรณีของเรา: . จากตารางเราพบ: ดังนั้น: คำจำกัดความ 1 ตัวแปรสุ่ม $X$ เรียกว่าไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) หากชุดของค่านั้นไม่มีที่สิ้นสุดหรือจำกัดแต่สามารถนับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งปริมาณเรียกว่าไม่ต่อเนื่องหากสามารถกำหนดหมายเลขได้ ตัวแปรสุ่มสามารถอธิบายได้โดยใช้กฎการแจกแจง กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถระบุได้ในรูปแบบของตาราง บรรทัดแรกระบุค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มตามลำดับจากน้อยไปหามาก และบรรทัดที่สองมีความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันของสิ่งเหล่านี้ ค่า: รูปที่ 1. โดยที่ $р1+ р2+ ... + рn = 1$ โต๊ะนี้ก็. ใกล้การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง. หากชุดของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนั้นไม่มีที่สิ้นสุด อนุกรม $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ มาบรรจบกัน และผลรวมของมันจะเท่ากับ $1$ กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ โดยเส้นขาดจะถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) ซึ่งเชื่อมต่อจุดต่างๆ ตามลำดับกับพิกัด $(xi;pi), i=1,2, ...ไม่มี$. เส้นที่เราได้รับเรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย. รูปที่ 2. กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถแสดงได้ในเชิงวิเคราะห์ด้วย (โดยใช้สูตร): $P(X=xi)= \วาร์ฟี (xi),i =1,2,3 ... n$. เมื่อแก้ปัญหาต่างๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จำเป็นต้องดำเนินการคูณตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องด้วยค่าคงที่ โดยบวกตัวแปรสุ่มสองตัว คูณตัวแปรเหล่านั้นแล้วแทนที่ด้วยกำลัง ในกรณีเหล่านี้ จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้สำหรับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องแบบสุ่ม: คำจำกัดความ 3 การคูณของตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ โดยค่าคงที่ $K$ คือตัวแปรสุ่มแบบแยก $Y=KX,$ ซึ่งถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ ซ้าย(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$ คำจำกัดความที่ 4 ตัวแปรสุ่มสองตัวถูกเรียก $x$ และ $y$ เป็นอิสระหากกฎการกระจายของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณที่สองที่ได้รับ คำจำกัดความที่ 5 จำนวนตัวแปรสุ่มแยกอิสระสองตัว $X$ และ $Y$ เรียกว่าตัวแปรสุ่ม $Z=X+Y,$ ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$. คำนิยาม 6 การคูณตัวแปรสุ่มแยกอิสระสองตัว $X$ และ $Y$ เรียกว่าตัวแปรสุ่ม $Z=XY,$ ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ ซ้าย(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$. ให้เราพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์บางอย่าง $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ สามารถเท่ากันได้ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นในการเพิ่มผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ถ้า $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ความน่าจะเป็นของ $x_2y_3$ (หรือ $x_5y_7$ เท่ากัน) จะเท่ากับ $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$ ข้อมูลข้างต้นยังใช้กับจำนวนเงินด้วย ถ้า $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ ความน่าจะเป็นของ $x_1+\ y_2$ (หรือ $x_4+\ y_6$ เท่ากัน) จะเท่ากับ $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6 $ ตัวแปรสุ่ม $X$ และ $Y$ ถูกกำหนดโดยกฎการกระจาย: รูปที่ 3. โดยที่ $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ จากนั้นกฎการกระจายตัวของผลรวม $X+Y$ จะมีรูปแบบ รูปที่ 4. และกฎการกระจายสินค้า $XY$ จะมีรูปแบบ รูปที่ 5. คำอธิบายที่สมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มจะได้รับจากฟังก์ชันการแจกแจงด้วย ในทางเรขาคณิต ฟังก์ชันการกระจายถูกอธิบายว่าเป็นความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ รับค่าที่แสดงบนเส้นจำนวนโดยจุดที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด $x$ เราสามารถเน้นกฎทั่วไปของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องได้: สำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนด การคำนวณความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ รวมถึงคุณลักษณะเชิงตัวเลข (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฯลฯ) จะดำเนินการโดยใช้ "สูตร" บางอย่าง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องทราบการแจกแจงประเภทนี้และคุณสมบัติพื้นฐานของมัน ตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ อยู่ภายใต้กฎการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม หากใช้ค่า $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ด้วยความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\ซ้าย(1-p\right))^(n-k)$ ที่จริงแล้ว ตัวแปรสุ่ม $X$ คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ $A$ ในการทดลองอิสระ $n$ กฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$: $\begin(array)(|c|c|) สำหรับตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ $M\left(X\right)=np$ ความแปรปรวนคือ $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ ตัวอย่าง
- ครอบครัวมีลูกสองคน สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงเท่ากับ $0.5$ ให้หากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $\xi$ - จำนวนเด็กผู้ชายในครอบครัว ให้ตัวแปรสุ่ม $\xi $ เป็นจำนวนเด็กผู้ชายในครอบครัว ค่าที่ $\xi สามารถรับได้:\ 0,\ 1,\ 2$ ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้หาได้จากสูตร $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$ โดยที่ $n =2$ คือจำนวนการทดลองอิสระ $p=0.5$ คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในชุดการทดลอง $n$ เราได้รับ: $P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$ $P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$ $P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$ จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $\xi $ คือความสอดคล้องระหว่างค่า $0,\ 1,\ 2$ และความน่าจะเป็น นั่นคือ: $\begin(array)(|c|c|) ผลรวมของความน่าจะเป็นในกฎการกระจายควรเท่ากับ $1$ นั่นคือ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1. ความคาดหวัง $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ความแปรปรวน $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707 หากตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ด้วยความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)=((( \แลมบ์ดา )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!} ความคิดเห็น- ลักษณะพิเศษของการแจกแจงนี้คือ จากข้อมูลการทดลอง เราพบค่าประมาณ $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ หากค่าประมาณที่ได้รับอยู่ใกล้กัน เราก็จะได้ เหตุผลที่ยืนยันว่าตัวแปรสุ่มอยู่ภายใต้กฎการแจกแจงแบบปัวซอง ตัวอย่าง
- ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายปัวซอง ได้แก่ จำนวนรถยนต์ที่ปั๊มน้ำมันจะให้บริการในวันพรุ่งนี้ จำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องในผลิตภัณฑ์ที่ผลิต ตัวอย่าง
- โรงงานส่งสินค้ามูลค่า 500 ดอลลาร์ไปยังฐาน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความเสียหายต่อผลิตภัณฑ์ระหว่างการขนส่งคือ $0.002$ ค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เสียหาย $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ คืออะไร ให้ตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ เป็นจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เสียหาย ตัวแปรสุ่มดังกล่าวอยู่ภายใต้กฎการแจกแจงแบบปัวซอง โดยมีพารามิเตอร์ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ ความน่าจะเป็นของค่าจะเท่ากับ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!} $P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!} $P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!} $P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!} $P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!} $P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!} $P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!} $P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!} $P\left(X=k\right)=(((\แลมบ์ดา )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!} กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$: $\begin(array)(|c|c|) สำหรับตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จะเท่ากันและเท่ากับพารามิเตอร์ $\lambda $ นั่นคือ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$. หากตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถรับเฉพาะค่าธรรมชาติ $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ที่มีความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ ขวา)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $ จากนั้นพวกเขาบอกว่าตัวแปรสุ่ม $X$ นั้นอยู่ภายใต้กฎเรขาคณิตของการแจกแจงความน่าจะเป็น ที่จริงแล้ว การกระจายตัวทางเรขาคณิตเป็นการทดสอบแบบแบร์นูลลีจนกระทั่งประสบความสำเร็จครั้งแรก ตัวอย่าง
- ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายทางเรขาคณิต ได้แก่ จำนวนช็อตก่อนโจมตีเป้าหมายครั้งแรก จำนวนการทดสอบอุปกรณ์จนกระทั่งเกิดความล้มเหลวครั้งแรก จำนวนการโยนเหรียญจนหัวแรกขึ้น เป็นต้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงทางเรขาคณิตจะเท่ากับ $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right ตามลำดับ )/พี^ $2 ตัวอย่าง
- ระหว่างทางที่ปลาเคลื่อนตัวไปยังจุดวางไข่ จะมีล็อค $4$ ความน่าจะเป็นที่ปลาจะผ่านแต่ละเกตเวย์คือ $p=3/5$ สร้างชุดการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ - จำนวนล็อคที่ปลาผ่านก่อนกักขังครั้งแรกที่ล็อค หา $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนล็อคที่ปลาผ่านไปก่อนการจับครั้งแรกที่ล็อค ตัวแปรสุ่มดังกล่าวขึ้นอยู่กับกฎเรขาคณิตของการแจกแจงความน่าจะเป็น ค่าที่ตัวแปรสุ่ม $X สามารถรับได้:$ 1, 2, 3, 4 ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้คำนวณโดยใช้สูตร: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$ โดยที่: $ p=2/5$ - ความน่าจะเป็นที่ปลาจะถูกกักผ่านล็อค, $q=1-p=3/5$ - ความน่าจะเป็นที่ปลาจะลอดผ่านล็อค, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$. $P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ มากกว่า (5))=0.4;$ $P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ เกิน (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$ $P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\โอเวอร์ (5))\right))^4=((27)\โอเวอร์ (125))=0.216.$ $\begin(array)(|c|c|) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$ การกระจายตัว: $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$ $+\0.216\cdot (\ซ้าย(4-2,176\right))^2\ประมาณ 1.377.$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: $\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ประมาณ 1,173.$ ถ้าวัตถุ $N$ ซึ่งวัตถุ $m$ มีคุณสมบัติที่กำหนด วัตถุ $n$ จะถูกดึงออกมาแบบสุ่มโดยไม่ส่งคืน โดยมีวัตถุ $k$ ที่มีคุณสมบัติที่กำหนด การกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิตทำให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นที่วัตถุ $k$ ในตัวอย่างมีคุณสมบัติที่กำหนดได้อย่างแน่นอน ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนวัตถุในกลุ่มตัวอย่างที่มีคุณสมบัติที่กำหนด จากนั้นความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่ม $X$: $P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$ ความคิดเห็น- ฟังก์ชันทางสถิติ HYPERGEOMET ของตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน Excel $f_x$ ช่วยให้คุณสามารถระบุความน่าจะเป็นที่การทดสอบจำนวนหนึ่งจะสำเร็จ $f_x\ถึง$ เชิงสถิติ$\ถึง$ ไฮเปอร์จีโอเมต$\ถึง$ ตกลง- กล่องโต้ตอบจะปรากฏขึ้นซึ่งคุณต้องกรอก ในคอลัมน์ Number_of_successes_in_sampleระบุค่า $k$ ตัวอย่าง_ขนาดเท่ากับ $n$ ในคอลัมน์ Number_of_successes_in_togetherระบุมูลค่า $m$ จำนวนประชากร_ขนาดเท่ากับ $N$ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ ขึ้นอยู่กับกฎการแจกแจงทางเรขาคณิต จะเท่ากับ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ตามลำดับ ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$. ตัวอย่าง
- แผนกสินเชื่อของธนาคารจ้างผู้เชี่ยวชาญ 5 คนที่มีความรู้ทางการเงินระดับสูง และผู้เชี่ยวชาญ 3 คนที่มีการศึกษาด้านกฎหมายระดับสูง ฝ่ายบริหารของธนาคารตัดสินใจส่งผู้เชี่ยวชาญ 3 คนเพื่อปรับปรุงคุณสมบัติ โดยสุ่มเลือกพวกเขาตามลำดับ ก) จัดทำชุดการแจกจ่ายสำหรับผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาทางการเงินสูงกว่าจำนวนที่สามารถส่งไปพัฒนาทักษะของพวกเขา b) ค้นหาลักษณะตัวเลขของการแจกแจงนี้ ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนผู้เชี่ยวชาญที่มีการศึกษาทางการเงินสูงกว่าจากสามตัวแปรที่เลือก ค่าที่ $X สามารถรับได้: 0,\ 1,\ 2,\ 3$ ตัวแปรสุ่ม $X$ นี้จะถูกกระจายตามการแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้: $N=8$ - ขนาดประชากร, $m=5$ - จำนวนความสำเร็จในประชากร, $n=3$ - ขนาดตัวอย่าง, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - จำนวนความสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง จากนั้น ความน่าจะเป็น $P\left(X=k\right)$ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ เกิน C_( N)^(n) ) $. เรามี: $P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ประมาณ 0.018;$ $P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\ประมาณ 0.268;$ $P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\ประมาณ 0.536;$ $P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ประมาณ 0.179.$ จากนั้นอนุกรมการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม $X$: $\begin(array)(|c|c|) ให้เราคำนวณลักษณะตัวเลขของตัวแปรสุ่ม $X$ โดยใช้สูตรทั่วไปของการแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิต $M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$ $D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\ประมาณ 0.502.$ $\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ประมาณ 0.7085.$ เอ็กซ์- ความหมาย เอฟ(5); ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จะนำค่าจากเซ็กเมนต์ สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย กำหนดกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ในรูปแบบของตาราง ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- สร้างกราฟของฟังก์ชันและ คำนวณค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์. ตัวอย่าง ก: 6 9 7 6 4 4 ตัวอย่าง ข: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 ตัวเลือกที่ 17 คำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- สร้างกราฟของฟังก์ชันและ คำนวณค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม X · ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง; · ความแปรปรวนตัวอย่าง โหมดและค่ามัธยฐาน ตัวอย่าง ก: 0 0 2 2 1 4 · ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง; · ความแปรปรวนตัวอย่าง ส่วนเบี่ยงเบนตัวอย่างมาตรฐาน · โหมดและค่ามัธยฐาน; ตัวอย่าง ข: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 ตัวเลือกที่ 18 คำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X เขียนกราฟของฟังก์ชันและ คำนวณค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ · ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง; · ความแปรปรวนตัวอย่าง ส่วนเบี่ยงเบนตัวอย่างมาตรฐาน · โหมดและค่ามัธยฐาน; ตัวอย่าง ก: 4 7 6 3 3 4 · ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง; · ความแปรปรวนตัวอย่าง ส่วนเบี่ยงเบนตัวอย่างมาตรฐาน · โหมดและค่ามัธยฐาน; ตัวอย่าง B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 ตัวเลือกที่ 19 1. มีผู้หญิง 16 คนและผู้ชาย 5 คนทำงานในไซต์งาน สุ่มเลือก 3 คนโดยใช้หมายเลขบุคลากรของตน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ถูกเลือกทั้งหมดจะเป็นผู้ชาย 2. โยนเหรียญสี่เหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีเพียงสองเหรียญเท่านั้นที่จะมี "ตราแผ่นดิน" 3. คำว่า “จิตวิทยา” ประกอบด้วยการ์ด ซึ่งแต่ละใบมีตัวอักษรหนึ่งตัวเขียนอยู่ ไพ่จะถูกสับและนำออกมาทีละใบโดยไม่คืน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรที่ดึงออกมาเป็นคำ: ก) จิตวิทยา; ข) พนักงาน 4. โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 6 ลูกและลูกบอลสีขาว 7 ลูก สุ่มจับลูกบอล 5 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในหมู่พวกเขามี: ก. ลูกบอลสีขาว 3 ลูก ข. ลูกบอลสีขาวน้อยกว่า 3 ลูก ค. ลูกบอลสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก 5. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กในการทดลองหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับ 0.5 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้: ก. เหตุการณ์ กปรากฏ 3 ครั้งในชุดการทดลองอิสระ 5 ครั้ง ข. เหตุการณ์ กจะปรากฏอย่างน้อย 30 ครั้งและไม่เกิน 40 ครั้งในชุดการทดลอง 50 ครั้ง 6. มีเครื่องจักร 100 เครื่องที่มีกำลังเท่ากัน ทำงานแยกกันในโหมดเดียวกัน โดยเปิดไดรฟ์เป็นเวลา 0.8 ชั่วโมงทำงาน ความน่าจะเป็นที่เครื่อง 70 ถึง 86 เครื่องจะเปิดในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งเป็นเท่าใด 7. โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 7 ลูก และโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 3 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 4 ลูกจากโกศแรก และ 1 ลูกจากโกศที่สอง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีดำที่สุ่มออกมามีเพียง 4 ลูก 8. โชว์รูมขายรถยนต์รับรถยนต์สามยี่ห้อทุกวัน: "Moskvich" – 40%; "โอเค" - 20%; "โวลก้า" - 40% ของรถยนต์นำเข้าทั้งหมด ในบรรดารถยนต์ Moskvich นั้น 0.5% มีอุปกรณ์กันขโมย, Oka – 0.01%, Volga – 0.1% ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถที่นำมาตรวจสอบมีอุปกรณ์ป้องกันการโจรกรรม 9. ตัวเลขและสุ่มเลือกในส่วนนั้น ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตามอสมการ 10. ให้กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์: ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- ความหมาย เอฟ(2); ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จะนำค่าจากช่วงเวลา สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย
1.2.
p4=0.1; 0 ที่ x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 สำหรับx≤a,
,
เส้นโค้งปกติมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง x=m และมีจุดสูงสุดที่ x=a เท่ากับ
,
, หรือ:
- ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกทั้งหมดจะมีข้อบกพร่อง 3 ตลับเป็นเท่าใด
, ที่ไหน .
.
.
.
.
สำหรับ 
, ที่
.
.
- ฟังก์ชั่นลาปลาซ
การดำเนินการเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง
ฟังก์ชันการกระจาย
1. กฎหมายการกระจายแบบทวินาม
\hline
X_i & 0 & 1 & \จุด & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$2. กฎหมายการกระจายปัวซอง
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\แลมบ์ดา )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(อาร์เรย์)$3. กฎหมายการกระจายทางเรขาคณิต
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\ซ้าย(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$4. กฎหมายการกระจายไฮเปอร์เรขาคณิต
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$ เอ็กซ์
–28
–20
–12
–4
พี
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
เอ็กซ์
พี
0,1
0,2
0,3
0,4
นักศึกษาเต็มเวลาผู้ใหญ่สามารถทำงานได้กี่ชั่วโมง?
สรุปบทเรียนการบำบัดคำพูด "คำนำหน้าและคำบุพบท" โครงร่างของบทเรียนการบำบัดคำพูด (เกรด 3) ในหัวข้อ การก่อตัวของพื้นฐานทางจิตวิทยาของการพูด
ลิ้นบิดเพื่อแยกแยะความแตกต่าง (ความแตกต่าง) (c – b), (v-f), (b – p), (t – t), (d – d), (d – t), (k – t), (p – k), (ก – k), (k-g-x)