C 41 คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข ความไม่เท่าเทียมกันประเภทหลักและคุณสมบัติ

ความไม่เท่าเทียมกันมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียนเราจัดการเรื่องต่างๆ เป็นหลัก อสมการเชิงตัวเลขด้วยคำจำกัดความที่เราจะเริ่มต้นบทความนี้ จากนั้นเราจะแสดงรายการและจัดชิดขอบ คุณสมบัติ อสมการเชิงตัวเลข ซึ่งมีหลักการทั้งหมดในการทำงานกับความไม่เท่าเทียม

ให้เราทราบทันทีว่าคุณสมบัติหลายประการของอสมการเชิงตัวเลขมีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้นเราจะนำเสนอเนื้อหาตามรูปแบบเดียวกัน: เรากำหนดคุณสมบัติให้เหตุผลและตัวอย่างหลังจากนั้นเราจะไปยังคุณสมบัติถัดไป

การนำทางหน้า

อสมการเชิงตัวเลข: คำจำกัดความตัวอย่าง

เมื่อเราแนะนำแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกัน เราสังเกตเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันมักถูกกำหนดโดยวิธีการเขียน เราจึงเรียกอสมการที่สมเหตุสมผล นิพจน์พีชคณิตมีเครื่องหมายไม่เท่ากับ ≠ น้อยกว่า<, больше >น้อยกว่าหรือเท่ากับ ≤ หรือมากกว่าหรือเท่ากับ ≥ จากคำจำกัดความข้างต้น จะสะดวกในการให้คำนิยามของอสมการเชิงตัวเลข:

การพบกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเกิดขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ทันทีหลังจากทำความคุ้นเคยกับตัวเลขธรรมชาติตัวแรกตั้งแต่ 1 ถึง 9 และทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการเปรียบเทียบ จริงอยู่ ที่นั่นเรียกกันง่ายๆ ว่าอสมการ โดยละเว้นคำจำกัดความของ "ตัวเลข" เพื่อความชัดเจน การให้ตัวอย่างอสมการเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดจากขั้นตอนการศึกษานั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย: 1<2 , 5+2>3 .

และต่อจากนี้ ตัวเลขธรรมชาติความรู้ขยายไปสู่ตัวเลขประเภทอื่นๆ (จำนวนเต็ม ตรรกยะ ตัวเลขจริง) มีการศึกษากฎสำหรับการเปรียบเทียบและสิ่งนี้จะขยายออกไปอย่างมาก ความหลากหลายของสายพันธุ์อสมการเชิงตัวเลข: −5>−72, 3>−0.275·(7−5.6) , .

คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

ในทางปฏิบัติ การทำงานกับความไม่เท่าเทียมกันช่วยให้เกิดผลหลายประการ คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข- ซึ่งเป็นไปตามแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมที่เรานำเสนอ ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข แนวคิดนี้กำหนดไว้โดยข้อความต่อไปนี้ ซึ่งถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" และ "มากกว่า" ในชุดตัวเลข (มักเรียกว่าคำจำกัดความความแตกต่างของความไม่เท่าเทียมกัน):

คำนิยาม.

ตัวเลข ก จำนวนมากขึ้น b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น
หมายเลขก จำนวนน้อยลง b ถ้าหากว่าความแตกต่าง a−b – จำนวนลบ;
จำนวน a เท่ากับจำนวน b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นศูนย์

คำจำกัดความนี้สามารถนำมาใช้ใหม่ในคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" และ "มากกว่าหรือเท่ากับ" นี่คือถ้อยคำของเขา:

คำนิยาม.

ตัวเลข a มากกว่าหรือเท่ากับ b ก็ต่อเมื่อ a−b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น
a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b ก็ต่อเมื่อ a−b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น

เราจะใช้คำจำกัดความเหล่านี้ในการพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขเพื่อทบทวนสิ่งที่เราดำเนินการต่อไป

คุณสมบัติพื้นฐาน

เราเริ่มการทบทวนด้วยคุณสมบัติหลักสามประการของความไม่เท่าเทียมกัน ทำไมพวกเขาถึงเป็นพื้นฐาน? เนื่องจากเป็นการสะท้อนคุณสมบัติของอสมการในความหมายทั่วไปที่สุด และไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับอสมการเชิงตัวเลขเท่านั้น

อสมการเชิงตัวเลขเขียนโดยใช้เครื่องหมาย< и >ลักษณะ:

สำหรับอสมการเชิงตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายอสมการแบบอ่อน ≤ และ ≥ อสมการเหล่านี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ (และไม่ต้านการสะท้อนกลับ) เนื่องจากอสมการ a≤a และ a≥a รวมถึงกรณีของความเท่าเทียมกัน a=a ด้วย พวกมันยังมีลักษณะต่อต้านสมมาตรและทรานซิติวิตีอีกด้วย

ดังนั้น อสมการเชิงตัวเลขที่เขียนด้วยเครื่องหมาย ≤ และ ≥ จึงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

การสะท้อนกลับ a≥a และ a≤a เป็นอสมการที่แท้จริง
ความไม่สมมาตร ถ้า a≤b แล้ว b≥a และถ้า a≥b แล้ว b≤a
การผ่านกรรมวิธี ถ้า a≤b และ b≤c แล้ว a≤c และถ้า a≥b และ b≥c แล้ว a≥c

การพิสูจน์ของพวกเขาคล้ายกับที่ให้ไว้แล้วมาก ดังนั้นเราจะไม่ยึดติดกับสิ่งเหล่านั้น แต่ไปยังคุณสมบัติที่สำคัญอื่น ๆ ของอสมการเชิงตัวเลข

คุณสมบัติที่สำคัญอื่นๆ ของอสมการเชิงตัวเลข

ให้เราเสริมคุณสมบัติพื้นฐานของอสมการเชิงตัวเลขด้วยชุดผลลัพธ์ที่มีขนาดใหญ่ ความสำคัญในทางปฏิบัติ- วิธีการประมาณค่าของนิพจน์นั้นขึ้นอยู่กับหลักการเหล่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันฯลฯ ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความเข้าใจให้ดี

ในย่อหน้านี้ เราจะกำหนดคุณสมบัติของอสมการสำหรับสัญญาณหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดเท่านั้น แต่ควรจำไว้ว่าคุณสมบัติที่คล้ายกันจะใช้ได้กับเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่นเดียวกับสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ลองอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง ด้านล่างเรากำหนดและพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการดังต่อไปนี้: ถ้าก

ถ้า a>b แล้ว a+c>b+c ;

ถ้า a≤b แล้ว a+c≤b+c;

ถ้าa≥b แล้ว a+c≥b+c

เพื่อความสะดวก เราจะนำเสนอคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขในรูปแบบของรายการ ในขณะที่เราจะให้ประโยคที่เกี่ยวข้อง เขียนอย่างเป็นทางการโดยใช้ตัวอักษร ให้หลักฐาน แล้วแสดงตัวอย่างการใช้งาน และในตอนท้ายของบทความเราจะสรุปคุณสมบัติทั้งหมดของอสมการเชิงตัวเลขในตาราง ไปกันเลย!

การบวก (หรือการลบ) จำนวนใดๆ ลงทั้งสองข้างของอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริงจะทำให้เกิดอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าตัวเลข a และ b มีค่าเท่ากับ a
เพื่อพิสูจน์ ลองสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการตัวเลขสุดท้าย และแสดงว่ามันเป็นลบภายใต้เงื่อนไข a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b- เนื่องจากตามเงื่อนไข ก
เราไม่ได้เน้นไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขในการลบตัวเลข c เนื่องจากบนเซตของการลบจำนวนจริงสามารถแทนที่ได้ด้วยการบวก −c

ตัวอย่างเช่น หากคุณบวกเลข 15 เข้ากับทั้งสองด้านของอสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 7>3 คุณจะได้อสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 7+15>3+15 ซึ่งก็คือ 22>18 เหมือนกัน

หากทั้งสองด้านของอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องถูกคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนบวก c ที่เท่ากัน คุณจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง หากอสมการทั้งสองข้างคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนลบ c และเครื่องหมายของอสมการกลับกัน อสมการจะเป็นจริง ในรูปแบบตัวอักษร: ถ้าตัวเลข a และ b เป็นไปตามอสมการ a บีซี

การพิสูจน์. เริ่มจากกรณีที่ c>0 กันก่อน ลองสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงตัวเลขที่ได้รับการพิสูจน์: a·c−b·c=(a−b)·c . เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 จากนั้นผลคูณ (a−b)·c จะเป็นจำนวนลบเป็นผลคูณของจำนวนลบ a−b และจำนวนบวก c (ซึ่งต่อจาก ) ดังนั้น a·c−b·c<0 , откуда a·c
เราไม่ได้เน้นไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณาในการหารทั้งสองข้างของอสมการตัวเลขที่แท้จริงด้วยจำนวน c ที่เท่ากัน เนื่องจากการหารสามารถแทนที่ด้วยการคูณด้วย 1/c ได้เสมอ

เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติที่วิเคราะห์กับตัวเลขเฉพาะกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถมีค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องทั้งสองด้านได้ 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

จากคุณสมบัติที่เพิ่งกล่าวถึงไปคือการคูณทั้งสองด้านของจำนวนที่เท่ากันด้วยตัวเลข ผลลัพธ์ที่มีคุณค่าในทางปฏิบัติสองค่าจะตามมา ดังนั้นเราจึงกำหนดมันในรูปแบบของผลที่ตามมา

คุณสมบัติทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้นในย่อหน้านี้ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในตอนแรกได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องและจากนั้นผ่านการยักย้ายบางอย่างกับส่วนของความไม่เท่าเทียมกันและเครื่องหมายทำให้ได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องอีกครั้ง ตอนนี้เราจะนำเสนอกลุ่มของคุณสมบัติที่ไม่ได้ให้ในตอนแรก แต่มีอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องหลายประการและได้รับผลลัพธ์ใหม่จากการใช้ร่วมกันหลังจากเพิ่มหรือคูณส่วนต่างๆ

ถ้าตัวเลข a, b, c และ d เป็นไปตามอสมการ a
ให้เราพิสูจน์ว่า (a+c)−(b+d) เป็นจำนวนลบ ซึ่งจะพิสูจน์ว่า a+c
โดยการอุปนัย คุณสมบัตินี้ขยายไปสู่การบวกสาม สี่ และโดยทั่วไปคือจำนวนจำกัดใดๆ ของอสมการเชิงตัวเลข ดังนั้น ถ้าสำหรับตัวเลข a 1, a 2, …, a n และ b 1, b 2, …, bn อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: a 1 ก 1 +ก 2 +…+น .

ตัวอย่างเช่น เราได้รับอสมการตัวเลขที่ถูกต้องสามรายการที่มีเครื่องหมายเดียวกัน −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

คุณสามารถคูณอสมการเชิงตัวเลขของเทอมที่มีเครื่องหมายเดียวกันด้วยเทอม ซึ่งทั้งสองด้านจะแสดงด้วยจำนวนบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับความไม่เท่าเทียมกันสองประการ ตัวเลขบวกอสมการเชิงตัวเลข a·c ใช้ได้
เพื่อพิสูจน์ คุณสามารถคูณทั้งสองข้างของอสมการ a ได้
คุณสมบัตินี้ก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับการคูณจำนวนจำกัดของอสมการเชิงตัวเลขจริงกับส่วนที่เป็นบวก นั่นคือถ้า 1, a 2, ..., a n และ b 1, b 2, ..., bn เป็นจำนวนบวก และ a 1 ก 1 2…น .

เป็นที่น่าสังเกตว่าหากสัญกรณ์สำหรับอสมการเชิงตัวเลขมีตัวเลขที่ไม่เป็นบวก การคูณแบบเทอมต่อเทอมอาจนำไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น อสมการเชิงตัวเลข 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

ผลที่ตามมา การคูณระยะของอสมการจริงที่เหมือนกันของรูปแบบ a

ในตอนท้ายของบทความ ตามที่สัญญาไว้ เราจะรวบรวมคุณสมบัติที่ศึกษาทั้งหมดมา ตารางคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข:

อ้างอิง.

โมโร เอ็ม.ไอ.- คณิตศาสตร์. หนังสือเรียน สำหรับ 1 ชั้นเรียน จุดเริ่มต้น โรงเรียน ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 (ครึ่งปีแรก) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - อ.: การศึกษา, 2549. - 112 น.: ป่วย+เพิ่ม. (2 แยก l. ป่วย). - ไอ 5-09-014951-8.

คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 หน้า: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.

ฟิลด์ของจำนวนจริงมีคุณสมบัติในการเรียงลำดับ (ตอนที่ 6 หน้า 35): สำหรับตัวเลข a, b ใดๆ ความสัมพันธ์หนึ่งหรือมีเพียงหนึ่งในสามเท่านั้นที่คงอยู่: หรือ ในกรณีนี้ รายการ a > b หมายความว่าผลต่างเป็นบวก และผลต่างรายการเป็นลบ ซึ่งแตกต่างจากฟิลด์ของจำนวนจริง ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้ถูกเรียงลำดับ: สำหรับจำนวนเชิงซ้อน แนวคิดของ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" จะไม่ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นบทนี้จึงเกี่ยวข้องกับจำนวนจริงเท่านั้น
เราเรียกความไม่เท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ โดยตัวเลข a และ b เป็นพจน์ (หรือบางส่วน) ของความไม่เท่าเทียมกัน เครื่องหมาย > (มากกว่า) และความไม่เท่าเทียมกัน a > b และ c > d เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันที่มีความหมายเหมือนกัน (หรือเหมือนกัน) อสมการ a > b และ c จากนิยามของอสมการจะตามมาทันที
1) จำนวนบวกใดๆ มากกว่าศูนย์;
2) จำนวนลบใด ๆ น้อยกว่าศูนย์
3) จำนวนบวกใด ๆ มากกว่าจำนวนลบใด ๆ
4) ของจำนวนลบสองตัว ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าก็จะมากกว่า
ข้อความทั้งหมดนี้ยอมรับการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย ปล่อยให้ทิศทางบวกของแกนตัวเลขไปทางขวาของจุดเริ่มต้น ดังนั้น ไม่ว่าตัวเลขนั้นจะมีลักษณะอย่างไร จุดที่มีขนาดใหญ่กว่าจะแสดงด้วยจุดที่อยู่ทางด้านขวาของจุดที่แสดงถึงตัวเลขที่น้อยกว่า
ความไม่เท่าเทียมกันมีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติหลัก.
1. ความไม่สมมาตร (กลับไม่ได้): ถ้า แล้ว และในทางกลับกัน

แท้จริงแล้วหากความแตกต่างเป็นบวก ความแตกต่างก็คือลบ ว่ากันว่าเมื่อจัดเรียงเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันใหม่ ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะต้องเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม
2. การผ่าน: ถ้า แล้ว . แท้จริงแล้วจากผลบวกของความแตกต่างจึงตามมา
นอกจากสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันแล้ว สัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน ยังถูกกำหนดไว้ดังนี้: รายการหมายความว่า อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ดังนั้น คุณสามารถเขียนได้ และยัง โดยทั่วไปแล้ว อสมการที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายเรียกว่าอสมการเข้มงวด และอสมการที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายเรียกว่าอสมการไม่เข้มงวด ดังนั้นสัญญาณเหล่านี้จึงเรียกว่าสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดหรือไม่เข้มงวด คุณสมบัติ 1 และ 2 ที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นจริงสำหรับอสมการแบบไม่เข้มงวดเช่นกัน
ตอนนี้ให้เราพิจารณาการกระทำที่สามารถทำได้กับอสมการหนึ่งหรือหลายอย่าง
3. การเพิ่มจำนวนเดียวกันเข้าไปในเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เปลี่ยนความหมายของความไม่เท่าเทียมกัน
การพิสูจน์. ปล่อยให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันและจำนวนที่ต้องการ ตามคำจำกัดความความแตกต่างคือค่าบวก ลองบวกตัวเลขที่ตรงกันข้ามกันสองตัวเข้ากับตัวเลขนี้ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ
ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
จากนี้ไปความแตกต่างก็คือบวกนั่นคือ
และนี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
นี่เป็นพื้นฐานสำหรับความเป็นไปได้ที่สมาชิกของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกเบ้จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่นจากความไม่เท่าเทียมกัน
มันเป็นไปตามนั้น
4. เมื่อคูณเงื่อนไขของอสมการด้วยจำนวนบวกเดียวกัน ความหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันคูณด้วยจำนวนลบเดียวกัน ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

การพิสูจน์. ปล่อยให้แล้ว ถ้าอย่างนั้น เนื่องจากผลคูณของจำนวนบวกเป็นบวก เมื่อเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของอสมการสุดท้ายเราจะได้ เช่น . กรณีนี้ก็พิจารณาในลักษณะเดียวกัน
ข้อสรุปเดียวกันนี้สามารถสรุปได้เกี่ยวกับการหารส่วนของอสมการด้วยจำนวนใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากการหารด้วยตัวเลขเทียบเท่ากับการคูณด้วยตัวเลข และตัวเลขต่างๆ มีเครื่องหมายเหมือนกัน
5. ปล่อยให้เงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันเป็นบวก จากนั้นเมื่อเงื่อนไขถูกยกกำลังบวกเท่ากัน ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่เปลี่ยนแปลง
การพิสูจน์. อนุญาต ในกรณีนี้ โดยสมบัติการผ่าน และ จากนั้นเนื่องจากการเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิกของฟังก์ชันกำลังสำหรับและค่าบวกเราจะมี
โดยเฉพาะถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ เราจะได้
คือเมื่อแยกรากของความไม่เท่ากันทั้งสองข้างออกด้วย สมาชิกเชิงบวกความหมายของความไม่เท่าเทียมกันไม่เปลี่ยนแปลง
ให้เงื่อนไขของอสมการเป็นลบ แล้วมันก็พิสูจน์ได้ไม่ยากว่าเมื่อเงื่อนไขของมันขึ้นเป็นคี่ ระดับธรรมชาติความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เมื่อยกให้เป็นพลังธรรมชาติที่สม่ำเสมอก็จะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม จากอสมการที่มีเทอมลบ เราสามารถแยกรากของดีกรีคี่ได้เช่นกัน
ยิ่งไปกว่านั้น เงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันมีสัญญาณที่แตกต่างกัน จากนั้นเมื่อยกกำลังเป็นเลขคี่ ความหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เมื่อยกให้เป็นเลขยกกำลังคู่ ในกรณีทั่วไป ไม่สามารถพูดได้แน่ชัดเกี่ยวกับความหมายของอสมการที่เกิดขึ้น ในความเป็นจริง เมื่อตัวเลขยกกำลังคี่ เครื่องหมายของตัวเลขจะยังคงอยู่ ดังนั้นความหมายของอสมการจึงไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อความไม่เท่าเทียมกันถูกยกให้เป็นกำลังเท่ากันจะเกิดความไม่เท่าเทียมกันกับเงื่อนไขเชิงบวกและความหมายของมันจะขึ้นอยู่กับค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ที่มีความหมายตรงกันข้ามและแม้แต่ความเท่าเทียมกันก็สามารถได้รับ!
จะมีประโยชน์ในการตรวจสอบทุกสิ่งที่กล่าวไว้เกี่ยวกับการเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันให้กับอำนาจโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 เพิ่มค่าอสมการต่อไปนี้เป็นกำลังที่ระบุ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นเครื่องหมายตรงข้ามหรือเท่ากับ หากจำเป็น
ก) 3 > 2 ยกกำลัง 4; b) ถึงระดับ 3;

c) ถึงระดับ 3; d) ถึงระดับ 2;
e) ยกกำลัง 5; จ) ถึงระดับ 4;
g) 2 > -3 ยกกำลัง 2; h) ยกกำลัง 2
6. จากความไม่เท่าเทียมกันเราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้ระหว่างถ้าเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันเป็นทั้งบวกหรือลบทั้งคู่ จากนั้นระหว่างส่วนกลับจะมีความไม่เท่าเทียมกันที่มีความหมายตรงกันข้าม:
การพิสูจน์. ถ้า a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน แล้วผลคูณของพวกมันจะเป็นบวก หารด้วยความไม่เท่าเทียมกัน
นั่นคือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับ
หากเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ความไม่เท่าเทียมกันระหว่างส่วนกลับจะมีความหมายเหมือนกัน เนื่องจากเครื่องหมายของส่วนกลับจะเหมือนกับเครื่องหมายของปริมาณนั่นเอง
ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบคุณสมบัติสุดท้าย 6 โดยใช้อสมการต่อไปนี้:
7. ลอการิทึมของอสมการสามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขของอสมการเป็นบวก (ไม่มีจำนวนลบและลอการิทึมเป็นศูนย์)
อนุญาต . แล้วจะมี
และจะมีเมื่อไหร่
ความถูกต้องของข้อความเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความน่าเบื่อของฟังก์ชันลอการิทึม ซึ่งจะเพิ่มขึ้นหากฐานและลดลงด้วย
ดังนั้น เมื่อนำลอการิทึมของอสมการที่ประกอบด้วยพจน์บวกเป็นฐานที่มากกว่าหนึ่ง จะทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันของความหมายเดียวกันกับค่าที่กำหนด และเมื่อนำลอการิทึมไปยังฐานบวกที่น้อยกว่า 1 ก็จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันของ ความหมายตรงกันข้ามเกิดขึ้น
8. ถ้า แล้วถ้า แต่ ถ้าอย่างนั้น
สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติ monotonicity ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที (มาตรา 42) ซึ่งจะเพิ่มขึ้นในกรณีและลดลงถ้า
เมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันตามเทอมของความหมายเดียวกัน จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันของความหมายเดียวกันกับข้อมูล
การพิสูจน์. ขอให้เราพิสูจน์ข้อความนี้สำหรับอสมการสองรายการ แม้ว่าจะเป็นจริงสำหรับอสมการบวกจำนวนเท่าใดก็ได้ก็ตาม ปล่อยให้ความไม่เท่าเทียมกันได้รับ

ตามคำจำกัดความ ตัวเลขจะเป็นค่าบวก จากนั้นผลรวมของพวกเขาก็กลายเป็นบวกเช่นกัน เช่น
เราได้รับการจัดกลุ่มคำศัพท์ที่แตกต่างกัน
และด้วยเหตุนี้
และนี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอะไรที่ชัดเจนในกรณีทั่วไปเกี่ยวกับความหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จากการเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันตั้งแต่สองรายการขึ้นไปที่มีความหมายต่างกัน
10. หากเราลบความไม่เท่าเทียมกันของความหมายตรงกันข้ามออกจากระยะหนึ่งด้วยระยะ ความไม่เท่าเทียมกันของความหมายเดียวกันกับอันแรกจะเกิดขึ้น
การพิสูจน์. ให้ระบุความไม่เท่าเทียมกันสองประการที่มีความหมายต่างกัน ประการที่สองตามคุณสมบัติของการย้อนกลับไม่ได้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: d > c ตอนนี้ให้เราเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันสองรายการที่มีความหมายเดียวกันและรับความไม่เท่าเทียมกัน
ความหมายเดียวกัน จากอย่างหลังเราพบ
และนี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอะไรที่ชัดเจนในกรณีทั่วไปเกี่ยวกับความหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จากการลบความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งที่มีความหมายเดียวกันออกจากความไม่เท่าเทียมกัน

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดสามารถแสดงเป็นชุดของสามชุด ได้แก่ เซตของจำนวนบวก เซตของจำนวนลบ และเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขหนึ่งตัว - เลขศูนย์ เพื่อระบุจำนวนนั้น กบวกใช้การบันทึก ก > 0เพื่อระบุจำนวนลบให้ใช้สัญลักษณ์อื่น ก< 0 .
ผลรวมและผลคูณของจำนวนบวกก็เป็นจำนวนบวกเช่นกัน ถ้าเป็นจำนวน กลบแล้วตามด้วยตัวเลข -กเชิงบวก (และในทางกลับกัน) สำหรับจำนวนบวกใดๆ a จะมีจำนวนตรรกยะบวก ร, อะไร ร< а - ข้อเท็จจริงเหล่านี้รองรับทฤษฎีความไม่เท่าเทียมกัน
ตามคำนิยาม ความไม่เท่าเทียมกัน a > b (หรือสิ่งที่เหมือนกันคือ b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0 เช่น ถ้าตัวเลข a - b เป็นบวก
โดยเฉพาะการพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน ก< 0 - ความไม่เท่าเทียมกันนี้หมายความว่าอย่างไร? ตามคำจำกัดความข้างต้นก็หมายความว่า 0 - ก > 0, เช่น. -ก > 0หรืออีกนัยหนึ่งคือตัวเลขอะไร -กในเชิงบวก แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีจำนวนเท่านั้น กเชิงลบ. ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้น ก< 0 หมายความว่าจำนวนนั้น แต่เป็นเชิงลบ
สัญกรณ์ก็มักจะใช้ เกี่ยวกับ(หรือสิ่งที่เหมือนกันคือ บ๊ะ).
บันทึก เกี่ยวกับโดยนิยามแล้วหมายความว่าอย่างใดอย่างหนึ่ง ก > ข, หรือ ก = ข- หากเราพิจารณาบันทึก เกี่ยวกับเป็นคำสั่งไม่แน่นอน จากนั้นเราสามารถเขียนสัญกรณ์ตรรกะทางคณิตศาสตร์ได้
(ก ข) [(ก > ข) วี (ก = ข)]
ตัวอย่างที่ 1อสมการ 5 0, 0 0 จริงหรือไม่?
อสมการ 5 0 เป็นข้อความที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยข้อความง่ายๆ สองข้อความที่เชื่อมโยงกันด้วยตรรกะที่เชื่อมโยงกัน “หรือ” (การแยกจากกัน) 5 > 0 หรือ 5 = 0 ข้อความสั่งแรก 5 > 0 เป็นจริง ข้อความสั่งที่สอง 5 = 0 เป็นเท็จ ตามคำจำกัดความของการแยกส่วน ข้อความที่ซับซ้อนเช่นนี้จะเป็นจริง
รายการ 00 ถูกกล่าวถึงในทำนองเดียวกัน
ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ก > ข, ก< b เราจะเรียกพวกเขาว่าเข้มงวดและไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ ab,ab- ไม่เข้มงวด
อสมการ ก > ขและ ค > ง(หรือ ก< b และ กับ< d ) จะเรียกว่าอสมการที่มีความหมายเหมือนกันและอสมการ ก > ขและ ค< d - ความไม่เท่าเทียมกันของความหมายตรงกันข้าม โปรดทราบว่าคำทั้งสองนี้ (ความไม่เท่าเทียมกันที่มีความหมายเหมือนกันและตรงกันข้าม) อ้างอิงถึงรูปแบบการเขียนความไม่เท่าเทียมกันเท่านั้น และไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่แสดงออกโดยความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ ดังนั้นในเรื่องของความไม่เท่าเทียมกัน ก< b ความไม่เท่าเทียมกัน กับ< d คือความไม่เท่าเทียมกันซึ่งมีความหมายเดียวกันและอยู่ในสัญกรณ์ ง>ค(หมายถึงสิ่งเดียวกัน) - ความไม่เท่าเทียมกันของความหมายตรงกันข้าม
ประกอบกับความไม่เท่าเทียมกันของฟอร์ม ก>ข, เกี่ยวกับมีการใช้สิ่งที่เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันสองเท่านั่นคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ ก< с < b , เครื่องปรับอากาศ< b , ก< cb ,
กซีบี- ตามคำนิยาม เป็นบันทึก
ก< с < b (1)
หมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองถือ:
ก< с และ กับ< b.
ความไม่เท่าเทียมกันมีความหมายคล้ายกัน เอซีบี เอซี< b, а < сb.
อสมการสองเท่า (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:
(ก< c < b) [(a < c) & (c < b)]
และความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า ก ≤ ค ≤ ขสามารถเขียนได้ในรูปแบบดังนี้
(ก ค ข) [(ก< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
ให้เราดำเนินการนำเสนอคุณสมบัติพื้นฐานและกฎการดำเนินการเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันโดยตกลงกันว่าในบทความนี้ตัวอักษร ก ข คแทนจำนวนจริง และ nหมายถึงจำนวนธรรมชาติ
1) ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c (การถ่ายทอด)
การพิสูจน์.
เนื่องจากตามเงื่อนไข ก > ขและ ข > คแล้วตัวเลข ก - ขและ ข - คเป็นบวก และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจำนวน ก - ค = (ก - ข) + (ข - ค)เนื่องจากผลรวมของจำนวนบวกก็เป็นบวกเช่นกัน ความหมายตามคำนิยามก็คือว่า ก > ค.
2) ถ้า a > b ดังนั้นสำหรับ c ใดๆ จะมีอสมการ a + c > b + c อยู่
การพิสูจน์.
เพราะ ก > ขแล้วตามด้วยหมายเลข ก - ขในเชิงบวก ดังนั้นจำนวน (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bเป็นบวกเช่นกัน เช่น
ก + ค > ข + ค
3) ถ้า a + b > c ดังนั้น a > b - cนั่นคือคำใด ๆ ที่สามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของคำนี้ไปในทางตรงกันข้าม
หลักฐานตามมาจากคุณสมบัติ 2) ก็เพียงพอแล้วสำหรับความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองฝ่าย ก + ข > คเพิ่มหมายเลข -ข.
4) ถ้า a > b และ c > d แล้ว a + c > b + dนั่นคือเมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันสองรายการที่มีความหมายเดียวกันก็จะได้ความไม่เท่าเทียมกันในความหมายเดียวกัน
การพิสูจน์.
โดยอาศัยคำนิยามของความไม่เท่าเทียมกันก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นความแตกต่าง
(ก + ค) - (ข + ค)เชิงบวก. ความแตกต่างนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
(ก + ค) - (ข + ง) = (ก - ข) + (ค - ง).
เนื่องจากตามเงื่อนไขของจำนวน ก - ขและ ซีดีเป็นบวกแล้ว (ก + ค) - (ข + ง)มีจำนวนบวกด้วย
ผลที่ตามมา จากกฎ 2) และ 4) กฎต่อไปนี้สำหรับการลบอสมการดังต่อไปนี้: ถ้า ก > ข, ค > ง, ที่ ก - ง > ข - ค(เพื่อพิสูจน์ ก็เพียงพอที่จะใช้อสมการทั้งสองด้าน ก + ค > ข + งเพิ่มหมายเลข - ซีดี).
5) ถ้า a > b แล้วสำหรับ c > 0 เรามี ac > bc และสำหรับ c< 0 имеем ас < bc.
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการจะยังคงอยู่ (เช่น ได้รับความไม่เท่าเทียมกันซึ่งมีความหมายเดียวกัน) แต่เมื่อคูณด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนเป็นค่าตรงกันข้าม (กล่าวคือได้รับความไม่เท่าเทียมกันของความหมายตรงกันข้าม
การพิสูจน์.
ถ้า ก > ข, ที่ ก - ขเป็นจำนวนบวก ดังนั้นสัญญาณของความแตกต่าง เอซี-บีซี = ค(ก - ข)ตรงกับเครื่องหมายของตัวเลข กับ: ถ้า กับเป็นจำนวนบวก แล้วก็ผลต่าง เอซี - บีซีเป็นบวก ดังนั้น ac > bсและถ้า กับ< 0 แล้วความแตกต่างนี้จึงเป็นลบ ดังนั้น บีซี - เอซีเชิงบวก เช่น พ.ศ. > ไฟฟ้ากระแสสลับ.
6) ถ้า a > b > 0 และ c > d > 0 แล้ว ac > bdนั่นคือ ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการทั้งสองที่มีความหมายเดียวกันเป็นบวก เมื่อคูณอสมการเหล่านี้ทีละเทอม ก็จะได้อสมการที่มีความหมายเดียวกัน
การพิสูจน์.
เรามี ไฟฟ้ากระแสสลับ - bd = ไฟฟ้ากระแสสลับ - bc + bc - bd = ค(ก - ข) + ข(ค - ง)- เพราะ ค > 0, ข > 0, a - b > 0, c - d > 0 จากนั้น ac - bd > 0 เช่น ac > bd
ความคิดเห็นจากการพิสูจน์ก็ชัดเจนว่าสภาพ ง > 0ในการกำหนดคุณสมบัติ 6) ไม่สำคัญ: เพื่อให้คุณสมบัตินี้ถูกต้องก็เพียงพอที่จะตรงตามเงื่อนไข ก > ข > 0, ค > ง, ค > 0- ถ้า (หากความไม่เท่าเทียมกันได้รับการเติมเต็ม ก > ข, ค > ง) ตัวเลข ก ข คจะไม่เป็นบวกทั้งหมดแล้วความไม่เท่าเทียมกัน เครื่องปรับอากาศ > bdไม่อาจเติมเต็มได้ เช่น เมื่อใด ก = 2, ข =1, ค= -2, ง= -3 เรามี ก > ข, ค > งแต่ความไม่เท่าเทียมกัน เครื่องปรับอากาศ > bd(เช่น -4 > -3) ล้มเหลว ดังนั้น ข้อกำหนดที่ว่าตัวเลข a, b, c ต้องเป็นค่าบวกในการกำหนดคุณสมบัติ 6) จึงเป็นสิ่งสำคัญ
7) ถ้า a ≥ b > 0 และ c > d > 0 แล้ว (การหารอสมการ)
การพิสูจน์.
เรามี ตัวเศษของเศษส่วนทางขวาเป็นค่าบวก (ดูคุณสมบัติ 5), 6)) ส่วนตัวส่วนก็เป็นบวกเช่นกัน เพราะฉะนั้น,. นี่เป็นการพิสูจน์คุณสมบัติ 7)
ความคิดเห็นเรามาสังเกตสิ่งสำคัญกัน กรณีพิเศษกฎข้อ 7) จะได้เมื่อ a = b = 1: ถ้า c > d > 0 แล้ว ดังนั้น หากเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันเป็นบวก เมื่อผ่านไปยังส่วนกลับ เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันในความหมายตรงกันข้าม เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบว่ากฎนี้มีอยู่ใน 7) ถ้า ab > 0 และ c > d > 0 ดังนั้น (การหารอสมการ)
การพิสูจน์. ที่.
เราได้พิสูจน์คุณสมบัติหลายประการของอสมการที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายข้างต้นแล้ว > (มากกว่า). อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติทั้งหมดนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้เครื่องหมาย < (น้อยกว่า) เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน ข< а ความหมายตามคำจำกัดความเช่นเดียวกับความไม่เท่าเทียมกัน ก > ข- นอกจากนี้ ดังที่ง่ายต่อการตรวจสอบ คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วข้างต้นจะถูกเก็บรักษาไว้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติ 1) สำหรับอสมการไม่เข้มงวดจะมี มุมมองถัดไป: ถ้า ab และ bc, ที่ เครื่องปรับอากาศ.
แน่นอนว่าสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นไม่ได้จำกัดคุณสมบัติทั่วไปของอสมการ ก็มีเช่นกัน ทั้งซีรีย์อสมการทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณากำลัง เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. แนวทางทั่วไปสำหรับการเขียนอสมการประเภทนี้มีดังนี้ หากฟังก์ชั่นบางอย่าง ย = ฉ(x)เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในส่วนนี้ [ก ข]จากนั้นสำหรับ x 1 > x 2 (โดยที่ x 1 และ x 2 อยู่ในส่วนนี้) เรามี f (x 1) > ฉ(x 2). ในทำนองเดียวกันหากฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ลดลงอย่างน่าเบื่อตามช่วงเวลา [ก ข]แล้วเมื่อไร x 1 > x 2 (ที่ไหน x1และ เอ็กซ์ 2 อยู่ในส่วนนี้) เรามี ฉ(x 1)< f(x 2 - แน่นอนว่าสิ่งที่กล่าวมานั้นไม่ต่างจากคำจำกัดความของความซ้ำซากจำเจ แต่เทคนิคนี้สะดวกมากในการท่องจำและเขียนความไม่เท่าเทียมกัน
ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ของฟังก์ชัน y = xnกำลังเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจไปตามรังสี }