กำหนดกฎการบวกความเร็ว กฎการบวกความเร็วในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ

ตอนนี้เราจะดูกฎจลนศาสตร์ของไอน์สไตน์ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ในกรณีนี้ เราจะจำกัดตัวเองอยู่แต่ในระนาบเป็นหลัก ข้อสรุปที่ได้รับในกรณีนี้ไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะสรุปเกี่ยวกับกรณีนี้ พื้นที่สี่มิติดังนั้นเราจะพูดถึงมันเมื่อเราดำเนินการเท่านั้น

มะเดื่อ. 125. ส่วนสี่มิติ a - ระยะทางเหมือนเวลา ระยะทางเหมือนอวกาศ

เส้นแสงที่กำหนดโดยสมการ แบ่งระนาบออกเป็นสี่จตุภาค (รูปที่ 116) แน่นอนว่า จะคงเครื่องหมายเดียวกันไว้ในแต่ละจตุภาค และในจตุภาคตรงข้ามสองอันที่มีกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาในจตุภาคตรงข้ามสองอันที่มีกิ่งก้าน เส้นโลกเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด O สามารถถือเป็นแกนหรือแกนได้ ขึ้นอยู่กับว่าเส้นนั้นอยู่ในจตุภาคหรือในจตุภาค ดังนั้น เราจึงแบ่งเส้นโลกออกเป็น "คล้ายอวกาศ" และ "เหมือนเวลา" ” (รูปที่ 125, ก)

ในระบบเฉื่อยใด ๆ แกนจะแยกจุดโลกของ "อดีต" ออกจากจุดโลกของ "อนาคต" แต่การแบ่งส่วนนี้จะแตกต่างกันในแต่ละระบบเฉื่อย เนื่องจากตำแหน่งแกนที่แตกต่างกัน โลกจึงชี้ไปก่อนหน้านี้ นอนอยู่เหนือมันนั่นคือในอนาคตสามารถทำได้

ให้อยู่ต่ำกว่าแกนในอดีตและในทางกลับกัน เฉพาะเหตุการณ์ที่แสดงโดยจุดโลกที่อยู่ในควอแดรนท์เท่านั้นที่เป็นของ "อดีต" หรือ "อนาคต" ในระบบเฉื่อยใดๆ สำหรับจุดโลกดังกล่าว (รูปที่ 125, ก) เรามีเหตุการณ์สองเหตุการณ์ในกรอบอ้างอิงที่ยอมรับได้ซึ่งแยกจากกันตามช่วงเวลา มากกว่านั้นเวลาที่แสงเดินทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถเลือกระบบเฉื่อยเพื่อให้แกนของมันผ่านจุดหนึ่งได้เสมอ นั่นคือระบบที่ระบบนี้แสดงถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่จุดกำเนิดเชิงพื้นที่ จากมุมมองของระบบเฉื่อยอื่น ระบบเฉื่อยของเราจะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงในลักษณะที่จุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับเหตุการณ์อย่างแน่นอน เห็นได้ชัดว่าเราต้องใส่เหตุการณ์ในระบบ

ในระบบเฉื่อยใดๆ แกนจะเป็นตัวแทน สถานที่จุดโลกที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่จุดกำเนิดเชิงพื้นที่บนแกน X (เช่น ณ จุดนั้นและแยก (บนรูปสองมิติ) จุดที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิดและจุดที่อยู่ทางด้านขวาของมัน แต่ใน ระบบเฉื่อยที่แตกต่างกันซึ่งมีแกนต่างกัน ความแตกต่างนี้จะแตกต่างออกไป มันถูกกำหนดในลักษณะเฉพาะสำหรับจุดโลกที่อยู่ในควอแดรนท์ โดยไม่คำนึงว่าจุดเหล่านั้นจะอยู่ "ก่อน" หรือ "หลัง" ต้นกำเนิดเชิงพื้นที่ของพิกัด (รูปที่. 125, b) กล่าวคือ ในกรอบอ้างอิงใดๆ ที่ยอมรับได้ ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ น้อยกว่านั้นเวลาที่แสงเดินทางเป็นระยะทางจากจุด O ไปยังจุด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแนะนำระบบเฉื่อยที่กำลังเคลื่อนที่ที่เลือกไว้อย่างเหมาะสมโดยมีแกนที่ผ่านไปซึ่งเหตุการณ์ทั้งสองกลายเป็นพร้อมกัน ในระบบนี้จะเห็นเหตุการณ์ได้ชัดเจน ดังนั้น

ตามมาว่าค่าคงที่สำหรับจุดโลกใดๆ นั้นเป็นปริมาณที่สามารถวัดได้ซึ่งมีความหมายทางสายตาที่ตีความได้ง่าย ด้วยการแนะนำระบบอ้างอิงที่เหมาะสม จุดโลกสามารถแปลได้ว่า "ไปยังสถานที่เดียวกัน" ที่เหตุการณ์ O เกิดขึ้น และจากนั้นก็แปลค่าความแตกต่างของเวลาระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่จุดอวกาศเดียวกันในระบบ หรือแปลได้ว่า "ที่ ช่วงเวลาเดียวกัน” ซึ่งเหตุการณ์ O เกิดขึ้น แล้วตามด้วยระยะห่างเชิงพื้นที่ระหว่างสองเหตุการณ์ในระบบ

ในระบบพิกัดใดๆ เส้นแสงแสดงถึงการเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นด้วยความเร็วแสง ตามนี้ เส้นโลกที่มีลักษณะคล้ายเวลาแต่ละเส้นแสดงถึงการเคลื่อนไหวด้วยความเร็ว ความเร็วต่ำลงแสงส หรือหากต้องการตอบคำถามจากอีกด้านหนึ่ง การเคลื่อนไหวใด ๆ ที่เกิดขึ้นด้วยความเร็วน้อยกว่าความเร็วแสงสามารถ "เข้าสู่สภาวะหยุดนิ่ง" ได้ เนื่องจากมีเส้นโลกคล้ายเวลาที่สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวนี้

แล้วการเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นเร็วกว่าความเร็วแสงล่ะ? เมื่อคำนึงถึงการตัดสินที่แสดงไว้ข้างต้น ดูเหมือนว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ควรจะประกาศให้การเคลื่อนไหวดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ อันที่จริงจลนศาสตร์ใหม่จะสูญเสียความหมายทั้งหมดหากมีสัญญาณที่ช่วยให้เราสามารถควบคุมนาฬิกาพร้อมกันได้โดยเกี่ยวข้องกับความเร็วที่เร็วกว่าความเร็วแสง เห็นได้ชัดว่ามีปัญหาบางอย่างที่นี่

ปล่อยให้ระบบเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพันธ์กับระบบอื่น และปล่อยให้ร่างกาย K เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u สัมพันธ์กับระบบ ตามจลนศาสตร์ทั่วไป ความเร็วสัมพัทธ์ของวัตถุ K ในระบบจะเท่ากับ

ทีนี้ หากแต่ละความเร็วเกินครึ่งหนึ่งของความเร็วแสง มันก็จะมากกว่าความเร็วแสง c ด้วยเช่นกัน และนี่คงเป็นไปไม่ได้ ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ

แน่นอนว่าความซับซ้อนนี้เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าความเร็วในจลนศาสตร์เชิงสัมพัทธภาพไม่สามารถสรุปได้ง่ายๆ เนื่องจากระบบอ้างอิงแต่ละระบบมีหน่วยความยาวและเวลาเป็นของตัวเอง

ความจำเป็นที่จะต้องคำนึงถึงสถานการณ์นี้อย่างชัดเจนตามมาด้วยความจริงที่ว่าในสองระบบใด ๆ ที่เคลื่อนที่โดยสัมพันธ์กัน ความเร็วแสงจะถือว่าเท่ากันเสมอ - ข้อเท็จจริงที่ใช้แล้วก่อนหน้านี้ในการกำเนิดของการแปลงแบบลอเรนซ์ (บทที่ VI, § 2, หน้า 230) กฎที่แท้จริงของการบวกความเร็วสามารถอนุมานได้จากการแปลงนี้ [สูตร (70)] ลองพิจารณาวัตถุที่เคลื่อนไหวในระบบ การเคลื่อนที่ของมันสามารถเกิดขึ้นได้ในระนาบ x, y และด้วยเหตุนี้ ความเร็วของมันจึงมีสององค์ประกอบ และการเคลื่อนไหวสามารถเริ่มต้น ณ ช่วงเวลาหนึ่งจากจุดกำเนิดได้ เส้นโลกของร่างกายจะได้รับจากสมการ

สามารถคาดการณ์ได้ว่าการเคลื่อนที่จะเป็นเส้นตรงและในระบบความเร็วจะมีองค์ประกอบคงที่สองส่วน เส้นโลกของวัตถุที่เคลื่อนไหวในระบบจะได้รับจากสมการ

เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วของร่างกายในระบบ เราแนะนำนิพจน์ในสมการและใช้สูตรการแปลงลอเรนซ์ (70a) แทนที่จะเป็นสมการแรกที่เราได้รับ

เปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับสมการที่เราได้รับ

ซึ่งแสดงถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับความคงตัวของความเร็วแสง นอกจากนี้ เราจะเห็นว่าวัตถุใดๆ ก็ตามเคลื่อนที่ไปตามแกนอวกาศ ตราบเท่าที่ ที่จริงแล้ว ด้วยการหารสูตร (77a) ด้วย c เราก็สามารถแปลงผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบได้

ข้อความของเราตามมาจากสูตรนี้โดยตรง เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขข้างต้น เทอมที่สองทางขวาจะน้อยกว่า 1 เสมอ (ตัวส่วนมากกว่า 1 และตัวประกอบแต่ละตัวในตัวเศษจะน้อยกว่า 1) แน่นอนว่าข้อสรุปที่คล้ายกันนั้นใช้ได้สำหรับการเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในแนวขวางกับแกนอวกาศ และสำหรับการเคลื่อนไหวในทิศทางใดๆ

ดังนั้น ความเร็วแสงจลนศาสตร์คือความเร็วจำกัดที่ไม่สามารถเกินได้ สมมติฐานของทฤษฎีของไอน์สไตน์นี้พบกับการต่อต้านที่ดื้อรั้น ดูเหมือนเป็นข้อ จำกัด ที่ไม่ยุติธรรมในแผนของนักวิจัยที่คาดหวังการค้นพบความเร็วที่เกินความเร็วแสงในอนาคต

เรารู้ว่ารังสีนั้น สารกัมมันตภาพรังสีคืออิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วแสง เหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเร่งความเร็วให้พวกมันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่มากกว่าความเร็วแสง?

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีของไอน์สไตน์ระบุว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ในหลักการ เนื่องจากแรงต้านเฉื่อยหรือมวลของวัตถุจะเพิ่มขึ้นเมื่อความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสง ดังนั้นเราจึงมาถึงพลวัตใหม่โดยอาศัยจลนศาสตร์ของไอน์สไตน์

- กลศาสตร์สัมพัทธภาพ

บทที่ 2/69

เรื่อง. กฎสัมพัทธภาพของการบวกความเร็ว

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อให้นักเรียนคุ้นเคยกับกฎสัมพัทธภาพของการบวกความเร็ว

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

แผนการสอน

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

คำถามสำหรับนักเรียนขณะนำเสนอเนื้อหาใหม่

1. คุณเข้าใจอะไรเกี่ยวกับระบบอ้างอิงเฉื่อย ยกตัวอย่าง.

2. หลักสัมพัทธภาพของฟิสิกส์คลาสสิก

3. อะไรคือความแตกต่างในการกำหนดหลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอและหลักการสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์?

4. เปรียบเทียบแนวคิดเรื่องพร้อมกันใน ฟิสิกส์คลาสสิกและในทฤษฎีสัมพัทธภาพ

5. แนวคิด "ก่อนหน้า" และ "ภายหลัง" สัมพันธ์กันในกรณีใดและในกรณีใดแนวคิดเหล่านั้นจะสัมบูรณ์?

6. สองเหตุการณ์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยบางเหตุการณ์เกิดขึ้นที่จุดเดียวกันพร้อมกัน เหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นพร้อมๆ กันในกรอบเฉื่อยที่ต่างกันหรือไม่

7. สามารถโต้แย้งได้หรือไม่ว่าเหตุการณ์ที่แยกออกจากกันเชิงพื้นที่ซึ่งพร้อมกันในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดียว จะสามารถโต้แย้งพร้อมกันในกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นๆ ทั้งหมดได้หรือไม่

การก่อสร้างสื่อการเรียนรู้

เราเรียนรู้อะไรในชั้นเรียน?

ในระบบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดในเวลาเดียวกัน เงื่อนไขเริ่มต้นทั้งหมด ปรากฏการณ์ทางกลดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

กฎคลาสสิกของการเพิ่มความเร็ว:

กฎสัมพัทธภาพของการบวกความเร็ว:

เหตุการณ์เป็นแบบจำลองอย่างง่ายของปรากฏการณ์นั้น ระบบที่กำหนดการนับถือได้ว่าเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นใน จุดใดจุดหนึ่งพื้นที่ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงหนึ่งกรอบกลายเป็นไม่พร้อมกันในอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง ซึ่งเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงสัมพันธ์กับกรอบแรก กล่าวคือ การพร้อมกันเป็นแนวคิดที่สัมพันธ์กัน

ก1) - 22.5; 22.6;

ร2) - 22.7; 22.20; 22.21;

ก3) - 22.33, 22.34; 22.39.

กฎการเพิ่มความเร็วใน กลศาสตร์สัมพัทธภาพ

ให้สัมพันธ์กับระบบ ถึง' จุดวัสดุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว คุณ' (รูปที่ 2.3.2) มาหาความเร็วกัน คุณ จุดวัสดุสัมพันธ์กับระบบ ถึง- การคาดคะเนความเร็ว คุณ และ คุณ ′ บนแกนพิกัดในระบบ ถึงและ ถึง'จึงสามารถแสดงได้ดังนี้

, , , , , . (2.3.10)

ตามการแปลงแบบลอเรนซ์ (4 – 7)

, , , . (2.3.11)

แทนที่นิพจน์ (2.3.11) ลงใน (2.3.10) หลังจากการแปลง เราจะได้กฎสัมพัทธภาพของการบวกความเร็ว:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

ถ้าความเร็ว โวลต์ และ คุณ มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความเร็วแสง จากนั้นนิพจน์ (2.3.12) – (2.3.14) จะเปลี่ยนเป็นกฎการบวกความเร็วในกลศาสตร์คลาสสิก:

, , . (2.3.15)

ปล่อยให้จุดวัสดุเคลื่อนที่ขนานกับแกน เอ็กซ์.

จากนั้นกฎสัมพัทธภาพของการบวกความเร็ว (2.3.12) จะอยู่ในรูปแบบ:

. (2.3.16)

ถ้าในระบบ ถึง'จากนั้นในระบบ ถึง ,

เหล่านั้น. เมื่อเพิ่มความเร็วสองระดับความเร็วที่ได้จะเป็น ความเร็วเท่ากันแสงในสุญญากาศ ซึ่งยืนยันสมมติฐานข้อที่สองของไอน์สไตน์

ช่วงเวลา

ให้อยู่ในระบบอ้างอิง ถึงเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้น: เหตุการณ์แรก - ที่จุดที่มีพิกัด x 1 , y 1 , z 1ในช่วงเวลาหนึ่ง เสื้อ 1,

ประการที่สอง – ณ จุดที่มีพิกัด x2, คุณ 2, ซี 2ในช่วงเวลาหนึ่ง เสื้อ 2- แต่ละเหตุการณ์ในอวกาศ-เวลาสี่มิติสอดคล้องกับจุด ( x,ย,z,ที) ซึ่งเรียกว่าจุดโลก ขนาด

เรียกว่าช่วงระหว่างเหตุการณ์เหล่านี้หรือช่วงระหว่างจุดสองจุด ( x1,คุณ 1,ซี 1,เสื้อ 1) และ ( x2,คุณ 2,ซี 2,เสื้อ 2) ในอวกาศ-เวลาสี่มิติ สามารถแสดงได้โดยใช้การแปลงแบบลอเรนซ์ว่าปริมาณนี้มีค่าเท่ากันในระบบอ้างอิงทั้งหมด กล่าวคือ เป็นค่าคงที่ของการแปลงแบบลอเรนซ์

ให้เราแสดงช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ เสื้อ 2 – เสื้อ 1= =เสื้อ 12และระยะห่างเชิงพื้นที่ระหว่างจุดที่เหตุการณ์เกิดขึ้น

จากนั้นช่วงเวลาจะเกิดขึ้น .

ให้เหตุการณ์แรกเป็นอย่างนั้น ณ ขณะนั้น เสื้อ 1จากจุด ( x1,คุณ 1,ซี 1) สัญญาณไฟจะถูกปล่อยออกมา และสัญญาณไฟอย่างที่สองก็คือ ณ ขณะนั้น เสื้อ 2สัญญาณนี้ได้รับ ณ จุด ( x2,คุณ 2,ซี 2- สัญญาณเดินทางด้วยความเร็วแสงดังนั้น 12= กะรัต 12- ช่วงเวลาสำหรับกรณีนี้ ส 12= 0 ช่วงเวลานี้เรียกว่าศูนย์ ช่วงเวลาเป็นศูนย์ระหว่างเหตุการณ์ที่สามารถเชื่อมต่อได้ด้วยสัญญาณที่เดินทางด้วยความเร็วแสง ด้วยช่วงเวลาเป็นศูนย์ เหตุการณ์ต่างๆ สามารถเชื่อมโยงถึงกันได้ด้วยความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลในกรอบอ้างอิงใดๆ

ถ้า 12 > กะรัต 12แล้วเหตุการณ์ที่พิจารณาก็ไม่สามารถมีอิทธิพลซึ่งกันและกันได้ เช่น ไม่สามารถมีความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลได้ เนื่องจากไม่มีสัญญาณ ไม่มีอิทธิพลใดสามารถแพร่กระจายด้วยความเร็วที่มากกว่าความเร็วแสงในสุญญากาศ ช่วงเวลาในกรณีนี้จะเป็นจินตภาพ เรียกว่าช่วงจินตภาพ เหมือนอวกาศ- เหตุการณ์ที่คั่นด้วยช่วงจินตภาพไม่สามารถเกิดขึ้นที่จุดหนึ่งในกรอบอ้างอิงใดๆ ได้ เนื่องจากในกรณีนี้ ช่วงจะกลายเป็นจริงในกรอบอ้างอิงนี้ ( 12= 0) และเนื่องจากค่าคงที่ ช่วงเวลาในระบบอ้างอิงทั้งหมดจึงต้องคงอยู่ในจินตภาพ สำหรับเหตุการณ์ที่คั่นด้วยช่วงเว้นวรรค เป็นไปได้ที่จะค้นหากรอบอ้างอิงที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ( เสื้อ 12=0).

ถ้า 12 < กะรัต 12จากนั้นช่วงเวลาจะกลายเป็นจริง ช่วงเวลาดังกล่าวเรียกว่า ทันเวลา- เหตุการณ์ที่แยกจากกันด้วยช่วงเวลาคล้ายเวลาอาจเป็นเหตุได้ ผูกมัดเพื่อนกับเพื่อน เหตุการณ์ดังกล่าวไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในหน้าต่างอ้างอิงใดๆ ( เสื้อ 12= 0) เนื่องจากในกรณีนี้ช่วงเวลาจะกลายเป็นจินตภาพ แต่สำหรับเหตุการณ์เหล่านี้ มีกรอบอ้างอิงเกิดขึ้นที่จุดหนึ่ง ( 12 = 0).

ปล่อยให้วัตถุในหน้าต่างอ้างอิง K" มีความเร็ว v" กำหนดทิศทางไปตามแกน x" (และ x): ในหน้าต่างอ้างอิง K ความเร็วของวัตถุนี้จะเป็น
- เรามาดูกันว่าความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว v" และ v คืออะไร พิจารณาอนุพันธ์ เป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียล dx และ dt ซึ่งเราพบโดยใช้การแปลงแบบลอเรนซ์:

หารตัวเศษและส่วนของด้านขวาด้วย dt" แล้วได้

เหล่านั้น. ต่างจากการแปลงของกาลิเลโอ ความเร็วรวมไม่เท่ากับผลรวมของความเร็ว แต่เป็นใน
ต่ำกว่าครั้ง ปล่อยให้ร่างกายเคลื่อนที่ในจรวดด้วยความเร็วแสง v" x = c และจรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสงสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ v 0 = c ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าใดเมื่อเทียบกับค่าคงที่ ระบบพิกัด?

ตามการแปลงของกาลิเลโอ ความเร็วนี้คือ v = v" x + v 0 = 2c ตามการแปลงแบบลอเรนซ์

แนวคิดเรื่องพลวัตเชิงสัมพัทธภาพ กฎความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงาน พลังงานทั้งหมดและพลังงานจลน์ ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานทั้งหมดกับโมเมนตัมของอนุภาค

การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ไม่เล็กเกินไปด้วยความเร็วไม่สูงมากเป็นไปตามกฎของกลศาสตร์คลาสสิก ใน ปลาย XIXศตวรรษ มีการทดลองพบว่ามวลของวัตถุ m ไม่ใช่ปริมาณคงที่ แต่ขึ้นอยู่กับความเร็ว v ของการเคลื่อนที่ การพึ่งพานี้มีรูปแบบ

โดยที่ m 0 คือมวลที่เหลือ

ถ้า v = 300 km/s แล้ว v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 และ m > m 0 ด้วยจำนวน 5 ∙ 10 -7 m 0

การปฏิเสธข้อกำหนดพื้นฐานข้อใดข้อหนึ่ง (m = const) ของกลศาสตร์คลาสสิก ทำให้เกิดความจำเป็นในการวิเคราะห์เชิงวิพากษ์เกี่ยวกับรากฐานอื่นๆ จำนวนหนึ่ง การแสดงออกของโมเมนตัมในพลวัตเชิงสัมพัทธภาพนั้นมีรูปแบบอยู่

กฎแห่งกลศาสตร์ยังคงรักษารูปแบบไว้ในพลวัตเชิงสัมพัทธภาพ โมเมนตัมการเปลี่ยนแปลง d(mv ) เท่ากับแรงกระตุ้น Fdt

dp = d(mv) = F dt

ดังนั้น dp/dt = F- คือการแสดงออกของกฎพื้นฐานของพลวัตเชิงสัมพัทธภาพสำหรับจุดวัสดุ

ในทั้งสองกรณี มวลที่รวมอยู่ในนิพจน์เหล่านี้เป็นปริมาณแปรผัน (m ≠ const) และจำเป็นต้องแยกความแตกต่างตามเวลาด้วย

ให้เราสร้างความเชื่อมโยงระหว่างมวลและพลังงาน พลังงานที่เพิ่มขึ้นเช่นเดียวกับในกลศาสตร์คลาสสิกนั้นเกิดจากการทำงานของแรง F ดังนั้น dE = Fds เราได้หารด้านซ้ายและขวาด้วย dt

ทดแทนที่นี่

เมื่อคูณด้านซ้ายและขวาของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย dt เราจะได้

จากสำนวนสำหรับมวล
มากำหนดกันเถอะ

มาแยกนิพจน์ v 2 กัน

ลองแทน v 2 และ d(v 2) เข้าไปในพจน์ของ dE

เมื่อรวมนิพจน์นี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ E = mc 2

พลังงานทั้งหมดของระบบ E เท่ากับมวลคูณด้วยกำลังสองของความเร็วแสงในสุญญากาศ ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมสำหรับอนุภาคที่ไม่มีมวลนิ่งในพลวัตเชิงสัมพัทธภาพได้รับจากความสัมพันธ์

ซึ่งหาได้ง่ายทางคณิตศาสตร์: E=mc 2 ,p=mv . ลองยกกำลังสองเท่ากันแล้วคูณทั้งสองข้างของวินาทีด้วย c 2

E 2 = ม. 2 ค 4, p 2 ค 2 = ม. 2 v 2 ค 2

ลบเทอมทีละเทอมจากความเท่าเทียมกันครั้งแรกในวินาที

E 2 – p 2 c 2 = ม. 2 ค 4 -ม. 2 v 2 ค 2 = ม. 2 ค 4 (1-v 2 / c 2)

เมื่อพิจารณาแล้วว่า
เราได้รับ

เนื่องจากมวลที่เหลือ m 0 และความเร็วของแสง c เป็นปริมาณที่ไม่แปรเปลี่ยนกับการแปลงแบบลอเรนซ์ ความสัมพันธ์ (E 2 - p 2 c 2) จึงไม่แปรเปลี่ยนกับการแปลงแบบลอเรนซ์ด้วย จากความสัมพันธ์นี้ เราได้การแสดงออกของพลังงานทั้งหมด