Sin เป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่ ฟังก์ชันคู่และคี่

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ

ฟังก์ชันที่เครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนเรียกว่าเลขคู่ x.

xความเท่าเทียมกันถือ ฉ(–x) = ฉ(x- เข้าสู่ระบบ xไม่ส่งผลกระทบต่อเครื่องหมาย ย.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด (รูปที่ 1)

ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่:

ย=คอส x

ย = x 2

ย = –x 2

ย = x 4

ย = x 6

ย = x 2 + x

คำอธิบาย:
เรามาทำหน้าที่กัน ย = x 2 หรือ ย = –x 2 .
เพื่อความคุ้มค่าใดๆ xฟังก์ชั่นเป็นบวก เข้าสู่ระบบ xไม่ส่งผลกระทบต่อเครื่องหมาย ย- กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด นี่คือฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชั่นแปลก ๆ

ฟังก์ชันที่เครื่องหมายเปลี่ยนแปลงเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนเรียกว่าคี่ x.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับค่าใดๆ xความเท่าเทียมกันถือ ฉ(–x) = –ฉ(x).

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด (รูปที่ 2)

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่:

ย= บาป x

ย = x 3

ย = –x 3

คำอธิบาย:

ลองใช้ฟังก์ชัน y = – x 3 .
ความหมายทั้งหมด ที่มันจะมีเครื่องหมายลบ นั่นคือสัญญาณ xมีอิทธิพลต่อสัญญาณ ย- ถ้าตัวแปรอิสระเป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก ถ้าตัวแปรอิสระเป็นจำนวนลบ ฟังก์ชันจะเป็นค่าลบ: ฉ(–x) = –ฉ(x).
กราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด นี่เป็นฟังก์ชันคี่

คุณสมบัติของฟังก์ชันคู่และคี่:

บันทึก:

ไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่หรือคี่ มีฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามการไล่ระดับดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันรูท ที่ = √เอ็กซ์ใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันคู่หรือคี่ (รูปที่ 3) เมื่อแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าว ควรให้คำอธิบายที่เหมาะสม: ไม่เป็นคู่หรือคี่

ฟังก์ชันคาบ

ดังที่คุณทราบ ช่วงเวลาคือการทำซ้ำของกระบวนการบางอย่างในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันคาบ นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่กราฟมีองค์ประกอบที่ทำซ้ำในช่วงเวลาตัวเลขที่แน่นอน

จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ได้อย่างไร?

หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือตามที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์จะถูกแทรกลงบนไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่สร้างโดย Wolfram Alpha โดยอัตโนมัติ . นอกจากความเรียบง่ายแล้ว วิธีการสากลนี้ยังช่วยปรับปรุงการมองเห็นเว็บไซต์ในเครื่องมือค้นหาอีกด้วย มันใช้งานได้มาเป็นเวลานาน (และฉันคิดว่าจะใช้ได้ตลอดไป) แต่ก็ล้าสมัยไปแล้ว

หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์บนไซต์ของคุณเป็นประจำ ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML

มีสองวิธีในการเริ่มใช้ MathJax: (1) การใช้โค้ดง่ายๆ คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับเว็บไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะถูกโหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลในเวลาที่เหมาะสม (รายชื่อเซิร์ฟเวอร์); (2) ดาวน์โหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในเว็บไซต์ของคุณ วิธีที่สอง - ซับซ้อนกว่าและใช้เวลานาน - จะทำให้การโหลดหน้าเว็บไซต์ของคุณเร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์ MathJax หลักไม่สามารถใช้งานได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อไซต์ของคุณในทางใดทางหนึ่ง แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ แต่ฉันเลือกวิธีแรกเนื่องจากง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะทางเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และในเวลาเพียง 5 นาที คุณจะสามารถใช้ฟีเจอร์ทั้งหมดของ MathJax บนไซต์ของคุณได้

คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลได้โดยใช้ตัวเลือกโค้ดสองตัวที่นำมาจากเว็บไซต์หลักของ MathJax หรือบนหน้าเอกสารประกอบ:

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) แค่นั้นแหละ. ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

แฟร็กทัลใดๆ ก็ตามจะถูกสร้างขึ้นตามกฎเกณฑ์หนึ่ง ซึ่งใช้อย่างสม่ำเสมอโดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งดังกล่าวเรียกว่าการวนซ้ำ

อัลกอริธึมการวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์ดั้งเดิมที่มีด้าน 1 จะถูกแบ่งด้วยระนาบที่ขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่า ๆ กัน ลูกบาศก์กลางหนึ่งลูกบาศก์และลูกบาศก์ 6 ก้อนที่อยู่ติดกันตามใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 20 ลูกบาศก์ที่เหลือ เมื่อทำเช่นเดียวกันกับแต่ละลูกบาศก์ เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ลูกบาศก์ ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปอย่างไม่สิ้นสุดเราจะได้ฟองน้ำ Menger

การขึ้นต่อกันของตัวแปร y กับตัวแปร x ซึ่งแต่ละค่าของ x สอดคล้องกับค่า y เพียงค่าเดียว เรียกว่าฟังก์ชัน สำหรับการกำหนดให้ใช้สัญลักษณ์ y=f(x) แต่ละฟังก์ชันมีคุณสมบัติพื้นฐานจำนวนหนึ่ง เช่น ความน่าเบื่อ ความเท่าเทียมกัน ระยะเวลา และอื่นๆ

ลองดูที่ทรัพย์สินพาริตีให้ละเอียดยิ่งขึ้น

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกแม้ว่าจะเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

2. ค่าของฟังก์ชันที่จุด x ซึ่งเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะต้องเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด -x นั่นคือสำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = f(-x)

กราฟของฟังก์ชันคู่

หากคุณพล็อตกราฟของฟังก์ชันคู่ กราฟนั้นจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^2 เป็นเลขคู่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=3 อะไรก็ได้ ฉ(x)=3^2=9.

ฉ(-x)=(-3)^2=9. ดังนั้น f(x) = f(-x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^2

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

กราฟของฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกว่าเป็นเลขคี่หากตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดจะต้องสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O นั่นคือ ถ้าบางจุด a อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จุดที่สอดคล้องกัน -a จะต้องอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความด้วย ของฟังก์ชันที่กำหนด

2. สำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = -f(x)

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^3 เป็นเลขคี่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=2 อะไรก็ได้ ฉ(x)=2^3=8.

ฉ(-x)=(-2)^3=-8. ดังนั้น f(x) = -f(x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^3

รูปนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่าฟังก์ชันคี่ y=x^3 มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

การแปลงกราฟ

คำอธิบายด้วยวาจาของฟังก์ชัน

วิธีกราฟิก

วิธีการระบุฟังก์ชันแบบกราฟิกเป็นวิธีที่มองเห็นได้มากที่สุดและมักใช้ในเทคโนโลยี ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ วิธีการระบุฟังก์ชันแบบกราฟิกจะใช้เป็นภาพประกอบ

กราฟของฟังก์ชัน f คือเซตของจุดทั้งหมด (x;y) ของระนาบพิกัด โดยที่ y=f(x) และ x “ลากผ่าน” ขอบเขตทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้

เซตย่อยของระนาบพิกัดคือกราฟของฟังก์ชันหากมีจุดร่วมไม่เกิน 1 จุดและมีเส้นตรงขนานกับแกน Oy

ตัวอย่าง. ตัวเลขที่แสดงด้านล่างเป็นกราฟของฟังก์ชันใช่หรือไม่

ข้อดีของงานกราฟิกคือความชัดเจน คุณสามารถดูได้ทันทีว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไร เพิ่มขึ้นตรงไหน และลดลงตรงไหน จากกราฟ คุณสามารถค้นหาลักษณะสำคัญบางประการของฟังก์ชันได้ทันที

โดยทั่วไป วิธีการวิเคราะห์และกราฟิกในการกำหนดฟังก์ชันจะสอดคล้องกัน การทำงานกับสูตรจะช่วยสร้างกราฟ และกราฟมักจะแนะนำวิธีแก้ปัญหาที่คุณไม่ได้สังเกตเห็นในสูตรด้วยซ้ำ

นักเรียนเกือบทุกคนรู้สามวิธีในการกำหนดฟังก์ชันที่เราเพิ่งดูไป

ลองตอบคำถาม: "มีวิธีอื่นในการระบุฟังก์ชันหรือไม่"

มีวิธีดังกล่าว

ฟังก์ชั่นสามารถระบุเป็นคำพูดได้ค่อนข้างชัดเจน

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=2x สามารถระบุได้ด้วยคำอธิบายด้วยวาจาต่อไปนี้ ค่าจริงแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ x จะเชื่อมโยงกับค่าสองเท่า มีการสร้างกฎ มีการระบุฟังก์ชัน

นอกจากนี้ คุณยังสามารถระบุฟังก์ชันที่ยากมากหรือเป็นไปไม่ได้ด้วยวาจาในการกำหนดโดยใช้สูตร

ตัวอย่างเช่น: แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ x เชื่อมโยงกับผลรวมของตัวเลขที่ประกอบเป็นค่า x ตัวอย่างเช่น ถ้า x=3 แล้ว y=3 ถ้า x=257 แล้ว y=2+5+7=14 และอื่นๆ การเขียนสิ่งนี้ลงในสูตรเป็นปัญหา แต่ป้ายนั้นทำง่าย

วิธีการอธิบายด้วยวาจาเป็นวิธีที่ค่อนข้างไม่ค่อยได้ใช้ แต่บางครั้งก็เป็นเช่นนั้น

หากมีกฎของการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง x และ y แสดงว่าจะมีฟังก์ชัน กฎหมายใดที่แสดงออกในรูปแบบใด - สูตร, แท็บเล็ต, กราฟ, คำ - ไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของเรื่อง

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด เช่น สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์จากโดเมนของคำจำกัดความหมายเลข (- เอ็กซ์) ยังเป็นของโดเมนของคำจำกัดความด้วย ในบรรดาฟังก์ชันดังกล่าว จะมีการแยกแยะคู่และคี่

คำนิยาม. ฟังก์ชัน f ถูกเรียกใช้แม้ว่าจะมีค่าใดๆ ก็ตาม เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน

มันเป็นเท่ากัน เรามาตรวจสอบกัน

สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์มีความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ด้านล่างนี้เป็นกราฟของฟังก์ชันนี้

คำนิยาม. ฟังก์ชัน f เรียกว่าคี่ถ้ามี เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน

มันแปลก เรามาตรวจสอบกัน

ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่ามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0;0)

สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์มีความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ด้านล่างนี้เป็นกราฟของฟังก์ชันนี้

กราฟที่แสดงในตัวเลขที่หนึ่งและสามมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนกำหนด และกราฟที่แสดงในตัวเลขที่สองและสี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ฟังก์ชันใดที่แสดงกราฟในรูปเป็นฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันใดเป็นเลขคี่

ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเป็นคุณสมบัติหลักอย่างหนึ่ง และความเท่าเทียมกันเป็นส่วนที่น่าประทับใจของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน โดยส่วนใหญ่จะกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันและอำนวยความสะดวกอย่างมากในการสร้างกราฟที่เกี่ยวข้อง

ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันกัน โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันที่กำลังศึกษาจะได้รับการพิจารณาแม้ว่าค่าตรงข้ามของตัวแปรอิสระ (x) ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความนั้นค่าที่สอดคล้องกันของ y (ฟังก์ชัน) จะเท่ากัน

เรามาให้คำจำกัดความที่เข้มงวดกว่านี้กันดีกว่า พิจารณาฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมน D มันจะเป็นแม้ว่าจุด x ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความก็ตาม:

• -x (จุดตรงข้าม) ก็อยู่ในขอบเขตนี้เช่นกัน

• ฉ(-x) = ฉ(x)

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดังกล่าว กล่าวคือ สมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด เนื่องจากหากมีจุด b บางจุดอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของคู่ ฟังก์ชัน ดังนั้นจุด b ที่สอดคล้องกันก็อยู่ในโดเมนนี้ด้วย จากที่กล่าวมาข้างต้น จึงสรุปได้ว่า ฟังก์ชันคู่มีรูปแบบสมมาตรเทียบกับแกนพิกัด (Oy)

จะตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

ปล่อยให้ระบุโดยใช้สูตร h(x)=11^x+11^(-x) ตามอัลกอริทึมที่ตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง เราจะตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความก่อน เห็นได้ชัดว่ามันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือเป็นไปตามเงื่อนไขแรก

ขั้นตอนต่อไปคือการแทนที่ค่าตรงข้าม (-x) สำหรับอาร์กิวเมนต์ (x)
เราได้รับ:
ชั่วโมง(-x) = 11^(-x) + 11^x
เนื่องจากการบวกเป็นไปตามกฎการสลับสับเปลี่ยน (สับเปลี่ยน) จึงชัดเจนว่า h(-x) = h(x) และการพึ่งพาฟังก์ชันที่ให้มานั้นเป็นเลขคู่

ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน h(x)=11^x-11^(-x) ตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราจะได้ h(-x) = 11^(-x) -11^x ลบออกในที่สุดเราก็มี
ชั่วโมง(-x)=-(11^x-11^(-x))=- ชั่วโมง(x) ดังนั้น h(x) จึงเป็นเลขคี่

อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่ามีฟังก์ชันที่ไม่สามารถจำแนกตามเกณฑ์เหล่านี้ได้ เรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่

ฟังก์ชันคู่ก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

• อันเป็นผลมาจากการเพิ่มฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน พวกเขาได้ฟังก์ชั่นที่เท่ากัน
• อันเป็นผลมาจากการลบฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
• แม้กระทั่ง แม้กระทั่ง;
• อันเป็นผลมาจากการคูณสองฟังก์ชันดังกล่าวจะได้ค่าคู่
• อันเป็นผลมาจากการคูณฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อันเป็นผลมาจากการแบ่งฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเลขคี่
• หากคุณยกกำลังสองฟังก์ชันคี่ คุณจะได้ฟังก์ชันคู่

ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันสามารถใช้เพื่อแก้สมการได้

ในการแก้สมการเช่น g(x) = 0 โดยที่ด้านซ้ายของสมการเป็นฟังก์ชันคู่ ก็จะเพียงพอที่จะหาคำตอบสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร รากผลลัพธ์ของสมการจะต้องรวมกับจำนวนที่ตรงกันข้าม หนึ่งในนั้นต้องได้รับการตรวจสอบ

นอกจากนี้ยังใช้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยพารามิเตอร์อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น มีค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ a ซึ่งสมการ 2x^6-x^4-ax^2=1 จะมีสามรากหรือไม่

หากเราคำนึงว่าตัวแปรเข้าสู่สมการด้วยกำลังคู่ ก็ชัดเจนว่าการแทนที่ x ด้วย - x จะไม่เปลี่ยนสมการที่กำหนด ตามมาว่าหากจำนวนหนึ่งเป็นราก จำนวนตรงข้ามก็จะเป็นรากด้วย ข้อสรุปนั้นชัดเจน: รากของสมการที่แตกต่างจากศูนย์จะรวมอยู่ในชุดคำตอบเป็น "คู่"

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่ 0 นั่นคือจำนวนรากของสมการดังกล่าวสามารถเป็นเลขคู่ได้เท่านั้นและโดยธรรมชาติแล้วสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์นั้นไม่สามารถมีสามรากได้

แต่จำนวนรากของสมการ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 สามารถเป็นเลขคี่ และสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ก็ได้ จริงๆ แล้ว เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเซตรากของสมการที่กำหนดมีคำตอบ "เป็นคู่" ลองตรวจสอบว่า 0 เป็นรูตหรือไม่ เมื่อเราแทนมันลงในสมการ เราจะได้ 2=2 ดังนั้นนอกเหนือจากค่าที่ "จับคู่" แล้ว 0 ยังเป็นรากซึ่งพิสูจน์เลขคี่อีกด้วย