ตัวอย่างระบบอสมการเชิงตรรกยะ อสมการเชิงเหตุผลและระบบของมัน

เรายังคงมองหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตัวเดียวต่อไป เราได้ศึกษาอสมการเชิงเส้นและกำลังสองแล้ว ซึ่งเป็นกรณีพิเศษ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล- ในบทความนี้ เราจะชี้แจงว่าอสมการประเภทใดที่ถือเป็นเหตุผล และเราจะบอกคุณว่าอสมการเหล่านี้แบ่งออกเป็นประเภทใด (จำนวนเต็มและเศษส่วน) หลังจากนี้เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้องเราจะให้ อัลกอริธึมที่จำเป็นและวิเคราะห์งานเฉพาะ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมเชิงเหตุผล

เมื่อพวกเขาศึกษาหัวข้อการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในโรงเรียน พวกเขาจะคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผลทันที พวกเขาได้รับและพัฒนาทักษะในการทำงานกับการแสดงออกประเภทนี้ ให้เรากำหนดคำจำกัดความของแนวคิดนี้:

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเหตุผลคืออสมการที่มีตัวแปรซึ่งมีนิพจน์เชิงตรรกยะในทั้งสองส่วน

โปรดทราบว่าคำจำกัดความไม่ส่งผลต่อคำถามเกี่ยวกับจำนวนตัวแปร แต่อย่างใด ซึ่งหมายความว่าสามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ ดังนั้น อสมการเชิงตรรกยะที่มีตัวแปร 1, 2, 3 หรือมากกว่าจึงเป็นไปได้ บ่อยครั้งที่คุณต้องจัดการกับนิพจน์ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว น้อยกว่าสองตัว และความไม่เท่าเทียมกันด้วย จำนวนมากตัวแปรมักจะอยู่ภายใน หลักสูตรของโรงเรียนไม่ได้รับการพิจารณาเลย

ดังนั้นเราจึงสามารถรับรู้ถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลโดยดูจากการเขียน ควรมีการแสดงออกที่มีเหตุผลทั้งด้านขวาและด้านซ้าย นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

x > 4 x 3 + 2 ปี ≤ 5 (y - 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

แต่นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

อสมการเชิงเหตุผลทั้งหมดแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

คำจำกัดความ 2

ความเสมอภาคเชิงเหตุผลทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์เชิงเหตุผลทั้งหมด (ในทั้งสองส่วน)

คำจำกัดความ 3

ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน- นี่คือความเท่าเทียมกันที่มี การแสดงออกที่เป็นเศษส่วนในส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วน

ตัวอย่างเช่น อสมการของรูปแบบ 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 และ 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 คือ เศษส่วนเหตุผลและ 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 ปี)และ 1: x + 3 > 0- ทั้งหมด.

เราวิเคราะห์ว่าอสมการเชิงเหตุผลคืออะไรและระบุประเภทหลักๆ เราสามารถทบทวนแนวทางแก้ไขต่อไปได้

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ของอสมการเชิงตรรกยะทั้งหมด ร(เอ็กซ์)< s (x) ซึ่งมีตัวแปร x เพียงตัวเดียวเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน ร(เอ็กซ์)และ ส(เอ็กซ์)แทนจำนวนเต็มใดๆ จำนวนตรรกยะหรือการแสดงออกและเครื่องหมายอสมการอาจแตกต่างกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจำเป็นต้องแปลงมันและได้รับความเท่าเทียมกันที่เท่ากัน

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

อยู่ในรูปแบบ r (x) - s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

เรารู้ว่า ร (x) - ส (x)จะเป็นค่าจำนวนเต็ม และนิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามได้ มาแปลงร่างกันเถอะ ร (x) - ส (x)ในชั่วโมง(x) นิพจน์นี้จะเป็นพหุนามที่เท่ากัน เมื่อพิจารณาว่า r (x) − s (x) และ h (x) มีพื้นที่ ค่าที่ยอมรับได้ x เหมือนกัน เราสามารถไปยังอสมการ h (x) ได้< 0 (≤ , >, ≥) ซึ่งจะเท่ากับค่าเดิม

บ่อยครั้งการเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย ๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน เนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นเชิงเส้นหรือ อสมการกำลังสองซึ่งเป็นค่าที่คำนวณได้ง่าย มาวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวกัน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:แก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลทั้งหมด x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

ตอนนี้เราได้ดำเนินการทั้งหมดโดยใช้พหุนามทางด้านซ้ายเสร็จแล้ว เราก็ไปต่อกันได้เลย ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น 3 x - 2 ≤ 0เทียบเท่ากับสิ่งที่ได้รับในเงื่อนไข แก้ได้ง่าย:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

คำตอบ: x ≤ 2 3 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 + x) (x 2 + x).

สารละลาย

เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านซ้ายไปทางด้านขวาและทำการแปลงเพิ่มเติมโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

จากการเปลี่ยนแปลงของเรา เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจะเป็นจริงสำหรับค่า x ใดๆ ดังนั้นคำตอบของอสมการดั้งเดิมอาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้

คำตอบ:เลขอะไรก็ได้จริงๆ

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

สารละลาย

เราจะไม่ถ่ายโอนสิ่งใดจากด้านขวา เนื่องจากมี 0 อยู่ตรงนั้น มาเริ่มกันเลยโดยการแปลงด้านซ้ายเป็นพหุนาม:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0

เราได้ค่าอสมการกำลังสองที่เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้หลายวิธี ลองใช้วิธีแบบกราฟิก

เริ่มต้นด้วยการคำนวณรากของกำลังสองตรีโกณมิติ − 2 x 2 + 11 x + 6:

ง = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

ตอนนี้บนแผนภาพเราทำเครื่องหมายศูนย์ที่จำเป็นทั้งหมด เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำน้อยกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาบนกราฟจะชี้ลง

เราต้องการพื้นที่ของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน x เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันนี้ เรามีเครื่องหมาย > ช่วงเวลาที่ต้องการคือ (− 0 , 5 , 6) ดังนั้นค่าช่วงนี้จะเป็นคำตอบที่เราต้องการ

คำตอบ: (− 0 , 5 , 6) .

ยังมีอีกมาก กรณีที่ซับซ้อนเมื่อได้พหุนามของหนึ่งในสามหรือมากกว่าทางด้านซ้าย ระดับสูง- เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว ขอแนะนำให้ใช้วิธีช่วงเวลา ขั้นแรกเราคำนวณรากทั้งหมดของพหุนาม ชั่วโมง(x)ซึ่งส่วนใหญ่มักทำโดยแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณ (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

สารละลาย

มาเริ่มกันเช่นเคยโดยย้ายนิพจน์ไปทางซ้าย หลังจากนั้นเราจะต้องขยายวงเล็บและโยน เงื่อนไขที่คล้ายกัน.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

จากผลของการเปลี่ยนแปลง เราได้ความเท่าเทียมกันเทียบเท่ากับค่าเดิม ทางด้านซ้ายซึ่งมีพหุนามของดีกรีที่สาม ลองใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อแก้มัน

ขั้นแรก เราคำนวณรากของพหุนามซึ่งเราต้องแก้โจทย์ สมการลูกบาศก์ x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0- มันมีรากที่มีเหตุผลหรือไม่? พวกเขาสามารถเป็นหนึ่งในตัวหารของเงื่อนไขอิสระเท่านั้นเช่น ท่ามกลางตัวเลข ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 ลองแทนที่พวกมันทีละตัวในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่าตัวเลข 1, 2 และ 3 จะเป็นรากของมัน

แล้วพหุนาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)และความไม่เท่าเทียมกัน x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 สามารถแสดงเป็น (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 - ด้วยความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้จะทำให้เรากำหนดสัญญาณตามช่วงเวลาได้ง่ายขึ้น

ต่อไปเราจะทำตามขั้นตอนที่เหลือ วิธีช่วงเวลา: ลากเส้นจำนวนแล้วชี้ไปที่พิกัด 1, 2, 3 พวกเขาแบ่งเส้นออกเป็น 4 ช่วงซึ่งต้องกำหนดสัญญาณ ให้เราแรเงาช่วงเวลาด้วยเครื่องหมายลบ เนื่องจากอสมการเริ่มแรกมีเครื่องหมายอยู่ < .

สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนคำตอบพร้อม: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​

คำตอบ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

ในบางกรณี ให้พิจารณาจากอสมการ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) ถึงชั่วโมง (x)< 0 (≤ , >, ≥) โดยที่ ชั่วโมง(x)– พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 2 ซึ่งไม่เหมาะสม สิ่งนี้ขยายไปถึงกรณีที่ r (x) − s (x) แสดงเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้น และ ตรีโกณมิติกำลังสองง่ายกว่าการแยกตัวประกอบ h(x) ออกเป็นตัวประกอบแต่ละตัว ลองดูที่ปัญหานี้

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

สารละลาย

อสมการนี้ใช้กับจำนวนเต็ม หากเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย ให้เปิดวงเล็บและลดเงื่อนไข เราก็จะได้ x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0

การแก้ไขอสมการนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากคุณต้องมองหารากของพหุนามดีกรีที่ 4 มันไม่มีรากตรรกยะตัวเดียว (เช่น 1, − 1, 19 หรือ − 19 ไม่เหมาะ) และยากต่อการมองหารากอื่น ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถใช้วิธีนี้ได้

แต่มีวิธีแก้ไขอื่น ๆ หากเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการเดิมไปทางซ้าย เราก็จะวงเล็บเหลี่ยมตัวประกอบร่วมได้ x 2 - 2 x - 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

เราได้รับอสมการที่เทียบเท่ากับค่าเดิม และวิธีการแก้ปัญหาของมันจะให้คำตอบที่ต้องการแก่เรา ลองหาศูนย์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายที่เราแก้โจทย์กัน สมการกำลังสอง x 2 − 2 x − 1 = 0และ x 2 − 2 x − 19 = 0- รากของพวกมันคือ 1 ± 2, 1 ± 2 5 เราไปยังความเท่าเทียมกัน x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีช่วงเวลา:

จากรูป คำตอบจะเป็น - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞

คำตอบ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

ให้เราเสริมว่าบางครั้งเราไม่สามารถหารากทั้งหมดของพหุนามได้ ชั่วโมง(x)ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแสดงมันเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองได้ แล้วแก้อสมการของรูป h(x)< 0 (≤ , >, ≥) เราทำไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้เช่นกันที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลดั้งเดิม

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลเศษส่วนของรูปแบบ r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) โดยที่ r (x) และ ส(เอ็กซ์)เป็นนิพจน์เชิงตรรกยะ x คือตัวแปร อย่างน้อยหนึ่งแห่ง การแสดงออกที่ระบุจะเป็นเศษส่วน อัลกอริธึมการแก้ปัญหาในกรณีนี้จะเป็นดังนี้:

1. เรากำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x
2. เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการไปทางซ้ายและนิพจน์ผลลัพธ์ ร (x) - ส (x)เขียนมันเป็นเศษส่วน. นอกจากนี้ที่ไหน พี(เอ็กซ์)และ คิว(x)จะเป็นนิพจน์จำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้น ตรีโกณมิติกำลังสองที่แยกไม่ออก รวมถึงกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
3. ต่อไป เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา
4. ขั้นตอนสุดท้ายคือการแยกคะแนนที่ได้รับระหว่างการแก้ปัญหาออกจากช่วงค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x ที่เรากำหนดไว้ตั้งแต่ต้น

นี่คืออัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน ที่สุดชัดเจน จำเป็นต้องมีคำอธิบายเล็กน้อยสำหรับย่อหน้าที่ 2 เท่านั้น เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายแล้วได้ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) แล้วจะนำมันมาอยู่ในรูป p (x) q (x) ได้อย่างไร< 0 (≤ , > , ≥) ?

ขั้นแรก เรามาพิจารณาว่าการแปลงนี้สามารถทำได้เสมอหรือไม่ ตามทฤษฎีแล้ว ความเป็นไปได้นั้นมีอยู่เสมอ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เศษส่วนตรรกยะคุณสามารถแปลงอะไรก็ได้ การแสดงออกอย่างมีเหตุผล- ตรงนี้เรามีเศษส่วนที่มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน ขอให้เรานึกถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและทฤษฎีบทของเบซูต์ และพิจารณาว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n ที่มีตัวแปรหนึ่งตัวสามารถเปลี่ยนเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นได้ ดังนั้น ตามทฤษฎีแล้ว เราสามารถเปลี่ยนนิพจน์ด้วยวิธีนี้ได้ตลอดเวลา

ในทางปฏิบัติ การแยกตัวประกอบพหุนามมักจะค่อนข้างยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากค่าดีกรีสูงกว่า 4 หากเราไม่สามารถขยายตัวได้ เราก็จะไม่สามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้ แต่ปัญหาดังกล่าวมักไม่มีการศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน

ต่อไปเราต้องตัดสินใจว่าผลลัพธ์จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่ p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) เทียบเท่ากับ r (x) - s (x)< 0 (≤ , >, ≥) และไปที่ต้นฉบับ มีความเป็นไปได้ที่มันจะกลายเป็นไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกันของความไม่เท่าเทียมกันจะมั่นใจได้เมื่อช่วงของค่าที่ยอมรับได้ พี(x)คิว(x)จะตรงกับช่วงนิพจน์ ร (x) - ส (x)- จากนั้นไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามคำแนะนำสุดท้ายของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกศาสตร์เศษส่วน

แต่ช่วงของค่าสำหรับ พี(x)คิว(x)อาจจะกว้างกว่า. ร (x) - ส (x)เช่น โดยการลดเศษส่วน ตัวอย่างจะเป็นไปจาก x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 ถึง x · x - 1 x + 3 หรือสิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้เมื่อนำคำที่คล้ายกันมาใช้ เช่น ที่นี่:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 ถึง 1 x + 3

ในกรณีเช่นนี้ ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริธึมจะถูกเพิ่มเข้าไป เมื่อดำเนินการคุณจะกำจัดค่าตัวแปรภายนอกที่เกิดขึ้นเนื่องจากการขยายช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ลองยกตัวอย่างบางส่วนเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาคำตอบของความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะ x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

สารละลาย

เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่ระบุไว้ข้างต้น ขั้นแรก เราจะกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ใน ในกรณีนี้มันถูกกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกัน x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 วิธีแก้คือเซต (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

หลังจากนั้นเราจำเป็นต้องแปลงมันเพื่อให้สะดวกในการใช้วิธีช่วงเวลา ก่อนอื่นเราให้ เศษส่วนพีชคณิตถึงตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด (x - 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

เรายุบนิพจน์ในตัวเศษโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของนิพจน์ผลลัพธ์คือ (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . เราเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกับสิ่งที่กำหนดไว้สำหรับความเท่าเทียมเดิม เราสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งหมายความว่าเราไม่ต้องการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เราใช้วิธีช่วงเวลา:

เราเห็นวิธีแก้ปัญหา ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) ซึ่งจะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะดั้งเดิม x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

คำตอบ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

ตัวอย่างที่ 7

เงื่อนไข:คำนวณวิธีแก้ปัญหา x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1

สารละลาย

เรากำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีของอสมการนี้จะเท่ากับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น −2, − 1, 0 และ 1 .

เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ที่ได้รับเราเขียน:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

สำหรับนิพจน์ - 1 x - 1 ช่วงของค่าที่ถูกต้องคือเซตของทั้งหมด ตัวเลขจริงยกเว้นอย่างหนึ่ง เราเห็นว่าช่วงของค่าได้ขยายออกไป: − 2 , − 1 และ 0 - ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เนื่องจากเรามาถึงความไม่เท่าเทียมกัน - 1 x - 1 > 0 เราสามารถเขียนค่าที่เทียบเท่ากับ 1 x - 1 ได้< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

เราไม่รวมคะแนนที่ไม่รวมอยู่ในช่วงค่าที่ยอมรับได้ของความเท่าเทียมกันดั้งเดิม เราจำเป็นต้องยกเว้นจาก (− ∞ , 1) ตัวเลข − 2 , − 1 และ 0 . ดังนั้นการแก้อสมการเชิงเหตุผล x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 จะเป็นค่า (- ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

คำตอบ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

โดยสรุป เราให้อีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาซึ่งคำตอบสุดท้ายขึ้นอยู่กับช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 8

เงื่อนไข:ค้นหาวิธีแก้อสมการ 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0

สารละลาย

ช่วงของค่าที่อนุญาตของความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขถูกกำหนดโดยระบบ x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0

ระบบนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพราะว่า

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันดั้งเดิม 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากไม่มีค่าของตัวแปรที่จะทำได้ ความรู้สึก.

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือ จากการสอบถามหรือการร้องขอจากสาธารณะ หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ตัวอย่าง:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

เมื่อแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน จะใช้วิธีช่วงเวลา ดังนั้น หากอัลกอริธึมที่ให้ไว้ด้านล่างทำให้คุณประสบปัญหา โปรดดูบทความใน .

วิธีแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน:

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน

ตัวอย่าง:



ติดป้ายไว้ตามช่วงเส้นจำนวน ฉันขอเตือนคุณถึงกฎการวางป้าย:

เรากำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาขวาสุด - นำตัวเลขจากช่วงเวลานี้มาแทนที่เป็นอสมการแทน X หลังจากนั้นเราจะกำหนดเครื่องหมายในวงเล็บและผลลัพธ์ของการคูณเครื่องหมายเหล่านี้

ตัวอย่าง:




เลือกช่วงเวลาที่ต้องการ หากมีรากแยกกัน ให้ทำเครื่องหมายในช่องเพื่อไม่ให้ลืมรวมไว้ในคำตอบ (ดูตัวอย่างด้านล่าง)

ตัวอย่าง:


เขียนช่องว่างที่ไฮไลต์และรากที่ทำเครื่องหมายไว้ (ถ้ามี) ลงในคำตอบของคุณ

ตัวอย่าง:
คำตอบ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)