ปริมาณสเกลาร์ในตัวอย่างทางฟิสิกส์ ระหว่างหินกับที่แข็ง

ปริมาณเวกเตอร์ (เวกเตอร์)เป็นปริมาณทางกายภาพที่มีคุณลักษณะ 2 ประการ คือ โมดูลัสและทิศทางในปริภูมิ

ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์: ความเร็ว () แรง () ความเร่ง () ฯลฯ

ในเชิงเรขาคณิต เวกเตอร์จะแสดงเป็นส่วนกำกับของเส้นตรง ซึ่งความยาวบนมาตราส่วนคือค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์

เวกเตอร์รัศมี(โดยปกติจะแสดงแทนหรือเรียกง่ายๆ ) - เวกเตอร์ที่ระบุตำแหน่งของจุดในอวกาศโดยสัมพันธ์กับจุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้าบางจุด เรียกว่าจุดกำเนิด

สำหรับ จุดใดก็ได้ในอวกาศ เวกเตอร์รัศมีคือเวกเตอร์ที่เดินทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดนั้น

ความยาวของเวกเตอร์รัศมีหรือโมดูลัสของเวกเตอร์จะกำหนดระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิด และลูกศรจะระบุทิศทางไปยังจุดนี้ในอวกาศ

บนระนาบ มุมของเวกเตอร์รัศมีคือมุมที่เวกเตอร์รัศมีหมุนสัมพันธ์กับแกน x ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

เส้นที่เรียกว่าร่างกายเคลื่อนไหว วิถีการเคลื่อนที่การเคลื่อนไหวทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นเส้นตรงและเส้นโค้ง ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของวิถี

คำอธิบายของการเคลื่อนไหวเริ่มต้นด้วยคำตอบสำหรับคำถาม: ตำแหน่งของร่างกายในอวกาศเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในช่วงระยะเวลาหนึ่ง? การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของร่างกายในอวกาศถูกกำหนดอย่างไร?

การย้าย- ส่วนควบคุม (เวกเตอร์) เชื่อมต่อตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้ายของร่างกาย

ความเร็ว(มักแสดงแทน , จากภาษาอังกฤษ. ความเร็วหรือเ วิเทสเซ่) - ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่แสดงถึงความเร็วของการเคลื่อนที่และทิศทางของการเคลื่อนที่ จุดวัสดุในอวกาศสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือก (เช่น ความเร็วเชิงมุม) เรียกคำเดียวกันก็ได้ ปริมาณสเกลาร์แม่นยำยิ่งขึ้นคือโมดูลัสของอนุพันธ์ของเวกเตอร์รัศมี

วิทยาศาสตร์ก็ใช้ความเร็วเช่นกัน ในความหมายกว้างๆเป็นความเร็วของการเปลี่ยนแปลงของปริมาณบางจำนวน (ไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์รัศมี) ขึ้นอยู่กับปริมาณอื่น (โดยปกติจะเปลี่ยนแปลงในเวลา แต่ยังรวมถึงอวกาศหรือสิ่งอื่นใดด้วย) ตัวอย่างเช่น พวกเขาพูดถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ อัตรา ปฏิกิริยาเคมี, ความเร็วกลุ่ม, ความเร็วการเชื่อมต่อ, ความเร็วเชิงมุม ฯลฯ มีลักษณะทางคณิตศาสตร์โดยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเร่งความเร็ว(โดยปกติจะแสดงเป็น กลศาสตร์เชิงทฤษฎี) อนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาคือปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงจำนวนเวกเตอร์ความเร็วของจุด (วัตถุ) เปลี่ยนแปลงเมื่อมันเคลื่อนที่ต่อหน่วยเวลา (เช่น ความเร่งไม่เพียงคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดของความเร็วเท่านั้น แต่ยังมีทิศทางของมันด้วย)

ตัวอย่างเช่น ใกล้โลก วัตถุตกลงบนพื้นโลก ในกรณีที่สามารถละเลยแรงต้านอากาศได้ จะเพิ่มความเร็วของมันประมาณ 9.8 เมตร/วินาที ทุกๆ วินาที นั่นคือ ความเร่งของมันเท่ากับ 9.8 เมตร/วินาที²

สาขาหนึ่งของกลศาสตร์ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ในปริภูมิยูคลิดสามมิติ การบันทึก รวมถึงการบันทึกความเร็วและความเร่งใน ระบบต่างๆการอ้างอิงเรียกว่าจลนศาสตร์

หน่วยความเร่งเป็นเมตรต่อวินาทีต่อวินาที ( เมตร/วินาที 2, เมตร/วินาที 2) นอกจากนี้ยังมีหน่วยที่ไม่ใช่ระบบ Gal (Gal) ที่ใช้ในกราวิเมทรีและเท่ากับ 1 เซนติเมตร/วินาที 2

อนุพันธ์ของความเร่งเทียบกับเวลา เช่น ปริมาณที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร่งในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าการกระตุก

การเคลื่อนไหวของร่างกายที่ง่ายที่สุดคือการเคลื่อนไหวโดยทุกจุดของร่างกายเคลื่อนไหวเท่ากัน โดยอธิบายวิถีโคจรเดียวกัน การเคลื่อนไหวนี้เรียกว่า ก้าวหน้า- เราได้รับการเคลื่อนไหวประเภทนี้โดยการขยับเสี้ยนเพื่อให้มันขนานกับตัวเองตลอดเวลา ในระหว่างการเคลื่อนที่ไปข้างหน้า วิถีอาจเป็นเส้นตรง (รูปที่ 7, a) หรือเส้นโค้ง (รูปที่ 7, b)
สามารถพิสูจน์ได้ว่าในระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปล เส้นตรงใดๆ ที่ลากในร่างกายยังคงขนานกับตัวมันเอง นี้ คุณลักษณะเฉพาะสะดวกในการใช้ตอบคำถามว่าการเคลื่อนไหวร่างกายนั้นเป็นการแปลหรือไม่ ตัวอย่างเช่น เมื่อทรงกระบอกหมุนไปตามระนาบ เส้นตรงที่ตัดแกนจะไม่ขนานกับแกนของมันเอง การกลิ้งไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบแปลความหมาย เมื่อคานประตูและสี่เหลี่ยมเคลื่อนที่ไปตามกระดานวาดภาพ เส้นตรงที่ลากในนั้นจะยังคงขนานกับตัวมันเอง ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะเคลื่อนที่ไปข้างหน้า (รูปที่ 8) เข็มของจักรเย็บผ้า ลูกสูบในกระบอกสูบของเครื่องจักรไอน้ำหรือเครื่องยนต์เคลื่อนที่อย่างต่อเนื่อง การเผาไหม้ภายใน,ตัวรถ(แต่ไม่ใช่ล้อ!) เมื่อขับบนถนนทางตรง เป็นต้น

การเคลื่อนไหวง่ายๆ อีกประเภทหนึ่งก็คือ การเคลื่อนไหวแบบหมุนร่างกายหรือการหมุน ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน ทุกจุดของร่างกายจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง เส้นตรงนี้เรียกว่าแกนการหมุน (เส้นตรง 00" ในรูปที่ 9) วงกลมอยู่ในระนาบขนานซึ่งตั้งฉากกับแกนหมุน จุดของร่างกายที่วางอยู่บนแกนหมุนยังคงนิ่ง การหมุนไม่ การเคลื่อนไหวไปข้างหน้า: เมื่อหมุนแกน OO" วิถีที่แสดงยังคงขนานกันเฉพาะเส้นตรงที่ขนานกับแกนการหมุน

ร่างกายแข็งแรงอย่างแน่นอน- วัตถุรองรับอันที่สองของกลศาสตร์พร้อมกับจุดวัสดุ

มีหลายคำจำกัดความ:

1. วัตถุที่มีความแข็งแกร่งอย่างยิ่งเป็นแนวคิดแบบจำลองของกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งแสดงถึงชุดของจุดวัสดุ ซึ่งระยะห่างระหว่างนั้นจะถูกรักษาไว้ระหว่างการเคลื่อนไหวใด ๆ ที่ทำโดยวัตถุนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งร่างกายที่มั่นคงไม่เพียงแต่ไม่เปลี่ยนรูปร่าง แต่ยังรักษาการกระจายตัวของมวลภายในไม่เปลี่ยนแปลง

2. ร่างกายที่เข้มงวดอย่างยิ่งคือระบบกลไกที่มีระดับความอิสระในการแปลและการหมุนเท่านั้น “ความแข็ง” หมายความว่า ร่างกายไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ กล่าวคือ ไม่มีพลังงานอื่นใดที่สามารถถ่ายโอนไปยังร่างกายได้ นอกจากพลังงานจลน์ของการแปลหรือ การเคลื่อนไหวแบบหมุน.

3. อย่างแน่นอน แข็ง- ร่างกาย (ระบบ) ตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดใด ๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะมีส่วนร่วมในกระบวนการใดก็ตาม

ใน พื้นที่สามมิติและในกรณีที่ไม่มีการเชื่อมต่อร่างกายที่เข้มงวดอย่างยิ่งจะมีระดับอิสระ 6 ระดับ: การแปลสามครั้งและการหมุนสามครั้ง ข้อยกเว้นคือโมเลกุลไดอะตอมมิกหรือแท่งแข็งที่มีความหนาเป็นศูนย์ในภาษาของกลศาสตร์คลาสสิก ระบบดังกล่าวมีระดับความอิสระในการหมุนเพียงสองระดับเท่านั้น

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

สมมติฐานที่ไม่ได้รับการพิสูจน์และไม่มีการโต้แย้งเรียกว่าปัญหาเปิด

ฟิสิกส์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์ กฎทางกายภาพสามารถกำหนดสูตรได้อย่างแม่นยํา.. ทฤษฎีกรีก พิจารณา.. วิธีมาตรฐานของการทดสอบ ทฤษฎี การทดลองโดยตรง การตรวจสอบ เกณฑ์การทดลองของความจริงอย่างไรก็ตามบ่อยครั้ง..

หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

ทวีต

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

หลักสัมพัทธภาพในกลศาสตร์
ระบบอ้างอิงเฉื่อยและหลักสัมพัทธภาพ

การเปลี่ยนแปลงของกาลิเลโอ ค่าคงที่การเปลี่ยนแปลง ความเร็วและความเร่งสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ สมมุติฐานของเทคโนโลยีพิเศษ
การเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุ การเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุคือการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลมการเคลื่อนที่แบบหมุน - มุมมอง

ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ของความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุม ความเร่งเชิงเส้นและเชิงมุม
การวัดการเคลื่อนที่แบบหมุน: มุม φ ซึ่งเวกเตอร์รัศมีของจุดหมุนในระนาบตั้งฉากกับแกนการหมุน

การเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ
ความเร็วและความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง การเคลื่อนไหวโค้งมากขึ้นดูซับซ้อน

การเคลื่อนไหวมากกว่าเส้นตรง เนื่องจากแม้ว่าการเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นบนเครื่องบิน พิกัดสองพิกัดที่แสดงลักษณะตำแหน่งของร่างกายก็เปลี่ยนไป ความเร็วและ
ความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง กำลังพิจารณาการเคลื่อนไหวโค้ง

ร่างกายเราจะเห็นว่าความเร็วของมันแตกต่างกันในแต่ละช่วงเวลา แม้ว่าขนาดของความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ก็ยังมีการเปลี่ยนทิศทางของความเร็วอยู่
สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน

(1) โดยที่แรง F ในกรณีทั่วไป
ศูนย์กลางของมวล ศูนย์กลางของความเฉื่อยจุดเรขาคณิต

ตำแหน่งที่แสดงลักษณะการกระจายตัวของมวลในร่างกายหรือระบบกลไก พิกัดของมวลกลางถูกกำหนดโดยสูตร
กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล

จากการใช้กฎการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับ
หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ

· ระบบอ้างอิงเฉื่อย ระบบอ้างอิงเฉื่อยของกาลิเลโอ
การเสียรูปของพลาสติก

งอแผ่นเหล็ก (เช่น เลื่อยเลือยตัดโลหะ) เล็กน้อย จากนั้นปล่อยออกครู่หนึ่ง เราจะเห็นว่าเลื่อยเลือยตัดโลหะจะคืนรูปร่างให้สมบูรณ์ (อย่างน้อยก็ในตอนแรก) ถ้าเราเอา
กองกำลังภายนอกและภายใน - ในด้านกลศาสตร์กองกำลังภายนอก

สัมพันธ์กับระบบจุดวัสดุที่กำหนด (เช่น ชุดของจุดวัสดุซึ่งการเคลื่อนที่ของแต่ละจุดขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือการเคลื่อนที่ของแกนทั้งหมด
พลังงานจลน์ พลังงานระบบเครื่องกล

ขึ้นอยู่กับความเร็วในการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ เคอี T ของจุดวัสดุวัดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวล m ของจุดนี้ด้วยกำลังสองของความเร็ว
พลังงานจลน์ พลังงานจลน์คือพลังงานของวัตถุที่เคลื่อนไหว (จากคำภาษากรีก

kinema - การเคลื่อนไหว) ตามคำจำกัดความ พลังงานจลน์ของบางสิ่งที่อยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงที่กำหนด
ค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวลกายและกำลังสองของความเร็ว

=เจ
พลังงานจลน์เป็นปริมาณสัมพัทธ์ขึ้นอยู่กับการเลือก CO เนื่องจาก ความเร็วของร่างกายขึ้นอยู่กับการเลือก CO

ที่.
ช่วงเวลาแห่งพลัง พลังงานจลน์วัสดุทั้งหมด

งานและกำลังระหว่างการหมุนของตัวถังที่แข็งแรง
งานและกำลังระหว่างการหมุนของตัวถังที่แข็งแรง

ลองหาสำนวนการทำงานที่อุณหภูมิ
สมการพื้นฐานสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

ตามสมการ (5.8) กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน P ปริมาณเรียกว่าสเกลาร์ (สเกลาร์) หากหลังจากเลือกหน่วยการวัดแล้วจะมีการกำหนดลักษณะเฉพาะด้วยตัวเลขเดียว ตัวอย่างของปริมาณสเกลาร์ ได้แก่ มุม พื้นผิว ปริมาตร มวล ความหนาแน่นค่าไฟฟ้า

,ความต้านทาน,อุณหภูมิ

จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างปริมาณสเกลาร์สองประเภท: สเกลาร์บริสุทธิ์และซูโดสเกลาร์

3.1.1. สเกลาร์บริสุทธิ์

สเกลาร์บริสุทธิ์ถูกกำหนดโดยตัวเลขเพียงตัวเดียว โดยไม่ขึ้นกับแกนอ้างอิงที่เลือก ตัวอย่างของสเกลาร์บริสุทธิ์คืออุณหภูมิและมวล

3.1.2. ซูโดสกาลาร์ เช่นเดียวกับสเกลาร์บริสุทธิ์ pseudoscalars ถูกกำหนดโดยใช้ตัวเลขตัวเดียวค่าสัมบูรณ์

ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกแกนอ้างอิง อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายของตัวเลขนี้ขึ้นอยู่กับการเลือกทิศทางบวกบนแกนพิกัด ลองพิจารณาดู เช่นทรงลูกบาศก์

เส้นโครงของขอบซึ่งอยู่บนแกนพิกัดสี่เหลี่ยมจะเท่ากันตามลำดับ ปริมาตรของเส้นขนานนี้ถูกกำหนดโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์

ค่าสัมบูรณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกแกนพิกัดสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตาม หากคุณเปลี่ยนทิศทางบวกบนแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย ปริมาณเป็นสเกลาร์เทียม มุม พื้นที่ และพื้นผิวก็เป็นสเกลาร์เทียมเช่นกัน ด้านล่าง (ส่วนที่ 5.1.8) เราจะเห็นว่าแท้จริงแล้ว pseudoscalar เป็นเทนเซอร์ชนิดพิเศษ

ปริมาณเวกเตอร์

3.1.3. แกน.

แกนคือเส้นตรงอนันต์ที่เลือกทิศทางบวกไว้ ปล่อยให้เป็นเส้นตรงและทิศทางจาก

ถือว่าเป็นบวก ลองพิจารณาส่วนของเส้นนี้และสมมติว่าตัวเลขที่วัดความยาวเท่ากับ a (รูปที่ 3.1) จากนั้นความยาวพีชคณิตของเซกเมนต์จะเท่ากับ a ความยาวพีชคณิตของเซ็กเมนต์จะเท่ากับ - a

หากเราใช้เส้นคู่ขนานหลายเส้น เมื่อพิจารณาทิศทางบวกของเส้นใดเส้นหนึ่งแล้ว เราก็กำหนดทิศทางที่เหลือด้วยเหตุนี้ สถานการณ์จะแตกต่างออกไปหากเส้นไม่ขนานกัน จากนั้นคุณจะต้องตกลงเป็นพิเศษในการเลือกทิศทางบวกสำหรับเส้นตรงแต่ละเส้น

ปล่อยให้แกน. เราจะเรียกการหมุนรอบแกนเป็นค่าบวกหรือทางตรงหากดำเนินการเพื่อให้ผู้สังเกตการณ์ยืนอยู่ในทิศทางบวกของแกนไปทางขวาและทางซ้าย (รูปที่ 3.2) มิฉะนั้นจะเรียกว่าลบหรือผกผัน

3.1.5. ตรีเฮดราตรงและผกผัน

ปล่อยให้เป็นรูปสามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยมหรือไม่สี่เหลี่ยม) ทิศทางที่เป็นบวกจะถูกเลือกบนแกนตามลำดับตั้งแต่ O ถึง x, จาก O ถึง y และจาก O ถึง z

ในหลักสูตรฟิสิกส์ เรามักจะพบกับปริมาณซึ่งเพียงพอที่จะทราบเพียงค่าตัวเลขเพื่ออธิบายเท่านั้น เช่น มวล เวลา ความยาว

ปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะเท่านั้น ค่าตัวเลขเรียกว่า สเกลาร์หรือ สเกลาร์.

นอกจากปริมาณสเกลาร์แล้ว ปริมาณยังใช้ที่มีทั้งค่าตัวเลขและทิศทางอีกด้วย เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง

ปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทางเรียกว่า เวกเตอร์หรือ เวกเตอร์.

ปริมาณเวกเตอร์ถูกกำหนดด้วยตัวอักษรที่สอดคล้องกันโดยมีลูกศรด้านบนหรือไฮไลต์ไว้ เป็นตัวหนา- ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์แรงเขียนแทนด้วย \(\vec F\) หรือ เอฟ - ค่าตัวเลขของปริมาณเวกเตอร์เรียกว่าโมดูลัสหรือความยาวของเวกเตอร์ ค่าของเวกเตอร์แรงเขียนแทนด้วย เอฟหรือ \(\left|\vec F \right|\)

ภาพเวกเตอร์

เวกเตอร์แสดงด้วยส่วนกำกับ จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์คือจุดที่ส่วนกำกับเริ่มต้น (จุดที่ กในรูป 1) จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือจุดที่ลูกศรสิ้นสุด (point บีในรูป 1)

ข้าว. 1.

เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากันหากมีความยาวเท่ากันและมุ่งไปในทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ดังกล่าวแสดงโดยส่วนกำกับที่มี ความยาวเท่ากันและทิศทาง ตัวอย่างเช่นในรูป. 2 แสดงเวกเตอร์ \(\vec F_1 =\vec F_2\)

ข้าว. 2.

เมื่อมีการแสดงเวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปในภาพวาดเดียว เซ็กเมนต์จะถูกสร้างขึ้นตามขนาดที่เลือกไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่นในรูป. รูปที่ 3 แสดงเวกเตอร์ที่มีความยาว \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s

ข้าว. 3.

วิธีการระบุเวกเตอร์

บนเครื่องบิน สามารถระบุเวกเตอร์ได้หลายวิธี:

1. ระบุพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ \(\Delta\vec r\) ในรูปที่ 4 กำหนดโดยพิกัดของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ – (2, 4) (m), จุดสิ้นสุด – (6, 8) (m)

ข้าว. 4.

2. ระบุขนาดของเวกเตอร์ (ค่าของมัน) และมุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์กับทิศทางที่เลือกไว้ล่วงหน้าบนระนาบ บ่อยครั้งสำหรับทิศทางดังกล่าวค่ะ ด้านบวกแกน 0 เอ็กซ์- มุมที่วัดจากทิศทางนี้ทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นมุมบวก ในรูป 5 เวกเตอร์ \(\Delta\vec r\) ถูกกำหนดโดยตัวเลขสองตัว ขและ \(\alpha\) ระบุความยาวและทิศทางของเวกเตอร์

ข้าว. 5.

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ไม่สามารถทำได้หากไม่มีแนวคิดเรื่อง "ปริมาณเวกเตอร์" คุณจำเป็นต้องรู้และรับรู้และสามารถดำเนินการกับมันได้ คุณควรเรียนรู้สิ่งนี้อย่างแน่นอนเพื่อไม่ให้สับสนและทำผิดพลาดโง่ ๆ

จะแยกแยะปริมาณสเกลาร์จากปริมาณเวกเตอร์ได้อย่างไร

ประการแรกจะมีลักษณะเพียงประการเดียวเสมอ นี่คือค่าตัวเลข ปริมาณสเกลาร์ส่วนใหญ่สามารถรับได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ตัวอย่าง ได้แก่ ประจุไฟฟ้า งาน หรืออุณหภูมิ แต่มีสเกลาร์ที่ไม่สามารถเป็นลบได้ เช่น ความยาวและมวล

ปริมาณเวกเตอร์ยกเว้น ค่าตัวเลขซึ่งใช้แบบโมดูโลเสมอก็มีลักษณะเฉพาะด้วยทิศทางเช่นกัน ดังนั้นจึงสามารถอธิบายเป็นภาพกราฟิกได้นั่นคือในรูปแบบของลูกศรซึ่งมีความยาวเท่ากับขนาดของขนาดที่พุ่งไปในทิศทางที่แน่นอน

เมื่อเขียน ปริมาณเวกเตอร์แต่ละปริมาณจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายลูกศรบนตัวอักษร ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับค่าตัวเลข ดังนั้นลูกศรจะไม่ถูกเขียนหรือเป็นแบบโมดูโล

การกระทำใดที่มักใช้กับเวกเตอร์บ่อยที่สุด?

ประการแรกการเปรียบเทียบ พวกเขาอาจจะเท่ากันหรือไม่ก็ได้ ในกรณีแรก โมดูลจะเหมือนกัน แต่นี่ไม่ใช่เงื่อนไขเดียว จะต้องมีทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้ามด้วย ในกรณีแรก ควรเรียกว่าเวกเตอร์ที่เท่ากัน ในวินาทีที่พวกเขากลับกลายเป็นตรงกันข้าม หากไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุอย่างน้อยหนึ่งข้อ แสดงว่าเวกเตอร์ไม่เท่ากัน

จากนั้นก็มาเพิ่มเติม สามารถทำได้ตามกฎสองข้อ: สามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน คนแรกกำหนดให้เลิกจ้างเวกเตอร์หนึ่งตัวก่อนจากนั้นจึงจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง ผลลัพธ์ของการบวกจะเป็นผลลัพธ์ที่ต้องดึงตั้งแต่ต้นรายการแรกจนถึงจุดสิ้นสุดของวินาที

สามารถใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่อบวกปริมาณเวกเตอร์ในวิชาฟิสิกส์ ไม่เหมือนกับกฎข้อแรก ควรเลื่อนออกไปจากจุดหนึ่ง จากนั้นสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลลัพธ์ของการกระทำควรถือเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ดึงมาจากจุดเดียวกัน

หากปริมาณเวกเตอร์ถูกลบออกจากอีกปริมาณหนึ่ง ปริมาณเหล่านั้นจะถูกพล็อตจากจุดหนึ่งอีกครั้ง ผลลัพธ์เท่านั้นที่จะเป็นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสิ่งที่พล็อตจากจุดสิ้นสุดของวินาทีถึงจุดสิ้นสุดของครั้งแรก

เวกเตอร์ใดที่มีการศึกษาในวิชาฟิสิกส์?

มีมากเท่าที่มีสเกลาร์ คุณสามารถจำปริมาณเวกเตอร์ที่มีอยู่ในฟิสิกส์ได้ หรือรู้สัญญาณที่สามารถคำนวณได้ สำหรับผู้ที่ชื่นชอบตัวเลือกแรกตารางนี้จะมีประโยชน์ ประกอบด้วยเวกเตอร์หลัก

ตอนนี้เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับปริมาณเหล่านี้บางส่วน

ปริมาณแรกคือความเร็ว

ควรเริ่มต้นด้วยตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์ เนื่องจากเป็นหนึ่งในกลุ่มแรกๆ ที่ได้รับการศึกษา

ความเร็วถูกกำหนดให้เป็นลักษณะของการเคลื่อนไหวของร่างกายในอวกาศ มันตั้งค่าตัวเลขและทิศทาง ดังนั้น ความเร็วจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังเป็นธรรมเนียมที่จะต้องแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ อันแรกก็คือ ความเร็วเชิงเส้น- นำมาใช้เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ปรากฎว่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นทางที่ร่างกายเดินทางต่อเวลาของการเคลื่อนไหว

สามารถใช้สูตรเดียวกันได้เมื่อ การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ- เมื่อนั้นก็จะเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ช่วงเวลาที่ต้องเลือกจะต้องสั้นที่สุด เนื่องจากช่วงเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ ค่าความเร็วจึงเป็นค่าที่เกิดขึ้นทันที

หากพิจารณาการเคลื่อนที่ตามอำเภอใจ ความเร็วจะเป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอ ท้ายที่สุดแล้ว มันจะต้องถูกแยกย่อยเป็นส่วนประกอบที่กำกับตามเวกเตอร์แต่ละตัวที่กำกับเส้นพิกัด นอกจากนี้ยังถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของเวกเตอร์รัศมีที่คำนวณตามเวลา

ปริมาณที่สองคือความแข็งแกร่ง

เป็นตัวกำหนดการวัดความรุนแรงของผลกระทบที่กระทำต่อร่างกายโดยวัตถุหรือสนามอื่น เนื่องจากแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ จึงจำเป็นต้องมีขนาดและทิศทางของตัวเอง เนื่องจากมันออกฤทธิ์ต่อร่างกาย จุดที่ใช้แรงจึงมีความสำคัญเช่นกัน ที่จะได้รับ การแสดงภาพเกี่ยวกับเวกเตอร์แรง คุณสามารถดูตารางต่อไปนี้

ปริมาณเวกเตอร์อีกปริมาณหนึ่งก็คือแรงลัพธ์ มันถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย แรงทางกล- ในการพิจารณาจำเป็นต้องทำการบวกตามหลักการของกฎสามเหลี่ยม คุณเพียงแค่ต้องละทิ้งเวกเตอร์ทีละตัวจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้า ผลลัพธ์จะเป็นสิ่งที่เชื่อมโยงจุดเริ่มต้นของรายการแรกไปยังจุดสิ้นสุดของรายการสุดท้าย

ปริมาณที่สามคือการกระจัด

ในระหว่างการเคลื่อนไหวร่างกายจะอธิบายบรรทัดหนึ่ง เรียกว่าเป็นวิถี เส้นนี้อาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ปรากฎว่าไม่ใช่เธอที่มีความสำคัญมากกว่า รูปร่างและจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการเคลื่อนไหว เชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่เรียกว่าการแปล นี่ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์ด้วย นอกจากนี้ จะมีการชี้นำตั้งแต่จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวไปยังจุดที่การเคลื่อนไหวหยุดอยู่เสมอ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดมัน อักษรละตินร.

คำถามต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น: “เส้นทางเป็นปริมาณเวกเตอร์หรือไม่” ใน กรณีทั่วไปข้อความนี้ไม่เป็นความจริง เส้นทาง เท่ากับความยาววิถีและไม่มีทิศทางเฉพาะ ข้อยกเว้นคือสถานการณ์เมื่อพิจารณาไปในทิศทางเดียว จากนั้นขนาดของเวกเตอร์การกระจัดจะเกิดขึ้นพร้อมกับค่าของเส้นทางและทิศทางของพวกมันจะเท่ากัน ดังนั้น เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงโดยไม่เปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ สามารถรวมเส้นทางไว้ในตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์ได้

ปริมาณที่สี่คือความเร่ง

เป็นลักษณะของความเร็วของการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว นอกจากนี้การเร่งความเร็วอาจเป็นได้ทั้งเชิงบวกและ ค่าลบ- ที่ การเคลื่อนไหวตรงมันมุ่งสู่ความเร็วสูงกว่า หากมีการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นพร้อมๆ วิถีโค้งจากนั้นเวกเตอร์ความเร่งของมันถูกแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ โดยหนึ่งในนั้นมุ่งไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้งตามรัศมี

ค่าความเร่งเฉลี่ยและค่าความเร่งทันทีจะแตกต่างกัน สิ่งแรกควรคำนวณเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่วงเวลาหนึ่งถึงเวลานี้ เมื่อช่วงเวลาที่พิจารณามีแนวโน้มเป็นศูนย์ เราจะพูดถึงความเร่งทันที

ค่าที่ห้า - โมเมนตัม

อีกนัยหนึ่งเรียกว่าปริมาณการเคลื่อนที่ โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์เนื่องจากเกี่ยวข้องโดยตรงกับความเร็วและแรงที่กระทำต่อวัตถุ ทั้งสองต่างมีทิศทางและมอบแรงกระตุ้น

ตามคำจำกัดความสุดท้าย เท่ากับสินค้าน้ำหนักตัวต่อความเร็ว การใช้แนวคิดเรื่องโมเมนตัมของวัตถุทำให้เราสามารถเขียนกฎที่รู้จักกันดีของนิวตันให้แตกต่างออกไปได้ ปรากฎว่าการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเท่ากับผลคูณของแรงและช่วงเวลาหนึ่ง

ในวิชาฟิสิกส์ บทบาทที่สำคัญมีกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ซึ่งระบุว่าในระบบปิดของวัตถุ โมเมนตัมรวมจะคงที่

เราได้ระบุไว้โดยย่อว่าปริมาณ (เวกเตอร์) ใดที่จะศึกษาในหลักสูตรฟิสิกส์

ปัญหาผลกระทบที่ไม่ยืดหยุ่น

เงื่อนไข.มีชานชาลาที่อยู่กับที่บนราง รถม้ากำลังเข้าใกล้ด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที และเกวียน - 10 และ 40 ตันตามลำดับ รถชนแท่นและเกิดการคัปปลิ้งอัตโนมัติ จำเป็นต้องคำนวณความเร็วของระบบ "แพลตฟอร์มรถ" หลังจากการชน

สารละลาย.ขั้นแรก คุณต้องป้อนสัญลักษณ์ต่อไปนี้: ความเร็วของรถก่อนเกิดการกระแทกคือ ​​v 1 ความเร็วของรถที่มีแท่นหลังจากคัปปลิ้งคือ v มวลของรถคือ m 1 มวลของแท่นคือ ม. 2 ตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องค้นหาค่าของความเร็ว v

กฎสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวจำเป็นต้องมีการแสดงแผนผังของระบบก่อนและหลังการโต้ตอบ มีความสมเหตุสมผลที่จะกำหนดแกน OX ไปตามรางในทิศทางที่รถกำลังเคลื่อนที่

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ถือว่าระบบรถปิดได้ สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยความจริงที่ว่าสามารถละเลยกองกำลังภายนอกได้ แรงโน้มถ่วงและสมดุล และไม่คำนึงถึงแรงเสียดทานบนราง

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ผลรวมเวกเตอร์ก่อนปฏิสัมพันธ์ของรถและแท่นจะเท่ากับผลรวมของการเชื่อมต่อหลังจากการชน ในตอนแรกแพลตฟอร์มไม่เคลื่อนไหว ดังนั้นโมเมนตัมจึงเป็นศูนย์ มีเพียงรถที่กำลังเคลื่อนที่ โมเมนตัมของมันคือผลคูณของ m 1 และ v 1

เนื่องจากการกระแทกนั้นไม่ยืดหยุ่น นั่นคือรถที่เชื่อมต่อกับชานชาลา และจากนั้นพวกมันก็เริ่มกลิ้งเข้าหากันในทิศทางเดียวกัน แรงกระตุ้นของระบบจึงไม่เปลี่ยนทิศทาง แต่ความหมายของมันเปลี่ยนไป กล่าวคือ ผลคูณของผลรวมของมวลรถกับแท่นและความเร็วที่ต้องการ

คุณสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v มันจะเป็นจริงสำหรับการฉายภาพเวกเตอร์อิมพัลส์บนแกนที่เลือก จากนั้นจึงง่ายต่อการรับความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในการคำนวณความเร็วที่ต้องการ: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2)

ตามกฎแล้วค่ามวลควรแปลงจากตันเป็นกิโลกรัม ดังนั้น เมื่อแทนที่ลงในสูตร คุณต้องคูณปริมาณที่ทราบด้วยพันก่อน การคำนวณอย่างง่ายจะได้ค่า 0.75 เมตร/วินาที

คำตอบ.ความเร็วของรถพร้อมแท่นคือ 0.75 เมตร/วินาที

ปัญหาการแบ่งร่างกายออกเป็นส่วนๆ

เงื่อนไข- ความเร็วของระเบิดมือบินคือ 20 m/s มันแตกเป็นสองชิ้น น้ำหนักตัวแรก 1.8 กก. มันยังคงเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ระเบิดมือกำลังบินด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที ชิ้นที่ 2 มีน้ำหนัก 1.2 กก. ความเร็วของมันคืออะไร?

สารละลาย.ให้มวลของชิ้นส่วนเขียนแทนด้วยตัวอักษร m 1 และ m 2 ความเร็วของพวกเขาจะเป็น v 1 และ v 2 ตามลำดับ ความเร็วเริ่มต้นระเบิดมือ - v. ปัญหาจำเป็นต้องคำนวณค่าของ v 2

เพื่อให้ชิ้นส่วนที่ใหญ่กว่าเคลื่อนที่ต่อไปในทิศทางเดียวกับระเบิดมือทั้งหมด ชิ้นที่สองจะต้องบินเข้าไป ด้านหลัง- หากเราเลือกทิศทางของแกนให้เป็นทิศทางนั้น แรงกระตุ้นเริ่มต้นจากนั้นหลังจากการแตกหัก ชิ้นส่วนขนาดใหญ่จะบินไปตามแกน และชิ้นส่วนขนาดเล็กก็บินไปกับแกน

ในปัญหานี้อนุญาตให้ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเนื่องจากการระเบิดของระเบิดทันที ดังนั้นแม้ว่าแรงโน้มถ่วงจะกระทำกับระเบิดมือและส่วนต่างๆ ของมัน แต่ก็ไม่มีเวลาที่จะกระทำและเปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์แรงกระตุ้นด้วยค่าสัมบูรณ์

ผลรวมของขนาดเวกเตอร์ของแรงกระตุ้นหลังการระเบิดของระเบิดเท่ากับขนาดที่อยู่ก่อนหน้ามัน หากเราเขียนกฎการอนุรักษ์โดยฉายภาพลงบนแกน OX มันจะมีลักษณะดังนี้: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2 . จากนั้นจึงง่ายต่อการแสดงความเร็วที่ต้องการ มันจะถูกกำหนดโดยสูตร: v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2 หลังจากแทนค่าตัวเลขและการคำนวณแล้ว เราจะได้ 25 m/s

คำตอบ.ความเร็วของชิ้นส่วนขนาดเล็กคือ 25 m/s

ปัญหาในการถ่ายภาพมุม

เงื่อนไข.ปืนถูกติดตั้งบนแท่นมวล M ยิงกระสุนปืนมวล m มันบินออกไปในมุม α ไปยังขอบฟ้าด้วยความเร็ว v (กำหนดสัมพันธ์กับพื้น) คุณจำเป็นต้องรู้ความเร็วของแท่นหลังการยิง

สารละลาย. ในปัญหานี้ คุณสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในการฉายภาพลงบนแกน OX แต่เฉพาะในกรณีที่การฉายภาพของแรงลัพธ์ภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น

สำหรับทิศทางของแกน OX คุณต้องเลือกด้านที่กระสุนปืนจะบินและขนานกับเส้นแนวนอน ในกรณีนี้ เส้นโครงของแรงโน้มถ่วงและปฏิกิริยาของแนวรับบน OX จะเท่ากับศูนย์

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขใน มุมมองทั่วไปเนื่องจากไม่มีข้อมูลเฉพาะสำหรับปริมาณที่ทราบ คำตอบคือสูตร

โมเมนตัมของระบบก่อนการยิงจะเป็นศูนย์ เนื่องจากแท่นและกระสุนปืนหยุดนิ่ง ปล่อยให้ความเร็วของแพลตฟอร์มที่ต้องการแสดงด้วยตัวอักษรละติน u จากนั้นโมเมนตัมหลังการยิงจะถูกกำหนดเป็นผลคูณของมวลและการฉายภาพของความเร็ว เนื่องจากแพลตฟอร์มจะย้อนกลับ (ตรงข้ามกับทิศทางของแกน OX) ค่าแรงกระตุ้นจะมีเครื่องหมายลบ

โมเมนตัมของกระสุนปืนเป็นผลคูณของมวลของมันและการฉายความเร็วบนแกน OX เนื่องจากความจริงที่ว่าความเร็วนั้นพุ่งไปที่มุมหนึ่งถึงขอบฟ้า การฉายภาพจึงเท่ากับความเร็วคูณด้วยโคไซน์ของมุม ในความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงจะมีลักษณะดังนี้: 0 = - Mu + mv * cos α จากนั้นด้วยการแปลงอย่างง่ายจะได้สูตรคำตอบ: u = (mv * cos α) / M

คำตอบ.ความเร็วของแพลตฟอร์มถูกกำหนดโดยสูตร u = (mv * cos α) / M

ปัญหาการข้ามแม่น้ำ

เงื่อนไข.ความกว้างของแม่น้ำตลอดความยาวเท่ากันและเท่ากับ l ฝั่งแม่น้ำขนานกัน ทราบความเร็วของการไหลของน้ำในแม่น้ำ v 1 และความเร็วของเรือ v 2 1). เมื่อข้ามหัวเรือจะมุ่งไปทางฝั่งตรงข้ามอย่างเคร่งครัด จะถูกลากลงไปตามน้ำได้ไกลแค่ไหน? 2). ควรหันหัวเรือไปที่มุม α เพื่อที่จะไปถึงฝั่งตรงข้ามในแนวตั้งฉากกับจุดเริ่มต้นอย่างเคร่งครัด? การข้ามดังกล่าวจะใช้เวลานานเท่าใด?

สารละลาย. 1). ความเร็วรวมของเรือคือผลรวมเวกเตอร์ของสองปริมาณ ประการแรกคือการไหลของแม่น้ำซึ่งไหลไปตามริมฝั่ง อย่างที่สองคือความเร็วของเรือเองซึ่งตั้งฉากกับชายฝั่ง ภาพวาดแสดงให้เห็นสอง คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม- ประการแรกเกิดจากความกว้างของแม่น้ำและระยะทางที่เรือล่องลอยไป อย่างที่สองคือด้วยเวกเตอร์ความเร็ว

จากนั้นจะมีรายการต่อไปนี้: s / l = v 1 / v 2 หลังจากการแปลงจะได้สูตรสำหรับค่าที่ต้องการ: s = l * (v 1 / v 2)

2). ในโจทย์เวอร์ชันนี้ เวกเตอร์ความเร็วรวมจะตั้งฉากกับชายฝั่ง มันเท่ากับผลบวกเวกเตอร์ของ v 1 และ v 2 ไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ความเร็วธรรมชาติต้องเบี่ยงเบนจะเท่ากับอัตราส่วนของโมดูล v 1 และ v 2 ในการคำนวณเวลาเดินทาง คุณจะต้องหารความกว้างของแม่น้ำด้วยความเร็วเต็มพิกัดที่คำนวณได้ ค่าหลังคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

v = √(v 2 2 - v 1 2) จากนั้น t = l / (√(v 2 2 - v 1 2))

คำตอบ. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2) บาป α = โวลต์ 1 / โวลต์ 2, t = l / (√(v 2 2 - v 1 2))

 เวกเตอร์− สะอาด แนวคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งใช้เฉพาะในวิชาฟิสิกส์หรืออื่นๆ วิทยาศาสตร์ประยุกต์และช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น
 เวกเตอร์− กำกับส่วนตรง
  ในการรู้ ฟิสิกส์เบื้องต้นเราต้องดำเนินการกับปริมาณสองประเภท - สเกลาร์และเวกเตอร์.
 สเกลาร์ปริมาณ (สเกลาร์) คือปริมาณที่มีลักษณะเป็นค่าตัวเลขและเครื่องหมาย สเกลาร์มีความยาว − ล, มวล − ม, เส้นทาง - ส, เวลา - ที, อุณหภูมิ - ต, ประจุไฟฟ้า − ถาม, พลังงาน - ว, พิกัด ฯลฯ
  การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมด (การบวก การลบ การคูณ ฯลฯ) ใช้กับปริมาณสเกลาร์

 ตัวอย่างที่ 1.
  กำหนดประจุรวมของระบบซึ่งประกอบด้วยประจุที่รวมอยู่ในนั้น ถ้า q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC
ชาร์จเต็มระบบ
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C

 ตัวอย่างที่ 2.
  สำหรับ สมการกำลังสองใจดี
ขวาน 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac))

 เวกเตอร์ปริมาณ (เวกเตอร์) คือปริมาณเพื่อพิจารณาว่าจำเป็นต้องระบุทิศทางนอกเหนือจากค่าตัวเลขหรือไม่ เวกเตอร์ − ความเร็ว โวลต์, ความแข็งแกร่ง เอฟแรงกระตุ้น พี, ความเครียด สนามไฟฟ้า อี, การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก บีฯลฯ
  ค่าตัวเลขของเวกเตอร์ (โมดูลัส) แสดงด้วยตัวอักษรที่ไม่มีสัญลักษณ์เวกเตอร์ หรือเวกเตอร์ถูกล้อมรอบระหว่างแถบแนวตั้ง r = |r|.
  กราฟิกเวกเตอร์แสดงด้วยลูกศร (รูปที่ 1)

ความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดจะเท่ากับขนาดของมัน และทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์
เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าขนาดและทิศทางตรงกัน
  ปริมาณเวกเตอร์จะถูกบวกในเชิงเรขาคณิต (ตามกฎของพีชคณิตเวกเตอร์)
  การหาผลรวมเวกเตอร์จากเวกเตอร์องค์ประกอบที่กำหนดเรียกว่าการบวกเวกเตอร์
  การบวกเวกเตอร์สองตัวจะดำเนินการตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสามเหลี่ยม ผลรวมเวกเตอร์
ค = ก + ข
เท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ กและ ข- โมดูลมัน
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (รูปที่ 2)


ที่ α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เวกเตอร์ c เดียวกันสามารถหาได้โดยใช้กฎสามเหลี่ยมถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ กแยกเวกเตอร์ออกไป ข- เวกเตอร์ต่อท้าย c (เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ข) คือผลรวมเวกเตอร์ของเทอม (เวกเตอร์ส่วนประกอบ กและ ข).
  เวกเตอร์ที่ได้จะพบว่าเป็นเส้นต่อท้ายของเส้นขาดซึ่งมีลิงก์เป็นเวกเตอร์ส่วนประกอบ (รูปที่ 3)


 ตัวอย่างที่ 3.
  เพิ่มแรงสองตัว F 1 = 3 N และ F 2 = 4 N, เวกเตอร์ ฉ 1และ ฉ 2ทำมุม α 1 = 10° และ α 2 = 40° กับขอบฟ้า ตามลำดับ
 ฉ = ฉ 1 + ฉ 2(รูปที่ 4)

  ผลของการบวกแรงทั้งสองนี้ทำให้เกิดแรงที่เรียกว่าแรงลัพธ์ เวกเตอร์ เอฟกำกับตามแนวทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ฉ 1และ ฉ 2ทั้งสองด้าน และมีโมดูลัสเท่ากับความยาวของมัน
  โมดูลเวกเตอร์ เอฟหาได้จากทฤษฎีบทโคไซน์
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1))
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) กลับไปยัง 6.8 H.
ถ้า
(α 2 − α 1) = 90° จากนั้น F = √(F 1 2 + F 2 2 )

มุมซึ่งเป็นเวกเตอร์ เอฟเท่ากับแกน Ox เราหาได้จากสูตร
α = อาร์คแทน((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2))
α = อาร์คแทน((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = อาร์กแทน0.51, α γ 0.47 rad

เส้นโครงของเวกเตอร์ a ลงบนแกน Ox (Oy) เป็นปริมาณสเกลาร์ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างทิศทางของเวกเตอร์ กและแกนวัว (Oy) (รูปที่ 5)


  การฉายภาพเวกเตอร์ กบนแกนวัวและออย ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด (รูปที่ 6)


  เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเมื่อพิจารณาเครื่องหมายของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนควรจำกฎต่อไปนี้: หากทิศทางของส่วนประกอบตรงกับทิศทางของแกน ดังนั้นการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนนี้จะเป็นประโยชน์ เป็นบวก แต่ถ้าทิศทางขององค์ประกอบอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกน ดังนั้น เส้นโครงของเวกเตอร์จะเป็นลบ (รูปที่ 7)


  การลบเวกเตอร์คือการบวกเวกเตอร์เข้ากับเวกเตอร์แรกซึ่งมีตัวเลขเท่ากับเวกเตอร์ที่สองในทิศทางตรงกันข้าม
a − b = a + (−b) = d(รูปที่ 8)

  ปล่อยให้มันจำเป็นจากเวกเตอร์ กลบเวกเตอร์ ขความแตกต่างของพวกเขา − ง- หากต้องการค้นหาความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว คุณต้องไปที่เวกเตอร์ กเพิ่มเวกเตอร์ ( −ข) นั่นคือเวกเตอร์ ง = ก - ขจะเป็นเวกเตอร์ที่กำกับจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ( −ข) (รูปที่ 9)

  ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ กและ ขทั้งสองด้านหนึ่งเส้นทแยงมุม คมีความหมายว่าผลรวมและอื่นๆ ง- ความแตกต่างของเวกเตอร์ กและ ข(รูปที่ 9)
  ผลคูณของเวกเตอร์ กโดยสเกลาร์ k เท่ากับเวกเตอร์ ข= เค กโมดูลัสซึ่งมีมากกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์ k เท่า กและทิศทางก็สอดคล้องกับทิศทาง กสำหรับค่าบวก k และค่าตรงข้ามสำหรับค่าลบ k

 ตัวอย่างที่ 4.
  หาโมเมนตัมของวัตถุที่มีน้ำหนัก 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที (รูปที่ 10)

แรงกระตุ้นของร่างกาย พี= ม โวลต์- p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s และมุ่งไปทางความเร็ว โวลต์.

 ตัวอย่างที่ 5.
  ประจุ q = −7.5 nC วางอยู่ในสนามไฟฟ้าที่มีความแรง E = 400 V/m หาขนาดและทิศทางของแรงที่กระทำต่อประจุ

แรงก็คือ เอฟ= คิว อี- เนื่องจากประจุเป็นลบ เวกเตอร์แรงจึงมีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ อี- (รูปที่ 11)


 แผนกเวกเตอร์ กด้วยสเกลาร์ k เท่ากับการคูณ กโดย 1/k
 สินค้าดอทเวกเตอร์ กและ ขเรียกว่าสเกลาร์ "c" เท่ากับสินค้าโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
(ก.ข.) = (ข.ก.) = ค,
с = ab.cosα (รูปที่ 12)


 ตัวอย่างที่ 6.
  ค้นหางานที่ทำโดยใช้แรงคงที่ F = 20 N หากการกระจัดคือ S = 7.5 ม. และมุม α ระหว่างแรงและการกระจัดคือ α = 120°

งานที่ทำโดยใช้กำลังมีค่าเท่ากันตามนิยาม ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กองกำลังและการเคลื่อนไหว
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J

 งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ กและ ขเรียกว่าเวกเตอร์ ค, เป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ a และ b คูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา:
ค = ก × ข = ,
с = ab × sinα
  เวกเตอร์ คตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์อยู่ กและ ขและทิศทางของมันสัมพันธ์กับทิศทางของเวกเตอร์ กและ ขกฎของสกรูด้านขวา (รูปที่ 13)


 ตัวอย่างที่ 7.
  จงหาแรงที่กระทำต่อตัวนำที่ยาว 0.2 ม. วางอยู่ในสนามแม่เหล็กซึ่งมีการเหนี่ยวนำเป็น 5 T ถ้าความแรงของกระแสไฟฟ้าในตัวนำคือ 10 A และทำให้เกิดมุม α = 30° กับทิศทางของสนามแม่เหล็ก .

กำลังแอมแปร์
dF = I = Idl × B หรือ F = I(l)∫(dl × B)
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 ม. × 1/2 = 5 N

 พิจารณาการแก้ปัญหา.
  1. เวกเตอร์สองตัวถูกกำกับอย่างไร โดยโมดูลัสจะเหมือนกันและเท่ากับ a ถ้าโมดูลัสของผลรวมเท่ากับ: a) 0; ข) 2ก; ค) ก; ง) a√(2); จ) a√(3)?

 สารละลาย.
  ก) เวกเตอร์สองตัวถูกลากไปตามเส้นตรงเส้นเดียว ฝั่งตรงข้าม- ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์

  b) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางตามเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางเดียวกัน ผลรวมของเวกเตอร์พวกนี้คือ 2a

  ค) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทำมุม 120° ซึ่งกันและกัน ผลรวมของเวกเตอร์คือ a พบเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์:

2 + a 2 + 2aacosα = 2 ,
cosα = −1/2 และ α = 120°
  d) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทำมุม 90° ซึ่งกันและกัน โมดูลัสของผลรวมเท่ากับ
ก 2 + ก 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 และ α = 90°

  จ) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางทำมุม 60° ซึ่งกันและกัน โมดูลัสของผลรวมเท่ากับ
ก 2 + ก 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 และ α = 60°
 คำตอบ: มุม α ระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ: a) 180°; ข) 0; ค) 120°; ง) 90°; จ) 60°

2. ถ้า ก = ก 1 + ก 2การวางแนวของเวกเตอร์ สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการวางแนวร่วมกันของเวกเตอร์ 1และ 2, ถ้า: ก) ก = ก 1 + ก 2 ; ข) ก 2 = ก 1 2 + ก 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?

 สารละลาย.
  ก) ถ้าผลรวมของเวกเตอร์ถูกพบเป็นผลรวมของโมดูลของเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์จะพุ่งไปตามเส้นตรงเส้นเดียวขนานกัน ก 1 || ก 2.
  b) หากเวกเตอร์ถูกชี้ทิศทางเป็นมุมซึ่งกันและกัน จะพบผลรวมโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน
1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 และ α = 90°
เวกเตอร์ตั้งฉากกัน ก 1 ⊥ ก 2.
  ค) สภาพ ก 1 + ก 2 = ก 1 - ก 2สามารถดำเนินการได้ถ้า 2− เวกเตอร์ศูนย์ จากนั้น a 1 + a 2 = a 1
 คำตอบ- ก) ก 1 || ก 2- ข) ก 1 ⊥ ก 2- วี) 2− เวกเตอร์ศูนย์

3. ใช้แรง 2 แรงครั้งละ 1.42 N ต่อจุดหนึ่งของร่างกายโดยทำมุม 60° ซึ่งกันและกัน แรงสองแรง 1.75 นิวตันแต่ละแรงถูกกระทำที่มุมใดที่จุดเดียวกันบนลำตัว เพื่อให้การกระทำของแรงเหล่านี้สมดุลกับการกระทำของแรงสองแรงแรก

สารละลาย.
  ตามเงื่อนไขของปัญหา แรง 2 แรง 1.75 N ในแต่ละแรง 2 แรง 1.42 N สมดุลกัน ซึ่งเป็นไปได้หากโมดูลของเวกเตอร์ผลลัพธ์ของคู่แรงเท่ากัน เรากำหนดเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน สำหรับแรงคู่แรก:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
สำหรับแรงคู่ที่สองตามลำดับ
ฉ 2 2 + ฉ 2 2 + 2F 2 ฉ 2 cosβ = ฉ 2 .
การทำให้ด้านซ้ายของสมการเท่ากัน
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
ลองหามุมที่ต้องการ β ระหว่างเวกเตอร์กัน
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2)
หลังจากการคำนวณ
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
เบต้า 90.7°

 วิธีแก้ปัญหาที่สอง.
  ลองพิจารณาการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด OX (รูปที่)

  โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างคู่สัญญาใน สามเหลี่ยมมุมฉากเราได้รับ
2F 1 คอส(α/2) = 2F 2 คอส(β/2),
ที่ไหน
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) และ β data 90.7°

4. เวกเตอร์ ก = 3i - 4j- ปริมาณสเกลาร์ c สำหรับ |c ต้องเป็นเท่าใด ก| = 7,5?
 สารละลาย.
ค ก= ค( 3i - 4j) = 7,5
โมดูลเวกเตอร์ กจะเท่ากัน
ก 2 = 3 2 + 4 2 และ ก = ±5
แล้วจาก
ค.(±5) = 7.5,
มาหาสิ่งนั้นกัน
ค = ±1.5

5. เวกเตอร์ 1และ 2ออกจากต้นกำเนิดและมี พิกัดคาร์ทีเซียนสิ้นสุด (6, 0) และ (1, 4) ตามลำดับ ค้นหาเวกเตอร์ 3เช่นนั้น: ก) 1 + 2 + 3= 0; ข) 1 − 2 + 3 = 0.

 สารละลาย.
  ลองแทนเวกเตอร์ใน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด (รูป)

  ก) เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแกน Ox คือ
ก x = 6 + 1 = 7
เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแนวแกน Oy คือ
ay = 4 + 0 = 4.
เพื่อให้ผลรวมของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข
1 + 2 = −3.
เวกเตอร์ 3โมดูโล่จะเท่ากับเวกเตอร์ทั้งหมด ก 1 + ก 2แต่มุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม พิกัดปลายเวกเตอร์ 3เท่ากับ (−7, −4) และโมดูลัส
ก 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1

B) เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแกน Ox เท่ากับ
ax = 6 − 1 = 5,
และเวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแนวแกน Oy
ay = 4 − 0 = 4
เมื่อตรงตามเงื่อนไข
1 − 2 = −3,
เวกเตอร์ 3จะมีพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ a x = –5 และ y = −4 และโมดูลัสของมันจะเท่ากับ
ก 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4

6. ผู้ส่งสารเดินไปทางเหนือ 30 ม. ไปทางทิศตะวันออก 25 ม. ไปทางทิศใต้ 12 ม. จากนั้นขึ้นลิฟต์ไปยังอาคารสูง 36 ม. ระยะทางที่เขาเดินทางและการกระจัด S คือเท่าใด ?

 สารละลาย.
  ให้เราบรรยายถึงสถานการณ์ที่อธิบายไว้ในปัญหาบนเครื่องบินในระดับใดก็ได้ (รูปที่)

จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โอเอมีพิกัด ทิศตะวันออก 25 ม. ทิศเหนือ 18 ม. และพิกัด 36 ขึ้นไป (25; 18; 36) ระยะทางที่บุคคลเดินทางได้เท่ากับ
L = 30 ม. + 25 ม. + 12 ม. +36 ม. = 103 ม.
เราค้นหาขนาดของเวกเตอร์การกระจัดโดยใช้สูตร
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
โดยที่ x o = 0, y o = 0, z o = 0
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (ม.)
 คำตอบ: L = 103 ม., S = 47.4 ม.

7. มุม α ระหว่างเวกเตอร์สองตัว กและ ขเท่ากับ 60° กำหนดความยาวของเวกเตอร์ ค = ก + ขและมุม β ระหว่างเวกเตอร์ กและ ค- ขนาดของเวกเตอร์คือ a = 3.0 และ b = 2.0

 สารละลาย.
  ความยาวเวกเตอร์ เท่ากับจำนวนเงินเวกเตอร์ กและ ขลองพิจารณาใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่)

с = √(ก 2 + ข 2 + 2abcosα)
หลังจากเปลี่ยนตัวแล้ว
ค = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4
ในการหามุม β เราใช้ทฤษฎีบทไซน์ สามเหลี่ยมเอบีซี:
b/sinβ = a/sin(α − β)
ขณะเดียวกันคุณควรรู้ไว้ด้วยว่า
บาป(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ
  แก้เรื่องง่ายๆ สมการตรีโกณมิติเรามาถึงการแสดงออก
tgβ = บีซินα/(a + bcosα),
เพราะฉะนั้น,
β = อาร์คแทน(บีซินα/(a + bcosα)),
β = อาร์คแทน(2.sin60/(3 + 2.cos60)) µ 23°
  ลองตรวจสอบโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
ที่ไหน
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
และ
β = ส่วนโค้ง ((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = ส่วนโค้ง ((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°
 คำตอบ: ค γ 4.4; β µ 23°

 แก้ไขปัญหา.
  8. สำหรับเวกเตอร์ กและ ขกำหนดไว้ในตัวอย่างที่ 7 จงหาความยาวของเวกเตอร์ ง = ก - ขมุม γ ระหว่าง กและ ง.

9. ค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์ ก = 4.0i + 7.0jเป็นเส้นตรง ซึ่งมีทิศทางที่ทำให้มุม α = 30° กับแกน Ox เวกเตอร์ กและเส้นตรงอยู่ในระนาบ xOy

10. เวกเตอร์ กทำให้มุม α = 30° โดยมีเส้นตรง AB, a = 3.0 เวกเตอร์ควรตั้งตรงที่มุม β ถึงเส้นตรง AB ข(b = √(3)) ดังนั้นเวกเตอร์ ค = ก + ขขนานกับ AB? จงหาความยาวของเวกเตอร์ ค.

11. ให้เวกเตอร์สามตัว: ก = 3i + 2j - k; b = 2i - j + k; с = ฉัน + 3j- ค้นหาก) ก+ข- ข) เอ+ซี- วี) (ก ข)- ช) (ก, ค)ข − (ก, ข)ค.

12. มุมระหว่างเวกเตอร์ กและ ขเท่ากับ α = 60°, a = 2.0, b = 1.0 ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ ค = (ก, ข)ก + ขและ d = 2b − a/2.

13. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ กและ ขตั้งฉากกันถ้า a = (2, 1, −5) และ b = (5, −5, 1)

14. จงหามุม α ระหว่างเวกเตอร์ กและ ขถ้า a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1)

15. เวกเตอร์ กทำให้มุม α = 30° กับแกน Ox, เส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกน Oy เท่ากับ a y = 2.0 เวกเตอร์ ขตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ b = 3.0 (ดูรูป)

เวกเตอร์ ค = ก + ข- ค้นหา: ก) การฉายภาพของเวกเตอร์ ขบนแกน Ox และ Oy; b) ค่าของ c และมุม β ระหว่างเวกเตอร์ คและแกนวัว ค) (ก, ข); ง) (ก, ค)

 คำตอบ:
  9. a 1 = a x cosα + a y sinα 7.0
  10. β = 300°; ค = 3.5
  11. ก) 5i + เจ; ข) ผม + 3j - 2k; ค) 15i - 18j + 9 k
  12.ค = 2.6; ง = 1.7
  14. α = 44.4°
  15.ก) ข x = −1.5; โดย y = 2.6; ข) ค = 5; β µ 67°; ค) 0; ง) 16.0
  โดยการเรียนฟิสิกส์คุณมี โอกาสที่ดีศึกษาต่อใน มหาวิทยาลัยเทคนิค- ซึ่งจะต้องอาศัยความรู้เชิงลึกในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี ภาษา และวิชาอื่นๆ ที่ไม่ค่อยพบนัก Savich Egor ผู้ชนะการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกของพรรครีพับลิกันสำเร็จการศึกษาจากหนึ่งในคณะของ MIPT ซึ่งมีความต้องการความรู้ด้านเคมีเป็นอย่างมาก หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่ State Academy of Sciences ในสาขาเคมี โปรดติดต่อผู้เชี่ยวชาญ คุณจะได้รับความช่วยเหลือที่มีคุณสมบัติเหมาะสมและทันเวลาอย่างแน่นอน

 ดูเพิ่มเติมที่: