การบวกลอการิทึมด้วยฐานเดียวกัน ลอการิทึมคืออะไร? การแก้ลอการิทึม

ลอการิทึมของตัวเลข b (b > 0) ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1)– เลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้ b

ลอการิทึมฐาน 10 ของ b สามารถเขียนได้เป็น บันทึก(ข)และลอการิทึมฐาน e (ลอการิทึมธรรมชาติ) คือ จริง(ข).

มักใช้เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม:

คุณสมบัติของลอการิทึม

มีสี่หลัก คุณสมบัติของลอการิทึม.

ให้ a > 0, a ≠ 1, x > 0 และ y > 0

คุณสมบัติ 1. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึม:

บันทึก a (x ⋅ y) = บันทึก a x + บันทึก a y

คุณสมบัติ 2. ลอการิทึมของผลหาร

ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม:

บันทึก a (x / y) = บันทึก a x – บันทึก a y

คุณสมบัติ 3. ลอการิทึมของกำลัง

ลอการิทึมของดีกรี เท่ากับสินค้ากำลังต่อลอการิทึม:

หากฐานของลอการิทึมอยู่ในกำลัง แสดงว่ามีการใช้สูตรอื่น:

คุณสมบัติ 4. ลอการิทึมของรูท

คุณสมบัตินี้สามารถหาได้จากคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง เนื่องจากรากของกำลังที่ n เท่ากับพลัง 1/ไม่มี:

สูตรการแปลงจากลอการิทึมในฐานหนึ่งไปเป็นลอการิทึมในอีกฐานหนึ่ง

สูตรนี้มักใช้เมื่อแก้งานต่างๆ เกี่ยวกับลอการิทึม:

กรณีพิเศษ:

การเปรียบเทียบลอการิทึม (อสมการ)

ขอให้เรามี 2 ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ภายใต้ลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันและระหว่างนั้นมีเครื่องหมายอสมการ:

หากต้องการเปรียบเทียบ คุณต้องดูที่ฐานของลอการิทึม a ก่อน:

ถ้า a > 0 แล้ว f(x) > g(x) > 0
ถ้า 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

วิธีแก้ปัญหาลอการิทึม: ตัวอย่าง

ปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึมรวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 11 ในงาน 5 และงาน 7 คุณสามารถค้นหางานพร้อมวิธีแก้ไขบนเว็บไซต์ของเราในส่วนที่เหมาะสม นอกจากนี้ งานที่มีลอการิทึมยังพบได้ในคลังงานทางคณิตศาสตร์อีกด้วย คุณสามารถค้นหาตัวอย่างทั้งหมดได้โดยการค้นหาเว็บไซต์

ลอการิทึมคืออะไร

ลอการิทึมได้รับการพิจารณามาโดยตลอด หัวข้อที่ซับซ้อนวี หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. มีมากมาย คำจำกัดความที่แตกต่างกันลอการิทึม แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างหนังสือเรียนส่วนใหญ่จึงใช้ค่าลอการิทึมที่ซับซ้อนที่สุดและไม่ประสบความสำเร็จ

เราจะนิยามลอการิทึมอย่างเรียบง่ายและชัดเจน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางกัน:

ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง

ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร วิธีการแก้

หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย เช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกกำลัง 2 ขึ้นมา และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้จำนวน x

ชื่อ: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่เท่ากับจริง

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยความสำเร็จเดียวกัน บันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่า เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 ตัวเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในช่วงเวลา เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем ระดับมากขึ้นสองยิ่งจำนวนมากขึ้น

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าพื้นฐานอยู่ที่ไหนและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น

วิธีการนับลอการิทึม

เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:

ข้อโต้แย้งและเหตุผลจะต้องเป็นเช่นนั้นเสมอ มากกว่าศูนย์- ตามมาจากคำจำกัดความของปริญญา ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมลงมา
ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ภูมิภาค ค่าที่ยอมรับได้ (ODZ) ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ไม่จำเป็นต้องรู้ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนงานได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน โครงการทั่วไปการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ

แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับ ทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นปกติทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

เราได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
เราได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
เราได้รับคำตอบ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14

ลองนึกภาพฐานและข้อโต้แย้งเป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

บันทึกเล็กๆ น้อยๆ ถึง ตัวอย่างสุดท้าย- คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? มันง่ายมาก - เพียงแค่แยกมันออกเป็น ปัจจัยสำคัญ- หากการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

ให้เราสังเกตด้วยว่าเราเอง หมายเลขเฉพาะมีระดับที่แน่นอนของตัวเองอยู่เสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; แอลจี 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ

จากนี้ไป เมื่อวลีเช่น "Find lg 0.01" ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติ

ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น ยกกำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x.

หลายคนจะถามว่า ตัวเลข e คืออะไร? นี้ จำนวนอตรรกยะค่าที่แน่นอนของมันเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาและจดบันทึก ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459…

เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x

ดังนั้น ln e = 1; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไปลอการิทึมธรรมชาติของค่าใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0

สำหรับ ลอการิทึมธรรมชาติกฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง

ดูเพิ่มเติมที่:

ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม (กำลังของลอการิทึม)

จะแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

เราใช้คำจำกัดความของลอการิทึม

ลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐานขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม

ดังนั้น ในการที่จะแทนจำนวน c ที่แน่นอนเป็นลอการิทึมของฐาน a คุณต้องใส่กำลังที่มีฐานเดียวกันกับฐานของลอการิทึมใต้เครื่องหมายลอการิทึม และเขียนตัวเลข c นี้เป็นเลขชี้กำลัง:

จำนวนใดๆ ก็ตามสามารถแสดงเป็นลอการิทึมได้อย่างแน่นอน - บวก, ลบ, จำนวนเต็ม, เศษส่วน, ตรรกศาสตร์, อตรรกยะ:

เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนระหว่าง a และ c ภายใต้สภาวะตึงเครียดของการทดสอบ คุณสามารถใช้กฎการท่องจำต่อไปนี้:

สิ่งที่อยู่ด้านล่างลงไป สิ่งที่อยู่ด้านบนก็ขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแสดงตัวเลข 2 เป็นลอการิทึมของฐาน 3

เรามีตัวเลขสองตัว - 2 และ 3 ตัวเลขเหล่านี้เป็นฐานและเลขชี้กำลังซึ่งเราจะเขียนไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึม ยังคงต้องพิจารณาว่าตัวเลขใดควรเขียนลงไปที่ฐานของกำลัง และตัวเลขใดขึ้นไปจนถึงเลขชี้กำลัง

ฐาน 3 ในสัญลักษณ์ลอการิทึมจะอยู่ด้านล่าง ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราแทนสองเป็นลอการิทึมของฐาน 3 เราก็จะเขียน 3 ลงไปที่ฐานด้วย

2 สูงกว่าสาม และในสัญลักษณ์ของดีกรี 2 เราเขียนไว้เหนือทั้งสาม นั่นคือเป็นเลขชี้กำลัง:

ลอการิทึม ระดับรายการ

ลอการิทึม

ลอการิทึม จำนวนบวก ขขึ้นอยู่กับ ก, ที่ไหน ก > 0, ก ≠ 1เรียกว่าเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กที่จะได้รับ ข.

ความหมายของลอการิทึมสามารถเขียนสั้น ๆ ได้ดังนี้:

ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้สำหรับ ข > 0, ก > 0, ก ≠ 1.โดยปกติจะเรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึม
การกระทำของการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขเรียกว่า โดยลอการิทึม

คุณสมบัติของลอการิทึม:

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ลอการิทึมของผลหาร:

การแทนที่ฐานลอการิทึม:

ลอการิทึมของดีกรี:

ลอการิทึมของราก:

ลอการิทึมพร้อมฐานกำลัง:

ลอการิทึมทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมทศนิยมตัวเลขเรียกลอการิทึมของตัวเลขนี้เป็นฐาน 10 แล้วเขียน lg ข
ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลขนั้นเรียกว่าลอการิทึมของตัวเลขนั้นถึงฐาน จ, ที่ไหน จ- จำนวนอตรรกยะประมาณเท่ากับ 2.7 ในเวลาเดียวกันพวกเขาก็เขียน ln ข.

หมายเหตุอื่น ๆ เกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาร้ายแรงได้ ปัญหาลอการิทึม- นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: บันทึก a x และบันทึก a y จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

บันทึก a x + บันทึก a y = บันทึก a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าแต่ละส่วนจะไม่นับก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมบันทึก a x ให้ได้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป นิพจน์เชิงตัวเลข- คุณสามารถประเมินได้ว่าสะดวกเพียงใดโดยการตัดสินใจเท่านั้น สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้เรามากำจัดกัน ลอการิทึมทศนิยม, ย้ายไปที่ฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด

ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่หลักๆ เอกลักษณ์ลอการิทึมบางครั้งมันเป็นทางออกเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม

บันทึก a = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
บันทึก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม

นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:

1. คุณจะเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง- แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...

ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไปกันเลย!

ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น

โดยมีเงื่อนไขว่า
,
,

จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้คืออัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมถึงฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมทศนิยม แทน
เขียน
.

ลอการิทึมถึงฐาน จ เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้
.

คุณสมบัติพื้นฐานลอการิทึม

ลอการิทึมของ 1 เท่ากับศูนย์สำหรับฐานใดๆ

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย

3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม

ปัจจัย
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข .

การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม

ตัวอย่างเช่น,

การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ

บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง

1. ข้อจำกัด

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx 0 สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
ทันทีที่
, ที่
.

ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก:
ที่ไหน- b.m.v. เช่น
.

ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน
.

เมื่อมุ่งมั่น
, การทำงาน ย มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด

ขีดจำกัด ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้

ขีดจำกัดจำนวนเงิน (ส่วนต่าง) จำนวนจำกัดฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้

ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้

ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์

,
, ที่ไหน

1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: หรือ .

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ให้เรามีหน้าที่
ต่อเนื่องในส่วนนี้
.

การโต้แย้ง เพิ่มขึ้นบ้าง
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น
.

ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
.

ค่าอาร์กิวเมนต์
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน

เพราะฉะนั้น, .

ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่
- หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด

คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
โดยการโต้แย้ง เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สามารถกำหนดได้ดังนี้:

; ; ; .

คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง

2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ

ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดเคลื่อนที่
อยู่ในระยะไกล จากตำแหน่งเริ่มต้น
.

หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง
เธอขยับไปไกล
- ทัศนคติ =- ความเร็วเฉลี่ยจุดวัสดุ
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น
.

ดังนั้นคำจำกัดความ ความเร็วทันทีการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุลงมาเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา

2.2. ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์

ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก
.

ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ถ้า
แล้วชี้
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.

เพราะฉะนั้น
, เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน
.

2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

2.4. กฎของความแตกต่าง

อนุพันธ์ของ

อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

2.5. อนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
จึงสามารถแสดงออกมาเป็นรูปร่างได้

และ
โดยที่ตัวแปร ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล

ให้มีอยู่
, หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง
และปล่อยให้ ที่ ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์

แล้วเราก็สามารถเขียนได้

(1),

ที่ไหน - ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตั้งแต่เมื่อไหร่

คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย
เรามี:

ที่ไหน
- บีเอ็มวี ลำดับที่สูงขึ้น

ขนาด
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
และถูกกำหนดไว้

3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
.

รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนด

3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ

ถ้ามี
, แล้ว
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร
.

อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน
เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:

ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง

.

.

3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง

ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย
, ที่ไหน เอ็น – จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที – เวลา (วัน)

b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?

คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น

ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน

ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์

มาดูกันว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ที่ 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน

คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูเพิ่มเติมที่:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - ไม่ใช่ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียวที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

ดูเพิ่มเติมที่:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของพวกเขา

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)

จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy

และลอการิทึมสำคัญอีกตัวของฐานสองเขียนแทนด้วย

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจาก หลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี

3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ในลักษณะที่ปรากฏ การแสดงออกที่ซับซ้อนการใช้กฎหลายข้อทำให้ง่ายต่อการสร้าง

การค้นหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย

เราบันทึกไว้และไว้อาลัย

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

ลอการิทึม ระดับรายการ

ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้วเราจะขยายความรู้ของคุณไปอีกไม่น้อย หัวข้อสำคัญ- อสมการลอการิทึม...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม