การสั่นแบบฮาร์มอนิก x = กคอส(ญ ที+ a) ในเชิงเรขาคณิตสามารถแสดงได้ด้วยการฉายภาพไปยังทิศทางใดก็ได้ xเวกเตอร์หมุนรอบแกนคงที่ด้วย ความเร็วเชิงมุมว. ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับแอมพลิจูดของการแกว่งและทิศทางเริ่มต้นของมันก่อตัวพร้อมกับแกน xมุมเท่ากับระยะเริ่มต้นของการสั่น - ก เมื่อใช้การตีความทางเรขาคณิตนี้ เราจะแก้ปัญหาการบวกสองได้ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกความถี่และทิศทางเดียวกัน

x = x 1 + x 2 = ก 1 คอส(ญ ที+ ก 1) + ก 2 คอส(ญ ที+ ก 2)

มาสร้างเวกเตอร์กัน (ที่มุม 1 ถึงแกน x) แสดงถึงการสั่นสะเทือนครั้งแรก ให้เราเพิ่มเวกเตอร์ที่สร้างมุม 2 กับแกนลงไป x(รูปที่ 12.8) ผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์เหล่านี้บนแกน xเท่ากับเส้นโครงบนแกนของเวกเตอร์นี้ เท่ากับจำนวนเงินและ .

x = x 1 + x 2 .

ข้าว. 12.8

ขอให้เรานำแผนภาพเวกเตอร์นี้มาหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w รอบแกนที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด - จุด O ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน x = x 1 + x 2 จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป แม้ว่าจะมีการคาดการณ์ก็ตาม x, x 1 และ xตอนนี้ 2 จะเต้นเป็นจังหวะตามกฎฮาร์มอนิกที่มีความถี่เท่ากัน w และเฟสเริ่มต้น a, a 1 และ a 2 - ตามลำดับ อันเป็นผลจากการเพิ่มการสั่นสะเทือนสองครั้ง:

x 1 = ก 1 คอส(ญ ที+ ก 1) และ x 2 = ก 2 คอส(ญ ที+a 2) มีการสั่นครั้งใหม่เกิดขึ้น x = x 1 + x 2 =

= กคอส(ญ ที+ a) ความถี่ที่ - w – เกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ของการแกว่งที่เพิ่ม แอมพลิจูดของมันเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ และเฟสเริ่มต้น a ดังต่อไปนี้จากรูปที่ 12.8 เท่ากับ:

.

เพื่อคำนวณแอมพลิจูด” ก» การแกว่งทั้งหมด เราใช้ทฤษฎีบทโคไซน์:

แอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่งที่เพิ่มเท่านั้น ก 1 และ ก 2 แต่ยังเกี่ยวกับความแตกต่างในระยะเริ่มแรกด้วย การสั่นด้วยแอมพลิจูดสูงสุด ก = กสูงสุด = ก 1 + ก 2 เกิดขึ้นเมื่อเพิ่มการแกว่งในเฟส นั่นคือเมื่อเฟสเริ่มต้นตรงกัน: a 1 = a 2

ถ้าเฟสต่างกัน (a 2 – a 1) = p แอมพลิจูดของการแกว่งทั้งหมดจะน้อยที่สุด ก = กนาที = | ก 1 – ก 2 |. หากแอมพลิจูดของการสั่นดังกล่าวเกิดขึ้นในแอนติเฟสเท่ากับ ( ก 1 = ก 2) จากนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

วิธีการนี้ แผนภาพเวกเตอร์ในอนาคต เรามักจะใช้มันเมื่อเพิ่มไม่เพียงแต่การแกว่งเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงคลื่นด้วย

การบรรยายครั้งที่ 13 “การสั่นสะเทือนทางกล”

โครงร่างการบรรยาย

1. พลังงานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

2. เป็นเจ้าของ การสั่นแบบหน่วง.

3. แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง. แอมพลิจูดและเฟสของการสั่นแบบบังคับ

การแก้ปัญหาหลายๆ ปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเพิ่มการแกว่งหลายๆ ครั้งในทิศทางเดียวกัน (หรือสิ่งที่เหมือนกันคือการเพิ่มฟังก์ชันฮาร์มอนิกหลายๆ แบบ) จะสะดวกขึ้นอย่างมากและชัดเจนขึ้นหากการแกว่งนั้นแสดงเป็นกราฟิกเป็นเวกเตอร์บน เครื่องบิน แผนภาพที่ได้รับในลักษณะนี้เรียกว่าแผนภาพเวกเตอร์

ลองใช้แกนซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร x (รูปที่ 55.1) จากจุด O เมื่ออยู่บนแกน เราพล็อตเวกเตอร์ที่มีความยาว a โดยสร้างมุม a กับแกน

หากเรานำเวกเตอร์นี้เข้าสู่การหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม จากนั้นเส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ในช่วงตั้งแต่ -a ถึง +a และพิกัดของการฉายภาพนี้จะเปลี่ยนไปตามเวลาตามกฎหมาย

ดังนั้น เส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกนจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูด เท่ากับความยาวเวกเตอร์ที่มีความถี่วงกลมเท่ากับความเร็วเชิงมุมของการหมุนของเวกเตอร์และมีเฟสเริ่มต้น เท่ากับมุมสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่มีแกนเข้า ช่วงเวลาเริ่มต้นเวลา.

จากที่กล่าวมาข้างต้น สามารถระบุการแกว่งของฮาร์มอนิกได้โดยใช้เวกเตอร์ ซึ่งมีความยาวเท่ากับความกว้างของการแกว่ง และทิศทางของเวกเตอร์จะสร้างมุมโดยมีแกน x เท่ากับเฟสเริ่มต้นของ การสั่น

ลองพิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน การกระจัด x ของตัวการสั่นจะเป็นผลรวมของการกระจัด ซึ่งจะเขียนได้ดังนี้:

ลองแสดงการแกว่งทั้งสองโดยใช้เวกเตอร์ (รูปที่ 55.2) ให้เราสร้างผลลัพธ์เวกเตอร์ a ตามกฎของการบวกเวกเตอร์

จะสังเกตได้ง่ายว่าเส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกน x เท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์ผลรวม:

ดังนั้น เวกเตอร์ a แสดงถึงการแกว่งที่เกิดขึ้น เวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมเดียวกันกับเวกเตอร์ ดังนั้นการเคลื่อนที่ที่ได้จะเป็นการแกว่งแบบฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดความถี่ a และเฟสเริ่มต้น a จากการก่อสร้างก็ชัดเจนว่า

ดังนั้น การแสดงการสั่นของฮาร์มอนิกด้วยเวกเตอร์ ทำให้สามารถลดการบวกของการสั่นหลาย ๆ ครั้งในการดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์ได้ เทคนิคนี้มีประโยชน์อย่างยิ่ง ตัวอย่างเช่น ในทัศนศาสตร์ ซึ่งการสั่นสะเทือนของแสงที่จุดใดจุดหนึ่งถูกกำหนดอันเป็นผลมาจากการซ้อนทับของการสั่นสะเทือนจำนวนมากที่มาถึง จุดนี้จากส่วนต่างๆ ของหน้าคลื่น

แน่นอนว่าสามารถรับสูตร (55.2) และ (55.3) ได้โดยการเพิ่มนิพจน์ (55.1) และสร้างสมการที่สอดคล้องกัน การแปลงตรีโกณมิติ- แต่วิธีที่เราใช้เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้นั้นง่ายและชัดเจนกว่า

มาวิเคราะห์นิพจน์ (55.2) เพื่อหาแอมพลิจูด หากความต่างเฟสระหว่างการแกว่งทั้งสองเป็นศูนย์ แอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของ a และ a ถ้าผลต่างเฟสเท่ากับ หรือ เช่น การแกว่งทั้งสองอยู่ในแอนติเฟส ดังนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ

หากความถี่การสั่นไม่เท่ากัน เวกเตอร์ a และจะหมุนด้วย ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน- ในกรณีนี้ เวกเตอร์ผลลัพธ์จะเต้นเป็นจังหวะในขนาดและหมุนตาม ความเร็วคงที่- ดังนั้น การเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในกรณีนี้จะไม่ใช่การสั่นแบบฮาร์มอนิก แต่มีความซับซ้อนบางอย่าง กระบวนการสั่น.

แผนภาพเวกเตอร์ เพิ่มการสั่นสะเทือน

การแก้ปัญหาหลายประการในทฤษฎีการแกว่งจะง่ายขึ้นและมองเห็นได้ชัดเจนขึ้นมากหากการแกว่งนั้นแสดงเป็นกราฟิกโดยใช้วิธีนี้ แผนภาพเวกเตอร์ลองเลือกแกนบ้าง เอ็กซ์- จากจุด 0 บนแกนเราพล็อตเวกเตอร์ความยาว ซึ่งเริ่มแรกสร้างมุมกับแกน (รูปที่ 2.14.1) หากเรานำเวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม จากนั้นการฉายภาพของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกน เอ็กซ์จะมีการเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาตามกฎหมาย

.

ดังนั้น การฉายภาพจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกนจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูดเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ โดยมีความถี่วงกลมเท่ากับความเร็วเชิงมุมของการหมุนของเวกเตอร์ และมีเฟสเริ่มต้นเท่ากับ ถึงมุมที่เวกเตอร์ก่อตัวกับแกน ณ เวลาเริ่มต้น มุมที่เกิดจากเวกเตอร์กับแกนในช่วงเวลาที่กำหนดจะกำหนดเฟสของการแกว่งในขณะนั้น - .

จากที่กล่าวมาข้างต้นสามารถแสดงการสั่นแบบฮาร์มอนิกได้โดยใช้เวกเตอร์ ซึ่งความยาวเท่ากับความกว้างของการสั่น และทิศทางของมันจะก่อตัวเป็นมุมที่มีแกนที่แน่นอนเท่ากับเฟสของการสั่น นี่คือสาระสำคัญของวิธีไดอะแกรมเวกเตอร์

การบวกของการแกว่งไปในทิศทางเดียวกัน

พิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวซึ่งมีทิศทางขนานกัน:

. (2.14.1)

เกิดการชดเชย เอ็กซ์จะเป็นผลรวมและ นี่จะเป็นการสั่นที่มีแอมพลิจูด

ลองใช้วิธีไดอะแกรมเวกเตอร์ (รูปที่ 2.14.2) ในรูปและ - ระยะของผลลัพธ์และการแกว่งที่เพิ่มขึ้นตามลำดับ มันง่ายที่จะดูว่าอะไรสามารถพบได้โดยการเพิ่มเวกเตอร์และ อย่างไรก็ตาม หากความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มเข้ามาแตกต่างกัน แอมพลิจูดที่เกิดขึ้นจะเปลี่ยนแปลงขนาดเมื่อเวลาผ่านไป และเวกเตอร์จะหมุนด้วยความเร็วตัวแปร เช่น การสั่นจะไม่ฮาร์มอนิก แต่จะเป็นตัวแทนของกระบวนการสั่นที่ซับซ้อน เพื่อให้การแกว่งที่เกิดขึ้นเป็นแบบฮาร์โมนิค ความถี่ของการแกว่งที่เพิ่มจะต้องเท่ากัน

และการสั่นที่เกิดขึ้นจะเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกัน

.

จากการก่อสร้างก็ชัดเจนว่า

ให้เราวิเคราะห์นิพจน์ (2.14.2) สำหรับแอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้น ถ้า ความต่างเฟสของการแกว่งที่เพิ่มคือศูนย์(การแกว่งอยู่ในเฟส) แอมพลิจูดจะเท่ากับผลรวมของแอมพลิจูดของการแกว่งที่เพิ่ม, เช่น. มีค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ - ถ้า ความแตกต่างของเฟสคือ(การแกว่งอยู่ในแอนติเฟส) จากนั้น แอมพลิจูดที่ได้จะเท่ากับความแตกต่างของแอมพลิจูด, เช่น. มีค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ .

เพิ่มการสั่นสะเทือนตั้งฉากกัน

ปล่อยให้อนุภาคทำการสั่นฮาร์มอนิกสองครั้งด้วยความถี่เดียวกัน: หนึ่งครั้งไปตามทิศทางที่เราแสดง เอ็กซ์อีกอัน - ในทิศทางตั้งฉาก ย- ในกรณีนี้อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปตามจุดใดจุดหนึ่ง กรณีทั่วไป, วิถีโค้งซึ่งรูปร่างจะขึ้นอยู่กับความแตกต่างในระยะของการแกว่ง

ให้เราเลือกจุดเริ่มต้นของการนับเวลาเพื่อให้ระยะเริ่มต้นของการแกว่งหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับศูนย์:

. (2.14.3)

เพื่อให้ได้สมการวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค จำเป็นต้องแยกออกจาก (2.14.3) ที- จากสมการแรก a วิธี, - ลองเขียนสมการที่สองใหม่

หรือ

.

เราได้รับการถ่ายโอนเทอมแรกจากด้านขวาของสมการไปทางซ้ายโดยยกกำลังสองสมการผลลัพธ์และทำการแปลง

. (2.14.4)

สมการนี้เป็นสมการของวงรีที่มีแกนหมุนสัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์และ ยในมุมหนึ่ง แต่ในบางกรณีพิเศษจะได้ผลลัพธ์ที่ง่ายกว่า

1. ความแตกต่างของเฟสเป็นศูนย์ จากนั้นจาก (2.14.4) เราได้

หรือ . (2.14.5)

นี่คือสมการของเส้นตรง (รูปที่ 2.14.3) ดังนั้น อนุภาคจึงแกว่งไปตามแนวเส้นตรงนี้ด้วยความถี่และแอมพลิจูดเท่ากับ

เรามาเลือกแกนกันดีกว่า จากจุด O บนแกนนี้ เราวาดเวกเตอร์ที่มีความยาว โดยสร้างมุมกับแกน หากเรานำเวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม การฉายภาพจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกนจะเปลี่ยนไปตามเวลาตามกฎหมาย - ดังนั้น เส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกนจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูดเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ โดยมีความถี่วงกลมเท่ากับความเร็วเชิงมุมของการหมุนและมีเฟสเริ่มต้นเท่ากับมุมที่เกิดจากเวกเตอร์กับแกน เอ็กซ์ในช่วงเวลาเริ่มต้น

แผนภาพเวกเตอร์ทำให้สามารถลดการบวกของการแกว่งลงในผลรวมทางเรขาคณิตของเวกเตอร์ได้ พิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวที่มีทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกันซึ่งมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

เรามาแสดงการแกว่งทั้งสองโดยใช้เวกเตอร์และ (รูปที่ 7.5) เรามาสร้างเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้กฎของการบวกเวกเตอร์กันดีกว่า ง่ายที่จะเห็นว่าเส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกนเท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเงื่อนไขของเวกเตอร์ ดังนั้นเวกเตอร์จึงแสดงถึงการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้น เวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมเดียวกันกับเวกเตอร์ ดังนั้นการเคลื่อนที่ที่ได้จะเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิกพร้อมความถี่ แอมพลิจูด และเฟสเริ่มต้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์ กำลังสองของแอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ

ดังนั้น การแสดงการสั่นของฮาร์มอนิกด้วยเวกเตอร์ ทำให้สามารถลดการบวกของการสั่นหลาย ๆ ครั้งในการดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์ได้ แน่นอนว่าสามารถรับสูตร (7.3) และ (7.4) ได้โดยการเพิ่มนิพจน์สำหรับและเชิงวิเคราะห์ แต่วิธีไดอะแกรมเวกเตอร์นั้นง่ายกว่าและชัดเจนกว่า

การสั่นแบบหน่วง

ในระบบออสซิลเลเตอร์จริงใด ๆ มีแรงต้านทานซึ่งการกระทำดังกล่าวทำให้พลังงานของระบบลดลง หากการสูญเสียพลังงานไม่ได้รับการเติมเต็มโดยการทำงานของแรงภายนอก การแกว่งจะตายไป ในกรณีที่ง่ายที่สุดและในเวลาเดียวกันก็พบได้บ่อยที่สุด แรงต้านทานจะแปรผันตามความเร็ว:

,

ที่ไหน ร– ค่าคงที่ที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน เครื่องหมายลบเกิดจากการที่แรงและความเร็วมีทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นเส้นโครงของมันจึงอยู่บนแกน เอ็กซ์มี สัญญาณที่แตกต่างกัน- สมการของกฎข้อที่สองของนิวตันต่อหน้าแรงต้านทานมีรูปแบบ:

.

การใช้สัญกรณ์ , , เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ใหม่ดังนี้:

.

สมการนี้อธิบาย ซีดจางการสั่นของระบบ ค่าสัมประสิทธิ์เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน

กราฟทดลองของการสั่นแบบหน่วงที่ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงต่ำแสดงไว้ในรูปที่ 1 7.6. จากรูป 7.6 คุณจะเห็นว่ากราฟการพึ่งพามีลักษณะเป็นโคไซน์คูณด้วยฟังก์ชันบางอย่างที่ลดลงตามเวลา ฟังก์ชันนี้แสดงในรูปด้วยเส้นประ ฟังก์ชันอย่างง่ายที่ทำงานในลักษณะเดียวกันคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ดังนั้นจึงสามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้

,

โดยที่ความถี่ของการสั่นแบบหน่วง

ขนาด xผ่านศูนย์เป็นระยะๆ และไปถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดจำนวนครั้งไม่สิ้นสุด ช่วงเวลาระหว่างสองข้อความติดต่อกันถึงศูนย์จะเท่ากับ เรียกว่าค่าสองเท่า ระยะเวลาของการสั่น.

หันหน้าไปทางตัวคูณ ฟังก์ชั่นเป็นระยะ, เรียกว่า แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วง- มันลดลงแบบทวีคูณตามเวลา อัตราการสลายตัวถูกกำหนดโดย เวลาที่แอมพลิจูดของการแกว่งลดลงตามปัจจัยหนึ่งเรียกว่าเวลาหน่วง ช่วงนี้ระบบจะสั่น โดยทั่วไปแล้วการหน่วงของการสั่นจะมีลักษณะเฉพาะ การลดลงของการหน่วงลอการิทึม การลดลอการิทึมการหน่วงคือลอการิทึมของอัตราส่วนของแอมพลิจูด ณ โมเมนต์ของปริมาณที่สั่นต่อเนื่องผ่านค่าสูงสุดหรือต่ำสุด:

.

มันสัมพันธ์กับจำนวนการแกว่งตามความสัมพันธ์:

เรียกว่าปริมาณ ปัจจัยด้านคุณภาพของระบบสั่น- ยิ่งปัจจัยด้านคุณภาพสูงขึ้น จำนวนที่มากขึ้นระบบจะจัดการสั่นก่อนที่แอมพลิจูดจะลดลงตามปัจจัย

ค่าคงที่และ เช่นเดียวกับในกรณีของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก สามารถกำหนดได้จากสภาวะเริ่มต้น

แรงสั่นสะเทือน

การสั่นที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอกเรียกว่าการบังคับ แรงภายนอกทำงานเชิงบวกและให้พลังงานไหลเวียนไปยังระบบออสซิลลาทอรี ไม่อนุญาตให้แรงสั่นสะเทือนหายไปแม้ว่าจะมีการกระทำของแรงต้านทานก็ตาม

แรงภายนอกเป็นระยะสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลาตามกฎหมายต่างๆ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่แรงภายนอกซึ่งแปรผันไปตามกฎฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω กระทำต่อระบบออสซิลเลชันที่สามารถทำการสั่นของมันเองที่ความถี่ที่แน่นอน ω 0 ตัวอย่างเช่น หากคุณดึงโหลดที่แขวนอยู่บนสปริงด้วยความถี่ มันจะทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกด้วยความถี่ แรงภายนอกแม้ว่าความถี่นี้จะไม่ตรงกับความถี่ธรรมชาติของสปริงก็ตาม

ปล่อยให้แรงภายนอกกระทำต่อระบบเป็นระยะๆ ในกรณีนี้ เราสามารถรับสมการต่อไปนี้ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของระบบดังกล่าว:

,

(7.5)

ที่ไหน . ที่ การสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับแอมพลิจูดของการแกว่ง และผลที่ตามมาคือพลังงานที่ถ่ายโอนไปยังระบบออสซิลเลชัน ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ และค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนด้วย

หลังจากที่แรงภายนอกเริ่มกระทำต่อระบบการสั่น เวลา ωt เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการสร้างการสั่นแบบบังคับ ในช่วงเวลาเริ่มต้น กระบวนการทั้งสองจะตื่นเต้นในระบบออสซิลเลชัน - การสั่นแบบบังคับที่ความถี่ ω และการสั่นอิสระที่ความถี่ธรรมชาติ ω 0 แต่การสั่นสะเทือนอิสระจะถูกทำให้หมาด ๆ เนื่องจากมีแรงเสียดทานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้น หลังจากผ่านไประยะหนึ่ง มีเพียงการแกว่งคงที่ที่ความถี่ ω ของแรงขับเคลื่อนภายนอกเท่านั้นที่ยังคงอยู่ในระบบการแกว่ง เวลาในการตกตะกอนจะเท่ากันตามลำดับความสำคัญกับเวลาการสลายตัว ω การสั่นสะเทือนฟรีในระบบสั่น การสั่นบังคับคงที่ของโหลดบนสปริงเกิดขึ้นตามกฎฮาร์มอนิกที่มีความถี่เท่ากับความถี่ อิทธิพลภายนอก- แสดงให้เห็นว่าในสภาวะคงตัว การแก้สมการ (7.6) เขียนได้เป็น:

,

,
.

ดังนั้นการสั่นสะเทือนแบบบังคับจึงเป็นการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกที่มีความถี่เท่ากับความถี่ของแรงขับเคลื่อน แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับเป็นสัดส่วนกับแอมพลิจูดของแรงขับเคลื่อน สำหรับระบบออสซิลเลเตอร์ที่กำหนด (นั่นคือ ระบบที่มี ค่าบางอย่าง i) แอมพลิจูดขึ้นอยู่กับความถี่ของแรงขับเคลื่อน การแกว่งแบบบังคับจะแตกต่างกันไปตามระยะจากแรงขับเคลื่อน การเปลี่ยนเฟสขึ้นอยู่กับความถี่ของแรงขับเคลื่อน

เสียงก้อง

การพึ่งพาแอมพลิจูดของการแกว่งแบบบังคับกับความถี่ของแรงผลักดันนำไปสู่ความจริงที่ว่าที่ความถี่ที่แน่นอนซึ่งกำหนดไว้สำหรับระบบที่กำหนดแอมพลิจูดของการแกว่งจะถึง ค่าสูงสุด- ระบบออสซิลเลเตอร์จะตอบสนองเป็นพิเศษต่อการกระทำของแรงผลักดันที่ความถี่นี้ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า เสียงก้องและความถี่ที่สอดคล้องกันคือ ความถี่เรโซแนนซ์ในเชิงกราฟิก การพึ่งพาของแอมพลิจูด x m ของการสั่นแบบบังคับกับความถี่ ω ของแรงผลักดันอธิบายได้ด้วยเส้นโค้งเรโซแนนซ์ (รูปที่ 7.9)

ให้เราศึกษาพฤติกรรมของแอมพลิจูดของการแกว่งแบบบังคับโดยขึ้นอยู่กับความถี่ หากความกว้างของแรงผลักดันไม่เปลี่ยนแปลง เราจะเปลี่ยนความถี่ของมัน เมื่อเราได้รับ ค่าเบี่ยงเบนคงที่ภายใต้อิทธิพลของแรงคงที่:

เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น แอมพลิจูดของการกระจัดจะเพิ่มขึ้นก่อนด้วย จากนั้นจึงผ่านค่าสูงสุด และสุดท้าย มีแนวโน้มเป็นศูนย์เชิงเส้นกำกับในที่สุด จากรูป 7.9 ยังชัดเจนว่ายิ่งเล็ก ยิ่งสูงและทางขวาของเส้นโค้งนี้อยู่ นอกจากนี้ ยิ่งมีขนาดเล็ก ยิ่งแอมพลิจูดใกล้เรโซแนนซ์เปลี่ยนแปลงตามความถี่มากเท่าใด ค่าสูงสุดก็จะยิ่งคมชัดมากขึ้นเท่านั้น

ปรากฏการณ์การสั่นพ้องอาจทำให้สะพาน อาคาร และโครงสร้างอื่นๆ ถูกทำลายได้ หากความถี่ธรรมชาติของการสั่นเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ของแรงภายนอกที่กระทำเป็นระยะๆ ต้องคำนึงถึงปรากฏการณ์ของการสั่นพ้องเมื่อออกแบบเครื่องจักรและโครงสร้างประเภทต่างๆ ความถี่ธรรมชาติของอุปกรณ์เหล่านี้ไม่ควรใกล้เคียงกับความถี่ของอิทธิพลภายนอกที่อาจเกิดขึ้น

ตัวอย่าง

ในเดือนมกราคม พ.ศ. 2448 สะพานอียิปต์ถล่มในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ผู้กระทำผิดคือผู้สัญจรไปมา 9 คน คนขับรถแท็กซี่ 2 คน และฝูงบินที่ 3 ของกรมทหารม้าปีเตอร์ฮอฟ ต่อไปนี้เกิดขึ้น. ทหารทั้งหมดเดินเป็นจังหวะไปตามสะพาน ส่งผลให้สะพานเริ่มแกว่งและแกว่งไปมา โดยบังเอิญ ความถี่การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติของสะพานนั้นใกล้เคียงกับความถี่ก้าวของทหาร จังหวะของการก่อตัวส่งพลังงานให้กับสะพานมากขึ้นเรื่อยๆ ผลของเสียงสะท้อนทำให้สะพานแกว่งไปมามากจนพังทลายลง หากไม่มีเสียงสะท้อนของความถี่การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติของสะพานกับความถี่ของทหารก้าว จะไม่มีอะไรเกิดขึ้นกับสะพาน ดังนั้น เมื่อทหารผ่านสะพานที่อ่อนแอ จึงเป็นเรื่องปกติที่จะออกคำสั่ง “ล้มขาลง”

ว่ากันว่านักร้องเทเนอร์ผู้ยิ่งใหญ่ เอ็นริโก คารูโซ สามารถทำให้แก้วแตกได้ด้วยการร้องเพลงด้วยระดับเสียงที่เหมาะสม ในกรณีนี้เสียงทำให้เกิดแรงสั่นสะเทือนของผนังกระจก ในระหว่างการสั่นพ้อง การสั่นสะเทือนของผนังสามารถไปถึงแอมพลิจูดที่กระจกแตกได้

ทำการทดลอง

ไปที่เครื่องดนตรีที่มีเครื่องสายแล้วตะโกน "a" เสียงดัง สายใดสายหนึ่งจะตอบสนองและมีเสียง เสียงที่มีการสะท้อนกับความถี่ของเสียงนี้จะสั่นสะเทือนแรงกว่าสายอื่น - มันจะตอบสนองต่อเสียง

ยืดเชือกเส้นเล็กในแนวนอน ติดลูกตุ้มที่ทำจากด้ายและดินน้ำมันเข้ากับมัน โยนลูกตุ้มที่คล้ายกันอีกอันหนึ่งไปบนเชือก แต่มีด้ายยาวกว่า ความยาวของช่วงล่างของลูกตุ้มสามารถเปลี่ยนได้โดยการดึงปลายด้ายที่ว่างด้วยมือของคุณ นำลูกตุ้มนี้ไปที่ การเคลื่อนไหวแบบสั่น- ในกรณีนี้ ลูกตุ้มแรกจะเริ่มสั่นเช่นกัน แต่มีแอมพลิจูดน้อยกว่า โดยไม่หยุดการแกว่งของลูกตุ้มที่สอง ให้ค่อยๆ ลดความยาวของช่วงล่างลง - แอมพลิจูดของการแกว่งของลูกตุ้มแรกจะเพิ่มขึ้น ในการทดลองนี้แสดงให้เห็นถึงการสั่นพ้อง การสั่นสะเทือนทางกลลูกตุ้มลูกแรกเป็นตัวรับการสั่นของลูกตุ้มลูกที่สองที่ตื่นเต้น สาเหตุที่ทำให้ลูกตุ้มลูกแรกแกว่งคือ การสั่นเป็นระยะเชือกที่มีความถี่เท่ากับความถี่การสั่นของลูกตุ้มที่สอง การแกว่งบังคับของลูกตุ้มลูกแรกจะมีแอมพลิจูดสูงสุดเฉพาะเมื่อความถี่ธรรมชาติของมันเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่การแกว่งของลูกตุ้มลูกที่สองเท่านั้น

การสั่นไหวในตัวเอง

การสร้างสรรค์ของมือมนุษย์มีมากมายและหลากหลายซึ่งเกิดการสั่นไหวในตัวเองและนำไปใช้ ประการแรกสิ่งเหล่านี้แตกต่างออกไป เครื่องดนตรี- ในสมัยโบราณ - เขาและเขา, ท่อ, นกหวีด, ขลุ่ยดึกดำบรรพ์ ต่อมา - ไวโอลินซึ่งใช้แรงเสียดทานระหว่างคันธนูกับสายเพื่อกระตุ้นเสียง เครื่องมือลมต่างๆ ความสามัคคีที่เสียงที่เกิดจากกกโลหะที่สั่นสะเทือนภายใต้อิทธิพลของการไหลของอากาศคงที่ อวัยวะที่ท่อต่างๆ ทะลุออกมาได้ ช่องว่างแคบสะท้อนคอลัมน์ของอากาศ

ข้าว. 7.12

เป็นที่ทราบกันดีว่าแรงเสียดทานแบบเลื่อนนั้นแทบไม่ขึ้นอยู่กับความเร็ว อย่างไรก็ตาม มันเป็นเพราะการพึ่งพาแรงเสียดทานกับความเร็วที่สายไวโอลินส่งเสียงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น รูปลักษณ์คุณภาพสูงการขึ้นต่อกันของแรงเสียดทานของคันชักบนเชือกจะแสดงดังรูปที่ 1 7.12. เนื่องจากแรงเสียดทานสถิต เชือกจึงถูกจับโดยคันธนูและเคลื่อนออกจากตำแหน่งสมดุล เมื่อแรงยืดหยุ่นเกินแรงเสียดทาน เชือกจะหลุดออกจากคันธนูและพุ่งเข้าสู่ตำแหน่งสมดุลด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ความเร็วของสายสัมพันธ์กับคันธนูที่กำลังเคลื่อนที่จะเพิ่มขึ้น แรงเสียดทานจะเพิ่มขึ้น และในช่วงเวลาหนึ่งจะเพียงพอที่จะจับสายธนูได้ จากนั้นกระบวนการจะทำซ้ำอีกครั้ง ดังนั้นคันธนูที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่จะทำให้เกิดการสั่นของสายโดยไม่ลดแรงสั่นสะเทือน

ในเครื่องสายแบบโค้งคำนับ การแกว่งตัวเองจะถูกรักษาไว้โดยแรงเสียดทานที่กระทำระหว่างคันธนูกับสาย และในเครื่องลม การเป่ากระแสลมจะรักษาการสั่นในตัวเองของเสาอากาศในท่อเครื่องดนตรี

เอกสารภาษากรีกและละตินมากกว่าร้อยฉบับจากยุคต่างๆ กล่าวถึงการร้องเพลง "Colossus of Memnon" อันโด่งดัง - รูปปั้นที่มีเสียงสง่างามของฟาโรห์องค์หนึ่งผู้ปกครองในศตวรรษที่ 14 ก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งติดตั้งใกล้เมืองลักซอร์ของอียิปต์ ความสูงของรูปปั้นประมาณ 20 เมตร หนักถึงพันตัน ในส่วนล่างของยักษ์ใหญ่มีการค้นพบรอยแตกและรูจำนวนหนึ่งพร้อมกล้องที่อยู่ด้านหลัง รูปร่างที่ซับซ้อน- Colossus of Memnon เป็นอวัยวะขนาดยักษ์ที่ส่งเสียงภายใต้อิทธิพลของกระแสลมตามธรรมชาติ รูปปั้นเลียนแบบเสียงของมนุษย์

การสั่นไหวในตัวเองตามธรรมชาติของธรรมชาติที่ค่อนข้างแปลกคือการร้องเพลงของทราย ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 14 นักเดินทางที่ยอดเยี่ยมมาร์โค โปโล พูดถึง “ชายฝั่งที่ส่งเสียงดัง” ของทะเลสาบลอปนอร์อันลึกลับในเอเชีย กว่าหกศตวรรษ มีการค้นพบทรายร้องเพลงในสถานที่ต่างๆ ในทุกทวีป ในกรณีส่วนใหญ่ สิ่งเหล่านี้ทำให้เกิดความหวาดกลัวในหมู่ประชากรในท้องถิ่น และเป็นเรื่องของตำนานและประเพณี. แจ็ค ลอนดอน บรรยายถึงการพบปะกับทรายร้องเพลงของตัวละครในนวนิยายเรื่อง “Hearts of Three” ซึ่งเดินทางไปพร้อมไกด์เพื่อค้นหาสมบัติของชาวมายันโบราณ

“เมื่อเหล่าเทพหัวเราะ ระวัง!” – ชายชราตะโกนเตือน เขาวาดวงกลมบนทรายด้วยนิ้วของเขา และในขณะที่เขาวาด ทรายก็หอนและส่งเสียงแหลม แล้วชายชราก็คุกเข่าลง ทรายก็คำรามและเป่าแตร”

มีทรายร้องเพลงและแม้แต่ภูเขาทรายร้องเพลงทั้งหมดใกล้กับแม่น้ำอิลีในคาซัคสถาน Mount Kalkan ซึ่งเป็นอวัยวะธรรมชาติขนาดยักษ์ สูงขึ้นเกือบ 300 เมตร ผู้คนเรียกมันต่างกัน: "เนินทรายร้องเพลง", "ภูเขาร้องเพลง" มันทำจากทรายสีอ่อน และมีเดือยสีเข้มของ Dzhungar Alatau แห่ง Kalkans ใหญ่และเล็กเป็นฉากหลัง ทำให้มองเห็นภาพที่ไม่ธรรมดาเนื่องจากสีที่ตัดกัน เมื่อมีลมพัดและแม้แต่คนลงมาจากที่นั่น ภูเขาก็ส่งเสียงไพเราะ หลังฝนตกและช่วงสงบ ภูเขาจะเงียบสงบ นักท่องเที่ยวชื่นชอบการเยี่ยมชม Singing Dune และเมื่อปีนขึ้นไปบนยอดเขาหนึ่งในสามแห่งแล้วชื่นชมทัศนียภาพอันงดงามของ Ili และสันเขา Trans-Ili Alatau หากภูเขาเงียบงัน ผู้มาเยือนที่กระตือรือร้นจะ “ทำให้มันร้องเพลง” ในการทำเช่นนี้คุณต้องวิ่งไปตามทางลาดของภูเขาอย่างรวดเร็วสายทรายจะไหลออกมาจากใต้ฝ่าเท้าของคุณและเสียงครวญครางจะดังขึ้นจากส่วนลึกของเนินทราย

เวลาผ่านไปหลายศตวรรษนับตั้งแต่การค้นพบทรายร้องเพลง และไม่มีคำอธิบายใดที่น่าพอใจสำหรับปรากฏการณ์อันน่าอัศจรรย์นี้ ใน ปีที่ผ่านมานักอะคูสติกชาวอังกฤษและนักวิทยาศาสตร์ชาวโซเวียต V.I. ก็เริ่มลงมือทำธุรกิจ อาราบาจิ. อาราบาจิแนะนำว่าชั้นบนของทรายที่เปล่งเสียงจะเคลื่อนที่ภายใต้การรบกวนคงที่บางประเภทไปตามชั้นล่างที่แข็งกว่าโดยมีพื้นผิวเป็นคลื่น เนื่องจากแรงเสียดทานระหว่างการเคลื่อนที่ของชั้นต่างๆ ทำให้เสียงเกิดความตื่นเต้น

การสั่นแบบบังคับคือการสั่นแบบไม่มีการหน่วง การสูญเสียพลังงานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เนื่องจากแรงเสียดทานระหว่างการสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับจะได้รับการชดเชยโดยการจ่ายพลังงานจาก แหล่งภายนอกเป็นระยะๆ ทำหน้าที่บังคับ- มีระบบที่การสั่นแบบไม่หน่วงเกิดขึ้นไม่ได้เกิดจากอิทธิพลภายนอกเป็นระยะ แต่เป็นผลมาจากความสามารถของระบบดังกล่าวในการควบคุมการจัดหาพลังงานจากแหล่งคงที่ ระบบดังกล่าวเรียกว่าระบบสั่นตัวเองและกระบวนการ การสั่นอย่างต่อเนื่องในระบบดังกล่าว - การสั่นในตัวเอง . ตามแผนผัง ระบบการสั่นในตัวเองสามารถแสดงเป็นแหล่งพลังงาน ออสซิลเลเตอร์ที่มีการหน่วง และอุปกรณ์ป้อนกลับระหว่างระบบออสซิลเลเตอร์และแหล่งกำเนิด (รูปที่ 7.10)

สามารถใช้ระบบออสซิลเลชั่นใดก็ได้ ระบบเครื่องกลสามารถทำการสั่นสะเทือนแบบหน่วงได้เอง (เช่น ลูกตุ้ม นาฬิกาแขวน- แหล่งที่มาของพลังงานอาจเป็นสปริงที่ผิดรูปหรือภาระในสนามโน้มถ่วง อุปกรณ์ป้อนกลับเป็นกลไกที่ระบบสั่นในตัวเองควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งกำเนิด

ตัวอย่างของระบบการสั่นด้วยตนเองทางกลคือกลไกนาฬิกาที่มีจังหวะสมอ (รูปที่ 7.11) ในนาฬิกาที่มีการเคลื่อนที่แบบสมอเรือ วงล้อวิ่งที่มีฟันเฉียงจะติดอยู่กับดรัมที่มีฟันอย่างแน่นหนา โดยจะใช้โซ่ที่มีน้ำหนักหลุดออกไป ที่ปลายด้านบนของลูกตุ้มจะมีจุดยึดที่มีแผ่นวัสดุแข็งสองแผ่น โค้งงอเป็นวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนของลูกตุ้ม ในนาฬิกาไขลาน น้ำหนักจะถูกแทนที่ด้วยสปริง และลูกตุ้มจะถูกแทนที่ด้วยบาลานเซอร์ที่เชื่อมต่อกับสปริงเกลียว เครื่องถ่วงจะทำการสั่นสะเทือนแบบบิดรอบแกน ระบบการสั่นในนาฬิกาเป็นแบบลูกตุ้มหรือบาลานเซอร์ แหล่งที่มาของพลังงานคือน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นหรือสปริงขด อุปกรณ์ที่ใช้ในการป้อนกลับคือจุดยึด ซึ่งช่วยให้วงล้อหมุนได้หนึ่งซี่ในครึ่งรอบเดียว ข้อเสนอแนะดำเนินการโดยปฏิสัมพันธ์ของพุกกับวงล้อที่กำลังวิ่ง ด้วยการสั่นของลูกตุ้มแต่ละครั้งฟันของวงล้อที่วิ่งจะดันส้อมสมอไปในทิศทางการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มโดยถ่ายโอนพลังงานบางส่วนไปซึ่งจะช่วยชดเชยการสูญเสียพลังงานเนื่องจากแรงเสียดทาน ดังนั้น, พลังงานศักย์น้ำหนัก (หรือสปริงบิด) จะค่อยๆ ถ่ายโอนไปยังลูกตุ้มโดยแยกจากกัน

ใน ชีวิตประจำวันบางทีเราอาจเผชิญกับความผันผวนในตัวเองโดยไม่ได้สังเกตเห็นตัวเองบ่อยกว่าความผันผวนที่เกิดจากแรงเป็นระยะ การสั่นไหวของตัวเองล้อมรอบเราทุกที่ในธรรมชาติและเทคโนโลยี: เครื่องยนต์ไอน้ำ เครื่องยนต์ การเผาไหม้ภายในระฆังไฟฟ้า นาฬิกา เสียงสายไวโอลินหรือไปป์ออร์แกน หัวใจเต้น สายเสียงเมื่อพูดหรือร้องเพลง ระบบทั้งหมดเหล่านี้จะสั่นไหวในตัวเอง

ลองดูสิ!

ข้าว. 7.13

การเคลื่อนที่แบบแกว่งมักจะศึกษาโดยการพิจารณาพฤติกรรมของลูกตุ้มบางประเภท เช่น สปริง ทางคณิตศาสตร์ หรือทางกายภาพ พวกเขาทั้งหมดเป็นตัวแทน ของแข็ง- คุณสามารถสร้างอุปกรณ์ที่แสดงการสั่นสะเทือนของของเหลวหรือก๊าซได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้แนวคิดที่มีอยู่ในการออกแบบนาฬิกาน้ำ สองลิตรครึ่ง ขวดพลาสติกเชื่อมต่อแบบเดียวกับนาฬิกาน้ำโดยปิดฝา ช่องว่างของขวดเชื่อมต่อกับหลอดแก้วยาว 15 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 4-5 มม. ผนังด้านข้างของขวดควรเรียบและไม่แข็ง ยับง่ายเมื่อบีบ (ดูรูปที่ 7.13)

เพื่อเริ่มการสั่น ให้วางขวดน้ำไว้ด้านบน น้ำจากนั้นจะเริ่มไหลผ่านท่อลงสู่ขวดด้านล่างทันที หลังจากนั้นประมาณหนึ่งวินาที กระแสน้ำจะหยุดไหลตามธรรมชาติและมีทางผ่านในท่อเพื่อต่อต้านการแพร่กระจายของอากาศส่วนหนึ่งจากขวดล่างไปยังขวดด้านบน ลำดับที่น้ำและอากาศไหลผ่านท่อเชื่อมต่อจะถูกกำหนดโดยความแตกต่างของแรงดันในขวดด้านบนและด้านล่าง และจะถูกปรับโดยอัตโนมัติ

ความผันผวนของแรงดันในระบบนั้นเห็นได้จากพฤติกรรมของผนังด้านข้างของขวดด้านบนซึ่งบีบอัดและขยายเป็นระยะตามเวลาที่มีการปล่อยน้ำและอากาศเข้า เพราะ

การก่อตัวของคลื่น

การสั่นสะเทือนแพร่กระจายอย่างไร? จำเป็นต้องใช้สื่อในการส่งแรงสั่นสะเทือนหรือสามารถส่งผ่านได้โดยปราศจากมัน? เสียงจากส้อมเสียงไปถึงผู้ฟังได้อย่างไร? กระแสสลับอย่างรวดเร็วในเสาอากาศเครื่องส่งวิทยุทำให้กระแสปรากฏในเสาอากาศเครื่องรับได้อย่างไร แสงจากดวงดาวอันไกลโพ้นมาถึงดวงตาของเราได้อย่างไร? ในการพิจารณาปรากฏการณ์ประเภทนี้จำเป็นต้องนำเสนอปรากฏการณ์ใหม่ แนวคิดทางกายภาพ- คลื่น. กระบวนการคลื่นเป็นตัวแทน ชั้นเรียนทั่วไปปรากฏการณ์แม้จะมีลักษณะที่แตกต่างกันก็ตาม

แหล่งที่มาของคลื่นไม่ว่าจะเป็น คลื่นทะเล, คลื่นเป็นเส้นคลื่น , คลื่นแผ่นดินไหว หรือ คลื่นเสียงในอากาศก็มีการสั่นสะเทือน กระบวนการแพร่กระจายการสั่นสะเทือนในอวกาศเรียกว่าคลื่น ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเสียง การเคลื่อนที่แบบแกว่งนั้นไม่เพียงกระทำโดยแหล่งกำเนิดเสียง (สาย, ส้อมเสียง) เท่านั้น แต่ยังกระทำโดยตัวรับเสียงด้วย - แก้วหูของหูหรือเยื่อเมมเบรนของไมโครโฟนด้วย ตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายก็สั่นสะเทือนเช่นกัน

กระบวนการคลื่นเกิดจากการมีการเชื่อมต่อระหว่างแต่ละส่วนของระบบ ขึ้นอยู่กับว่าเรามีคลื่นยืดหยุ่นในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง กระบวนการที่เกิดขึ้นในส่วนใดส่วนหนึ่งของพื้นที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในจุดใกล้เคียงของระบบโดยถ่ายโอนพลังงานจำนวนหนึ่งไปให้พวกเขา จากจุดเหล่านี้ การรบกวนจะผ่านไปยังจุดที่อยู่ติดกันและแผ่กระจายจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง นั่นคือ ทำให้เกิดคลื่น

แรงยืดหยุ่นที่กระทำระหว่างองค์ประกอบของของแข็ง ของเหลว หรือ ร่างกายที่เป็นก๊าซนำไปสู่การเกิดขึ้น คลื่นยืดหยุ่น- ตัวอย่างของคลื่นยืดหยุ่นคือคลื่นที่แพร่กระจายไปตามสายไฟ หากคุณขยับมือขึ้นลงเพื่อกระตุ้นการสั่นสะเทือนที่ปลายเชือก จากนั้นให้ส่วนที่อยู่ติดกันของสายไฟเกิดจากการกระทำ แรงยืดหยุ่นการเชื่อมต่อจะเริ่มเคลื่อนตัว และคลื่นจะกระจายไปตามสาย ทรัพย์สินส่วนกลางคลื่นก็คือว่าพวกมันสามารถแพร่กระจายไปในระยะทางไกล และอนุภาคของตัวกลางจะสั่นสะเทือนเฉพาะในพื้นที่จำกัดเท่านั้น อนุภาคของตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายจะไม่ถูกคลื่นกักไว้ การเคลื่อนไหวไปข้างหน้าพวกมันจะแกว่งไปรอบตำแหน่งสมดุลเท่านั้น ขึ้นอยู่กับทิศทางการสั่นสะเทือนของอนุภาคของตัวกลางที่สัมพันธ์กับทิศทางของการแพร่กระจายของคลื่น คลื่นตามยาวและตามขวางจะมีความโดดเด่น ในคลื่นตามยาว อนุภาคของตัวกลางจะสั่นไปตามทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น ในแนวขวาง – ตั้งฉากกับทิศทางของการแพร่กระจายคลื่น คลื่นตามขวางแบบยืดหยุ่นสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในตัวกลางที่มีความต้านทานแรงเฉือนเท่านั้น ดังนั้นเฉพาะคลื่นตามยาวเท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้ในตัวกลางของเหลวและก๊าซ ในตัวกลางที่เป็นของแข็งสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งคลื่นตามยาวและตามขวาง

ในรูป รูปที่ 8.1 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อคลื่นตามขวางแพร่กระจายผ่านตัวกลางและตำแหน่งของอนุภาคในคลื่นในช่วงเวลาคงที่สี่ช่วงเวลา หมายเลข 1, 2 เป็นต้น อนุภาคถูกกำหนดให้แยกออกจากกันด้วยระยะทางที่คลื่นเดินทางในช่วงหนึ่งในสี่ของระยะเวลาการแกว่งของอนุภาค เมื่อเวลาเป็นศูนย์ คลื่นที่แผ่ไปตามแกนจากซ้ายไปขวาถึงอนุภาค 1 ซึ่งเป็นผลมาจากการที่อนุภาคเริ่มเลื่อนขึ้นจากตำแหน่งสมดุล โดยลากอนุภาคต่อไปนี้ไปด้วย หลังจากผ่านไปหนึ่งในสี่ของระยะเวลาที่อนุภาค 1 ไปถึงตำแหน่งสูงสุด อนุภาคเริ่มเปลี่ยนจากตำแหน่งสมดุลไปพร้อมๆ กัน 2 . หลังจากผ่านไปอีกสี่ส่วนของคาบ อนุภาคแรกจะเคลื่อนผ่านตำแหน่งสมดุล โดยเคลื่อนที่ไปในทิศทางลง อนุภาคที่สองจะไปถึงตำแหน่งบนสุด และอนุภาคที่สามจะเริ่มเคลื่อนขึ้นจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลาเท่ากับ อนุภาคแรกจะเกิดการแกว่งจนครบและจะอยู่ในสถานะการเคลื่อนที่เหมือนกับช่วงเวลาแรกเริ่ม คลื่นจะไปถึงอนุภาคในขณะนั้น 5 .

ในรูป 8.2 แสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อแพร่กระจายในตัวกลาง คลื่นตามยาว- ข้อโต้แย้งทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของอนุภาคในคลื่นตามขวางก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน กรณีนี้โดยมีการกระจัดขึ้นและลงแทนที่ด้วยการเลื่อนไปทางขวาและซ้าย จากรูป 8.2 เห็นได้ชัดว่าเมื่อคลื่นตามยาวแพร่กระจายในตัวกลาง จะเกิดการควบแน่นสลับกันและการเกิดปฏิกิริยาที่หายากของอนุภาคขึ้น โดยเคลื่อนที่ไปในทิศทางของการแพร่กระจายคลื่นด้วยความเร็ว

วัตถุที่มีอิทธิพลต่อตัวกลางทำให้เกิดการสั่นสะเทือน เรียกว่าแหล่งกำเนิดคลื่น การแพร่กระจายของคลื่นยืดหยุ่นไม่เกี่ยวข้องกับการถ่ายโอนสสาร แต่คลื่นถ่ายโอนพลังงาน ซึ่งได้มาจากแหล่งที่มาของการแกว่งไปยังกระบวนการคลื่น

สถานที่ทางเรขาคณิตจุดที่การรบกวนมาถึงในเวลาที่กำหนดเรียกว่าหน้าคลื่น นั่นคือหน้าคลื่นเป็นพื้นผิวที่แยกส่วนของพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการคลื่นออกจากพื้นที่ที่สัญญาณรบกวนยังมาไม่ถึง

ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่สั่นในเฟสเดียวกันเรียกว่าพื้นผิวคลื่น พื้นผิวของคลื่นสามารถถูกดึงผ่านจุดใดก็ได้ในอวกาศที่กระบวนการของคลื่นครอบคลุม พื้นผิวคลื่นสามารถมีรูปร่างอะไรก็ได้ ในกรณีที่ง่ายที่สุด พวกมันจะมีรูปทรงของระนาบหรือทรงกลม ดังนั้นคลื่นในกรณีนี้จึงเรียกว่าระนาบหรือทรงกลม ในคลื่นระนาบ พื้นผิวของคลื่นคือชุดของระนาบที่ขนานกัน วี คลื่นทรงกลม– ทรงกลมที่มีศูนย์กลางจำนวนมาก

ระยะทางที่คลื่นแพร่กระจายในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับระยะเวลาการสั่นของอนุภาคในตัวกลางเรียกว่าความยาวคลื่น จะเห็นได้ชัดว่า ความเร็วของการแพร่กระจายคลื่นอยู่ที่ไหน

ในรูป รูปที่ 8.3 ซึ่งสร้างโดยใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ แสดงแบบจำลองการแพร่กระจายของคลื่นตามขวางบนน้ำจากแหล่งกำเนิด แต่ละอนุภาคทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกรอบตำแหน่งสมดุลของมัน

ข้าว. 8.3. การแพร่กระจายของคลื่นตามขวางจากแหล่งกำเนิดจุดของการแกว่ง

©2015-2019 เว็บไซต์
สิทธิ์ทั้งหมดเป็นของผู้เขียน ไซต์นี้ไม่ได้อ้างสิทธิ์ในการประพันธ์ แต่ให้ใช้งานฟรี
วันที่สร้างเพจ: 2016-02-16

การเพิ่มการสั่นหลายๆ ครั้งในทิศทางเดียวกัน (หรือที่เหมือนกันคือการเพิ่มฟังก์ชันฮาร์มอนิกหลายๆ อัน) จะอำนวยความสะดวกได้อย่างมาก และจะชัดเจนขึ้นหากการสั่นนั้นแสดงเป็นกราฟิกเป็นเวกเตอร์บนเครื่องบิน

ลองใช้แกนซึ่งเราจะแสดงว่าเป็น "x" จากจุด O ที่ถ่ายบนแกน ในมุมเท่ากับระยะเริ่มต้นของการแกว่ง เราพล็อตเวกเตอร์ที่มีความยาว A (รูปที่ 8.3) ลองฉายเวกเตอร์ A ลงบนแกน x เราจะได้ x 0 =A เพราะ a คือการกระจัดเริ่มต้นของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ลองหมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกาด้วยความเร็วเชิงมุม w 0 . ตำแหน่งของเวกเตอร์นี้ในเวลาใดก็ตามจะมีลักษณะเป็นมุมเท่ากับ:

w 0 เสื้อ 1 +a; มี 0 เสื้อ 2 +a; มี 0 เสื้อ 3 +a; ฯลฯ

และการฉายภาพของเวกเตอร์นี้จะเคลื่อนที่ไปตามแกน “x” ในช่วงตั้งแต่ –A ถึง +A นอกจากนี้พิกัดของการประมาณการนี้จะเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาตามกฎหมาย:

.

ดังนั้น การฉายภาพจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกนใดแกนหนึ่งจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูดเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ ความถี่วงกลมเท่ากับความเร็วเชิงมุมของการหมุนของเวกเตอร์ และเฟสเริ่มต้นเท่ากับ มุมที่เกิดจากเวกเตอร์กับแกน ณ เวลาเริ่มต้น

ดังนั้นสามารถระบุการแกว่งของฮาร์มอนิกได้โดยใช้เวกเตอร์ ซึ่งความยาวเท่ากับความกว้างของการแกว่ง และทิศทางของเวกเตอร์จะสร้างมุมที่มีแกน "x" เท่ากับระยะเริ่มต้นของการแกว่ง

ลองพิจารณาการเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน การกระจัดของตัวสั่น "x" จะเป็นผลรวมของการกระจัด x 1 และ x 2 ซึ่งจะเขียนดังนี้:

ลองแสดงการแกว่งทั้งสองโดยใช้เวกเตอร์และ (รูปที่ 8.4) เราจะสร้างเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ เส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกน X จะเท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์ผลรวม: x=x 1 +x 2 ดังนั้นเวกเตอร์จึงแสดงถึงการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้น เวกเตอร์นี้หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w 0 เช่นเดียวกับเวกเตอร์ และ ดังนั้นการเคลื่อนที่ที่ได้จะเป็นการสั่นแบบฮาร์มอนิก c ที่มีความถี่ w 0 , แอมพลิจูด “a” และเฟสเริ่มต้น a จากการก่อสร้างก็เป็นไปตามนั้น

ดังนั้น การแสดงการสั่นของฮาร์มอนิกด้วยเวกเตอร์ ทำให้สามารถลดการบวกของการสั่นหลาย ๆ ครั้งในการดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์ได้ วิธีนี้ง่ายและชัดเจนกว่าการใช้การแปลงตรีโกณมิติ

มาวิเคราะห์นิพจน์สำหรับแอมพลิจูดกัน ถ้าผลต่างเฟสของการแกว่งทั้งสอง a 2 - a 1 = 0 ดังนั้น แอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวม ( ก 2 + ก 1) หากเฟสต่างกัน a 2 - a 1 = +p หรือ -p เช่น การสั่นอยู่ในแอนติเฟส จากนั้นแอมพลิจูดของการสั่นที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ

หากความถี่การสั่นสะเทือน x 1 และ x 2 ไม่เท่ากัน เวกเตอร์จะหมุนด้วยความเร็วที่ต่างกัน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่ได้จะเต้นเป็นจังหวะตามขนาดและหมุนด้วยความเร็วที่แปรผันได้ ดังนั้น การเคลื่อนที่ที่ได้จึงจะเกิดขึ้นในกรณีนี้ ไม่เป็นเพียงการสั่นแบบฮาร์มอนิก แต่มีกระบวนการสั่นที่ซับซ้อนบางอย่าง