3. นี่คือวิธีที่สาวผมบลอนด์แก้สมการ!

4. คณิตศาสตร์ผ่านกระจกมอง

คำจารึกนี้ซึ่งฉันทำเมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมาน่าจะเป็นข้อพิสูจน์ที่สั้นที่สุดว่า ... 2 = 3 วางกระจกไว้ด้านบน (หรือมองผ่านแสง) แล้วคุณจะเห็นว่า "สอง" เลี้ยวอย่างไร เป็น "สาม"

5. จดหมายกวน

อีกสูตรที่ผิดปกติ:

สิบเอ็ด + สอง = สิบสอง + หนึ่ง.

ปรากฎว่าในภาษาอังกฤษสมการ 11 + 2 = 12 + 1 เป็นจริงแม้ว่าจะเขียนเป็นคำก็ตาม "ผลรวม" ของตัวอักษรทางซ้ายและขวาจะเหมือนกัน! ซึ่งหมายความว่าด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้เป็นแอนนาแกรมของด้านซ้ายนั่นคือได้มาจากการจัดเรียงตัวอักษรใหม่

คล้ายกันแม้ว่าจะน่าสนใจน้อยกว่า แต่ก็สามารถรับความเท่าเทียมกันของตัวอักษรในภาษารัสเซียได้:

สิบห้า + หก = สิบหก + ห้า.

6. ปี่...หรือไม่ปี่?..

จากปี 1960 ถึง 1970 หลัก เครื่องดื่มประจำชาติเรียกว่า "มอสโกวอดก้าพิเศษ" ราคา: ครึ่งลิตร 2.87 และหนึ่งในสี่ 1.49 ตัวเลขเหล่านี้อาจเป็นที่รู้จักของประชากรผู้ใหญ่เกือบทั้งหมดของสหภาพโซเวียต นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตสังเกตว่าหากราคาของครึ่งลิตรเพิ่มขึ้นเป็นกำลังเท่ากับราคาหนึ่งในสี่ จะได้หมายเลข "Pi":

1,49 2,87 ??

(รายงานโดย B.S. Gorobets)

หลังจากการตีพิมพ์หนังสือฉบับพิมพ์ครั้งแรก รองศาสตราจารย์คณะเคมีแห่งมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก Leenzon I. A. ได้ส่งคำอธิบายที่น่าสงสัยเกี่ยวกับสูตรนี้มาให้ฉัน: "... หลายปีก่อนเมื่อไม่มีเครื่องคิดเลขและ พวกเราที่คณะฟิสิกส์ผ่านการทดสอบที่ยากเกี่ยวกับกฎของสไลด์ (!) (คุณต้องเลื่อนไม้บรรทัดไปทางขวาและซ้ายกี่ครั้ง) ด้วยความช่วยเหลือของตารางที่แม่นยำที่สุดของพ่อของฉัน (เขาเป็น นักสำรวจเขาใฝ่ฝันที่จะสอบวิชามาตรวิทยาชั้นสูงมาตลอดชีวิต) ซึ่งรูปีสี่สิบเก้ายกกำลังสองแปดสิบเจ็ดเท่ากับ 3,1408 มันไม่พอใจฉัน Gosplan ของโซเวียตของเราไม่สามารถทำตัวหยาบคายได้ การปรึกษาหารือที่กระทรวงการค้าใน Kirovskaya แสดงให้เห็นว่าการคำนวณราคาทั้งหมดในระดับชาตินั้นทำขึ้นที่หนึ่งในร้อยของ kopeck ที่ใกล้ที่สุด แต่ชื่อ ตัวเลขที่แน่นอนฉันถูกปฏิเสธโดยอ้างถึงความลับ ในช่วงต้นทศวรรษ 1990 ฉันได้รับตัวเลขที่แน่นอนจากคลังข้อมูลสำหรับราคาวอดก้า ซึ่งในเวลานั้นกฤษฎีกาพิเศษไม่เป็นความลับอีกต่อไป และนี่คือสิ่งที่กลายเป็น: หนึ่งในสี่: 1 รูเบิล 49.09 kopecks ลดราคา - 1.49 รูเบิล Pollitrovka: 2 รูเบิล 86.63 kopecks ลดราคา - 2.87 รูเบิล เมื่อใช้เครื่องคิดเลข ฉันพบได้อย่างง่ายดายว่าในกรณีนี้ หนึ่งส่วนสี่ของกำลังครึ่งลิตรให้ (หลังจากปัดเศษเป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญ 5 ตัว) เพียง 3.1416! มันยังคงเป็นเพียงการสงสัย ความสามารถทางคณิตศาสตร์พนักงานของคณะกรรมการวางแผนแห่งรัฐของสหภาพโซเวียตซึ่ง (ฉันไม่สงสัยเลยเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นเวลาสองวินาที) โดยเจตนาปรับราคาโดยประมาณของเครื่องดื่มยอดนิยมให้เป็นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ผลลัพธ์ที่ทราบ».

นักคณิตศาสตร์คนใดที่รู้จักในโรงเรียนถูกเข้ารหัสใน rebus นี้

8. ทฤษฎีและปฏิบัติ

นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และวิศวกรได้รับภารกิจต่อไปนี้: “ชายหนุ่มและหญิงสาวยืนอยู่ที่ผนังตรงข้ามห้องโถง เมื่อถึงจุดหนึ่ง พวกเขาเริ่มเดินไปหาเพื่อน และทุก ๆ สิบวินาที พวกเขาจะมีระยะห่างระหว่างพวกเขาครึ่งหนึ่ง คำถามคือจะใช้เวลานานแค่ไหนกว่าที่ทั้งสองจะเข้าถึงกัน”

นักคณิตศาสตร์ตอบโดยไม่ลังเล:

ไม่เคย.

นักฟิสิกส์ครุ่นคิดอยู่ครู่หนึ่งก็กล่าวว่า

ผ่านกาลเวลาที่ไม่มีวันสิ้นสุด

หลังจากการคำนวณที่ยาวนาน วิศวกรได้ออก:

ในเวลาประมาณสองนาที สิ่งเหล่านี้จะเข้าใกล้พอสำหรับการใช้งานจริง

9. สูตรความงามจากกุ๊บกิ๊บ

สูตรที่ฉุนเฉียวต่อไปนี้ซึ่งมาจาก Landau ซึ่งเป็นคนรักเพศที่ยุติธรรมกว่า ได้รับความสนใจจากศาสตราจารย์ Gorobets ของ Landauved ที่มีชื่อเสียง

ตามที่เราได้รับแจ้งจากรองศาสตราจารย์ A.I. Zyulkov ของ MSUIE เขาได้ยินว่า Landau ได้รับสูตรต่อไปนี้สำหรับตัวบ่งชี้ ความน่าดึงดูดใจของผู้หญิง:

ที่ไหน เค- เส้นรอบวงหน้าอก; ม- ที่สะโพก เอ็น- ที่เอว ต- ความสูงทั้งหมดเป็นซม. พี- น้ำหนักเป็นกก.

ดังนั้นหากเรายอมรับพารามิเตอร์สำหรับโมเดล (1960) ประมาณ: 80-80-60-170-60 (ในลำดับค่าด้านบน) จากนั้นตามสูตรที่เราได้รับ 5 หากเรายอมรับพารามิเตอร์ของ " ต่อต้านโมเดล" ตัวอย่างเช่น: 120 -120-120-170-60 จากนั้นเราจะได้ 2 ที่นี่ในช่วงนี้ เกรดโรงเรียนและพูดอย่างคร่าว ๆ ว่า "สูตร Landau" ใช้งานได้

(อ้างจากหนังสือ: โกโรเบ็ตส์ บี. วงกลมรถม้า. ชีวิตของอัจฉริยะ ม.: สำนักพิมพ์ LKI / URSS, 2551.)

10. กว่าจะรู้ระยะทางนั้น...

ข้อโต้แย้งทางวิทยาศาสตร์อีกประการหนึ่งเกี่ยวกับความน่าดึงดูดใจของผู้หญิงมาจากดาวโจนส์

เรากำหนดความน่าดึงดูดใจของผู้หญิงตามระยะทางจากเธอ ด้วยค่าอาร์กิวเมนต์ที่ไม่สิ้นสุด ฟังก์ชันนี้จะหายไป ในทางกลับกัน ที่จุดศูนย์ก็เท่ากับศูนย์เช่นกัน ( เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับความน่าดึงดูดใจภายนอกไม่ใช่เกี่ยวกับการสัมผัส) ตามทฤษฎีบทของ Lagrange ไม่เป็นลบ ฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งใช้ที่ส่วนท้ายของส่วน ค่า Nullมีค่าสูงสุดในช่วงเวลานี้ เพราะเหตุนี้:

1. มีระยะทางที่ผู้หญิงมีเสน่ห์มากที่สุด

2. สำหรับผู้หญิงแต่ละคนระยะนี้จะแตกต่างกัน

3. รักษาระยะห่างจากผู้หญิง

11 หลักฐานม้า

ทฤษฎีบท: ม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์การยืนยันทฤษฎีบทโดยการอุปนัย

ที่ น= 1 นั่นคือสำหรับชุดที่ประกอบด้วยม้าหนึ่งตัว การยืนยันนั้นเป็นจริงอย่างชัดเจน

ให้ข้อความของทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับ น = เค. เรามาพิสูจน์กันว่ามันจริงสำหรับ น = เค+ 1. ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาชุดตามอำเภอใจจาก เค+ ม้า 1 ตัว หากคุณเอาม้าออกไปหนึ่งตัว ม้าเหล่านั้นก็จะยังคงอยู่ เค. ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ พวกมันมีสีเดียวกันทั้งหมด ตอนนี้ให้นำม้าที่ถอดไว้กลับเข้าที่แล้วรับตัวอื่นมา อีกครั้งโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำเหล่านี้ เคม้าสีเดียวกันที่เหลืออยู่ แต่แล้วทุกอย่าง เค+ 1 ม้าจะเป็นสีเดียวกัน

ดังนั้น ตามหลักการแล้ว การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

12. เล็กน้อยเกี่ยวกับจระเข้

อีกภาพประกอบที่ยอดเยี่ยมของแอปพลิเคชัน วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่อสัตววิทยา

ทฤษฎีบท: จระเข้ยาวกว่ากว้าง

การพิสูจน์. เราใช้จระเข้โดยพลการและพิสูจน์บทแทรกเสริมสองบท

บทแทรก 1: จระเข้ยาวกว่าสีเขียว

การพิสูจน์. ลองดูจระเข้จากด้านบน - มันยาวและเป็นสีเขียว ลองดูจระเข้จากด้านล่าง - มันยาว แต่ไม่เขียว (อันที่จริงมันเป็นสีเทาเข้ม)

ดังนั้น เล็มมา 1 จึงได้รับการพิสูจน์

บทแทรก 2: จระเข้มีสีเขียวกว้างกว่า

การพิสูจน์.มาดูจระเข้อีกครั้งจากด้านบน เป็นสีเขียวและกว้าง ลองดูจระเข้จากด้านข้าง: เป็นสีเขียว แต่ไม่กว้าง นี่เป็นการพิสูจน์บทเล็มมา 2

เห็นได้ชัดว่าการยืนยันทฤษฎีบทมาจากบทแทรกที่พิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทสนทนา (“จระเข้กว้างกว่ายาว”) ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

เมื่อมองแวบแรก เป็นไปตามทฤษฎีบททั้งสองว่าจระเข้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม เนื่องจากอสมการในสูตรของพวกมันเข้มงวดนัก นักคณิตศาสตร์ตัวจริงจะสรุปได้ถูกต้องเพียงข้อเดียว: จระเข้ไม่มีอยู่จริง!

13. การเหนี่ยวนำอีกครั้ง

ทฤษฎีบท: จำนวนธรรมชาติทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

การพิสูจน์. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติสองตัวใดๆ กและ ขความเท่าเทียมกัน ก = ข. ให้เราจัดรูปแบบใหม่ด้วยวิธีต่อไปนี้: สำหรับใดๆ เอ็น> 0 และอื่นๆ กและ ขตอบสนองความเท่าเทียมกันสูงสุด ( ก, ข) = เอ็น, ความเท่าเทียมกัน ก = ข.

ลองพิสูจน์ด้วยการเหนี่ยวนำ ถ้า ก เอ็น= 1 แล้ว กและ ขโดยธรรมชาติแล้วทั้งคู่มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น ก = ข.

ให้เราสมมติว่าการยืนยันได้รับการพิสูจน์ด้วยค่าบางอย่าง เค. เอาล่ะ กและ ขดังกล่าวสูงสุด ( ก, ข) = เค+ 1. จากนั้น สูงสุด( ก–1, ข–1) = เค. จากสมมติฐานอุปนัยแสดงว่า ( ก–1) = (ข-หนึ่ง). วิธี, ก = ข.

14. สรุปทั้งหมดผิด!

คนรักภาษาศาสตร์และ ปริศนาคณิตศาสตร์อาจรู้เกี่ยวกับการสะท้อนกลับหรือการอธิบายตัวเอง (อย่าคิดว่าอะไรแย่) คำวลีและตัวเลขที่อ้างอิงตนเอง ตัวอย่างเช่นหลังรวมถึงหมายเลข 2100010006 ซึ่งหลักแรกเท่ากับจำนวนหลักในบันทึกของหมายเลขนี้ หลักที่สอง - เป็นจำนวนสองส่วน หลักที่สาม - เป็นจำนวนสามเท่า .. . ที่สิบ - ถึงจำนวนศูนย์

คำที่อธิบายตนเอง ได้แก่ พูดคำว่า จดหมายยี่สิบเอ็ดฉบับฉันคิดขึ้นมาเมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมา มันมี 21 ตัวอักษร!

มีวลีที่อธิบายตัวเองมากมาย หนึ่งในตัวอย่างแรก ๆ ในภาษารัสเซียถูกประดิษฐ์ขึ้นเมื่อหลายปีก่อนโดย Vagrich Bakhchanyan นักเขียนการ์ตูนชื่อดังและนักพูดที่มีไหวพริบ: ประโยคนี้มีตัวอักษรสามสิบสองตัว. ต่อไปนี้เป็นบางส่วนที่เกิดขึ้นในภายหลัง: 1. สิบเจ็ดตัวอักษร. 2. มีข้อผิดพลาดในประโยคนี้ในตอนท้ายของ. 3. ประโยคนี้จะมีเจ็ดคำถ้าสั้นกว่านี้เจ็ดคำ. 4. คุณอยู่ภายใต้การควบคุมของฉันเพราะคุณจะอ่านฉันจนจบ. 5. ...ประโยคนี้ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยจุดสามจุด.

นอกจากนี้ยังมีการออกแบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ชื่นชมสัตว์ประหลาดตัวนี้ที่นี่ (ดูบันทึกของ S. Tabachnikov “นักบวชมีสุนัข” ในนิตยสาร Kvant ฉบับที่ 6, 1989): ในวลีนี้ คำว่า "ใน" เกิดขึ้นสองครั้ง คำว่า "นี้" เกิดขึ้นสองครั้ง คำว่า "วลี" เกิดขึ้นสองครั้ง คำว่า "พบกัน" เกิดขึ้นสิบสี่ครั้ง คำว่า "คำ" เกิดขึ้นสิบสี่ครั้ง คำว่า "เวลา ” เกิดขึ้นหกครั้ง คำว่า "ราซา" เกิดขึ้นเก้าครั้ง คำว่า "สอง" เกิดขึ้นเจ็ดครั้ง คำว่า "สิบสี่" เกิดขึ้นสามครั้ง คำว่า "สาม" เกิดขึ้นสามครั้ง คำว่า "เก้า" เกิดขึ้นสองครั้ง คำว่า "เจ็ด" เกิดขึ้นสองครั้ง คำว่า "หก" เกิดขึ้นสองครั้ง.

หนึ่งปีหลังจากการตีพิมพ์ใน Kvant I. Akulich ได้สร้างวลีที่อธิบายตนเองซึ่งไม่เพียงอธิบายคำที่รวมอยู่ในนั้นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเครื่องหมายวรรคตอนด้วย: วลีที่คุณกำลังอ่านประกอบด้วย: สองคำ "วลี" สองคำ "ซึ่ง" สองคำ "คุณ" สองคำ "อ่าน" สองคำ "มี" ยี่สิบห้าคำ "คำ" สองคำ "คำ" , สองคำ "ทวิภาค" สองคำ "จุลภาค" สองคำ "โดย" สองคำ "ซ้าย" สองคำ "และ" สองคำ "ขวา" สองคำ "เครื่องหมายอัญประกาศ" สองคำ "a" สองคำ "ยัง" สองคำ "จุด" สองคำ "หนึ่ง" สองคำ "หนึ่ง" ยี่สิบสองคำ "สอง" สามคำ "สาม" สองคำ "สี่" สามคำ "ห้า" สี่คำ "ยี่สิบ" สองคำ "สามสิบ" หนึ่งโคลอน สามสิบลูกน้ำ ยี่สิบห้าเครื่องหมายอัญประกาศซ้ายและขวา และหนึ่งจุด.

ในที่สุด ไม่กี่ปีต่อมา ทั้งหมดใน "ควอนตัม" เดียวกัน บันทึกของ A. Khanyan ก็ปรากฏขึ้น ซึ่งมีวลีหนึ่งซึ่งอธิบายถึงตัวอักษรทั้งหมดอย่างถี่ถ้วน: มี 12 B, 2 E, 17 T, 3 O, 2 Y, 2 F, 7 R, 14 A, 2 3, 12 E, 16 D, 7 H, 7 C, 13 L, 8 C, 6 M , ห้า I, สอง H, สอง S, สาม I, สาม W, สอง P.

“รู้สึกได้อย่างชัดเจนว่ามีอีกหนึ่งวลีหายไป ซึ่งจะบอกเกี่ยวกับตัวอักษรและเครื่องหมายวรรคตอนทั้งหมด” I. Akulich เขียนในจดหมายส่วนตัวถึงฉัน ผู้ให้กำเนิดสัตว์ประหลาดตัวหนึ่งที่อ้างถึงก่อนหน้านี้ บางทีหนึ่งในผู้อ่านของเราจะแก้ปัญหาที่ยากมากนี้ได้

15. "และอัจฉริยะเป็นเพื่อนของความขัดแย้ง..."

ในความต่อเนื่องของหัวข้อที่แล้ว มันคุ้มค่าที่จะกล่าวถึง reflexive paradoxes

ในหนังสือที่กล่าวถึงแล้วโดย J. Littlewood "ส่วนผสมทางคณิตศาสตร์" มีการกล่าวอย่างถูกต้องว่า "ความขัดแย้งแบบสะท้อนกลับทั้งหมดเป็นเรื่องตลกที่ยอดเยี่ยม" นอกจากนี้ยังมีสองรายการที่ฉันใช้เสรีภาพในการอ้างถึง:

1. ต้องมีจำนวนเต็ม (บวก) ที่ไม่สามารถกำหนดได้ด้วยวลีที่มีความยาวน้อยกว่า 16 คำ ชุดของจำนวนเต็มบวกประกอบด้วย จำนวนที่น้อยที่สุดและดังนั้นจึงมีตัวเลข เอ็น, "จำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่สามารถกำหนดได้ด้วยวลีที่น้อยกว่าสิบหกคำ" แต่วลีนี้มี 15 คำและให้คำจำกัดความ เอ็น.

2. ในนิตยสาร ผู้ชมมีการประกาศการแข่งขันในหัวข้อ“ คุณอยากอ่านอะไรด้วยความสุขที่สุดเปิดหนังสือพิมพ์ตอนเช้า” รางวัลที่ 1 ได้รับคำตอบว่า

การแข่งขันครั้งที่สองของเรา

รางวัลที่หนึ่งในการแข่งขันครั้งที่สองของปีนี้ตกเป็นของ Mr. Arthur Robinson ซึ่งคำตอบที่เฉียบคมโดยไม่พูดเกินจริงควรได้รับการพิจารณาว่าดีที่สุด คำตอบของเขาสำหรับคำถาม: “คุณชอบอ่านอะไรมากที่สุดถ้าคุณเปิดหนังสือพิมพ์ตอนเช้า” มีชื่อว่า "การแข่งขันครั้งที่สองของเรา" แต่เนื่องจากข้อจำกัดด้านกระดาษ เราจึงไม่สามารถพิมพ์ได้ทั้งหมด

16. พาลินโดรมาติก

มีเช่น วลีที่น่าทึ่งซึ่งอ่านแบบเดียวกันจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย สิ่งหนึ่งที่ทุกคนรู้แน่นอน: และดอกกุหลาบก็ตกลงบนอุ้งเท้าของ Azor. เธอเป็นคนที่ถูกขอให้เขียนตามคำบอกของพินอคคิโอผู้ไม่รู้อิโหน่อิเหน่โดย Malvina ตามอำเภอใจ วลีที่ผกผันกันเช่นนี้เรียกว่า พาลินโดรม ซึ่งในภาษากรีกแปลว่า "วิ่งกลับมา กลับมา" นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติม: 1. Lilliput เลื่อยปลาดุกบนสะพาน. 2. ฉันไปห้องน้ำ. 3. เขานอนลงบนพระวิหารและหัวหน้าทูตสวรรค์นั้นมหัศจรรย์และมองไม่เห็น. 4. ผลักหมูป่าบนมะเขือยาว. 5. Muse บาดแผลจากประสบการณ์อันโชกโชน ท่านจะอธิษฐานจิต. (ง. อวาลิอานี). 6. ฉันไม่ค่อยถือก้นบุหรี่ไว้ในมือ... (บี โกลด์สตีน)7. หอมกลิ่นนม ฉันกำลังจะเหมียวแล้ว. (G. Lukomnikov). แปด. เขาเป็นวิลโลว์ แต่เธอเป็นท่อนซุง. (ส.ฟ.).

ฉันสงสัยว่ามี palindromes ในวิชาคณิตศาสตร์หรือไม่? ในการตอบคำถามนี้ ลองถ่ายทอดแนวคิดของการอ่านแบบสมมาตรซึ่งกันและกันไปยังตัวเลขและสูตร ปรากฎว่าไม่ใช่เรื่องยาก มาทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างลักษณะเฉพาะบางประการจากคณิตศาสตร์พาลินโดรมิกนี้ พาลินโดรมาติกส์. ทิ้งเลขพาลินโดรมิกไว้ข้างๆ เช่น 1991 , 666 เป็นต้น หันมาใช้สูตรสมมาตรกัน

ก่อนอื่นให้ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้: ค้นหาคู่ของตัวเลขสองหลักดังกล่าวทั้งหมด

(x 1 - หลักแรก ย 1 - หลักที่สอง) และ

เพื่อให้ผลลัพธ์ของการบวกไม่เปลี่ยนแปลงอันเป็นผลมาจากการอ่านผลรวมจากขวาไปซ้าย เช่น

ตัวอย่างเช่น 42 + 35 = 53 + 24

ปัญหาได้รับการแก้ไขเล็กน้อย: ผลรวมของเลขหลักแรกของคู่ตัวเลขดังกล่าวทั้งหมดจะเท่ากับผลบวกของเลขหลักที่สอง. ตอนนี้คุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างที่คล้ายกัน: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 ไปเรื่อยๆ

การโต้เถียงด้วยวิธีเดียวกัน เราสามารถแก้ปัญหาเดียวกันสำหรับส่วนที่เหลือได้อย่างง่ายดาย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์.

ในกรณีที่มีความแตกต่าง เช่น

ได้รับตัวอย่างต่อไปนี้: 41 - 32 \u003d 23 -14, 46 - 28 \u003d 82 - 64, ... - ผลรวมของตัวเลขดังกล่าวเท่ากัน ( x 1 +ย 1 = x 2 +ย 2 ).

ในกรณีของการคูณ เรามี: 63 48 \u003d 84 36, 82 14 \u003d 41 28, ... - ในขณะที่ผลคูณของตัวเลขหลักแรก เอ็น 1 และ เอ็น 2 เท่ากับผลคูณของหลักที่สอง ( x 1 x 2 =y 1 ย 2 ).

สุดท้าย สำหรับการหาร เราได้รับตัวอย่างต่อไปนี้:

ในกรณีนี้ ผลคูณของหลักแรกของตัวเลข เอ็น 1 ถึงหลักที่สอง เอ็น 2 เท่ากับผลคูณของตัวเลขอีกสองหลัก นั่นคือ x 1 ย 2 = x 2 ย 1 .

17. ทฤษฎีบทต่อต้านโซเวียต

การพิสูจน์ "ทฤษฎีบท" ต่อไปนี้ซึ่งปรากฏในยุคของ "สังคมนิยมที่ด้อยพัฒนา" มีพื้นฐานมาจากวิทยานิพนธ์ยอดนิยมในช่วงหลายปีที่ผ่านมาเกี่ยวกับบทบาทของพรรคคอมมิวนิสต์

ทฤษฎีบท. บทบาทของพรรคเป็นไปในเชิงลบ

การพิสูจน์. เป็นที่ทราบกันดีว่า:

1. บทบาทของพรรคเติบโตอย่างต่อเนื่อง

2. ภายใต้ลัทธิคอมมิวนิสต์ ในสังคมไร้ชนชั้น บทบาทของพรรคจะเป็นศูนย์

ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องโดยมีแนวโน้มเป็น 0 ดังนั้นจึงมีค่าเป็นลบ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

18. ห้ามเด็กอายุต่ำกว่า 16 ปีตัดสินใจ

แม้ว่าปัญหาต่อไปนี้จะดูไร้สาระ แต่ก็ยังมีวิธีแก้ปัญหาที่เข้มงวดอย่างสมบูรณ์

งาน.แม่ แก่กว่าลูกชายเป็นเวลา 21 ปี ในหกปีเธอจะมีอายุเป็นห้าเท่า คำถามคือ PAPA อยู่ที่ไหน!

วิธีการแก้. อนุญาต เอ็กซ์- อายุของลูกชายและ วาย- อายุของมารดา จากนั้นจึงเขียนเงื่อนไขของปัญหาเป็นระบบสมการง่ายๆ 2 สมการคือ

การทดแทน วาย = เอ็กซ์+ 21 ในสมการที่สอง เราได้ 5 เอ็กซ์ + 30 = เอ็กซ์+ 21 + 6 จากไหน เอ็กซ์= -3/4. ตอนนี้ลูกชายคือลบ 3/4 ของปีนั่นคือ ลบ 9 เดือน หมายความว่าพ่อ ช่วงเวลานี้อยู่ที่แม่!

19. บทสรุปที่คาดไม่ถึง

สำนวนแดกดัน “ถ้าคุณฉลาดขนาดนั้น แล้วทำไมคุณถึงจน” เป็นที่รู้จักกันดี ซึ่งอนิจจาใช้ได้กับคนจำนวนมาก ปรากฎว่าปรากฏการณ์ที่น่าเศร้านี้มีเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดตามความจริงที่เถียงไม่ได้

กล่าวคือ เรามาเริ่มด้วยสองสัจพจน์ที่เป็นที่รู้จักกันดี:

สมมุติฐาน 1: ความรู้ = พลัง

สมมุติฐาน 2: เวลา = เงิน

นอกจากนี้ ลูกศิษย์ทุกคนทราบดีว่า

ระยะทาง s = ความเร็ว x เวลา = งาน: แรง,

งาน: เวลา = แรง x ความเร็ว (*)

แทนค่า "เวลา" และ "แรง" จากทั้งสองสมมุติลงใน (*) เราได้รับ:

งาน: (ความรู้ x ความเร็ว) = เงิน (**)

จะเห็นได้จากผลลัพธ์ของความเท่าเทียมกัน (**) ที่มุ่งให้ "ความรู้" หรือ "ความเร็ว" เป็นศูนย์ เราจะได้เงินจำนวนมากโดยพลการสำหรับ "งาน" ใดๆ

ดังนั้นข้อสรุป: ยิ่งโง่และ คนเกียจคร้านหัวข้อ เงินมากขึ้นเขาสามารถได้รับ

20. เกมคณิตศาสตร์ Landau

ไม่กี่ปีที่ผ่านมาในวารสาร "วิทยาศาสตร์และชีวิต" (ฉบับที่ 1, 2000) บันทึกของศาสตราจารย์ B. Gorobets ซึ่งกระตุ้นความสนใจอย่างมากในหมู่ผู้อ่านได้รับการตีพิมพ์โดยอุทิศให้กับเกมไขปริศนาที่ยอดเยี่ยมซึ่งนักวิชาการ Landau ประดิษฐ์ขึ้นตามลำดับ ไม่ให้เบื่อระหว่างนั่งรถ เล่นเกมนี้ซึ่งเซ็นเซอร์ ตัวเลขสุ่มทำหน้าที่เป็นหมายเลขรถที่ผ่านไป (จากนั้นตัวเลขเหล่านี้ประกอบด้วยตัวอักษรสองตัวและตัวเลขสองคู่) เขามักจะเสนอให้สหายของเขา สาระสำคัญของเกมคือการใช้สัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน (เช่น +, -, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, ฯลฯ ) เพื่อนำไปสู่การเป็นหนึ่งเดียวกัน หมายถึงสองคนนี้ ตัวเลขสองหลักจากจำนวนรถที่วิ่งผ่าน ในกรณีนี้อนุญาตให้ใช้แฟกทอเรียล ( น! = 1 x 2 x ... x น) แต่ไม่อนุญาตให้ใช้ secant, cosecant และ differentiation

ตัวอย่างเช่น สำหรับคู่ 75–33 ความเสมอภาคที่ต้องการทำได้ดังนี้:

และสำหรับคู่ 00–38 ดังนี้

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าตัวเลขทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายๆ บางคน (เช่น 75–65) ไม่ยอมจำนนต่อผู้เขียนเกม Landau ดังนั้นคำถามที่เกิดขึ้นจากแนวทางสากลสูตรเดียวที่ให้คุณ "แก้" ตัวเลขคู่ใดก็ได้ คำถามเดียวกันนี้ถูกถามโดย Landau และ Prof. นักศึกษาของเขา คากานอฟ. นี่คือสิ่งที่เขาเขียนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง: "เป็นไปได้เสมอที่จะสร้างความเท่าเทียมกันจากป้ายทะเบียน" ฉันถามกุ๊บกิ๊บ “ไม่” เขาตอบค่อนข้างแน่นอน - "คุณพิสูจน์ทฤษฎีบทการไม่มีอยู่จริงแล้วหรือยัง" - ฉันรู้สึกประหลาดใจ. - "ไม่" Lev Davidovich พูดด้วยความมั่นใจ "แต่ไม่ใช่ตัวเลขทั้งหมดที่เหมาะกับฉัน"

อย่างไรก็ตาม พบวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว และหนึ่งในนั้นยังคงอยู่ในช่วงชีวิตของ Landau

นักคณิตศาสตร์ Kharkov Y. Palant เสนอสูตรสำหรับการทำให้คู่ของตัวเลขเท่ากัน

อนุญาตให้แสดงตัวเลขใด ๆ ผ่านตัวเลขที่เล็กกว่าอันเป็นผลมาจากการใช้งานซ้ำ ๆ "ฉันให้หลักฐานของ Landau" Kaganov เขียนเกี่ยวกับการตัดสินใจครั้งนี้ “เขาชอบมันมาก … และเราก็คุยกันแบบกึ่งตลกกึ่งจริงจังว่าจะตีพิมพ์ในวารสารทางวิทยาศาสตร์หรือไม่”

อย่างไรก็ตาม สูตร Palant ใช้ secant ที่ "ต้องห้าม" ในขณะนี้ (เป็นเวลากว่า 20 ปีที่ไม่ได้รวมอยู่ใน หลักสูตรของโรงเรียน) จึงถือว่าไม่น่าพอใจ อย่างไรก็ตาม ฉันสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างง่ายดายด้วยสูตรที่แก้ไขแล้ว

สูตรผลลัพธ์ (อีกครั้ง หากจำเป็น จะต้องใช้หลาย ๆ ครั้ง) ทำให้เราสามารถแสดงตัวเลขใด ๆ ในรูปของตัวเลขขนาดใหญ่ใด ๆ โดยไม่ต้องใช้ตัวเลขอื่น ซึ่งทำให้ปัญหาของ Landau หมดไปอย่างเห็นได้ชัด

1. อย่าให้เลขศูนย์มีเลขศูนย์ ลองสร้างตัวเลขสองตัว abและ ซีดี, (แน่นอนว่านี่ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์) ให้เราแสดงเมื่อนั้น น ? 6:

บาป[( ab)!]° = บาป[( ซีดี)!]° = 0.

แท้จริงบาป ( น!)° = 0 ถ้า น? 6 เนื่องจาก sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0 นอกจากนี้ แฟกทอเรียลใดๆ หาได้จากการคูณ 6! เป็นจำนวนเต็มที่ตามมา: 7! = 6! x7,8! = 6! x 7 x 8 ฯลฯ ให้ผลคูณของ 360° ในอาร์กิวเมนต์ไซน์ ทำให้มัน (และแทนเจนต์ด้วย) เท่ากับศูนย์

2. ให้มีศูนย์ในหลักบางคู่ เราคูณมันด้วยตัวเลขถัดไปและเทียบได้กับไซน์ของแฟกทอเรียลในหน่วยองศาที่นำมาจากตัวเลขในส่วนอื่นของจำนวน

3. ให้มีศูนย์ในทั้งสองส่วนของตัวเลข เมื่อคูณด้วยหลักข้างเคียง จะให้ความเท่ากันเล็กน้อย 0 = 0

การแบ่งวิธีแก้ปัญหาทั่วไปออกเป็นสามจุดโดยคูณด้วยศูนย์ในจุดที่ 2 และ 3 นั้นเกิดจากความจริงที่ว่า บาป( น!)° ? 0 ถ้า น < 6».

แน่นอนเช่นนี้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปกีดกันเกมของ Landau ที่ไม่มีเสน่ห์ดั้งเดิมซึ่งเป็นเพียงความสนใจที่เป็นนามธรรม ดังนั้นลองเล่นกับตัวเลขที่ยากโดยไม่ต้องใช้สูตรสากล นี่คือบางส่วน: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

21. การทำนายโดยปัจจัย

22. 9 ตัว

เพิ่มเติมเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์

มีคนบอกว่าครั้งหนึ่งในหมู่นักเรียนชั้นปีที่ 1 ของ Mekhmat เกม "ตัวกำหนด" เพื่อเงินเป็นที่นิยม ผู้เล่นสองคนวาดดีเทอร์มิแนนต์ 3 x 3 บนกระดาษที่มีเซลล์ว่าง จากนั้นในทางกลับกันตัวเลขจาก 1 ถึง 9 จะถูกแทรกลงในเซลล์ว่างเมื่อเติมเซลล์ทั้งหมดแล้วจะมีการพิจารณาปัจจัย - คำตอบโดยคำนึงถึงเครื่องหมายคือกำไร (หรือขาดทุน) ของผู้เล่นคนแรก แสดงเป็นรูเบิล ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวเลขคือ -23 ผู้เล่นคนแรกจ่าย 23 รูเบิลคนที่สอง และถ้าพูดว่า 34 ในทางกลับกัน ผู้เล่นคนที่สองจ่าย 34 รูเบิลคนแรก

แม้ว่ากฎของเกมจะง่ายเหมือนผักกาด แต่มันก็ยากมากที่จะคิดกลยุทธ์การชนะที่เหมาะสม

23. นักวิชาการแก้ปัญหาอย่างไร

บันทึกนี้ส่งถึงฉันโดยนักคณิตศาสตร์และนักเขียน A. Zhukov ผู้เขียนหนังสือยอดเยี่ยม The Omnipresent Pi

ศาสตราจารย์ Boris Solomonovich Gorobets ผู้สอนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยมอสโกสองแห่งได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับนักฟิสิกส์ผู้ยิ่งใหญ่ Lev Davidovich Landau (1908–1968) - Landau's Circle นี่คือสิ่งที่ เรื่องราวที่อยากรู้อยากเห็นเชื่อมโยงกับปัญหาเบื้องต้นข้อหนึ่งที่สถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยี เขาบอกกับเรา

มันเกิดขึ้นในปี 1959 สหายร่วมรบของ Landau และผู้ร่วมเขียนหลักสูตรสิบเล่มในฟิสิกส์ทฤษฎีนักวิชาการ Evgeni Mikhailovich Lifshits (1915–1985) ช่วย Borya Gorobets ผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับ เข้าสู่หนึ่งในชั้นนำ มหาวิทยาลัยทางกายภาพมอสโก.

ในการสอบข้อเขียนทางคณิตศาสตร์ที่สถาบันฟิสิกส์และคณิตศาสตร์แห่งมอสโกมีการเสนองานต่อไปนี้: "ที่ฐานของพีระมิด SABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ที่มีมุม C = 90° ด้าน AB = l ใบหน้าด้านข้างก่อตัวขึ้นกับระนาบฐาน มุมไดฮีดรัล?, ?, ?. ค้นหารัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ในพีระมิด

ศาสตราจารย์ในอนาคตไม่สามารถรับมือกับงานได้ในเวลานั้น แต่เขาจำสภาพของมันได้และแจ้งให้ Evgeny Mikhailovich ทราบในภายหลัง เขาเล่นซอกับปัญหาต่อหน้านักเรียนไม่สามารถแก้ไขได้ทันทีและนำกลับบ้านด้วยและในตอนเย็นเขาโทรมาและบอกว่าไม่สามารถเอาชนะได้หนึ่งชั่วโมงเขาจึงเสนอปัญหานี้ให้ เลฟ ดาวิโดวิช.

กุ๊บกิ๊บชอบแก้ปัญหาที่สร้างความเดือดร้อนให้กับผู้อื่น ในไม่ช้าเขาก็โทรหา Lifshitz กลับมาและพูดว่า: "ฉันแก้ปัญหาได้แล้ว ตัดสินใจว่าหนึ่งชั่วโมง ฉันโทรหาเซลโดวิช ตอนนี้เขาตัดสินใจแล้ว เพื่อชี้แจง: Yakov Borisovich Zel'dovich (2457-2530) นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงซึ่งคิดว่าตัวเองเป็นนักเรียนของ Landau ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาเป็นหัวหน้านักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีในโครงการปรมาณูลับสุดยอดของโซเวียต (ซึ่งแน่นอนว่ามีน้อย คนก็รู้แล้ว) ประมาณหนึ่งชั่วโมงต่อมา E. M. Lifshits โทรมาอีกครั้งและพูดว่า: Zeldovich เพิ่งโทรหาเขาและพูดอย่างไม่ภูมิใจ: "ฉันแก้ปัญหาของคุณแล้ว ฉันตัดสินใจในสี่สิบนาที!”

คุณจะใช้เวลานานแค่ไหนในการทำงานนี้ให้เสร็จ?

24. ปัญหา

มีเรื่องตลกทางคณิตศาสตร์มากมายในคอลเลกชันไหวพริบของอารมณ์ขันทางฟิสิกส์และเทคโนโลยี "Zasauchny Humor" (M., 2000) นี่เป็นเพียงหนึ่งในนั้น

เมื่อทำการทดสอบผลิตภัณฑ์หนึ่ง ความล้มเหลวเกิดขึ้นหนึ่งรายการ ความน่าจะเป็นของการทำงานโดยปราศจากความล้มเหลวของผลิตภัณฑ์คืออะไร?

ทฤษฎีบท. ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดน่าสนใจ

การพิสูจน์. สมมติว่าตรงกันข้าม จากนั้นจะต้องมีสิ่งที่ไม่น่าสนใจน้อยที่สุด จำนวนธรรมชาติ. ฮ่า น่าสนใจชะมัด!

26. เลขคณิตที่สูงขึ้น

1 + 1 = 3 เมื่อค่า 1 มากเพียงพอ

27. สูตรไอน์สไตน์-พีทาโกรัส

E \u003d mc 2 \u003d m (a 2 + b 2)

28. เกี่ยวกับประโยชน์ของ theorver

เรื่องตลกนี้จากฉัน ชีวิตนักศึกษาค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเสนอในงานสัมมนาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น

ในฤดูร้อน ฉันกับเพื่อนไปเดินป่าบนภูเขา มีพวกเราสี่คน: Volodya, Olegs สองคนและฉัน เรามีเต็นท์และถุงนอนสามใบ หนึ่งในนั้นเป็นเตียงคู่สำหรับฉันและโวโลเดีย ด้วยถุงนอนขนาดใหญ่เหล่านี้หรือมากกว่าที่ตั้งในเต็นท์ การผูกปมจึงออกมา ความจริงก็คือฝนตก เต็นท์คับแคบ น้ำรั่วจากด้านข้าง และผู้นอนบนขอบไม่สบายมาก ดังนั้นฉันจึงเสนอที่จะแก้ปัญหานี้อย่าง "ยุติธรรม" ด้วยความช่วยเหลือมากมาย

ดูสิ - ฉันพูดกับ Olegs - คู่ของเรากับ Volodya สามารถอยู่ริมหรือตรงกลางก็ได้ ดังนั้นเราจะโยนเหรียญ: หาก "นกอินทรี" ตกลงมา คู่ของเราจะอยู่ที่ขอบ หาก "หาง" จะอยู่ตรงกลาง

Olegs เห็นด้วย แต่หลังจากนั้นไม่กี่คืนบนขอบ (สูตรคำนวณได้ง่าย ความน่าจะเป็นอย่างเต็มที่สำหรับเราแต่ละคนกับ Volodya ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้นอนที่ขอบเต็นท์คือ 0.75) Olegs สงสัยว่ามีบางอย่างผิดปกติและเสนอให้แก้ไขสัญญา

แน่นอน - ฉันพูดว่า - โอกาสไม่เท่ากัน ในความเป็นจริง มีความเป็นไปได้สามอย่างสำหรับดับเบิ้ลของเรา: จากขอบด้านซ้าย จากด้านขวา และตรงกลาง ดังนั้นทุกเย็นเราจะดึงไม้อันใดอันหนึ่งจากสามอัน - หากดึงอันสั้นออกมาไม้คู่ของเราจะอยู่ตรงกลาง

Olegs เห็นด้วยอีกครั้งแม้ว่าคราวนี้โอกาสของเราที่จะไม่ค้างคืน (ตอนนี้ความน่าจะเป็นคือ 0.66 หรือแม่นยำกว่านั้นคือสองในสาม) เป็นที่นิยมสำหรับแต่ละคน หลังจากค้างคืนสองคืน (เรามีโอกาสที่ดีที่สุดและโชคเข้าข้าง) Oleg ตระหนักอีกครั้งว่าพวกเขาถูกโกง แต่โชคดีที่ฝนหยุดตกและปัญหาก็หายไปเอง

แต่ในความเป็นจริงคู่ของเราควรอยู่บนขอบเสมอและ Volodya และฉันจะตัดสินด้วยความช่วยเหลือของเหรียญทุกครั้งที่ใครโชคดี Olegs จะทำเช่นเดียวกัน ในกรณีนี้ โอกาสในการนอนบนขอบจะเท่ากันสำหรับทุกคน และเท่ากับ 0.5

หมายเหตุ:

บางครั้งก็เล่าเรื่องที่คล้ายกันเกี่ยวกับ Jean Charles Francois Sturm

หน้านี้มีสูตรทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการผ่านการควบคุมและ งานอิสระข้อสอบในพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ เรขาคณิตทึบ และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์

ที่นี่คุณสามารถดาวน์โหลดหรือดูออนไลน์ได้ทั้งหมด สูตรตรีโกณมิติสูตรพื้นที่วงกลม สูตรคูณย่อ สูตรเส้นรอบวง สูตรลด และอื่นๆอีกมากมาย

คุณยังสามารถพิมพ์คอลเลคชันสูตรทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นได้อีกด้วย

ประสบความสำเร็จในการเรียน!

สูตรเลขคณิต:

สูตรพีชคณิต:

สูตรทางเรขาคณิต:

สูตรเลขคณิต:

กฎของการดำเนินการกับตัวเลข

กฎการสลับที่ของการบวก: ก + ข = ข + ก.

กฎหมายที่เกี่ยวข้องของการบวก: (ก + ข) + ค = ก + (ข + ค).

กฎการสลับที่ของการคูณ: ab = บา

กฎการเชื่อมโยงของการคูณ: (ab)c = a(bc).

กฎการกระจายของการคูณเกี่ยวกับการบวก: (a + b)c = ac + bc.

กฎการกระจายของการคูณเกี่ยวกับการลบ: (a - b)c \u003d ac - bc

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และตัวย่อ:

สัญญาณของการหาร

สัญญาณของการหารด้วย "2"

จำนวนที่หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษเหลือเรียกว่า สม่ำเสมอ, ไม่หาร - แปลก. ตัวเลขหารด้วย "2" โดยไม่มีเศษเหลือ ถ้าหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่ (2, 4, 6, 8) หรือศูนย์

สัญญาณของการหารด้วย "4"

ตัวเลขหารด้วย "4" โดยไม่มีเศษเหลือ หากตัวเลขสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์ หรือตัวเลขที่หารด้วย "4" โดยไม่มีเศษเหลืออยู่ในรูปผลรวม

สัญญาณของการหารด้วย "8"

ตัวเลขหารด้วย "8" โดยไม่มีเศษ ถ้าตัวเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์ หรือตัวเลขที่หารด้วย "8" ลงตัวโดยไม่มีเศษ (ตัวอย่าง: 1,000 - ตัวเลขสามหลักสุดท้ายคือ "00" และการหาร 1,000 ด้วย 8 จะได้ 125 104 - ตัวเลขสองหลักสุดท้ายของ "12" หารด้วย 4 และเมื่อหาร 112 ด้วย 4 จะได้ 28 เป็นต้น)

สัญญาณของการหารด้วย "3" และ "9"

หากไม่มีเศษเหลือ เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย "3" ซึ่งผลรวมของตัวเลขจะหารโดยไม่มีเศษด้วย "3"; ด้วย "9" - เฉพาะตัวเลขที่ผลรวมของตัวเลขหารได้โดยไม่มีเศษเหลือด้วย "9"

สัญญาณของการหารด้วย "5"

หากไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขจะถูกหารด้วย "5" ซึ่งหลักสุดท้ายคือ "0" หรือ "5"

สัญญาณของการหารด้วย "25"

หากไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขจะถูกหารด้วย "25" ตัวเลขสองหลักสุดท้ายที่เป็นศูนย์หรือในรูปผลรวมเป็นตัวเลขที่หารด้วย "25" โดยไม่มีเศษเหลือ (เช่น ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย "00", "25", "50" ", "75 »

สัญญาณของการหารด้วย "10", "100" และ "1,000"

หากไม่มีเศษเหลือ เฉพาะตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายเป็นศูนย์เท่านั้นที่หารด้วย "10" เฉพาะตัวเลขที่มีเลขสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์เท่านั้นที่หารด้วย "100" เฉพาะตัวเลขที่มีเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์เท่านั้นที่หารด้วย "1000"

สัญญาณของการหารด้วย "11"

หากไม่มีเศษเหลือ เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย "11" ซึ่งผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งคี่จะเท่ากับผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งคู่ หรือแตกต่างจากจำนวนที่หารด้วย "11" ลงตัว

ค่าสัมบูรณ์ - สูตร (โมดูลัส)

|ก| ? 0, และ |ก| = 0 ก็ต่อเมื่อ a = 0; |-ก|=|ก| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|ก|/|b|, แล้วบีล่ะ? 0; |a+b|?|a|+|b| |ก-ข|?|ก|-|ข|

สูตรการกระทำที่มีเศษส่วน

สูตรการแปลงเศษส่วนทศนิยมจำกัดให้เป็นเศษส่วนตรรกยะ:

สัดส่วน

อัตราส่วนที่เท่ากันสองรูปแบบ สัดส่วน:

คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน

การหาเงื่อนไขของสัดส่วน

สัดส่วน, เทียบเท่า สัดส่วน : อนุพันธ์ สัดส่วน- ผลที่ตามมาของสิ่งนี้ สัดส่วนเช่น

ค่าเฉลี่ย

เฉลี่ย

สองขนาด: นค่า:

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (ค่าเฉลี่ยตามสัดส่วน)

สองขนาด: นค่า:

ร.ฟ.ท

สองขนาด: นค่า:

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

สองขนาด: นค่า:

อนุกรมจำนวนจำกัด

คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

1) ถ้า ก< b แล้วสำหรับใด ๆ ค: เอ + ค< b + с .

2) ถ้า ก< b และ ค > 0, แล้ว เช่น< bс .

3) ถ้า ก< b และ ค< 0 , แล้ว ac > bc.

4) ถ้า ก< b , กและ ขสัญญาณหนึ่งแล้ว 1/ก > 1/ข.

5) ถ้า ก< b และ ค< d , แล้ว เอ + ค< b + d , เอ - ดี< b — c .

6) ถ้า ก< b , ค< d , ก > 0, ข > 0, ค > 0, ง > 0, แล้ว ไฟฟ้ากระแสสลับ< bd .

7) ถ้า ก< b , ก > 0, ข > 0, แล้ว

8) ถ้า แล้ว

• สูตรความก้าวหน้า:

• 

• อนุพันธ์

• ลอการิทึม:
• พิกัดและเวกเตอร์

  1. ระยะห่างระหว่างจุด A1(x1;y1) และ A2(x2;y2) พบได้จากสูตร:

  2. พิกัด (x;y) ตรงกลางของส่วนที่สิ้นสุด A1(x1;y1) และ A2(x2;y2) พบได้จากสูตร:

  

  3. สมการเส้นตรงกับ ปัจจัยความชันและกำหนดเบื้องต้นคือ

  ความชัน k คือค่าของเส้นสัมผัสของมุมที่เกิดจากเส้นตรงกับทิศทางบวกของแกน Ox และพิกัดเริ่มต้น q คือค่าของพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงกับแกน Oy

  4. สมการทั่วไปเส้นตรงมีรูปแบบ: ax + by + c = 0

  5. สมการเส้นตรงที่ขนานแกน Oy และ Ox ตามลำดับ มีรูปแบบดังนี้

  ขวาน + โดย + c = 0

  6. เงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของเส้น y1=kx1+q1 และ y2=kx2+q2 ตามลำดับ มีรูปแบบดังนี้

  

  7. สมการของวงกลมที่มีรัศมี R และมีจุดศูนย์กลางตามลำดับที่จุด O(0;0) และ C(xo;yo) มีรูปแบบดังนี้

  8. สมการ:

  คือสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด ณ จุดที่มี abscissa

• สี่เหลี่ยมผืนผ้า ระบบคาร์ทีเซียนพิกัดในอวกาศ

  1. ระยะห่างระหว่างจุด A1(x1;y1;z1) และ A2(x2;y2;z2) พบได้จากสูตร:

  2. พิกัด (x;y;z) ตรงกลางของส่วนที่สิ้นสุด A1(x1;y1;z1) และ A2(x2;y2;z2) พบได้จากสูตร:

  3. โมดูลัสของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดนั้นพบได้จากสูตร:

  

  4. เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดที่เกี่ยวข้องจะถูกเพิ่ม และเมื่อเวกเตอร์คูณด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้ เช่น สูตรถูกต้อง:

  5. เวกเตอร์หน่วยทิศทางร่วมกับเวกเตอร์พบได้จากสูตร:

  6. ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์คือตัวเลข:

  

  มุมระหว่างเวกเตอร์อยู่ที่ไหน

  7. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์

  

  8. โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์และพบได้จากสูตร:

  9. จำเป็นและ เงื่อนไขเพียงพอตั้งฉากของเวกเตอร์และมีรูปแบบ:

  10. สมการทั่วไปของระนาบ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดูเหมือน:

  ขวาน + โดย + cz + d = 0

  11. สมการของระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์และผ่านจุด (xo; yo; zo) มีรูปแบบ:

  ก(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

  12. สมการของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O(0;0;0) เขียนเป็น

การศึกษาคือสิ่งที่ยังคงอยู่หลังจากลืมทุกอย่างที่เคยสอนในโรงเรียน

Igor Khmelinsky นักวิทยาศาสตร์จากโนโวซีบีร์สค์ซึ่งปัจจุบันทำงานในโปรตุเกส พิสูจน์ได้ว่าหากไม่มีการท่องจำข้อความและสูตรโดยตรง การพัฒนาความจำเชิงนามธรรมในเด็กเป็นเรื่องยาก นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากบทความของเขาบทเรียน การปฏิรูปการศึกษาในยุโรปและประเทศของอดีตสหภาพโซเวียต"

เรียนรู้ด้วยหัวใจและความจำระยะยาว

การไม่รู้สูตรคูณมีผลร้ายแรงมากกว่าการไม่สามารถตรวจพบข้อผิดพลาดในการคำนวณบนเครื่องคิดเลข หน่วยความจำระยะยาวของเราทำงานบนหลักการของฐานข้อมูลที่เชื่อมโยง กล่าวคือ เมื่อจดจำแล้วองค์ประกอบบางอย่างของข้อมูลจะเชื่อมโยงกับองค์ประกอบอื่นๆ ตามการเชื่อมโยงที่จัดตั้งขึ้นในเวลาที่ทำความรู้จักกับพวกเขา ดังนั้นเพื่อเป็นฐานความรู้ในด้านใด สาขาวิชาตัวอย่างเช่น ในวิชาเลขคณิต ก่อนอื่นคุณต้องเรียนรู้บางสิ่งด้วยใจเป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ ข้อมูลที่เข้ามาใหม่จะมาจาก หน่วยความจำระยะสั้นในระยะยาว หากภายในระยะเวลาสั้นๆ (หลายวัน) เราพบหลายครั้ง และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน (ซึ่งก่อให้เกิดการสร้างความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์) อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ไม่มีความรู้จากเลขคณิตในหน่วยความจำถาวร องค์ประกอบของข้อมูลที่มาใหม่จะสัมพันธ์กับองค์ประกอบที่ไม่เกี่ยวข้องกับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น บุคลิกภาพของครู สภาพอากาศบนท้องถนน เป็นต้น เห็นได้ชัดว่าการท่องจำดังกล่าวจะไม่ก่อให้เกิดประโยชน์ที่แท้จริงแก่นักเรียน - เนื่องจากการเชื่อมโยงนำออกจากสาขาวิชานี้ นักเรียนจะไม่สามารถจำความรู้ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตได้ ยกเว้นความคิดที่คลุมเครือซึ่งดูเหมือนว่าเขาน่าจะมีบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้ เคยได้ยิน. สำหรับนักเรียนดังกล่าว มักจะมีบทบาทในการเชื่อมโยงที่ขาดหายไป ชนิดที่แตกต่างคำแนะนำ - คัดลอกจากเพื่อนร่วมงาน ใช้คำถามนำในตัวควบคุม สูตรจากรายการสูตรที่อนุญาตให้ใช้ ฯลฯ ที่ ชีวิตจริงบุคคลดังกล่าวกลายเป็นคนไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์และไม่สามารถใช้ความรู้ที่อยู่ในหัวของเขา

รูปแบบ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่จำสูตรไม่ได้จะช้ากว่าอย่างอื่น ทำไม ประการแรก คุณสมบัติใหม่ ทฤษฎีบท ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์มักจะใช้คุณสมบัติบางอย่างของสูตรและแนวคิดที่ศึกษาก่อนหน้านี้ จะเป็นการยากขึ้นในการมุ่งความสนใจของนักเรียนไปที่เนื้อหาใหม่ๆ หากไม่สามารถเรียกคืนคุณลักษณะเหล่านี้จากหน่วยความจำในช่วงเวลาสั้นๆ ประการที่สอง ความไม่รู้สูตรด้วยหัวใจเป็นอุปสรรคต่อการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาที่มีความหมายด้วย ปริมาณมากการดำเนินการขนาดเล็ก ซึ่งไม่เพียงต้องการดำเนินการเปลี่ยนแปลงบางอย่างเท่านั้น แต่ยังต้องระบุลำดับของการเคลื่อนไหวเหล่านี้ด้วย การวิเคราะห์การประยุกต์ใช้สูตรต่างๆ ล่วงหน้าสองหรือสามขั้นตอน

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าปัญญาและ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์เด็ก การก่อตัวของฐานความรู้และทักษะของเขาจะเกิดขึ้นเร็วกว่ามากหาก ส่วนใหญ่ของข้อมูลที่ใช้ (คุณสมบัติและสูตร) ​​อยู่ในหัว และยิ่งมีความแข็งแกร่งและนานเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น

มากที่สุดแห่งหนึ่ง ประเภทที่ซับซ้อน set เป็นชุดของสูตรทางคณิตศาสตร์ สูตรเป็นข้อความที่รวมแบบอักษรในภาษารัสเซีย ละติน และกรีก ตัวตรงและตัวเอียง ตัวเบา ตัวหนา และตัวหนา จำนวนมากเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์และอื่น ๆ ดัชนีที่บรรทัดบนและล่างของแบบอักษรและอักขระขนาดใหญ่ต่างๆ ช่วงของแบบอักษรสำหรับพิมพ์สูตรมีอักขระอย่างน้อย 2,000 ตัว ตารางอักขระใน WORD-98 มีอักขระ 1148 ตัว

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างชุดสูตรกับชุดประเภทอื่นๆ ทั้งหมดคือชุดของสูตรในรูปแบบคลาสสิกนั้นไม่ได้สร้างเป็นเส้นคู่ขนาน แต่ใช้พื้นที่บางส่วนของพื้นที่แถบ

สูตร- นิพจน์ทางคณิตศาสตร์หรือเคมีซึ่งด้วยความช่วยเหลือของตัวเลข สัญลักษณ์ และอักขระพิเศษ ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณบางอย่างจะแสดงในรูปแบบเงื่อนไข

ตัวเลข- เครื่องหมายที่แสดงหรือแสดงตัวเลข (ปริมาณ) ตัวเลขเป็นภาษาอารบิกและโรมัน

เลขอารบิค: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 เลขอารบิกเปลี่ยนความหมายโดยขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่อยู่ในชุดอักขระดิจิทัล เลขอารบิกแบ่งออกเป็นสองชั้น - หน่วยที่ 1, สิบ, ร้อย; อันดับ 2 หลักพัน หลักหมื่น หลักแสน ฯลฯ

เลขโรมัน. มีอักขระดิจิทัลพื้นฐานเจ็ดตัว: I - หนึ่ง, V - ห้า, X - สิบ, L - ห้าสิบ, C - หนึ่งร้อย, D - ห้าร้อย, M - หนึ่งพัน เลขโรมันมีค่าคงที่ ดังนั้นจะได้ตัวเลขโดยการเพิ่มหรือลบอักขระดิจิทัล ตัวอย่างเช่น: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 \u003d XXXIX (10 + 10 -1 + 10); 150=ซีแอล(100+50); 200 = SS (100 + 100); 2523 = MDCCCLXXX (1,000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10); 2545 = MMII (1,000 + 1,000 + 1 + 1)

เลขโรมันมักจะแสดงถึงศตวรรษ (ศตวรรษที่ XV1) จำนวนเล่ม (เล่มที่ IX) ตอน (บทที่ VII) ส่วน (ตอนที่ II) เป็นต้น

สัญลักษณ์ - การแสดงออกตามตัวอักษรซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสูตร (ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์: l - ความยาว, λ - อัตราความล้มเหลว (การหดตัว), π - อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ฯลฯ สัญลักษณ์ทางเคมี: อัล - อะลูมิเนียม, Pb - ตะกั่ว, H - ไฮโดรเจน เป็นต้น)

อัตราต่อรอง- ตัวเลขก่อนสัญลักษณ์ เช่น 2H 2 O 4 ซิงก์ สัญลักษณ์และตัวเลขมักมีดัชนีตัวยก (บรรทัดบน) และตัวห้อย (บรรทัดล่าง) ซึ่งอธิบายความหมายของดัชนี (ตัวอย่างเช่น λ c - การหดตัวเชิงเส้น, G T - มวลทางทฤษฎีการหล่อ, C f - มวลที่แท้จริงของการหล่อ); หรือระบุการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (เช่น x 2, y 3, z -2 เป็นต้น) หรือบอกจำนวนอะตอมในโมเลกุลและจำนวนประจุไอออนใน สูตรเคมี(ตัวอย่างเช่น CH 4) ในสูตรยังมีดัชนีเป็นดัชนี: ตัวยกถึงตัวยก - ตัวยก ซูพรีนเดกซ์, ตัวห้อยเป็นตัวยก - ตัวยก ดัชนีย่อย, ตัวยกถึงตัวห้อย - ตัวห้อยตัวล่างและตัวห้อยเป็นตัวห้อย - ตัวห้อยตัวล่าง

เครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และอัตราส่วน - การบวก "+", การลบ "-", ความเสมอภาค "=", การคูณ "x"; การดำเนินการหารจะถูกระบุโดยไม้บรรทัดแนวนอน ซึ่งจะเรียกว่าเศษส่วนหรือไม้บรรทัดหาร

(9.12)

สายหลัก- เส้นที่วางสัญญาณหลักของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และอัตราส่วน

การจำแนกสูตร.

สูตรทางคณิตศาสตร์ถูกแบ่งตามความซับซ้อนของชุด โดยขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของสูตร (บรรทัดเดียว สองบรรทัด หลายบรรทัด) และความอิ่มตัวของมันด้วยเครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ดัชนี ดัชนีย่อย ดัชนีเหนือ และ ต่อท้าย ตามความซับซ้อนของชุดสูตรทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่กลุ่มหลักตามเงื่อนไขและอีกหนึ่งกลุ่มเพิ่มเติม:

1 กลุ่ม สูตรบรรทัดเดียว (9.13-9.16);

2 กลุ่ม สูตรสองบรรทัด (9.17-9.19) ในความเป็นจริง f-ly เหล่านี้ประกอบด้วย 3 บรรทัด;

กลุ่มที่ 3 สูตรสามบรรทัด (9.20-9.23) ในความเป็นจริง f-ly เหล่านี้ประกอบด้วย 5 บรรทัด;

4 กลุ่ม สูตรหลายบรรทัด (9.24-9.26);

กลุ่มเพิ่มเติม (9.27-9.29)

เมื่อจัดสรรสูตรลงในกลุ่มความซับซ้อน ความซับซ้อนของการพิมพ์และเวลาที่ใช้ในการพิมพ์จะถูกนำมาพิจารณาด้วย

กลุ่มที่สอง สูตรสองบรรทัด:

(9.29)

กฎสำหรับการพิมพ์สูตรทางคณิตศาสตร์.

เมื่อพิมพ์ข้อความทางคณิตศาสตร์ ต้องปฏิบัติตามกฎพื้นฐานต่อไปนี้

หมุน ตัวเลขในสูตรประเภทโรมัน เป็นต้น 2ขวาน; สวนสัตว์.

คำศัพท์ทางตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์แบบย่อ, ตัวอย่างเช่น บาป, cos, tg, ctg, อาร์คซิน อิ๊ก, ลิมฯลฯ ให้พิมพ์เป็นตัวอักษร ตัวอักษรละตินโครงร่างแสงตรง

คำย่อในดัชนีพิมพ์อักษรโรมันรัสเซียที่บรรทัดล่างสุด

ตัวย่อสำหรับหน่วยทางกายภาพ เมตริก และวิศวกรรม, ระบุด้วยตัวอักษรของพยัญชนะรัสเซีย เช่น พิมพ์ข้อความแบบธรรมดาโดยไม่มีจุด เป็นต้น 127 โวลต์ 20 กิโลวัตต์. ชื่อเดียวกันที่ระบุด้วยตัวอักษรละตินก็ควรพิมพ์เป็นอักษรโรมันโดยไม่มีจุดเช่นกัน 120 โวลต์ 20 กิโลวัตต์เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในต้นฉบับ

สัญลักษณ์ (หรือตัวเลขและสัญลักษณ์) ต่อจากกันโดยไม่คั่นด้วยอักขระใดๆ เช่น หมุนหมายเลขโดยไม่เว้นวรรค 2xy; 4 ปี.

เครื่องหมายวรรคตอนในสูตร ให้พิมพ์แบบอักษรแบบ light light โดยตรง เครื่องหมายจุลภาคภายในสูตรควรแยกออกจากองค์ประกอบถัดไปของสูตรโดย 3 น.; เครื่องหมายจุลภาคไม่ได้แยกออกจากองค์ประกอบก่อนหน้าของสูตร จากตัวห้อยก่อนหน้า เครื่องหมายจุลภาคจะถูกตีออกโดย 1 หน้า.

จุดไข่ปลาที่บรรทัดล่าง หน้าปัดมีจุด แบ่งออกเป็นหมุดครึ่ง จากองค์ประกอบก่อนหน้าและที่ตามมาของสูตร แต้มควรถูกตีด้วยครึ่งพิน เช่น:

(9.30)

สัญลักษณ์(หรือตัวเลขและสัญลักษณ์) ตามหลัง ไม่ต้องแยก แต่พิมพ์โดยไม่เว้นวรรค

เครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และอัตราส่วน ตลอดจนสัญลักษณ์ของรูปเรขาคณิต, เช่น, = ,< ,> , + , - เอาชนะจากองค์ประกอบก่อนหน้าและที่ตามมาของสูตร 2 หน้า

คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์แบบย่อชนะจากองค์ประกอบก่อนหน้าและที่ตามมาของสูตร 2 หน้า

เลขชี้กำลังให้พิมพ์ตามหลังคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ทันที พิมพ์ใกล้ๆ แล้วแยกตามหลังเลขชี้กำลัง

จดหมาย "d" (หมายถึง "ส่วนต่าง"), δ (ในความหมายของ "อนุพันธ์บางส่วน") และ ∆ (ในความหมายของ "ส่วนเพิ่ม") เอาชนะองค์ประกอบก่อนหน้าของสูตร 2 p. จากสัญลักษณ์ถัดไป เครื่องหมายที่ระบุอย่าต่อสู้กลับ

ชื่อย่อของหน่วยการวัดทางกายภาพและทางเทคนิคและ มาตรการเมตริก ในสูตรเอาชนะ 3 คะแนนจากตัวเลขและสัญลักษณ์ที่พวกเขาอ้างถึง

สัญญาณ ° , " , " ชนะจากอักขระถัดไป (หรือตัวเลข) 2 จุด อักขระที่ระบุจะไม่ชนะจากอักขระก่อนหน้า

เครื่องหมายวรรคตอนตามสูตรอย่าเพิ่งกำจัดมัน

แถวของการไหลออกในสูตรจะพิมพ์เป็นจุดโดยใช้หมุดครึ่งระหว่าง

สูตรที่พิมพ์ในส่วนที่เลือกด้วยข้อความ เอาชนะข้อความกึ่งพินก่อนหน้าและถัดไป ช่องว่างภายในนี้ไม่ลดลง แต่เพิ่มขึ้นเมื่อปิดบรรทัด ปิดสูตรที่ตามหลังสูตรอื่นในส่วนที่เลือกด้วยข้อความ

หลายสูตรวางไว้ในบรรทัดเดียว ปิดตรงกลาง เอาชนะกันด้วยช่องว่างไม่น้อยกว่าพินและไม่เกิน 1/2 ตาราง

สูตรคำอธิบายขนาดเล็กที่พิมพ์ในบรรทัดเดียวกันกับสูตรหลัก ควรปิดไปทางขอบด้านขวาของบรรทัด หรือปิดด้วยหมุดสองตัวจากนิพจน์หลัก (เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในต้นฉบับ)

หมายเลขลำดับสูตร ให้พิมพ์ตัวเลขขนาดเดียวกับสูตรบรรทัดเดียว แล้วปิดไปทางขวา เช่น

X+Y=2 (9.31)

หากสูตรไม่พอดีกับรูปแบบเส้น และไม่สามารถถ่ายโอนได้ ให้พิมพ์ในขนาดที่เล็กลง

การใส่ยัติภังค์ในสูตรเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนา เพื่อหลีกเลี่ยงการใส่ยัติภังค์ อนุญาตให้ลดช่องว่างระหว่างองค์ประกอบของสูตรได้ หากการลดช่องว่างทำให้ไม่สามารถนำสูตรไปใช้รูปแบบบรรทัดที่ต้องการได้ จะอนุญาตให้ใช้ยัติภังค์ได้:

1) บนสัญญาณของความสัมพันธ์ระหว่างด้านซ้ายและ ส่วนที่ถูกต้องสูตร ( = ,>,< );

2) สัญญาณของการบวกหรือการลบ (+, - );

3) บนเครื่องหมายของการคูณ (x) ในกรณีนี้ บรรทัดถัดไปจะขึ้นต้นด้วยเครื่องหมายที่สูตรสิ้นสุดในบรรทัดก่อนหน้า เมื่อถ่ายโอนสูตร จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าส่วนที่ถ่ายโอนนั้นมีขนาดไม่เล็กมาก นิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์ของราก ปริพันธ์ และผลรวมจะไม่ขาด ไม่อนุญาตให้มีการหารดัชนี เลขยกกำลัง เศษส่วน

ในสูตรที่มีลำดับเลข หมายเลขของสูตร ในกรณีที่มีการถ่ายโอน จะอยู่ที่ระดับเส้นกลางของส่วนที่ถ่ายโอนของสูตร หากหมายเลขซีเรียลไม่พอดีกับบรรทัด จะถูกวางไว้ในบรรทัดถัดไปและปิดไปที่ขอบด้านขวา สูตร ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่พอดีกับรูปแบบชุดที่ระบุ จะพิมพ์ด้วยแบบอักษรขนาดเล็กกว่า หรือในแบบอักษรขนาดเดียวกัน แต่ใส่เครื่องหมายยัติภังค์ในสองบรรทัด

หากในระหว่างการถ่ายโอนสูตรไม้บรรทัดหารหรือไม้บรรทัดรูตหักตำแหน่งที่แตกของแต่ละไม้บรรทัดจะถูกระบุด้วยลูกศร

ห้ามวางลูกศรใกล้กับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

โดยไม่ต้องกังวลใจอีกต่อไป นี่คือ:

โดยปกติจะเรียกว่าอัตลักษณ์ออยเลอร์ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้ยิ่งใหญ่ ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707-1783) สามารถเห็นได้บนเสื้อยืดและแก้วกาแฟ และแบบสำรวจหลายรายการในหมู่นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ได้ยกย่องสมการนี้ด้วยชื่อ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุด" (Crease, Robert P., "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา")

ความรู้สึกของความงามและความสง่างามของตัวตนมาจากความจริงที่ว่ามันรวมห้ารูปแบบที่เรียบง่ายที่สุด ตัวเลขที่สำคัญค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์: - ฐาน ลอการิทึมธรรมชาติ, — รากที่สองจาก และ . เมื่อพิจารณาอย่างรอบคอบแล้ว คนส่วนใหญ่มักนึกถึงเลขชี้กำลัง การเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นพลังจินตภาพหมายความว่าอย่างไร อดทน อดทน เราจะไปถึงที่นั่น

เพื่ออธิบายว่าสูตรนี้มาจากไหน ก่อนอื่นเราต้องได้สูตรทั่วไปที่ออยเลอร์ค้นพบ จากนั้นจึงแสดงว่าความเท่าเทียมกันของเราเป็นเพียงกรณีพิเศษของสูตรนี้ สูตรทั่วไปที่น่าทึ่งในตัวเองและมีการประยุกต์ที่ยอดเยี่ยมมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์

ขั้นตอนแรกในการเดินทางของเราคือการเข้าใจว่าฟังก์ชันส่วนใหญ่ในคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น ผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยอำนาจแห่งการโต้เถียง. นั่นคือตัวอย่าง:

หน่วยวัดเป็นเรเดียน ไม่ใช่องศา เราสามารถหาค่าประมาณที่ดีสำหรับค่าใดค่าหนึ่ง โดยใช้เพียงพจน์สองสามพจน์แรกของอนุกรม นี่คือตัวอย่างของอนุกรม Taylor และการหาสูตรนี้โดยใช้แคลคูลัสค่อนข้างง่าย ที่นี่ฉันไม่ถือว่าเป็นความรู้ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงขอให้ท่านผู้อ่านเชื่อตามนั้น

สูตรที่เกี่ยวข้องสำหรับโคไซน์คือ:

จำนวนเป็นค่าคงที่เท่ากับ และออยเลอร์เป็นคนแรกที่ตระหนักถึงความสำคัญพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ และอนุมานได้จากสูตรสุดท้าย (สองสูตรก่อนหน้านี้ถูกค้นพบโดยไอแซก นิวตัน) หนังสือเขียนเกี่ยวกับตัวเลข (เช่น Maor, E. (1994) e เรื่องราวของตัวเลข มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันกด) คุณยังสามารถอ่านเกี่ยวกับเขา

ประมาณปี ค.ศ. 1740 ออยเลอร์พิจารณาสูตรทั้งสามนี้ โดยจัดเรียงคร่าวๆ ตามที่เราเห็นที่นี่ เป็นที่ชัดเจนในทันทีว่าแต่ละคำในสูตรที่สามจะปรากฏในสูตรก่อนหน้าด้วย อย่างไรก็ตาม ครึ่งหนึ่งของเทอมแรกในการเท่ากันเป็นค่าลบ ในขณะที่ทุกเทอมในเทอมสุดท้ายเป็นค่าบวก คนส่วนใหญ่จะปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น แต่ออยเลอร์เห็นรูปแบบในทั้งหมด เขาเป็นคนแรกที่เพิ่มสองสูตรแรก:

ให้ความสนใจกับลำดับของอักขระในซีรีส์นี้: มันถูกทำซ้ำในกลุ่ม 4 ตัว ออยเลอร์สังเกตเห็นว่าอักขระในลำดับเดียวกันจะได้รับเมื่อเราเพิ่มหน่วยจินตภาพเป็นจำนวนเต็ม:

ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถแทนที่ในสูตรสุดท้ายด้วยและรับ:

ตอนนี้เครื่องหมายสอดคล้องกับเครื่องหมายในสูตรก่อนหน้า และชุดข้อมูลใหม่จะเหมือนกับชุดก่อนหน้า ยกเว้นว่าเงื่อนไขการขยายจะคูณด้วย นั่นคือเราได้รับอย่างแน่นอน

นี่เป็นผลลัพธ์ที่น่าทึ่งและลึกลับ มันบ่งบอกถึงการมีอยู่ของความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างจำนวนกับไซน์และโคไซน์ในตรีโกณมิติ แม้ว่าจะรู้ได้จากปัญหาที่ไม่เกี่ยวกับเรขาคณิตหรือสามเหลี่ยมเท่านั้น นอกเหนือจากความสง่างามและความแปลกประหลาดแล้ว ยังเป็นการยากที่จะประเมินค่าความสำคัญของสูตรนี้ในทางคณิตศาสตร์สูงเกินไป ซึ่งเพิ่มขึ้นตั้งแต่มีการค้นพบ ปรากฏอยู่ทุกหนทุกแห่ง และเมื่อเร็ว ๆ นี้มีการตีพิมพ์หนังสือประมาณ 400 หน้า (Nahin P. Dr. Euler's Fabulous Formula, 2006) ซึ่งอธิบายถึงการใช้สูตรนี้บางส่วน

โปรดทราบว่าคำถามเก่าเกี่ยวกับเลขชี้กำลังจินตภาพได้รับการแก้ไขแล้ว หากต้องการเพิ่มพลังจินตภาพ เพียงใส่จำนวนจินตภาพในสูตรของออยเลอร์ หากฐานเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ จำเป็นต้องแก้ไขเพียงเล็กน้อยเท่านั้น