อสมการเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนและวิธีแก้ปัญหา การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

สมการเอกซ์โปเนนเชียลและอสมการคือสมการและอสมการเหล่านั้นซึ่งมีเลขชี้กำลังที่ไม่ทราบค่า

การแก้สมการเลขชี้กำลังมักจะมาจากการแก้สมการ a x \u003d a b โดยที่ a > 0, a ≠ 1, x เป็นสิ่งที่ไม่รู้ สมการนี้มีรากเดียว x \u003d b เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:

ทฤษฎีบท. ถ้า a > 0, a ≠ 1 และ a x 1 = a x 2 แล้ว x 1 = x 2

ให้เราพิสูจน์การยืนยันการพิจารณา

สมมติว่าความเท่าเทียมกัน x 1 = x 2 ไม่เป็นที่พอใจ นั่นคือ x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 จากนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y \u003d a x เพิ่มขึ้น ดังนั้นอสมการ a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >เอ x 2 ในทั้งสองกรณี เราได้รับความขัดแย้งกับเงื่อนไข a x 1 = a x 2

ลองพิจารณางานต่างๆ

แก้สมการ 4 ∙ 2 x = 1

วิธีการแก้.

เราเขียนสมการในรูปแบบ 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

ตอบ. x = -2.

แก้สมการ 2 3x ∙ 3 x = 576

วิธีการแก้.

ตั้งแต่ 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 สมการสามารถเขียนในรูปแบบ 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 หรือในรูปแบบ 24 x \u003d 24 2

จากตรงนี้เราจะได้ x = 2

ตอบ. x = 2.

แก้สมการ 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25

วิธีการแก้.

การคร่อมตัวประกอบร่วม 3 x - 2 ทางด้านซ้าย เราจะได้ 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25

ดังนั้น 3 x - 2 = 1 เช่น x - 2 = 0, x = 2

ตอบ. x = 2.

แก้สมการ 3 x = 7 x

วิธีการแก้.

เนื่องจาก 7 x ≠ 0 สมการสามารถเขียนเป็น 3 x / 7 x = 1 ดังนั้น (3/7) x = 1, x = 0

ตอบ. x = 0

แก้สมการ 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0

วิธีการแก้.

แทนที่ 3 x = a สมการที่กำหนดลดลงเป็นสมการกำลังสอง a 2 - 4a - 45 = 0

ในการแก้สมการนี้ เราพบรากของมัน: a 1 \u003d 9 และ 2 \u003d -5 โดยที่ 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5

สมการ 3 x \u003d 9 มีราก 2 และสมการ 3 x \u003d -5 ไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่สามารถรับค่าลบได้

ตอบ. x = 2.

วิธีการแก้ ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอกซ์โปเนนเชียลมักจะแก้ปัญหาอสมการ a x > a b หรือ a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ลองพิจารณางานบางอย่าง

แก้อสมการ 3 x< 81.

วิธีการแก้.

เราเขียนอสมการในรูปแบบ 3 x< 3 4 . Так как 3 >1 แล้วฟังก์ชัน y \u003d 3 x จะเพิ่มขึ้น

ดังนั้น สำหรับ x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

ดังนั้น สำหรับ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 เท่า< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

ตอบ. เอ็กซ์< 4.

แก้อสมการ 16 x +4 x - 2 > 0

วิธีการแก้.

แสดงว่า 4 x = t แล้วเราจะได้อสมการกำลังสอง t2 + t - 2 > 0

ความไม่เท่าเทียมกันนี้มีไว้สำหรับ t< -2 и при t > 1.

เนื่องจาก t = 4 x เราจึงได้สองอสมการ 4 x< -2, 4 х > 1.

อสมการแรกไม่มีคำตอบ เนื่องจาก 4 x > 0 สำหรับ x ∈ R ทั้งหมด

เราเขียนอสมการที่สองในรูปแบบ 4 x > 4 0 โดยที่ x > 0

ตอบ. x > 0

แก้สมการแบบกราฟิก (1/3) x = x - 2/3

วิธีการแก้.

1) ลองพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y \u003d (1/3) x และ y \u003d x - 2/3

2) จากตัวเลขของเรา เราสามารถสรุปได้ว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาตัดกันที่จุด abscissa x ≈ 1 การตรวจสอบพิสูจน์ว่า

x \u003d 1 - รากของสมการนี้:

(1/3) 1 = 1/3 และ 1 - 2/3 = 1/3.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบหนึ่งในรากของสมการแล้ว

3) ค้นหารากอื่นหรือพิสูจน์ว่าไม่มี ฟังก์ชัน (1/3) x กำลังลดลง และฟังก์ชัน y \u003d x - 2/3 กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นสำหรับ x > 1 ค่าของฟังก์ชันแรกจะน้อยกว่า 1/3 และค่าที่สองจะมากกว่า 1/3 ที่ x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 และ x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

ตอบ. x = 1.

โปรดทราบว่าจากการแก้ปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันตามมาว่าความไม่เท่าเทียมกัน (1/3) x > x – 2/3 เป็นที่พอใจสำหรับ x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

บน บทเรียนนี้เราจะพิจารณาอสมการเอกซ์โปเนนเชียลแบบต่างๆ และเรียนรู้วิธีแก้ไข โดยใช้วิธีการแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ง่ายที่สุด

1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

จำคำจำกัดความและ คุณสมบัติพื้นฐานฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่เป็นพื้นฐานของการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการทั้งหมด

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และนี่ x คือตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ y - ตัวแปรตาม, ฟังก์ชัน

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟแสดงเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง แสดงฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่ง แต่มากกว่าศูนย์ ตามลำดับ

เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก เพิ่มเมื่อ ลดลงเมื่อ

ฟังก์ชัน monotonic รับค่าแต่ละค่าด้วยค่าเดียวของอาร์กิวเมนต์

เมื่อ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะเพิ่มจากศูนย์ ไม่รวม เป็นบวกอินฟินิตี้ เช่น สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด เรามีฟังก์ชันเพิ่มค่าแบบโมโนโทนิก () ในทางตรงกันข้ามเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะลดลงจากอินฟินิตี้เป็นศูนย์ ซึ่งรวมถึง เช่น สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด เรามีฟังก์ชันการลดลงแบบโมโนโทนิก ()

2. อสมการเอกซ์โปเนนเชียลอย่างง่ายที่สุด เทคนิคการแก้โจทย์ ตัวอย่าง

เรานำเสนอวิธีการแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ง่ายที่สุด:

วิธีการแก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน

เปรียบเทียบตัวบ่งชี้โดยบันทึกหรือเปลี่ยนเป็น ป้ายตรงข้ามความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบของอสมการเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนตามกฎแล้วคือการลดลงของอสมการเอกซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด

ฐานของระดับมีค่ามากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายอสมการยังคงอยู่:

มาแปลงร่างกันเถอะ ด้านขวาตามคุณสมบัติของระดับ:

ฐานของดีกรีน้อยกว่าหนึ่งต้องกลับเครื่องหมายอสมการ:

สำหรับแนวทางแก้ไข ความไม่เท่าเทียมกันกำลังสองตัดสินใจที่เหมาะสม สมการกำลังสอง:

จากทฤษฎีบทของ Vieta เราพบราก:

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน:

เดาได้ง่ายว่าด้านขวาสามารถแสดงเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์:

ฐานของระดับมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

จำขั้นตอนการแก้อสมการดังกล่าว

พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน:

ค้นหาโดเมนของคำนิยาม:

เราพบรากของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชันมีรูทเดียว

เราแยกช่วงเวลาของความคงที่ของสัญญาณและกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา:

ข้าว. 2. ช่วงเวลาของความมั่นคงของสัญญาณ

เราก็เลยได้คำตอบ

ตอบ:

3. คำตอบของอสมการเอกซ์โปเนนเชียลทั่วไป

พิจารณาอสมการที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันแต่ฐานต่างกัน

หนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือสำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์นั้นต้องใช้อย่างเคร่งครัด ค่าบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแบ่งออกเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้ แบ่งอสมการที่กำหนดด้วยด้านขวา:

ฐานของระดับที่มากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะถูกรักษาไว้

เรามาอธิบายวิธีแก้ปัญหากัน:

รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันและ แน่นอนเมื่อมีการโต้แย้ง เหนือศูนย์, กราฟของฟังก์ชันสูงขึ้น, ฟังก์ชันนี้มีขนาดใหญ่ขึ้น เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นค่าลบ ฟังก์ชันจะผ่านไปด้านล่าง ซึ่งมีค่าน้อยกว่า เมื่อค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเท่ากันแล้ว จุดที่กำหนดยังเป็นวิธีแก้ปัญหาอสมการที่กำหนด

ข้าว. 3. ตัวอย่างภาพประกอบ 4

เราแปลงอสมการที่กำหนดตามคุณสมบัติของระดับ:

นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน:

แบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น:

ตอนนี้เรายังคงแก้ปัญหาคล้ายกับตัวอย่างที่ 4 เราแบ่งทั้งสองส่วนโดย:

ฐานของระดับที่มากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะถูกรักษาไว้:

4. การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเอกซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างที่ 6 - แก้อสมการแบบกราฟิก:

พิจารณาฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวา แล้ววาดแต่ละฟังก์ชัน

ฟังก์ชันเป็นเลขยกกำลัง ซึ่งเพิ่มขึ้นในโดเมนนิยามทั้งหมด นั่นคือสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันเป็นแบบเส้นตรง ลดลงตลอดโดเมนของคำนิยาม นั่นคือ สำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

หากฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน นั่นคือระบบมีโซลูชัน ดังนั้นโซลูชันดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันและสามารถเดาได้ง่าย ในการทำเช่นนี้ ให้วนซ้ำจำนวนเต็ม ()

มันง่ายที่จะเห็นว่ารากของระบบนี้คือ:

ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันจึงตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีอาร์กิวเมนต์เท่ากับหนึ่ง

ตอนนี้เราต้องได้รับคำตอบ ความหมายของอสมการที่กำหนดคือเลขชี้กำลังต้องมากกว่าหรือเท่ากับ ฟังก์ชันเชิงเส้นคือสูงกว่าหรือไล่เลี่ยกัน. คำตอบนั้นชัดเจน: (รูปที่ 6.4)

ข้าว. 4. ภาพประกอบตัวอย่าง 6

ดังนั้นเราจึงพิจารณาคำตอบของอสมการเอกซ์โพเนนเชียลทั่วไปต่างๆ ต่อไป เรามาดูการพิจารณาอสมการเอกซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อนมากขึ้น

บรรณานุกรม

Mordkovich A. G. พีชคณิตและจุดเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. - ม.: Mnemosyne. Muravin G. K. , Muravina O. V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: อีแร้ง. Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การตรัสรู้.

คณิตศาสตร์. นพ. การทำซ้ำทางคณิตศาสตร์ คอม ความแตกต่าง เคมซู รู

การบ้าน

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

3. แก้อสมการ

และ x = b เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด สมการเลขชี้กำลัง. ในตัวเขา กมากกว่าศูนย์และ กไม่เท่ากับหนึ่ง

คำตอบของสมการเลขชี้กำลัง

จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เราทราบว่าช่วงของค่าจำกัดเป็นค่าบวก จำนวนจริง. แล้วถ้า b = 0 แสดงว่าสมการไม่มีคำตอบ สถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในสมการโดยที่ b

ตอนนี้สมมติว่า b>0 ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ฐาน กมากกว่าหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลสำหรับฐาน กดำเนินการ เงื่อนไขต่อไป 0

จากสิ่งนี้และใช้ทฤษฎีบทรูต เราได้ว่าสมการ a x = b มีหนึ่งรูท สำหรับ b>0 และบวก กไม่ เท่ากับหนึ่ง. หากต้องการค้นหา คุณต้องแสดง b ในรูปแบบ b = a c
แล้วจะเห็นได้ชัดว่า กับจะเป็นคำตอบของสมการ a x = a c .

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ แก้สมการ 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25

ลองแทน 25 เป็น 5 2 เราได้รับ:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

หรือเทียบเท่า:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

เราแก้สมการกำลังสองที่เป็นผลลัพธ์ด้วยค่าใดค่าหนึ่ง วิธีการที่รู้จัก. เราได้สองราก x = 3 และ x = -1

คำตอบ: 3;-1.

มาแก้สมการ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 มาแทนกัน: t=2 x และรับสมการกำลังสองต่อไปนี้:

เสื้อ 2 - 5*เสื้อ + 4 = 0.
เราแก้สมการนี้ด้วยวิธีการใด ๆ ที่รู้จัก เราได้ราก t1 = 1 t2 = 4

ตอนนี้เราแก้สมการ 2 x = 1 และ 2 x = 4

คำตอบ: 0;2.

การแก้อสมการเอกซ์โปเนนเชียล

คำตอบของอสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ง่ายที่สุดยังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงอีกด้วย ถ้าในฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ฐาน a มากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้นตลอดโดเมนของนิยาม ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลสำหรับฐาน กเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0ฟังก์ชันนี้จะลดลงตามจำนวนจริงทั้งชุด

พิจารณาตัวอย่าง: แก้อสมการ (0.5) (7 - 3*x)< 4.

โปรดทราบว่า 4 = (0.5) 2 จากนั้นอสมการจะอยู่ในรูปแบบ (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

เราได้: 7 - 3*x>-2

จากที่นี่: x<3.

คำตอบ: x<3.

หากฐานมีค่ามากกว่า 1 ในอสมการ เมื่อกำจัดฐานแล้ว เครื่องหมายอสมการก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน