ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จตุรัส §7

เรียกเวกเตอร์ X ≠ 0 eigenvectorตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์ A ถ้ามีตัวเลข เช่นนั้น AX = X

ในกรณีนี้ จะมีการเรียกหมายเลข ` ค่าลักษณะเฉพาะตัวดำเนินการ (เมทริกซ์ A) ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ x

กล่าวอีกนัยหนึ่ง eigenvector คือเวกเตอร์ที่แปลงสภาพเป็นภายใต้การกระทำของตัวดำเนินการเชิงเส้น เวกเตอร์คอลลิเนียร์, เช่น. แค่คูณด้วยจำนวนหนึ่ง ไม่เหมือนเขาเลย เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะยากต่อการเปลี่ยนแปลง

ลองเขียนคำจำกัดความของ eigenvector ในรูปแบบของระบบสมการ:

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

ระบบหลังสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้

(A - ïE)X = O

ระบบผลลัพธ์จะมีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ X = O ระบบดังกล่าวซึ่งมีเงื่อนไขอิสระทั้งหมดเท่ากับศูนย์จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน- ถ้าเมทริกซ์ของระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อใช้สูตรของแครมเมอร์ เราจะได้คำตอบเฉพาะเสมอ นั่นคือศูนย์ สามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้เท่ากับศูนย์เท่านั้น เช่น

|ก - E| - = 0

สมการนี้เรียกว่าสมการที่ไม่ทราบค่า สมการลักษณะเฉพาะ(พหุนามลักษณะเฉพาะ) เมทริกซ์ A (ตัวดำเนินการเชิงเส้น)

สามารถพิสูจน์ได้ว่าพหุนามคุณลักษณะของตัวดำเนินการเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์ A =

เพื่อทำสิ่งนี้เรามาเขียนกัน สมการลักษณะเฉพาะ|ก - E| - = (1 - ) 2 – 36 = 1 – 2  + 2 2 - 36 = 2 – 2 35; ง = 4 + 140 = 144; ค่าลักษณะเฉพาะ 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7

ในการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราจะแก้สมการสองระบบ

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

ประการแรกเมทริกซ์แบบขยายจะอยู่ในรูปแบบ

โดยที่ x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s เช่น X (1) = (-(2/3)s; s)

ประการที่สองเมทริกซ์ที่ขยายจะอยู่ในรูปแบบ

จากที่ไหน x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1 เช่น X (2) = ((2/3)s 1; s 1)

ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นนี้คือเวกเตอร์ทั้งหมดของรูปแบบ (-(2/3)с; с) ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ (-5) และเวกเตอร์ทั้งหมดของรูปแบบ ((2/3)с 1 ; с 1) ด้วย ค่าลักษณะเฉพาะ 7

สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์ของตัวดำเนินการ A บนพื้นฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นเป็นเส้นทแยงมุมและมีรูปแบบ:

โดยที่ ` i คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้

กลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเมทริกซ์ A ในบางฐานเป็นเส้นทแยงมุม เวกเตอร์ทั้งหมดของฐานนี้จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้

นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าหากตัวดำเนินการเชิงเส้นมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันเป็นคู่ ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจะเป็นอิสระเชิงเส้น และเมทริกซ์ของตัวดำเนินการนี้บนพื้นฐานที่สอดคล้องกันจะมีรูปแบบแนวทแยง

สำหรับเมทริกซ์ A หากมีตัวเลข l ดังนั้น AX = lX

ในกรณีนี้จะเรียกหมายเลข l ค่าลักษณะเฉพาะตัวดำเนินการ (เมทริกซ์ A) ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ X

กล่าวอีกนัยหนึ่ง eigenvector คือเวกเตอร์ที่ภายใต้การกระทำของตัวดำเนินการเชิงเส้น แปลงสภาพเป็นเวกเตอร์คอลลิเนียร์ กล่าวคือ แค่คูณด้วยจำนวนหนึ่ง ในทางตรงกันข้าม เวกเตอร์ที่ไม่เหมาะสมจะแปลงได้ยากกว่า

ลองเขียนคำจำกัดความของ eigenvector ในรูปแบบของระบบสมการ:

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

ระบบหลังสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้

(A - lE)X = O

ระบบผลลัพธ์จะมีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ X = O ระบบดังกล่าวซึ่งมีเงื่อนไขอิสระทั้งหมดเท่ากับศูนย์จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน- หากเมทริกซ์ของระบบดังกล่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อใช้สูตรของแครมเมอร์ เราจะได้คำตอบเฉพาะเสมอ - ศูนย์ สามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้เท่ากับศูนย์เท่านั้น เช่น

|เอ - เลอี| - = 0

สมการนี้ที่ไม่ทราบค่า l เรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะ (พหุนามลักษณะเฉพาะ) เมทริกซ์ A (ตัวดำเนินการเชิงเส้น)

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น กำหนดโดยเมทริกซ์ก = .

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างสมการคุณลักษณะ |A - lE| กัน - = (1 - ลิตร) 2 - 36 = 1 - 2ล. + ลิตร 2 - 36 = ลิตร 2 - 2ล. - 35 = 0; ง = 4 + 140 = 144; ค่าลักษณะเฉพาะ l 1 = (2 - 12)/2 = -5; ลิตร 2 = (2 + 12)/2 = 7

ในการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราจะแก้สมการสองระบบ

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

ประการแรกเมทริกซ์แบบขยายจะอยู่ในรูปแบบ

โดยที่ x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s เช่น X (1) = (-(2/3)s; s)

ประการที่สองเมทริกซ์ที่ขยายจะอยู่ในรูปแบบ

จากที่ไหน x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1 เช่น X (2) = ((2/3)s 1; s 1)

โดยที่ ฉัน คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้

เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างก่อนหน้านี้ ลองใช้ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์โดยพลการ c และ c 1 แต่เพื่อให้เวกเตอร์ X (1) และ X (2) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นเช่น จะเป็นการสร้างพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ให้ c = c 1 = 3 จากนั้น X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3)

มาตรวจสอบให้แน่ใจกัน ความเป็นอิสระเชิงเส้นเวกเตอร์เหล่านี้:

12 ≠ 0 ในพื้นฐานใหม่นี้ เมทริกซ์ A จะอยู่ในรูปแบบ A * =

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้ใช้สูตร A * = C -1 AC ก่อนอื่น มาหา C -1 กันก่อน

ค -1 = ;

รูปร่างกำลังสอง

รูปร่างกำลังสอง f(x 1, x 2, x n) ของตัวแปร n ตัวเรียกว่าผลรวม ซึ่งแต่ละเทอมจะเป็นกำลังสองของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง หรือผลคูณของตัวแปรสองตัวที่ต่างกัน ซึ่งใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน: f(x 1 , x 2, x n) = (อาจ = อาจิ)

เมทริกซ์ A ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่า เมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง- ก็เสมอกัน สมมาตรเมทริกซ์ (เช่น เมทริกซ์สมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก a ij = a ji)

ในรูปแบบเมทริกซ์ รูปแบบกำลังสองมีรูปแบบ f(X) = X T AX โดยที่

อย่างแท้จริง

เช่น ลองเขียนเข้าไป รูปแบบเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสอง องค์ประกอบในแนวทแยงจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรกำลังสอง และองค์ประกอบที่เหลือจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของรูปแบบกำลังสอง นั่นเป็นเหตุผล

ปล่อยให้เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร X ได้รับจากการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของเมทริกซ์คอลัมน์ Y เช่น X = CY โดยที่ C - เมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ลำดับที่ n จากนั้นรูปแบบกำลังสอง f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y

ดังนั้น ด้วยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง C เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองจึงมีรูปแบบ: A * = C T AC

ตัวอย่างเช่น ลองหารูปแบบกำลังสอง f(y 1, y 2) ซึ่งได้จากรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 โดยการแปลงเชิงเส้น

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ตามบัญญัติ(มี มุมมองที่เป็นที่ยอมรับ) ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด a ij = 0 สำหรับ i ≠ j เช่น
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =

เมทริกซ์ของมันคือเส้นทแยงมุม

ทฤษฎีบท(ไม่ได้ให้หลักฐานที่นี่) รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้รูปแบบที่ไม่เสื่อม การแปลงเชิงเส้น.

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน
ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3

ในการดำเนินการนี้ อันดับแรกเราเลือก กำลังสองที่สมบูรณ์แบบพร้อมตัวแปร x 1:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3

ตอนนี้เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

จากนั้นการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 และ y 3 = x 3 นำรูปแบบกำลังสองนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน f(y 1, y 2 , ปี 3) = 2ปี 1 2 - 5ปี 2 2 + (1/20)ปี 3 2 .

โปรดทราบว่ารูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ (รูปแบบกำลังสองเดียวกันสามารถลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ในรูปแบบที่แตกต่างกัน- อย่างไรก็ตามได้รับ ในรูปแบบต่างๆรูปแบบบัญญัติมีจำนวนของ คุณสมบัติทั่วไป- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก (ลบ) ของรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการลดรูปแบบให้อยู่ในรูปแบบนี้ (ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่พิจารณาว่าจะมีค่าสัมประสิทธิ์ลบสองค่าและค่าบวกหนึ่งค่าเสมอ) คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า กฎความเฉื่อยรูปแบบกำลังสอง

ขอให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยนำรูปแบบกำลังสองเดียวกันมาสู่รูปแบบมาตรฐานในรูปแบบที่ต่างออกไป มาเริ่มการแปลงด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (ปี 1 , ปี 2 , ปี 3) = -3ปี 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 โดยที่ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 และ y 3 = x 1 . ที่นี่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบ -3 ที่ y 1 และค่าสัมประสิทธิ์บวกสองตัว 3 และ 2 ที่ y 2 และ y 3 (และเมื่อใช้วิธีอื่นเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ลบ (-5) ที่ y 2 และค่าบวกสองตัว: 2 ที่ y 1 และ 1/20 ที่ y 3)

ควรสังเกตด้วยว่าอันดับของเมทริกซ์รูปแบบกำลังสองเรียกว่า อันดับของรูปแบบกำลังสอง, เท่ากับจำนวนค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ รูปแบบบัญญัติและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้น

รูปแบบกำลังสอง f(X) เรียกว่า ในเชิงบวก (เชิงลบ) แน่ใจถ้าสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันจะเป็นค่าบวกนั่นคือ f(X) > 0 (ลบ เช่น
ฉ(เอ็กซ์)< 0).

ตัวอย่างเช่น รูปกำลังสอง f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก เนื่องจาก คือผลรวมของกำลังสอง และรูปแบบกำลังสอง f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นลบ เนื่องจาก แสดงว่าสามารถแสดงเป็น f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2

ในสถานการณ์จริงส่วนใหญ่ การสร้างเครื่องหมายที่แน่นอนของรูปกำลังสองจะยากกว่า ดังนั้นในกรณีนี้เราใช้ทฤษฎีบทใดทฤษฎีหนึ่งต่อไปนี้ (เราจะกำหนดโดยไม่ต้องพิสูจน์)

ทฤษฎีบท- รูปแบบกำลังสองเป็นบวก (ลบ) แน่นอนหากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นบวก (ลบ)

ทฤษฎีบท(เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์- รูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อค่ารองนำหน้าทั้งหมดของเมทริกซ์ในรูปแบบนี้เป็นบวกเท่านั้น

หลัก (มุม) ผู้เยาว์เมทริกซ์ลำดับที่ k ของเมทริกซ์ A ของลำดับที่ n เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย k แถวและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A ()

โปรดทราบว่าสำหรับรูปกำลังสองแน่นอนที่เป็นลบ เครื่องหมายของตัวรองหลักจะสลับกัน และตัวรองอันดับแรกต้องเป็นค่าลบ

ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 เพื่อดูความแน่นอนของเครื่องหมาย

= (2 - ลิตร)*
*(3 - ลิตร) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; ง = 25 - 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก

วิธีที่ 2 Principal minor ของลำดับแรกของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 = 2 > 0 Principal minor ของลำดับที่สอง D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0 ดังนั้น ตามเกณฑ์ของ Sylvester รูปกำลังสองคือ บวกแน่นอน

เราตรวจสอบรูปแบบกำลังสองอีกรูปแบบหนึ่งเพื่อหาค่าแน่นอนของเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (-2 - ลิตร)*
*(-3 - ลิตร) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; ง = 25 - 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ

วิธีที่ 2 หลักของเมทริกซ์ลำดับแรกของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. ดังนั้น ตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ รูปแบบกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ (สัญญาณของผู้เยาว์หลักสลับกัน โดยเริ่มจากเครื่องหมายลบ)

และอีกตัวอย่างหนึ่ง เราจะตรวจสอบรูปแบบกำลังสองที่กำหนดเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (2 - ลิตร)*
*(-3 - ลิตร) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; ง = 1 + 40 = 41;
.

หนึ่งในจำนวนเหล่านี้เป็นลบและอีกจำนวนหนึ่งเป็นค่าบวก สัญญาณของค่าลักษณะเฉพาะนั้นแตกต่างกัน ดังนั้น รูปแบบกำลังสองไม่สามารถเป็นได้ทั้งค่าลบหรือค่าบวกที่แน่นอน กล่าวคือ รูปแบบกำลังสองนี้ไม่มีเครื่องหมายที่แน่นอน (สามารถรับค่าของเครื่องหมายใดก็ได้)

วิธีที่ 2. Principal minor ของลำดับที่ 1 ของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 = 2 > 0. Principal minor ของลำดับที่ 2 D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

ในภาพเราเห็นการเปลี่ยนแปลงกะที่เกิดขึ้นกับ Gioconda เวกเตอร์สีน้ำเงินเปลี่ยนทิศทาง แต่เวกเตอร์สีแดงไม่เปลี่ยน ดังนั้น สีแดงจึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว แต่สีน้ำเงินไม่ใช่ เนื่องจากเวกเตอร์สีแดงไม่ได้ยืดหรือบีบอัด ค่าลักษณะเฉพาะของมันคือหนึ่ง เวกเตอร์ทั้งหมดเป็นเส้นตรงและสีแดงก็เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเช่นกัน eigenvector) เมทริกซ์จตุรัส(กับ ค่าลักษณะเฉพาะ(ภาษาอังกฤษ) ค่าลักษณะเฉพาะ)) – นี่คือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งความสัมพันธ์มีอยู่

ที่ไหน? เป็นสเกลาร์แน่นอน นั่นคือ จริง หรือ จำนวนเชิงซ้อน.
นั่นคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ กเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเมทริกซ์ระบุภายใต้การกระทำของการแปลงเชิงเส้น กไม่เปลี่ยนทิศทาง แต่สามารถเปลี่ยนความยาวได้ตามปัจจัย?
เมทริกซ์มีขนาดไม่เกิน เอ็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับพวกมัน
ความสัมพันธ์ (*) ยังเหมาะสมสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์ วี.ถ้าปริภูมินี้เป็นมิติจำกัด ตัวดำเนินการก็สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์โดยคำนึงถึงพื้นฐานที่แน่นอนได้ วี.
เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะถูกแสดงโดยไม่ต้องใช้พิกัด โดยไม่ขึ้นกับการเลือกพื้นฐาน ดังนั้นเมทริกซ์ที่คล้ายกันจึงมีค่าลักษณะเฉพาะที่เหมือนกัน
บทบาทนำในการทำความเข้าใจค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เล่นโดยทฤษฎีบทแฮมิลตัน - เคย์ลีย์ จากนี้ไปจะเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ กและมีเพียงพวกมันเท่านั้นที่เป็นรากของพหุนามคุณลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ตอบ:

พี (?) เป็นพหุนามของดีกรี เอ็น,ดังนั้นตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตจึงมีอยู่แน่นอน nค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อนโดยคำนึงถึงความหลากหลาย
ดังนั้นเมทริกซ์ กไม่มีอีกแล้ว nค่าลักษณะเฉพาะ (แต่เป็นชุดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับแต่ละค่า)
ให้เราเขียนพหุนามลักษณะเฉพาะผ่านรากของมัน:

เรียกว่าหลายหลากของรากของพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ การคูณพีชคณิตค่าลักษณะเฉพาะ
เซตของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์หรือตัวดำเนินการเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์มิติอันจำกัดเรียกว่า สเปกตรัมตัวดำเนินการเมทริกซ์หรือเชิงเส้น (คำศัพท์นี้ได้รับการแก้ไขสำหรับสิ่งที่ไม่ใช่ skinchenotherworldly ปริภูมิเวกเตอร์: วี กรณีทั่วไปสเปกตรัมของผู้ปฏิบัติงานอาจรวมถึง? ซึ่งไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะ)
เนื่องจากการเชื่อมโยงระหว่างพหุนามคุณลักษณะของเมทริกซ์กับค่าลักษณะเฉพาะของมัน จึงเรียกค่าหลังนี้เช่นกัน หมายเลขลักษณะเมทริกซ์
สำหรับแต่ละค่าลักษณะเฉพาะ เราได้ระบบสมการของเราเอง:

จะมีอะไร. โซลูชั่นอิสระเชิงเส้น
เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบก่อตัวเป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของมิติและเรียกว่า พื้นที่ของตัวเอง(ภาษาอังกฤษ) ไอเกนสเปซ)เมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ
มิติของพื้นที่ที่เหมาะสมเรียกว่า ความหลากหลายทางเรขาคณิตค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน?.
eigenspaces ทั้งหมดเป็น subspaces ที่ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับ
หากมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเชิงเส้นตรงอย่างน้อยสองตัวที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากัน? แล้วค่าลักษณะเฉพาะดังกล่าวจะถูกเรียกว่า เสื่อมโทรมคำศัพท์นี้ใช้เป็นหลักเมื่อการคูณทางเรขาคณิตและพีชคณิตของค่าลักษณะเฉพาะตรงกันเช่นสำหรับเมทริกซ์ Hermitian

โดยที่ – เมทริกซ์ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ไม่ x ไม่- คอลัมน์ที่สองซึ่งเป็นเวกเตอร์ A – นี่คือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่าที่สอดคล้องกัน

ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะคือปัญหาในการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและจำนวนเมทริกซ์
ตามคำนิยาม (โดยใช้สมการคุณลักษณะ) คุณสามารถค้นหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ที่มีขนาดน้อยกว่าห้าเท่านั้น สมการคุณลักษณะมีระดับ เท่าๆ กันเมทริกซ์ สำหรับ องศาที่สูงขึ้นการหาคำตอบของสมการกลายเป็นปัญหามากจึงใช้วิธีต่างๆ วิธีการเชิงตัวเลข
งานเบ็ดเตล็ดต้องการรับ ปริมาณที่แตกต่างกันค่าลักษณะเฉพาะ ดังนั้นจึงมีปัญหาหลายประการในการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะ ซึ่งแต่ละค่าก็ใช้วิธีการของตัวเอง
ดูเหมือนว่าปัญหาบางส่วนของค่าลักษณะเฉพาะนั้นเป็นปัญหาบางส่วนของค่าลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์และแก้ไขได้ด้วยวิธีเดียวกับค่าลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม วิธีการที่ใช้กับปัญหาเฉพาะนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่ามาก จึงสามารถนำไปใช้กับเมทริกซ์มิติสูงได้ (เช่น ฟิสิกส์นิวเคลียร์ปัญหาเกิดขึ้นในการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์มิติ 10 3 – 10 6)
วิธีจาโคบี

หนึ่งในที่เก่าแก่ที่สุดและมากที่สุด แนวทางทั่วไปเพื่อการตัดสินใจ ปัญหาที่สมบูรณ์ค่าลักษณะเฉพาะคือวิธี Jacobi ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1846
วิธีการนี้ใช้กับเมทริกซ์สมมาตร ก
นี่เป็นอัลกอริธึมการวนซ้ำอย่างง่ายซึ่งเมทริกซ์ไอเกนเวคเตอร์คำนวณโดยชุดการคูณ

ค่าลักษณะเฉพาะ(ตัวเลข) และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
ตัวอย่างการแก้ปัญหา

เป็นตัวของตัวเอง

จากสมการทั้งสองจึงเป็นไปตามนั้น

เอาเป็นว่า: .

เป็นผลให้: – เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวที่สอง

มาทำซ้ำกัน จุดสำคัญโซลูชั่น:

– ระบบผลลัพธ์ที่ได้อย่างแน่นอน วิธีแก้ปัญหาทั่วไป(สมการนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น);

– เราเลือก "y" ในลักษณะที่เป็นจำนวนเต็มและพิกัด "x" แรกเป็นจำนวนเต็ม บวก และเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

– เราตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะนั้นเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบ

คำตอบ .

มี "จุดตรวจ" ระดับกลางค่อนข้างเพียงพอ ดังนั้น โดยหลักการแล้ว การตรวจสอบความเท่าเทียมกันจึงไม่จำเป็น

ในแหล่งข้อมูลต่างๆ พิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมักไม่ได้เขียนเป็นคอลัมน์ แต่เขียนเป็นแถว เช่น (และบอกตามตรงว่าฉันเองก็เคยชินกับการจดมันลงในบรรทัด)- ตัวเลือกนี้เป็นที่ยอมรับ แต่ในแง่ของหัวข้อ การแปลงเชิงเส้นในทางเทคนิคแล้วสะดวกกว่าในการใช้งาน เวกเตอร์คอลัมน์.

บางทีวิธีแก้ปัญหาอาจดูยาวมากสำหรับคุณ แต่นี่เป็นเพียงเพราะฉันแสดงความคิดเห็นอย่างละเอียดในตัวอย่างแรกเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 2

เมทริกซ์

มาฝึกด้วยตัวเองกันเถอะ! ตัวอย่างงานสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

บางครั้งคุณจำเป็นต้องทำ งานเพิ่มเติมกล่าวคือ:

เขียนการสลายตัวของเมทริกซ์แบบบัญญัติ

มันคืออะไร?

ถ้าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ก่อตัว พื้นฐานจากนั้นจึงสามารถแสดงเป็น:

เมทริกซ์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอยู่ที่ไหน – เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน

การสลายตัวของเมทริกซ์นี้เรียกว่า ตามบัญญัติหรือ เส้นทแยงมุม.

ลองดูที่เมทริกซ์ของตัวอย่างแรก เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมัน เป็นอิสระเชิงเส้น(ไม่ใช่คอลลิเนียร์) และสร้างเป็นพื้นฐาน มาสร้างเมทริกซ์พิกัดกัน:

บน เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ ในลำดับที่เหมาะสมตั้งอยู่ ค่าลักษณะเฉพาะและองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์:
– ฉันเน้นย้ำถึงความสำคัญของลำดับอีกครั้ง: “สอง” สอดคล้องกับเวกเตอร์ที่ 1 และดังนั้นจึงอยู่ในคอลัมน์ที่ 1 “สาม” – ถึงเวกเตอร์ที่ 2

ใช้อัลกอริธึมปกติในการค้นหา เมทริกซ์ผกผันหรือ วิธีเกาส์-จอร์แดนเราพบ - ไม่ นั่นไม่ได้พิมพ์ผิด! - ก่อนที่คุณจะหายากเช่น สุริยุปราคาเหตุการณ์ที่อินเวอร์สเกิดขึ้นพร้อมกับเมทริกซ์ดั้งเดิม

ยังคงต้องเขียนการสลายตัวของเมทริกซ์ตามรูปแบบบัญญัติ:

ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้ การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นและในตัวอย่างต่อไปนี้เราจะหันไปใช้ วิธีนี้- แต่ที่นี่วิธีการ "โรงเรียน" ทำงานได้เร็วกว่ามาก จากสมการที่ 3 เราแสดง: – แทนที่ในสมการที่สอง:

เนื่องจากพิกัดแรกเป็นศูนย์ เราจึงได้ระบบ จากแต่ละสมการที่เป็นไปตามนั้น

และอีกครั้ง ให้ความสนใจกับการมีอยู่ของความสัมพันธ์เชิงเส้น- หากปรากฏออกมาเท่านั้น วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย จากนั้นพบค่าลักษณะเฉพาะอย่างไม่ถูกต้อง หรือระบบถูกคอมไพล์/แก้ไขโดยมีข้อผิดพลาด

พิกัดแบบกระชับจะให้ค่า

ไอเกนเวกเตอร์:

และอีกครั้งเราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่พบ ตอบสนองทุกสมการของระบบ- ในย่อหน้าถัดไปและในงานต่อ ๆ ไป ฉันขอแนะนำให้ใช้ความปรารถนานี้เป็นกฎบังคับ

2) สำหรับค่าลักษณะเฉพาะที่เราได้รับโดยใช้หลักการเดียวกัน ระบบต่อไปนี้:

จากสมการที่ 2 ของระบบ เราแสดง: – แทนที่ในสมการที่สาม:

เนื่องจากพิกัด "ซีตา" เท่ากับศูนย์ เราจึงได้ระบบจากแต่ละสมการที่ตามมา การพึ่งพาเชิงเส้น.

อนุญาต

การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา ตอบสนองทุกสมการของระบบ

ดังนั้น eigenvector คือ:

3) และสุดท้าย ระบบก็สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ:

สมการที่สองดูง่ายที่สุด ดังนั้นมาแสดงสมการนี้และแทนที่มันลงในสมการที่ 1 และ 3 กัน:

ทุกอย่างเรียบร้อยดี - มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเกิดขึ้นซึ่งเราแทนที่เป็นนิพจน์:

เป็นผลให้ "x" และ "y" ถูกแสดงผ่าน "z": ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องบรรลุความสัมพันธ์ดังกล่าวอย่างแม่นยำ ในบางกรณี จะสะดวกกว่าที่จะแสดงทั้งผ่าน หรือ และผ่าน หรือแม้แต่ "ฝึก" - เช่น "X" ถึง "I" และ "I" ถึง "Z"

เอาเป็นว่า:

เราตรวจสอบว่าพบวิธีแก้ปัญหาแล้ว เป็นไปตามแต่ละสมการของระบบและเขียนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวที่สาม

คำตอบ: เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

ในเชิงเรขาคณิต เวกเตอร์เหล่านี้กำหนดทิศทางเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันสามทิศทาง ("ไปมา")ตามนั้น การแปลงเชิงเส้นแปลงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (eigenvectors) เป็นเวกเตอร์คอลลิเนียร์

หากเงื่อนไขจำเป็นต้องค้นหาการสลายตัวตามแบบบัญญัติ สิ่งนี้เป็นไปได้ที่นี่เพราะ ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะอิสระเชิงเส้นที่แตกต่างกัน การสร้างเมทริกซ์ จากพิกัดของมันคือเมทริกซ์แนวทแยง จาก ที่เกี่ยวข้องค่าลักษณะเฉพาะและค้นหา เมทริกซ์ผกผัน .

หากตามเงื่อนไขคุณต้องเขียน เมทริกซ์การแปลงเชิงเส้นโดยใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแล้วเราจะให้คำตอบในรูปแบบ มีความแตกต่างและความแตกต่างก็สำคัญ!เพราะเมทริกซ์นี้คือเมทริกซ์ “de”

ปัญหามากขึ้น การคำนวณง่ายๆสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์

เมื่อค้นหาตัวเลขของคุณเอง พยายามอย่าไปจนสุดถึงพหุนามดีกรีที่ 3 นอกจากนี้ โซลูชันระบบของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน - ไม่มีความแน่นอนในที่นี้ และเวกเตอร์ที่คุณพบอาจแตกต่างจากเวกเตอร์ตัวอย่างขึ้นอยู่กับสัดส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น และ. การนำเสนอคำตอบในรูปแบบจะสวยงามกว่า แต่ก็ไม่เป็นไรหากคุณหยุดที่ตัวเลือกที่สอง อย่างไรก็ตามมีทุกอย่าง ข้อจำกัดที่สมเหตุสมผลเวอร์ชันดูไม่ดีอีกต่อไป

ตัวอย่างงานสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

จะแก้ไขปัญหาในกรณีที่มีค่าลักษณะเฉพาะหลายค่าได้อย่างไร

อัลกอริธึมทั่วไปยังคงเหมือนเดิม แต่มีลักษณะเฉพาะบางประการที่นี่ และขอแนะนำให้เก็บวิธีแก้ปัญหาบางส่วนไว้ในรูปแบบวิชาการที่เข้มงวดกว่านี้:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

สารละลาย

แน่นอนว่า เราจะมาใช้ประโยชน์จากคอลัมน์แรกสุดอลังการกันดีกว่า:

และหลังจากการสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ:

เป็นผลให้ได้รับค่าลักษณะเฉพาะซึ่งสองค่านั้นเป็นทวีคูณ

มาหาของเราเองกันเวกเตอร์:

1) มาจัดการกับทหารคนเดียวตามโครงการ "เรียบง่าย":

จากสมการสองสมการสุดท้ายจะมองเห็นความเท่าเทียมกันได้ชัดเจนซึ่งแน่นอนว่าควรแทนที่ลงในสมการที่ 1 ของระบบ:

คุณจะไม่พบชุดค่าผสมที่ดีกว่า:
ไอเกนเวกเตอร์:

2-3) ตอนนี้เราลบยามสองสามคนออก ใน ในกรณีนี้มันอาจจะได้ผล สองหรือหนึ่งอย่างใดอย่างหนึ่ง eigenvector ไม่ว่ารากจะมีหลายหลาก เราก็แทนค่าลงในดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งนำเราไปสู่สิ่งต่อไป ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น:

Eigenvector ก็คือเวกเตอร์นั่นเอง
ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

จริงๆ แล้ว ตลอดทั้งบทเรียน เราไม่ได้ทำอะไรเลยนอกจากค้นหาเวกเตอร์ของระบบพื้นฐาน เพียงชั่วคราวเท่านั้น เทอมนี้ไม่ต้องการมันจริงๆ อย่างไรก็ตาม นักเรียนที่ฉลาดเหล่านั้นที่พลาดหัวข้อในชุดลายพราง สมการเอกพันธ์จะถูกบังคับให้สูบบุหรี่แล้ว

การดำเนินการเพียงอย่างเดียวคือการลบบรรทัดพิเศษออก ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์ขนาด 1 x 3 โดยมี "ขั้นตอน" อย่างเป็นทางการอยู่ตรงกลาง
– ตัวแปรพื้นฐาน – ตัวแปรอิสระ มีตัวแปรอิสระสองตัว ดังนั้น นอกจากนี้ยังมีเวกเตอร์สองตัวของระบบพื้นฐานอีกด้วย.

เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระกัน: ปัจจัยศูนย์ที่อยู่หน้า "X" ช่วยให้สามารถรับค่าใด ๆ ก็ได้ (ซึ่งมองเห็นได้ชัดเจนจากระบบสมการ)

ในบริบทของปัญหานี้ จะสะดวกกว่าถ้าเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปไม่เรียงกัน แต่เขียนเป็นคอลัมน์:

ทั้งคู่สอดคล้องกับ eigenvector:
ทั้งคู่สอดคล้องกับ eigenvector:

บันทึก : ผู้อ่านที่เชี่ยวชาญสามารถเลือกเวกเตอร์เหล่านี้ได้ด้วยวาจา - เพียงแค่วิเคราะห์ระบบ แต่จำเป็นต้องมีความรู้บางอย่างที่นี่ มีตัวแปรสามตัว อันดับเมทริกซ์ของระบบ- หนึ่งซึ่งหมายถึง ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานประกอบด้วยเวกเตอร์ 3 – 1 = 2 ตัว อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ที่พบจะมองเห็นได้ชัดเจนแม้จะไม่มีความรู้นี้ก็ตาม โดยเป็นเพียงระดับสัญชาตญาณเท่านั้น ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่สามจะถูกเขียนให้ "สวยงาม" ยิ่งขึ้น: อย่างไรก็ตาม ฉันขอเตือนไว้ในอีกตัวอย่างหนึ่ง การเลือกง่ายๆมันอาจไม่เป็นเช่นนั้น ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมข้อนี้จึงมีไว้สำหรับผู้มีประสบการณ์ นอกจากนี้ ทำไมไม่ลองพูดเป็นเวกเตอร์ที่สามดูล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว พิกัดของมันก็เป็นไปตามแต่ละสมการของระบบและเวกเตอร์ด้วย เป็นอิสระเชิงเส้น โดยหลักการแล้วตัวเลือกนี้เหมาะสม แต่ "คด" เนื่องจากเวกเตอร์ "อื่น ๆ " เป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐาน

คำตอบ: ค่าลักษณะเฉพาะ: , เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ควรสังเกตว่าในตัวอย่างที่ 6 และ 7 เราได้รับไอเกนเวคเตอร์อิสระเชิงเส้นสามเท่า ดังนั้นเมทริกซ์ดั้งเดิมจึงสามารถแสดงได้ใน การขยายตัวตามรูปแบบบัญญัติ- แต่ราสเบอร์รี่ดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นในทุกกรณี:

ตัวอย่างที่ 8