บรรยาย 9

การแปลงพิกัดเชิงเส้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ คุณสมบัติของพวกมัน พหุนามลักษณะของเมทริกซ์ คุณสมบัติของเมทริกซ์

เราจะบอกว่าในชุดของเวกเตอร์Rที่ให้ไว้ การเปลี่ยนแปลง แต่ , ถ้าแต่ละเวกเตอร์ X R ตามกฎบางอย่างเวกเตอร์ แต่ X R.

คำจำกัดความ 9.1.การเปลี่ยนแปลง แต่ เรียกว่า เชิงเส้น, ถ้าสำหรับเวกเตอร์ใด ๆ X และ ที่ และสำหรับจำนวนจริงใดๆ λ เติมเต็มความเท่าเทียมกัน:

แต่( X + ที่ )=แต่ X+ อา ที่ ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

คำจำกัดความ 9.2การแปลงเชิงเส้นเรียกว่า เหมือนกัน, ถ้ามันแปลงเวกเตอร์ใดๆ X เข้าไปในตัวเขาเอง

การแปลงเอกลักษณ์ถูกระบุ ของเธอ X= X .

พิจารณาพื้นที่สามมิติด้วยพื้นฐาน อี 1 , อี2, อี3 ซึ่งระบุการแปลงเชิงเส้น แต่. นำไปใช้กับเวกเตอร์ฐาน เราได้เวกเตอร์ แต่ อี 1, แต่ อี2, แต่ อี3 ที่อยู่ในพื้นที่สามมิตินี้ ดังนั้น แต่ละรายการสามารถขยายได้ในลักษณะเฉพาะในแง่ของเวกเตอร์พื้นฐาน:

แต่ อี 1 = 11 อี 1+ 21 อี2+a 31 อี3,

แต่ อี 2 = 12 อี 1+ 22 อี2+ 32 อี3 ,(9.2)

แต่ อี3= 13 อี 1+ 23 อี2+ 33 อี3 .

เมทริกซ์ เรียกว่า เมทริกซ์การแปลงเชิงเส้น แต่ เป็นพื้นฐาน อี 1 , อี2, อี3 . คอลัมน์ของเมทริกซ์นี้ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ในสูตร (9.2) ของการแปลงฐาน

ความคิดเห็น เห็นได้ชัดว่าเมทริกซ์ของการแปลงเอกลักษณ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ อี.

สำหรับเวกเตอร์โดยพลการ X = x 1 อี 1+ x 2 อี2+ x 3 อี3 ผลลัพธ์ของการใช้การแปลงเชิงเส้นกับมัน แต่จะเวกเตอร์ แต่ X, ซึ่งสามารถขยายได้ในเวกเตอร์ที่มีพื้นฐานเดียวกัน: แต่ X =x` 1 อี 1+ x` 2 อี2+ x` 3 อี3 ที่พิกัดx` ผมสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = 21 x 1 + 22 x 2 + 23 x 3,(9.3)

x` 3 = เอ 31 x 1 + เอ 32 x 2 + เอ 33 x 3 .

สัมประสิทธิ์ในสูตรของการแปลงเชิงเส้นนี้คือองค์ประกอบของแถวของเมทริกซ์ แต่.

การแปลงเมทริกซ์การแปลงเชิงเส้น

เมื่อย้ายฐานใหม่

พิจารณาการแปลงเชิงเส้น A และสองฐานในปริภูมิสามมิติ: e 1 , e 2, อี3 และ อี 1 , อี 2 , อี 3 . ให้เมทริกซ์ C กำหนดสูตรการเปลี่ยนจากฐาน (อี k) เป็นพื้นฐาน ( อี k). หากในฐานแรกของฐานเหล่านี้ การแปลงเชิงเส้นที่เลือกถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ A และในฐานที่สอง - โดยเมทริกซ์ แต่จากนั้นเราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์เหล่านี้ได้ กล่าวคือ:

A \u003d C -1 แต่ค(9.4)

แท้จริงแล้ว แต่ . ในทางกลับกัน ผลลัพธ์ของการใช้การแปลงเชิงเส้นแบบเดียวกัน แต่เป็นพื้นฐาน (อี k), เช่น. และในพื้นฐาน (อี k ): ตามลำดับ - เชื่อมต่อกันด้วยเมทริกซ์ จาก: , ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น SA= แต่จาก. คูณทั้งสองข้างของความเท่ากันนี้ทางซ้ายด้วย จาก-1 เราได้รับ จาก -1 CA = = C -1 แต่จากซึ่งพิสูจน์ความถูกต้องของสูตร (9.4)

ค่าลักษณะเฉพาะและลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

คำจำกัดความ 9.3เวกเตอร์ X เรียกว่า เวกเตอร์ของตัวเองเมทริกซ์ แต่หากมีตัวเลขดังกล่าว λ, ที่ความเท่าเทียมกันถือ: แต่ X= λ X, นั่นคือผลการสมัคร X การแปลงเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์ แต่, คือการคูณของเวกเตอร์นี้ด้วยจำนวน λ . ตัวเลขตัวเอง λ เรียกว่า เบอร์ของตัวเองเมทริกซ์ แต่.

เปลี่ยนเป็นสูตร (9.3)x` เจ = λ x j, เราได้รับระบบสมการสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

.

จากที่นี่

.(9.5)

นี้ เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นระบบจะมีวิธีแก้ไขปัญหาที่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์หลักของมันคือ 0 (กฎของแครมเมอร์) โดยเขียนเงื่อนไขนี้ในรูปแบบ:

เราได้สมการสำหรับกำหนดค่าลักษณะเฉพาะ λ เรียกว่า สมการคุณลักษณะ. โดยย่อสามารถแสดงได้ดังนี้:

| อา -λ อี | = 0,(9.6)

เนื่องจากด้านซ้ายของมันคือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ แต่- λE. พหุนามเทียบกับ λ| อา -λ อี| เรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะเมทริกซ์

คุณสมบัติของพหุนามลักษณะ:

1) พหุนามลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐาน การพิสูจน์ (ดู (9.4)), และ เพราะเหตุนี้, . จึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐาน ดังนั้น และ |อา-λ อี| ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนเป็นพื้นฐานใหม่

2) ถ้าเมทริกซ์ แต่การแปลงเชิงเส้นคือ สมมาตร(เหล่านั้น. เอ อิจ= จิ) ดังนั้นรากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ (9.6) จึงเป็นจำนวนจริง

คุณสมบัติของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

1) ถ้าเราเลือกพื้นฐานจาก eigenvectors x 1, x 2, x 3 สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ 1 , λ 2 , λ 3เมทริกซ์ แต่จากพื้นฐานนี้ การแปลงเชิงเส้น A มีเมทริกซ์แนวทแยง:

(9.7) การพิสูจน์คุณสมบัตินี้มาจากคำจำกัดความของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

2) ถ้าค่าลักษณะเฉพาะของการแปลง แต่ต่างกัน ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น

3) ถ้าพหุนามคุณลักษณะของเมทริกซ์ แต่มีรากที่แตกต่างกันสามราก จากนั้นในเมทริกซ์พื้นฐาน แต่มีลักษณะเป็นเส้นทแยงมุม

ตัวอย่าง.

มาหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ C ออกจากสมการลักษณะเฉพาะ: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับแต่ละค่าที่พบ λ. จาก (9.5) ตามมาว่า if X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับ λ 1 = -2 แล้ว

เป็นระบบการทำงานร่วมกันแต่ไม่แน่นอน คำตอบของมันสามารถเขียนเป็น X (1) ={ เอ,0,- เอ) โดยที่ a คือตัวเลขใดๆ โดยเฉพาะถ้าคุณต้องการว่า |x (1) |=1, X (1) =

แทนที่เข้าสู่ระบบ (9.5) λ 2 =3 เราได้รับระบบสำหรับกำหนดพิกัดของ eigenvector- ที่สองx (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

การหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เป็นหนึ่งในปัญหาที่ซับซ้อนที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้นที่เกิดขึ้นในกระบวนการสร้างแบบจำลองและวิเคราะห์กระบวนการทำงานของระบบไดนามิกการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ตัวอย่างเช่น eigenvectors ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของเวกเตอร์สุ่มกำหนดทิศทางของแกนหลักของการกระจาย hyperellipsoid ของค่าของเวกเตอร์นี้ และค่าลักษณะเฉพาะจะกำหนดการขยายตัวหรือการหดตัวของ hyperellipsoid ตามแกนหลัก . ในกลศาสตร์ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและตัวเลขของเทนเซอร์ความเฉื่อยกำหนดทิศทางของแกนหลักและโมเมนต์หลักของความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง

แยกแยะ เสร็จสิ้น (พีชคณิตหรือมิฉะนั้น เมทริกซ์) ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะซึ่งถือว่าหาทั้งหมด คู่รักของตัวเองเมทริกซ์บางตัว และ ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะบางส่วน, ประกอบด้วย, เป็นกฎ, ในการค้นหาอย่างใดอย่างหนึ่งหรือมากกว่า ค่าลักษณะเฉพาะและอาจสอดคล้องกัน eigenvectors. ส่วนใหญ่แล้ว ในกรณีหลังนี้ เรากำลังพูดถึงการค้นหาค่าเฉพาะของโมดูโลที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด ความรู้เกี่ยวกับคุณลักษณะดังกล่าวของเมทริกซ์ช่วยให้สามารถสรุปได้เกี่ยวกับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำบางวิธีปรับพารามิเตอร์ให้เหมาะสม ฯลฯ

ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะสามารถกำหนดได้ดังนี้: ซึ่งเวกเตอร์และตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ทำการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์ด้วยความช่วยเหลือของเมทริกซ์ที่ไม่เปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์นี้ในอวกาศ แต่ลดลงเพียง "ยืด" เวกเตอร์นี้ โดยปัจจัย? คำตอบสำหรับคำถามนี้อยู่ในคำตอบของสมการที่ไม่สำคัญ

, (1.2)

เมทริกซ์เอกลักษณ์อยู่ที่ไหน ในทางทฤษฎี ปัญหานี้แก้ไขได้ง่าย: คุณต้องค้นหารากของสิ่งที่เรียกว่า ลักษณะเฉพาะสมการ

(1.3)

และแทนที่พวกมันด้วย (1.2) หาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจากระบบที่กำหนดมากเกินไปที่สอดคล้องกัน

การนำแนวทางนี้ไปปฏิบัติจริงมีความเกี่ยวข้องกับปัญหาหลายประการ ซึ่งเพิ่มขึ้นตามการเพิ่มมิติของปัญหาที่กำลังแก้ไข ปัญหาเหล่านี้เกิดจากการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ และคำนวณรากของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ นระดับ -th เช่นเดียวกับการค้นหาคำตอบอิสระเชิงเส้นของระบบเสื่อมของสมการพีชคณิตเชิงเส้น ในเรื่องนี้ วิธีการโดยตรงในการแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะเกี่ยวกับพีชคณิตมักใช้สำหรับขนาดเมทริกซ์ที่เล็กมากเท่านั้น ( น= 2, 3). อยู่แล้วที่ น> 4 วิธีการทางตัวเลขพิเศษสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวมาก่อน ซึ่งหนึ่งในนั้นใช้เมทริกซ์ การเปลี่ยนแปลงความคล้ายคลึงกันจะมีการหารือเพิ่มเติม จำได้ว่า คล้ายกันเรียกว่าเมทริกซ์และ , ที่ไหน จากเป็นเมทริกซ์เอกพจน์ที่ไม่มีเอกพจน์

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์โดยสังเขป:

1. ถ้า – คู่เมทริกซ์ของตัวเอง แต่, แ เป็นตัวเลขบางตัวแล้ว เป็นคู่ที่เหมาะสมสำหรับ แต่. ซึ่งหมายความว่าแต่ละค่าลักษณะเฉพาะสอดคล้องกับชุดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่นับไม่ได้ซึ่งแตกต่างกันโดยปัจจัยสเกลาร์เท่านั้น

2. ให้ – คู่เมทริกซ์ของตัวเอง , จำนวนจริงอยู่ที่ไหน แล้ว – คู่เมทริกซ์ของตัวเอง แต่. ดังนั้น บวกกับเมทริกซ์นี้ แต่เมทริกซ์แนวทแยงไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและการเปลี่ยนแปลง คลื่นความถี่ของเมทริกซ์เดิมด้วยตัวเลข (ทางซ้ายเมื่อ ). สเปกตรัมของเมทริกซ์คือชุดของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของมัน

3. ถ้า เป็นคู่ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กลับด้าน แล้ว เป็นคู่ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

4. ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ในแนวทแยงและสามเหลี่ยมเป็นองค์ประกอบในแนวทแยงเพราะ สมการคุณลักษณะ (1.3) โดยคำนึงถึง (1.1) สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้

.

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายแสดงให้เห็นว่า เมทริกซ์จริงในแนวทแยงและสามเหลี่ยมมีค่าเฉพาะของจริงเท่านั้น(เรียบ นโดยคำนึงถึงความหลากหลายที่เป็นไปได้) ความเป็นจริงของค่าลักษณะเฉพาะนั้นมีอยู่ในคลาสของเมทริกซ์สมมาตรซึ่งมีความสำคัญมากในการใช้งานซึ่งรวมถึงเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและเทนเซอร์ความเฉื่อย

5. ถ้า – คู่เมทริกซ์ของตัวเอง , แล้ว – คู่เมทริกซ์ของตัวเอง แต่ดังนั้น การแปลงความคล้ายคลึงกันทำให้สเปกตรัมของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง

6. ให้ แต่เป็นเมทริกซ์ของโครงสร้างมิติอย่างง่าย , และเมทริกซ์ และ เกิดขึ้นจากค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมันตามลำดับ แล้วความเท่าเทียมกัน . เนื่องจากสำหรับเมทริกซ์แนวทแยงที่เกิดจากค่าลักษณะเฉพาะ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถเป็นเวกเตอร์หน่วยของฐานเดิมได้ ( , ) จากนั้นใช้คุณสมบัติ 5 และรับ และ (เหล่านั้น. ) คุณสมบัติ 6 สามารถกำหนดได้แตกต่างกัน: if เป็นคู่ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ดังนั้น มีคู่เมทริกซ์ของตัวเอง แต่.

ค่าลักษณะเฉพาะ (ตัวเลข) และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
ตัวอย่างโซลูชัน

เป็นตัวของตัวเอง

จากสมการทั้งสองจะได้ว่า

เอาเป็นว่า: .

ผลที่ตามมา: เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอง

มาสรุปประเด็นสำคัญกัน:

– ระบบผลลัพธ์มีคำตอบทั่วไปอย่างแน่นอน (สมการขึ้นอยู่กับเชิงเส้น)

- "Y" ถูกเลือกในลักษณะที่เป็นจำนวนเต็ม และพิกัด "x" แรกเป็นจำนวนเต็ม บวก และเล็กที่สุด

– เราตรวจสอบว่าคำตอบนั้นตรงกับสมการของระบบแต่ละข้อหรือไม่

ตอบ .

"จุดตรวจ" ระดับกลางนั้นเพียงพอแล้ว ดังนั้นโดยหลักการแล้วการตรวจสอบความเท่าเทียมกันจึงไม่จำเป็น

ในแหล่งข้อมูลต่างๆ พิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมักไม่ได้เขียนในคอลัมน์ แต่เป็นแถว เช่น (และบอกตามตรงว่า ตัวผมเองเคยเขียนเรียงกันเป็นแถว). ตัวเลือกนี้เป็นที่ยอมรับ แต่ในแง่ของหัวข้อ การแปลงเชิงเส้นทางเทคนิคสะดวกกว่าในการใช้งาน เวกเตอร์คอลัมน์.

บางทีวิธีแก้ปัญหาอาจดูเหมือนยาวมากสำหรับคุณ แต่นั่นเป็นเพียงเพราะฉันแสดงความคิดเห็นในตัวอย่างแรกอย่างละเอียด

ตัวอย่าง 2

เมทริกซ์

เราฝึกเอง! ตัวอย่างโดยประมาณของการออกแบบขั้นสุดท้ายของงานเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

บางครั้งคุณต้องทำงานเพิ่มเติม กล่าวคือ:

เขียนการสลายตัวตามบัญญัติของเมทริกซ์

มันคืออะไร?

ถ้าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เกิดขึ้น พื้นฐานแล้วสามารถแสดงเป็น:

เมทริกซ์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอยู่ที่ไหน – เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน

การสลายตัวของเมทริกซ์นี้เรียกว่า บัญญัติหรือ เส้นทแยงมุม.

พิจารณาเมทริกซ์ของตัวอย่างแรก เวกเตอร์ของเธอ อิสระเชิงเส้น(non-collinear) และแบบเป็นพื้นฐาน มาสร้างเมทริกซ์จากพิกัดกัน:

บน เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ ตามลำดับค่าลักษณะเฉพาะตั้งอยู่และองค์ประกอบที่เหลือเท่ากับศูนย์:
- ฉันเน้นย้ำถึงความสำคัญของลำดับอีกครั้ง: "สอง" สอดคล้องกับเวกเตอร์ที่ 1 และดังนั้นจึงอยู่ในคอลัมน์ที่ 1 "สาม" - ไปยังเวกเตอร์ที่ 2

ตามอัลกอริธึมปกติในการค้นหา เมทริกซ์ผกผันหรือ วิธีเกาส์-จอร์แดนหา . ไม่ นั่นไม่ใช่การพิมพ์ผิด! - ก่อนที่คุณจะเป็นเหตุการณ์ที่หายากเช่นสุริยุปราคาเมื่อย้อนกลับใกล้เคียงกับเมทริกซ์ดั้งเดิม

มันยังคงเขียนการสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์ :

ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้การแปลงเบื้องต้น และในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะใช้วิธีนี้ แต่ที่นี่วิธี "โรงเรียน" ทำงานได้เร็วกว่ามาก จากสมการที่ 3 เราแสดง: - แทนที่เป็นสมการที่สอง:

เนื่องจากพิกัดแรกเป็นศูนย์ เราจึงได้ระบบ จากสมการแต่ละอันที่ตามมา

และอีกครั้ง ให้ความสนใจกับการมีความสัมพันธ์เชิงเส้นบังคับ. หากได้รับเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย แล้วพบว่าค่าลักษณะเฉพาะอย่างไม่ถูกต้อง หรือระบบถูกคอมไพล์/แก้ไขโดยมีข้อผิดพลาด

พิกัดกระชับให้ค่า

ไอเกนเวกเตอร์:

และอีกครั้งเราตรวจสอบว่าพบวิธีแก้ปัญหา ตอบโจทย์ทุกสมการของระบบ. ในย่อหน้าต่อไปนี้และในงานต่อๆ ไป ฉันขอแนะนำให้ยอมรับความปรารถนานี้เป็นกฎบังคับ

2) สำหรับค่าลักษณะเฉพาะ ตามหลักการเดียวกัน เราได้รับระบบต่อไปนี้:

จากสมการที่ 2 ของระบบ เราแสดง: - แทนที่เป็นสมการที่สาม:

เนื่องจากพิกัด "Z" เท่ากับศูนย์ เราจึงได้ระบบ จากสมการแต่ละสมการที่มีการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้น

อนุญาต

เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา ตอบสนองทุกสมการของระบบ

ดังนั้น eigenvector: .

3) และในที่สุดระบบก็สอดคล้องกับค่าของตัวเอง:

สมการที่สองดูง่ายที่สุด ดังนั้นเราจึงแสดงมันออกมาและแทนที่มันเป็นสมการที่ 1 และ 3:

ทุกอย่างเรียบร้อยดี - มีการเปิดเผยการพึ่งพาเชิงเส้นซึ่งเราแทนที่ในนิพจน์:

เป็นผลให้ "X" และ "Y" แสดงผ่าน "Z": ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องบรรลุความสัมพันธ์ดังกล่าว ในบางกรณี จะสะดวกกว่าในการแสดงทั้งผ่าน หรือ และผ่าน หรือแม้แต่ "รถไฟ" - ตัวอย่างเช่น "X" ถึง "Y" และ "Y" ถึง "Z"

เอาเป็นว่า:

เราตรวจสอบว่าพบวิธีแก้ปัญหา เป็นไปตามสมการของระบบแต่ละข้อและเขียนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวที่สาม

ตอบ: เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

ในเชิงเรขาคณิต เวกเตอร์เหล่านี้กำหนดทิศทางเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันสามทิศทาง (“กลับมาแล้ว”)ตามที่ การแปลงเชิงเส้นแปลงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ) เป็นเวกเตอร์ที่ตรงกับพวกมัน

หากโดยเงื่อนไข จำเป็นต้องค้นหาการขยายมาตรฐานของ ดังนั้นนี่จึงเป็นไปได้ที่นี่เพราะ ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันเชิงเส้นที่แตกต่างกัน เราสร้างเมทริกซ์ จากพิกัด เมทริกซ์แนวทแยง จาก ที่เกี่ยวข้องค่าลักษณะเฉพาะและค้นหา เมทริกซ์ผกผัน .

ถ้าตามเงื่อนไขต้องเขียน เมทริกซ์การแปลงเชิงเส้นบนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแล้วเราจะให้คำตอบในรูปแบบ มีความแตกต่างและความแตกต่างที่สำคัญ!สำหรับเมทริกซ์นี้คือเมทริกซ์ "เด"

ปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์

เมื่อค้นหาตัวเลขของคุณเอง อย่าพยายามนำกรณีที่มีพหุนามของดีกรีที่ 3 นอกจากนี้ โซลูชันระบบของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน - ไม่มีความชัดเจนที่นี่ และเวกเตอร์ที่คุณพบอาจแตกต่างจากเวกเตอร์ตัวอย่างตามสัดส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น และ . การนำเสนอคำตอบในรูปแบบของ สวยงามกว่า แต่ไม่เป็นไรถ้าคุณหยุดที่ตัวเลือกที่สอง อย่างไรก็ตาม มีข้อจำกัดที่สมเหตุสมผลสำหรับทุกสิ่ง เวอร์ชันนี้ดูไม่ดีนักอีกต่อไป

ตัวอย่างสุดท้ายของงานที่ได้รับมอบหมายเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

วิธีแก้ปัญหาในกรณีที่มีค่าลักษณะเฉพาะหลายตัว?

อัลกอริธึมทั่วไปยังคงเหมือนเดิม แต่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง และแนะนำให้เก็บบางส่วนของการแก้ปัญหาในรูปแบบวิชาการที่เข้มงวดมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

วิธีการแก้

แน่นอน เรามาใช้ประโยชน์จากคอลัมน์แรกที่ยอดเยี่ยมกัน:

และหลังจากแยกตัวประกอบกำลังสองไตรโนเมียลแล้ว:

เป็นผลให้ได้รับค่าลักษณะเฉพาะซึ่งสองค่าเป็นทวีคูณ

มาหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะกัน:

1) เราจะจัดการกับทหารคนเดียวตามแผน "ง่าย":

จากสมการสองสมการที่แล้วจะเห็นความเท่าเทียมกันอย่างชัดเจน ซึ่งเห็นได้ชัดว่าควรแทนที่ในสมการที่ 1 ของระบบ:

ไม่มีชุดค่าผสมที่ดีกว่า:
ไอเกนเวกเตอร์:

2-3) ตอนนี้เราลบทหารรักษาการณ์สองสามคน ในกรณีนี้อาจจะ สองหรือหนึ่งไอเกนเวคเตอร์ โดยไม่คำนึงถึงหลายหลากของราก เราแทนค่าในดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งนำสิ่งต่อไปนี้มาให้เรา ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น:

Eigenvectors เป็นเวกเตอร์เหมือนกัน
ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐาน

ที่จริงแล้ว ตลอดบทเรียน เราแค่ค้นหาเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานเท่านั้น ในขณะนี้ ไม่จำเป็นต้องใช้คำนี้เป็นพิเศษ โดยวิธีการที่นักเรียนคล่องแคล่วเหล่านั้นที่พรางตัว สมการเอกพันธ์จะถูกบังคับให้สูบเดี๋ยวนี้

การดำเนินการเดียวคือการลบบรรทัดพิเศษ ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ "หนึ่งต่อสาม" โดยมี "ขั้นตอน" ที่เป็นทางการอยู่ตรงกลาง
– ตัวแปรพื้นฐาน – ตัวแปรอิสระ มีตัวแปรอิสระสองตัว ดังนั้น นอกจากนี้ยังมีเวกเตอร์สองตัวของระบบพื้นฐาน.

ให้แสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ: ตัวประกอบศูนย์หน้า "x" อนุญาตให้ใช้ค่าใด ๆ ก็ได้ (ซึ่งมองเห็นได้ชัดเจนจากระบบสมการ)

ในบริบทของปัญหานี้ จะสะดวกกว่าที่จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปไม่ใช่ในแถว แต่ในคอลัมน์:

คู่นี้สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:
คู่นี้สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

บันทึก : ผู้อ่านที่เก่งกาจสามารถรับเวกเตอร์เหล่านี้ได้ด้วยปากเปล่า - เพียงแค่วิเคราะห์ระบบ แต่จำเป็นต้องมีความรู้บางอย่าง: มีสามตัวแปร อันดับระบบเมทริกซ์- หน่วย หมายถึง ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานประกอบด้วย 3 – 1 = 2 เวกเตอร์ อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ที่พบจะมองเห็นได้ชัดเจนแม้ไม่มีความรู้นี้ อยู่ในระดับที่เข้าใจได้ง่าย ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่สามจะถูกเขียนว่า “สวยงามยิ่งขึ้น”: . อย่างไรก็ตาม ฉันขอเตือนคุณว่า ในอีกตัวอย่างหนึ่ง อาจไม่มีตัวเลือกง่ายๆ นั่นคือเหตุผลที่การจองนี้มีไว้สำหรับผู้ที่มีประสบการณ์ นอกจากนี้, ทำไมไม่ลองเอามาเป็นเวกเตอร์ที่สามล่ะ, พูดว่า, ? ท้ายที่สุดแล้ว พิกัดของมันยังเป็นไปตามสมการของระบบและเวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น โดยหลักการแล้วตัวเลือกนี้เหมาะสม แต่ "คดเคี้ยว" เนื่องจากเวกเตอร์ "อื่นๆ" เป็นการผสมผสานเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐาน

ตอบ: ค่าลักษณะเฉพาะ: , เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 7

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่างการจบบทเรียนโดยประมาณ

ควรสังเกตว่าในตัวอย่างที่ 6 และ 7 จะได้รับ eigenvector อิสระเชิงเส้นสามเท่า ดังนั้นเมทริกซ์ดั้งเดิมจึงสามารถแสดงได้ในการขยายตัวตามบัญญัติ แต่ราสเบอร์รี่ดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นในทุกกรณี:

ตัวอย่างที่ 8

วิธีการแก้: เขียนและแก้สมการคุณลักษณะ:

เราขยายดีเทอร์มีแนนต์ตามคอลัมน์แรก:

เราทำการลดความซับซ้อนเพิ่มเติมตามวิธีที่พิจารณา หลีกเลี่ยงพหุนามของดีกรีที่ 3:

เป็นค่าลักษณะเฉพาะ

มาหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะกัน:

1) ไม่มีปัญหากับรูท:

อย่าแปลกใจเลย นอกจากชุดคิทแล้ว ตัวแปรยังใช้งานอยู่ - ไม่มีความแตกต่างที่นี่

จากสมการที่ 3 เราแสดง - เราแทนที่เป็นสมการที่ 1 และ 2:

จากสมการทั้งสองดังนี้

ให้แล้ว:

2-3) สำหรับค่าหลายค่า เราได้ระบบ .

ให้เราเขียนเมทริกซ์ของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นขั้นตอน:

เมทริกซ์ประเภทแนวทแยงมักถูกจัดเรียงอย่างเรียบง่าย คำถามเกิดขึ้นว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาพื้นฐานที่เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจะมีรูปแบบแนวทแยง พื้นฐานดังกล่าวมีอยู่
ให้ช่องว่างเชิงเส้น R n และตัวดำเนินการเชิงเส้น A ที่ทำหน้าที่ในนั้น ในกรณีนี้ โอเปอเรเตอร์ A รับ R n เข้าในตัวเอง นั่นคือ A:R n → R n

คำนิยาม. เวกเตอร์ x ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A ถ้าตัวดำเนินการ A เปลี่ยน x เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกัน นั่นคือ จำนวน λ เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ x .
เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
1. การรวมกันเชิงเส้นใดๆ ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของโอเปอเรเตอร์ A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน λ คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน
2. Eigenvectors โอเปอเรเตอร์ A ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันแบบคู่ λ 1 , λ 2 , …, λ ม. มีความเป็นอิสระเชิงเส้น
3. ถ้าค่าลักษณะเฉพาะ λ 1 =λ 2 = λ m = λ ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะ λ จะสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นไม่เกิน ม.

ดังนั้น ถ้ามีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระเชิงเส้น n ตัว สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน λ 1 , λ 2 , …, λ n จากนั้นพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n . ให้เราหารูปแบบของเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ซึ่งเราดำเนินการกับตัวดำเนินการ A บนเวกเตอร์พื้นฐาน: แล้ว .
ดังนั้นเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจึงมีรูปแบบแนวทแยงและค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A อยู่บนเส้นทแยงมุม
มีพื้นฐานอื่นที่เมทริกซ์มีรูปแบบแนวทแยงหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ในฐาน (i = 1..n) มีรูปแบบแนวทแยงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งหมดของฐานเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A

กฎการหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ให้เวกเตอร์ , โดยที่ x 1 , x 2 , …, x n - พิกัดของเวกเตอร์ x ที่สัมพันธ์กับฐาน และ x คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ เช่น . ความสัมพันธ์นี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์

. (*)

สมการ (*) ถือได้ว่าเป็นสมการในการหา x และ นั่นคือ เราสนใจคำตอบที่ไม่สำคัญ เนื่องจากเวกเตอร์ไอเกนจะเป็นศูนย์ไม่ได้ เป็นที่ทราบกันว่าคำตอบที่ไม่สำคัญของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นมีอยู่ก็ต่อเมื่อ det(A - λE) = 0 ดังนั้น สำหรับ λ จะเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่ det(A - λE ) = 0.
หากเขียนสมการ (*) อย่างละเอียดในรูปแบบพิกัด เราก็จะได้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

(1)
ที่ไหน คือเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น

ระบบ (1) มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์หากดีเทอร์มีแนนต์ D เท่ากับศูนย์

เราได้สมการในการหาค่าลักษณะเฉพาะ
สมการนี้เรียกว่าสมการคุณลักษณะ และด้านซ้ายเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ (ตัวดำเนินการ) A หากพหุนามลักษณะเฉพาะไม่มีรากที่แท้จริง เมทริกซ์ A ก็ไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและไม่สามารถลดลงให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยงได้
ให้ λ 1 , λ 2 , …, λ n เป็นรากที่แท้จริงของสมการลักษณะเฉพาะ และอาจมีทวีคูณในนั้น แทนที่ค่าเหล่านี้ในระบบ (1) เราจะพบ eigenvectors

ตัวอย่างที่ 12 ตัวดำเนินการเชิงเส้น A ทำหน้าที่ใน R 3 ตามกฎหมาย โดยที่ x 1 , x 2 , .., x n คือพิกัดของเวกเตอร์ในฐาน , , . ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของโอเปอเรเตอร์นี้
วิธีการแก้. เราสร้างเมทริกซ์ของตัวดำเนินการนี้:
.
เราสร้างระบบสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

เราเขียนสมการลักษณะเฉพาะและแก้มัน:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3
แทนที่ λ = -1 ลงในระบบ เรามี:
หรือ
เพราะ แล้วมีสองตัวแปรตามและหนึ่งตัวแปรอิสระ
ให้ x 1 เป็นที่ไม่รู้จักฟรีแล้ว เราแก้ระบบนี้ในทางใดทางหนึ่งและค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบนี้: ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาประกอบด้วยโซลูชันเดียว เนื่องจาก n - r = 3 - 2 = 1
ชุดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -1 มีรูปแบบดังนี้ โดยที่ x 1 เป็นตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ลองเลือกเวกเตอร์จากชุดนี้ เช่น โดยตั้งค่า x 1 = 1: .
การโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = 3: .
ในช่องว่าง R 3 ฐานประกอบด้วยเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามตัว แต่เราได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระเชิงเส้นเพียงสองตัวเท่านั้น ซึ่งไม่สามารถสร้างฐานใน R 3 ได้ ดังนั้น เมทริกซ์ A ของโอเปอเรเตอร์เชิงเส้นจึงไม่สามารถลดลงให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยงได้

ตัวอย่างที่ 13 รับเมทริกซ์ .
1. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้
2. ค้นหาฐานที่เมทริกซ์ A มีรูปแบบแนวทแยง
วิธีการแก้.
1. ถ้า แล้ว x เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

.
เวกเตอร์ (1, 8, -1) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ค่าลักษณะเฉพาะ λ = -1
เมทริกซ์มีรูปแบบแนวทแยงในฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หนึ่งในนั้นมีชื่อเสียง มาหาที่เหลือกัน
เรากำลังมองหา eigenvector จากระบบ:

สมการลักษณะเฉพาะ: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1
ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -3:

อันดับของเมทริกซ์ของระบบนี้มีค่าเท่ากับสองและเท่ากับจำนวนไม่ทราบค่า ดังนั้นระบบนี้จึงมีเพียงคำตอบที่เป็นศูนย์ x 1 = x 3 = 0 x 2 ในที่นี้สามารถเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น x 2 = 1 ดังนั้น เวกเตอร์ (0 ,1,0) จึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับ λ = -3 มาตรวจสอบกัน:
.
ถ้า λ = 1 เราก็จะได้ระบบ
อันดับของเมทริกซ์คือสอง ขีดฆ่าสมการสุดท้าย
ให้ x 3 เป็นที่รู้จักฟรี จากนั้น x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3
สมมติว่า x 3 = 1 เรามี (-3,-9,1) - เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = 1 ตรวจสอบ:

.
เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะเป็นจริงและแตกต่างกัน เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้จึงเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นพื้นฐานใน R 3 ได้ ดังนั้นในพื้นฐาน , , เมทริกซ์ A มีรูปแบบ:
.
ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A:R n → R n ที่สามารถลดลงเป็นรูปแบบแนวทแยงได้ เนื่องจากสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นบางตัว อาจมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระเชิงเส้นน้อยกว่า n ตัว อย่างไรก็ตาม หากเมทริกซ์มีความสมมาตร เวกเตอร์อิสระเชิงเส้น m ก็ตรงกับรากของสมการคุณลักษณะของหลายหลาก ม.

คำนิยาม. เมทริกซ์สมมาตรเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบที่มีความสมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากัน กล่าวคือ .
หมายเหตุ. 1. ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สมมาตรเป็นของจริง
2. เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันแบบคู่นั้นเป็นมุมฉาก
ในฐานะที่เป็นหนึ่งในการใช้งานจำนวนมากของอุปกรณ์ที่ศึกษา เราพิจารณาปัญหาในการกำหนดรูปแบบของเส้นโค้งอันดับสอง