ค่าลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุม

ปล่อยให้มีมวลกาย มในช่วงเวลาสั้นๆ ∆ ทีแรงกระทำภายใต้อิทธิพลของพลังนี้ ความเร็วของร่างกายเปลี่ยนไป ดังนั้นในช่วงเวลา ∆ ทีร่างกายเคลื่อนไหวด้วยความเร่ง

จากกฎพื้นฐานของพลวัต ( กฎข้อที่สองของนิวตัน) ดังต่อไปนี้:

ปริมาณทางกายภาพ เท่ากับสินค้ามวลกายตามความเร็วของการเคลื่อนไหวเรียกว่า แรงกระตุ้นของร่างกาย(หรือ จำนวนการเคลื่อนไหว- โมเมนตัมของวัตถุเป็นปริมาณเวกเตอร์ หน่วย SI ของแรงกระตุ้นคือ กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s).

ปริมาณทางกายภาพเท่ากับผลคูณของแรงและเวลาของการกระทำที่เรียกว่า แรงกระตุ้น - แรงกระตุ้นก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน

ในแง่ใหม่ กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

และการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของร่างกาย (ปริมาณการเคลื่อนไหว) เท่ากับแรงกระตุ้น.

กฎข้อที่สองของนิวตันใช้เขียนเป็นสัญลักษณ์แทนโมเมนตัมของวัตถุได้

ตรงนี้เลย มุมมองทั่วไปนิวตันเองก็เป็นผู้กำหนดกฎข้อที่สองขึ้นมา แรงในนิพจน์นี้แสดงถึงผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นี้สามารถเขียนเป็นเส้นโครงลงบนแกนพิกัด:

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงในการฉายภาพโมเมนตัมของร่างกายไปยังแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันทั้งสามแกนจะเท่ากับการฉายภาพของแรงกระตุ้นบนแกนเดียวกัน ลองมาเป็นตัวอย่าง มิติเดียวการเคลื่อนไหว ได้แก่ การเคลื่อนไหวของร่างกายไปตามทางใดทางหนึ่ง แกนประสานงาน(เช่น ขวาน โอ้- ให้ร่างกายหลุดลอยไปอย่างอิสระ ความเร็วเริ่มต้นυ 0 ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง; เวลาฤดูใบไม้ร่วงคือ ที- ลองกำหนดทิศทางของแกนดู โอ้ในแนวตั้งลง แรงกระตุ้นแรงโน้มถ่วง เอฟเสื้อ = มกทันเวลา ทีเท่ากับ การจัดการ- แรงกระตุ้นนี้เท่ากับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของร่างกาย

ผลลัพธ์อย่างง่ายนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจลนศาสตร์สูตรเพื่อความเร็ว การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ - ในตัวอย่างนี้ แรงยังคงมีขนาดไม่เปลี่ยนแปลงตลอดช่วงเวลาทั้งหมด ที- ถ้าแรงเปลี่ยนขนาด ต้องเปลี่ยนค่าเฉลี่ยของแรงมาเป็นนิพจน์ของแรงกระตุ้น เอฟ cf ตลอดระยะเวลาที่กระทำการ ข้าว. 1.16.1 แสดงวิธีการหาแรงกระตุ้นที่ขึ้นกับเวลา

ให้เราเลือกช่วงเวลาเล็กๆ Δ บนแกนเวลา ทีซึ่งในระหว่างนั้นกำลัง เอฟ (ที) ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเลย แรงกระตุ้น เอฟ (ที) Δ ทีทันเวลา ∆ ทีจะ เท่ากับพื้นที่คอลัมน์สีเทา ถ้าแกนเวลาทั้งหมดอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง ทีแบ่งออกเป็นช่วงเล็กๆ ∆ ทีฉันแล้วรวมแรงกระตุ้นที่ทุกช่วง Δ ทีฉันจากนั้นแรงกระตุ้นทั้งหมดจะเท่ากับพื้นที่ที่เกิดจากเส้นโค้งขั้นบันไดกับแกนเวลา ในขีดจำกัด (Δ ทีฉัน→ 0) พื้นที่นี้เท่ากับพื้นที่ที่กราฟจำกัด เอฟ (ที) และแกน ที- วิธีการหาแรงกระตุ้นจากกราฟนี้ เอฟ (ที) เป็นเรื่องทั่วไปและบังคับใช้กับกฎแห่งอำนาจที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ในทางคณิตศาสตร์ ปัญหาจะลดลงเหลือ บูรณาการฟังก์ชั่น เอฟ (ที) ในช่วงเวลา

แรงกระตุ้น กราฟแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.16.1 ในช่วงเวลาตั้งแต่ ที 1 = 0 วินาทีถึง ที 2 = 10 วินาทีเท่ากับ:

ในตัวอย่างง่ายๆ นี้

ในบางกรณีมีความแข็งแรงปานกลาง เอฟ cp สามารถกำหนดได้หากทราบเวลาของการกระทำและแรงกระตุ้นที่ส่งไปยังร่างกาย ตัวอย่างเช่น การตีอย่างแรงโดยนักฟุตบอลบนลูกบอลที่มีมวล 0.415 กิโลกรัม จะทำให้เขามีความเร็ว υ = 30 เมตร/วินาที เวลากระแทกประมาณ 8·10 -3 วินาที

ชีพจร พีลูกบอลที่ได้มาจากการฟาดคือ:

เพราะฉะนั้น, ความแข็งแรงโดยเฉลี่ย เอฟค่าเฉลี่ยที่เท้าของนักฟุตบอลกระทำต่อลูกบอลระหว่างการเตะคือ:

นี่เป็นพลังที่ยิ่งใหญ่มาก มีค่าประมาณเท่ากับน้ำหนักของร่างกายที่มีน้ำหนัก 160 กิโลกรัม

หากการเคลื่อนไหวของร่างกายระหว่างการกระทำของแรงเกิดขึ้นตามบางกรณี วิถีโค้งจากนั้นแรงกระตุ้นเริ่มต้นและสุดท้ายของร่างกายอาจแตกต่างกันไม่เพียงแต่ในขนาดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย ในกรณีนี้สะดวกในการใช้เพื่อตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม แผนภาพชีพจร ซึ่งแสดงภาพเวกเตอร์ และ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ สร้างตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังตัวอย่างในรูป รูปที่ 1.16.2 แสดงแผนภาพแรงกระตุ้นของลูกบอลกระดอนจากกำแพงขรุขระ มวลลูกบอล มชนกำแพงด้วยความเร็วที่มุม α ถึงเส้นปกติ (แกน วัว) และกระเด้งออกไปด้วยความเร็วที่มุม β ในระหว่างการสัมผัสกับกำแพงจะมีแรงบางอย่างเกิดขึ้นกับลูกบอลซึ่งมีทิศทางที่สอดคล้องกับทิศทางของเวกเตอร์

ในระหว่างการตกปกติของลูกบอลที่มีมวล มบนผนังยางยืดด้วยความเร็ว หลังจากเด้งกลับลูกบอลจะมีความเร็ว ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของลูกบอลระหว่างการดีดตัวจึงเท่ากับ

ในการฉายภาพลงบนแกน วัวผลลัพธ์นี้สามารถเขียนในรูปแบบสเกลาร์ Δ พีx = -2มυ x- แกน วัวหันห่างจากผนัง (ดังรูปที่ 1.16.2) ดังนั้น υ x < 0 и Δพีx> 0 ดังนั้น โมดูล Δ พีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมสัมพันธ์กับโมดูลัส υ ของความเร็วลูกบอลโดยความสัมพันธ์ Δ พี = 2มυ.

โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค ลสัมพันธ์กับต้นกำเนิด เกี่ยวกับในกลศาสตร์คลาสสิกถูกกำหนดโดยผลคูณเวกเตอร์ [ก,ร,เหล่านั้น.

คำจำกัดความนี้ใน กลศาสตร์ควอนตัมไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากไม่มีสถานะที่มีเวกเตอร์ทั้งสอง ชและ รมีความหมายบางอย่าง

ลองพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคควอนตัม ในกลศาสตร์ควอนตัม ผลคูณเวกเตอร์ [ก,ร]สอดคล้องกับตัวดำเนินการ [ร,ร- จากการขยายผลคูณเวกเตอร์นี้ เราจะพบตัวดำเนินการของการฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุมบนแกนพิกัด เอ็กซ์, ยู, Z ตัวอย่างเช่นบนแกน Z:

จากเส้นโครงเหล่านี้ ตัวดำเนินการเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมจะแสดงเป็น

ต่อไปนี้เราจะใช้ตัวดำเนินการฉายโมเมนตัมเชิงมุมบนแกน Z แต่ไม่ใช่ในระบบคาร์ทีเซียน แต่ในระบบพิกัดทรงกลม (ก, 0 พุธ):

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมจะขึ้นอยู่กับทิศทางของแกนพิกัดเท่านั้น ดังนั้นจึงเรียกว่า ตัวดำเนินการ โมเมนตัมเชิงมุม. ค่าลักษณะเฉพาะตัวดำเนินการของการฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุมไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดกำเนิดเช่นกัน

คุณสามารถตรวจสอบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวดำเนินการฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุม ล x , ล ยและ แอลซห้ามเดินทางระหว่างกัน: ยาว x ยาว y y>^ L y L x y)ดังนั้นจึงไม่มีสภาวะใดที่การคาดการณ์ทั้งสามหรือสองอย่างใดอย่างหนึ่งในสามรายการ ยาว x , L โวลต์ , L,มีค่าบางอย่างนอกเหนือจากศูนย์ โปรดสังเกตว่า ตรงกันข้ามกับโมเมนตัมเชิงมุม แรงกระตุ้นมีองค์ประกอบที่วัดได้พร้อมกันสามองค์ประกอบ: rx, ry, r,.

ดังนั้นจึงไม่มีสถานะของอนุภาคควอนตัมที่เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมจะมีค่าที่แน่นอน กล่าวคือ ย่อมกำหนดได้ทั้งขนาดและทิศทาง ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือกรณีที่ ล- 0 และเส้นโครงทั้งสามมีค่าเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน: ล x = ล วี = ล = 0.

โมดูลัสของโมเมนตัมเชิงมุม ในการกำหนดกำลังสองของโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคในสถานะ φ จำเป็นต้องแก้สมการของรูปแบบ (27.5):

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมกำลังสองอยู่ที่ไหน ล = ล + แอล ย + แอลซ.เป็นไปได้สำหรับตอนนี้

โปรดทราบว่าสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ ลยุติธรรม

ที่ไหน / - วงโคจร (อะซิมุธาล) หมายเลขควอนตัม. ดังนั้นโมดูลัสของโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคขนาดเล็กที่กำลังเคลื่อนที่

จะเห็นได้ว่าปริมาณนี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (quantized)

ผู้ประกอบการ ล x , ล ยและ แอลซ(27.10) เดินทางด้วย ล- เพราะฉะนั้น,

เป็นไปได้ที่จะกำหนดขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมไปพร้อมๆ กัน ล(หรือสี่เหลี่ยมจตุรัสของมัน ล 2) และหนึ่งในการคาดการณ์ ( ล , แอล ยหรือ ล- โดยปกติแล้วจะพิจารณาการฉายภาพบนแกน Z เนื่องจากในกรณีนี้คือผู้ปฏิบัติงาน แอลซได้มาจากสูตรที่ง่ายกว่า (27.10)

การฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุม ล z. เพื่อกำหนดค่าลักษณะเฉพาะและ ฟังก์ชั่นดั้งเดิมตัวดำเนินการของโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคจำเป็นต้องแก้ตามนิพจน์ (27.5) สมการ L-ph= 1.f เช่น

ที่ไหน ฟังก์ชั่นคลื่นเป็นฟังก์ชันของพิกัดทรงกลม: φ = φ(/*, 0, φ) การทดแทน φ = Ce af (C = C(/%0)) ผลลัพธ์หลังจากการลดลงด้วยปัจจัยร่วม ทะเล f ถึงสมการ

ซึ่งหมายความว่าการแก้สมการ (27.12) คือ:

เนื่องจากความไม่คลุมเครือที่ต้องการของ φ เมื่อหมุนรอบแกน Z ด้วยมุมอะซิมุทัล ср เท่ากับ 2φ ฟังก์ชันคลื่นไม่ควรเปลี่ยนแปลง: φ(φ + 2φ) = φ(φ) ตั้งแต่ฟังก์ชั่น ใน'aเป็นคาบด้วยคาบ 2n ดังนั้นตาม (27.13) ความเท่าเทียมกันนี้สามารถทำได้ภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น

หมายเลขอยู่ที่ไหน ตเรียกว่า เลขควอนตัมแม่เหล็กดังนั้นค่าคงที่ของพลังค์ พายถือได้ว่าเป็นหน่วยธรรมชาติของโมเมนตัมเชิงมุม โปรดทราบว่าสมการ (27.13) ระบุสเปกตรัมของค่าที่อนุญาตของการฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุมไปยัง ocbZ ที่เลือก

ข้าว. 27.1. การวางแนวที่เป็นไปได้เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม เช่น อิเล็กตรอน ในสถานะที่มีเลขควอนตัม 1 = 2

ความเท่าเทียมกัน (27.13) หมายความว่า เนื่องจากทิศทางของแกน Z ถูกเลือกโดยพลการ การฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุมไปยังทิศทางใดๆ จะถูกหาปริมาณ (รูปที่ 27.1) แน่นอนว่าภาพแผนผังไม่ควรถ่ายตามตัวอักษร เนื่องจาก "เวกเตอร์" ลโดยพื้นฐานแล้วไม่มีทิศทางที่แน่นอนในอวกาศ สำหรับค่าหนึ่งของโมดูลโมเมนตัมเชิงมุมและค่าที่แน่นอนของการฉายภาพ ลิตรการคาดการณ์ ลและ แอล ยไม่มี ค่าบางอย่าง(ยกเว้นกรณีที่องค์ประกอบทั้งสามส่วนของโมเมนตัมเชิงมุมมีค่าเท่ากับศูนย์พร้อมกัน) ค่านิยม ลและ เลเวลแตกต่างจาก (27.11a) และ (27.13) ไม่สามารถสังเกตได้ภายใต้เงื่อนไขใด ๆ

เส้นโครงของเวกเตอร์ใดๆ ต้องไม่มากกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์นี้ เช่น - L z ดังนั้นตามสูตร (27.11a) และ (27.13) จึงเป็นไปตามเงื่อนไข

เพราะฉะนั้น, ค่าสูงสุด ตเท่ากับ / และเราสามารถเขียนมันได้

ให้/หมายเลข ตยอมรับ (21 + 1) ค่า:

สร้างสเปกตรัมการฉายภาพ แอลซ = เมกะไบต์ไปยังแกน Z ที่เลือก (รูปที่ 27.1)

ดังนั้นหมายเลขควอนตัม / ระบุทั้งโมดูลัสของโมเมนตัมเชิงมุมและค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการฉายภาพบนแกน Z

ผลลัพธ์ที่ได้รับ การกำหนดค่าที่เป็นไปได้ ลและ เลเวลเรียกว่าการหาปริมาณเชิงพื้นที่ เพื่อความชัดเจน การหาปริมาณเชิงพื้นที่มักจะแสดงเป็นกราฟิก (รูปที่ 27.1): ตามแนวแกน ซีเลื่อนออกไปได้ ค่านิยม เมกะไบต์,โดยพิจารณาว่าเป็นเส้นโครงบนแกน Z ของเวกเตอร์ ลความยาว L //(/ + 1)

ปัญหาที่ 1

มวลวัตถุเคลื่อนที่ไปตามแกนวัวม=1กก.ที่ความเร็วโวลต์ 0 = 2 เมตร/วินาที ไปตามทิศทางของการเคลื่อนไหวที่มันทำหน้าที่ความแข็งแกร่งF = 4 N เป็นระยะเวลาหนึ่งเสื้อ = 2 วินาที กำหนดความเร็วของร่างกายหลังจากสิ้นสุดแรงนี้

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ประการแรก สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าแรงกระตุ้นของร่างกายคืออะไร

ข้าว. 1. การเลือกระบบอ้างอิง

ระลึกได้ว่า แรงกระตุ้น– นี่คือการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมของร่างกายที่เราเขียน การแสดงออกครั้งต่อไป: .

ตอนนี้เรามาประสานสมการกับระบบอ้างอิงที่เลือกกันดีกว่า แรง F เมื่อฉายลงบนแกน X จะมีเครื่องหมายบวก ซึ่งหมายความว่า: .

จากนั้นเมื่อเปลี่ยนสมการนี้โดยแยกความเร็วที่ต้องกำหนดออกจากนั้นเราจึงเขียนนิพจน์ต่อไปนี้: .

คำตอบ: 10 เมตร/วินาที

ปัญหาที่ 2

รถเข็นที่มีคนอยู่นั้นเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว 2 เมตร/วินาที บุคคลกระโดดลงจากรถเข็นในแนวนอนตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของรถเข็นด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที กำหนดความเร็วของรถเข็นหลังจากที่บุคคลนั้นกระโดดลงจากรถ มวลของบุคคลมากกว่ามวลของรถเข็น 1.5 เท่า

ข้าว. 2. การฉายภาพโมเมนตัมของวัตถุบนแกน X

ในกรณีแรก ให้ระวัง ทั้งรถเข็นและคนเดินทางด้วยกันซึ่งหมายความว่าความเร็วเท่ากัน เราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับระบบอ้างอิงนี้ที่เกี่ยวข้องกับแกน Ox: .

จากนั้นเมื่อบุคคลนั้นกระโดดลงจากรถเข็น ทั้งสองร่างนี้ก็จะเขียนได้ดังนี้: .

เครื่องหมายลบแสดงว่าความเร็วของบุคคลนั้นมุ่งไป ฝั่งตรงข้ามและความเร็วของรถเข็นที่มีเครื่องหมายบวกจะมุ่งไปในทิศทางเดียวกับความเร็วเริ่มต้น กล่าวคือ ตามแนวแกนวัว

ต้องเขียนสำนวนเหล่านี้เพื่อ สถานะเริ่มต้นและสภาวะหลังจากการปฏิสัมพันธ์ เราจะใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

โดย กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมแรงกระตุ้นในกรณีแรกจะเท่ากับแรงกระตุ้นในกรณีที่สอง: P 0x = P x -

เมื่อเขียนความสัมพันธ์นี้แล้วเราจะเขียนมันใหม่และเปิดวงเล็บของนิพจน์: (ม. 1 +ม. 2) .ว 1 =-ตร.ม.วี2+ม. 1วี¢ 1.

ต้องกำหนดความเร็ว V¢ 1 ลองแสดงมวลของบุคคลผ่านมวลของรถเข็น แต่เพื่อให้มวลแสดงเป็นหน่วยเดียวกัน: (ม. 1 +1.5ม. 1) .วี 1 =-1.5ม. 1วี2+ม. 1วี¢ 1.

เราสามารถนำมวล m 1 ออกจากวงเล็บและลดขนาดได้: 2,5 ม. 1วี 1 =-1.5ม. 1วี2+ม. 1วี¢ 1- เมื่อเราแทนค่าความเร็ว เราจะได้คำตอบ: .

ม ปัญหานี้แสดงให้เห็นได้ดี แรงขับเจ็ท- คนที่กระโดดลงจากรถเข็นในทิศทางตรงกันข้ามจะเพิ่มความเร็วของรถเข็นเอง ไม่เป็นความจริงเลย สิ่งนี้เข้ากันได้ดีกับวิธีที่ก๊าซหลบหนีจากจรวดด้วยความเร็วระดับหนึ่งและเพิ่มความเร็วให้กับกระสุน กล่าวคือ จรวดนั้นเอง

ปัญหา 3

มวลลูกบอล ม.1 = 1 กก- แล่นไปตามพื้นผิวเรียบอย่างสมบูรณ์แบบด้วยความเร็ว โวลต์ 1 = 4 เมตร/วินาทีและชนอย่างยืดหยุ่นกับลูกบอลที่มีมวลขนาดเท่ากัน ม.2 = 3 กก- กำหนดความเร็วของลูกบอลหลังจากการกระแทก?
สารละลาย:
ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมระหว่างการกระแทกที่ไม่ยืดหยุ่นโดยสิ้นเชิง

โอ้:

คำตอบ: 1 เมตร/วินาที

ปัญหาที่ 4

ลูกบอลหนัก 70 ช- ตกลงสู่พื้นในมุม 60 0 ถึงปกติและเด้งกลับในมุมเดียวกันโดยไม่สูญเสียความเร็ว หาแรงกระตุ้นของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อลูกบอลระหว่างการกระแทก หากความเร็วของลูกบอลคือ 30 เมตร/วินาที.
สารละลาย:
ให้เราแสดงในรูปการเปลี่ยนแปลงความเร็วของลูกบอลระหว่างการกระแทก:
มาเขียนกฎข้อที่ 2 ของนิวตันกันดีกว่า
โดยการก่อสร้างเรากำหนดได้ว่า ขนาดของแรงกระตุ้นของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อลูกบอลระหว่างการกระแทกจะเท่ากับ
คำตอบ:

ปัญหาที่ 5

เด็กชายน้ำหนัก 40 กกยืนบนรองเท้าสเก็ต ขว้างก้อนหินมวล 1 กกที่ความเร็ว 8 เมตร/วินาที- ที่มุม 60 0 ถึงแนวนอน กำหนดความเร็วที่เด็กชายจะเริ่มเคลื่อนที่ไปตามน้ำแข็งอันเป็นผลมาจากการขว้างหรือไม่?

สารละลาย:
ไม่มีแรงในแนวนอนที่กระทำต่อระบบบอยสโตน ใน ระบบเฉื่อยรายงานการเชื่อมต่อกับพื้นดิน การฉายแรงกระตุ้นรวมของระบบลงบนแกนนอนจะต้องไม่เปลี่ยนแปลง:
ความเร็วของเด็กชายหลังขว้าง
คำตอบ: 0.1 เมตร/วินาที

ปัญหาที่ 6 0.04 ม./วินาที

ปัญหาที่ 7

กระสุนปืนที่จุดสูงสุดของวิถีกระสุนระเบิดออกเป็นสองส่วนพร้อมมวลม 1 =3 กก. และ ม 2 =5กก. ความเร็วของกระสุนปืนทันทีก่อนเกิดการระเบิดเท่ากับโวลต์ 0 =600 m/s ความเร็วของชิ้นส่วนที่ใหญ่กว่าทันทีหลังจากการแตกร้าวเท่ากับโวลต์ 2 =800 m/s และทิศทางสอดคล้องกับทิศทางการเคลื่อนที่ของกระสุนปืนก่อนเกิดการระเบิด กำหนดความเร็วของชิ้นส่วนขนาดเล็กทันทีหลังจากการแตก

สารละลาย:
ให้เราเลือกทิศทางบวกของความเร็วกระสุนปืนโวลต์ 0 และเขียนกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมไว้




ซึ่งหมายความว่าชิ้นส่วนเล็กๆ กำลังบินไปในทิศทางเดียวกัน
คำตอบ:

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นผลมาจากกฎของนิวตันและใช้ในการกำหนดความเร็วชั่วขณะของวัตถุหลังจากการมีปฏิสัมพันธ์กัน

โมเมนตัมของวัตถุ (จุดวัตถุ) เรียกว่าเวกเตอร์ ปริมาณทางกายภาพเท่ากับผลคูณของมวลกายและความเร็วของมัน p -> = mϑ -> โดยที่ m คือมวลกาย ϑ -> – ความเร็วทันที- แรงกระตุ้นของระบบร่างกายคือผลรวมเวกเตอร์ของแรงกระตุ้นของร่างกาย pc c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + … + p n ->

ตามกฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน ถ้าวัตถุไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน โมเมนตัมของวัตถุแต่ละชิ้นและโมเมนตัมของวัตถุหลายชิ้นที่รวมอยู่ในระบบจะถูกอนุรักษ์ไว้ เมื่อมีปฏิสัมพันธ์กันภายในระบบ แรงคู่จะเกิดขึ้นระหว่างวัตถุที่มีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน

ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ ซึ่งเป็นหน่วยวัดการกระทำของแรงในช่วงระยะเวลาหนึ่ง เรียกว่าแรงกระตุ้น และเขียนแทนด้วย F -> Δtจากกฎข้อที่สองของนิวตัน ในกรณีของการกระทำของแรงหนึ่งแรงและนิยามของความเร่ง จะเป็นไปตาม F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

ฉ -> = ม( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = ม ϑ -> – ม ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

สมการนี้คือกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในรูปพัลส์แรงกระตุ้น (ผลลัพธ์) เท่ากับการเปลี่ยนแปลงของแรงกระตุ้นของร่างกาย (จุดวัตถุ) ในระบบปิด ปฏิกิริยาจะเกิดขึ้นเป็นคู่ โดยโมเมนตัมของวัตถุหนึ่งเปลี่ยนด้วยค่า F 21 -> Δt โมเมนตัมของวินาทีเป็น F 12 -> Δt โดยที่ F 12 -> คือแรงที่กระทำต่อวัตถุแรก ตัวที่สองและ F 21 -> – แรงที่กระทำจากตัวที่สองในตัวแรก

ให้เราเรียกระบบปิดของร่างกายที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างกันเท่านั้น

โมเมนตัมของวัตถุชิ้นแรกเปลี่ยนแปลงตามจำนวน F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt โมเมนตัมของวัตถุชิ้นที่สองเปลี่ยนตามจำนวน F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt แต่โมเมนตัมของระบบวัตถุยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> เนื่องจาก F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0 เนื่องจาก F 12 -> = -F 21 ->

สำหรับอันตรกิริยาใดๆ ของวัตถุทั้งสองภายในระบบปิด โมเมนตัมของทั้งระบบจะไม่เปลี่ยนแปลง ให้เรากำหนดกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

ผลรวมเวกเตอร์ของแรงกระตุ้นของวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งประกอบกันเป็นระบบปิดยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในปัญหา เราทำสองประการ การวาดแผนผังแสดงสถานะของระบบของร่างกายก่อนและหลังการมีปฏิสัมพันธ์ ในการแก้สมการเวกเตอร์ เราเลือกระบบพิกัดที่เหมือนกัน

ปัญหาที่ 1. ผลกระทบที่ไม่ยืดหยุ่น

รถยนต์ที่มีน้ำหนัก 30 ตันเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที และชนกับแท่นที่อยู่กับที่ซึ่งหนัก 10 ตัน จงหาความเร็วของรถและแท่นหลังจากเปิดใช้งานข้อต่ออัตโนมัติ

สารละลาย.

พี 01 -> + พี 02 -> = พี 1 -> + พี 2 ->

ม1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

อ็อกซ์: ม 1 ϑ 1 = (ม 1 + ม 2) ϑ

จากที่นี่: ϑ = ม 1 ϑ 1 /(ม 1 + ม 2);

ϑ = (30 103 4) / (30 103 + 10 103) = 0.75 เมตรต่อวินาที

[ϑ] = (กก. ม./วินาที)/กก. = ม./วินาที

คำตอบ. 0.75 ม./วินาที

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมยังสามารถนำไปใช้กับระบบเปิดได้ ถ้าอันตรกิริยาของวัตถุเกิดขึ้นทันที และความเร็วของวัตถุจะถูกกำหนดทันทีหลังจากการมีปฏิสัมพันธ์

ภารกิจที่ 2. แบ่งออกเป็นส่วน ๆ

ระเบิดมือที่บินด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที แตกออกเป็นสองส่วน มวล 1.2 กก. และ 1.8 กก. ชิ้นส่วนที่ใหญ่กว่ายังคงเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของชิ้นส่วนที่เล็กกว่า

สารละลาย.

ระบบไม่ได้ปิดสนิทกับร่างกายและส่วนต่างๆ ของมันขึ้นอยู่กับแรงโน้มถ่วง แต่เนื่องจากการแตกเกิดขึ้นทันที การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของแต่ละส่วนด้วยแรงโน้มถ่วงจึงสามารถละเลยได้ ขอให้เราใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในรูปแบบเวกเตอร์

ม ϑ -> = ม 1 ϑ -> 1 + ม 2 ϑ -> 2

โอ้: ม ϑ = ม 1 ϑ 1+M2 ϑ 2

จากที่นี่: ϑ 2x = (ม ϑ - ม.1 ϑ 1)/M2

ϑ 2x = (3 20 – 1.8 50)/1.2 = -25 เมตร/วินาที

[ϑ] = (กก. ม./วินาที)/กก. = ม./วินาที

คำตอบ.

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถนำไปใช้ในการฉายภาพบนแกนได้หากเป็นการฉายภาพผลลัพธ์ กองกำลังภายนอกบนแกนนี้เท่ากับ O. p x = 0; พี 01x + พี 02x = พี 1x + พี 2x

ภารกิจที่ 3 ยิงเป็นมุม

จากปืนที่ติดตั้งบนแท่นมวล M กระสุนปืนมวล m จะถูกยิงที่มุม a ถึงแนวนอนและมีความเร็ว V สัมพันธ์กับพื้น กำหนดความเร็วของแท่นหลังการยิง

สารละลาย.

ระบบไม่ได้ปิด ในระหว่างการยิง แรงปฏิกิริยาสนับสนุนเพิ่มเติมจะกระทำต่อร่างกาย ซึ่งส่งแรงกระตุ้นไปยังกระสุนปืนตาม แกนแนวตั้ง OY เส้นโครงบนแกน OX แนวนอนเท่ากับ 0 ไม่มีแรงอื่นที่กระทำบนแกน OX ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในการฉายภาพบนแกน OX ได้

พี x = พี 1x + พี 2x

อ็อกซ์: 0 = MU x + ม ϑ x

0 = MU x + ม ϑ โคซ่า

U x = ม. ϑcosα/M

[U] = (กก. ม./วินาที)/กก. = ม./วินาที

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้จะแก้ปัญหาเรื่องกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมอย่างไร?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม