การผสมผสาน. วิธีการแก้ปัญหาแบบผสมผสาน

เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง เราต้องใช้องค์ประกอบหลายๆ อย่างรวมกัน เลือกจากชุดที่กำหนดซึ่งมีคุณสมบัติบางอย่าง และวางไว้ในลำดับที่แน่นอน งานดังกล่าวเรียกว่า combinatorial. ส่วนของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการแก้ปัญหาการเลือกและการจัดเรียงองค์ประกอบตามเงื่อนไขที่กำหนดเรียกว่าการรวมกัน คำว่า "combinatorics" มาจาก คำภาษาละติน รวมซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซียหมายถึง - "รวม", "เพื่อเชื่อมต่อ"

กลุ่มองค์ประกอบที่เลือกเรียกว่าการเชื่อมต่อ หากองค์ประกอบทั้งหมดของการเชื่อมต่อแตกต่างกัน เราก็จะได้รับการเชื่อมต่อโดยไม่มีการทำซ้ำ ซึ่งเราจะพิจารณาด้านล่าง

ข้างมาก ปัญหาการรวมกันแก้ไขโดยใช้กฎพื้นฐานสองข้อ - กฎผลรวมและกฎผลิตภัณฑ์.

ภารกิจที่ 1

ร้าน All for Tea มีถ้วย 6 ใบและจานรอง 4 ใบ คุณสามารถซื้อถ้วยและจานรองได้กี่แบบ?

วิธีการแก้.

เราเลือกถ้วยได้ 6 วิธี และจานรองได้ 4 วิธี เนื่องจากเราต้องซื้อถ้วยและจานรองมาสักคู่ เราจึงทำได้ 6 4 = 24 วิธี (ตามกฎผลิตภัณฑ์)

คำตอบ: 24.

ในการแก้ปัญหาแบบผสมผสานได้สำเร็จ จำเป็นต้องเลือกสูตรที่เหมาะสมเพื่อค้นหาจำนวนสารประกอบที่ต้องการ แผนภาพต่อไปนี้จะช่วยในเรื่องนี้

พิจารณาแก้ปัญหาหลายประการเกี่ยวกับ ประเภทต่างๆการเชื่อมต่อโดยไม่ต้องทำซ้ำ

ภารกิจที่ 2

หาเลขสามหลักที่สามารถสร้างได้จากเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถ้าตัวเลขในตัวเลขนั้นซ้ำไม่ได้

วิธีการแก้.

ในการเลือกสูตร เราพบว่าสำหรับตัวเลขที่เราจะเขียนนั้น ลำดับจะถูกนำมาพิจารณาและไม่ได้เลือกองค์ประกอบทั้งหมดในเวลาเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าการเชื่อมต่อนี้เป็นการจัดเรียงของ 7 องค์ประกอบด้วย 3 ลองใช้สูตรสำหรับจำนวนตำแหน่ง: A 7 3 = 7(7 - 1)(7 - 2) = 7 6 5 = 210 ตัวเลข

คำตอบ: 210.

ภารกิจที่ 3

มีเจ็ดหลักกี่ตัว หมายเลขโทรศัพท์ซึ่งตัวเลขทั้งหมดต่างกันและตัวเลขไม่สามารถเริ่มจากศูนย์ได้?

วิธีการแก้.

เมื่อมองแวบแรก งานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้านี้ แต่ปัญหาคือคุณต้องไม่คำนึงถึงการเชื่อมต่อที่เริ่มต้นจากศูนย์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องสร้างหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักทั้งหมดจากตัวเลขที่มีอยู่ 10 หลัก แล้วลบจำนวนตัวเลขที่เริ่มต้นจากศูนย์ออกจากจำนวนผลลัพธ์ สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

A 10 7 - A 9 6 \u003d 10 9 8 7 6 5 4 - 9 8 7 6 5 4 \u003d 544 320

คำตอบ: 544 320.

ภารกิจที่ 4

หนังสือ 12 เล่มสามารถจัดวางบนหิ้งได้กี่วิธี โดยหนังสือ 5 เล่มเป็นคอลเลกชั่นบทกวี เพื่อให้ชุดสะสมอยู่เคียงข้างกัน?

วิธีการแก้.

ขั้นแรก ลองใช้คอลเลกชั่น 5 ชุดตามเงื่อนไขสำหรับหนังสือเล่มเดียว เพราะควรวางเคียงข้างกัน เนื่องจากการจัดลำดับเป็นสิ่งสำคัญในการเชื่อมต่อ และมีการใช้องค์ประกอบทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าสิ่งเหล่านี้เป็นการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 8 (7 เล่ม + เงื่อนไข 1 เล่ม) หมายเลขของพวกเขาคือ R 8 . ต่อไปเราจะจัดกลุ่มบทกวีเท่านั้น สามารถทำได้ 5 วิธี เนื่องจากเราจำเป็นต้องจัดเตรียมทั้งคอลเลกชั่นและหนังสืออื่นๆ เราจะใช้กฎของผลิตภัณฑ์ ดังนั้น R 8 · R 5 = 8! · 5!. จำนวนวิธีจะมีมาก ดังนั้นคำตอบจึงเหลือเป็นผลของแฟกทอเรียล

คำตอบ: 8! · 5!

งาน 5.

มีเด็กชาย 16 คนและเด็กหญิง 12 คนในชั้นเรียน ทำความสะอาดพื้นที่ใกล้โรงเรียน ต้องการเด็กชาย 4 คน เด็กหญิง 3 คน สามารถเลือกจากนักเรียนทุกคนในชั้นเรียนได้กี่วิธี

วิธีการแก้.

อันดับแรก เราแยกเด็กชาย 4 คนจาก 16 คนและเด็กหญิง 3 คนจาก 12 คน เนื่องจากไม่ได้พิจารณาลำดับของตำแหน่ง สารประกอบที่เกี่ยวข้องจึงเป็นชุดค่าผสมที่ไม่มีการซ้ำกัน เมื่อพิจารณาถึงความจำเป็นในการเลือกทั้งเด็กชายและเด็กหญิงในเวลาเดียวกัน เราใช้กฎผลิตภัณฑ์ เป็นผลให้จำนวนวิธีจะถูกคำนวณดังนี้:

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 ) 4)) ((10 11 12) ) / (2 3)) = 400 400.

คำตอบ: 400 400.

ทางนี้, ทางออกที่ประสบความสำเร็จของปัญหาเชิงผสมผสานขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์สภาวะที่ถูกต้อง การกำหนดประเภทของสารประกอบที่จะรวบรวม และการเลือกสูตรที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณจำนวน

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาแบบผสมผสาน?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ภารกิจที่ 1นักเรียนทั้งแปดคนจับมือกัน มีการจับมือกันกี่ครั้ง?

วิธีการแก้.“กลุ่มย่อย” ประกอบด้วยนักเรียนสองคน (m=2) มีส่วนร่วมในการจับมือกัน ในขณะที่นักเรียนทั้งชุดมี 8 คน (n=8) เนื่องจากลำดับไม่สำคัญในกระบวนการจับมือ เราจึงเลือกสูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม:

งาน.ธงลายสามสีทำมาจากผ้าห้าผืนที่มีสีต่างกันได้กี่วิธี?

วิธีการแก้. ลำดับมีความสำคัญ เพราะการเรียงสับเปลี่ยนของสสารภายในธงไตรรงค์หมายถึง ประเทศต่างๆ. ดังนั้นเราจึงเลือกสูตรสำหรับจำนวนตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ โดยที่ชุดของส่วนของสสาร n = 5 และชุดย่อยของสี m=3:

ภารกิจที่ 2ต้องตีพิมพ์พจนานุกรมกี่ฉบับจึงจะสามารถแปลจากภาษาใดภาษาหนึ่งจากหกภาษาเป็นภาษาใดภาษาหนึ่งได้

วิธีการแก้. ชุดประกอบด้วย 6 ภาษา n=6 เนื่องจากการแปลเป็นความสัมพันธ์ระหว่างสองภาษา ดังนั้น m=2 และลำดับจึงมีความสำคัญ เช่น พจนานุกรม รัสเซีย-อังกฤษ และ อังกฤษ-รัสเซีย มี แอพพลิเคชั่นต่างๆ. ดังนั้นเราจึงเลือกตำแหน่งที่ไม่ซ้ำ:

ภารกิจที่ 3มีกี่ทางเลือกในการจัดตารางเรียนในวันจันทร์ ถ้านักเรียนมี 9 วิชา และในวันจันทร์มี 4 คู่วิชาและวิชาไม่ซ้ำกัน?

วิธีการแก้. ก) สำหรับนักเรียน ลำดับไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงเลือกสูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม:

b) สำหรับครู ลำดับมีความสำคัญ ดังนั้นเราจึงเลือกสูตรการจัดตำแหน่งโดยไม่ซ้ำกัน:

ภารกิจที่ 4สามารถจัดหนังสือเก้าเล่มบนชั้นวางหนังสือได้หลายวิธี โดยมีหนังสือสามเล่มโดย A.S. พุชกิน?

วิธีการแก้.

เนื่องจากทั้งสามเล่มที่รวมอยู่ในชุดสามเล่มนั้นควรอยู่เคียงข้างกัน และเรียงความรุ่งโรจน์จากน้อยไปมากทางด้านขวา เราถือว่ามันเป็นองค์ประกอบเดียว ชุดที่ให้มาซึ่งมีอีก 6 องค์ประกอบ ดังนั้นเราจึงเลือกพีชคณิตโดยไม่ซ้ำกันในชุดที่มีเจ็ดองค์ประกอบ:

ป 7 = 7! = 5040

งาน 5.กลุ่ม 30 คนสามารถมอบหมายให้ผู้เข้าร่วมประชุมสามคนได้หลายวิธี?

วิธีการแก้.

ก) หากบทบาทของพวกเขาในกระบวนการปฏิบัติหน้าที่เหมือนกัน ลำดับก็ไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงเลือกชุดค่าผสมโดยไม่ต้องทำซ้ำ:

ค 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

b) หากลำดับมีความสำคัญ กล่าวคือ ระหว่างปฏิบัติหน้าที่ หน้าที่ความรับผิดชอบแตกต่างกัน จากนั้นตามสูตรการจัดวางโดยไม่ซ้ำกัน เรามี:

และ 3 30 = 30! / 27! = 24360

ภารกิจที่ 6มีหมายเลขโทรศัพท์หกหลักกี่หมายเลข ซึ่ง: ก) ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้; b) ตัวเลขทั้งหมดต่างกันหรือไม่?

วิธีการแก้.

ก) 1. เนื่องจากตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้ในการหมุนหมายเลขโทรศัพท์หกหลัก ตัวเลข 10 หลักใด ๆ จาก 0 ถึง 9 สามารถพบได้ในแต่ละตำแหน่งจาก 6 ตำแหน่ง จำเป็นต้องเลือกจากตัวเลขสิบหลักที่เป็นไปได้เท่านั้น หกตัวที่จะใช้สำหรับหมายเลขโทรศัพท์หกหลัก เนื่องจากลำดับของตัวเลขในบันทึกหมายเลขโทรศัพท์มีความสำคัญ ตามสูตรการจัดตำแหน่งที่มีการซ้ำซ้อน เรามี:

10 6 \u003d 10 6 \u003d 1000000

2. อย่างที่คุณทราบ ไม่มีตัวเลขหกหลักที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ ดังนั้นคุณต้องนับจำนวนนั้นแล้วลบออกจากจำนวนชุดค่าผสมทั้งหมด จำนวนตัวเลข หลักแรกที่เป็น 0 เราพบโดยสูตรการจัดวางที่มีการซ้ำซ้อน "แก้ไข" ศูนย์เช่น คนละห้าคน สถานที่ที่เป็นไปได้เลขสิบตัวใดก็ได้จาก
0 ถึง 9 จากนั้นจำนวนของชุดค่าผสมดังกล่าว:

10 5 \u003d 10 5 \u003d 100000

3. จำนวนรวมของหมายเลขโทรศัพท์หกหลักซึ่งสามารถมีได้รวมทั้งตัวเลขซ้ำ ๆ เท่ากับส่วนต่าง:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 1000000 - 100000 \u003d 900000

b) 1. ให้ตัวเลขทั้งหมดในชุดหกหลักแตกต่างกัน จำเป็นต้องเลือกจากตัวเลขสิบหลักที่เป็นไปได้ทั้งหมด เฉพาะหกหลักที่ใช้สำหรับหมายเลขโทรศัพท์หกหลักเท่านั้น และไม่มีตัวเลขซ้ำ จากนั้น ตามสูตรการจัดวางโดยไม่ซ้ำซ้อน เรามี:

และ 10 6 = 10! / (10 - 6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. เนื่องจากไม่มีตัวเลขหกหลักที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ คุณต้องนับจำนวนนั้นแล้วลบออกจากจำนวนชุดค่าผสมทั้งหมด จำนวนของตัวเลข หลักแรกที่เป็น 0 เราหาได้จากสูตรการจัดวางโดยไม่ซ้ำกัน "แก้ไขศูนย์" เช่น ในแต่ละตำแหน่งที่เป็นไปได้ห้าแห่งที่เหลือ อาจมีตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 จากนั้นจำนวนของชุดค่าผสมดังกล่าวจะถูกพบโดยสูตรการจัดวางโดยไม่ซ้ำกัน เรามี:

และ 10 5 = 10! / (10-5)! \u003d 6x7x8x9x10 \u003d 30240

3. จำนวนรวมของหมายเลขโทรศัพท์หกหลักที่ไม่สามารถมีตัวเลขซ้ำได้เท่ากับส่วนต่าง:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 151200 - 30240 \u003d 120960

ภารกิจที่ 7สามารถเลือกตัวแทนสามคนจากคู่สมรสสี่คู่ได้กี่วิธีหาก:

ก) คณะผู้แทนรวมถึงสามคนในแปดคนนี้;

b) คณะผู้แทนควรประกอบด้วยผู้หญิงสองคนและผู้ชายหนึ่งคน

คณะผู้แทนไม่รวมสมาชิกในครอบครัวเดียวกัน?

วิธีการแก้.

ก) ลำดับไม่สำคัญ:

ค 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

b) เราเลือกผู้หญิงสองคนจาก 4C 4 2 วิธีและผู้ชาย 1 คนจาก 4C 4 1 วิธี ตามกฎผลิตภัณฑ์ ( และผู้ชาย และผู้หญิงสองคน) เรามี C 4 2 x C 4 1 \u003d 24

c) เราเลือกสมาชิกของคณะผู้แทน 3 คนจากสี่ครอบครัวในสี่วิธี (เพราะ C 4 3 = 4! / 3!1! = 4) แต่ในแต่ละครอบครัว มีสองวิธีในการเลือกสมาชิกของคณะผู้แทน ตามกฎผลิตภัณฑ์ C 4 3 x2x2x2 \u003d 4x8 \u003d 32

ภารกิจที่ 8วิทยาลัยมีนักเรียน 2,000 คน เป็นไปได้ไหมว่าอย่างน้อยสองคนมีชื่อย่อและชื่อและนามสกุลเหมือนกัน?

วิธีการแก้.

ตัวอักษรรัสเซียมี 33 ตัวอักษร ซึ่งไม่สามารถใช้ ъ, ь, ы, й ได้ ดังนั้น n = 33-4 = 29 ตัวอักษรทั้ง 29 ตัวสามารถเป็นชื่อย่อได้ และชื่อ, และนามสกุล ตามกฎผลิตภัณฑ์ 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 ตัวเลือกต่างๆและในหมู่นักเรียน 2,000 คน จะเป็นเรื่องบังเอิญอย่างแน่นอน

วิธีแก้ปัญหา: A(วิธี)

ภารกิจที่ 6

อัลบั้มหน้า 6 ที่ว่างสำหรับภาพถ่าย

คุณสามารถลงทุนในพื้นที่ว่างได้กี่วิธี

ก) 4 รูป;

ข) 6 รูป

วิธีแก้ปัญหา: ก) A

ภารกิจที่ 7

ตัวเลขสามหลัก (แบบไม่มีตัวเลขซ้ำในการป้อนตัวเลข) ทำได้จากตัวเลข 0,1,2,3,4,5 และ 6 กี่ตัว?

คำอธิบาย: หากไม่มีศูนย์ในตัวเลขเจ็ดหลัก จำนวนสามหลักที่สามารถประกอบขึ้นจากตัวเลขเหล่านี้ได้จะเท่ากับจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ 7 ตัวของ 3 A . อย่างไรก็ตาม ในบรรดาตัวเลขทั้งเจ็ดนี้มีตัวเลข 0 ซึ่งไม่สามารถเริ่มต้นด้วยตัวเลขสามหลักได้ ดังนั้นจากตำแหน่งขององค์ประกอบ 7 ตัวคูณ 3 จำเป็นต้องแยกองค์ประกอบที่มีองค์ประกอบแรกเป็นหมายเลข 0 จำนวนขององค์ประกอบนั้นเท่ากับจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ 6 คูณ 2

ดังนั้นจำนวนที่ต้องการคือ: A
.

วิธีแก้ปัญหา: A

ภารกิจที่ 8

ของตัวเลขสามหลักที่เขียนโดยใช้ตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (ไม่ซ้ำตัวเลข) มีกี่ตัว ก) เลข 6 และ 7 รวมกัน ไม่เกิดขึ้น;

b) เลข 8 ตัวสุดท้ายใช่หรือไม่

วิธีแก้ปัญหา: ก) A

ข) อา

ภารกิจที่ 9

หมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักมีทั้งหมดกี่หมายเลข ที่แต่ละหลักต่างกันและหลักแรกต่างจาก 0

วิธีแก้ปัญหา: A

ทีนี้มาดูพล็อตนี้:

ดอกคาร์เนชั่นมีทั้งหมด 5 สี มาติดป้ายด้วยตัวอักษรกัน เอ , ข , ค , d , อี . ต้องทำช่อคาร์เนชั่นสามช่อ

มาดูกันว่าช่อดอกไม้ที่สามารถทำได้คืออะไร

ถ้าช่อประกอบด้วยดอกคาร์เนชั่น เอจากนั้นคุณสามารถสร้างช่อดอกไม้ดังกล่าวได้:

เอบีซี เอบีเอ เอบีซี เอซี เอซีเอ

ถ้าช่อไม่มีดอกคาร์เนชั่น เอและรวมถึงดอกคาร์เนชั่น ข, จากนั้นคุณจะได้รับช่อดอกไม้ดังกล่าว:

Bcd, คริสตศักราช, bdc.

สุดท้ายถ้าช่อไม่มีดอกคาร์เนชั่น เอ,ดอกคาร์เนชั่น ขแล้วคุณจะทำช่อดอกไม้ได้

cde.

เราได้แสดงวิธีการทำช่อดอกไม้ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยนำดอกคาร์เนชั่นสามในห้านี้มารวมกันในรูปแบบต่างๆ

พวกเขาบอกว่ามีการรวม 5 องค์ประกอบ 3 อย่างที่เป็นไปได้ทั้งหมด

การรวมกันขององค์ประกอบ n โดย k คือชุดใด ๆ ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ k ที่เลือกจากองค์ประกอบ n ที่กำหนดและแสดงด้วย

ไม่เหมือนกับตำแหน่ง ในการรวมกัน ไม่สำคัญว่าจะระบุองค์ประกอบในลำดับใด

จาก

ดังนั้นตัวอย่างดอกคาร์เนชั่นจึงสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วดังนี้:

วิธีแก้ปัญหา: C

งาน 10.

จาก 15 คนในกลุ่มนักท่องเที่ยวคุณต้องเลือกสามคน สามารถทำได้กี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา: C

ภารกิจที่ 11

จากชามผลไม้ที่มีแอปเปิ้ล 9 ลูกและลูกแพร์ 6 ลูก คุณต้องเลือกแอปเปิ้ล 3 ลูกและลูกแพร์ 2 ลูก สามารถทำได้กี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา: สามารถเลือกแอปเปิ้ลได้ 3 ลูกจาก 9 ลูก C วิธี กับแอปเปิ้ล ลูกแพร์ แต่ละแบบ คุณสามารถเลือก C . ได้ วิธี ดังนั้นตามกฎการคูณสามารถเลือกผลไม้ได้C
วิธี

วิธีแก้ปัญหา: C
=

งานที่ต้องแก้ไข

ภารกิจที่ 1

มี 7 คนในชั้นเรียนที่ประสบความสำเร็จในวิชาคณิตศาสตร์

สามารถเลือกสองคนนี้ให้เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกได้กี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา: C

ภารกิจที่สอง

ในห้องปฏิบัติการที่มีหัวหน้าและพนักงาน 10 คน ต้องส่งคน 5 คนเดินทางไปทำธุรกิจ

สามารถทำได้กี่วิธีหาก:

ก) หัวหน้าห้องปฏิบัติการต้องเดินทางไปทำธุรกิจ

b) ผู้จัดการต้องอยู่

วิธีแก้ปัญหา: ก) C
ข) C

ภารกิจที่สาม

มีเด็กชาย 16 คนและเด็กหญิง 12 คนในชั้นเรียน ในการทำความสะอาดอาณาเขต คุณต้องจัดสรรเด็กชาย 4 คนและเด็กหญิงสามคน

สามารถทำได้กี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา: C

ภารกิจ IV

ในห้องสมุด ผู้อ่านได้รับหนังสือ 10 เล่มและนิตยสาร 4 ฉบับให้เลือก เขาสามารถเลือกหนังสือ 3 เล่มและนิตยสาร 2 เล่มจากพวกเขาได้กี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา: C
.

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการแก้ปัญหาในการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบของชุดใดชุดหนึ่งตามกฎที่กำหนด Combinatorics ศึกษาการผสมผสานและการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ การจัดเรียงองค์ประกอบที่ให้คุณสมบัติ คำถามทั่วไปในปัญหาเชิงซ้อน: มีกี่วิธี….

ปัญหาการรวมกันยังรวมถึงปัญหาในการสร้างสี่เหลี่ยมมายากล ปัญหาการถอดรหัสและการเข้ารหัส

การเกิดของ combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 17 Blaise Pascal (1623–1662) และ Pierre de Fermat (1601–1665) ในทฤษฎี การพนัน. งานเหล่านี้มีหลักการในการกำหนดจำนวนขององค์ประกอบของชุดจำกัด นับตั้งแต่ช่วงทศวรรษที่ 50 ของศตวรรษที่ 20 ความสนใจในวิทยาการคอมบิเนทอริกได้รับการฟื้นฟูขึ้นใหม่เนื่องจากการพัฒนาอย่างรวดเร็วของไซเบอร์เนติกส์

กฎพื้นฐานของ combinatorics คือ กฎผลรวมและ กฎ ผลงาน.

• กฎผลรวม

หากสามารถเลือกองค์ประกอบ A ได้ นวิธีและองค์ประกอบ B สามารถเลือกได้ มทางแล้วสามารถเลือก "A หรือ B" ได้ น+ มวิธี

ตัวอย่างเช่น หากมีแอปเปิ้ล 5 ลูกและลูกแพร์ 6 ลูกบนจาน คุณสามารถเลือกผลไม้ได้ 1 ผล 5 + 6 = 11 วิธี

• กฎผลิตภัณฑ์

ถ้าเลือกธาตุ A ได้ นวิธีและองค์ประกอบ B สามารถเลือกได้ มวิธีจากนั้นจึงสามารถเลือกคู่ A และ B ได้ น มวิธี

ตัวอย่างเช่น หากมีซองจดหมาย 2 ซองและแสตมป์ 3 แบบ คุณสามารถเลือกซองและตราประทับได้ 6 วิธี (2 3 = 6)

กฎผลิตภัณฑ์ก็เป็นจริงเช่นกันเมื่อพิจารณาองค์ประกอบของหลายชุด

ตัวอย่างเช่น หากมีซองจดหมาย 2 ซอง แสตมป์ 3 แบบ และไปรษณียบัตร 4 แบบ คุณสามารถเลือกซองจดหมาย ตราประทับ และไปรษณียบัตรได้ 24 วิธี (2 3 4 = 24)

สินค้าทั้งหมด ตัวเลขธรรมชาติจาก 1 ถึง n รวมเรียกว่า n - แฟกทอเรียล และแสดงด้วยสัญลักษณ์ n!

น! = 1 2 3 4 … น.

ตัวอย่างเช่น 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

ตัวอย่างเช่น หากมีลูกบอล 3 ลูก - แดง น้ำเงิน และเขียว คุณสามารถวางมันในแถวได้ 6 วิธี (3 2 1 \u003d 3! \u003d 6)

บางครั้งปัญหาการรวมกันแก้ไขได้ด้วยการสร้าง ต้นไม้ ตัวเลือก .

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหา 3-ball ก่อนหน้าด้วยการสร้างต้นไม้

Workshop การแก้ปัญหาแบบผสมผสาน

ความท้าทายและแนวทางแก้ไข

1. มีแอปเปิ้ล 6 ลูก ลูกแพร์ 5 ลูก และลูกพลัม 4 ลูกในแจกัน มีกี่ทางเลือกสำหรับผลไม้หนึ่งผล?

คำตอบ: 15 ตัวเลือก

2. จะซื้อดอกกุหลาบได้กี่ดอกถ้าขายดอกกุหลาบสีแดง 3 ดอก สีแดง 2 ดอก และดอกกุหลาบสีเหลือง 4 ดอก

คำตอบ: 9 ตัวเลือก

3. ถนนห้าสายนำจากเมือง A ไปยังเมือง B และถนนสามสายนำจากเมือง B ไปยังเมือง C จาก ก ถึง ค มีกี่เส้นทาง

คำตอบ: 15 วิธี

4. คุณสามารถสร้างเสียงสระหนึ่งคู่และพยัญชนะหนึ่งตัวของตัวอักษรคำว่า "ผ้าเช็ดหน้า" ได้กี่วิธี?

สระ: a, o - 2 ชิ้น
พยัญชนะ: p, l, t, k - 4 ชิ้น

คำตอบ: 8 วิธี

5. คู่เต้นรำสามารถประกอบด้วยเด็กชาย 8 คนและเด็กหญิง 6 คนได้กี่คู่?

คำตอบ: 48 คู่

6. มี 4 หลักสูตรแรกและ 7 หลักสูตรที่สองในห้องอาหาร สามารถสั่งอาหารกลางวันแบบสองคอร์สได้กี่แบบ

คำตอบ: 28 ตัวเลือก

7. ต่างกันมากน้อยแค่ไหน ตัวเลขสองหลักสามารถประกอบโดยใช้ตัวเลข 1, 4 และ 7 ถ้าตัวเลขซ้ำ?

1 หลัก - 3 วิธี
2 หลัก - 3 วิธี
หลักที่ 3 - 3 วิธี

คำตอบ: 9 ตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกัน

8. ตัวเลข 3 หลักสามารถทำซ้ำได้กี่ตัวเลขโดยใช้ตัวเลข 3 และ 5 หากสามารถทำซ้ำตัวเลขได้?

1 หลัก - 2 วิธี
2 หลัก - 2 วิธี
หลักที่ 3 - 2 วิธี

คำตอบ: 8 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

9. ตัวเลข 0, 1, 2, 3 สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้กี่ตัว?

1 หลัก - 3 วิธี
2 หลัก - 4 วิธี

คำตอบ: 12 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

10. มีตัวเลขสามหลักจำนวนเท่าใดที่หลักทั้งหมดเป็นคู่?

เลขคู่คือ 0, 2, 4, 6, 8

1 หลัก - 4 วิธี
2 หลัก - 5 วิธี
3 หลัก - 5 วิธี

คำตอบ: มี 100 หมายเลข

11. มีตัวเลขสามหลักกี่ตัว?

1 หลัก - 9 วิธี (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
หลักที่ 2 - 10 วิธี (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
หลักที่ 3 - 5 วิธี (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

คำตอบ: มี 450 หมายเลข

12. สามารถสร้างตัวเลขสามหลักจากสามตัวได้กี่ตัว ตัวเลขต่างๆ 4, 5, 6?

1 หลัก - 3 วิธี
2 หลัก - 2 วิธี
3 หลัก - 1 ทาง

คำตอบ: 6 ตัวเลขที่แตกต่างกัน

13. สามารถกำหนดจุดยอดของสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอักษร A, B, C, D ได้กี่วิธี?

1 พีค - 4 วิธี
2 ยอด - 3 วิธี
3 บน - 2 วิธี

คำตอบ: 24 วิธี

14. ตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 สามารถสร้างตัวเลขสามหลักต่างกันได้กี่ตัว โดยต้องไม่ซ้ำตัวเลข?

1 หลัก - 5 วิธี
2 หลัก - 4 วิธี
หลักที่ 3 - 3 วิธี

คำตอบ: 60 หมายเลขที่แตกต่างกัน

15. ตัวเลขสามหลักที่น้อยกว่า 400 สามารถสร้างได้จากตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 ได้กี่ตัวเลข หากตัวเลขใดใช้ได้เพียงครั้งเดียว

1 หลัก - 2 วิธี
2 หลัก - 4 วิธี
หลักที่ 3 - 3 วิธี

คำตอบ: 24 หมายเลขที่แตกต่างกัน

16. ธงสามารถประกอบขึ้นจากแถบแนวนอนสามแถบที่มีสีต่างกันได้กี่วิธีหากมีวัสดุหกสี?

1 เลน - 6 ทาง
2 เลน - 5 ทาง
3 เลน - 4 ทาง

คำตอบ: 120 วิธี

17. จากคลาส เลือก 8 คน กับ คะแนนสูงสุดในการทำงาน พวกเขาสามารถฟอร์มทีมของ .ได้กี่วิธี สามคนที่จะเข้าร่วมในการถ่ายทอด?

1 คน - 8 วิธี
2 คน - 7 วิธี
3 คน - 6 วิธี

คำตอบ: 336 วิธี

18. วันพฤหัสบดีในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ควรมีสี่บทเรียน ได้แก่ การเขียน การอ่าน คณิตศาสตร์ และพลศึกษา คุณสามารถจัดตารางเวลาได้กี่แบบสำหรับวันนั้น?

1 บทเรียน - 4 วิธี
บทที่ 2 - 3 วิธี
บทที่ 3 - 2 วิธี
บทที่ 4 - 1 ทาง

4 3 2 1 = 24

คำตอบ: 24 ตัวเลือก

19. ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีการศึกษา 8 วิชา วันจันทร์สามารถจัดตารางเรียนได้ต่างกันกี่บท หากมี 5 บทเรียนในวันนั้นและทุกบทเรียนต่างกัน

1 บทเรียน - 8 ตัวเลือก
บทที่ 2 - 7 ตัวเลือก
บทที่ 3 - 6 ตัวเลือก
บทที่ 4 - 5 ตัวเลือก
บทที่ 5 - 4 ตัวเลือก

8 7 6 5 4 = 6720

คำตอบ: 6720 ตัวเลือก

20. รหัสสำหรับตู้เซฟประกอบด้วยตัวเลขห้าตัว มีเลขศูนย์ต่างกันกี่ตัว?

1 หลัก - 5 วิธี
2 หลัก - 4 วิธี
หลักที่ 3 - 3 วิธี
4 หลัก - 2 วิธี
5 หลัก - 1 ทาง

5 4 3 2 1 = 120

คำตอบ: 120 ตัวเลือก

21. โต๊ะ 6 คนสามารถนั่งโต๊ะพร้อมช้อนส้อมได้กี่วิธี?

6 5 4 3 2 1 = 720

คำตอบ: 720 วิธี

22. สามารถสร้างหมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักได้กี่รูปแบบหากไม่รวมหมายเลขที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์และ 9

1 หลัก - 8 วิธี
2 หลัก - 10 วิธี
3 หลัก - 10 วิธี
4 หลัก - 10 วิธี
ตัวที่ 5 - 10 วิธี
6 หลัก - 10 วิธี
ตัวที่ 7 - 10 วิธี

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

คำตอบ: 8.000.000 ตัวเลือก

23. บริการแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ให้บริการสมาชิกที่มีหมายเลขโทรศัพท์ 7 หลักและเริ่มต้นด้วย 394 สถานีนี้ออกแบบมาสำหรับสมาชิกกี่คน?

หมายเลขโทรศัพท์ 394

10 10 10 10 = 10.000

คำตอบ: 10,000 สมาชิก

24. ถุงมือมี 6 คู่ หลายขนาด สามารถเลือกถุงมือได้กี่วิธี? มือซ้ายและถุงมือหนึ่งอัน มือขวาเพื่อให้ถุงมือเหล่านี้มีหลายขนาด?

ถุงมือซ้าย - 6 วิธี
ถุงมือขวา - 5 วิธี (6 ถุงมือมีขนาดเท่ากับถุงมือซ้าย)

คำตอบ: 30 วิธี

25 . จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ตัวเลขห้าหลักถูกสร้างขึ้นมาซึ่งตัวเลขทั้งหมดต่างกัน เท่าไหร่ เลขคู่?

5 หลัก - 2 วิธี (สองหลักคู่)
4 หลัก - 4 วิธี
หลักที่ 3 - 3 วิธี
2 หลัก - 2 วิธี
1 หลัก - 1 ทาง

2 4 3 2 1 = 48

คำตอบ: 48 เลขคู่

26. มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่ประกอบด้วยเลขคี่และหารด้วย 5?

เลขคี่ - 1, 3, 5, 7, 9
ในจำนวนนี้แบ่งออกเป็น 5 - 5

4 หลัก - 1 ทาง (หมายเลข 5)
3 หลัก - 4 วิธี
2 หลัก - 3 วิธี
1 หลัก - 2 วิธี

1 4 3 2 = 24

คำตอบ: วันที่ 24

27. มีเลขห้าหลักกี่ตัว โดยหลักที่สามคือ 7 หลักสุดท้ายเป็นเลขคู่

1 หลัก - 9 วิธี (ทั้งหมดยกเว้น 0)
2 หลัก - 10 วิธี
3 หลัก - 1 ทาง (หมายเลข 7)
4 หลัก - 10 วิธี
หลักที่ 5 - 5 วิธี (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

คำตอบ: 4500 หมายเลข

28. ตัวเลขหกหลักมีกี่ตัวที่หลักที่สองคือ 2 ตัวที่สี่คือ 4 ตัวที่หกคือ 6 และที่เหลือทั้งหมดเป็นคี่?

1 หลัก - 5 ตัวเลือก (จาก 1, 3, 5, 7, 9)
2 หลัก - 1 ตัวเลือก (หมายเลข 2)
หลักที่ 3 - 5 ตัวเลือก
4 หลัก - 1 ตัวเลือก (หมายเลข 4)
5 หลัก - 5 ตัวเลือก
6 หลัก - 1 ตัวเลือก (หมายเลข 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

คำตอบ: 125 หมายเลข

29. สามารถเขียนตัวเลขที่น้อยกว่าหนึ่งล้านโดยใช้ตัวเลข 8 และ 9 ได้กี่ตัว?

ตัวเลขเดี่ยว - 2
สองหลัก - 2 2 \u003d 4
สามหลัก - 2 2 2 \u003d 8
สี่หลัก - 2 2 2 2 \u003d 16
ห้าหลัก - 2 2 2 2 2 = 32
หกหลัก - 2 2 2 2 2 2 = 64

รวม: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

คำตอบ: 126 หมายเลข

30. มี 11 คนในทีมฟุตบอล คุณต้องเลือกกัปตันและรองของเขา สามารถทำได้กี่วิธี?

กัปตัน - 11 วิธี
รอง - 10 วิธี

คำตอบ: 110 วิธี

31. มี 30 คนในชั้นเรียน ผู้ใหญ่บ้านและผู้จัดการตั๋วสามารถเลือกได้กี่วิธี?

ผู้ใหญ่บ้าน - 30 วิธี
ตอบ. สำหรับตั๋ว - 29 วิธี

คำตอบ: 870 วิธี

32. เด็กชาย 12 คน เด็กหญิง 10 คน และครู 2 คน เข้าร่วมแคมเปญ กลุ่มปฏิบัติหน้าที่สามคน (ชาย 1 หญิง 1 ครู 1 คน) สามารถทำได้กี่ตัวเลือก?

12 10 2 = 240

คำตอบ: 240 วิธี

33. สามารถสร้างตัวอักษรรัสเซียสี่ตัวรวมกันได้กี่ตัวอักษร (มีเพียง 33 ตัวอักษรในตัวอักษร) โดยที่ตัวอักษร 2 ตัวที่อยู่ติดกันต่างกัน?

การพัฒนาบทเรียนทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5

Kozhokar Irina Evgenievna ครูสอนคณิตศาสตร์

GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

หัวข้อบทเรียน: พบกับคอมบิเนทอริก!

วัตถุประสงค์ของบทเรียน : กำหนดทักษะเบื้องต้นของปัญหาเชิงผสมโดยการแจงนับตัวเลือกที่เป็นไปได้

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

1. การพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาแบบผสมผสานโดยวิธีการแจงนับตัวเลือกที่สมบูรณ์
2. การพัฒนาความสามารถในการสมัคร ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ในสถานการณ์เฉพาะ
3. ความคุ้นเคยของนักเรียนที่มีองค์ประกอบของความรู้ด้านมนุษยธรรมที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์

กำลังพัฒนา:

1. การพัฒนาความสามารถในการเลือกวิธีการตัดสินใจอย่างอิสระและความสามารถในการปรับทางเลือก
2. การพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้เหตุผลเชิงตรรกะเท่านั้น
3. การพัฒนาความสามารถในการเลือกวิธีการเข้ารหัสที่มีเหตุผล
4. พัฒนาการด้านการสื่อสารและ ความคิดสร้างสรรค์นักเรียน.

เกี่ยวกับการศึกษา:

1. เพื่อปลูกฝังความรับผิดชอบต่อคุณภาพและผลงานที่ทำ
2. ปลูกฝัง ทัศนคติที่มีสติไปทำงาน;

1. แบบฟอร์มความรับผิดชอบสำหรับผลลัพธ์สุดท้าย.

อุปกรณ์:

1. กระดานโต้ตอบ;
2. เอกสารแจก (แถบสี: ขาว, น้ำเงิน, แดง);
3. การ์ดงาน

ระหว่างเรียน.

1. เวลาจัด.
2. การเรียนรู้วัสดุใหม่
3. ส่วนที่ใช้งานได้จริง
4. การสะท้อน
5. เครื่องหมาย
6. การบ้าน

1. เวลาจัด.

ครู: สวัสดีทุกคน!

บ่อยครั้งในชีวิตที่คุณต้องตัดสินใจตัดสินใจ มันยากมากที่จะทำ ไม่ใช่เพราะไม่มีทางเลือก แต่เพราะคุณต้องเลือกจากตัวเลือกที่เป็นไปได้มากมาย วิธีต่างๆ, ชุดค่าผสม และเราต้องการให้ตัวเลือกนี้เหมาะสมที่สุดเสมอ

งานที่เราจะแก้วันนี้จะช่วยให้คุณสร้าง คิดแปลก ๆ ในแบบเดิม ๆ ดูสิ่งที่คุณมักจะผ่านไปโดยไม่สังเกต

และในวันนี้ เราจะทำให้แน่ใจว่าโลกของเราเต็มไปด้วยคณิตศาสตร์ และทำการวิจัยต่อไปเพื่อระบุคณิตศาสตร์รอบตัวเรา

1. อัปเดตหัวข้อและแรงจูงใจ

มาแก้ปัญหาที่ 1 กันเถอะ

งานที่ 1 . ผู้ชายสี่คนยืนอยู่ที่บ็อกซ์ออฟฟิศของโรงภาพยนตร์ สองคนมีธนบัตรร้อยรูเบิล อีกสองคนมีธนบัตรห้าสิบรูเบิล(ครูเรียกนักเรียน 4 คนไปที่กระดานและมอบแบบจำลองธนบัตรให้)ตั๋วหนังราคา 50 รูเบิล ที่จุดเริ่มต้นของการขาย เครื่องบันทึกเงินสดว่างเปล่า(ครูเรียก "แคชเชียร์" และให้ "ตั๋ว"). พวกผู้ชายควรปักหลักอย่างไรไม่ให้ใครต้องรอการมอบตัว?

เราเล่นฉากด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สองวิธี:

1. 50 รูเบิล 100 รูเบิล 50 รูเบิล 100 รูเบิล;
2. 50 rubles, 50 rubles, 100 rubles, 100 rubles (สไลด์หมายเลข 2 และหมายเลข 3)

งาน #2 . หลายประเทศเลือกใช้สำหรับ ธงรัฐสัญลักษณ์ในรูปแบบของแถบแนวนอนสามแถบที่มีความกว้างเท่ากัน สีที่ต่างกัน- ขาว น้ำเงิน แดง สามารถใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้กี่ประเทศ โดยแต่ละประเทศมีธงของตนเอง

(นักเรียนได้รับแถบสี (ขาว น้ำเงิน แดง) และเชิญเขียน แบบต่างๆธง? (สไลด์หมายเลข 4)

1. การเรียนรู้วัสดุใหม่.

ครู: ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ เราได้ดำเนินการแจกแจงตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด

หรืออย่างที่พวกเขามักจะพูดในกรณีเหล่านี้ทั้งหมด ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้. ดังนั้นปัญหาดังกล่าวจึงเรียกว่า combinatorial เป็นเรื่องปกติในการคำนวณตัวเลือกที่เป็นไปได้ (หรือเป็นไปไม่ได้) ในชีวิต ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการทำความคุ้นเคยกับปัญหาเชิงผสมผสาน และหมวดของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาเหล่านี้เรียกว่า combinatorics (สไลด์หมายเลข 5)

นักเรียนเขียนคำจำกัดความลงในสมุดบันทึก:

คอมบิเนทอริกส์ เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เน้นการแก้ปัญหาการเลือกและจัดองค์ประกอบที่กำหนดตามกฎที่กำหนด

คำถามทั่วไปในปัญหาเชิงผสมคือ "มีกี่วิธี…?” หรือ

« มีกี่ตัวเลือก…?»

ครู : กลับไปที่ปัญหาธง แก้โดยใช้การแจงนับตัวเลือกที่เป็นไปได้: (หมายเลขสไลด์ 7)

KBS KSB

BSC BCS

SBC SKB

คำตอบ: 6 ตัวเลือก

ดังนั้น เมื่อแก้ปัญหานี้ เรากำลังมองหาวิธีที่จะแจกแจงตัวเลือกที่เป็นไปได้ ใน

ในหลายกรณีปรากฎว่า การต้อนรับที่เป็นประโยชน์การสร้างภาพ - แบบแผนสำหรับการแจกแจงตัวเลือก อย่างแรกเลยคือภาพประกอบ ประการที่สอง,ช่วยให้เราคำนึงถึงทุกอย่างไม่ให้พลาดอะไร.

ธงการตัดสินใจ

ตัวแปรของ BSK, BKS, SBC, SKB, KBS, KSB

คำตอบ: 6 ตัวเลือก

คำถามคำตอบที่ทุกคนควรรู้ซึ่งตัวเลือกธงที่นำเสนอคือธงประจำชาติของสหพันธรัฐรัสเซีย (สไลด์หมายเลข 7)

ปรากฎว่าไม่เพียง แต่ธงชาติรัสเซียเท่านั้นที่มีสามสีนี้ มีรัฐที่ธงมีสีเหมือนกัน

KBS - ลักเซมเบิร์ก

เนเธอร์แลนด์.

ฝรั่งเศส SKB

ครู: ให้เราหากฎในการแก้ปัญหาดังกล่าวด้วยการให้เหตุผลเชิงตรรกะ

ลองดูตัวอย่างแถบสีกัน ลองเอาแถบสีขาว - จัดเรียงใหม่ได้ 3 ครั้ง ใช้แถบสีน้ำเงิน - จัดเรียงใหม่ได้เพียง 2 ครั้งเพราะ หนึ่งในสถานที่ที่มีสีขาวอยู่แล้วใช้แถบสีแดง - สามารถใส่ได้เพียง 1 ครั้งเท่านั้น

รวม: 3 x 2 x 1=6

กฎพื้นฐานของผลิตภัณฑ์:

กฎการคูณ: หากองค์ประกอบแรกในชุดค่าผสมสามารถเลือกได้ด้วยวิธีใด ๆ แล้วองค์ประกอบที่สองในวิธี b แล้ว จำนวนทั้งหมดชุดค่าผสมจะเท่ากับ a x b. (สไลด์หมายเลข 8)

พลศึกษาสำหรับดวงตา (สไลด์หมายเลข 9)

รูปร่างการออกกำลังกาย

วาดด้วยตาของคุณเป็นสี่เหลี่ยม วงกลม สามเหลี่ยม วงรี รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตามเข็มนาฬิกา แล้วทวนเข็มนาฬิกา

1. ภาคปฏิบัติ

ครู: งั้นไปต่อกันที่ ปัญหาทางคณิตศาสตร์. (แจกการ์ดงาน)

1. ปืนคาบศิลาที่มีชื่อเสียงคนหนึ่งมีหมวกหรูหรา 3 ใบ เสื้อคลุมที่ยอดเยี่ยม 4 ชุด และรองเท้าบู๊ตที่ยอดเยี่ยม 2 คู่ เขาสามารถสร้างตัวเลือกเครื่องแต่งกายได้กี่แบบ? (เราเลือกหนึ่งองค์ประกอบจากสามชุด นั่นคือ เราประกอบเป็น "สาม" ซึ่งหมายความว่าตามกฎการคูณ เราได้ 3 4 2 = 24 ตัวเลือกเครื่องแต่งกาย)
2. ในทีมฟุตบอลมี 11 คน จำเป็นต้องเลือกกัปตันและรองของเขา สามารถทำได้กี่วิธี? (มีทั้งหมด 11 คน ซึ่งหมายความว่าเลือกกัปตันได้ 11 วิธี เหลือผู้เล่น 10 คน ซึ่งคุณสามารถเลือกรองกัปตันได้ ดังนั้น กัปตันและรองกัปตันสามารถเลือกได้ใน 11 10 \u003d 110 วิธี)
3. สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้กี่ตัวโดยใช้ตัวเลข 1, 4, 7 หากอนุญาตให้ทำซ้ำตัวเลขได้ (คุณควรได้ตัวเลขสองหลัก - เพียงสองตำแหน่งเท่านั้น ในตำแหน่งแรก คุณสามารถใส่ตัวเลขที่เสนอได้ - 3 ตัวเลือก ในตำแหน่งที่สอง โดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการทำซ้ำตัวเลข ยังมี 3 ตัว ตัวเลือก ดังนั้นเราจึงสร้างคู่ของตัวเลข 3 3 = 9 วิธี นั่นคือได้ 9 ตัวเลข
4. สามารถสร้างตัวเลขสามหลักจากหลัก 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่ตัว โดยต้องไม่ซ้ำตัวเลข? ( เลขสามหลัก: ตำแหน่งแรก - 5 ตัวเลือกสำหรับตัวเลข, ตำแหน่งที่สอง, คำนึงถึงการยกเว้นการซ้ำซ้อนของตัวเลข - 4 ตัวเลือก, ตำแหน่งที่สาม - 3 ตัวเลือก เราได้ 5 4 3 = 60 หมายเลข)
5. ตัวเลขสองหลักที่ต่างกันสามารถสร้างได้จากตัวเลข 0, 1, 2, 3 ถ้าตัวเลข: a) สามารถทำซ้ำได้ b) ไม่สามารถทำซ้ำได้? (ก) ตัวเลขสองหลักเช่นเดียวกับตัวเลขหลายหลักอื่น ๆ ไม่สามารถเริ่มต้นด้วย 0 ได้ ดังนั้นมีเพียง 3 ตัวจาก 4 หลักที่มีอยู่เท่านั้น 3 ตัวเลือกสามารถวางในตำแหน่งแรกหมายเลขใดก็ได้ใน ตำแหน่งที่สองโดยคำนึงถึงการทำซ้ำ - 4 ตัวเลือก ดังนั้นจึงกลายเป็น 3 4 \u003d 12 ตัวเลข b) ตำแหน่งแรก - 3 ตัวเลือก ตำแหน่งที่สอง - 3 ตัวเลือก เนื่องจาก ไม่รวมการทำซ้ำ เราได้ 3 3 = 9 ตัวเลข.)
6. รหัสสำหรับตู้เซฟประกอบด้วยตัวเลขห้าตัว มีเลขศูนย์ต่างกันกี่ตัว? (5 4 3 2 1 = 120 ตัวเลือก.) คน 6 คนสามารถนั่งที่โต๊ะพร้อมช้อนส้อม 6 คนได้กี่วิธี? (6 5 4 3 2 1 = 720 วิธี)
7. 6 เครื่องใช้ไฟฟ้า? (6 5 4 3 2 1 = 720 วิธี)
8. (8 7 6 5 4 = 6720 ตัวเลือก)
9. (ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - รวมเป็น 10 หลัก ไม่รวม 0 และ 9 ที่ต้นตัวเลขตามเงื่อนไขโดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของ การทำซ้ำเราได้รับ 8 10 10 10 10 10 10 = 8,000,000 หมายเลข)

1. การสะท้อน

ครู: เด็กๆ บทเรียนของเราใกล้จะสิ้นสุดแล้ว คุณคิดว่าเราบรรลุเป้าหมายของเราในวันนี้ เพราะอะไร? อะไรคือสิ่งที่ยากในบทเรียน คุณจะจัดการกับสิ่งเหล่านี้ได้อย่างไร คิดและให้คะแนนตัวเองสำหรับงานและงานของคุณใส่มันเองไม่มีใครเห็นเครื่องหมายนี้พยายามซื่อสัตย์กับตัวเอง คุณเข้าร่วมบทเรียนอย่างเต็มที่หรือไม่ ต้องทำอะไรเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้น?

นอกจากนี้ นักศึกษายังได้รับเชิญให้ตอบคำถาม 3 คำถามแบบสายฟ้าแลบ:

1. ในบทเรียนวันนี้ ฉันมี ... (ง่าย ปกติ ยาก)
2. วัสดุใหม่ฉัน ... (เรียนรู้และประยุกต์เรียนรู้และพบว่ามันยากที่จะสมัครไม่ได้เรียนรู้)
3. การประเมินตนเองของฉันสำหรับบทเรียน ...

คำตอบสำหรับคำถามข้างต้นไม่สามารถลงนามได้เพราะ หน้าที่หลักของพวกเขาคือการช่วยให้ครูวิเคราะห์บทเรียนและผลลัพธ์

1. สรุป. เครื่องหมาย

7. การบ้าน:

1) สร้างงานเกี่ยวกับชั้นเรียนของคุณ

2) หลายประเทศได้ตัดสินใจที่จะใช้สัญลักษณ์สำหรับธงประจำชาติของตนในรูปแบบ 3 แถบแนวนอนที่มีความกว้างต่างกัน สีต่างๆ - สีขาว สีฟ้า สีแดง สามารถใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้กี่ประเทศ โดยแต่ละประเทศมีธงของตนเอง

3) ก) ตัวเลขสองหลักสร้างจากตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 ได้กี่ตัว?

ข) ตัวเลขสองหลักสร้างจากตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 ได้จำนวนเท่าใด โดยห้ามซ้ำตัวเลข

ครู : ฉันดีใจที่ได้พบคุณ สนใจคณิตศาสตร์ สิ่งนี้จะสะท้อนออกมาอย่างไม่ต้องสงสัย ด้านบวกในความคิดและการกระทำของคุณ ลาก่อน

วรรณกรรม:

อี.เอ. บูนิโมวิช, V.A. บูลิชอฟ ความน่าจะเป็นและสถิติในวิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม: บรรยาย 1-4, 5 - 8 - ม.: มหาวิทยาลัยครุศาสตร์“ต้นเดือนกันยายน” พ.ศ. 2549

Vilenkin N.Ya. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 : หนังสือเรียนเพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / N.Ya. Vilenkin et al. - M.: Mnemozina, 2009.

Smykalova E.V. บทเพิ่มเติมในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: SMIO กด, 2549.

เกรด 5 "คณิตศาสตร์ -5", I.I. ซูบาเรวา เอจี มอร์ดโควิช, 2547.

งาน (การ์ด)

1. ปืนคาบศิลาที่มีชื่อเสียงคนหนึ่งมีหมวกหรูหรา 3 ใบ เสื้อคลุมที่ยอดเยี่ยม 4 ชุด และรองเท้าบู๊ตที่ยอดเยี่ยม 2 คู่ เขาสามารถสร้างตัวเลือกเครื่องแต่งกายได้กี่แบบ?
2. ในทีมฟุตบอลมี 11 คน จำเป็นต้องเลือกกัปตันและรองของเขา สามารถทำได้กี่วิธี?
3. ตัวเลขสองหลักสามารถเกิดขึ้นได้กี่ตัวโดยใช้ตัวเลข 1, 4, 7 หากอนุญาตให้ทำซ้ำตัวเลขได้
4. สามารถสร้างตัวเลขสามหลักจากหลัก 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่ตัว โดยต้องไม่ซ้ำตัวเลข?
5. ตัวเลขสองหลักที่ต่างกันสามารถสร้างได้จากตัวเลข 0, 1, 2, 3 ถ้าตัวเลข: a) สามารถทำซ้ำได้ b) ไม่สามารถทำซ้ำได้?
6. รหัสสำหรับตู้เซฟประกอบด้วยตัวเลขห้าตัว มีเลขศูนย์ต่างกันกี่ตัว?
7. สามารถนั่งโต๊ะละ 6 คนได้กี่วิธี 6 เครื่องใช้ไฟฟ้า?
8. ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีการศึกษา 8 วิชา วันจันทร์สามารถจัดตารางเรียนได้ต่างกันกี่บท หากวันนี้ควรมี 5 บทเรียนและทุกบทเรียนต่างกัน
9. หมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักสามารถสร้างรูปแบบต่างๆ ได้กี่รูปแบบ หากไม่รวมตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย 0 และ 9

คำตอบ

1. เราเลือกหนึ่งองค์ประกอบจากสามชุด นั่นคือ เราประกอบเป็น "สาม" ซึ่งหมายความว่าตามกฎการคูณ เราได้ 3 4 2 = 24 ตัวเลือกเครื่องแต่งกาย
2. มีทั้งหมด 11 คน ซึ่งหมายความว่าสามารถเลือกกัปตันได้ 11 วิธี เหลือผู้เล่น 10 คน ซึ่งคุณสามารถเลือกรองกัปตันได้ ดังนั้น สามารถเลือกคู่กัปตันและรองได้ 11 10 = 110 วิธี
3. คุณควรได้ตัวเลขสองหลัก - เพียงสองตำแหน่งเท่านั้น ในตำแหน่งแรก คุณสามารถใส่ตัวเลขที่เสนอได้ - 3 ตัวเลือก ในตำแหน่งที่สอง โดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการทำซ้ำตัวเลข ยังมี 3 ตัวเลือกอีกด้วย ซึ่งหมายความว่าเราเขียนคู่ของตัวเลขใน 3 3 = 9 วิธีคือ ได้เลข 9 ตัว
4. ตัวเลขสามหลัก: ตำแหน่งแรก - 5 ตัวเลือกสำหรับตัวเลข, ตำแหน่งที่สอง, โดยคำนึงถึงการยกเว้นการซ้ำซ้อนของตัวเลข, - 4 ตัวเลือก, ตำแหน่งที่สาม - 3 ตัวเลือก เราได้ 5 4 3 = 60 ตัวเลข
5. (ก) ตัวเลขสองหลักเช่นเดียวกับตัวเลขหลายหลักอื่น ๆ ไม่สามารถเริ่มต้นด้วย 0 ได้ ดังนั้นมีเพียง 3 ตัวจาก 4 หลักที่มีอยู่เท่านั้น 3 ตัวเลือกสามารถวางในตำแหน่งแรกหมายเลขใดก็ได้ใน ตำแหน่งที่สองโดยคำนึงถึงการทำซ้ำ - 4 ตัวเลือก ดังนั้นจึงกลายเป็น 3 4 \u003d 12 ตัวเลข b) ตำแหน่งแรก - 3 ตัวเลือก ตำแหน่งที่สอง - 3 ตัวเลือก เนื่องจาก ไม่รวมการทำซ้ำ เราได้ 3 3 = 9 ตัวเลข
6. 5 4 3 2 1 = 120 ตัวเลือก
7. 6 5 4 3 2 1 = 720 วิธี
8. 8 7 6 5 4 = 6720 ตัวเลือก
9. ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - รวม 10 หลัก ไม่รวม 0 และ 9 ที่จุดเริ่มต้นของตัวเลขตามเงื่อนไขโดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการทำซ้ำ เราได้รับ 8 10 10 10 10 10 10 = 8,000,000 หมายเลข

ดูตัวอย่าง:

ภารกิจที่ 2 คำตอบ: มีทั้งหมด 6 ตัวเลือกที่เป็นไปได้ ธงนี้สามารถใช้ได้ 6 ประเทศ นิคมอุตสาหกรรมโคโซการ์ GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการแก้ปัญหาการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบที่กำหนดตามกฎที่กำหนด คำถามทั่วไปในปัญหาแบบผสมผสานคือ "มีกี่วิธี ... ?" หรือ "กี่ตัวเลือก...?" นิคมอุตสาหกรรมโคโซการ์ GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

หลายประเทศได้ตัดสินใจที่จะใช้สำหรับสัญลักษณ์ธงประจำชาติของตนในรูปแบบของแถบแนวนอนสามแถบที่มีความกว้างเท่ากันในสีที่ต่างกัน - ขาว, น้ำเงิน, แดง สามารถใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้กี่ประเทศ โดยแต่ละประเทศมีธงของตนเอง การแจงนับตัวแปรที่เป็นไปได้ของ KBS KSB BSK BKS SBK SKB คำตอบ: 6 ตัวเลือก รูปแบบการแจงนับตัวเลือก ธง Kozhokari I.Ye GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ธงชาติเนเธอร์แลนด์ ธงลักเซมเบิร์ก ธงชาติฝรั่งเศส ธงชาติรัสเซียไม่เพียงแต่มีสามสีนี้ มีรัฐที่ธงมีสีเดียวกัน ธงชาติรัสเซีย Kozhokar I.E. GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

กฎผลิตภัณฑ์ (การเลือกองค์ประกอบหลายคู่) Kozhokar I.E. GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

พลศึกษาเพื่อดวงตา Kozhokar I.E. GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ภารกิจ 1) ทหารเสือที่โด่งดังคนหนึ่งมีหมวกที่สวยงาม 3 อัน เสื้อคลุมที่ยอดเยี่ยม 4 ตัว และรองเท้าบูทที่ยอดเยี่ยม 2 คู่ในตู้เสื้อผ้าของเขา เขาสามารถสร้างตัวเลือกเครื่องแต่งกายได้กี่แบบ? 2) ในทีมฟุตบอลมี 11 คน จำเป็นต้องเลือกกัปตันและรองของเขา สามารถทำได้กี่วิธี? 3) สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้โดยใช้ตัวเลข 1, 4, 7 หากอนุญาตให้ทำซ้ำตัวเลขได้ 4) ตัวเลขสามหลักที่ต่างกันสามารถสร้างได้จากตัวเลข 1, 2, 3, 4 ได้กี่ตัว , 5 โดยห้ามไม่ให้มีตัวเลขซ้ำ? 5) จำนวนตัวเลขสองหลักที่ต่างกันสามารถสร้างได้จากตัวเลข 0, 1, 2, 3 ถ้าตัวเลข: a) สามารถทำซ้ำได้ b) ไม่สามารถทำซ้ำได้? 6) รหัสสำหรับตู้เซฟประกอบด้วยตัวเลขห้าตัว มีเลขศูนย์ต่างกันกี่ตัว? 7) สามารถนั่งโต๊ะ 6 คนพร้อมช้อนส้อม 6 อันได้กี่วิธี? 8) ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีการศึกษา 8 วิชา วันจันทร์สามารถจัดตารางเรียนได้ต่างกันกี่บท หากวันนี้ควรมี 5 บทเรียนและทุกบทเรียนต่างกัน 9) หมายเลขโทรศัพท์เจ็ดหลักสามารถสร้างรูปแบบต่างๆ ได้กี่รูปแบบ หากไม่รวมตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย 0 และ 9 นิคมอุตสาหกรรมโคโซการ์ GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

5) (ก) เลขสองหลักเหมือนกับเลขหลายหลักใดๆ ไม่สามารถขึ้นต้นด้วย 0 ได้ ดังนั้น มีเพียง 3 ตัวจาก 4 หลักที่มี สามารถเลือกได้ 3 ตัวเลือกในตำแหน่งแรก ตัวใดก็ได้ - 4 ตัวเลือก . ดังนั้นจึงกลายเป็น 3 4 \u003d 12 ตัวเลข b) ตำแหน่งแรก - 3 ตัวเลือก ตำแหน่งที่สอง - 3 ตัวเลือก เนื่องจาก ไม่รวมการทำซ้ำ เราได้ 3 3 = 9 ตัวเลข 6) 5 4 3 2 1 = 120 ตัวเลือก 7) 6 5 4 3 2 1 = 720 วิธี 8) 8 7 6 5 4 = 6720 ตัวเลือกตามเงื่อนไข 0 และ 9 ที่จุดเริ่มต้นของตัวเลขโดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการทำซ้ำเราได้รับ 8 10 10 10 10 10 10 = 8,000,000 หมายเลข เราได้รับ 3 4 2 = 24 ตัวเลือกเครื่องแต่งกาย 2) มีทั้งหมด 11 คน ซึ่งหมายความว่าสามารถเลือกกัปตันได้ 11 วิธี เหลือผู้เล่น 10 คน ซึ่งคุณสามารถเลือกรองกัปตันได้ ดังนั้น สามารถเลือกคู่กัปตันและรองได้ 11 10 = 110 วิธี 3) คุณควรได้ตัวเลขสองหลัก - เพียงสองตำแหน่ง ในตำแหน่งแรก คุณสามารถใส่ตัวเลขที่เสนอได้ - 3 ตัวเลือก ในตำแหน่งที่สอง โดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการทำซ้ำตัวเลข ยังมี 3 ตัวเลือกอีกด้วย ซึ่งหมายความว่าเราเขียนคู่ของตัวเลขใน 3 3 = 9 วิธีคือ ได้เลข 9 ตัว 4) ตัวเลขสามหลัก: ตำแหน่งแรก - 5 ตัวเลือกสำหรับตัวเลข, ตำแหน่งที่สอง, โดยคำนึงถึงการยกเว้นการซ้ำซ้อนของตัวเลข, - 4 ตัวเลือก, ตำแหน่งที่สาม - 3 ตัวเลือก เราได้ 5 4 3 = 60 ตัวเลข คำตอบ Kozhokar I.E. GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

แบบสำรวจแบบสายฟ้าแลบ ในบทเรียนวันนี้ ฉันเป็น ... (ง่าย ปกติ ยาก) ฉัน ... (เรียนรู้และประยุกต์ใช้ เรียนรู้และพบว่าสมัครยาก ไม่ได้เรียน) การประเมินตนเองของบทเรียน ... คำตอบสำหรับคำถามข้างต้นไม่สามารถลงนาม Kozhokar I.E . GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

การบ้าน เขียนปัญหาในชั้นเรียนของคุณ หลายประเทศได้ตัดสินใจที่จะใช้สัญลักษณ์ในรูปแบบของ 3 แถบแนวนอนที่มีความกว้างต่างกัน สีต่างๆ - สีขาว สีฟ้า สีแดงสำหรับธงประจำชาติของตน สามารถใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้กี่ประเทศ โดยแต่ละประเทศมีธงของตนเอง ก) ตัวเลขสองหลักสามารถสร้างจากตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 ได้กี่ตัว? b) ตัวเลขสองหลักสามารถสร้างจากตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 ได้จำนวนเท่าใด โดยที่ตัวเลขไม่ควรซ้ำ Kozhokar I.E. GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ทำได้ดี! ขอบคุณสำหรับบทเรียน Kozhokar I.E. GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

นิคมอุตสาหกรรมโคโซการ์ GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 354 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก