การลดเศษส่วนด้วยตัวอักษร ทำการลดเศษส่วน

เมื่อนักเรียนขึ้นชั้นมัธยมปลาย คณิตศาสตร์จะแบ่งออกเป็น 2 วิชา คือ พีชคณิตและเรขาคณิต มีแนวคิดมากขึ้นเรื่อย ๆ งานก็ยากขึ้น บางคนมีปัญหาในการเข้าใจเศษส่วน พลาดบทเรียนแรกในหัวข้อนี้และ voila เศษส่วน? คำถามที่จะทรมานไปตลอดชีวิตการเรียน

แนวคิดของเศษส่วนพีชคณิต

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ ภายใต้ เศษส่วนพีชคณิตเข้าใจนิพจน์ P/Q โดยที่ P คือตัวเศษและ Q คือตัวส่วน ตัวเลข นิพจน์ตัวเลข นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษรสามารถซ่อนอยู่ภายใต้รายการตัวอักษร

ก่อนที่จะสงสัยว่าจะแก้เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตได้อย่างไร คุณต้องเข้าใจก่อนว่านิพจน์ดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของเศษส่วนทั้งหมด

ตามกฎแล้ว จำนวนทั้งหมดคือ 1 ตัวเลขในตัวส่วนจะแสดงจำนวนหน่วยที่แบ่งออกเป็นกี่ส่วน จำเป็นต้องใช้ตัวเศษเพื่อหาจำนวนองค์ประกอบที่นำมา แถบเศษส่วนสอดคล้องกับเครื่องหมายหาร อนุญาตให้บันทึกนิพจน์เศษส่วนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ "การหาร" ในกรณีนี้ ตัวเศษคือตัวหาร ตัวส่วนคือตัวหาร

กฎพื้นฐานสำหรับเศษส่วนทั่วไป

เมื่อนักเรียนอ่านหัวข้อนี้ที่โรงเรียน พวกเขาจะได้รับตัวอย่างเพื่อเสริมแรง ในการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องและค้นหาวิธีต่างๆ จากสถานการณ์ที่ยากลำบาก คุณต้องใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

ดูเหมือนว่าถ้าคุณคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน (นอกเหนือจากศูนย์) ค่าของเศษส่วนธรรมดาจะไม่เปลี่ยนแปลง กรณีพิเศษของกฎนี้คือการแบ่งนิพจน์ทั้งสองส่วนออกเป็นจำนวนหรือพหุนามเดียวกัน การแปลงดังกล่าวเรียกว่าการเท่ากันทุกประการ

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาการบวกและการลบเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต การคูณ การหาร และการลดลงของเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยเศษส่วน

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาคุณสมบัติหลักของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตวิธีนำไปใช้ในทางปฏิบัติ หากคุณต้องการคูณเศษส่วนสองส่วน เพิ่ม หารด้วยเศษส่วนอื่น หรือลบ คุณต้องปฏิบัติตามกฎเสมอ

ดังนั้นสำหรับการดำเนินการของการบวกและการลบ ควรหาปัจจัยเพิ่มเติมเพื่อนำนิพจน์ไปสู่ส่วนร่วม หากในตอนแรกเศษส่วนถูกกำหนดด้วยนิพจน์ Q คุณต้องละเว้นรายการนี้ เมื่อพบตัวส่วนร่วม จะแก้เศษส่วนพีชคณิตได้อย่างไร? บวกหรือลบตัวเศษ แต่! ต้องจำไว้ว่าถ้ามีเครื่องหมาย "-" หน้าเศษส่วน เครื่องหมายทั้งหมดในเศษจะถูกกลับด้าน บางครั้งคุณไม่ควรทำการแทนที่และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดๆ แค่เปลี่ยนเครื่องหมายหน้าเศษส่วนก็เพียงพอแล้ว

คำนี้มักใช้เป็น การลดเศษส่วน. นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้: หากตัวเศษและตัวส่วนถูกหารด้วยนิพจน์อื่นที่ไม่ใช่เอกภาพ (เหมือนกันสำหรับทั้งสองส่วน) จะได้เศษส่วนใหม่ เงินปันผลและตัวหารมีขนาดเล็กกว่าเดิม แต่เนื่องจากกฎพื้นฐานของเศษส่วน จึงยังคงเท่ากับตัวอย่างเดิม

วัตถุประสงค์ของการดำเนินการนี้คือเพื่อให้ได้นิพจน์ที่ลดไม่ได้ใหม่ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการลดตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวหารร่วมมาก อัลกอริทึมการทำงานประกอบด้วยสองจุด:

1. การหา GCD ของเศษส่วนทั้งสอง
2. หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์ที่พบและรับเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่ากับเศษส่วนก่อนหน้า

ตารางด้านล่างแสดงสูตร เพื่อความสะดวก คุณสามารถพิมพ์ออกมาและพกติดตัวไปด้วยในสมุดบันทึก อย่างไรก็ตามเพื่อที่ในอนาคตเมื่อแก้ไขแบบทดสอบหรือข้อสอบจะไม่มีปัญหาในการแก้เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้ด้วยหัวใจ

ตัวอย่างบางส่วนพร้อมโซลูชัน

จากมุมมองทางทฤษฎี จะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต ตัวอย่างที่ระบุในบทความจะช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ดียิ่งขึ้น

1. แปลงเศษส่วนแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

2. แปลงเศษส่วนแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

หลังจากศึกษาภาคทฤษฎีและพิจารณาปัญหาภาคปฏิบัติแล้ว ไม่ควรมีคำถามอีก

บทความนี้ยังคงเป็นหัวข้อของการแปลงเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต: พิจารณาการกระทำเช่นการลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต มานิยามคำศัพท์ กำหนดกฎการย่อ และวิเคราะห์ตัวอย่างที่ใช้ได้จริง

Yandex.RTB R-A-339285-1

ความหมายของตัวย่อเศษส่วนพีชคณิต

ในวัสดุเศษส่วนธรรมดาเราพิจารณาการลดลง เราได้กำหนดให้การลดลงของเศษส่วนร่วมเป็นการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วม

การลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นการดำเนินการที่คล้ายกัน

คำจำกัดความ 1

การลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารของตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ในกรณีนี้ ไม่เหมือนกับการลดเศษส่วนธรรมดา (เฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่สามารถเป็นตัวส่วนร่วมได้) พหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมโนเมียลหรือตัวเลข สามารถใช้เป็นตัวประกอบร่วมสำหรับตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 สามารถลดลงได้ด้วยจำนวน 3 ดังนั้นเราจะได้รับ: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . เราสามารถลดเศษส่วนที่เท่ากันได้ด้วยตัวแปร x ซึ่งจะทำให้เราได้นิพจน์ 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนที่กำหนดด้วยโมโนเมียล 3 เท่าหรือพหุนามใดๆ x + 2 ย, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y หรือ 3 x 2 + 6 x ย

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนของรูปแบบที่ง่ายกว่า ที่ดีที่สุดคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดอาจมีการลดลงหรือไม่?

อีกครั้ง จากวัสดุบนเศษส่วนธรรมดา เรารู้ว่ามีเศษส่วนที่ลดได้และลดไม่ได้ หักล้างไม่ได้ - เป็นเศษส่วนที่ไม่มีตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน ยกเว้น 1

ด้วยเศษส่วนเชิงพีชคณิต ทุกอย่างจะเหมือนกัน: พวกมันอาจมีหรือไม่มีตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนก็ได้ การมีตัวประกอบร่วมกันทำให้คุณสามารถลดรูปเศษส่วนเดิมได้โดยผ่านการย่อส่วน เมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มประสิทธิภาพเศษส่วนที่กำหนดโดยวิธีการลด

ในกรณีทั่วไป สำหรับประเภทของเศษส่วนที่กำหนด ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจว่าเศษส่วนนั้นต้องถูกลดทอนหรือไม่ แน่นอน ในบางกรณี การมีตัวประกอบร่วมกันของตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต 3 · x 2 3 · y ค่อนข้างชัดเจนว่าตัวประกอบร่วมคือเลข 3

ในเศษส่วน - x · y 5 · x · y · z 3 เราเข้าใจทันทีว่าเป็นไปได้ที่จะลดขนาดลงด้วย x หรือ y หรือ x · y และถึงกระนั้น ตัวอย่างของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตก็พบได้บ่อยกว่ามาก เมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นมองเห็นได้ไม่ง่ายนัก และบ่อยครั้งกว่านั้น - มันจะหายไป

ตัวอย่างเช่น เราสามารถลดเศษส่วน x 3 - 1 x 2 - 1 ลง x - 1 ในขณะที่ตัวประกอบร่วมที่ระบุไม่ได้อยู่ในบันทึก แต่เศษส่วน x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ไม่สามารถลดลงได้ เนื่องจากเศษและส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

ดังนั้น คำถามของการค้นหาการหดตัวของเศษส่วนเชิงพีชคณิตนั้นไม่ง่ายนัก และมักจะง่ายกว่าที่จะทำงานกับเศษส่วนของรูปแบบที่กำหนดมากกว่าการพยายามค้นหาว่ามันหดตัวหรือไม่ ในกรณีนี้ การแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นซึ่งในบางกรณีช่วยให้เราสามารถระบุตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน หรือสรุปได้ว่าเศษส่วนนั้นลดทอนไม่ได้ เราจะวิเคราะห์ปัญหานี้โดยละเอียดในย่อหน้าถัดไปของบทความ

กฎการลดเศษส่วนพีชคณิต

กฎการลดเศษส่วนพีชคณิตประกอบด้วยสองขั้นตอนต่อเนื่องกัน:

• การหาตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน
• ในกรณีที่พบดังกล่าวให้ดำเนินการลดเศษส่วนโดยตรง

วิธีที่สะดวกที่สุดในการหาตัวส่วนร่วมคือการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตที่กำหนด สิ่งนี้ช่วยให้คุณมองเห็นได้ทันทีว่ามีหรือไม่มีปัจจัยทั่วไป

การดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิตขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต ซึ่งแสดงโดยความเท่าเทียมกัน undefined โดยที่ a , b , c เป็นพหุนามบางชื่อ และ b และ c ไม่เป็นศูนย์ ขั้นตอนแรกคือการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูป a c b c ซึ่งเราจะสังเกตเห็นปัจจัยทั่วไป c ทันที ขั้นตอนที่สองคือการลดขนาด เช่น การเปลี่ยนรูปเป็นเศษส่วน a b

ตัวอย่างทั่วไป

แม้จะมีความชัดเจนอยู่บ้าง แต่ขอชี้แจงเกี่ยวกับกรณีพิเศษเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเท่ากัน เศษส่วนที่คล้ายกันมีค่าเท่ากับ 1 ใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรของเศษส่วนนี้:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

เนื่องจากเศษส่วนธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต ให้เราระลึกว่าเศษส่วนเหล่านี้ถูกลดทอนอย่างไร จำนวนธรรมชาติที่เขียนด้วยตัวเศษและตัวส่วนจะถูกแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นตัวประกอบร่วมจะลดลง (ถ้ามี)

ตัวอย่างเช่น 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

ผลคูณของปัจจัยที่เหมือนกันอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นองศาได้ และในกระบวนการลดเศษส่วน ให้ใช้สมบัติขององศาหารที่มีฐานเดียวกัน จากนั้นวิธีแก้ปัญหาข้างต้นจะเป็น:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(เศษและส่วนหารด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3). หรือเพื่อความชัดเจนตามคุณสมบัติของการคูณและการหาร เราจะให้คำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

โดยการเปรียบเทียบจะดำเนินการลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งตัวเศษและตัวส่วนมี monomials พร้อมค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . มันจำเป็นต้องลดลง

วิธีการแก้

เป็นไปได้ที่จะเขียนตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะและตัวแปร แล้วลด:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

อย่างไรก็ตาม วิธีที่มีเหตุผลมากกว่าคือการเขียนวิธีแก้ปัญหาเป็นนิพจน์ที่มีอำนาจ:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 ก 5 - 2 1 1 1 ค 7 - 1 1 = - 3 2 ก 3 2 ค 6 = - 9 ก 3 2 ค 6 .

ตอบ:- 27 ก 5 ข 2 ค แซ 6 ก 2 ข 2 ค 7 ซ = - 9 ก 3 2 ค 6

เมื่อมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เป็นเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเชิงพีชคณิต มีวิธีดำเนินการเพิ่มเติมที่เป็นไปได้สองวิธี: แบ่งค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้แยกกัน หรือกำจัดค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกก่อนโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ . การแปลงครั้งสุดท้ายดำเนินการเนื่องจากคุณสมบัติหลักของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต (คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ "การลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนใหม่")

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดเศษส่วน 2 5 x 0 , 3 x 3 . มันจำเป็นต้องลดลง

วิธีการแก้

สามารถลดเศษส่วนด้วยวิธีนี้:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

ลองแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นโดยก่อนหน้านี้ได้กำจัดค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนแล้ว - เราคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวหารร่วมน้อยที่สุดของตัวหารของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ เช่น ต่อ LCM(5, 10) = 10 จากนั้นเราจะได้รับ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2

คำตอบ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

เมื่อเราลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตทั่วไป ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนสามารถเป็นได้ทั้งพหุนามและพหุนาม ปัญหาอาจเกิดขึ้นได้เมื่อตัวประกอบร่วมไม่สามารถมองเห็นได้ทันที หรือยิ่งไปกว่านั้น มันไม่มีอยู่จริง จากนั้น เพื่อระบุตัวประกอบร่วมหรือแก้ไขข้อเท็จจริงของการไม่มีอยู่ ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดเศษส่วนตรรกยะ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . มันจะต้องสั้นลง

วิธีการแก้

ให้เราแยกตัวประกอบของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน ลองทำวงเล็บ:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

เราเห็นว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ:

2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7)

เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ข 2 (ก + 7). มาลดกัน:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ โดยไม่มีคำอธิบายเป็นห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ข - 7 ข

ตอบ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

มันเกิดขึ้นที่ปัจจัยทั่วไปถูกซ่อนไว้โดยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข จากนั้น เมื่อลดเศษส่วน จะเป็นการดีที่สุดที่จะดึงตัวประกอบที่เป็นตัวเลขที่มีตัวเศษและตัวส่วนสูงออกมา

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดเศษส่วนพีชคณิต 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 ถ้าเป็นไปได้ควรลดลง

วิธีการแก้

เมื่อมองแวบแรก ตัวเศษและตัวส่วนจะไม่มีตัวส่วนร่วมกัน อย่างไรก็ตาม ลองแปลงเศษส่วนที่กำหนดให้กัน ลองแยกตัวประกอบ x ออกจากตัวเศษ:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

ตอนนี้คุณสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์ในวงเล็บและนิพจน์ในตัวส่วนเนื่องจาก x 2 y . ให้เรานำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่กำลังสูงกว่าของพหุนามเหล่านี้ออก:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

ตอนนี้ตัวคูณทั่วไปจะมองเห็นได้ เราดำเนินการลด:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

ตอบ: 1 5 x - 2 7 x 3 ย 5 x 2 ย - 3 1 2 = - 2 35 x

ขอย้ำว่าทักษะในการลดเศษส่วนตรรกยะนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแยกตัวประกอบของพหุนาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลัก: หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนถูกหารด้วยพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน ก็จะได้เศษส่วนที่เท่ากับเศษส่วนนั้น

คุณสามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น!

สมาชิกของพหุนามลดไม่ได้!

ในการลดเศษส่วนพีชคณิต ต้องแยกตัวประกอบของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนก่อน

พิจารณาตัวอย่างการลดเศษส่วน

ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นหน่วยเดียว พวกเขาเป็นตัวแทน งาน(ตัวเลข ตัวแปร และองศาของมัน) ตัวคูณเราลดได้

เราลดจำนวนลงด้วยตัวหารร่วมมาก นั่นคือ จำนวนที่มากที่สุดซึ่งแต่ละจำนวนหารลงตัว สำหรับ 24 และ 36 นี่คือ 12 หลังจากลดลงจาก 24 เหลือ 2 จาก 36 - 3

เราลดองศาตามระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เล็กที่สุด การลดเศษส่วนหมายถึงการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวหารเดียวกัน แล้วลบเลขยกกำลัง

a² และ a⁷ ลดลงทีละ a² ในเวลาเดียวกัน หนึ่งยังคงอยู่ในตัวเศษจากa² (เราเขียน 1 ต่อเมื่อไม่มีตัวประกอบอื่นเหลือหลังจากลดแล้ว จาก 24 เหลือ 2 ดังนั้นเราจึงไม่เขียน 1 ที่เหลือจากa²) จาก a⁷ หลังจากการลดลงยังคงเป็น a⁵

b และ b ย่อด้วย b หน่วยผลลัพธ์จะไม่ถูกเขียน

c³º และ c⁵ ลดลงโดย c⁵ จากc³º, c²⁵ ยังคงอยู่จาก c⁵ - หน่วย (เราไม่ได้เขียน) ทางนี้,

ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตนี้คือพหุนาม เป็นไปไม่ได้ที่จะลดเงื่อนไขของพหุนาม! (ไม่สามารถลดขนาดได้ เช่น 8x² และ 2x!) เพื่อลดเศษส่วนนี้จำเป็น ตัวเศษมีตัวประกอบร่วมเป็น 4x ลองนำออกจากวงเล็บ:

ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเท่ากัน (2x-3) เราลดเศษส่วนด้วยปัจจัยนี้ เราได้ 4x ในตัวเศษ 1 ในตัวส่วน ตามคุณสมบัติ 1 ของเศษส่วนพีชคณิต เศษส่วนคือ 4x

คุณสามารถลดตัวประกอบได้เท่านั้น (คุณไม่สามารถลดเศษส่วนที่กำหนดได้ 25x²!) ดังนั้นต้องแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

ตัวเศษคือผลรวมกำลังสองเต็ม และตัวส่วนคือผลต่างของกำลังสอง หลังจากขยายตามสูตรการคูณแบบย่อ เราได้รับ:

เราลดเศษส่วนลง (5x + 1) (ในการทำเช่นนี้ ให้ขีดเลขสองตัวในตัวเศษเป็นเลขชี้กำลัง จาก (5x + 1) ² สิ่งนี้จะเหลือ (5x + 1)):

ตัวเศษมีตัวประกอบร่วมกันคือ 2 ลองนำออกจากวงเล็บ ในตัวส่วน - สูตรสำหรับความแตกต่างของลูกบาศก์:

จากการขยายตัวของตัวเศษและตัวส่วน เราได้ตัวประกอบเดียวกัน (9 + 3a + a²) เราลดเศษส่วนลง:

พหุนามในตัวเศษประกอบด้วย 4 พจน์ เทอมแรกกับเทอมที่สอง เทอมที่สามกับสี่ และเราเอาตัวประกอบร่วม x² ออกจากวงเล็บแรก เราแยกส่วนตามสูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์:

ในตัวเศษ เรานำตัวประกอบร่วม (x + 2) ออกจากวงเล็บ:

เราลดเศษส่วนลง (x + 2):

ในบทความนี้เราจะมุ่งเน้นไปที่ การลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต. ขั้นแรก ลองหาความหมายของคำว่า "การลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต" และค้นหาว่าเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตสามารถลดลงได้เสมอหรือไม่ ต่อไป เราให้กฎที่ช่วยให้เราทำการเปลี่ยนแปลงนี้ได้ สุดท้าย ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไปที่จะทำให้เข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดของกระบวนการได้

การนำทางหน้า

การลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตหมายความว่าอย่างไร

การศึกษาเราได้พูดคุยเกี่ยวกับการลดของพวกเขา เราเรียกการหารของตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทั่วไป 30/54 สามารถลดลงได้ 6 (นั่นคือ หารด้วย 6 ด้วยตัวเศษและตัวส่วน) ซึ่งจะนำเราไปสู่เศษส่วน 5/9

การลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตถือเป็นการกระทำที่คล้ายกัน ลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตคือการหารเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม แต่ถ้าตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดาสามารถเป็นตัวเลขได้ ดังนั้นตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเชิงพีชคณิตสามารถเป็นพหุนามได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมโนเมียลหรือตัวเลข

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิตสามารถลดลงด้วยเลข 3 ซึ่งให้เศษส่วน . นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะลดตัวแปร x ซึ่งจะส่งผลให้นิพจน์ . เศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมสามารถถูกลดขนาดได้ด้วยโมโนเมียล 3 x เช่นเดียวกับพหุนามใดๆ x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y หรือ 3 x 2 +6 x y

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนเชิงพีชคณิตคือการได้รับเศษส่วนในรูปแบบที่ง่ายกว่า ที่ดีที่สุดคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตใด ๆ ที่มีการลดลงหรือไม่?

เรารู้ว่าเศษส่วนธรรมดาแบ่งออกเป็น เศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้ไม่มีตัวประกอบร่วมกันนอกจากเอกภาพในตัวเศษและตัวส่วน ดังนั้นจึงไม่สามารถลดจำนวนลงได้

เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตอาจมีหรือไม่มีตัวหารร่วมและตัวส่วนร่วม เมื่อมีปัจจัยร่วม สามารถลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตได้ หากไม่มีปัจจัยร่วมกันการทำให้เศษส่วนพีชคณิตง่ายขึ้นโดยการลดลงนั้นเป็นไปไม่ได้

ที่ กรณีทั่วไปจากลักษณะของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นการยากที่จะตัดสินว่าสามารถดำเนินการลดขนาดได้หรือไม่ ไม่ต้องสงสัยเลยว่า ในบางกรณี ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น เห็นได้ชัดว่าตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีตัวประกอบร่วมกันคือ 3 นอกจากนี้ยังเห็นได้ง่ายว่าเศษส่วนพีชคณิตสามารถลดลงด้วย x, คูณ y หรือทันทีด้วย x·y แต่บ่อยครั้งมากที่ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตไม่สามารถมองเห็นได้ทันที และบ่อยครั้งที่ไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถลดลงได้ด้วย x−1 แต่ปัจจัยทั่วไปนี้ไม่มีอยู่ในสัญกรณ์อย่างชัดเจน และเศษส่วนเชิงพีชคณิต ลดไม่ได้เพราะตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

โดยทั่วไป คำถามของการหดตัวของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตนั้นยากมาก และบางครั้งการแก้ปัญหาโดยการทำงานกับเศษส่วนพีชคณิตในรูปแบบดั้งเดิมก็ง่ายกว่าการหาคำตอบว่าเศษส่วนนี้สามารถลดขนาดเบื้องต้นได้หรือไม่ แต่ก็ยังมีการแปลงที่ในบางกรณีสามารถหาตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนได้โดยใช้ความพยายามเพียงเล็กน้อย หรือเพื่อสรุปว่าเศษส่วนเชิงพีชคณิตดั้งเดิมนั้นลดทอนไม่ได้ ข้อมูลนี้จะถูกเปิดเผยในย่อหน้าถัดไป

กฎการลดเศษส่วนพีชคณิต

ข้อมูลของย่อหน้าก่อนหน้าช่วยให้คุณเข้าใจสิ่งต่อไปนี้ได้อย่างเป็นธรรมชาติ กฎการลดเศษส่วนพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• ขั้นแรกให้พบตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเดิม
• ถ้ามีจะดำเนินการลดปัจจัยเหล่านี้

ขั้นตอนเหล่านี้ของกฎที่ประกาศจำเป็นต้องชี้แจง

วิธีที่สะดวกที่สุดในการหาตัวร่วมคือการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเดิม ในกรณีนี้ จะเห็นตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนในทันที หรือเห็นได้ชัดว่าไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

หากไม่มีปัจจัยร่วมกัน เราสามารถสรุปได้ว่าเศษส่วนพีชคณิตนั้นลดทอนไม่ได้ หากพบปัจจัยทั่วไปขั้นตอนที่สองจะลดลง ผลลัพธ์คือเศษส่วนใหม่ของรูปแบบที่เรียบง่าย

กฎของการลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งแสดงโดยความเท่ากัน โดยที่ a, b และ c เป็นพหุนามบางชื่อ และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์ ในขั้นตอนแรก เศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมจะลดลงเป็นรูปแบบ ซึ่งสามารถมองเห็นปัจจัยร่วม c และในขั้นตอนที่สอง การลดจะดำเนินการ - การเปลี่ยนไปยังเศษส่วน .

เรามาแก้ตัวอย่างโดยใช้กฎนี้กันเถอะ เราจะวิเคราะห์ความแตกต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อแยกตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเป็นปัจจัยและการลดลงที่ตามมา

ตัวอย่างทั่วไป

ก่อนอื่นคุณต้องพูดเกี่ยวกับการลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งตัวเศษและตัวส่วนที่เหมือนกัน เศษส่วนดังกล่าวมีค่าเท่ากับหนึ่งเท่ากันใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างเช่น
เป็นต้น

ตอนนี้มันไม่เจ็บที่จะจำวิธีการลดเศษส่วนธรรมดา - ท้ายที่สุดมันเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต จำนวนธรรมชาติในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามัญ หลังจากนั้นตัวประกอบร่วมจะลดลง (ถ้ามี) ตัวอย่างเช่น, . ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันสามารถเขียนได้ในรูปขององศา และเมื่อลดค่าลง ให้ใช้ ในกรณีนี้ วิธีแก้ไขจะมีลักษณะดังนี้: ที่นี่เราแบ่งตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3 . หรือเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ตามคุณสมบัติของการคูณและการหาร การแก้ปัญหาจะแสดงในแบบฟอร์ม

ตามหลักการที่คล้ายคลึงกันอย่างยิ่ง การลดลงของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตจะดำเนินการในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งมี monomials ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต .

วิธีการแก้.

คุณสามารถแสดงตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยและตัวแปรอย่างง่าย แล้วดำเนินการลด:

แต่มีเหตุผลมากกว่าที่จะเขียนวิธีแก้ปัญหาเป็นนิพจน์ที่มีอำนาจ:

ตอบ:

.

สำหรับการลดลงของเศษส่วนเชิงพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์ตัวเลขเป็นเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วน คุณสามารถทำได้สองอย่าง: แบ่งค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้แยกกัน หรือก่อนอื่นให้กำจัดค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ เราได้พูดคุยเกี่ยวกับการแปลงครั้งล่าสุดในบทความที่นำเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตมาเป็นตัวส่วนใหม่ ซึ่งสามารถทำได้เนื่องจากคุณสมบัติหลักของเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต ลองจัดการกับสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ดำเนินการลดเศษส่วน

วิธีการแก้.

คุณสามารถลดเศษส่วนได้ดังนี้: .

และเป็นไปได้ที่จะกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนก่อนโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ นั่นคือ LCM(5, 10)=10 . ในกรณีนี้เรามี .

ตอบ:

.

คุณสามารถไปยังเศษส่วนเชิงพีชคณิตของรูปแบบทั่วไป ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนสามารถมีทั้งตัวเลขและตัวส่วนเดียว ตลอดจนพหุนาม

เมื่อลดเศษส่วนดังกล่าว ปัญหาหลักคือตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนไม่สามารถมองเห็นได้เสมอไป ยิ่งไปกว่านั้น มันไม่ได้มีอยู่จริงเสมอไป ในการหาตัวประกอบร่วมหรือตรวจสอบว่าไม่มีอยู่ คุณต้องแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนเหตุผล .

วิธีการแก้.

ในการทำเช่นนี้ เราแยกตัวประกอบของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน เริ่มต้นด้วยวงเล็บ: . เห็นได้ชัดว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้

แผนกและตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน ตัวหารร่วมกันที่ต่างกับเอกภาพเรียกว่า การลดเศษส่วน.

ในการลดเศษส่วนร่วม คุณต้องหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากัน

จำนวนนี้เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด

ดังต่อไปนี้ได้ แบบบันทึกการตัดสินใจตัวอย่างการลดลงของเศษส่วนธรรมดา

นักศึกษามีสิทธิ์เลือกบันทึกในรูปแบบใดก็ได้

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของเศษส่วน

ลดเศษส่วนลง 3 (นำเศษมาหารด้วย 3;

หารตัวส่วนด้วย 3)

เราลดเศษส่วนลง 7

เราดำเนินการตามที่ระบุในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

เศษส่วนผลลัพธ์จะลดลง 5

มาลดเศษส่วนนี้กันเถอะ 4) บน 5 7³- ตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและตัวส่วน ซึ่งประกอบด้วยตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนที่ยกกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เล็กที่สุด

ให้เราแยกย่อยตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนนี้ออกเป็นตัวประกอบอย่างง่าย

เราได้รับ: 756=2² 3³ 7และ 1176=2³ 3 7².

กำหนด GCD (ตัวหารร่วมมาก) ของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน 5) .

นี่คือผลคูณของปัจจัยทั่วไปที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุด

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

เราหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย GCD เช่น โดย 2² 3 7เราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 9/14 .

และเป็นไปได้ที่จะเขียนส่วนขยายของตัวเศษและตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะโดยไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องดีกรี แล้วจึงลดเศษส่วนโดยการขีดฆ่าตัวประกอบเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วน เมื่อไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกันเหลืออยู่ เราจะคูณตัวประกอบที่เหลือแยกกันในตัวเศษและแยกกันในตัวส่วน แล้วเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วน 9/14 .

และในที่สุดก็สามารถลดเศษส่วนนี้ได้ 5) ค่อยๆ ใช้เครื่องหมายการหารของตัวเลขทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน คิดแบบนี้: ตัวเลข 756 และ 1176 ลงท้ายด้วยเลขคู่ ดังนั้นทั้งคู่จึงหารด้วย 2 . เราลดเศษส่วนลง 2 . ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนใหม่คือตัวเลข 378 และ 588 ยังแบ่งออกเป็น 2 . เราลดเศษส่วนลง 2 . เราสังเกตว่าจำนวน 294 - แม้กระทั่งและ 189 เป็นเรื่องแปลก และการลด 2 เป็นไปไม่ได้อีกต่อไป ตรวจสอบสัญลักษณ์ของการหารตัวเลข 189 และ 294 บน 3 .

(1+8+9)=18 หารด้วย 3 ลงตัว และ (2+9+4)=15 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้เอง 189 และ 294 แบ่งออกเป็น 3 . เราลดเศษส่วนลง 3 . ไกลออกไป, 63 หารด้วย 3 และ 98 - ไม่. ทำซ้ำเหนือปัจจัยสำคัญอื่น ๆ จำนวนทั้งสองหารด้วย 7 . เราลดเศษส่วนลง 7 และรับเศษส่วนที่ลดไม่ได้ 9/14 .