คุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณตัวเลข

สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ค่าของผลรวมเปลี่ยนแปลง สำหรับจำนวน a และ b ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

สมบัติการบวกรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของตัวเลขสองตัว คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับเลขตัวแรกได้ สำหรับจำนวน a, b และ c ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

สมบัติการสลับของการคูณ: การจัดเรียงตัวประกอบใหม่จะไม่ทำให้มูลค่าของผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง สำหรับจำนวน a, b และ c ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

คุณสมบัติการคูณของการคูณ: หากต้องการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณตัวเลขแรกด้วยผลคูณของตัวเลขที่สองและสามได้

สำหรับจำนวน a, b และ c ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

คุณสมบัติการกระจาย: หากต้องการคูณตัวเลขด้วยผลรวม คุณสามารถคูณตัวเลขนั้นด้วยแต่ละพจน์แล้วบวกผลลัพธ์ได้ สำหรับจำนวน a, b และ c ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

จากคุณสมบัติการสลับและการรวมกันของการบวกมีดังนี้: ในผลรวมใด ๆ คุณสามารถจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ตามที่คุณต้องการและรวมเข้าเป็นกลุ่มโดยพลการ

ตัวอย่างที่ 1 ลองคำนวณผลรวม 1.23+13.5+4.27

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะสะดวกในการรวมเทอมแรกกับเทอมที่สาม เราได้รับ:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

จากคุณสมบัติการสลับและการรวมกันของการคูณมีดังนี้: ในผลิตภัณฑ์ใด ๆ คุณสามารถจัดเรียงปัจจัยใหม่ในทางใดทางหนึ่งและรวมเข้าเป็นกลุ่มโดยพลการ

ตัวอย่างที่ 2 ลองหามูลค่าของผลิตภัณฑ์ 1.8·0.25·64·0.5

เมื่อรวมปัจจัยแรกกับปัจจัยที่สี่และปัจจัยที่สองกับปัจจัยที่สามเข้าด้วยกัน เราก็จะได้:

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4

สมบัติการแจกแจงจะเป็นจริงเช่นกันเมื่อตัวเลขคูณด้วยผลรวมของพจน์ตั้งแต่สามพจน์ขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวน a, b, c และ d ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

ก(ข+ค+ง)=ab+ac+โฆษณา

เรารู้ว่าการลบสามารถแทนที่ได้ด้วยการบวกโดยการบวกลบกับจำนวนตรงข้ามของตัวลบ:

ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงนิพจน์ตัวเลขได้ พิมพ์ ก-ขถือเป็นผลรวมของตัวเลข a และ -b นิพจน์ตัวเลขในรูปแบบ a+b-c-d ถือเป็นผลรวมของตัวเลข a, b, -c, -d เป็นต้น คุณสมบัติของการกระทำที่พิจารณาก็ใช้ได้กับผลรวมดังกล่าวเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3 ลองหาค่าของนิพจน์ 3.27-6.5-2.5+1.73

นิพจน์นี้คือผลรวมของตัวเลข 3.27, -6.5, -2.5 และ 1.73 เมื่อนำคุณสมบัติบวกไปใช้ เราจะได้: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4

ตัวอย่างที่ 4 มาคำนวณผลคูณ 36·() กัน

ตัวคูณสามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวมของตัวเลขและ - จากการใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ เราได้:

36()=36·-36·=9-10=-1.

ตัวตน

คำนิยาม. สองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเท่ากัน

คำนิยาม. ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์

มาหาค่าของนิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y สำหรับ x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน จากคุณสมบัติการแจกแจงเป็นไปตามนั้น โดยทั่วไป สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร ค่าที่สอดคล้องกันของนิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y จะเท่ากัน

ตอนนี้ให้เราพิจารณานิพจน์ 2x+y และ 2xy เมื่อ x=1, y=2 จะได้ค่าเท่ากัน:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถระบุค่าของ x และ y เพื่อให้ค่าของนิพจน์เหล่านี้ไม่เท่ากันได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า x=3, y=4 แล้ว

นิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y มีค่าเท่ากัน แต่นิพจน์ 2x+y และ 2xy ไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกัน 3(x+y)=x+3y เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ x และ y คือเอกลักษณ์

ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริงก็ถือเป็นอัตลักษณ์เช่นกัน

ดังนั้นอัตลักษณ์จึงเป็นการแสดงความเท่าเทียมกัน คุณสมบัติพื้นฐานการกระทำกับตัวเลข:

ก+ข=ข+ก, (ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac

ตัวอย่างอื่นๆ ของตัวตนสามารถระบุได้:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

ก·1=ก, ก·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab

การเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่เหมือนกัน

การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันเรียกว่า การแปลงที่เหมือนกัน หรือเพียงการแปลงนิพจน์

การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

หากต้องการค้นหาค่าของนิพจน์ xy-xz เมื่อใด ค่าที่กำหนด x, y, z คุณต้องดำเนินการสามอย่าง ตัวอย่างเช่น เมื่อ x=2.3, y=0.8, z=0.2 เราจะได้:

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38

ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้โดยการดำเนินการเพียงสองขั้นตอนเท่านั้น ถ้าคุณใช้นิพจน์ x(y-z) ซึ่งเท่ากับนิพจน์ xy-xz เหมือนกัน:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

เราทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยการแทนที่นิพจน์ xy-xz เหมือนกัน การแสดงออกที่เท่าเทียมกัน x(y-z)

การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันนั้นใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณค่าของนิพจน์และการแก้ปัญหาอื่น ๆ ต้องทำการแปลงที่เหมือนกันบางอย่างอยู่แล้ว เช่น นำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา วงเล็บเปิด ให้เราจำกฎสำหรับการดำเนินการแปลงเหล่านี้:

ที่จะเป็นผู้นำ เงื่อนไขที่คล้ายกันคุณต้องบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป

หากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บก็สามารถละเว้นวงเล็บได้โดยคงเครื่องหมายของแต่ละเทอมไว้ในวงเล็บ

หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ สามารถละเว้นวงเล็บได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมที่อยู่ในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 1 ขอให้เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในผลรวม 5x+2x-3x

ลองใช้กฎเพื่อลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x

การแปลงนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณ

ตัวอย่างที่ 2 ลองเปิดวงเล็บในนิพจน์ 2a+(b-3c)

การใช้กฎสำหรับวงเล็บเปิดที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก:

2a+(b-3c)=2a+b-3c

การเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเชิงผสมของการบวก

ตัวอย่างที่ 3 ลองเปิดวงเล็บในนิพจน์ a-(4b-c)

ลองใช้กฎสำหรับวงเล็บเปิดที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ:

ก-(4b-c)=a-4b+c

การแปลงที่ดำเนินการจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณและคุณสมบัติการรวมของการบวก มาแสดงกันเถอะ ให้เราแทนเทอมที่สอง -(4b-c) ในนิพจน์นี้เป็นผลคูณ (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)

โดยการสมัคร คุณสมบัติที่ระบุการกระทำที่เราได้รับ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c

ในบรรดานิพจน์ต่าง ๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ได้แก่ สถานที่สำคัญครอบครองผลรวมของ monomials นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

ให้เราแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบของ monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

สำหรับ องศาของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากการถ่ายคร่อมเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราได้ใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

โดยมีสำนวนบางอย่างอยู่ใน การแปลงพีชคณิตต้องรับมือบ่อยกว่าคนอื่น บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง สังเกตไหมว่าชื่อ. การแสดงออกที่ระบุราวกับว่ายังไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น \((a + b)^2 \) ไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณประสบปัญหาดังกล่าวแล้วเมื่อทำการคูณพหุนาม : :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวม เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมและเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถแทนที่ชิ้นส่วนทางด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนทางขวาในการแปลงและในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนทางขวาด้วยชิ้นส่วนทางซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

ฉัน. สำนวนที่ใช้ตัวเลขและเครื่องหมายร่วมกับตัวอักษรได้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และวงเล็บเรียกว่านิพจน์พีชคณิต

ตัวอย่างนิพจน์พีชคณิต:

2m -n; 3 · (2ก + ข); 0.24x; 0.3ก -ข · (4a + 2b); ก 2 – 2ab;

เนื่องจากตัวอักษรในนิพจน์พีชคณิตสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวอักษรบางตัวได้ ตัวเลขที่แตกต่างกันจากนั้นตัวอักษรจะเรียกว่าตัวแปร และนิพจน์พีชคณิตนั้นเรียกว่านิพจน์ที่มีตัวแปร

ครั้งที่สอง หากในนิพจน์พีชคณิตตัวอักษร (ตัวแปร) จะถูกแทนที่ด้วยค่าและดำเนินการตามที่ระบุหมายเลขผลลัพธ์จะเรียกว่าค่าของนิพจน์พีชคณิต

ตัวอย่าง.

ค้นหาความหมายของสำนวน:

1) a + 2b -c โดยมี = -2; ข = 10; ค = -3.5

2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; ซี = 6..

สารละลาย

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c โดยมี = -2; ข = 10; ค = -3.5 แทนที่จะเป็นตัวแปร ลองแทนค่าของมันแทน เราได้รับ: 2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; z = 6 ทดแทนค่าที่ระบุ - เราจำได้ว่าโมดูลัสของจำนวนลบเท่ากับจำนวนตรงข้ามและโมดูลัสด้วยจำนวนบวก

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

เท่ากับจำนวนนี้เอง เราได้รับ:ที่สาม

ค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) ที่นิพจน์พีชคณิตสมเหตุสมผลเรียกว่าค่าที่อนุญาตของตัวอักษร (ตัวแปร) ตัวอย่าง.อยู่ที่ค่าไหน.

การแสดงออกของตัวแปรไม่สมเหตุสมผลเหรอ?

สารละลาย.

เรารู้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้น แต่ละนิพจน์เหล่านี้จึงไม่สมเหตุสมผลเมื่อพิจารณาถึงค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) ที่เปลี่ยนตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นศูนย์!

ในตัวอย่างที่ 3) ตัวส่วนคือ x + 2 = 0 เมื่อ x = -2 คำตอบ: นิพจน์ 3) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ x = -2

ในตัวอย่างที่ 4) ตัวส่วนคือ 5 -|x| = 0 สำหรับ |x| = 5 และตั้งแต่ |5| = 5 และ |-5| = 5 ดังนั้นคุณไม่สามารถรับ x = 5 และ x = -5 ได้ คำตอบ: นิพจน์ 4) ไม่สมเหตุสมผลที่ x = -5 และที่ x = 5
IV. มีการกล่าวถึงสองนิพจน์ว่าเท่ากันหากค่าที่สอดคล้องกันของนิพจน์เหล่านี้มีค่าเท่ากันสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร

ตัวอย่าง: 5 (a – b) และ 5a – 5b ก็เท่ากัน เนื่องจากความเท่าเทียมกัน 5 (a – b) = 5a – 5b จะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b ความเท่าเทียมกัน 5 (a – b) = 5a – 5b คือเอกลักษณ์

ตัวตน คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างของอัตลักษณ์ที่คุณทราบอยู่แล้ว เช่น คุณสมบัติของการบวกและการคูณ และคุณสมบัติการแจกแจง

การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันเรียกว่า การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ หรือเพียงการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

ตัวอย่าง.

ก)แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(ก -2b + 4c); 3) ก·(6ม. -2n + k)

2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; ซี = 6.- ให้เราระลึกถึงคุณสมบัติการแจกแจง (กฎหมาย) ของการคูณ:

(ก+ข)ค=เอซี+บีซี(กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก: ในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณแต่ละพจน์ด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้)
(ก-ข) ค=ก-ข ค(กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ: ในการคูณผลต่างของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สามคุณสามารถคูณเครื่องหมายลบและลบด้วยตัวเลขนี้แยกกันและลบตัวที่สองจากผลลัพธ์แรก)

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y

2) 1.5·(ก -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c

3) ก·(6นาที -2n + k) = 6โมงเช้า - 2วัน+อัค

ข)แปลงนิพจน์ให้เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง (กฎ) ของการบวก:

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 วินาที -3 -2.5 -2.3 วินาที

การแสดงออกของตัวแปรลองใช้กฎหมาย (คุณสมบัติ) ของการบวก:

ก+ข=ข+ก(สับเปลี่ยน: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง)
(ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)(แบบรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของสองเทอม คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับตัวเลขตัวแรกได้)

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9

6) 6) 5.4 วินาที -3 -2.5 -2.3 วินาที = (5.4 วินาที -2.3 วินาที) + (-3 -2.5) = 3.1 วินาที -5.5

วี)แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง (กฎ) ของการคูณ:

7) 4 · เอ็กซ์ · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); (-1); 9) 3ก · (-3) · 2 วินาที

การแสดงออกของตัวแปรลองใช้กฎ (คุณสมบัติ) ของการคูณ:

มี·ข=บี·ก(สับเปลี่ยน: การจัดเรียงปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง)
(ก) ค=ก (ข ค)(แบบรวมกัน: หากต้องการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณตัวเลขแรกด้วยผลคูณของตัวเลขที่สองและสามได้)

หัวข้อที่ 2.

การแปลงนิพจน์พีชคณิต

ฉัน- วัสดุทางทฤษฎี

แนวคิดพื้นฐาน

นิพจน์พีชคณิต: จำนวนเต็ม เศษส่วน ตรรกยะ ไม่ลงตัว

ขอบเขตของคำจำกัดความ ค่านิพจน์ที่ถูกต้อง

ความหมายของการแสดงออกทางพีชคณิต

เอกพจน์, พหุนาม

สูตรคูณแบบย่อ

การแยกตัวประกอบ โดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

คุณสมบัติหลักของเศษส่วน

ปริญญา คุณสมบัติของปริญญา

Kortym คุณสมบัติของราก

การเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่มีเหตุผลและไม่มีเหตุผล

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรโดยใช้เครื่องหมายของการบวก ลบ การคูณ การหาร การยก ระดับเหตุผลการแยกรากและใช้วงเล็บเรียกว่า พีชคณิต

ตัวอย่างเช่น: ;
;
;

;
;
;
.

หากนิพจน์พีชคณิตไม่มีการหารเป็นตัวแปรและรับรากของตัวแปร (โดยเฉพาะการยกกำลังด้วย ตัวบ่งชี้เศษส่วน) จากนั้นจึงเรียกว่า ทั้งหมด.

ตัวอย่างเช่น:
;
;
.

ถ้านิพจน์พีชคณิตประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรโดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ ยกกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและการหารและการหารเป็นนิพจน์ด้วยตัวแปรจึงเรียกว่า เศษส่วน.

ตัวอย่างเช่น:
;
.

ทั้งหมดและ นิพจน์เศษส่วนถูกเรียกว่า มีเหตุผลการแสดงออก

ตัวอย่างเช่น: ;
;

.

หากนิพจน์พีชคณิตเกี่ยวข้องกับการหารากของตัวแปร (หรือการเพิ่มตัวแปรเป็น พลังเศษส่วน) จากนั้นจึงเรียกนิพจน์พีชคณิตดังกล่าว ไม่มีเหตุผล

ตัวอย่างเช่น:
;
.

ค่าของตัวแปรที่นิพจน์พีชคณิตสมเหตุสมผลเรียกว่า ค่าตัวแปรที่ถูกต้อง.

มากมายทุกคน ค่าที่ยอมรับได้ตัวแปรถูกเรียกว่า ขอบเขตของคำจำกัดความ.

ขอบเขตของคำจำกัดความของนิพจน์พีชคณิตทั้งหมดคือเซตของจำนวนจริง

ขอบเขตของคำจำกัดความของนิพจน์พีชคณิตเศษส่วนคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นเซตที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น: มีเหตุผลเมื่อ
;

สมเหตุสมผลเมื่อ
นั่นคือเมื่อใด
.

ขอบเขตของคำจำกัดความของนิพจน์พีชคณิตแบบไม่มีเหตุผลคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนที่แปลงเป็น จำนวนลบการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายรูท แม้แต่ปริญญาหรือขึ้นเครื่องหมายยกกำลังเป็นเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น:
สมเหตุสมผลเมื่อ
;

สมเหตุสมผลเมื่อ
นั่นคือเมื่อใด
.

ค่าตัวเลขได้มาจากการแทนที่ค่าที่อนุญาตของตัวแปรลงในนิพจน์พีชคณิตเรียกว่า ค่าของนิพจน์พีชคณิต.

ตัวอย่างเช่น: การแสดงออก
ที่
,
คำนึงถึงคุณค่า
.

นิพจน์พีชคณิตที่มีเพียงตัวเลข พลังธรรมชาติของตัวแปร และผลิตภัณฑ์เท่านั้นที่เรียกว่า เอกราช

ตัวอย่างเช่น:
;
;
.

monomial ซึ่งเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงตัวเลขในตอนแรกและกำลังของตัวแปรต่างๆ ลดลงเป็น มุมมองมาตรฐาน.

ตัวอย่างเช่น:
;
.

ตัวประกอบตัวเลขของสัญกรณ์มาตรฐานของ monomial เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของ monomial- เรียกผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรทั้งหมด ระดับของ monomial.

เมื่อคูณ monomial ด้วย monomial และเมื่อเพิ่ม monomial เป็น ระดับธรรมชาติเราได้รับ monomial ที่ต้องนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ผลรวมของ monomials เรียกว่า พหุนาม.

ตัวอย่างเช่น:
; ;
.

ถ้าเขียนทุกพจน์ของพหุนาม แบบฟอร์มมาตรฐานและทำการลดเงื่อนไขที่คล้ายกันแล้วจึงเกิดผลลัพธ์ พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

ตัวอย่างเช่น: .

หากมีตัวแปรเพียงตัวเดียวในพหุนาม ระบบจะเรียกเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปรนี้ ระดับของพหุนาม.

ตัวอย่างเช่น: พหุนามมีดีกรีที่ 5

ค่าของตัวแปรที่มีค่าพหุนามเป็นศูนย์เรียกว่า รากของพหุนาม.

ตัวอย่างเช่น: รากของพหุนาม
คือหมายเลข 1.5 และ 2

สูตรคูณแบบย่อ

กรณีพิเศษของการใช้สูตรคูณแบบย่อ

ความแตกต่างของกำลังสอง:
หรือ

ผลรวมกำลังสอง:
หรือ

ผลต่างกำลังสอง:
หรือ

ผลรวมของลูกบาศก์:
หรือ

ความแตกต่างของลูกบาศก์:
หรือ

ลูกบาศก์ของผลรวม:
หรือ

ลูกบาศก์ความแตกต่าง:
หรือ

เรียกว่าการแปลงพหุนามเป็นผลคูณของหลายปัจจัย (พหุนามหรือเอกนาม) แยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างเช่น:.

วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างเช่น: .

การใช้สูตรคูณแบบย่อ.

ตัวอย่างเช่น: .

วิธีการจัดกลุ่ม- กฎการเปลี่ยนและการเชื่อมโยงอนุญาตให้คุณจัดกลุ่มสมาชิกของพหุนามได้ ในรูปแบบต่างๆ- วิธีหนึ่งนำไปสู่ความจริงที่ว่าได้รับนิพจน์เดียวกันในวงเล็บซึ่งจะถูกนำออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างเช่น:.

นิพจน์พีชคณิตเศษส่วนใดๆ สามารถเขียนเป็นผลหารของนิพจน์เชิงตรรกยะสองตัวโดยมีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น:
.

เศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนเป็นนิพจน์ตรรกยะและตัวส่วนมีตัวแปรเรียกว่า เศษส่วนตรรกยะ.

ตัวอย่างเช่น:
;
;
.

ถ้าเป็นตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนตรรกยะคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ เอกนามหรือพหุนามที่เหมือนกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง สำนวนนี้เรียกว่า คุณสมบัติหลักของเศษส่วน:

.

การกระทำของการหารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเรียกว่า ลดเศษส่วน:

.

ตัวอย่างเช่น:
;
.

งาน nปัจจัยแต่ละอย่างเท่าเทียมกัน เอ,ที่ไหน ก– การแสดงออกทางพีชคณิตตามอำเภอใจหรือ จำนวนจริง, ก n – จำนวนธรรมชาติ, เรียกว่า ระดับก :

.

นิพจน์พีชคณิต กเรียกว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา, ตัวเลข
n – ตัวบ่งชี้.

ตัวอย่างเช่น:
.

จึงมีความเชื่อตามคำนิยามว่าสำหรับข้อใด กไม่เท่ากับศูนย์:

และ
.

ถ้า
, ที่
.

คุณสมบัติของปริญญา

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

ถ้า ,
จากนั้นนิพจน์ n- ระดับซึ่งเท่ากับ ก, เรียกว่า รากn ระดับของก - มันมักจะแสดงแทน
- ในเวลาเดียวกัน กเรียกว่า การแสดงออกที่รุนแรง, nเรียกว่า ดัชนีราก.

ตัวอย่างเช่น:
;
;
.

คุณสมบัติของรากnระดับของ a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

เมื่อสรุปแนวคิดเรื่องดีกรีและรูทแล้ว เราจะได้แนวคิดของดีกรีพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
.

การกระทำที่ดำเนินการกับราก

ตัวอย่างเช่น: .

ครั้งที่สอง. วัสดุที่ใช้งานได้จริง

ตัวอย่างการทำงานให้เสร็จสิ้น

ตัวอย่างที่ 1- หาค่าของเศษส่วน
.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2- ลดความซับซ้อนของนิพจน์
.

มาแปลงนิพจน์ในวงเล็บแรกกัน:

, ถ้า
.

มาแปลงนิพจน์ในวงเล็บที่สอง:

.

ลองหารผลลัพธ์จากวงเล็บแรกด้วยผลลัพธ์จากวงเล็บที่สอง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3- ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

.

ตัวอย่างที่ 4- ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาแปลงเศษส่วนแรกกัน:

.

มาแปลงเศษส่วนที่สองกัน:

.

เป็นผลให้เราได้รับ:
.

ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อนของนิพจน์
.

สารละลาย. มาตัดสินใจเกี่ยวกับการดำเนินการต่อไปนี้:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

คำตอบ:
.

ตัวอย่างที่ 6พิสูจน์ตัวตน
.

1)
;

2)
;

ตัวอย่างที่ 7ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

.

สารละลาย. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

;

2)
.

ตัวอย่างที่ 8พิสูจน์ตัวตน
.

สารละลาย. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1)
;

2)

;

3)
.

งานสำหรับงานอิสระ

1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก)
;

ข)
;

2. คำนึงถึง:

ก)
;

ข)
;.เอกสาร

เรื่องหมายเลข 5.1. สมการตรีโกณมิติ I. เชิงทฤษฎีวัสดุแนวคิดพื้นฐาน สมการตรีโกณมิติ...ใช้ต่างๆ พีชคณิตและ สูตรตรีโกณมิติและ การเปลี่ยนแปลง- ครั้งที่สอง ใช้ได้จริง วัสดุตัวอย่างงานที่ทำเสร็จ...

เนื้อหาทางทฤษฎีสำหรับกลุ่มภายนอกและกลุ่มเซสชั่น สารบัญ บทที่ 1 ข้อมูลวิทยาการคอมพิวเตอร์ บทที่ 2

บทเรียน

เชิงทฤษฎีวัสดุสำหรับ... , การเปลี่ยนแปลงการถ่ายโอนและการใช้งาน ข้อมูลคือความรู้ แสดงออก... และสะสมไว้ก่อนหน้านี้ เหล่านั้นจึงมีส่วนช่วยก้าวหน้า...ความจริงของตนด้วยความช่วยเหลือ พีชคณิตวิธีการ ข้อความและการแสดงออก...

หัวข้อ “การพัฒนาหลักสูตรวิชาเลือกเพื่อเตรียมความพร้อมก่อนวิชาชีพ” เสร็จสมบูรณ์

เอกสาร

... เชิงทฤษฎีเหตุผลของโครงการ มิถุนายน-สิงหาคม 2548 3. การคัดเลือก วัสดุ...แสดงการประยุกต์ใช้คำจำกัดความของโมดูลเมื่อ การเปลี่ยนแปลงพีชคณิตการแสดงออก- โมดูลในสมการ: - ... แรงจูงใจของนักเรียนการส่งเสริม เหล่านั้นที่สุดในโปรไฟล์...

คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี

... เรื่อง 1. เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงพีชคณิตการแสดงออก เรื่อง 2. พีชคณิต ตามทฤษฎีวัสดุ

และสำหรับ Kondaurova ได้เลือกบทของทฤษฎีและวิธีการสอนคณิตศาสตร์การศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมสำหรับเด็กนักเรียน

คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี

... เรื่อง 1. เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงพีชคณิตการแสดงออก(รวมทั้งการใช้การทดแทน แนวคิดเรื่องมอดุลัสของตัวเลข) เรื่อง 2. พีชคณิต...อาจารย์. การบรรยายทางไกลคือ ตามทฤษฎีวัสดุซึ่งสามารถนำเสนอได้ใน...

ตัวเลขและ นิพจน์พีชคณิต- การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร? เหตุใดเราจึงต้องแปลงนิพจน์

อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าคำถามนี้น่าสนใจ... ความจริงก็คือแนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด คณิตศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์และการแปลง ไม่ชัดเจนมาก? ให้ฉันอธิบาย.

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ชั่วร้ายอยู่ตรงหน้าคุณ ใหญ่มากและซับซ้อนมาก สมมติว่าคุณเก่งคณิตศาสตร์และไม่กลัวสิ่งใดเลย! คุณสามารถให้คำตอบได้ทันที?

คุณจะต้อง ตัดสินใจตัวอย่างนี้ อย่างต่อเนื่อง ทีละขั้นตอน ตัวอย่างนี้ ลดความซับซ้อน- ตามกฎเกณฑ์บางประการแน่นอน เหล่านั้น. ทำ การแปลงนิพจน์- ยิ่งคุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้สำเร็จมากเท่าไร คุณก็จะยิ่งแข็งแกร่งในวิชาคณิตศาสตร์มากขึ้นเท่านั้น หากคุณไม่ทราบวิธีการแปลงที่ถูกต้อง คุณจะทำการแปลงดังกล่าวในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้ ไม่มีอะไร...

เพื่อหลีกเลี่ยงอนาคตที่น่าอึดอัด (หรือปัจจุบัน...) การเข้าใจหัวข้อนี้ไม่ใช่เรื่องเสียหาย)

ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร- เกิดอะไรขึ้น นิพจน์ตัวเลขและคืออะไร การแสดงออกทางพีชคณิต

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์- นี่มันมาก แนวคิดกว้างๆ- เกือบทุกสิ่งที่เราจัดการในวิชาคณิตศาสตร์คือชุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง สูตร เศษส่วน สมการ และอื่นๆ ทั้งหมดประกอบด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์.

3+2 คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ส 2 - วัน 2- นี่เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ด้วย และเศษส่วนที่มีประโยชน์และแม้แต่ตัวเลขเดียวเท่านั้นเอง นิพจน์ทางคณิตศาสตร์- ตัวอย่างเช่น สมการคือ:

5x + 2 = 12

ประกอบด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองตัวที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ สำนวนหนึ่งอยู่ทางซ้ายและอีกอันอยู่ทางขวา

ใน มุมมองทั่วไปภาคเรียน " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์"มักใช้บ่อยที่สุดเพื่อหลีกเลี่ยงการฮัมเพลง พวกเขาจะถามคุณว่าเศษส่วนธรรมดาคืออะไร แล้วจะตอบยังไงล่ะ?!

คำตอบแรก: "นี่คือ... อืมมมม... แบบนั้น... ซึ่ง... จะเขียนเศษส่วนให้ดีขึ้นได้ไหม? คุณต้องการอันไหน?”

คำตอบที่สอง: " เศษส่วนสามัญ- นี่คือ (ร่าเริงและสนุกสนาน!) การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยทั้งเศษและส่วน!"

ตัวเลือกที่สองคงจะน่าประทับใจกว่านี้ใช่ไหม?)

นี่คือจุดประสงค์ของคำว่า " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ “ดีมาก ทั้งถูกต้องและมั่นคง แต่สำหรับ การประยุกต์ใช้จริงต้องมีความรอบรู้เป็นอย่างดี นิพจน์เฉพาะทางทางคณิตศาสตร์ .

ประเภทเฉพาะเป็นอีกเรื่องหนึ่ง นี้ เป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภทมี ของฉันชุดกฎและเทคนิคที่ต้องใช้ในการตัดสินใจ สำหรับการทำงานกับเศษส่วน - หนึ่งชุด สำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ - อันที่สอง สำหรับการทำงานกับลอการิทึม - อันที่สาม และอื่นๆ กฎเหล่านี้อยู่ที่ไหนสักแห่งก็เหมือนกัน แต่บางแห่งก็แตกต่างอย่างมาก แต่อย่ากลัวคำพูดที่น่ากลัวเหล่านี้ เราจะเชี่ยวชาญลอการิทึม ตรีโกณมิติ และเรื่องลึกลับอื่นๆ ในส่วนที่เหมาะสม

ที่นี่เราจะเชี่ยวชาญ (หรือ - ทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับใคร...) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์หลักสองประเภท นิพจน์เชิงตัวเลขและนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ตัวเลข

เกิดอะไรขึ้น นิพจน์ตัวเลข- นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ชื่อเองก็บอกเป็นนัยว่านี่คือสำนวนที่มีตัวเลข ใช่ มันเป็นอย่างนั้น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เรียกว่านิพจน์เชิงตัวเลข

7-3 เป็นนิพจน์ตัวเลข

(8+3.2) 5.4 ก็เป็นนิพจน์ตัวเลขเช่นกัน

และสัตว์ประหลาดตัวนี้:

เป็นนิพจน์เชิงตัวเลขด้วย ใช่...

จำนวนสามัญ เศษส่วน ตัวอย่างการคำนวณที่ไม่มี X และตัวอักษรอื่นๆ ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ตัวเลข

ป้ายหลัก ตัวเลขการแสดงออก - ในนั้น ไม่มีตัวอักษร- ไม่มี. เฉพาะตัวเลขและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ (หากจำเป็น) มันง่ายใช่มั้ย?

และคุณทำอะไรกับนิพจน์ตัวเลขได้บ้าง? โดยปกติแล้วนิพจน์ตัวเลขสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องเปิดวงเล็บ เปลี่ยนป้าย ย่อ สลับเงื่อนไข - เช่น ทำ การแปลงนิพจน์- แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ด้านล่าง

ที่นี่เราจะจัดการกับกรณีที่ตลกเมื่อมีนิพจน์ตัวเลข คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลยไม่มีอะไรเลย! การดำเนินการที่น่าพอใจนี้ - ไม่ทำอะไรเลย)- จะถูกดำเนินการเมื่อมีการแสดงออก ไม่สมเหตุสมผล.

เมื่อใดที่นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล?

เห็นได้ชัดเจนว่าถ้าเราเห็นอับราคาดาบราอะไรสักอย่างอยู่ตรงหน้าเราแบบนั้น

แล้วเราจะไม่ทำอะไรเลย เพราะยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร เรื่องไร้สาระบางอย่าง อาจจะนับจำนวนข้อดี...

แต่ภายนอกมีการแสดงออกที่ค่อนข้างดี ตัวอย่างเช่น:

(2+3) : (16 - 2 8)

อย่างไรก็ตาม สำนวนนี้ก็เช่นกัน ไม่สมเหตุสมผล- ด้วยเหตุผลง่ายๆ ก็คือในวงเล็บที่สอง ถ้าคุณนับ คุณจะได้ศูนย์ แต่คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้! นี่เป็นการกระทำที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับนิพจน์นี้เช่นกัน สำหรับงานใดๆ ที่มีนิพจน์ดังกล่าว คำตอบจะเหมือนเดิมเสมอ: “การแสดงออกไม่มีความหมาย!”

แน่นอนว่าเพื่อที่จะตอบคำถามนี้ ผมต้องคำนวณว่าอะไรจะอยู่ในวงเล็บ และบางครั้งก็มีหลายสิ่งหลายอย่างอยู่ในวงเล็บ... คุณไม่สามารถทำอะไรกับมันได้

การดำเนินการต้องห้ามในคณิตศาสตร์มีไม่มากนัก มีเพียงหนึ่งเดียวในหัวข้อนี้ หารด้วยศูนย์ ข้อจำกัดเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นในรูทและลอการิทึมจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นความคิดว่ามันคืออะไร นิพจน์ตัวเลข- ได้รับ. แนวคิด นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล- ที่ตระหนักรู้. เดินหน้าต่อไป

นิพจน์พีชคณิต

หากตัวอักษรปรากฏในนิพจน์ตัวเลข นิพจน์นี้จะกลายเป็น... นิพจน์จะกลายเป็น... ใช่! มันจะกลายเป็น การแสดงออกทางพีชคณิต- ตัวอย่างเช่น:

5ก 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (ก+ข) 2; ...

สำนวนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า การแสดงออกตามตัวอักษรหรือ นิพจน์ที่มีตัวแปรมันเกือบจะเป็นสิ่งเดียวกัน การแสดงออก 5a +คเช่น ทั้งตัวอักษรและพีชคณิต และนิพจน์ที่มีตัวแปร

แนวคิด การแสดงออกทางพีชคณิต -กว้างกว่าตัวเลข มัน รวมถึงและนิพจน์เชิงตัวเลขทั้งหมด เหล่านั้น. นิพจน์เชิงตัวเลขก็เป็นนิพจน์พีชคณิตเช่นกัน โดยไม่มีตัวอักษรเท่านั้น ปลาเฮอริ่งทุกตัวเป็นปลา แต่ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่เป็นปลาเฮอริ่ง...)

ทำไม ตัวอักษร- มันชัดเจน. เนื่องจากมีตัวอักษร... วลี นิพจน์กับตัวแปรมันก็ไม่ได้น่างงมากเช่นกัน หากคุณเข้าใจว่าตัวเลขซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร คุณสามารถซ่อนตัวเลขทุกประเภทไว้ใต้ตัวอักษร... และ 5 และ -18 และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ นั่นคือจดหมายสามารถเป็นได้ แทนที่บน ตัวเลขที่แตกต่างกัน- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกตัวอักษรเหล่านี้ ตัวแปร.

ในการแสดงออก ย+5, ตัวอย่างเช่น, ที่ - ปริมาณตัวแปร- หรือพวกเขาแค่พูดว่า " ตัวแปร"โดยไม่มีคำว่า "ขนาด" ต่างจากห้าซึ่งเป็นค่าคงที่ หรือเพียงแค่ - คงที่.

ภาคเรียน การแสดงออกทางพีชคณิตหมายความว่าในการทำงานกับสำนวนนี้คุณต้องใช้กฎหมายและกฎเกณฑ์ พีชคณิต- ถ้า เลขคณิตทำงานร่วมกับ หมายเลขเฉพาะ, ที่ พีชคณิต- มีตัวเลขทั้งหมดพร้อมกัน ตัวอย่างง่ายๆ เพื่อการชี้แจง

ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนแบบนั้นได้

แต่ถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันผ่านนิพจน์พีชคณิต:

ก + ข = ข + ก

เราจะตัดสินใจทันที ทั้งหมดคำถาม. สำหรับ ตัวเลขทั้งหมดในการถลาลงเพียงครั้งเดียว เพื่อทุกสิ่งอันไม่มีที่สิ้นสุด เพราะใต้ตัวอักษร กและ ขโดยนัย ทั้งหมดตัวเลข และไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย นี่คือวิธีการทำงานของพีชคณิต

เมื่อใดที่นิพจน์พีชคณิตไม่สมเหตุสมผล?

ทุกอย่างเกี่ยวกับนิพจน์ตัวเลขมีความชัดเจน คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ตรงนี้ได้. แล้วมีตัวอักษรจะรู้ไหมว่าเราหารด้วยอะไร?!

ลองใช้ตัวอย่างนิพจน์นี้กับตัวแปร:

2: (ก - 5)

มันสมเหตุสมผลไหม? ใครจะรู้? ก- เบอร์ไหนก็ได้...

ใดใดใด... แต่มีความหมายเดียวคือ กซึ่งสำนวนนี้ อย่างแน่นอนไม่สมเหตุสมผลเลย! และหมายเลขนี้คืออะไร? ใช่! นี่คือ 5! หากเป็นตัวแปร กแทนที่ (พวกเขาพูดว่า "ทดแทน") ด้วยหมายเลข 5 ในวงเล็บคุณจะได้ศูนย์ ซึ่งแบ่งแยกไม่ได้ ปรากฎว่าพจน์ของเรา ไม่สมเหตุสมผล, ถ้า ก = 5- แต่สำหรับคุณค่าอื่นๆ กมันสมเหตุสมผลไหม? แทนเลขอื่นได้ไหม

แน่นอน. ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาเพียงแต่พูดว่าสำนวนนี้

2: (ก - 5)

เหมาะสมสำหรับค่าใด ๆ ก, ยกเว้น a = 5 .

ทั้งชุดตัวเลขนั้น สามารถการแทนที่ในนิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้การแสดงออกนี้

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยุ่งยาก ลองดูนิพจน์ที่มีตัวแปรแล้วหาคำตอบว่าการดำเนินการที่ต้องห้าม (หารด้วยศูนย์) มีค่าเท่าใดของตัวแปร?

จากนั้นอย่าลืมดูคำถามของงาน พวกเขากำลังถามอะไร?

ไม่สมเหตุสมผลความหมายต้องห้ามของเราจะเป็นคำตอบ

หากถามว่านิพจน์มีค่าเท่าใดของตัวแปร สมเหตุสมผล(รู้สึกถึงความแตกต่าง!) คำตอบจะเป็น หมายเลขอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นสิ่งที่ต้องห้าม

ทำไมเราถึงต้องการความหมายของสำนวน? เขาอยู่ เขาไม่... ต่างกันยังไง! ประเด็นก็คือแนวคิดนี้มีความสำคัญมากในโรงเรียนมัธยม สำคัญมาก! นี่เป็นพื้นฐานสำหรับแนวคิดที่มั่นคงเช่นโดเมนของค่าที่ยอมรับได้หรือโดเมนของฟังก์ชัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถแก้สมการหรืออสมการร้ายแรงได้เลย แบบนี้.

การแปลงนิพจน์ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

เราคุ้นเคยกับนิพจน์เชิงตัวเลขและพีชคณิต เราเข้าใจว่าวลี "สำนวนนี้ไม่มีความหมาย" หมายถึงอะไร ตอนนี้เราต้องหาว่ามันคืออะไร การเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกคำตอบนั้นง่ายจนน่าอับอาย) นี่คือการกระทำใด ๆ ที่มีการแสดงออก นั่นคือทั้งหมดที่ คุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1

ลองใช้นิพจน์ตัวเลขเจ๋งๆ 3+5 กัน มันสามารถแปลงได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! คำนวณ:

การคำนวณนี้จะเป็นการแปลงนิพจน์ คุณสามารถเขียนนิพจน์เดียวกันให้แตกต่างออกไปได้:

ที่นี่เราไม่ได้นับอะไรเลย แค่เขียนสำนวนลงไป ในรูปแบบที่แตกต่างนี่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ด้วย คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

และนี่คือการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกด้วย คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงได้มากเท่าที่คุณต้องการ

ใดๆการกระทำต่อการแสดงออก ใดๆการเขียนในรูปแบบอื่นเรียกว่าการเปลี่ยนการแสดงออก และนั่นคือทั้งหมด มันง่ายมาก แต่มีสิ่งหนึ่งที่นี่ กฎที่สำคัญมากสำคัญมากจนสามารถเรียกได้อย่างปลอดภัย กฎหลักคณิตศาสตร์ทั้งหมด แหกกฎนี้ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้นำไปสู่ข้อผิดพลาด เราเข้าเรื่องหรือเปล่า?)

สมมติว่าเราเปลี่ยนการแสดงออกของเราอย่างไม่ได้ตั้งใจ เช่นนี้:

การแปลง? แน่นอน. เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่น เกิดอะไรขึ้นที่นี่

มันไม่ใช่แบบนั้น) ประเด็นก็คือการเปลี่ยนแปลง "โดยการสุ่ม"ไม่สนใจคณิตศาสตร์เลย) คณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นจากการแปลงซึ่ง รูปร่าง, แต่สาระสำคัญของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลงสามบวกห้าเขียนในรูปแบบใดก็ได้ แต่ต้องเท่ากับแปด

การเปลี่ยนแปลง การแสดงออกที่ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญถูกเรียกว่า เหมือนกัน

อย่างแน่นอน การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์และให้เราค่อยๆ เปลี่ยนแปลงไปทีละขั้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนเป็นสำนวนง่ายๆ การเก็บรักษา สาระสำคัญของตัวอย่างหากเราทำผิดพลาดในห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง เราทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เหมือนกัน จากนั้นเราจะตัดสินใจ อื่นตัวอย่าง. พร้อมคำตอบอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำตอบที่ถูกต้อง)

นี่คือกฎหลักในการแก้ปัญหางานใด ๆ นั่นคือการรักษาเอกลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างด้วย นิพจน์เชิงตัวเลขผมเอา 3+5 มาเพื่อความชัดเจน ในนิพจน์พีชคณิต การแปลงเอกลักษณ์ถูกกำหนดโดยสูตรและกฎเกณฑ์ สมมติว่าในพีชคณิตมีสูตร:

ก(ข+ค) = ab + เอซี

ซึ่งหมายความว่าในทุกตัวอย่างที่เราสามารถทำได้แทนการแสดงออก ก(ข+ค)รู้สึกอิสระที่จะเขียนสำนวน เอบี + เอซี- และในทางกลับกัน นี้ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคณิตศาสตร์ทำให้เรามีตัวเลือกระหว่างสองนิพจน์นี้ และอันไหนที่จะเขียน - จาก ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมพึ่งพา.

อีกตัวอย่างหนึ่ง การแปลงที่สำคัญและจำเป็นอย่างหนึ่งคือคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถดูลิงก์เพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ แต่ฉันจะเตือนคุณเกี่ยวกับกฎนี้: ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน หรือมีนิพจน์ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เศษส่วนนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงนี่คือตัวอย่างของการแปลงข้อมูลประจำตัวโดยใช้คุณสมบัตินี้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ โซ่นี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด...) มาก ทรัพย์สินที่สำคัญ- สิ่งนี้เองที่ทำให้คุณสามารถเปลี่ยนสัตว์ประหลาดตัวอย่างทุกประเภทให้กลายเป็นสีขาวและนุ่มฟูได้)

มีหลายสูตรที่กำหนดการแปลงที่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญที่สุดคือเป็นจำนวนที่ค่อนข้างสมเหตุสมผล การแปลงพื้นฐานประการหนึ่งคือการแยกตัวประกอบ มันถูกใช้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตั้งแต่ระดับประถมศึกษาถึงขั้นสูง เริ่มจากเขากันก่อน ในบทเรียนต่อไป)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้