เมื่อศึกษาระบบควบคุมอัตโนมัติ จะสะดวกกว่าที่จะใช้อีกลักษณะหนึ่งของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ ซึ่งเรียกว่าความหนาแน่นของสเปกตรัม ในหลายกรณี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่โดยระบบควบคุมเชิงเส้น ความหนาแน่นของสเปกตรัมกลายเป็นลักษณะเฉพาะที่สะดวกกว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ความหนาแน่นสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มถูกกำหนดให้เป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ เช่น

ถ้าเราใช้สูตรออยเลอร์ ดังนั้น (9.52) สามารถแสดงเป็น

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ดังนั้นในนิพจน์สุดท้าย อินทิกรัลที่สองจึงมีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันคู่ เราได้รับ

เนื่องจากเป็นไปตาม (9.53) ว่า

ดังนั้นความหนาแน่นของสเปกตรัมจึงเป็นฟังก์ชันจริงและคู่ของความถี่ o) ดังนั้น บนกราฟ ความหนาแน่นของสเปกตรัมจะสมมาตรรอบแกน y เสมอ

หากทราบความหนาแน่นของสเปกตรัม สูตรของการแปลงฟูริเยร์ผกผัน เราสามารถหาฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันได้:

การใช้ (9.55) และ (9.38) สามารถสร้างความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างความแปรปรวนและความหนาแน่นสเปกตรัมของกระบวนการสุ่ม:

คำว่า "ความหนาแน่นของสเปกตรัม" มีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีการสั่นทางไฟฟ้า ความหมายทางกายภาพของความหนาแน่นเชิงสเปกตรัมสามารถอธิบายได้ดังนี้

ให้ - แรงดันไฟฟ้าที่ใช้กับความต้านทานโอห์ม 1 โอห์ม จากนั้นกำลังเฉลี่ยที่กระจายไปตามความต้านทานนี้เมื่อเวลาผ่านไปจะเท่ากับ

ถ้าเราเพิ่มช่วงการสังเกตจนถึงขีดจำกัดอนันต์และใช้ (9.30), (9.38) และ (9.55) เราก็สามารถเขียนสูตรสำหรับกำลังเฉลี่ยได้ดังนี้:

สมการ (9.57) แสดงให้เห็นว่ากำลังของสัญญาณเฉลี่ยสามารถแสดงเป็นผลรวมที่ไม่สิ้นสุดของเงื่อนไขที่เล็กที่สุด ซึ่งใช้กับความถี่ทั้งหมดตั้งแต่ 0 ถึง

พจน์มูลฐานแต่ละพจน์ของผลรวมนี้มีบทบาทเป็นกำลังที่สอดคล้องกับส่วนเล็ก ๆ ที่ไม่สิ้นสุดของสเปกตรัมซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ ถึง อำนาจมูลฐานแต่ละพจน์จะเป็นสัดส่วนกับค่าของฟังก์ชันสำหรับความถี่ที่กำหนด ดังนั้น ความหมายทางกายภาพ ของความหนาแน่นสเปกตรัมคือลักษณะการกระจายพลังงานของสัญญาณเหนือสเปกตรัมความถี่

ความหนาแน่นของสเปกตรัมสามารถหาได้จากการทดลองผ่านค่าเฉลี่ยของแอมพลิจูดกำลังสองของฮาร์มอนิกของการทำให้เกิดกระบวนการสุ่ม เครื่องมือที่ใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ประกอบด้วยเครื่องวิเคราะห์สเปกตรัมและเครื่องคำนวณค่าเฉลี่ยของแอมพลิจูดกำลังสองของฮาร์มอนิกเรียกว่าสเปกโตรมิเตอร์ การหาความหนาแน่นของสเปกตรัมในการทดลองทำได้ยากกว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ดังนั้นในทางปฏิบัติ ความหนาแน่นของสเปกตรัมส่วนใหญ่มักคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่รู้จักโดยใช้สูตร (9.52) หรือ (9.53)

ความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมกันของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่สองกระบวนการถูกกำหนดให้เป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันข้ามสหสัมพันธ์ นั่นคือ

การใช้ความหนาแน่นสเปกตรัมข้าม ใช้การแปลงฟูริเยร์แบบผกผันเป็น (9.58) เราสามารถหานิพจน์สำหรับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ข้ามได้:

ความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมกันคือการวัดความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างสองกระบวนการสุ่มที่อยู่นิ่ง: หากกระบวนการไม่มีความสัมพันธ์กันและมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ดังนั้นความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมจะเป็นศูนย์ เช่น

ตรงกันข้ามกับความหนาแน่นของสเปกตรัม ความหนาแน่นของสเปกตรัมร่วมกันไม่ใช่ฟังก์ชันคู่ของ o และไม่ใช่ฟังก์ชันจริง แต่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน

พิจารณาคุณสมบัติบางประการของความหนาแน่นสเปกตรัม

1 ความหนาแน่นของสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มบริสุทธิ์หรือสัญญาณรบกวนสีขาวจะคงที่ตลอดช่วงความถี่ทั้งหมด (ดูรูปที่ 9.5, ง):

อันที่จริง การแทนที่นิพจน์ (9.47) สำหรับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของเสียงสีขาวใน (9.52) เราได้รับ

ความคงที่ของความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณรบกวนสีขาวตลอดช่วงความถี่ที่ไม่สิ้นสุดทั้งหมด ซึ่งได้รับในการแสดงออกครั้งล่าสุด หมายความว่าพลังงานของสัญญาณรบกวนสีขาวมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งสเปกตรัม และพลังงานทั้งหมดของกระบวนการจะเท่ากับค่าอนันต์ สิ่งนี้บ่งชี้ถึงความไม่สมจริงทางกายภาพของกระบวนการสุ่ม เช่น ไวท์นอยส์ เสียงสีขาวคืออุดมคติทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการจริง ในความเป็นจริง สเปกตรัมความถี่ลดลงที่ความถี่สูงมาก (ดังแสดงในเส้นประในรูปที่ 9.5d) อย่างไรก็ตาม หากความถี่เหล่านี้มีขนาดใหญ่จนไม่มีบทบาทในการพิจารณาอุปกรณ์ใดอุปกรณ์หนึ่ง (เพราะอยู่นอกย่านความถี่ที่อุปกรณ์นี้ส่งผ่าน) การทำให้สัญญาณในอุดมคติเป็นสัญญาณรบกวนสีขาวจะทำให้การพิจารณาง่ายขึ้น และค่อนข้างเหมาะสม

ที่มาของคำว่า "เสียงสีขาว" นั้นอธิบายได้จากการเปรียบเทียบกระบวนการดังกล่าวกับแสงสีขาว ซึ่งมีความเข้มของส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากัน และจากข้อเท็จจริงที่ว่ากระบวนการสุ่ม เช่น เสียงสีขาว ถูกระบุเป็นครั้งแรกในการศึกษาความร้อน เสียงผันผวนในอุปกรณ์วิศวกรรมวิทยุ

2. ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณคงที่คือ - ฟังก์ชันที่ตั้งอยู่ที่จุดกำเนิด (ดูรูปที่ 9.5, a) เช่น

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราสมมติว่าความหนาแน่นสเปกตรัมมีรูปแบบ (9.62) และแอนเด็มตาม (9.55) ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน เพราะ

แล้วเมื่อเราได้รับ

นี่ (ตามคุณสมบัติ 5 ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์) หมายความว่าสัญญาณที่สอดคล้องกับความหนาแน่นสเปกตรัมที่กำหนดโดย (9.62) เป็นสัญญาณคงที่เท่ากับ

ความจริงที่ว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมเป็น - ฟังก์ชันของ at หมายความว่าพลังทั้งหมดของสัญญาณคงที่นั้นกระจุกตัวอยู่ที่ความถี่ศูนย์ ซึ่งเป็นสิ่งที่คาดหวัง

3. ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณเป็นระยะมีสอง - ฟังก์ชันที่สมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดของพิกัดที่ (ดูรูปที่ 9.5, e) เช่น

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ สมมติว่าความหนาแน่นสเปกตรัมมีรูปแบบ (9.63) และค้นหาจาก (9.55) ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:

สิ่งนี้ (ตามคุณสมบัติ 6 ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์) หมายความว่าสัญญาณที่สอดคล้องกับความหนาแน่นสเปกตรัมที่กำหนดโดย (9.63) เป็นสัญญาณเป็นระยะเท่ากับ

ความจริงที่ว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมเป็นสอง -ฟังก์ชันตั้งอยู่ที่ หมายความว่าพลังทั้งหมดของสัญญาณเป็นระยะจะกระจุกตัวอยู่ที่สองความถี่: หากเราพิจารณาความหนาแน่นของสเปกตรัมเฉพาะในพื้นที่ของความถี่บวก เราจะได้รับ

ที่พลังทั้งหมดของสัญญาณเป็นระยะจะกระจุกตัวอยู่ที่ความถี่เดียว

4. จากข้อมูลข้างต้น ความหนาแน่นสเปกตรัมของฟังก์ชันเวลาที่ขยายเป็นอนุกรมฟูเรียร์มีรูปแบบ

ความหนาแน่นของสเปกตรัมนี้สอดคล้องกับสเปกตรัมของเส้น (รูปที่ 9.9) ที่มีฟังก์ชัน - อยู่ที่ความถี่ฮาร์มอนิกบวกและลบ บนมะเดื่อ 9.9 - ฟังก์ชั่นถูกอธิบายอย่างมีเงื่อนไขเพื่อให้ความสูงของมันแสดงเป็นค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่หน่วย - ฟังก์ชั่นนั่นคือถึงค่าและ

ซึ่งตรงกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่กำหนดโดย (9.45)

จากมะเดื่อ 9.5, b, c จะเห็นได้ว่ายิ่งกราฟของความหนาแน่นสเปกตรัมกว้างขึ้น กราฟของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันก็จะยิ่งแคบลง และในทางกลับกัน สิ่งนี้สอดคล้องกับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการ: ยิ่งกราฟความหนาแน่นสเปกตรัมกว้างขึ้น กล่าวคือ ยิ่งความถี่ที่แสดงอยู่ในความหนาแน่นสเปกตรัมสูง ระดับความแปรปรวนของกระบวนการสุ่มและกราฟเดียวกันของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ก็จะยิ่งสูงขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างรูปแบบของความหนาแน่นสเปกตรัมและรูปแบบของฟังก์ชันเวลาจะผกผันเมื่อเทียบกับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันสหสัมพันธ์และรูปแบบของฟังก์ชันเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาถึงสัญญาณคงที่และสัญญาณรบกวนสีขาว ในกรณีแรก ฟังก์ชันสหสัมพันธ์มีรูปแบบของเส้นตรงแนวนอน และความหนาแน่นของสเปกตรัมมีรูปแบบของฟังก์ชัน (ดูรูปที่ 9.5, a) ในกรณีที่สอง (ดูรูปที่ 9.5, ง) ภาพย้อนกลับจะเกิดขึ้น

6. ความหนาแน่นเชิงสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มซึ่งซ้อนทับองค์ประกอบคาบ ประกอบด้วยส่วนที่ต่อเนื่องกันและแต่ละฟังก์ชันที่สอดคล้องกับความถี่ของส่วนประกอบคาบ

แต่ละพีคในพล็อตความหนาแน่นสเปกตรัมบ่งชี้ว่ากระบวนการสุ่มผสมกับองค์ประกอบคาบที่ซ่อนอยู่ซึ่งอาจไม่ถูกเปิดเผยในครั้งแรกที่บันทึกแต่ละรายการของกระบวนการ ตัวอย่างเช่น หากสัญญาณคาบหนึ่งที่มีความถี่ถูกซ้อนทับบนกระบวนการสุ่ม กราฟก็จะปรากฎ ความหนาแน่นสเปกตรัมมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 9.10,

บางครั้งก็เป็นปกติ

ความหนาแน่นสเปกตรัมซึ่งเป็นภาพฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ปกติ (9.48):

ความหนาแน่นสเปกตรัมปกติมีมิติของเวลา

ในวิศวกรรมวิทยุเชิงสถิติและฟิสิกส์ เมื่อศึกษาสัญญาณเชิงกำหนดและกระบวนการสุ่ม การแทนค่าสเปกตรัมในรูปของความหนาแน่นสเปกตรัมซึ่งขึ้นอยู่กับการแปลงฟูริเยร์นั้นถูกใช้อย่างแพร่หลาย

ถ้ากระบวนการ $x(เสื้อ)$มีพลังงานจำกัดและสามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ (และนี่คือกระบวนการที่ไม่หยุดนิ่ง) ดังนั้นสำหรับการดำเนินการตามกระบวนการหนึ่งครั้ง การแปลงฟูริเยร์สามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนแบบสุ่มของความถี่:

การทำงาน $S\_x(f)=|X(f)|^2$จึงเป็นลักษณะการกระจายของพลังงานสำนึกตามแกนความถี่ และเรียกว่าความหนาแน่นสเปกตรัมของการสำนึก โดยการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันนี้จากการรับรู้ทั้งหมด เราจะได้ความหนาแน่นสเปกตรัมของกระบวนการ

ตอนนี้ให้เราหันไปใช้กระบวนการสุ่มแบบกว้าง ๆ ที่มีศูนย์กลางอยู่นิ่ง $x(เสื้อ)$ซึ่งการรับรู้มีพลังงานไม่จำกัดด้วยความน่าจะเป็น 1 ดังนั้นจึงไม่มีการแปลงฟูริเยร์ ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังของกระบวนการดังกล่าวสามารถหาได้จากทฤษฎีบทวีเนอร์-คินชิน โดยเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์:

ถ้าเราสมมติตามสูตร (3) และ (4) ตามลำดับ $ฉ=0$และ $\backslash tau=0$, เรามี

5

6

สูตร (6) โดยคำนึงถึง (2) แสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนกำหนดพลังงานทั้งหมดของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ ซึ่งเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นสเปกตรัม ค่ามิติ $S\_x(ฉ)df$สามารถตีความได้ว่าเป็นเศษส่วนของพลังงานที่มีความเข้มข้นในช่วงความถี่เล็กน้อยจาก $f-df/2$ก่อน $f+df/2$. หากเข้าใจโดย $x(เสื้อ)$กระแสหรือแรงดันแบบสุ่ม (ผันผวน) แล้วตามด้วยค่า $S\_x(ฉ)$จะมีมิติของพลังงาน [V 2 / Hz] = [V 2 s] นั่นเป็นเหตุผล $S\_x(ฉ)$บางครั้งเรียกว่า สเปกตรัมพลังงาน. คุณมักจะพบการตีความอื่นในวรรณคดี: $\backslash sigma\_x^2$- ถือเป็นกำลังเฉลี่ยที่ปล่อยโดยกระแสหรือแรงดันที่ความต้านทาน 1 โอห์ม ในขณะเดียวกันค่า $S\_x(ฉ)$เรียกว่า สเปกตรัมพลังงานกระบวนการสุ่ม

คุณสมบัติความหนาแน่นสเปกตรัม

• สเปกตรัมพลังงานของกระบวนการที่อยู่นิ่ง (จริงหรือซับซ้อน) เป็นค่าที่ไม่เป็นลบ:

• ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ $k\_x(\backslash เทา)$และสเปกตรัมพลังงาน $S\_x(ฉ)$นิ่งในความหมายกว้างของกระบวนการสุ่มมีคุณสมบัติทั้งหมดของการแปลงฟูริเยร์ซึ่งกันและกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสเปกตรัม "กว้าง" $S\_x(ฉ)$ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่ "แคบลง" $k\_x(\backslash เทา)$, และในทางกลับกัน. ผลลัพธ์นี้จะถูกวัดเป็นหลักการหรือความสัมพันธ์ที่ไม่แน่นอน

ดูสิ่งนี้ด้วย

แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับบทความ "ความหนาแน่นสเปกตรัม"

วรรณกรรม

1. Zyuko, A.G.ทฤษฎีการส่งสัญญาณ / A. G. Zyuko [et al.]. - ม.: การสื่อสาร, 2523. - 288 น.
2. Tikhonov, V. I.การวิเคราะห์ทางสถิติและการสังเคราะห์อุปกรณ์และระบบวิศวกรรมวิทยุ / V. I. Tikhonov, V. N. Kharisov - ม.: วิทยุและการสื่อสาร, 2547. - 608 น. - ไอ 5-256-01701-2
3. Tikhonov, V. I.ทฤษฎีทางสถิติของอุปกรณ์วิศวกรรมวิทยุ / V. I. Tikhonov, Yu. N. Bakaev - ม.: สถานศึกษา. ศ. N. E. Zhukovsky, 1978. - 420 น.

ข้อความที่ตัดตอนมาที่แสดงลักษณะความหนาแน่นของสเปกตรัม

“แม้ว่าสิ่งเหล่านั้นจะปล้นรัฐและกษัตริย์ไป และรัฐและกษัตริย์ก็ให้เกียรติเขา และเมื่อวานนี้เธอยิ้มให้ฉันและขอให้ฉันมาและฉันรักเธอและจะไม่มีใครรู้เรื่องนี้” เขาคิด
ปิแอร์ยังคงไปสังคมดื่มมากเท่าเดิมและใช้ชีวิตที่เกียจคร้านและฟุ้งซ่านเหมือนเดิมเพราะนอกเหนือจากชั่วโมงที่เขาใช้กับ Rostovs แล้วเขายังต้องใช้เวลาที่เหลือและนิสัยและคนรู้จักที่เขาทำ ในมอสโก ดึงดูดเขาให้เข้าสู่ชีวิตที่ดึงดูดเขาอย่างไม่อาจต้านทานได้ แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้เมื่อมีข่าวลือที่น่ารำคาญมากขึ้นเรื่อย ๆ จากโรงละครแห่งสงครามและเมื่อสุขภาพของนาตาชาเริ่มดีขึ้นและเธอหยุดที่จะกระตุ้นความรู้สึกสงสารในอดีตของเขาเขาก็เริ่มถูกความร้อนรนที่เข้าใจยากมากขึ้นเรื่อย ๆ เขารู้สึกว่าตำแหน่งที่เขาอยู่นั้นอยู่ได้ไม่นาน หายนะกำลังมาซึ่งจะเปลี่ยนแปลงทั้งชีวิตของเขา และเขามองหาสัญญาณของหายนะในทุกสิ่งอย่างกระวนกระวายใจ หนึ่งในพี่น้องอิฐเปิดเผยต่อปิแอร์ถึงคำทำนายซึ่งได้มาจากคติของยอห์นผู้เผยแพร่ศาสนาเกี่ยวกับนโปเลียน
ในคัมภีร์ของศาสนาคริสต์ บทที่สิบสาม ข้อที่สิบแปด กล่าวไว้ว่า “นี่คือปัญญา; ใครก็ตามที่มีความคิดก็ให้เขาให้เกียรติกับจำนวนสัตว์ร้ายนั้น เพราะจำนวนคนมีอยู่และจำนวนของเขาคือหกร้อยหกสิบหก
และบทเดียวกันในข้อที่ห้า: "และปากของเขาก็พูดคำหยาบและดูหมิ่นศาสนา; และพระราชทานเขตให้สร้างสี่เดือน-สิบสองเดือน
ตัวอักษรภาษาฝรั่งเศส เช่น เลขฮีบรูในภาพ ซึ่งตัวอักษรสิบตัวแรกเป็นหน่วย และอีกสิบตัวมีความหมายดังต่อไปนี้:
a b c d e f g h ฉัน k.. l..m..n..o..p.q..r..s..t. u…v w.. x.. y.. z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
เมื่อเขียนคำว่า L "empereur Napoleon [จักรพรรดินโปเลียน] ในตัวอักษรนี้ปรากฎว่าผลรวมของตัวเลขเหล่านี้คือ 666 ดังนั้นนโปเลียนจึงเป็นสัตว์ร้ายที่ทำนายไว้ในคัมภีร์ของศาสนาคริสต์ นอกจากนี้ยังเขียนคำว่า quarante deux ไว้ในตัวเดียวกัน ตัวอักษร [ สี่สิบสอง] นั่นคือขีด จำกัด ที่กำหนดไว้สำหรับสัตว์ร้ายที่จะพูดได้ดีและดูหมิ่นศาสนาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ซึ่งแสดงถึง quarante deux เท่ากับ 666 ti อีกครั้งซึ่งเป็นไปตามขีด จำกัด ของนโปเลียน อำนาจเกิดขึ้นในปี พ.ศ. 2355 ซึ่งจักรพรรดิฝรั่งเศสมีอายุครบ 42 ปี คำทำนายนี้ทำให้ปิแอร์ประทับใจอย่างมาก และเขามักถามตัวเองว่าสิ่งใดที่จะจำกัดพลังของสัตว์ร้าย นั่นคือ นโปเลียน และบนพื้นฐานของ ภาพคำเดียวกันในตัวเลขและการคำนวณพยายามหาคำตอบสำหรับคำถามที่เขาสนใจ ปิแอร์เขียนตอบคำถามนี้: L "empereur Alexandre? ลา เนชั่น รัส? [จักรพรรดิอเล็กซานเดอร์? คนรัสเซีย?] เขานับตัวอักษร แต่ผลรวมของตัวเลขออกมามากหรือน้อยกว่า 666 ti เมื่อทำการคำนวณเหล่านี้เขาเขียนชื่อของเขา - Comte Pierre Besouhoff; ผลรวมของตัวเลขก็ไม่ได้ไปไกลเช่นกัน เขาเปลี่ยนการสะกดแล้วใส่ z แทน s เพิ่ม de เพิ่มบทความ le แต่ก็ยังไม่ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นจึงเกิดความคิดขึ้นว่าถ้าคำตอบของคำถามที่ต้องการมีชื่ออยู่ในชื่อของเขาด้วย สัญชาติของเขาก็จะถูกระบุในคำตอบนั้นด้วย เขาเขียน Le Russe Besuhoff และเมื่อนับตัวเลขแล้วได้ 671 มีเพียง 5 เท่านั้นที่เกินมา 5 หมายถึง "e" ซึ่งเป็น "e" เดียวกับที่ทิ้งในบทความก่อนคำว่า L "empereur ทิ้ง "e" ในลักษณะเดียวกันแม้ว่าจะไม่ถูกต้อง แต่ปิแอร์ก็ได้รับคำตอบที่ต้องการ L "Russe Besuhof เท่ากัน เป็น 666 ti. การค้นพบนี้ทำให้เขาตื่นเต้น เขามีความเกี่ยวพันอย่างไรกับเหตุการณ์สำคัญซึ่งถูกบอกล่วงหน้าในคัมภีร์ของศาสนาคริสต์อย่างไร เขาไม่รู้ แต่เขาไม่สงสัยในความสัมพันธ์นี้เลยสักนิด ความรักที่เขามีต่อ Rostova, มารต่อต้านพระคริสต์, การรุกรานของนโปเลียน, ดาวหาง, 666, l "จักรพรรดินโปเลียนและ l" Russe Besuhof - ทั้งหมดนี้รวมกันควรจะครบกำหนดปะทุและพาเขาออกจากโลกที่น่าหลงใหลและไม่มีนัยสำคัญของนิสัยมอสโกใน ซึ่งเขารู้สึกว่าตัวเองเป็นเชลยและนำเขาไปสู่ความสำเร็จและความสุขอันยิ่งใหญ่
ในวันอาทิตย์ก่อนอ่านคำอธิษฐานปิแอร์สัญญากับ Rostovs ว่าจะนำพวกเขามาจาก Count Rostopchin ซึ่งเขาคุ้นเคยเป็นอย่างดีทั้งการอุทธรณ์ไปยังรัสเซียและข่าวล่าสุดจากกองทัพ ในตอนเช้าเมื่อโทรหา Count Rostopchin ปิแอร์พบคนส่งของจากกองทัพที่เพิ่งมาถึงที่บ้านของเขา 1. สัญญาณและสเปกตรัม รากฐานทางทฤษฎีของการสื่อสารดิจิทัล

1. สัญญาณและสเปกตรัม

1.1. การประมวลผลสัญญาณในการสื่อสารแบบดิจิทัล

1.1.1. ทำไมต้อง "ดิจิทัล"

เหตุใดจึงใช้ "ตัวเลข" ในระบบการสื่อสารทางทหารและเชิงพาณิชย์ มีสาเหตุหลายประการ ข้อได้เปรียบหลักของวิธีนี้คือความง่ายในการสร้างสัญญาณดิจิทัลใหม่เมื่อเทียบกับสัญญาณอะนาล็อก พิจารณารูป 1.1 ซึ่งแสดงพัลส์ดิจิตอลไบนารีในอุดมคติที่แพร่กระจายผ่านช่องสัญญาณข้อมูล รูปคลื่นได้รับผลกระทบจากสองกลไกหลัก: (1) เนื่องจากช่องสัญญาณและสายส่งทั้งหมดมีการตอบสนองความถี่ที่ไม่เหมาะสม ดังนั้นพัลส์ในอุดมคติจึงผิดเพี้ยน; และ (2) สัญญาณรบกวนทางไฟฟ้าที่ไม่ต้องการหรือการรบกวนจากภายนอกอื่น ๆ ทำให้รูปคลื่นบิดเบี้ยวมากขึ้น ยิ่งช่องสัญญาณยาว กลไกเหล่านี้จะบิดเบือนแรงกระตุ้นอย่างมีนัยสำคัญ (รูปที่ 1.1) ในขณะที่ยังสามารถตรวจพบพัลส์ที่ส่งได้อย่างน่าเชื่อถือ (ก่อนที่มันจะลดระดับลงเป็นสถานะที่ไม่ชัดเจน) พัลส์จะถูกขยายโดยเครื่องขยายสัญญาณดิจิตอล ทำให้ได้รูปร่างเดิมในอุดมคติกลับคืนมา โมเมนตัมคือ "เกิดใหม่" หรือคืนค่า ตัวทำซ้ำแบบสร้างใหม่ที่อยู่ในช่องสัญญาณสื่อสารในระยะห่างจากกันมีหน้าที่รับผิดชอบในการฟื้นฟูสัญญาณ

ช่องสัญญาณดิจิตอลมีความอ่อนไหวต่อการบิดเบือนและการรบกวนน้อยกว่าช่องสัญญาณอนาล็อก เนื่องจากช่องสัญญาณดิจิทัลแบบไบนารีจะสร้างสัญญาณที่มีความหมายเมื่อทำงานในสถานะใดสถานะหนึ่งจากสองสถานะ ได้แก่ เปิดหรือปิด สัญญาณรบกวนจึงต้องใหญ่พอที่จะย้ายจุดการทำงานของช่องสัญญาณจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง การมีเพียงสองสถานะช่วยให้การกู้คืนสัญญาณสะดวกขึ้น ดังนั้นจึงป้องกันการสะสมของสัญญาณรบกวนหรือการรบกวนอื่นๆ ระหว่างการส่งสัญญาณ ในทางกลับกัน สัญญาณแอนะล็อกไม่ใช่สัญญาณสองสถานะ พวกเขาสามารถรับจำนวนอนันต์ได้ แบบฟอร์ม ในช่องสัญญาณอะนาล็อก แม้แต่สัญญาณรบกวนเพียงเล็กน้อยก็สามารถบิดเบือนสัญญาณได้โดยไม่รู้ตัว เมื่อสัญญาณอะนาล็อกถูกบิดเบือน สัญญาณรบกวนจะไม่สามารถลบออกได้ด้วยการขยายสัญญาณ เนื่องจากการสะสมสัญญาณรบกวนเชื่อมโยงกับสัญญาณอะนาล็อกอย่างแยกไม่ออก ด้วยเหตุนี้ จึงไม่สามารถทำซ้ำได้อย่างสมบูรณ์ ด้วยเทคโนโลยีดิจิทัล อัตราข้อผิดพลาดที่ต่ำมาก บวกกับการใช้ขั้นตอนการตรวจหาและแก้ไขข้อผิดพลาด ทำให้มีความเที่ยงตรงสูงของสัญญาณ ยังคงเป็นเพียงการสังเกตว่าขั้นตอนดังกล่าวไม่สามารถใช้ได้กับเทคโนโลยีแอนะล็อก

รูปที่ 1.1 การบิดเบือนและการกู้คืนโมเมนตัม

มีข้อได้เปรียบที่สำคัญอื่น ๆ ของการสื่อสารแบบดิจิทัล ช่องดิจิตอลมีความน่าเชื่อถือมากกว่าและสามารถผลิตได้ในราคาที่ต่ำกว่าช่องสัญญาณอนาล็อก นอกจากนี้ ซอฟต์แวร์ดิจิทัลยังช่วยให้มีมากขึ้น การใช้งานที่ยืดหยุ่นกว่าแอนะล็อก (เช่น ไมโครโปรเซสเซอร์ การสลับดิจิทัล และวงจรรวมขนาดใหญ่ (LSI)) การใช้สัญญาณดิจิทัลและมัลติเพล็กซ์แบบแบ่งเวลา (TDM) นั้นง่ายกว่าสัญญาณอะนาล็อกและมัลติเพล็กซ์แบบแบ่งความถี่ (FDM) ในการส่งและการสลับ สัญญาณดิจิทัลประเภทต่างๆ (ข้อมูล โทรเลข โทรศัพท์ โทรทัศน์) ถือได้ว่าเหมือนกันทุกประการ บิตก็คือบิต นอกจากนี้ เพื่อความสะดวกในการสลับและประมวลผล ข้อความดิจิทัลสามารถจัดกลุ่มเป็นหน่วยอิสระที่เรียกว่าแพ็กเก็ต เทคโนโลยีดิจิทัลรวมคุณสมบัติที่ป้องกันการรบกวนและการระงับสัญญาณโดยธรรมชาติ หรือให้การเข้ารหัสหรือความเป็นส่วนตัว (เทคโนโลยีดังกล่าวกล่าวถึงในบทที่ 12 และ 14) นอกจากนี้ การสื่อสารส่วนใหญ่ระหว่างคอมพิวเตอร์สองเครื่อง หรือระหว่างคอมพิวเตอร์กับอุปกรณ์ดิจิทัลหรือเทอร์มินัล เทอร์มินัลดิจิทัลดังกล่าวดีกว่า (และเป็นธรรมชาติกว่า!) ให้บริการโดยช่องทางการสื่อสารดิจิทัล

เราจ่ายเพื่อประโยชน์อะไรของระบบสื่อสารดิจิทัล? ระบบดิจิตอลต้องการการประมวลผลมากกว่าระบบอนาล็อก นอกจากนี้ ระบบดิจิทัลต้องการทรัพยากรจำนวนมากเพื่อจัดสรรสำหรับการซิงโครไนซ์ในระดับต่างๆ (ดูบทที่ 10) ในทางกลับกัน ระบบอะนาล็อกจะซิงโครไนซ์ได้ง่ายกว่า ข้อเสียอีกประการหนึ่งของระบบสื่อสารดิจิทัลคือการเสื่อมคุณภาพเป็นเกณฑ์ธรรมชาติ หากอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนด คุณภาพของบริการอาจเปลี่ยนจากดีมากเป็นแย่มากในทันทีทันใด อย่างไรก็ตาม ในระบบอะนาล็อก การสลายตัวจะเกิดขึ้นอย่างราบรื่นกว่า

1.1.2. ไดอะแกรมกล่องทั่วไปและการแปลงพื้นฐาน

แผนภาพบล็อกการทำงานแสดงในรูปที่ 1.2 แสดงขั้นตอนการแพร่กระจายสัญญาณและการประมวลผลในระบบสื่อสารดิจิทัลทั่วไป (DCS) บล็อกด้านบน - การจัดรูปแบบ, การเข้ารหัสแหล่งที่มา, การเข้ารหัส, การเข้ารหัสช่องสัญญาณ, มัลติเพล็กซ์, การมอดูเลตพัลส์, การปรับแบนด์พาส, สเปรดสเปกตรัมและการเข้าถึงหลายทาง - สะท้อนถึงการแปลงสัญญาณระหว่างทางจากแหล่งไปยังเครื่องส่งสัญญาณ บล็อกด้านล่างของแผนภาพคือการแปลงสัญญาณระหว่างทางจากผู้รับไปยังผู้รับข้อมูล และในความเป็นจริงแล้ว บล็อกเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับบล็อกด้านบน หน่วยมอดูเลตและดีโมดูเลชัน/ตรวจจับรวมเรียกว่าโมเด็ม คำว่า "โมเด็ม" มักจะรวมขั้นตอนการประมวลผลสัญญาณหลายขั้นตอน ดังแสดงในรูปที่ 1.2; ในกรณีนี้ โมเด็มเปรียบเสมือน "สมอง" ของระบบ ตัวส่งและตัวรับสามารถถูกมองว่าเป็น "กล้ามเนื้อ" ของระบบ สำหรับการใช้งานแบบไร้สาย เครื่องส่งประกอบด้วยวงจรขยายความถี่วิทยุ (RF) เครื่องขยายสัญญาณเสียง และเสาอากาศ และเครื่องรับประกอบด้วยเสาอากาศและเครื่องขยายสัญญาณรบกวนต่ำ (LNA) การลดความถี่ย้อนกลับจะดำเนินการที่เอาต์พุตของเครื่องรับและ/หรือตัวแยกสัญญาณ

บนมะเดื่อ 1.2 แสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องกันระหว่างบล็อกของส่วนบน (ส่ง) และส่วนล่าง (รับ) ของระบบ ขั้นตอนการประมวลผลสัญญาณที่เกิดขึ้นในเครื่องส่งสัญญาณส่วนใหญ่จะเป็นขั้นตอนที่ตรงกันข้ามกับขั้นตอนของเครื่องรับ บนมะเดื่อ 1.2 ข้อมูลต้นฉบับจะถูกแปลงเป็นเลขฐานสอง (บิต) จากนั้นบิตจะถูกจัดกลุ่มเป็นข้อความดิจิทัลหรืออักขระข้อความ อักขระแต่ละตัว ( โดยที่ ) สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นองค์ประกอบของตัวอักษรที่มีขอบเขต มองค์ประกอบ ดังนั้นสำหรับ ม=2 สัญลักษณ์ข้อความเป็นเลขฐานสอง (เช่น ประกอบด้วยหนึ่งบิต) แม้ว่าอักขระไบนารีสามารถจำแนกได้เป็น ม-ary (มี M=2) มักจะเป็นชื่อ " ม-ary" ใช้สำหรับกรณี ม>2; ดังนั้น สัญลักษณ์ดังกล่าวประกอบด้วยลำดับตั้งแต่สองบิตขึ้นไป (เปรียบเทียบตัวอักษรจำกัดที่คล้ายกันของระบบ DCS กับสิ่งที่เรามีในระบบอะนาล็อก โดยที่สัญญาณข้อความเป็นองค์ประกอบของชุดสัญญาณที่เป็นไปได้ไม่สิ้นสุด) สำหรับระบบที่ใช้การเข้ารหัสช่องสัญญาณ (รหัสแก้ไขข้อผิดพลาด) ลำดับของสัญลักษณ์ข้อความคือ แปลงเป็นลำดับของอักขระสัญลักษณ์ช่อง) และอักขระแต่ละตัวของช่องจะแสดงด้วย เนื่องจากสัญลักษณ์ข้อความหรือสัญลักษณ์ช่องอาจประกอบด้วยบิตเดียวหรือหลายบิต ชุดของสัญลักษณ์ดังกล่าวจึงเรียกว่าบิตสตรีม (รูปที่ 1.2)

พิจารณาบล็อกหลักของการประมวลผลสัญญาณที่แสดงในรูปที่ 1.2; เฉพาะขั้นตอนการฟอร์แมต การมอดูเลต การดีโมดูเลชัน/การตรวจจับ และการซิงโครไนซ์เท่านั้นที่จำเป็นสำหรับระบบ DCS

การจัดรูปแบบจะแปลงข้อมูลต้นฉบับเป็นบิต จึงมั่นใจได้ว่าฟังก์ชันการประมวลผลข้อมูลและสัญญาณเข้ากันได้กับระบบ DCS จากจุดนี้ในรูปจนถึงบล็อกการมอดูเลตแบบพัลส์ ข้อมูลยังคงอยู่ในรูปของบิตสตรีม

ข้าว. 1.2. บล็อกไดอะแกรมของระบบสื่อสารดิจิทัลทั่วไป

การมอดูเลตเป็นกระบวนการที่สัญลักษณ์ข้อความหรือสัญลักษณ์ช่องสัญญาณ (หากใช้การเข้ารหัสช่องสัญญาณ) จะถูกแปลงเป็นสัญญาณที่เข้ากันได้กับข้อกำหนดที่กำหนดโดยช่องสัญญาณข้อมูล การมอดูเลตพัลส์เป็นอีกขั้นตอนหนึ่งที่จำเป็น เนื่องจากแต่ละสัญลักษณ์ที่ต้องส่งต้องแปลงจากการแสดงเลขฐานสองก่อน (ระดับแรงดันไฟฟ้าแทนเลขฐานสอง 0 และ 1 วินาที) เป็นรูปแบบสัญญาณแถบแคบ คำว่า "แนร์โรว์แบนด์" (เบสแบนด์) กำหนดสัญญาณที่มีสเปกตรัมเริ่มต้นจาก (หรือใกล้เคียง) ส่วนประกอบคงที่และสิ้นสุดด้วยค่าสุดท้าย (โดยปกติจะไม่เกินสองสามเมกะเฮิรตซ์) โดยทั่วไปบล็อก PCM จะรวมการกรองเพื่อลดแบนด์วิธการส่ง เมื่อปรับใช้การมอดูเลตแบบพัลส์กับสัญลักษณ์ไบนารี สัญญาณไบนารีที่ได้จะเรียกว่าสัญญาณเข้ารหัส PCM (การมอดูเลตรหัสพัลส์) มีสัญญาณ PCM หลายประเภท (อธิบายไว้ในบทที่ 2); ในแอปพลิเคชันโทรศัพท์ สัญญาณเหล่านี้มักถูกอ้างถึงเป็นรหัสช่องสัญญาณ เมื่อปรับใช้การมอดูเลตแบบพัลส์กับสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่เลขฐานสอง สัญญาณผลลัพธ์จะถูกอ้างถึงเป็น ม- มอดูเลตชีพจร สัญญาณดังกล่าวมีหลายประเภท ซึ่งอธิบายไว้ในบทที่ 2 ซึ่งเน้นไปที่การปรับความกว้างของพัลส์ (PAM) หลังจากการมอดูเลตพัลส์ สัญลักษณ์ข้อความหรือสัญลักษณ์ช่องสัญญาณแต่ละรายการจะอยู่ในรูปของสัญญาณแบนด์พาส โดยที่ ในการใช้งานทางอิเล็กทรอนิกส์ใดๆ บิตสตรีมก่อนหน้าการมอดูเลตพัลส์จะแสดงด้วยระดับแรงดันไฟฟ้า คำถามอาจเกิดขึ้นว่าเหตุใดจึงมีบล็อกแยกต่างหากสำหรับการมอดูเลตพัลส์เมื่อในความเป็นจริงแล้วระดับแรงดันไฟฟ้าสำหรับศูนย์ไบนารีและอันนั้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นพัลส์สี่เหลี่ยมในอุดมคติซึ่งระยะเวลาของแต่ละอันจะเท่ากับเวลาการส่งของหนึ่งบิต? มีความแตกต่างที่สำคัญสองประการระหว่างระดับแรงดันไฟฟ้าเหล่านี้กับสัญญาณแบนด์พาสที่ใช้สำหรับการมอดูเลต ประการแรก บล็อกการมอดูเลตแบบพัลส์อนุญาตให้ใช้ไบนารีและ มสัญญาณ -ary ส่วน 2.8.2 อธิบายพารามิเตอร์ที่มีประโยชน์ต่างๆ ของประเภทสัญญาณเหล่านี้ ประการที่สอง การกรองที่ดำเนินการในบล็อกการมอดูเลตพัลส์จะสร้างพัลส์ที่มีระยะเวลานานกว่าเวลาการส่งหนึ่งบิต การกรองช่วยให้คุณใช้พัลส์ได้นานขึ้น ดังนั้นพัลส์จะกระจายไปตามช่วงเวลาบิตที่อยู่ติดกัน กระบวนการนี้บางครั้งเรียกว่าการสร้างพัลส์ มันถูกใช้เพื่อรักษาแบนด์วิธการส่งข้อมูลภายในขอบเขตที่ต้องการของสเปกตรัม

สำหรับการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับการส่งคลื่นความถี่วิทยุ ขั้นตอนต่อไปที่สำคัญคือการปรับแบนด์พาส จำเป็นเมื่อสื่อส่งสัญญาณไม่รองรับการแพร่กระจายของสัญญาณพัลส์ ในกรณีดังกล่าว สภาพแวดล้อมต้องการสัญญาณแบนด์พาส โดยที่ คำว่า "bandpass" ใช้เพื่อสะท้อนให้เห็นว่าสัญญาณแถบความถี่แคบถูกเลื่อนโดยคลื่นพาหะที่ความถี่มากกว่าส่วนประกอบสเปกตรัม เมื่อสัญญาณแพร่กระจายผ่านช่องสัญญาณ จะได้รับผลกระทบจากลักษณะเฉพาะของช่องสัญญาณ ซึ่งสามารถแสดงในรูปของการตอบสนองแบบอิมพัลส์ (ดูหัวข้อ 1.6.1) นอกจากนี้ ที่จุดต่างๆ ตามเส้นทางสัญญาณ เสียงสุ่มเพิ่มเติมจะบิดเบือนสัญญาณที่ได้รับ ดังนั้นการรับสัญญาณจึงต้องแสดงในรูปแบบของสัญญาณที่เสียหายจากเครื่องส่งสัญญาณ สัญญาณที่ได้รับสามารถแสดงได้ดังนี้:

โดยที่เครื่องหมาย "*" แสดงถึงการดำเนินการหมุน (ดูภาคผนวก A) และเป็นกระบวนการเสียงรบกวน (ดูหัวข้อ 1.5.5)

ในทิศทางตรงกันข้าม ส่วนหน้าของเครื่องรับและ/หรือตัวดีโมดูเลเตอร์จะทำการลดความถี่สำหรับแต่ละสัญญาณแบนด์พาส ในการเตรียมพร้อมสำหรับการตรวจจับ ตัวดีโมดูเลเตอร์จะสร้างสัญญาณแถบแคบขึ้นใหม่เป็นซองจดหมายที่เหมาะสมที่สุด โดยปกติแล้ว ตัวกรองหลายตัวจะเชื่อมโยงกับเครื่องรับและเครื่องดีโมดูเลเตอร์ - การกรองจะทำเพื่อลบส่วนประกอบความถี่สูงที่ไม่ต้องการ (ระหว่างการแปลงสัญญาณแบนด์พาสเป็นแถบความถี่แคบ) และการสร้างพัลส์ อีควอไลเซชันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นประเภทของการกรองที่ใช้ในตัวแยกสัญญาณ (หรือหลังตัวแยกสัญญาณ) เพื่อลบเอฟเฟกต์การเสื่อมคุณภาพสัญญาณที่อาจเกิดจากช่องสัญญาณ การปรับอีควอไลเซอร์เป็นสิ่งจำเป็นหากการตอบสนองอิมพัลส์ของแชนเนลไม่ดีจนสัญญาณที่ได้รับผิดเพี้ยนไปอย่างมาก อีควอไลเซอร์ (อีควอไลเซอร์) ถูกนำมาใช้เพื่อชดเชย (เช่น ลบหรือลดทอน) การผิดเพี้ยนของสัญญาณใดๆ ที่เกิดจากการตอบสนองที่ไม่เหมาะสม สุดท้าย ขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างจะแปลงพัลส์ที่มีรูปร่างเป็นตัวอย่างเพื่อกู้คืนสัญลักษณ์ช่องสัญญาณหรือสัญลักษณ์ข้อความ (โดยประมาณ) (หากไม่มีการใช้การเข้ารหัสช่องสัญญาณ) ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "demodulation" และ "detection" แทนกันได้ ในหนังสือเล่มนี้ การดีโมดูเลชันหมายถึงการคืนค่าสัญญาณ (พัลส์แบนด์วิธ) และการตรวจจับหมายถึงการตัดสินใจเกี่ยวกับค่าดิจิทัลของสัญญาณนั้น

ขั้นตอนที่เหลือของการประมวลผลสัญญาณในโมเด็มนั้นเป็นทางเลือกและมีเป้าหมายเพื่อตอบสนองความต้องการของระบบเฉพาะ การเข้ารหัสแหล่งที่มาคือการแปลงสัญญาณแอนะล็อกเป็นดิจิทัล (สำหรับแหล่งอะนาล็อก) และการลบข้อมูลที่ซ้ำซ้อน (ไม่จำเป็น) โปรดทราบว่าระบบ DCS ทั่วไปอาจใช้การเข้ารหัสแหล่งที่มา (เพื่อแปลงเป็นดิจิทัลและบีบอัดข้อมูลต้นฉบับ) หรือการแปลงรูปแบบที่ง่ายกว่า (เพื่อแปลงเป็นดิจิทัลเท่านั้น) ระบบไม่สามารถใช้ทั้งการเข้ารหัสแหล่งที่มาและการจัดรูปแบบพร้อมกันได้ เนื่องจากระบบเดิมมีขั้นตอนที่จำเป็นในการแปลงข้อมูลเป็นดิจิทัลอยู่แล้ว การเข้ารหัสซึ่งใช้เพื่อรับรองความลับของการสื่อสาร ป้องกันไม่ให้ผู้ใช้ที่ไม่ได้รับอนุญาตเข้าใจข้อความและนำข้อความเท็จเข้าสู่ระบบ การเข้ารหัสช่องสัญญาณที่อัตราข้อมูลที่กำหนดอาจลดความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด PE หรือลดอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนที่จำเป็นเพื่อให้ได้ค่าความน่าจะเป็นของ PE ที่ต้องการโดยการเพิ่มแบนด์วิดท์การส่งหรือทำให้ตัวถอดรหัสซับซ้อน ขั้นตอนมัลติเพล็กซิ่งและการเข้าถึงหลายสัญญาณจะรวมสัญญาณที่อาจมีลักษณะแตกต่างกันหรืออาจมาจากแหล่งที่มาที่แตกต่างกัน เพื่อให้สามารถแบ่งปันทรัพยากรการสื่อสารบางส่วน (เช่น สเปกตรัม เวลา) การแพร่กระจายความถี่สามารถให้สัญญาณที่ค่อนข้างต้านทานการรบกวน (ทั้งโดยธรรมชาติและโดยเจตนา) และสามารถใช้เพื่อเพิ่มความเป็นส่วนตัวของฝ่ายสื่อสาร นอกจากนี้ยังเป็นเทคโนโลยีอันมีค่าที่ใช้สำหรับการเข้าถึงหลายรายการ

บล็อกการประมวลผลสัญญาณแสดงในรูป 1.2 แสดงไดอะแกรมทั่วไปของระบบการสื่อสารดิจิทัล อย่างไรก็ตาม บล็อกเหล่านี้บางครั้งถูกนำไปใช้ในลำดับที่แตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น มัลติเพล็กซ์อาจเกิดขึ้นก่อนการเข้ารหัสแชนเนลหรือการมอดูเลต หรือในกระบวนการมอดูเลตแบบสองขั้นตอน (พาหะย่อยและพาหะ) อาจเกิดขึ้นระหว่างการมอดูเลตสองขั้นตอน ในทำนองเดียวกัน บล็อกส่วนขยายความถี่สามารถอยู่ในตำแหน่งต่างๆ ในแถวบนสุดของรูปที่ 1.2; ตำแหน่งที่แน่นอนขึ้นอยู่กับเทคโนโลยีเฉพาะที่ใช้ การซิงโครไนซ์และองค์ประกอบหลัก สัญญาณซิงโครไนซ์ เกี่ยวข้องกับทุกขั้นตอนของการประมวลผลสัญญาณในระบบ DCS เพื่อความเรียบง่าย บล็อกการซิงโครไนซ์ในรูปที่ 1.2 แสดงโดยไม่คำนึงถึงสิ่งใดแม้ว่าในความเป็นจริงเขามีส่วนร่วมในการควบคุมการปฏิบัติงานในเกือบทุกบล็อกที่แสดงในรูป

บนมะเดื่อ รูปที่ 1.3 แสดงฟังก์ชันการประมวลผลสัญญาณหลัก (ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการแปลงสัญญาณ) โดยแบ่งออกเป็นเก้ากลุ่มต่อไปนี้

รูปที่ 1.3 การแปลงการสื่อสารดิจิทัลที่สำคัญ

1. การจัดรูปแบบและการเข้ารหัสแหล่งที่มา

2. การส่งสัญญาณแบบวงแคบ

3. การส่งสัญญาณแบนด์วิธ

4. การปรับระดับ

5. การเข้ารหัสช่อง

6. การปิดผนึกและการเข้าถึงหลายทาง

7. สเปกตรัมสเปกตรัม

8. การเข้ารหัส

9. การซิงโครไนซ์

บนมะเดื่อ 1.3 บล็อกการส่งสัญญาณแถบความถี่แคบประกอบด้วยรายการของทางเลือกไบนารีเมื่อใช้การมอดูเลต PCM หรือรหัสบรรทัด บล็อกนี้ยังระบุประเภทของสัญญาณที่ไม่ใช่ไบนารีที่เรียกว่า มการปรับชีพจร -ary การเปลี่ยนแปลงอื่นในรูป 1.3 การส่งสัญญาณแบนด์วิธแบ่งออกเป็นสองช่วงหลัก เชื่อมโยงกันและไม่เชื่อมโยงกัน การดีมอดูเลชันมักจะดำเนินการโดยใช้สัญญาณอ้างอิง ด้วยการใช้สัญญาณที่ทราบเป็นตัววัดพารามิเตอร์สัญญาณทั้งหมด (โดยเฉพาะเฟส) กระบวนการดีมอดูเลตจึงกล่าวได้ว่าสอดคล้องกัน เมื่อไม่ได้ใช้ข้อมูลเฟส กระบวนการจะถูกกล่าวว่าไม่ต่อเนื่องกัน

การเข้ารหัสช่องเกี่ยวข้องกับเทคนิคที่ใช้ในการปรับปรุงสัญญาณดิจิทัล ซึ่งส่งผลให้มีความเสี่ยงน้อยลงต่อปัจจัยการเสื่อมสภาพ เช่น สัญญาณรบกวน การซีดจาง และการระงับสัญญาณ บนมะเดื่อ 1.3 การเข้ารหัสช่องสัญญาณแบ่งออกเป็นสองบล็อก บล็อกการเข้ารหัสรูปคลื่นและบล็อกลำดับที่มีโครงสร้าง การเข้ารหัสรูปคลื่นเกี่ยวข้องกับการใช้สัญญาณใหม่ที่ทำให้คุณภาพการตรวจจับดีขึ้นกว่าสัญญาณเดิม ลำดับที่มีโครงสร้างรวมถึงการใช้บิตเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบว่ามีข้อผิดพลาดที่เกิดจากสัญญาณรบกวนในช่องหรือไม่ เทคโนโลยีอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น คำขอทำซ้ำอัตโนมัติ (ARQ) จะจดจำการเกิดขึ้นของข้อผิดพลาดและขอให้ผู้ส่งส่งข้อความซ้ำ อีกเทคนิคหนึ่งที่เรียกว่าการแก้ไขข้อผิดพลาดไปข้างหน้า (FEC) ช่วยให้สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้โดยอัตโนมัติ (โดยมีข้อจำกัดบางประการ) เมื่อพิจารณาถึงลำดับที่มีโครงสร้าง เราจะพูดถึงวิธีการทั่วไปสามวิธี ได้แก่ การเข้ารหัสแบบบล็อก การวนรอบ และการเข้ารหัสแบบเทอร์โบ

ในการสื่อสารแบบดิจิตอล เวลาเกี่ยวข้องกับการคำนวณทั้งเวลาและความถี่ ดังแสดงในรูป 1.3 การซิงโครไนซ์จะดำเนินการในห้าระดับ ความถี่อ้างอิงของระบบเชื่อมโยงกันจำเป็นต้องซิงโครไนซ์กับพาหะ (และอาจเป็นพาหะย่อย) ในความถี่และเฟส สำหรับระบบที่ไม่เชื่อมโยงกัน การซิงโครไนซ์เฟสไม่จำเป็น กระบวนการซิงโครไนซ์เวลาพื้นฐานคือการซิงโครไนซ์สัญลักษณ์ (หรือการซิงโครไนซ์บิตสำหรับสัญลักษณ์ไบนารี) ตัวแยกสัญญาณและตัวตรวจจับต้องรู้ว่าเมื่อใดควรเริ่มและสิ้นสุดกระบวนการตรวจจับสัญลักษณ์และบิต ข้อผิดพลาดในการซิงโครไนซ์ทำให้ประสิทธิภาพการตรวจจับลดลง การซิงโครไนซ์เวลาในระดับถัดไป การซิงโครไนซ์เฟรม ช่วยให้สามารถจัดเรียงข้อความใหม่ได้ และระดับสุดท้าย การซิงโครไนซ์เครือข่าย ช่วยให้คุณสามารถประสานงานกับผู้ใช้รายอื่นเพื่อใช้ทรัพยากรอย่างมีประสิทธิภาพ

1.1.3. คำศัพท์พื้นฐานในการสื่อสารดิจิทัล

ต่อไปนี้เป็นคำศัพท์หลักบางส่วนที่ใช้กันทั่วไปในด้านการสื่อสารดิจิทัล

แหล่งที่มาของข้อมูล(ที่มาข้อมูล). อุปกรณ์ที่ส่งข้อมูลผ่านระบบ DCS แหล่งที่มาของข้อมูลอาจเป็นแบบอะนาล็อกหรือแบบไม่ต่อเนื่องก็ได้ เอาต์พุตของแหล่งที่มาแบบอะนาล็อกสามารถใช้ค่าใดก็ได้จากช่วงแอมพลิจูดที่ต่อเนื่อง ในขณะที่เอาต์พุตของแหล่งข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องสามารถรับค่าจากชุดแอมพลิจูดที่จำกัด แหล่งข้อมูลอะนาล็อกจะถูกแปลงเป็นดิจิทัลผ่านการสุ่มตัวอย่างหรือการวัดปริมาณ วิธีการสุ่มตัวอย่างและการหาปริมาณที่เรียกว่าการจัดรูปแบบและการเข้ารหัสแหล่งที่มา (รูปที่ 1.3)

ข้อความ(ข้อความ). ลำดับของอักขระ (รูปที่ 1.4, ก). ในการส่งข้อมูลดิจิทัล ข้อความคือลำดับของตัวเลขหรืออักขระที่อยู่ในชุดอักขระหรือตัวอักษรที่มีจำกัด

เข้าสู่ระบบ(อักขระ). องค์ประกอบของตัวอักษรหรือชุดอักขระ (รูปที่ 1.4 ข). สามารถจับคู่อักขระกับลำดับของเลขฐานสองได้ มีรหัสมาตรฐานหลายรหัสที่ใช้สำหรับการเข้ารหัสอักขระ รวมถึง ASCII (รหัสมาตรฐานอเมริกันสำหรับการแลกเปลี่ยนข้อมูล), EBCDIC (รหัสการแลกเปลี่ยนทศนิยมแบบขยายรหัสไบนารี), Hollerith (รหัส Hollerith), รหัส Baudot, รหัส Murray และรหัสมอร์ส

รูปที่ 1.4 ภาพประกอบข้อกำหนด: a) ข้อความ; ข) สัญลักษณ์;

c) บิตสตรีม (รหัส ASCII 7 บิต); ง) สัญลักษณ์ ;

e) สัญญาณดิจิตอลแบนด์พาส

เลขฐานสอง(เลขฐานสอง) (บิต) (บิต) หน่วยพื้นฐานของข้อมูลสำหรับระบบดิจิทัลทั้งหมด คำว่า "บิต" ยังใช้เป็นหน่วยของข้อมูล ซึ่งอธิบายไว้ในบทที่ 9

สตรีมบิต(บิตสตรีม). ลำดับของเลขฐานสอง (ศูนย์และหนึ่ง) บิตสตรีมมักถูกเรียกว่าสัญญาณเบสแบนด์ นี่หมายความว่าองค์ประกอบสเปกตรัมของมันอยู่ในช่วงตั้งแต่ (หรือประมาณ) DC ไปจนถึงค่าที่จำกัด โดยปกติแล้วจะไม่เกินสองสามเมกะเฮิรตซ์ บนมะเดื่อ 1.4 ข้อความ "HOW" จะแสดงโดยใช้รหัส ASCII เจ็ดบิต และสตรีมบิตจะแสดงในรูปของพัลส์สองระดับ ลำดับของพัลส์แสดงด้วยรูปคลื่นที่มีสไตล์สูง (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สมบูรณ์แบบ) โดยมีช่องว่างระหว่างพัลส์ที่อยู่ติดกัน ในระบบจริง พัลส์จะไม่มีลักษณะเช่นนี้ เนื่องจากช่องว่างดังกล่าวไร้ประโยชน์อย่างยิ่ง ในอัตราข้อมูลที่กำหนด ช่องว่างจะเพิ่มแบนด์วิธที่จำเป็นสำหรับการส่ง หรือด้วยแบนด์วิธ จะเพิ่มความล่าช้าที่จำเป็นในการรับข้อความ

เครื่องหมาย(สัญลักษณ์) (ข้อความดิจิทัล) (ข้อความดิจิทัล) สัญลักษณ์คือกลุ่มของ เคบิตพิจารณาโดยรวม นอกจากนี้ เราจะเรียกบล็อกนี้ว่าสัญลักษณ์ข้อความ () จากชุดสัญลักษณ์หรือตัวอักษรที่จำกัด (รูปที่ 1.4, ง.) ขนาดของตัวอักษร มเท่ากับ ที่ไหน เคคือจำนวนบิตในสัญลักษณ์ ในการส่งสัญญาณแถบแคบ แต่ละสัญลักษณ์จะถูกแทนด้วยหนึ่งในชุดของสัญญาณพัลส์แถบแคบ . บางครั้ง เมื่อส่งลำดับของพัลส์ดังกล่าว หน่วยบอด (baud) จะถูกใช้เพื่อแสดงอัตราพัลส์ (อัตราสัญลักษณ์) สำหรับการส่งสัญญาณแบนด์พาสทั่วไป พัลส์แต่ละอันจะถูกแทนด้วยหนึ่งในชุดของสัญญาณพัลส์แบนด์พาส . ดังนั้นสำหรับระบบไร้สาย สัญลักษณ์จะถูกส่งโดยการส่งสัญญาณดิจิทัลสำหรับ ตวินาที ตัวละครถัดไปจะถูกส่งในช่วงเวลาถัดไป ต. ความจริงที่ว่าชุดอักขระที่ส่งโดยระบบ DCS นั้นมีขอบเขตจำกัดคือความแตกต่างหลักระหว่างระบบเหล่านี้กับระบบสื่อสารแบบแอนะล็อก เครื่องรับ DCS จำเป็นต้องกำหนดเท่านั้น มสัญญาณที่เป็นไปได้ถูกส่งไปแล้ว ในขณะที่เครื่องรับแบบแอนะล็อกต้องระบุค่าที่เป็นของช่วงสัญญาณที่ต่อเนื่องอย่างถูกต้องแม่นยำ

สัญญาณดิจิตอล(รูปคลื่นดิจิตอล). อธิบายโดยระดับแรงดันหรือกระแส สัญญาณ (พัลส์สำหรับการส่งสัญญาณแบบแนร์โรว์แบนด์หรือคลื่นไซน์สำหรับการส่งผ่านแบนด์พาส) ซึ่งเป็นตัวแทนของอักขระดิจิทัล ลักษณะของสัญญาณ (สำหรับพัลส์ - แอมพลิจูด ระยะเวลา และตำแหน่ง หรือสำหรับไซน์ไซด์ - แอมพลิจูด ความถี่ และเฟส) ทำให้สามารถระบุได้ว่าเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ของอักษรจำกัด บนมะเดื่อ 1.4 งตัวอย่างของสัญญาณดิจิตอลแบนด์พาสแสดงอยู่ แม้ว่าสัญญาณจะเป็นไซน์และดังนั้นจึงมีรูปแบบอะนาล็อก แต่ก็ยังเรียกว่าดิจิตอลเพราะมันเข้ารหัสข้อมูลดิจิตอล ในรูปนี้ ค่าดิจิทัลจะแสดงโดยการส่งสัญญาณในแต่ละช่วงเวลา ตสัญญาณของความถี่ที่แน่นอน

อัตราการถ่ายโอน(อัตราข้อมูล). ค่านี้เป็นบิตต่อวินาที (bps) กำหนดโดย (bps) โดยที่ เคบิตกำหนดอักขระจาก - อักขระตัวอักษรและ ตคือระยะเวลา ถึงอักขระบิต

1.1.4. การวัดประสิทธิภาพแบบดิจิตอลและอนาล็อก

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างระบบสื่อสารแบบแอนะล็อกและดิจิทัลเกี่ยวข้องกับวิธีการประเมินประสิทธิภาพ สัญญาณของระบบอะนาล็อกอยู่บนความต่อเนื่อง ดังนั้นเครื่องรับจึงต้องทำงานกับสัญญาณที่เป็นไปได้จำนวนไม่สิ้นสุด การวัดประสิทธิภาพของระบบสื่อสารอะนาล็อกคือความแม่นยำ เช่น อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน เปอร์เซ็นต์ความผิดเพี้ยน หรือข้อผิดพลาด RMS ที่คาดไว้ระหว่างสัญญาณที่ส่งและรับ

ระบบสื่อสารดิจิทัลส่งสัญญาณแทนตัวเลขซึ่งแตกต่างจากอะนาล็อก ตัวเลขเหล่านี้ประกอบกันเป็นชุดหรือตัวอักษรที่จำกัด และชุดนี้เรียกว่าเป็นลำดับก่อนหน้าสำหรับผู้รับ เกณฑ์สำหรับคุณภาพของระบบสื่อสารดิจิทัลคือความน่าจะเป็นของการตรวจจับตัวเลขที่ไม่ถูกต้องหรือความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด ()

1.2. การจำแนกสัญญาณ

1.2.1. สัญญาณที่กำหนดและสุ่ม

สัญญาณสามารถจัดประเภทเป็น deterministic (เมื่อไม่มีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับค่า ณ เวลาใดๆ) หรือแบบสุ่ม สัญญาณกำหนดจะจำลองโดยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนนิพจน์ดังกล่าวสำหรับสัญญาณสุ่ม อย่างไรก็ตาม เมื่อสังเกตสัญญาณสุ่ม (หรือเรียกว่ากระบวนการสุ่ม) เป็นระยะเวลานานเพียงพอ สามารถสังเกตรูปแบบบางอย่างที่สามารถอธิบายได้ในแง่ของความน่าจะเป็นและค่าเฉลี่ยทางสถิติ แบบจำลองดังกล่าวในรูปแบบของคำอธิบายความน่าจะเป็นของกระบวนการสุ่ม มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการอธิบายลักษณะของสัญญาณและสัญญาณรบกวนในระบบสื่อสาร

1.2.2. สัญญาณเป็นระยะและไม่เป็นระยะ

สัญญาณจะถูกกล่าวถึงเป็นระยะ ๆ หากมีค่าคงที่เช่นนั้น

สำหรับ (1.2)

ผ่านที่ไหน ทีมีการระบุเวลา ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าระยะเวลาของสัญญาณ ระยะเวลากำหนดระยะเวลาของหนึ่งรอบเต็มของฟังก์ชัน สัญญาณที่ไม่มีสมการที่น่าพอใจ (1.2) เรียกว่า non-periodic

1.2.3. สัญญาณอะนาล็อกและสัญญาณแยก

สัญญาณอะนาล็อกเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลา เช่น กำหนดไว้โดยเฉพาะสำหรับทุกคน ที. สัญญาณอะนาล็อกทางไฟฟ้าเกิดขึ้นเมื่อสัญญาณทางกายภาพ (เช่น เสียงพูด) ถูกแปลงเป็นสัญญาณไฟฟ้าโดยอุปกรณ์บางอย่าง ในการเปรียบเทียบ สัญญาณแยกเป็นสัญญาณที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง มีลักษณะเป็นลำดับของตัวเลขที่กำหนดไว้สำหรับแต่ละช่วงเวลา ท, ที่ไหน เคเป็นจำนวนเต็ม และ ต- ระยะเวลาที่แน่นอน

1.2.4. สัญญาณที่แสดงในรูปของพลังงานหรือพลังงาน

สัญญาณไฟฟ้าสามารถคิดได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงของแรงดันหรือกระแสที่มีกำลังไฟฟ้าทันทีที่ใช้กับความต้านทาน ร:

ในระบบสื่อสาร พลังงานมักจะถูกทำให้เป็นมาตรฐาน (สันนิษฐานว่าความต้านทาน รมีค่าเท่ากับ 1 โอห์ม แม้ว่าในแชนเนลจริงจะเป็นเท่าใดก็ได้) หากจำเป็นต้องกำหนดค่าพลังงานจริง จะได้มาโดย "การทำให้เป็นปกติ" ค่าที่ทำให้เป็นมาตรฐาน ในกรณีนอร์มัลไลซ์ สมการ (1.3.a) และ (1.3.6) มีรูปแบบเหมือนกัน ดังนั้น ไม่ว่าสัญญาณจะแสดงด้วยแรงดันหรือกระแสก็ตาม รูปแบบนอร์มัลไลซ์ช่วยให้เราสามารถแสดงกำลังไฟฟ้าชั่วขณะเป็น

แรงดันหรือกระแสอยู่ที่ไหน การกระจายพลังงานในช่วงเวลา () ของสัญญาณจริงที่มีกำลังทันทีที่ได้รับจากสมการ (1.4) สามารถเขียนได้ดังนี้

(1.5)

พลังงานเฉลี่ยที่กระจายโดยสัญญาณในช่วงเวลานี้เป็นดังนี้

(1.6)

ประสิทธิภาพของระบบสื่อสารขึ้นอยู่กับพลังงานของสัญญาณที่ได้รับ สัญญาณที่มีพลังงานสูงกว่าจะตรวจจับได้อย่างน่าเชื่อถือมากขึ้น (โดยมีข้อผิดพลาดน้อยลง) - การตรวจจับจะดำเนินการโดยพลังงานที่ได้รับ ในทางกลับกัน พลังงานคืออัตราการป้อนพลังงาน จุดนี้มีความสำคัญด้วยเหตุผลหลายประการ พลังงานกำหนดแรงดันไฟฟ้าที่จะใช้กับเครื่องส่งสัญญาณและความแรงของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่จะต้องนำมาพิจารณาในระบบวิทยุ (เช่น สนามในท่อนำคลื่นที่เชื่อมต่อเครื่องส่งสัญญาณกับเสาอากาศและสนามรอบๆ องค์ประกอบการแผ่ของเสาอากาศ)

เมื่อวิเคราะห์สัญญาณการสื่อสาร การทำงานกับพลังงานสัญญาณมักเป็นที่พึงปรารถนา เราจะเรียกมันว่าสัญญาณพลังงานก็ต่อเมื่อมันมีพลังงานจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง () โดยที่

(1.7)

ในสถานการณ์จริง เรามักจะส่งสัญญาณด้วยพลังงานจำกัด () อย่างไรก็ตาม เพื่ออธิบายสัญญาณเป็นระยะ ซึ่งตามนิยาม (สมการ (1.2)) มีอยู่เสมอ ดังนั้นจึงมีพลังงานไม่สิ้นสุด และในการทำงานกับสัญญาณสุ่มที่มีพลังงานไม่จำกัด จะเป็นการสะดวกที่จะกำหนดคลาสของสัญญาณที่แสดงเป็นเงื่อนไข ของพลัง ดังนั้นจึงเป็นการสะดวกที่จะแสดงสัญญาณโดยใช้กำลังไฟหากเป็นสัญญาณเป็นระยะและเมื่อใดก็ตามมีกำลังสุดท้ายที่ไม่เป็นศูนย์ () โดยที่

(1.8)

สัญญาณบางอย่างสามารถนำมาประกอบกับพลังงานหรือธาตุ สัญญาณพลังงานมีพลังงานจำกัดแต่มีพลังงานเฉลี่ยเป็นศูนย์ ในขณะที่สัญญาณเป็นระยะมีพลังงานเฉลี่ยเป็นศูนย์แต่มีพลังงานไม่สิ้นสุด สัญญาณในระบบสามารถแสดงได้ทั้งในแง่ของพลังงานหรือค่าประจำงวด ตามกฎทั่วไป สัญญาณเป็นระยะและสุ่มจะแสดงในรูปของพลังงาน และสัญญาณที่กำหนดขึ้นและไม่เป็นคาบจะแสดงในรูปของพลังงาน

พลังงานสัญญาณและพลังงานเป็นสองพารามิเตอร์ที่สำคัญในการอธิบายระบบการสื่อสาร การจำแนกสัญญาณเป็นสัญญาณพลังงานหรือสัญญาณเป็นระยะเป็นแบบจำลองที่สะดวกซึ่งอำนวยความสะดวกในการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณและสัญญาณรบกวนต่างๆ ส่วนที่ 3.1.5 พัฒนาแนวคิดเหล่านี้ในบริบทของระบบการสื่อสารดิจิทัล

1.2.5. ฟังก์ชันอิมพัลส์หน่วย

ฟังก์ชันที่มีประโยชน์ในทฤษฎีการสื่อสารคือ แรงกระตุ้นหน่วย หรือฟังก์ชันไดแรคเดลต้า ฟังก์ชันอิมพัลส์เป็นนามธรรม อิมพัลส์ที่มีแอมพลิจูดไม่สิ้นสุด ความกว้างเป็นศูนย์และน้ำหนักต่อหน่วย (พื้นที่ใต้แรงกระตุ้น) มีความเข้มข้นที่จุดที่ค่าอาร์กิวเมนต์เป็นศูนย์ แรงกระตุ้นต่อหน่วยถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้

ไม่จำกัดที่จุด (1.11)

(1.12)

แรงกระตุ้นหน่วยไม่ใช่ฟังก์ชันในความหมายปกติของคำ หากเข้าสู่การดำเนินการใดๆ จะสะดวกที่จะพิจารณาว่าเป็นพัลส์ของแอมพลิจูดจำกัด พื้นที่หน่วย และระยะเวลาที่ไม่เป็นศูนย์ หลังจากนั้นจำเป็นต้องพิจารณาขีดจำกัดเนื่องจากระยะเวลาพัลส์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ในเชิงกราฟิก สามารถแสดงเป็นจุดสูงสุดที่จุดซึ่งมีความสูงเท่ากับอินทิกรัลของมันหรือพื้นที่ของมัน ด้วยค่าคงที่ แต่แสดงถึงฟังก์ชันอิมพัลส์ที่มีพื้นที่ (หรือน้ำหนัก) อยู่ แต่และค่าเป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นจุด

สมการ (1.12) เป็นที่รู้จักกันในชื่อคุณสมบัติการกรอง (หรือการหาปริมาณ) ของฟังก์ชันแรงกระตุ้นหน่วย อินทิกรัลของแรงกระตุ้นหนึ่งหน่วยและฟังก์ชันตามอำเภอใจจะให้ตัวอย่างฟังก์ชันที่จุด .

1.3. ความหนาแน่นของสเปกตรัม

ความหนาแน่นเชิงสเปกตรัมของคุณลักษณะของสัญญาณคือการกระจายพลังงานหรือกำลังของสัญญาณในช่วงความถี่ แนวคิดนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษเมื่อพิจารณาการกรองในระบบการสื่อสาร เราต้องสามารถประเมินสัญญาณและสัญญาณรบกวนที่เอาต์พุตของตัวกรองได้ เมื่อดำเนินการประเมินดังกล่าว จะใช้ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน (ESD) หรือความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน (ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน - PSD)

1.3.1. ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัม

พลังงานทั้งหมดของสัญญาณพลังงานจริงที่กำหนดในช่วงเวลาอธิบายโดยสมการ (1.7) เมื่อใช้ทฤษฎีบทของพาร์เซวาล เราสามารถเชื่อมโยงพลังงานของสัญญาณดังกล่าวที่แสดงออกในโดเมนเวลากับพลังงานที่แสดงออกในโดเมนความถี่ได้:

, (1.13)

การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบคือที่ไหน (ดูบทสรุปของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ได้ในภาคผนวก ก.) แสดงโดยสเปกตรัมแอมพลิจูดสี่เหลี่ยมที่กำหนดเป็น

(1.14)

ปริมาณคือความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัม (ESD) ของสัญญาณ ดังนั้นจากสมการ (1.13) เราสามารถแสดงพลังงานทั้งหมดได้โดยการรวมความหนาแน่นของสเปกตรัมเข้ากับความถี่

(1.15)

สมการนี้แสดงว่าพลังงานของสัญญาณเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟในโดเมนความถี่ ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมอธิบายถึงพลังงานสัญญาณต่อหน่วยแบนด์วิธและวัดเป็น J/Hz ส่วนประกอบความถี่บวกและลบให้พลังงานเท่ากัน ดังนั้นสำหรับสัญญาณจริง ค่าจะเป็นฟังก์ชันเลขคู่ของความถี่ ดังนั้น ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมจึงมีความถี่สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด และสามารถแสดงพลังงานสัญญาณทั้งหมดได้ดังนี้

(1.16)

1.3.2. ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน

กำลังเฉลี่ยของสัญญาณจริงในการแสดงเป็นระยะถูกกำหนดโดยสมการ (1.8) ถ้าเป็นสัญญาณคาบที่มีจุด จะจัดเป็นสัญญาณในการแสดงคาบ นิพจน์สำหรับกำลังเฉลี่ยของสัญญาณประจำงวดกำหนดโดยสูตร (1.6) โดยที่ค่าเฉลี่ยของเวลาจะใช้มากกว่าหนึ่งช่วงเวลา

(1.17ก)

ทฤษฎีบทของ Parseval สำหรับสัญญาณเป็นระยะจริงมีรูปแบบ

, (1.17,ข)

โดยที่คำศัพท์คือค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนของอนุกรมฟูเรียร์สำหรับสัญญาณเป็นระยะ (ดูภาคผนวก A)

หากต้องการใช้สมการ (1.17.6) จำเป็นต้องทราบค่าของสัมประสิทธิ์เท่านั้น ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน (PSD) ของสัญญาณเป็นระยะ ซึ่งเป็นฟังก์ชันจริง สม่ำเสมอ และไม่เป็นลบของความถี่ และให้การกระจายพลังงานของสัญญาณในช่วงความถี่ มีการกำหนดดังนี้

(1.18)

สมการ (1.18) กำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณเป็นระยะเป็นลำดับของฟังก์ชันเดลต้าถ่วงน้ำหนัก ดังนั้น PSD ของสัญญาณเป็นระยะจึงเป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องของความถี่ การใช้ PSD ที่กำหนดไว้ในสมการ (1.18) เราสามารถเขียนกำลังเฉลี่ยปกติของสัญญาณจริงได้

(1.19)

สมการ (1.18) อธิบาย PSD ของสัญญาณเป็นระยะเท่านั้น หากเป็นสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ จะไม่สามารถแสดงในรูปของอนุกรมฟูเรียร์ได้ หากเป็นสัญญาณที่ไม่ใช่คาบในการแทนค่าเป็นระยะ (มีพลังงานไม่สิ้นสุด) ก็อาจไม่มีการแปลงฟูริเยร์ อย่างไรก็ตาม เรายังสามารถแสดงความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังของสัญญาณดังกล่าวได้ในขีดจำกัด หากเราสร้างสัญญาณที่ไม่ใช่สัญญาณเป็นระยะในรูปแบบที่ถูกตัดทอนในการแสดงเป็นระยะโดยรับเฉพาะค่านี้จากช่วงเวลา () จากนั้นจะมีพลังงานที่ จำกัด และการแปลงฟูริเยร์ที่สอดคล้องกัน สามารถแสดงได้ว่าความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบกำหนดเป็นขีดจำกัด

(1.20)

ตัวอย่าง 1.1. กำลังรับการจัดอันดับเฉลี่ย

ก) ค้นหาความแรงของสัญญาณมาตรฐานเฉลี่ย โดยใช้เวลาเฉลี่ย

b) ดำเนินการรายการ a โดยรวมค่าสัมประสิทธิ์สเปกตรัม

วิธีการแก้

ก) ใช้สมการ (1.17, a) เราได้ดังต่อไปนี้

b) การใช้สมการ (1.18) และ (1.19) เราได้สิ่งต่อไปนี้

(ดูภาคผนวก ก)

1.4. ความสัมพันธ์อัตโนมัติ

1.4.1. ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณพลังงาน

ความสัมพันธ์คือกระบวนการจับคู่ ความสัมพันธ์อัตโนมัติคือการจับคู่สัญญาณกับเวอร์ชันที่ล่าช้าของตัวเอง ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณพลังงานจริงถูกกำหนดดังนี้

สำหรับ (1.21)

ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติให้การวัดความคล้ายคลึงกันของสัญญาณด้วยสำเนาของมันเอง โดยเลื่อนตามหน่วยเวลา ตัวแปรมีบทบาทในการสแกนหรือพารามิเตอร์การค้นหา ไม่ใช่หน้าที่ของเวลา มันเป็นเพียงฟังก์ชั่นของความแตกต่างของเวลาระหว่างสัญญาณและสำเนาที่ถูกเลื่อน

ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณพลังงานจริงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

1.

3. สหสัมพันธ์อัตโนมัติและ ESD เป็นการแปลงฟูริเยร์ซึ่งกันและกัน ซึ่งระบุด้วยลูกศรสองหัว

4. ค่าที่ศูนย์เท่ากับพลังงานสัญญาณ

ตามความพอใจของวรรค. 1-3 เป็นฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ เงื่อนไข 4 เป็นผลมาจากเงื่อนไข 3 ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในชุดหลักเพื่อทดสอบฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ

1.4.2. ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณเป็นระยะ

ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณเป็นระยะจริงถูกกำหนดดังนี้

สำหรับ (1.22)

หากสัญญาณเป็นระยะโดยมีระยะเวลา ค่าเฉลี่ยของเวลาในสมการ (1.22) สามารถนำมาแทนหนึ่งช่วงเวลาได้ และความสัมพันธ์อัตโนมัติสามารถแสดงได้ดังนี้

สำหรับ (1.23)

ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณเป็นระยะซึ่งใช้ค่าจริงมีคุณสมบัติคล้ายกับสัญญาณพลังงาน

1. สมมาตรเทียบกับศูนย์

2. สำหรับทั้งหมด ค่าสูงสุดอยู่ที่ศูนย์

3. ความสัมพันธ์อัตโนมัติและ ESD เป็นการแปลงฟูริเยร์ของกันและกัน

4.

1.5. สัญญาณสุ่ม

งานหลักของระบบสื่อสารคือการส่งข้อมูลผ่านช่องทางการสื่อสาร สัญญาณข้อความที่เป็นประโยชน์ทั้งหมดปรากฏขึ้นแบบสุ่ม เช่น ผู้รับไม่ทราบล่วงหน้าว่าข้อความใดที่เป็นไปได้จะถูกส่ง นอกจากนี้เนื่องจากกระบวนการทางไฟฟ้าต่างๆ สัญญาณรบกวนจึงเกิดขึ้นพร้อมกับสัญญาณข้อมูล ดังนั้นเราจึงต้องการวิธีที่มีประสิทธิภาพในการอธิบายสัญญาณสุ่ม

1.5.1. ตัวแปรสุ่ม

ให้ตัวแปรสุ่ม ฮ่า)แสดงถึงความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ระหว่างเหตุการณ์สุ่ม แต่และจำนวนจริง เพื่อความสะดวกในการบันทึก เราแทนค่าตัวแปรสุ่มด้วย เอ็กซ์และการทำงานขึ้นอยู่กับ แต่จะถือว่าชัดเจน ตัวแปรสุ่มอาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องก็ได้ การกระจายของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์พบได้จากนิพจน์:

, (1.24)

ความน่าจะเป็นที่จะยอมรับค่านั้นอยู่ที่ไหน ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์น้อยกว่าจำนวนจริง เอ็กซ์หรือเท่ากับมัน ฟังก์ชันการกระจายมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

2. ถ้า

ฟังก์ชันที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ซึ่งเขียนได้ดังนี้

(1.25,ก)

เช่นเดียวกับฟังก์ชันการกระจาย ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง เอ็กซ์. ชื่อ "ฟังก์ชันความหนาแน่น" มาจากความจริงที่ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับสิ่งต่อไปนี้

การใช้สมการ (1.25.6) เราสามารถเขียนความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มได้โดยประมาณ เอ็กซ์มีค่าที่เป็นของช่วงเวลาระหว่าง และ น้อยมาก

ดังนั้น ในลิมิตที่พุ่งเป็นศูนย์ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

2. .

ดังนั้น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะไม่เป็นลบเสมอและมีพื้นที่หน่วย ในเนื้อหาของหนังสือ เราจะใช้สัญลักษณ์เพื่อแสดงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เพื่อความสะดวกในการบันทึก เรามักจะละเว้นดัชนี เอ็กซ์และเขียนอย่างเรียบง่าย หากเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถรับเฉพาะค่าที่ไม่ต่อเนื่อง เราจะใช้สัญกรณ์

1.5.1.1. หมายถึงทั้งมวล

ค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ถูกกำหนดโดยนิพจน์

, (1.26)

ซึ่งเรียกว่าตัวดำเนินการมูลค่าที่คาดหวัง ช่วงเวลา นการแจกแจงความน่าจะเป็นลำดับที่ -th ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เรียกว่าค่าต่อไป

(1.27)

สำหรับการวิเคราะห์ระบบการสื่อสาร สองช่วงเวลาแรกของตัวแปรมีความสำคัญ เอ็กซ์. ใช่ที่ น=1 สมการ (1.27) ให้ช่วงเวลาที่พิจารณาข้างต้น และเมื่อใด น= 1 - รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง เอ็กซ์.

(1.28)

เรายังสามารถกำหนดช่วงเวลาสำคัญซึ่งเป็นช่วงเวลาแห่งความแตกต่าง เอ็กซ์และ . โมเมนต์ศูนย์กลางอันดับสอง (เรียกอีกอย่างว่าการกระจาย) เป็นดังนี้

การกระจายตัว เอ็กซ์เขียนเป็น และรากที่สองของค่านี้ เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เอ็กซ์. การกระจายคือการวัด "กระจาย" ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์. การระบุความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มจะจำกัดความกว้างของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น การกระจายตัวและ RMS สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้

ดังนั้น ความแปรปรวนจะเท่ากับผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยกำลังสองของรูตและกำลังสองของค่าเฉลี่ย

1.5.2. กระบวนการสุ่ม

กระบวนการสุ่มสามารถมองเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว: เหตุการณ์ แต่และเวลา บนมะเดื่อ 1.5 แสดงตัวอย่างกระบวนการสุ่ม กำลังแสดง เอ็นตัวอย่างฟังก์ชันของเวลา แต่ละฟังก์ชันตัวอย่างสามารถดูเป็นเอาต์พุตของเครื่องกำเนิดสัญญาณรบกวนที่แยกจากกัน สำหรับแต่ละเหตุการณ์ เรามีฟังก์ชั่นเวลาเดียว (เช่น ฟังก์ชันตัวอย่าง) ชุดของฟังก์ชันตัวอย่างทั้งหมดเรียกว่าชุด ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง , เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ และสุดท้ายสำหรับเหตุการณ์เฉพาะและสำหรับช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งคือตัวเลขปกติ เพื่อความสะดวกในการบันทึก เราจะแสดงกระบวนการสุ่มเป็น เอ็กซ์(เสื้อ)และการทำงานขึ้นอยู่กับ แต่จะถือว่าชัดเจน

รูปที่ 1.5 กระบวนการสุ่มสัญญาณรบกวน

1.5.2.1. ค่าเฉลี่ยทางสถิติของกระบวนการสุ่ม

เนื่องจากไม่ทราบค่าของกระบวนการสุ่มในแต่ละช่วงเวลาต่อมา กระบวนการสุ่มที่มีฟังก์ชันการแจกแจงต่อเนื่องสามารถอธิบายได้ทางสถิติในแง่ของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น โดยทั่วไป ในเวลาต่างๆ กัน ฟังก์ชันนี้สำหรับกระบวนการสุ่มจะมีรูปแบบที่แตกต่างกัน ในกรณีส่วนใหญ่ การพิจารณาการกระจายความน่าจะเป็นของกระบวนการสุ่มนั้นไม่สมจริง ในขณะเดียวกัน สำหรับความต้องการของระบบการสื่อสาร คำอธิบายบางส่วนมักจะเพียงพอ รวมถึงค่าเฉลี่ยและฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ เรามากำหนดค่าเฉลี่ยของกระบวนการสุ่มกัน เอ็กซ์(เสื้อ)อย่างไร

, (1.30)

โดยที่ เป็นตัวแปรสุ่มที่ได้จากการพิจารณากระบวนการสุ่ม ณ เวลา a คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ความหนาแน่นของเหตุการณ์ทั้งหมด ณ เวลา)

ให้เรากำหนดฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการสุ่ม เอ็กซ์(เสื้อ)เป็นฟังก์ชันของสองตัวแปรและ

โดยที่และเป็นตัวแปรสุ่มที่ได้จากการพิจารณา เอ็กซ์(เสื้อ)ในบางครั้งและตามลำดับ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นการวัดความสัมพันธ์ระหว่างตัวอย่างเวลาสองครั้งของกระบวนการสุ่มเดียว

1.5.2.2. ความนิ่ง

กระบวนการสุ่ม เอ็กซ์(เสื้อ)เรียกว่าหยุดนิ่งในความหมายที่เคร่งครัด หากไม่มีสถิติใดได้รับผลกระทบจากการถ่ายโอนจุดกำเนิดของเวลา กระบวนการสุ่มเรียกว่าสเตชันเนอรีในความหมายกว้างๆ ถ้าสถิติสองอย่างคือค่าเฉลี่ยและฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการย้ายจุดกำเนิดของเวลา ดังนั้น กระบวนการจะหยุดนิ่งถ้า

การนิ่งเฉยในความหมายที่เคร่งครัดหมายถึงการนิ่งในความหมายกว้าง แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ส่วนใหญ่ของทฤษฎีการสื่อสารตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าสัญญาณข้อมูลแบบสุ่มและสัญญาณรบกวนนั้นอยู่กับที่ในความหมายกว้างๆ จากมุมมองของภาคปฏิบัติ กระบวนการสุ่มไม่จำเป็นต้องอยู่นิ่งเสมอไป แค่อยู่นิ่งในช่วงเวลาที่สังเกตได้ซึ่งเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติก็เพียงพอแล้ว

สำหรับกระบวนการที่อยู่นิ่ง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติในสมการ (1.33) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา แต่ขึ้นกับผลต่างเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ ทุกคู่ของค่า เอ็กซ์(เสื้อ)ในเวลาที่คั่นด้วยช่วงเวลา มีค่าสหสัมพันธ์เท่ากัน ดังนั้นสำหรับระบบที่อยู่นิ่ง สามารถเขียนฟังก์ชันง่ายๆ ได้ดังนี้

1.5.2.3. ความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการสุ่ม คงที่ในความหมายกว้าง

เช่นเดียวกับที่ความแปรปรวนเสนอการวัดความสุ่มสำหรับตัวแปรสุ่ม ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติเสนอการวัดที่คล้ายกันสำหรับกระบวนการสุ่ม สำหรับกระบวนการที่อยู่นิ่งในความหมายกว้างๆ ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเวลาเท่านั้น

สำหรับกระบวนการที่อยู่นิ่งแบบกว้างที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ฟังก์ชันจะแสดงให้เห็นว่าตัวแปรสุ่มของกระบวนการมีความสัมพันธ์กันทางสถิติอย่างไรโดยแยกเป็นวินาที จะให้ข้อมูลเกี่ยวกับการตอบสนองความถี่ที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่ม หากมีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ เมื่อเพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นค่าบางค่า แสดงว่าโดยเฉลี่ยแล้ว ค่าตัวอย่าง เอ็กซ์(เสื้อ), ถ่ายครั้ง และ , เกือบเท่ากัน. ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคาดหวังสิ่งนั้นในการแทนค่าความถี่ เอ็กซ์(เสื้อ)ความถี่ต่ำจะครอบงำ ในทางกลับกัน ถ้ามันลดลงอย่างรวดเร็วพร้อมกับเพิ่มขึ้น ใครจะคาดหวังเช่นนั้น เอ็กซ์(เสื้อ)จะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วตามเวลา และจะรวมถึงความถี่สูงเป็นส่วนใหญ่

ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการที่อยู่นิ่งในความหมายกว้างและรับค่าจริงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

1. สมมาตรเทียบกับศูนย์

2. สำหรับค่าสูงสุดทั้งหมดอยู่ที่ศูนย์

3. ความสัมพันธ์อัตโนมัติและความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังเป็นการแปลงฟูริเยร์ของกันและกัน

4. ค่าที่ศูนย์จะเท่ากับความแรงของสัญญาณเฉลี่ย

1.5.3. เวลาเฉลี่ยและการยศาสตร์

ในการคำนวณและหาค่าเฉลี่ยจากทั้งมวล เราจำเป็นต้องหาค่าเฉลี่ยจากฟังก์ชันตัวอย่างทั้งหมดของกระบวนการ ดังนั้น เราต้องการข้อมูลที่ครบถ้วนเกี่ยวกับการกระจายร่วมกันของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการประมาณค่าที่หนึ่งและที่สอง ในกรณีทั่วไป ตามกฎแล้ว ข้อมูลดังกล่าวจะไม่สามารถใช้ได้

หากกระบวนการสุ่มอยู่ในคลาสพิเศษที่เรียกว่าคลาสของกระบวนการตามหลักสรีรศาสตร์ เวลาเฉลี่ยของกระบวนการจะเท่ากับค่าเฉลี่ยทั้งมวล และคุณสมบัติทางสถิติของกระบวนการสามารถกำหนดได้โดยการเฉลี่ยฟังก์ชันตัวอย่างหนึ่งฟังก์ชันของกระบวนการในช่วงเวลาหนึ่ง เพื่อให้กระบวนการสุ่มเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์ จะต้องอยู่นิ่งในความหมายที่เคร่งครัด (ไม่จำเป็นต้องทำตรงกันข้าม) อย่างไรก็ตาม สำหรับระบบการสื่อสาร ซึ่งความนิ่งในความหมายกว้างเพียงพอสำหรับเรา เราสนใจเฉพาะค่าเฉลี่ยและฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติเท่านั้น

กระบวนการสุ่มได้รับการกล่าวถึงตามหลักสรีรศาสตร์โดยคำนึงถึงค่าเฉลี่ย if

(1.35)

และตามหลักสรีรศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติถ้า

(1.36)

การทดสอบกระบวนการสุ่มสำหรับการยศาสตร์มักจะค่อนข้างยาก ในทางปฏิบัติ ตามกฎแล้ว จะใช้สมมติฐานที่เข้าใจได้ง่ายเกี่ยวกับความได้เปรียบในการแทนที่ค่าเฉลี่ยทั้งมวลด้วยค่าเฉลี่ยของเวลา เมื่อวิเคราะห์สัญญาณส่วนใหญ่ในช่องทางการสื่อสาร (ในกรณีที่ไม่มีผลกระทบจากแรงกระตุ้น) มีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าสัญญาณแบบสุ่มเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์สำหรับฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ เนื่องจากสำหรับกระบวนการตามหลักสรีรศาสตร์ เวลาเฉลี่ยจะเท่ากับค่าเฉลี่ยทั้งมวล พารามิเตอร์ทางไฟฟ้าพื้นฐาน เช่น แอมพลิจูดของส่วนประกอบ DC ค่ากำลังสองของค่าเฉลี่ยราก และกำลังเฉลี่ย สามารถเชื่อมโยงกับช่วงเวลาของกระบวนการสุ่มตามหลักสรีรศาสตร์ได้

1. ค่าเท่ากับส่วนประกอบ DC ของสัญญาณ

2. ค่านี้เท่ากับกำลังไฟฟ้าปกติของส่วนประกอบ DC

3. ช่วงเวลาของคำสั่งที่สอง เอ็กซ์(เสื้อ), , เท่ากับกำลังปกติเฉลี่ยทั้งหมด

4. ค่าจะเท่ากับค่า rms ของสัญญาณที่แสดงในรูปของกระแสหรือแรงดัน

5. การกระจายเท่ากับกำลังเฉลี่ยปกติของสัญญาณสลับ

6. ถ้าค่าเฉลี่ยของกระบวนการเป็นศูนย์ (เช่น ) ดังนั้น และความแปรปรวนเท่ากับค่า rms หรือ (ข้อความอื่น) ความแปรปรวนจะแสดงถึงกำลังทั้งหมดในโหลดที่ปรับให้เป็นมาตรฐาน

7. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่ามาตรฐานของสัญญาณตัวแปร

8. ถ้า คือค่า RMS ของสัญญาณ

1.5.4. ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานและความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการสุ่ม

กระบวนการสุ่ม เอ็กซ์(เสื้อ)สามารถนำมาประกอบกับสัญญาณประจำคาบที่มีความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานดังที่ระบุในสมการ (1.20) ฟังก์ชันนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในระบบการสื่อสาร เนื่องจากอธิบายถึงการกระจายกำลังของสัญญาณในช่วงความถี่ ความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังทำให้คุณสามารถประมาณกำลังของสัญญาณที่จะส่งผ่านเครือข่ายที่มีลักษณะความถี่ที่รู้จัก คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานสามารถกำหนดได้ดังนี้

1. ใช้ค่าจริงเสมอ

2. สำหรับ เอ็กซ์(เสื้อ)รับค่าจริง

3. ความสัมพันธ์อัตโนมัติและความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังเป็นการแปลงฟูริเยร์ของกันและกัน

4. ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังปกติเฉลี่ยกับความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง

บนมะเดื่อ 1.6 แสดงภาพฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติและฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน คำว่า "สหสัมพันธ์" หมายถึงอะไร? เมื่อเราสนใจความสัมพันธ์ของปรากฏการณ์สองอย่าง เราจะถามว่าปรากฏการณ์ทั้งสองเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดมากน้อยเพียงใดในด้านพฤติกรรมหรือรูปลักษณ์ และมีความสอดคล้องกันมากน้อยเพียงใด ในวิชาคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณ (ในโดเมนเวลา) อธิบายความสอดคล้องของสัญญาณกับตัวมันเอง โดยถูกแทนที่ด้วยระยะเวลาหนึ่ง สำเนาที่แน่นอนจะถูกสร้างและแปลเป็นภาษาท้องถิ่นที่ระยะลบ จากนั้นเราจะย้ายสำเนาตามลำดับในทิศทางบวกของแกนเวลา และถามว่า (เวอร์ชันต้นฉบับและสำเนา) สอดคล้องกันอย่างไร จากนั้นเราย้ายสำเนาไปในทิศทางที่เป็นบวกไปอีกขั้นหนึ่งแล้วถามว่าตอนนี้ตรงกันมากแค่ไหน และอื่น ๆ ความสัมพันธ์ระหว่างสองสัญญาณถูกอธิบายเป็นฟังก์ชันของเวลา ซึ่งแสดงโดย ; ในกรณีนี้ เวลาถือเป็นพารามิเตอร์การสแกน

บนมะเดื่อ 1.6 โฆษณาสถานการณ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นแสดงให้เห็นในบางช่วงเวลา ข้าว. 1.6 กแสดงสัญญาณเดียวของกระบวนการสุ่มแบบกว้างๆ เอ็กซ์(เสื้อ). สัญญาณเป็นลำดับไบนารีแบบสุ่มที่มีพัลส์บวกและลบ (ไบโพลาร์) ของแอมพลิจูดหน่วย แรงกระตุ้นบวกและลบปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ระยะเวลาของแต่ละพัลส์ (เลขฐานสอง) คือ ตวินาที และค่าเฉลี่ยหรือค่าขององค์ประกอบคงที่ของลำดับสุ่มเป็นศูนย์ บนมะเดื่อ 1.6 ขแสดงลำดับเดียวกัน เลื่อนเวลาเป็นวินาที ตามสัญกรณ์ที่ยอมรับ ลำดับนี้แสดงด้วย สมมติว่ากระบวนการ เอ็กซ์(เสื้อ)เป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้เวลาเฉลี่ยแทนการหาค่าเฉลี่ยทั้งมวลในการค้นหา ค่านี้ได้มาจากการคูณสองลำดับ เอ็กซ์(เสื้อ)และด้วยการค้นหาค่าเฉลี่ยในภายหลังโดยใช้สมการ (1.36) ซึ่งใช้ได้สำหรับกระบวนการตามหลักสรีรศาสตร์ในขีด จำกัด เท่านั้น อย่างไรก็ตาม การผสานรวมกับจำนวนงวดที่เป็นจำนวนเต็มสามารถให้ค่าประมาณแก่เราได้ สังเกตว่าจะได้อะไรบ้างจากการขยับ เอ็กซ์(เสื้อ)ทั้งในทิศทางบวกและลบ กรณีที่คล้ายกันแสดงไว้ในรูปที่ 1.6 ในซึ่งใช้ลำดับตัวอย่างดั้งเดิม (รูปที่ 1.6 ก) และสำเนาที่เลื่อน (รูปที่ 1.6, ข). พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งผลิตภัณฑ์ส่งผลดีต่อผลิตภัณฑ์ ในขณะที่พื้นที่สีเทาส่งผลเสีย การรวมเข้ากับเวลาในการส่งข้อมูลทำให้เกิดจุดบนเส้นโค้ง ลำดับสามารถเลื่อนต่อไปได้ และแต่ละการเลื่อนดังกล่าวจะให้คะแนนเกี่ยวกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติโดยรวม ดังแสดงในรูปที่ 1.6 ช. กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละลำดับแบบสุ่มของพัลส์สองขั้วจะสอดคล้องกับจุดสัมพันธ์อัตโนมัติบนเส้นโค้งทั่วไปที่แสดงในรูปที่ 1.6 ช. ค่าสูงสุดของฟังก์ชันอยู่ที่จุดหนึ่ง (พอดีที่สุดคือเมื่อ เท่ากับศูนย์ เนื่องจากสำหรับทั้งหมด ) และฟังก์ชันจะหยุดทำงานเป็น บนมะเดื่อ 1.6 ชจุดที่เกี่ยวข้องและแสดง

นิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ แสดงในรูป 1.6 ช, มีรูปแบบดังนี้.

(1.37)

โปรดทราบว่าฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติให้ข้อมูลเกี่ยวกับความถี่แก่เรา มันบอกเราบางอย่างเกี่ยวกับแบนด์วิธของสัญญาณ ในขณะเดียวกัน ความสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นฟังก์ชันชั่วขณะ ในสูตร (1.37) ไม่มีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับความถี่ แล้วมันให้ข้อมูลแบนด์วิธแก่เราได้อย่างไร?

รูปที่ 1.6 ความสัมพันธ์อัตโนมัติและความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง

รูปที่ 1.6 ความสัมพันธ์อัตโนมัติและความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง (สิ้นสุด)

สมมติว่าสัญญาณเคลื่อนที่ช้ามาก (สัญญาณมีแบนด์วิธต่ำ) หากเราย้ายสำเนาของสัญญาณไปตามแกนโดยถามคำถามในแต่ละขั้นตอนของการเปลี่ยนแปลงว่าสำเนาและต้นฉบับสอดคล้องกันมากเพียงใดการติดต่อจะค่อนข้างแข็งแกร่งเป็นเวลานาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบสามเหลี่ยม (รูปที่ 1.6 ชและสูตร 1.37) จะค่อยๆ ลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น สมมติว่าสัญญาณมีการเปลี่ยนแปลงเร็วพอ (เช่น เรามีแบนด์ขนาดใหญ่) ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยจะทำให้ความสัมพันธ์เป็นศูนย์และฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติมีรูปร่างที่แคบมาก ดังนั้น การเปรียบเทียบฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติตามรูปร่างจึงให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับแบนด์วิธของสัญญาณแก่เรา ฟังก์ชั่นลดลงเรื่อย ๆ หรือไม่? ในกรณีนี้เรามีสัญญาณที่มีแถบแคบ รูปร่างของฟังก์ชันคล้ายกับพีคแคบๆ หรือไม่? จากนั้นสัญญาณมีแถบกว้าง

ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติช่วยให้คุณแสดงความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณสุ่มได้อย่างชัดเจน เนื่องจากความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังและฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติคือการแปลงฟูริเยร์ของกันและกัน ความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง , ของลำดับสุ่มของพัลส์สองขั้วสามารถถูกพบเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน ซึ่งนิพจน์เชิงวิเคราะห์แสดงไว้ในสมการ (1.37) . ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้ตาราง ก.1. สังเกตว่า

(1.38)

มุมมองทั่วไปของฟังก์ชันแสดงในรูปที่ 1.6 ง.

โปรดทราบว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานแสดงถึงกำลังสัญญาณเฉลี่ย การวัดแบนด์วิธที่สะดวกวิธีหนึ่งคือความกว้างของกลีบสเปกตรัมหลัก (ดูหัวข้อ 1.7.2) บนมะเดื่อ 1.6 งแสดงให้เห็นว่าแบนด์วิธของสัญญาณสัมพันธ์กับส่วนกลับของระยะเวลาสัญลักษณ์หรือความกว้างของพัลส์ ข้าว. 1.6 ฉทำซ้ำอย่างเป็นทางการ รูปที่ 1.6 นรกยกเว้นในรูปต่อไปนี้ ระยะเวลาของชีพจรจะสั้นกว่า โปรดทราบว่าสำหรับพัลส์ที่สั้นกว่า ฟังก์ชันจะแคบกว่า (รูปที่ 1.6 และ) มากกว่าสำหรับอันที่ยาวกว่า (รูปที่ 1.6, ช). บนมะเดื่อ 1.6 และ; กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีของระยะเวลาพัลส์ที่สั้นกว่า การเปลี่ยนแปลงของ , ก็เพียงพอที่จะสร้างการจับคู่ที่เป็นโมฆะหรือสำหรับการสูญเสียความสัมพันธ์ระหว่างลำดับที่เลื่อนโดยสิ้นเชิง เนื่องจากในรูป 1.6 อีระยะเวลาของชีพจร ตน้อยกว่า (อัตราการถ่ายโอนพัลส์สูงกว่า) กว่าในรูป 1.6 ก, วงครอบครองในรูป. 1.6 ถึงการครอบครองแบนด์ที่มากขึ้นสำหรับความถี่พัลส์ที่ต่ำกว่าที่แสดงในรูปที่ 1.6 ง.

1.5.5. สัญญาณรบกวนในระบบสื่อสาร

คำว่า "สัญญาณรบกวน" หมายถึงสัญญาณไฟฟ้าที่ไม่ต้องการซึ่งมีอยู่ในระบบไฟฟ้าเสมอ การปรากฏตัวของสัญญาณรบกวนทับบนสัญญาณ "ปิดบัง" หรือมาสก์สัญญาณ; สิ่งนี้จำกัดความสามารถของผู้รับในการตัดสินใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับความหมายของสัญลักษณ์ และดังนั้นจึงจำกัดอัตราข้อมูล ลักษณะของเสียงรบกวนมีหลากหลายและมีทั้งแหล่งที่มาจากธรรมชาติและประดิษฐ์ขึ้น เสียงที่มนุษย์สร้างขึ้น ได้แก่ เสียงจุดประกายไฟ เสียงเปลี่ยนอิมพัลส์ และเสียงจากแหล่งอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า เสียงธรรมชาติมาจากชั้นบรรยากาศ ดวงอาทิตย์ และแหล่งกาแล็กซีอื่นๆ

การออกแบบทางวิศวกรรมที่ดีสามารถกำจัดสัญญาณรบกวนส่วนใหญ่หรือผลกระทบที่ไม่ต้องการได้ผ่านการกรอง การคัดกรอง การเลือกการปรับสัญญาณ และตำแหน่งเครื่องรับที่เหมาะสมที่สุด ตัวอย่างเช่น การวัดค่าดาราศาสตร์วิทยุที่ละเอียดอ่อนมักดำเนินการในพื้นที่ทะเลทรายห่างไกล ห่างไกลจากแหล่งกำเนิดเสียงรบกวนตามธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม มีเสียงธรรมชาติหนึ่งเสียงที่เรียกว่าเสียงความร้อน ซึ่งไม่สามารถกำจัดได้ เสียงรบกวนจากความร้อนเกิดจากการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของอิเล็กตรอนในส่วนประกอบที่กระจายตัวทั้งหมด - ตัวต้านทาน ตัวนำ ฯลฯ อิเล็กตรอนตัวเดียวกันที่มีหน้าที่ในการนำไฟฟ้าก็มีหน้าที่ทำให้เกิดสัญญาณรบกวนทางความร้อนเช่นกัน

เสียงความร้อนสามารถอธิบายได้ว่าเป็นกระบวนการสุ่มแบบเกาส์เซียนโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ กระบวนการเกาส์เซียน n(เสื้อ)เป็นฟังก์ชันสุ่ม ค่าของค่านั้น ณ จุดใดเวลาหนึ่งโดยพลการ ทีมีลักษณะทางสถิติโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบเกาส์เซียน:

, (1.40)

ความแปรปรวนอยู่ที่ไหน น. ฟังก์ชันความหนาแน่นของกระบวนการ Gaussian ที่ทำให้เป็นมาตรฐานโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์จะได้รับภายใต้สมมติฐานว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ปรับให้เป็นมาตรฐานตามแผนผังแสดงไว้ในรูปที่ 1.7.

นี่คือสัญญาณสุ่ม ก- สัญญาณในช่องสื่อสารและ น เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียน จากนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะแสดงเป็น

, (1.41)

โดยที่ข้างต้นคือความแปรปรวน น.

รูปที่ 1.7 ทำให้เป็นมาตรฐาน () ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบเกาส์เซียน

การแจกแจงแบบเกาส์เซียนมักใช้เป็นแบบจำลองสำหรับสัญญาณรบกวนในระบบ เนื่องจากมีทฤษฎีบทขอบเขตกลางที่ระบุว่าภายใต้เงื่อนไขทั่วไป การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลรวม เจตัวแปรสุ่มอิสระทางสถิติเป็นไปตามการแจกแจงแบบเกาส์เซียน และรูปแบบของฟังก์ชันการแจกแจงแต่ละรายการก็ไม่สำคัญ ดังนั้น แม้ว่ากลไกเสียงแต่ละตัวจะมีการแจกแจงแบบไม่ใช่เกาส์เซียน ชุดของกลไกดังกล่าวจำนวนมากจะมีแนวโน้มที่จะกระจายเสียงแบบเกาส์เซียน

1.5.5.1. เสียงสีขาว

ลักษณะทางสเปกตรัมหลักของสัญญาณรบกวนจากความร้อนคือความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานจะเท่ากันสำหรับความถี่ทั้งหมดที่น่าสนใจในระบบสื่อสารส่วนใหญ่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แหล่งกำเนิดสัญญาณรบกวนจากความร้อนแผ่กระจายในทุกความถี่ด้วยกำลังไฟฟ้าที่เท่ากันต่อแบนด์วิดท์หนึ่งหน่วย - จาก DC ไปจนถึงความถี่ลำดับ Hz ดังนั้น แบบจำลองเสียงรบกวนจากความร้อนอย่างง่ายจึงสันนิษฐานว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานนั้นเท่ากันสำหรับทุกความถี่ ดังแสดงในรูป 1.8 กและเขียนในรูปแบบต่อไปนี้

(1.42)

ที่นี่รวมปัจจัย 2 เพื่อแสดงความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานสองด้าน เมื่อพลังของสัญญาณรบกวนมีความหนาแน่นเชิงสเปกตรัมสม่ำเสมอ เราจะเรียกสัญญาณรบกวนนี้ว่าสีขาว คำคุณศัพท์ "สีขาว" ใช้ในความหมายเดียวกับแสงสีขาว ซึ่งมีความถี่เท่ากันทั้งหมดในสเปกตรัมแม่เหล็กไฟฟ้าที่มองเห็นได้

รูปที่ 1.8 เสียงสีขาว: a) ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน;

b) ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณรบกวนสีขาวกำหนดโดยการแปลงฟูริเยร์แบบผกผันของความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงานสัญญาณรบกวน (ดูตารางที่ ก.1) และเขียนได้ดังนี้

(1.43)

ดังนั้น ความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณรบกวนสีขาวจึงเป็นฟังก์ชันเดลต้า ซึ่งถ่วงน้ำหนักด้วยปัจจัยและอยู่ที่จุด ดังแสดงในรูป 1.8 ข. โปรดทราบว่ามีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับ เช่น ตัวอย่างเสียงสีขาวที่แตกต่างกันสองตัวอย่างไม่มีความสัมพันธ์กันไม่ว่าจะอยู่ใกล้แค่ไหนก็ตาม

พลังเสียงสีขาวโดยเฉลี่ยนั้นไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากแบนด์วิธของเสียงสีขาวนั้นไม่มีที่สิ้นสุด สามารถเห็นได้จากการได้รับนิพจน์ต่อไปนี้จากสมการ (1.19) และ (1.42)

(1.44)

แม้ว่าสัญญาณรบกวนสีขาวจะเป็นนามธรรมที่มีประโยชน์มาก แต่ไม่มีกระบวนการเสียงรบกวนใดที่สามารถเป็นสีขาวได้ อย่างไรก็ตาม สัญญาณรบกวนที่ปรากฏในระบบจริงหลายระบบอาจถูกพิจารณาว่าเป็นสีขาว เราสามารถสังเกตเห็นสัญญาณรบกวนดังกล่าวได้ก็ต่อเมื่อมันผ่านระบบจริงที่มีแบนด์วิธจำกัดเท่านั้น ดังนั้น ตราบเท่าที่แบนด์วิธของสัญญาณรบกวนนั้นมากกว่าแบนด์วิดท์ที่ระบบใช้อยู่อย่างมาก สัญญาณรบกวนนั้นถือได้ว่ามีแบนด์วิดท์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ฟังก์ชันเดลต้าในสมการ (1.43) หมายความว่าสัญญาณรบกวน n(เสื้อ)ไม่มีความเกี่ยวข้องอย่างแน่นอนกับเวอร์ชันที่มีอคติของตัวเองสำหรับไฟล์. สมการ (1.43) แสดงให้เห็นว่าสองตัวอย่างของกระบวนการเสียงสีขาวไม่มีความสัมพันธ์กัน เนื่องจากเสียงจากความร้อนเป็นกระบวนการแบบเกาส์เซียน และตัวอย่างไม่มีความสัมพันธ์กัน ตัวอย่างเสียงจึงเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ผลกระทบของช่องสัญญาณรบกวน Gaussian สีขาวเพิ่มเติมในกระบวนการตรวจจับคือสัญญาณรบกวนจะส่งผลต่อแต่ละสัญลักษณ์ที่ส่งโดยอิสระ ช่องดังกล่าวเรียกว่าช่องที่ไม่มีหน่วยความจำ คำว่า "สารเติมแต่ง" หมายความว่าสัญญาณรบกวนถูกซ้อนทับหรือเพิ่มเข้าไปในสัญญาณ - ไม่มีกลไกการคูณ

เนื่องจากสัญญาณรบกวนความร้อนมีอยู่ในระบบสื่อสารทั้งหมดและเป็นแหล่งสัญญาณรบกวนที่สำคัญสำหรับระบบส่วนใหญ่ จึงมักใช้คุณลักษณะของสัญญาณรบกวนความร้อน (สารเติมแต่ง สีขาว และเกาส์เซียน) เพื่อจำลองสัญญาณรบกวนในระบบสื่อสาร เนื่องจากสัญญาณรบกวน Gaussian ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์มีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์จากความแปรปรวน โมเดลนี้จึงใช้งานง่ายเป็นพิเศษในการตรวจจับสัญญาณและการออกแบบเครื่องรับที่เหมาะสมที่สุด ในหนังสือเล่มนี้ เราจะถือว่า (เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น) ว่าระบบได้รับความเสียหายจากสัญญาณรบกวน Gaussian สีขาวที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ แม้ว่าบางครั้งการทำให้เข้าใจง่ายนี้จะรุนแรงเกินไป

1.6. การส่งสัญญาณผ่านระบบสาย

ตอนนี้เราได้พัฒนาชุดของแบบจำลองสัญญาณและเสียงรบกวนแล้ว มาดูลักษณะของระบบและผลกระทบต่อสัญญาณและเสียงรบกวนกัน เนื่องจากระบบสามารถจำแนกได้ดีพอๆ กันทั้งในโดเมนความถี่และเวลา จึงมีการพัฒนาวิธีการในทั้งสองกรณีเพื่อวิเคราะห์การตอบสนองของระบบเชิงเส้นต่อสัญญาณอินพุตโดยพลการ สัญญาณที่ใช้กับอินพุตของระบบ (รูปที่ 1.9) สามารถอธิบายได้ว่าเป็นสัญญาณเวลา หรือผ่านการแปลงฟูริเยร์ การใช้การวิเคราะห์เวลาให้ผลลัพธ์ของเวลา และในกระบวนการ ฟังก์ชัน การตอบสนองแบบอิมพัลส์ หรือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ของเครือข่ายจะถูกกำหนด เมื่อพิจารณาอินพุตในโดเมนความถี่ เราต้องพิจารณาการตอบสนองความถี่ของระบบ หรือฟังก์ชันการถ่ายโอน ซึ่งจะกำหนดเอาต์พุตความถี่ สันนิษฐานว่าระบบเป็นแบบเส้นตรงและไม่แปรผันตามเวลา สันนิษฐานว่าระบบไม่มีพลังงานแฝงในขณะที่ส่งสัญญาณอินพุต

รูปที่ 1.9 ระบบเชิงเส้นและพารามิเตอร์หลัก

1.6.1. การตอบสนองของแรงกระตุ้น

ระบบหรือเครือข่ายเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลาที่แสดงในรูป 1.9 อธิบาย (ในโดเมนเวลา) โดยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ซึ่งเป็นการตอบสนองของระบบเมื่อมีการใช้พัลส์เดียวกับอินพุต

พิจารณาคำว่า "การตอบสนองแรงกระตุ้น" ซึ่งเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับเหตุการณ์นี้ คำอธิบายคุณลักษณะของระบบผ่านการตอบสนองแบบอิมพัลส์มีการตีความทางกายภาพโดยตรง ที่อินพุตของระบบ เราใช้พัลส์เดียว (สัญญาณที่ไม่จริงซึ่งมีแอมพลิจูดไม่สิ้นสุด ความกว้างเป็นศูนย์ และพื้นที่หน่วย) ดังแสดงในรูปที่ 1.10, ก. การจัดหาแรงกระตุ้นดังกล่าวให้กับระบบถือได้ว่าเป็น "ผลกระทบทันที" ระบบจะตอบสนองอย่างไร (“ตอบสนอง”) ต่อการใช้แรง (แรงกระตุ้น) สัญญาณเอาต์พุตคือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบ (รูปแบบที่เป็นไปได้ของคำตอบนี้แสดงในรูปที่ 1.10 ข.)

การตอบสนองของเครือข่ายต่อสัญญาณโดยพลการคือ convolution with ซึ่งเขียนได้ดังนี้

(1.46)

รูปที่ 1.10 ภาพประกอบแนวคิดของ "การตอบสนองแบบอิมพัลส์": ก) สัญญาณอินพุตเป็นฟังก์ชันอิมพัลส์หน่วย b) สัญญาณเอาต์พุตคือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบ

ที่นี่เครื่องหมาย "*" หมายถึงการดำเนินการบิด (ดูข้อ A.5) ระบบจะถือว่าเป็นสาเหตุ ซึ่งหมายความว่าไม่มีสัญญาณที่เอาต์พุตจนกว่าจะถึงเวลาที่สัญญาณถูกนำไปใช้กับอินพุต ดังนั้นขอบเขตล่างของการรวมสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์และเอาต์พุตสามารถแสดงในลักษณะที่แตกต่างกันเล็กน้อย

(1.47,ก)

หรือในรูปแบบ

(1.47ข)

นิพจน์ในสมการ (1.46) และ (1.47) เรียกว่าปริพันธ์เชิงบิด Convolution เป็นเครื่องมือพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจระบบการสื่อสารทั้งหมด หากผู้อ่านไม่คุ้นเคยกับการดำเนินการนี้ เขาควรดูหัวข้อ A.5 สำหรับที่มาของสมการ (1.46) และ (1.47)

1.6.2. ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนความถี่

เอาต์พุตความถี่ได้มาจากการใช้การแปลงฟูริเยร์กับทั้งสองด้านของสมการ (1.46) เนื่องจากการบิดเบี้ยวในโดเมนเวลากลายเป็นการคูณในโดเมนความถี่ (และในทางกลับกัน) จากสมการ (1.46) เราจึงได้สิ่งต่อไปนี้

(แน่นอนว่าสำหรับทุกคน) ที่นี่ , การแปลงฟูริเยร์ของการตอบสนองอิมพัลส์ เรียกว่า ฟังก์ชันถ่ายโอนความถี่ การตอบสนองความถี่ หรือการตอบสนองความถี่ของเครือข่าย โดยทั่วไป ฟังก์ชันจะซับซ้อนและสามารถเขียนเป็น

, (1.50)

โมดูลัสการตอบสนองอยู่ที่ไหน ขั้นตอนการตอบสนองถูกกำหนดดังนี้

(1.51)

(และแสดงถึงส่วนจริงและจินตภาพของข้อโต้แย้ง)

ฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของเครือข่ายเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลาสามารถวัดได้ง่ายในห้องปฏิบัติการ - ในเครือข่ายที่มีเครื่องกำเนิดฮาร์มอนิกที่อินพุตและออสซิลโลสโคปที่เอาต์พุต หากสัญญาณอินพุตแสดงเป็น

,

แล้วสามารถเขียนผลลัพธ์ได้ดังนี้

ความถี่อินพุตจะเปลี่ยนไปตามค่าที่เราสนใจ ดังนั้นการวัดที่อินพุตและเอาต์พุตทำให้สามารถกำหนดสายพันธุ์ได้

1.6.2.1. กระบวนการสุ่มและระบบเชิงเส้น

หากกระบวนการสุ่มสร้างอินพุตของระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลา ดังนั้นที่เอาต์พุตของระบบนี้ เราจะได้รับกระบวนการสุ่มด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันตัวอย่างแต่ละรายการของกระบวนการอินพุตจะแสดงฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการเอาต์พุต ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังอินพุตและความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังเอาต์พุตสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้

(1.53)

สมการ (1.53) เป็นวิธีง่ายๆ ในการหาความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานที่เอาต์พุตของระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลา เมื่อใช้กระบวนการสุ่มเป็นอินพุต

ในบทที่ 3 และ 4 เราจะดูการตรวจจับสัญญาณใน Gaussian noise คุณสมบัติหลักของกระบวนการ Gaussian จะถูกนำไปใช้กับระบบเชิงเส้น จะแสดงให้เห็นว่าหากป้อนกระบวนการ Gaussian ให้กับตัวกรองเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลา ดังนั้นกระบวนการสุ่ม ซึ่งส่งออกไปก็จะถูก Gaussian เช่นกัน

1.6.3. การส่งโดยไม่ผิดเพี้ยน

สิ่งที่จำเป็นสำหรับเครือข่ายในการทำงานเหมือนช่องทางการส่งสัญญาณในอุดมคติคืออะไร? สัญญาณที่เอาต์พุตของช่องสัญญาณการสื่อสารในอุดมคติอาจล่าช้าเมื่อเทียบกับสัญญาณที่อินพุต นอกจากนี้ สัญญาณเหล่านี้สามารถมีแอมพลิจูดที่แตกต่างกันได้ (การปรับขนาดอย่างง่าย) แต่สำหรับอย่างอื่น สัญญาณไม่ควรผิดเพี้ยน เช่น จะต้องมีรูปร่างเหมือนกับสัญญาณเข้า ดังนั้น สำหรับการส่งสัญญาณที่ไม่บิดเบี้ยวในอุดมคติ เราสามารถอธิบายสัญญาณเอาต์พุตเป็น

, (1.54)

ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ การใช้การแปลงฟูริเยร์กับทั้งสองส่วน (ดูหัวข้อ A.3.1) เรามีดังต่อไปนี้

(1.55)

แทนนิพจน์ (1.55) เป็นสมการ (1.49) เราจะเห็นว่าฟังก์ชันการถ่ายโอนที่จำเป็นของระบบสำหรับการส่งสัญญาณโดยไม่มีการบิดเบือนมีรูปแบบดังต่อไปนี้

(1.56)

ดังนั้น เพื่อให้ได้การส่งสัญญาณในอุดมคติโดยไม่ผิดเพี้ยน การตอบสนองโดยรวมของระบบต้องมีโมดูลัสคงที่ และการเปลี่ยนเฟสต้องเป็นความถี่เชิงเส้น ไม่เพียงพอที่ระบบจะเพิ่มหรือลดส่วนประกอบความถี่ทั้งหมดเท่าๆ กัน ฮาร์มอนิกทั้งหมดของสัญญาณต้องมาถึงเอาต์พุตด้วยความล่าช้าเท่ากันจึงจะหาผลรวมได้ เนื่องจากการหน่วงเวลานั้นสัมพันธ์กับการเปลี่ยนเฟสและความถี่เป็นวงจรตามความสัมพันธ์

, (1.57,ก)

เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้การหน่วงเวลาของส่วนประกอบทั้งหมดเหมือนกัน การเปลี่ยนเฟสจะต้องเป็นสัดส่วนกับความถี่ ในการวัดความผิดเพี้ยนของสัญญาณที่เกิดจากความล่าช้า มักใช้ลักษณะเฉพาะที่เรียกว่าการหน่วงเวลาแบบกลุ่ม มีการกำหนดดังนี้

(1.57ข)

ดังนั้น สำหรับการส่งสัญญาณโดยไม่ผิดเพี้ยน เรามีข้อกำหนดสองข้อที่เท่าเทียมกัน: เฟสต้องเป็นเชิงเส้นในความถี่ หรือการหน่วงเวลากลุ่มต้องเท่ากับค่าคงที่ ในทางปฏิบัติ สัญญาณจะถูกบิดเบือนเมื่อผ่านบางส่วนของระบบ เพื่อขจัดความผิดเพี้ยนนี้ สามารถนำวงจรแก้ไขเฟสหรือแอมพลิจูด (การทำให้เท่าเทียมกัน) เข้าสู่ระบบได้ โดยทั่วไป การบิดเบือนเป็นลักษณะทั่วไปของ I/O ของระบบที่กำหนดประสิทธิภาพ

1.6.3.1. ตัวกรองในอุดมคติ

มันไม่สมจริงที่จะสร้างเครือข่ายในอุดมคติที่อธิบายโดยสมการ (1.56) ปัญหาคือสมการ (1.56) ถือว่าแบนด์วิธไม่สิ้นสุด โดยแบนด์วิธของระบบจะกำหนดโดยช่วงความถี่บวกที่โมดูลัสมีค่าที่กำหนด (โดยทั่วไป มีการวัดแบนด์วิธหลายอย่าง การวัดที่พบมากที่สุดอยู่ในส่วนที่ 1.7) ในการประมาณเครือข่ายในอุดมคติที่มีแบนด์วิธไม่สิ้นสุด เราเลือกเครือข่ายแบบตัดทอนที่ผ่านโดยไม่มีการบิดเบือนฮาร์มอนิกทั้งหมดที่มีความถี่ระหว่างและที่ ความถี่คัตออฟที่ต่ำกว่า และอยู่ด้านบน ดังแสดงในรูป 1.11. เครือข่ายดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่าตัวกรองในอุดมคติ สันนิษฐานว่านอกช่วงซึ่งเรียกว่าพาสแบนด์ (พาสแบนด์) แอมพลิจูดการตอบสนองของตัวกรองในอุดมคติจะเป็นศูนย์ แบนด์วิธที่มีประสิทธิภาพถูกกำหนดโดยแบนด์วิธของฟิลเตอร์และเป็น Hz

ถ้า และ ตัวกรองจะเรียกว่าส่งผ่าน (รูปที่ 1.11, ก). ถ้า และ มีค่าจำกัด จะเรียกว่าตัวกรองความถี่ต่ำ (รูปที่ 1.11 ข). หากมีค่าไม่เป็นศูนย์และ จะเรียกว่าตัวกรองความถี่สูง (รูปที่ 1.11 ใน).

รูปที่ 1.11 ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองในอุดมคติ: ก) ตัวกรองเกียร์ในอุดมคติ; b) ตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำในอุดมคติ c) ตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำในอุดมคติ

ใช้สมการ (1.59) และตั้งสมมติฐานสำหรับตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำในอุดมคติที่มีแบนด์วิธ Hz ดังแสดงในรูปที่ 1.11 ขสามารถเขียนฟังก์ชันถ่ายโอนได้ดังนี้

(1.58)

การตอบสนองของอิมพัลส์ของฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำในอุดมคติ แสดงในรูป 1.12 แสดงโดยสูตรต่อไปนี้

รูปที่ 1.12 การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำในอุดมคติ

โดยที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในสมการ (1.39) การตอบสนองของแรงกระตุ้นที่แสดงในรูป 1.12 ไม่ใช่สาเหตุ ซึ่งหมายความว่าในขณะที่สัญญาณถูกนำไปใช้กับอินพุต () มีการตอบสนองที่ไม่ใช่ศูนย์ที่เอาต์พุตของตัวกรอง ดังนั้นจึงควรเห็นได้ชัดว่าตัวกรองในอุดมคติที่อธิบายโดยสมการ (1.58) ไม่ได้เกิดขึ้นจริง

ตัวอย่าง 1.2 ส่งเสียงรบกวนสีขาวผ่านตัวกรองที่เหมาะสม

เสียงสีขาวที่มีความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน ดังแสดงในรูปที่ 1.8 กใช้กับอินพุตของตัวกรองความถี่ต่ำผ่านที่เหมาะสมที่สุดที่แสดงในรูปที่ 1.11 ข. กำหนดความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานและฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณเอาต์พุต

วิธีการแก้

ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นผลมาจากการใช้การแปลงฟูริเยร์แบบผกผันกับความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้ (ดูตารางที่ ก.1)

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากสูตร (1.62) เราจะเห็นว่ามีรูปแบบเดียวกันกับการตอบสนองของอิมพัลส์ของฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำในอุดมคติที่แสดงในรูปที่ 1.12. ในตัวอย่างนี้ ตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำในอุดมคติจะแปลงฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณรบกวนสีขาว (นิยามในรูปของฟังก์ชันเดลต้า) ให้เป็นฟังก์ชัน หลังจากการกรอง ระบบจะไม่มีสัญญาณรบกวนสีขาวอีกต่อไป สัญญาณรบกวนเอาต์พุตจะมีความสัมพันธ์เป็นศูนย์เท่านั้นกับสำเนาที่เลื่อนเมื่อเลื่อนโดย โดยที่จำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

1.6.3.2. ดำเนินการตัวกรอง

ตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำที่ง่ายที่สุดที่สามารถนำไปใช้ได้ประกอบด้วยความต้านทาน (R) และความจุ (C) ดังแสดงในรูป 1.13 ก; ตัวกรองนี้เรียกว่าตัวกรอง RC และสามารถแสดงฟังก์ชันการถ่ายโอนได้ดังนี้

, (1.63)

ที่ไหน . ลักษณะแอมพลิจูดและลักษณะเฟสแสดงในรูปที่ 1.13 ข, ใน. แบนด์วิธของฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำถูกกำหนดที่จุดครึ่งกำลัง จุดนี้แสดงถึงความถี่ที่กำลังสัญญาณเอาต์พุตเป็นครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุด หรือความถี่ที่แอมพลิจูดของแรงดันเอาต์พุตเท่ากับค่าสูงสุด

โดยทั่วไปแล้ว half power point จะแสดงเป็นเดซิเบล (dB) เป็นจุด -3 dB หรือจุดที่ 3 dB ต่ำกว่าค่าสูงสุด ตามคำนิยาม ค่าเป็นเดซิเบลถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของกำลัง และ

(1.64, ก)

ที่นี่ และ คือแรงดันไฟฟ้า a และ คือความต้านทาน ในระบบสื่อสาร มักใช้พลังงานปกติสำหรับการวิเคราะห์ ในกรณีนี้ความต้านทานและถือว่าเท่ากับ 1 โอห์ม

รูปที่ 1.13 ตัวกรอง RC และฟังก์ชันการถ่ายโอน: ก) ตัวกรอง RC; b) ลักษณะแอมพลิจูดของตัวกรอง RC; c) การตอบสนองเฟสของตัวกรอง RC

(1.64, ข)

การตอบสนองแอมพลิจูดสามารถแสดงเป็นเดซิเบลได้เช่น

, (1.64, นิ้ว)

โดยที่และคือแรงดันอินพุตและเอาต์พุต และค่าความต้านทานอินพุตและเอาต์พุตจะถือว่าเท่ากัน

จากสมการ (1.63) เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าจุดครึ่งกำลังของตัวกรองความถี่ต่ำ RC สอดคล้องกับ rad/s หรือ Hz ดังนั้นแบนด์วิธในหน่วยเฮิรตซ์คือ ฟอร์มแฟกเตอร์ของตัวกรองเป็นตัววัดว่าตัวกรองจริงใกล้เคียงกับตัวกรองในอุดมคติเพียงใด โดยปกติจะกำหนดเป็นอัตราส่วนของแบนด์วิธตัวกรอง -60 dB และ -6 dB ฟอร์มแฟคเตอร์ขนาดเล็กเพียงพอ (ประมาณ 2) สามารถรับได้ในตัวกรองเกียร์ที่มีคัตออฟที่คมชัดมาก เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว ฟอร์มแฟคเตอร์ของตัวกรองความถี่ต่ำ RC แบบง่ายอยู่ที่ประมาณ 600

มีการประมาณค่าคุณลักษณะของฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำในอุดมคติที่เป็นประโยชน์หลายประการ หนึ่งในนั้นมีให้โดยตัวกรอง Butterworth ซึ่งใกล้เคียงกับตัวกรองความถี่ต่ำในอุดมคติที่มีฟังก์ชัน

, (1.65)

โดยที่ความถี่คัตออฟบน (-3 dB) คือลำดับของตัวกรอง ยิ่งลำดับสูงเท่าใด ความซับซ้อนและต้นทุนของการใช้ตัวกรองก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น บนมะเดื่อ 1.14 แสดงกราฟแอมพลิจูดสำหรับหลายค่า โปรดทราบว่าในขณะที่เติบโตขึ้น ลักษณะแอมพลิจูดจะเข้าใกล้คุณลักษณะของตัวกรองในอุดมคติ ตัวกรอง Butterworth เป็นที่นิยมเนื่องจากเป็นการประมาณที่ดีที่สุดสำหรับกรณีในอุดมคติในแง่ของความเรียบแบนด์วิธของตัวกรองสูงสุด

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณจำนวนมากที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิศวกรรมวิทยุไม่ตรงตามเงื่อนไขการรวมสัมบูรณ์ ดังนั้นวิธีการแปลงฟูริเยร์ในรูปแบบปกติจึงใช้ไม่ได้กับสิ่งเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เราสามารถพูดถึงความหนาแน่นเชิงสเปกตรัมของสัญญาณดังกล่าวได้ หากเราคิดว่าความหนาแน่นเหล่านี้อธิบายโดยฟังก์ชันทั่วไป

สูตร Rayleigh ทั่วไป ให้เราพิสูจน์ข้อความเสริมที่สำคัญเกี่ยวกับคุณสมบัติสเปกตรัมของสัญญาณ

ให้สองสัญญาณในกรณีทั่วไปมีค่าเชิงซ้อน ซึ่งกำหนดโดยการแปลงฟูริเยร์แบบผกผัน:

ลองหาผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณเหล่านี้ โดยแสดงหนึ่งในนั้น เช่น ผ่านความหนาแน่นสเปกตรัม:

เห็นได้ชัดว่าอินทิกรัลภายในคือความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณ นั่นเป็นเหตุผล

ความสัมพันธ์ที่ได้คือสูตรเรย์ลีทั่วไป การตีความสูตรนี้ที่จำได้ง่ายมีดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณสองตัว มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วนกับผลคูณสเกลาร์ของความหนาแน่นสเปกตรัม

การวางแนวทั่วไปของแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของสเปกตรัม

เราคิดว่าสัญญาณเป็นฟังก์ชันที่บูรณาการได้อย่างสมบูรณ์ จากนั้นการแปลงฟูริเยร์จะเป็นฟังก์ชันความถี่แบบคลาสสิกตามปกติ สัญญาณไม่ตรงตามเงื่อนไขการรวมสัมบูรณ์และการแปลงฟูริเยร์ไม่มีอยู่ในความหมายดั้งเดิมตามปกติ อย่างไรก็ตาม เราสามารถขยายแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของสเปกตรัมได้โดยสมมติว่าเป็นฟังก์ชันทั่วไปตามความหมายที่กำหนดไว้ใน§ 1.2 ในการทำเช่นนี้ ตามสูตรของ Rayleigh ทั่วไป ก็เพียงพอแล้วที่จะถือว่านั่นคือฟังก์ชันที่ดำเนินการกับฟังก์ชันที่รู้จัก และให้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

ขอแนะนำให้พิจารณาวิธีการคำนวณสเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณคงที่ตามเวลา สัญญาณที่ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันที่ง่ายที่สุดคือค่าคงที่ และ สมมติว่าเป็นสัญญาณที่ผสานรวมได้อย่างแท้จริงตามอำเภอใจด้วยความหนาแน่นของสเปกตรัมที่รู้จัก

เรามีสูตรขยาย (2.43)

แต่อย่างที่เห็นง่ายๆ

ดังนั้น ตามคุณสมบัติการกรองของฟังก์ชันเดลต้า เราสรุปได้ว่าความเท่าเทียมกัน (2.43) เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขที่ว่า

ความหมายทางกายภาพของผลลัพธ์ที่ได้นั้นชัดเจน - สัญญาณที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลามีองค์ประกอบสเปกตรัมที่ความถี่เป็นศูนย์เท่านั้น

ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

อนุญาต เป็นสัญญาณเอกซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อนที่มีความถี่จริงที่กำหนด สัญญาณนี้ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากฟังก์ชัน s(t) ไม่ได้มีขีดจำกัดใดๆ ที่ การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณนี้ ซึ่งพิจารณาในแง่ทั่วไป จะต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์

ดังนั้นความหนาแน่นสเปกตรัมที่ต้องการ S (co) จึงแสดงออกมาดังนี้:

หมายเหตุต่อไปนี้:

1. ความหนาแน่นเชิงสเปกตรัมของสัญญาณเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนมีค่าเท่ากับศูนย์ทุกที่ ยกเว้นจุดที่มีเดลต้าเอกฐาน

2. สเปกตรัมของสัญญาณนี้ไม่สมมาตรเกี่ยวกับจุดและกระจุกตัวอยู่ในบริเวณความถี่บวกหรือลบ

ความหนาแน่นสเปกตรัมของการสั่นของฮาร์มอนิก ให้ ตามสูตรออยเลอร์

สเปกตรัมของสัญญาณเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนที่พบข้างต้น ตลอดจนคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการแปลงฟูริเยร์ ทำให้เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณโคไซน์ได้ทันที:

ผู้อ่านสามารถตรวจสอบตัวเองได้อย่างง่ายดายว่าสำหรับสัญญาณไซน์, ความสัมพันธ์

ควรสังเกตว่านิพจน์ (2.46) เป็นเลขคู่ และนิพจน์ (2.47) เป็นฟังก์ชันคี่ของความถี่

ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณเป็นระยะโดยพลการ

ก่อนหน้านี้มีการศึกษาสัญญาณเป็นระยะโดยวิธีทฤษฎีอนุกรมฟูเรียร์ ตอนนี้คุณสามารถขยายความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติทางสเปกตรัมโดยการอธิบายสัญญาณเป็นระยะโดยใช้การแปลงฟูริเยร์

สัญญาณเป็นระยะที่กำหนดโดยอนุกรมฟูเรียร์ในรูปแบบที่ซับซ้อน ตามสูตร (2.45) โดยคำนึงถึงคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการแปลงฟูริเยร์ เราจะได้นิพจน์สำหรับความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณดังกล่าวทันที:

กราฟความหนาแน่นสเปกตรัมที่สอดคล้องกันในการกำหนดค่าจะทำซ้ำแผนภาพสเปกตรัมตามปกติของสัญญาณเป็นระยะ กราฟเกิดจากเดลต้าพัลส์ในโดเมนความถี่ ซึ่งอยู่ที่จุดที่มีพิกัด

ความหนาแน่นสเปกตรัมของฟังก์ชันสวิตชิ่ง

ให้เราคำนวณความหนาแน่นสเปกตรัมของฟังก์ชันการรวม ซึ่งเพื่อความง่าย เรากำหนดไว้ที่ทุกจุด ยกเว้นจุด t = 0 [cf ด้วย (1.2)]:

ก่อนอื่น เราทราบว่าฟังก์ชันการเปิดเครื่องได้มาจากการส่งผ่านไปยังขีดจำกัดจากพัลส์วิดีโอแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล:

ดังนั้น เราสามารถลองรับความหนาแน่นสเปกตรัมของฟังก์ชันการรวมโดยการส่งผ่านไปยังขีดจำกัดเป็น - 0 ในสูตรสำหรับความหนาแน่นสเปกตรัมของการสั่นแบบเอกซ์โปเนนเชียล:

การเปลี่ยนโดยตรงไปยังขีดจำกัด ตามที่ใช้ได้ในทุกความถี่ ยกเว้นค่า เมื่อจำเป็นต้องพิจารณาอย่างรอบคอบมากขึ้น

ก่อนอื่น เราแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออกจากความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณเอกซ์โปเนนเชียล:

สามารถตรวจสอบได้ว่า

อันที่จริง ค่าจำกัดของเศษส่วนนี้จะหายไปสำหรับค่าใดๆ และในเวลาเดียวกัน

โดยไม่คำนึงถึงค่าของ a ซึ่งเป็นไปตามการยืนยัน

ดังนั้นเราจึงได้รับความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟังก์ชันการรวมและความหนาแน่นของสเปกตรัม:

เอกฐานเดลต้า at บ่งชี้ว่าฟังก์ชันเปิดสวิตช์มีองค์ประกอบคงที่เท่ากับ 1/2

ความหนาแน่นสเปกตรัมของคลื่นวิทยุ

อย่างที่ทราบกันดีว่า เรดิโอพัลส์นั้นเป็นผลิตภัณฑ์ของวิดีโอพัลส์บางตัว ซึ่งทำหน้าที่เป็นซองจดหมาย และการสั่นของฮาร์มอนิกที่ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้: .

ในการหาความหนาแน่นสเปกตรัมของเรดิโอพัลส์ เราถือว่าฟังก์ชันที่รู้จักคือสเปกตรัมของเอนเวลล์ของมัน สเปกตรัมของสัญญาณโคไซน์ที่มีเฟสเริ่มต้นตามอำเภอใจนั้นได้มาจากการกำหนดทั่วไปเบื้องต้นของสูตร (2.46):

สเปกตรัมของพัลส์วิทยุเป็นการบิดเบี้ยว

โดยคำนึงถึงคุณสมบัติการกรองของฟังก์ชันเดลต้า เราได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญ:

ข้าว. 2.8 แสดงการแปลงสเปกตรัมของวิดีโอพัลส์เมื่อคูณด้วยสัญญาณฮาร์มอนิกความถี่สูง

ข้าว. 2.8. การพึ่งพาความถี่ของโมดูลัสของความหนาแน่นสเปกตรัม: a - วิดีโอพัลส์; b - ชีพจรวิทยุ

จะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนจากวิดีโอพัลส์เป็นเรดิโอพัลส์ในแนวทางสเปกตรัมหมายถึงการถ่ายโอนสเปกตรัมวิดีโอพัลส์ไปยังย่านความถี่สูง - แทนที่จะเป็นความหนาแน่นสเปกตรัมเดียวสูงสุดที่ , สังเกตสูงสุดสองค่าที่ ที่ , ค่าสัมบูรณ์ของค่าสูงสุดจะลดลงครึ่งหนึ่ง

โปรดทราบว่ากราฟในรูป 2.8 สอดคล้องกับสถานการณ์ที่ความถี่เกินความกว้างที่มีประสิทธิภาพของสเปกตรัมพัลส์วิดีโออย่างมีนัยสำคัญ (นี่คือกรณีที่มักจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติ) ในกรณีนี้จะไม่มีการ "เหลื่อมกัน" ของสเปกตรัมที่สังเกตได้ซึ่งสอดคล้องกับความถี่บวกและลบ อย่างไรก็ตาม อาจกลายเป็นว่าแบนด์วิธของสเปกตรัมพัลส์วิดีโอมีขนาดใหญ่มาก (สำหรับพัลส์สั้น) ซึ่งค่าความถี่ที่เลือกไม่ได้ขจัดเอฟเฟกต์ "การทับซ้อนกัน" เป็นผลให้โปรไฟล์ของสเปกตรัมของพัลส์วิดีโอและพัลส์วิทยุหยุดเหมือนกัน

ตัวอย่าง 2.3 ความหนาแน่นสเปกตรัมของพัลส์วิทยุสี่เหลี่ยม

เพื่อความง่าย เราตั้งค่าเฟสเริ่มต้นเป็นศูนย์และเขียนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของคลื่นวิทยุในแบบฟอร์ม

รู้สเปกตรัมของพัลส์วิดีโอที่สอดคล้องกัน [ดู สูตร (2.20)] ตาม (2.50) เราพบสเปกตรัมที่ต้องการ:

บนมะเดื่อ 2.9 แสดงผลการคำนวณความหนาแน่นสเปกตรัมโดยใช้สูตร (2.51) สำหรับสองกรณีลักษณะ

ในกรณีแรก (รูปที่ 2.9, a) อิมพัลส์ซองจดหมายมีการเติมความถี่สูง 10 ช่วง ความถี่ที่นี่สูงพอที่จะหลีกเลี่ยงการ "ทับซ้อนกัน" ในกรณีที่สอง (รูปที่ 2.9, b) คลื่นวิทยุประกอบด้วยช่วงเวลาการบรรจุเพียง 1 ช่วง การซ้อนทับของส่วนประกอบที่สอดคล้องกับพื้นที่ของความถี่บวกและลบทำให้เกิดความไม่สมมาตรของโครงสร้างกลีบของกราฟ ความหนาแน่นสเปกตรัมของพัลส์วิทยุ

ข้าว. 2.9. กราฟของความหนาแน่นสเปกตรัมของคลื่นวิทยุที่มีซองสี่เหลี่ยม: a - ที่ ; ข - ที่

ความต่อเนื่องเป็นระยะของแรงกระตุ้น แนวคิดของความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณ การแปลงฟูริเยร์ผกผัน เงื่อนไขการมีอยู่ของความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณ ความสัมพันธ์ระหว่างระยะเวลาพัลส์กับความกว้างของสเปกตรัม สูตรเรย์ลีห์ทั่วไป ความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมกันของสัญญาณ สเปกตรัมพลังงาน การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ของสัญญาณ การเปรียบเทียบสัญญาณที่เปลี่ยนไปตามเวลา

วัตถุประสงค์ของการบรรยาย:

รับลักษณะทางสเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่ใช่คาบ (แรงกระตุ้น) โดยการสรุปอนุกรมฟูเรียร์ กำหนดข้อกำหนดสำหรับแบนด์วิธของอุปกรณ์วิทยุ แสดงสัญญาณในแง่ของความหนาแน่นสเปกตรัม ใช้สเปกตรัมพลังงานเพื่อให้ได้ค่าประมาณทางวิศวกรรมต่างๆ ทำความเข้าใจว่าความต้องการสัญญาณมีคุณสมบัติที่เลือกเป็นพิเศษอย่างไร

ให้ s (t) เป็นสัญญาณพัลส์เดี่ยวที่มีระยะเวลาจำกัด เสริมจิตใจด้วยสัญญาณเดียวกันเป็นระยะ ๆ หลังจากผ่านช่วงเวลาหนึ่ง T เราได้รับลำดับคาบ S ต่อ (เสื้อ),ซึ่งสามารถแสดงเป็นอนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อนได้

(12.1) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ . (12.2)

หากต้องการกลับไปเป็นสัญญาณพัลส์เดียว ให้เราตั้งค่าระยะเวลาการทำซ้ำเป็นอนันต์ ต.ในกรณีนี้ เห็นได้ชัดว่า:

ก) ความถี่ของฮาร์มอนิกที่อยู่ใกล้เคียง nω 1 และ (n+ l)ω 1 จะปิดโดยพลการ ดังนั้นในสูตร (12.1) และ (12.2) ตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง nω 1 สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวแปรต่อเนื่อง ω - ความถี่ปัจจุบัน

b) ค่าสัมประสิทธิ์แอมพลิจูด C n จะเล็กลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากการมี T ในตัวส่วนของสูตร (12.2)

งานของเราตอนนี้คือหารูปแบบจำกัดของสูตร (12.1) เป็น T→∞

ให้เราพิจารณาช่วงความถี่เล็ก ๆ Δω ซึ่งสร้างพื้นที่ใกล้เคียงของค่าความถี่ที่เลือกไว้ ω 0 . ภายในช่วงเวลานี้จะมีส่วนประกอบสเปกตรัมแต่ละคู่ N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) ซึ่งความถี่จะแตกต่างกันเพียงเล็กน้อยตามที่ต้องการ ดังนั้นจึงสามารถเพิ่มส่วนประกอบได้เป็น ราวกับว่าทั้งหมดมีความถี่เท่ากันและมีแอมพลิจูดที่ซับซ้อนเหมือนกัน

เป็นผลให้เราพบแอมพลิจูดที่ซับซ้อนของสัญญาณฮาร์มอนิกที่เทียบเท่า ซึ่งสะท้อนถึงการมีส่วนร่วมของส่วนประกอบสเปกตรัมทั้งหมดที่อยู่ในช่วง Δω

. (12.3)

การทำงาน (12.4)

ถูกเรียก ความหนาแน่นของสเปกตรัมสัญญาณ s (t) ใช้สูตร (12.4) การแปลงฟูเรียร์สัญญาณนี้

มาแก้ปัญหาผกผันของทฤษฎีสเปกตรัมของสัญญาณกัน: ค้นหาสัญญาณด้วยความหนาแน่นของสเปกตรัมซึ่งเราจะพิจารณา

เนื่องจากในขีดจำกัด ช่วงความถี่ระหว่างฮาร์มอนิกที่อยู่ติดกันจะลดลงอย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นควรแทนที่ผลรวมสุดท้ายด้วยอินทิกรัล

. (12.5)

สูตรสำคัญนี้เรียกว่า การแปลงฟูเรียร์ผกผันสำหรับสัญญาณ s(t)

ให้เรากำหนดผลลัพธ์พื้นฐาน: สัญญาณ เซนต์)และความหนาแน่นสเปกตรัม S(ω) เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่เกี่ยวข้องโดยการแปลงฟูริเยร์โดยตรงและผกผัน

, (12.6)

.

การแสดงสเปกตรัมของสัญญาณเปิดเส้นทางตรงไปสู่การวิเคราะห์การผ่านของสัญญาณผ่านวงจร อุปกรณ์ และระบบวิทยุประเภทต่างๆ

สัญญาณ s(t) สามารถเชื่อมโยงกับความหนาแน่นสเปกตรัม s(ω) ถ้าสัญญาณนี้ บูรณาการได้อย่างสมบูรณ์นั่นคือมีอินทิกรัล

เงื่อนไขดังกล่าวทำให้ระดับของสัญญาณที่ยอมรับได้แคบลงอย่างมาก ดังนั้น ในความหมายคลาสสิกที่ระบุ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพูดถึงความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณฮาร์มอนิก และ(t) = U m cosω 0 t , มีอยู่ตลอดแกนเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ประเด็นสำคัญ: ยิ่งระยะเวลาของพัลส์สั้นลงเท่าใด สเปกตรัมก็จะยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น

ความกว้างของสเปกตรัมเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นช่วงความถี่ที่โมดูลัสของความหนาแน่นของสเปกตรัมไม่น้อยกว่าระดับที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น แตกต่างจาก |S| สูงสุด สูงถึง 0.1|S| สูงสุด

ผลคูณของความกว้างของสเปกตรัมพัลส์และระยะเวลาเป็นจำนวนคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับรูปร่างของพัลส์เท่านั้น และตามกฎแล้วจะมีลำดับของเอกภาพ: ยิ่งระยะเวลาพัลส์สั้นลงเท่าใด เครื่องขยายเสียงควรเป็น เสียงอิมพัลส์สั้นมีสเปกตรัมกว้าง ดังนั้นจึงสามารถลดเงื่อนไขการรับสัญญาณวิทยุในแถบความถี่ขนาดใหญ่ได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณจำนวนมากที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิศวกรรมวิทยุไม่ตรงตามเงื่อนไขการรวมสัมบูรณ์ ดังนั้นวิธีการแปลงฟูริเยร์ในรูปแบบปกติจึงใช้ไม่ได้กับสิ่งเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณดังกล่าวได้ หากเราคิดว่าความหนาแน่นเหล่านี้อธิบายโดยฟังก์ชันทั่วไป

ให้สองสัญญาณ คุณ (เสื้อ)และ โวลต์ (เสื้อ),โดยทั่วไปมีค่าเชิงซ้อนที่กำหนดโดยการแปลงฟูริเยร์แบบผกผัน

ลองหาผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณเหล่านี้โดยแสดงหนึ่งในนั้น เช่น โวลต์ (เสื้อ),ผ่านความหนาแน่นของสเปกตรัม

ความสัมพันธ์ที่ได้คือสูตรเรย์ลีทั่วไป การตีความสูตรนี้ที่จำได้ง่ายมีดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของสัญญาณสองตัว มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วนกับผลคูณสเกลาร์ของความหนาแน่นสเปกตรัม หากสัญญาณตรงกัน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเท่ากับพลังงาน

. (12.7)

โทรเลย สเปกตรัมพลังงานซึ่งกันและกันสัญญาณจริง ยู(ท) และ โวลต์(ท) ฟังก์ชัน

, (12.8)

ดังนั้น

. (4.9)

ง่ายที่จะเห็นว่า Re W ยูวี(ω)-แม้และ Im W ยูวี(ω) -ฟังก์ชันความถี่คี่ อินทิกรัล (12.9) มีส่วนกับส่วนจริงเท่านั้น ดังนั้น

. (12.10)

สูตรสุดท้ายทำให้สามารถวิเคราะห์ "โครงสร้างที่ดี" ของการเชื่อมต่อระหว่างกันของสัญญาณได้

ยิ่งไปกว่านั้น สูตร Rayleigh ทั่วไปที่แสดงในรูปแบบ (12.10) บ่งชี้ถึงวิธีพื้นฐานในการลดระดับการเชื่อมต่อระหว่างสัญญาณสองสัญญาณ เพื่อให้ได้มุมฉากในขีดจำกัด ในการทำเช่นนี้ สัญญาณใดสัญญาณหนึ่งต้องได้รับการประมวลผลในระบบกายภาพแบบพิเศษที่เรียกว่า ตัวกรองความถี่ตัวกรองนี้ไม่จำเป็นต้องส่งผ่านส่วนประกอบสเปกตรัมที่อยู่ภายในช่วงความถี่ไปยังเอาต์พุต ซึ่งส่วนที่แท้จริงของสเปกตรัมพลังงานร่วมกันมีขนาดใหญ่ การพึ่งพาความถี่ของค่าสัมประสิทธิ์การส่งสัญญาณดังกล่าว ตัวกรองการปรับมุมฉากจะมีค่าต่ำสุดที่เด่นชัดในช่วงความถี่ที่ระบุ

การแสดงสเปกตรัมของพลังงานสัญญาณสามารถหาได้ง่ายจากสูตร Rayleigh ทั่วไปหากมีสัญญาณในนั้น คุณ (เสื้อ)และ โวลต์ (เสื้อ)พิจารณาเช่นเดียวกัน สูตร (12.8) ซึ่งแสดงความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมจะอยู่ในรูปแบบนี้

ค่า W u (ω) เรียกว่า ความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมสัญญาณ คุณ(เสื้อ),หรือในระยะสั้นของเขา สเปกตรัมพลังงานสูตร (3.2) จะเขียนเป็น

. (12.12)

ความสัมพันธ์ (4.12) เรียกว่า สูตรเรย์ลี่(ในความหมายแคบ) ซึ่งระบุสิ่งต่อไปนี้: พลังงานของสัญญาณใดๆ เป็นผลมาจากผลรวมของการมีส่วนร่วมจากช่วงต่างๆ ของแกนความถี่

เมื่อศึกษาสัญญาณโดยใช้สเปกตรัมพลังงาน เราจะสูญเสียข้อมูลที่อยู่ในเฟสสเปกตรัมของสัญญาณอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ เนื่องจากตามสูตร (4.11) สเปกตรัมพลังงานคือกำลังสองของโมดูลัสของความหนาแน่นสเปกตรัมและไม่ขึ้นอยู่กับ เฟสของมัน

ให้เราหันไปใช้แนวคิดที่เรียบง่ายเกี่ยวกับการทำงานของเรดาร์พัลส์ที่ออกแบบมาเพื่อวัดระยะไปยังเป้าหมาย ที่นี่ ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุของการวัดจะฝังอยู่ในค่า τ ซึ่งเป็นค่าหน่วงเวลาระหว่างโพรบและสัญญาณที่ได้รับ แบบฟอร์มการซักถาม และ(ท) และได้รับการยอมรับ และ(t-τ) สัญญาณจะเหมือนกันสำหรับการหน่วงเวลาใดๆ บล็อกไดอะแกรมของอุปกรณ์ประมวลผลสัญญาณเรดาร์ที่ออกแบบมาสำหรับช่วงอาจมีลักษณะเหมือนที่แสดงในรูปที่ 12.1

รูปที่ 12.1 - อุปกรณ์สำหรับการวัดเวลาหน่วงของสัญญาณ