วิธีการแก้ระบบสมการ การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ระบบสมการ วิธีการแทนที่ วิธีการเพิ่ม วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็น ข้อเสนอแนะ ข้อเสนอแนะของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและการจำลองในร้านค้าออนไลน์ "อินทิกรัล" สำหรับเกรด 9
เครื่องจำลองสำหรับตำราเรียน Atanasyan L.S. เครื่องมือจำลองสำหรับตำราเรียน Pogorelova A.V.

วิธีแก้ปัญหาระบบอสมการ

พวกเราได้ศึกษาระบบสมการและเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาโดยใช้กราฟ ทีนี้มาดูกันว่ามีวิธีแก้ระบบอะไรอีกบ้าง?
วิธีการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดไม่แตกต่างจากที่เราเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตอนนี้เราต้องทำการปรับเปลี่ยนตามสมการที่เราเรียนรู้ที่จะแก้
สาระสำคัญของวิธีการทั้งหมดที่อธิบายไว้ใน บทเรียนนี้คือการทดแทนระบบโดยระบบที่เทียบเท่ากันมากขึ้น มุมมองที่เรียบง่ายและแนวทางแก้ไข พวกจำสิ่งที่เทียบเท่าระบบ

วิธีการทดแทน

วิธีแรกในการแก้ระบบสมการที่มีสองตัวแปรเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับเรา - นี่คือวิธีการแทนที่ เราใช้วิธีนี้ในการแก้สมการเชิงเส้น ทีนี้มาดูวิธีการแก้สมการในกรณีทั่วไป?

เราควรดำเนินการอย่างไรเมื่อต้องตัดสินใจ?
1. แสดงหนึ่งในตัวแปรในแง่ของตัวแปรอื่น ๆ ตัวแปรทั่วไปที่ใช้ในสมการคือ x และ y ในสมการหนึ่ง เราแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง เคล็ดลับ: ลองดูสมการทั้งสองให้ดีก่อนเริ่มแก้ และเลือกอันที่จะแสดงตัวแปรได้ง่ายกว่า
2. แทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สอง แทนตัวแปรที่แสดง
3. แก้สมการที่เราได้
4. แทนคำตอบที่ได้ลงในสมการที่สอง หากมีวิธีแก้ไขปัญหาหลายอย่าง จำเป็นต้องเปลี่ยนตามลำดับเพื่อไม่ให้วิธีแก้ปัญหาหายไป
5. ดังนั้น คุณจะได้คู่ของตัวเลข $(x;y)$ ซึ่งจะต้องเขียนเป็นคำตอบ

ตัวอย่าง.
แก้ปัญหาระบบด้วยสอง วิธีการตัวแปรการแทนที่: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$

วิธีการแก้.
มาดูสมการของเรากัน เห็นได้ชัดว่า การแสดง y ในรูปของ x ในสมการแรกนั้นง่ายกว่ามาก
$\begin(กรณี)y=5-x, \\xy=6\end(กรณี)$
แทนนิพจน์แรกลงในสมการที่สอง $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$
มาแก้สมการที่สองแยกกัน:
$x(5-x)=6$
$-x^2+5x-6=0$
$x^2-5x+6=0$
$(x-2)(x-3)=0$
เราได้คำตอบของสมการที่สอง $x_1=2$ และ $x_2=3$
แทนที่ลงในสมการที่สองอย่างต่อเนื่อง
ถ้า $x=2$ แล้ว $y=3$ ถ้า $x=3$ แล้ว $y=2$
คำตอบจะเป็นตัวเลขสองคู่
คำตอบ: $(2;3)$ และ $(3;2)$

วิธีการบวกพีชคณิต

เรายังศึกษาวิธีนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
เป็นที่รู้จักกันว่า สมการตรรกยะในสองตัวแปร เราสามารถคูณด้วยจำนวนใดๆ ก็ได้ อย่าลืมคูณทั้งสองข้างของสมการ เราคูณหนึ่งในสมการด้วยจำนวนที่แน่นอน เพื่อที่ว่าเมื่อสมการผลลัพธ์ถูกเพิ่มเข้าไปในสมการที่สองของระบบ ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะถูกทำลาย จากนั้นแก้สมการด้วยความเคารพตัวแปรที่เหลือ
วิธีนี้ยังคงใช้งานได้แม้ว่าจะไม่สามารถทำลายตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งได้เสมอไป แต่ช่วยให้รูปแบบของสมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัวอย่าง.
แก้ปัญหาระบบ: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$

วิธีการแก้.
คูณสมการแรกด้วย 2
$\begin(กรณี)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(กรณี)$
ลบที่สองจากสมการแรก
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$
อย่างที่คุณเห็น รูปแบบของสมการที่ได้นั้นง่ายกว่าสมการดั้งเดิมมาก ตอนนี้เราสามารถใช้วิธีการทดแทน
$\begin(กรณี)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(กรณี)$
แสดงค่า x ถึง y ในสมการผลลัพธ์
$\begin(กรณี)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(กรณี)$
ได้ $y=-1$ และ $y=-3$
แทนค่าเหล่านี้ตามลำดับลงในสมการแรก เราได้ตัวเลขสองคู่: $(1;-1)$ และ $(-1;-3)$
คำตอบ: $(1;-1)$ และ $(-1;-3)$

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

เราก็ศึกษาวิธีนี้เหมือนกัน แต่ลองดูใหม่

ตัวอย่าง.
แก้ปัญหาระบบ: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$

วิธีการแก้.
ให้เราแนะนำการแทนที่ $t=\frac(x)(y)$
ลองเขียนสมการแรกใหม่ด้วยตัวแปรใหม่: $t+\frac(2)(t)=3$
มาแก้สมการผลลัพธ์กันเถอะ:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
ได้ $t=2$ หรือ $t=1$ ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับ $t=\frac(x)(y)$
ได้: $x=2y$ และ $x=y$

สำหรับแต่ละนิพจน์ ระบบดั้งเดิมจะต้องแก้ไขแยกกัน:
$\begin(กรณี)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2y, \\7y^2=1\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=2y, \\y^2=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=y, \\y=±1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=±1, \\y=±1\end(กรณี)$
เราได้รับคำตอบสี่คู่
คำตอบ: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

ตัวอย่าง.
แก้ปัญหาระบบ: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(กรณี)$

วิธีการแก้.
เราแนะนำการแทนที่: $z=\frac(2)(x-3y)$ และ $t=\frac(3)(2x+y)$
ลองเขียนสมการเดิมใหม่ด้วยตัวแปรใหม่:
$\begin(กรณี)z+t=2, \\4z-3t=1\end(กรณี)$
ลองใช้วิธี นอกจากนี้พีชคณิต:
$\begin(กรณี)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)7z=7, \\4z-3t=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)z=1, \\-3t=1-4\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)z=1, \\t=1\end(กรณี)$
มาแนะนำการแทนที่แบบย้อนกลับ:
$\begin(กรณี)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x-3y=2, \\2x+y=3\end(กรณี)$
มาใช้วิธีการทดแทน:
$\begin(กรณี)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2+3y, \\7y=-1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(กรณี)$
คำตอบ: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$

โจทย์ปัญหาระบบสมการหาผลเฉลยอิสระ

แก้ระบบ:
1. $\begin(กรณี)2x-2y=6, \\xy =-2\end(กรณี)$
2. $\begin(กรณี)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(กรณี)$
3. $\begin(กรณี)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(กรณี)$
4. $\begin(กรณี)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ สิ้นสุด(กรณี)$.
5. $\begin(กรณี)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(กรณี)$

ระบบ สมการเชิงเส้นด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้จัก - นี่คือสมการเชิงเส้นสองสมการขึ้นไปซึ่งจำเป็นต้องค้นหาคำตอบทั่วไปทั้งหมด เราจะพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีนิรนามสองตัว แบบฟอร์มทั่วไประบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีนิรนามสองตัวแสดงในรูปด้านล่าง:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

ที่นี่ x และ y เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก, a1, a2, b1, b2, c1, c2 คือบางส่วน จำนวนจริง. คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีนิรนามสองตัวคือคู่ของตัวเลข (x, y) ซึ่งถ้าตัวเลขเหล่านี้ถูกแทนเข้าไปในสมการของระบบ สมการแต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง มีหลายวิธีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น พิจารณาวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น นั่นคือวิธีการบวก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ด้วยวิธีบวก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีบวกที่ไม่รู้จักสองวิธี

1. ถ้าจำเป็น โดย การแปลงที่เทียบเท่าปรับค่าสัมประสิทธิ์ให้เท่ากันสำหรับตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่งในสมการทั้งสอง

2. การบวกหรือลบสมการที่ได้จะได้สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่า

3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยสมการที่ไม่รู้จักและค้นหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง

4. แทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการใด ๆ ในสองสมการของระบบแล้วแก้สมการนี้ จะได้ตัวแปรที่สอง

5. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยวิธีบวก

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราแก้โดยวิธีบวก ระบบต่อไปสมการเชิงเส้นที่มีนิรนามสองตัว:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

เนื่องจากไม่มีตัวแปรใดที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน เราจึงทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y เท่ากัน ในการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วยสาม และสมการที่สองคูณสอง

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

รับ ระบบสมการต่อไปนี้:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

ตอนนี้ให้ลบตัวแรกออกจากสมการที่สอง พวกเรานำเสนอ เช่นข้อกำหนดและแก้สมการเชิงเส้นที่ได้

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

เราแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแรกจากระบบเดิมของเราแล้วแก้สมการที่ได้

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*ย=28; ย=14;

ผลลัพธ์คือคู่ของตัวเลข x=6 และ y=14 เรากำลังตรวจสอบ เราทำการทดแทน

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

อย่างที่คุณเห็น เรามีการเท่ากันจริงสองตัว เราจึงพบคำตอบที่ถูกต้อง

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลเป็นต้น

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความสำคัญถึงคุณ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาลในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำร้องขอของสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์เพื่อผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
• ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยแก่พนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ระบบสมการถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายใน อุตสาหกรรมเศรษฐกิจที่ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ กระบวนการต่างๆ. เช่นในการแก้ปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิตเส้นทางโลจิสติกส์ ( งานขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์.

ระบบสมการไม่ได้ใช้เฉพาะในสาขาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยา เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นเป็นคำที่ใช้แทนสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับของตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันจริงหรือพิสูจน์ว่าลำดับนั้นไม่มีอยู่จริง

สมการเชิงเส้น

สมการในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่า เชิงเส้น การกำหนด x, y คือค่าที่ไม่รู้จัก ซึ่งต้องหาค่า b, a คือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยการพล็อตกราฟจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งจุดทั้งหมดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

วิธีที่ง่ายที่สุดคือตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรของฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - หมายถึงการค้นหาค่าดังกล่าว (x, y) ซึ่งระบบกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือระบุว่าไม่มีค่าที่เหมาะสมของ x และ y

คู่ของค่า (x, y) ที่เขียนเป็นพิกัดจุดเรียกว่าคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีโซลูชันเดียวหรือไม่มีโซลูชันใดเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นเป็นระบบ ส่วนขวาซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ หากส่วนที่ถูกต้องหลังเครื่องหมาย "เท่ากับ" มีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีมากกว่าสองตัวแปร ดังนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสามตัวขึ้นไป

ต้องเผชิญกับระบบ เด็กนักเรียนคิดว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร แต่อาจมีจำนวนมากโดยพลการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีวิเคราะห์ทั่วไปในการแก้ปัญหา ระบบที่คล้ายกันวิธีการทั้งหมดขึ้นอยู่กับ การแก้ปัญหาเชิงตัวเลข. ที่ หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ เช่น วิธีการเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การแทนที่ รวมทั้งกราฟิกและ วิธีเมทริกซ์การแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์

งานหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบและค้นหาอย่างถูกต้อง อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบของกฎและการดำเนินการสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นชั้น 7 ของโปรแกรม โรงเรียนมัธยมศึกษาค่อนข้างง่ายและอธิบายอย่างละเอียด ในตำราคณิตศาสตร์ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ปัญหาตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธี Gauss และ Cramer ได้รับการศึกษาในรายละเอียดเพิ่มเติมในหลักสูตรแรกของสถาบันการศึกษาระดับสูง

การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีทดแทน

การดำเนินการของวิธีการแทนที่มีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งถึงตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบตัวแปรเดียว การกระทำซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนที่ไม่รู้จักในระบบ

ลองยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นชั้น 7 โดยวิธีการแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y นิพจน์ผลลัพธ์ที่แทนที่ลงในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . วิธีการแก้ ตัวอย่างนี้ไม่ทำให้เกิดปัญหาและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

เป็นไปไม่ได้เสมอที่จะแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการแทนที่ สมการอาจซับซ้อนและการแสดงออกของตัวแปรในแง่ของตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวที่สองจะยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เมื่อมีสิ่งที่ไม่รู้จักมากกว่า 3 รายการในระบบ โซลูชันการแทนที่ก็จะใช้ไม่ได้เช่นกัน

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกเชิงพีชคณิต

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยวิธีการบวก การบวกทีละคำ และการคูณสมการด้วย ตัวเลขต่างๆ. เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการที่มีตัวแปรเดียว

สำหรับการใช้งาน วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการบวกที่มีจำนวนตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป การบวกพีชคณิตจะมีประโยชน์เมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและเลขทศนิยม

อัลกอริทึมการดำเนินการของโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลข. ผลที่ตามมา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หนึ่งในค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจะต้องเท่ากับ 1
2. เพิ่มนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ทีละคำและค้นหาหนึ่งในนิพจน์ที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีแก้ไขโดยแนะนำตัวแปรใหม่

สามารถนำตัวแปรใหม่มาใช้ได้หากระบบต้องการหาคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ จำนวนที่ไม่รู้จักก็ไม่ควรเกินสองสมการเช่นกัน

วิธีนี้ใช้เพื่อลดความซับซ้อนของสมการโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่จะแก้ไขตามค่าที่ไม่รู้จักที่ป้อน และค่าผลลัพธ์จะถูกใช้เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มตัวแปรใหม่ t สามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เหลือค่ามาตรฐานได้ สี่เหลี่ยมจตุรัส. คุณสามารถแก้พหุนามได้โดยการหาตัวจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของการเลือกปฏิบัติโดย สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D เป็นตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c เป็นตัวคูณของพหุนาม ที่ ตัวอย่างที่กำหนด a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 ถ้าเลือกปฏิบัติ เหนือศูนย์จึงมีคำตอบสองวิธี: t = -b±√D / 2*a ถ้าค่าการจำแนกน้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ามีคำตอบเดียว: x= -b / 2*a

วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบผลลัพธ์นั้นพบได้โดยวิธีการเพิ่มเติม

วิธีการที่มองเห็นได้สำหรับการแก้ปัญหาระบบ

เหมาะสำหรับระบบที่มี 3 สมการ วิธีการคือการต่อยอด แกนพิกัดกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบ พิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งและจะเป็น วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบ

วิธีการกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในแบบที่มองเห็นได้

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างมีการสร้างจุดสองจุดสำหรับแต่ละบรรทัดค่าของตัวแปร x ถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ตามค่าของ x พบค่าของ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้น

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดของเส้นคือทางออกของระบบ

ต้องการค้นหาตัวอย่างต่อไปนี้ โซลูชันกราฟิกระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาว

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 มีความคล้ายคลึงกัน แต่เมื่อสร้างขึ้น จะเห็นได้ชัดว่าโซลูชันของพวกเขาแตกต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ แต่จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอ

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้สำหรับ ตัวย่อระบบสมการเชิงเส้น ตารางเรียกว่าเมทริกซ์ ชนิดพิเศษเต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน เมทริกซ์ - เวกเตอร์เป็นเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีค่าอนันต์ จำนวนที่เป็นไปได้เส้น เมทริกซ์ที่มีหน่วยตามแนวเส้นทแยงมุมและองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่น ๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ดังกล่าวเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมกลายเป็นหนึ่งหน่วยเมทริกซ์ดังกล่าวจะมีอยู่เฉพาะสำหรับสแควร์ดั้งเดิมเท่านั้น

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

เกี่ยวกับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และสมาชิกอิสระของสมการจะถูกเขียนเป็นตัวเลขของเมทริกซ์ หนึ่งสมการคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์เรียกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในแถวไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นหากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใด ๆ จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์ของเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดจะถูกคูณด้วยตัวเลขอย่างต่อเนื่อง

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 - เมทริกซ์ผกผัน, และ |K| - ตัวกำหนดเมทริกซ์ |K| ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจึงมีทางแก้ไข

ดีเทอร์มีแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์แบบสองคูณสอง จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงมุมเท่านั้น สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" จะมีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำองค์ประกอบหนึ่งรายการจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้หมายเลขคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำกันในผลคูณ

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาของเมทริกซ์ทำให้สามารถลดสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบด้วย ปริมาณมากตัวแปรและสมการ

ในตัวอย่าง นาโนเมตรคือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์

ที่ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นวิธี Gauss ได้รับการศึกษาร่วมกับวิธี Cramer และกระบวนการในการหาทางออกของระบบเรียกว่าวิธีการแก้ปัญหา Gauss-Cramer วิธีการเหล่านี้ใช้ในการค้นหา ตัวแปรของระบบด้วยสมการเชิงเส้นมากมาย

วิธีเกาส์เซียนนั้นคล้ายกับการแทนที่และการบวกเชิงพีชคณิตมาก แต่เป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน สารละลายเกาส์เซียนใช้สำหรับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีการคือการนำระบบไปสู่รูปแบบของสี่เหลี่ยมคางหมูคว่ำ ทาง การแปลงเชิงพีชคณิตและการแทนค่าคือค่าของตัวแปรหนึ่งในสมการของระบบ สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก และ 3 และ 4 - โดยมีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายแล้ว วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการแทนที่ตัวแปรที่รู้จักตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาแบบเกาส์ได้อธิบายไว้ดังนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สองสมการ 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 คำตอบของสมการใด ๆ จะช่วยให้คุณค้นหาหนึ่งในตัวแปร x n

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในข้อความ ระบุว่า ถ้าหนึ่งในสมการของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่า ระบบที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนที่จะเข้าใจ มัธยมแต่เป็นวิธีหนึ่งที่น่าสนใจที่สุดในการพัฒนาความเฉลียวฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรม การศึกษาเชิงลึกในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึกการคำนวณ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์สมการและเทอมอิสระเขียนในรูปของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์จะสอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันแสดงถึงจำนวนของสมการในระบบ

ขั้นแรกให้เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ จากนั้นดำเนินการทั้งหมดด้วยแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นต่อไปจนกว่าจะได้ผลลัพธ์

เป็นผลให้ควรได้รับเมทริกซ์ซึ่งหนึ่งในเส้นทแยงมุมคือ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบเดียว เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขของทั้งสองด้านของสมการ

สัญลักษณ์นี้มีความยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิด้วยการแสดงรายการที่ไม่รู้จักจำนวนมาก

แอปพลิเคชั่นฟรีสำหรับวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ จะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์จำนวนหนึ่ง ใช้ไม่ได้ทุกวิธี วิธีการค้นหาวิธีแก้ปัญหาบางวิธีเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นมีอยู่เพื่อจุดประสงค์ในการเรียนรู้

ด้วยวิดีโอนี้ ฉันเริ่มชุดบทเรียนเกี่ยวกับระบบสมการ วันนี้เราจะพูดถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการบวก- เป็นหนึ่งในที่สุด วิธีง่ายๆแต่ยังมีประสิทธิภาพมากที่สุดอีกด้วย

วิธีการบวกประกอบด้วยสามขั้นตอนง่ายๆ:

1. ดูที่ระบบและเลือกตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน (หรือตรงกันข้าม) ในแต่ละสมการ
2. วิ่ง การลบเชิงพีชคณิต(สำหรับ เลขตรงข้าม- นอกจากนี้) ของสมการจากกันหลังจากนั้นจึงนำเงื่อนไขที่เหมือนกัน
3. แก้สมการใหม่ที่ได้รับหลังจากขั้นตอนที่สอง

หากทำทุกอย่างถูกต้องเราจะได้สมการเดียวที่ผลลัพธ์ ด้วยตัวแปรเดียว- แก้ได้ไม่ยาก จากนั้นเหลือเพียงการแทนที่รูทที่พบในระบบเดิมและรับคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติมันไม่ง่ายอย่างนั้น มีเหตุผลหลายประการนี้:

• การแก้สมการโดยการบวกแสดงว่าทุกแถวต้องมีตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน/ตรงข้าม จะทำอย่างไรหากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้
• ไม่เสมอไป หลังจากบวก/ลบสมการด้วยวิธีนี้แล้ว เราจะได้โครงสร้างที่สวยงามซึ่งแก้ได้ง่ายๆ เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ

เพื่อให้ได้คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ และในขณะเดียวกันเพื่อจัดการกับรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมเล็กน้อยที่นักเรียนหลายคน "พลาด" โปรดดูวิดีโอการสอนของฉัน:

ในบทเรียนนี้ เราจะเริ่มชุดการบรรยายเกี่ยวกับระบบสมการ และเราจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุดนั่นคือสมการที่มีสองสมการและสองตัวแปร แต่ละอันจะเป็นเส้นตรง

ระบบเป็นเนื้อหาชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 แต่บทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายที่ต้องการทบทวนความรู้ในหัวข้อนี้

โดยทั่วไป มีสองวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว:

1. วิธีการเพิ่มเติม
2. วิธีการแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของตัวแปรอื่น

วันนี้เราจะจัดการกับวิธีแรก - เราจะใช้วิธีการลบและการบวก แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องเข้าใจข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เมื่อคุณมีสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไป คุณสามารถนำสองสมการใดก็ได้มาบวกกัน พวกมันถูกเพิ่มทีละคำเช่น "Xs" ถูกเพิ่มใน "Xs" และจะได้รับสิ่งที่คล้ายกัน

ผลลัพธ์ของกลไกดังกล่าวจะเป็นสมการใหม่ ซึ่งถ้ามีราก พวกมันก็จะเป็นหนึ่งในรากของสมการดั้งเดิมอย่างแน่นอน ดังนั้น งานของเราคือทำการลบหรือบวกในลักษณะที่ $x$ หรือ $y$ หายไป

วิธีการบรรลุสิ่งนี้และเครื่องมือใดที่จะใช้สำหรับสิ่งนี้ - เราจะพูดถึงเรื่องนี้ทันที

แก้ปัญหาง่าย ๆ ด้วยวิธีการบวก

ดังนั้น เรากำลังเรียนรู้ที่จะใช้วิธีการบวกโดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ง่ายๆ 2 นิพจน์

งาน #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่า $y$ มีค่าสัมประสิทธิ์เป็น $-4$ ในสมการแรก และ $+4$ ในสมการที่สอง พวกมันอยู่ตรงข้ามกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าถ้าเราบวกพวกมันเข้าด้วยกัน ในจำนวนผลลัพธ์ "เกม" จะทำลายล้างซึ่งกันและกัน เราเพิ่มและรับ:

เราแก้ปัญหาการก่อสร้างที่ง่ายที่สุด:

เยี่ยม เราพบ X แล้ว จะทำอย่างไรกับเขาตอนนี้? เราสามารถแทนมันลงในสมการใดก็ได้ ใส่ไว้ในอันแรก:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(2;-3\right)$

งาน #2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

ที่นี่สถานการณ์คล้ายกันอย่างสิ้นเชิงกับ Xs เท่านั้น มารวมกัน:

เราได้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด มาแก้กัน:

ทีนี้มาหา $x$:

คำตอบ: $\left(-3;3\right)$

จุดสำคัญ

ดังนั้นเราจึงเพิ่งแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่ายสองระบบโดยใช้วิธีการบวก ประเด็นสำคัญอีกครั้ง:

1. หากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม ก็จำเป็นต้องเพิ่มตัวแปรทั้งหมดในสมการ ในกรณีนี้ หนึ่งในนั้นจะถูกทำลาย
2. เราแทนที่ตัวแปรที่พบในสมการใดๆ ของระบบเพื่อหาสมการที่สอง
3. บันทึกสุดท้ายของคำตอบสามารถนำเสนอได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น - $x=...,y=...$ หรือในรูปแบบของพิกัดของจุด - $\left(...;... \right)$ ตัวเลือกที่สองจะดีกว่า สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือพิกัดแรกคือ $x$ และพิกัดที่สองคือ $y$
4. กฎการเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดจุดไม่สามารถใช้ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถใช้เมื่อบทบาทของตัวแปรไม่ใช่ $x$ และ $y$ แต่ ตัวอย่างเช่น $a$ และ $b$

ในปัญหาต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเทคนิคการลบเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ไม่ตรงข้ามกัน

การแก้ปัญหาอย่างง่ายโดยใช้วิธีการลบ

งาน #1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่าไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ตรงข้ามกันที่นี่ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงลบสมการที่สองออกจากสมการแรก:

ตอนนี้เราแทนค่าของ $x$ ลงในสมการใดๆ ของระบบ ไปก่อน:

คำตอบ: $\left(2;5\right)$

งาน #2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์เดิม $5$ สำหรับ $x$ ในสมการที่หนึ่งและสองอีกครั้ง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสมมติว่าคุณต้องลบสมการที่สองออกจากสมการแรก:

เราได้คำนวณหนึ่งตัวแปร ทีนี้มาหาอันที่สองกัน เช่น แทนค่าของ $y$ ลงในโครงสร้างอันที่สอง:

คำตอบ: $\left(-3;-2 \right)$

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

แล้วเราเห็นอะไร? โดยพื้นฐานแล้วโครงร่างไม่แตกต่างจากโซลูชันของระบบก่อนหน้า ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราไม่ได้เพิ่มสมการ แต่ลบออก เรากำลังทำการลบเชิงพีชคณิต

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทันทีที่คุณเห็นระบบที่ประกอบด้วยสองสมการที่มีสองสมการ สิ่งแรกที่คุณต้องดูคือค่าสัมประสิทธิ์ หากเหมือนกันทุกที่ สมการจะถูกลบออก และถ้าสมการตรงข้ามกัน ก็จะใช้วิธีการบวก วิธีนี้จะทำเสมอเพื่อให้หนึ่งในนั้นหายไป และในสมการสุดท้ายที่ยังคงอยู่หลังจากการลบ จะเหลือเพียงตัวแปรเดียว

แน่นอนว่านั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตอนนี้เราจะพิจารณาระบบที่สมการโดยทั่วไปไม่สอดคล้องกัน เหล่านั้น. ไม่มีตัวแปรดังกล่าวที่จะเหมือนกันหรือตรงกันข้าม ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาระบบดังกล่าว การรับเพิ่มเติมคือการคูณแต่ละสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์พิเศษ วิธีค้นหาและวิธีแก้ปัญหาระบบดังกล่าวโดยทั่วไปตอนนี้เราจะพูดถึงเรื่องนี้

การแก้ปัญหาโดยการคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นว่าทั้งค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ $x$ และ $y$ นั้นไม่เพียงแต่ตรงข้ามกันเท่านั้น แต่โดยทั่วไปแล้วค่าสัมประสิทธิ์จะไม่สัมพันธ์กันในทางใดทางหนึ่งกับสมการอื่น ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะไม่หายไป แต่อย่างใด แม้ว่าเราจะบวกหรือลบสมการออกจากกันก็ตาม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การคูณ มาลองกำจัดตัวแปร $y$ กัน ในการทำเช่นนี้ เราคูณสมการแรกด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ จากสมการที่สอง และสมการที่สองด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ จากสมการแรก โดยไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย เราทวีคูณและรับระบบใหม่:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ลองดู: สำหรับ $y$, สัมประสิทธิ์ตรงข้ามกัน ในสถานการณ์เช่นนี้จำเป็นต้องใช้วิธีการเพิ่มเติม มาเพิ่ม:

ตอนนี้เราต้องหา $y$ ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ $x$ ในนิพจน์แรก:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(4;-2\right)$

ตัวอย่าง #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

อีกครั้ง ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่สอดคล้องกัน คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

ของเรา ระบบใหม่เทียบเท่ากับค่าก่อนหน้า แต่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ $y$ นั้นตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงง่ายต่อการใช้วิธีการบวกที่นี่:

ตอนนี้หา $y$ โดยการแทน $x$ ลงในสมการแรก:

คำตอบ: $\left(-2;1\right)$

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

กฎสำคัญที่นี่คือ: คูณด้วยเท่านั้นเสมอ ตัวเลขที่เป็นบวก- สิ่งนี้จะช่วยคุณจากความผิดพลาดที่งี่เง่าและน่ารังเกียจที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนสัญญาณ โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการแก้ปัญหานั้นค่อนข้างง่าย:

1. เราดูที่ระบบและวิเคราะห์แต่ละสมการ
2. หากเราเห็นว่าทั้ง $y$ หรือ $x$ ค่าสัมประสิทธิ์ไม่สอดคล้องกัน นั่นคือ พวกมันไม่เท่ากันหรือตรงกันข้าม จากนั้นเราทำดังต่อไปนี้: เลือกตัวแปรที่จะกำจัด จากนั้นดูค่าสัมประสิทธิ์ในสมการเหล่านี้ ถ้าเราคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และคูณสมการที่สองด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ท้ายที่สุดแล้ว เราจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์ และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ $y $ จะสอดคล้องกัน การกระทำหรือการแปลงทั้งหมดของเรามีเป้าหมายเพื่อให้ได้ตัวแปรเดียวในสมการเดียว
3. เราพบตัวแปรหนึ่งตัว
4. เราแทนที่ตัวแปรที่พบลงในสมการหนึ่งในสองสมการของระบบ แล้วหาสมการที่สอง
5. เราเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดของจุด ถ้าเรามีตัวแปร $x$ และ $y$

แต่แม้แต่อัลกอริทึมง่ายๆ ก็ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยในตัวเอง เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ หรือ $y$ สามารถเป็นเศษส่วนและตัวเลข "อัปลักษณ์" อื่นๆ ได้ ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกันเนื่องจากในกรณีเหล่านี้คุณสามารถดำเนินการในลักษณะที่แตกต่างไปจากอัลกอริทึมมาตรฐานได้เล็กน้อย

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนเศษส่วน

ตัวอย่าง #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ขั้นแรก โปรดทราบว่าสมการที่สองประกอบด้วยเศษส่วน แต่โปรดทราบว่าคุณสามารถหาร $4$ ด้วย $0.8$ เราได้ $5$ ลองคูณสมการที่สองด้วย $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

เราลบสมการออกจากกัน:

เราพบ $n$ ตอนนี้เราคำนวณ $m$:

คำตอบ: $n=-4;m=5$

ตัวอย่าง #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ขวา.\]

ที่นี่เช่นเดียวกับในระบบก่อนหน้านี้มี อัตราต่อรองเศษส่วนอย่างไรก็ตาม ไม่มีตัวแปรใดเลยที่ค่าสัมประสิทธิ์จะเข้ากันได้ด้วยจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงใช้อัลกอริทึมมาตรฐาน กำจัด $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

มาใช้วิธีการลบ:

ลองหา $p$ โดยการแทน $k$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $p=-4;k=-2$

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นั่นคือการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งหมด ในสมการแรก เราไม่ได้คูณอะไรเลย และสมการที่สองคูณด้วย $5$ เป็นผลให้เราได้รับสมการที่สอดคล้องและเหมือนกันสำหรับตัวแปรแรก ในระบบที่สอง เราดำเนินการตามอัลกอริทึมมาตรฐาน

แต่จะหาตัวเลขที่คุณต้องการคูณสมการได้อย่างไร ท้ายที่สุดถ้าคุณคูณด้วย ตัวเลขเศษส่วนเราได้เศษส่วนใหม่ ดังนั้น เศษส่วนต้องคูณด้วยจำนวนที่จะได้จำนวนเต็มใหม่ และหลังจากนั้น ตัวแปรควรคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน

โดยสรุป ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่รูปแบบของบันทึกการตอบกลับ อย่างที่ฉันพูดไปแล้ว เนื่องจากที่นี่เราไม่มี $x$ และ $y$ ที่นี่ แต่ค่าอื่นๆ เราจึงใช้รูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐาน:

การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

เพื่อเป็นคอร์ดสุดท้ายของวิดีโอสอนวันนี้ เรามาดูตัวอย่างจริงๆ 2-3 ข้อกัน ระบบที่ซับซ้อน. ความซับซ้อนของพวกเขาจะประกอบด้วยความจริงที่ว่าพวกเขาจะมีตัวแปรทั้งทางซ้ายและทางขวา ดังนั้นในการแก้ปัญหาเราจะต้องใช้การประมวลผลล่วงหน้า

ระบบ #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

แต่ละสมการมีความซับซ้อน ดังนั้น ในแต่ละนิพจน์ มาทำเหมือนกับการสร้างเชิงเส้นปกติ

โดยรวมแล้วเราได้ระบบขั้นสุดท้ายซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ลองดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$: $3$ หาร $6$ ได้สองครั้ง เราจึงคูณสมการแรกด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากันแล้ว เราจึงลบค่าสัมประสิทธิ์ที่สองออกจากสมการแรก: $$

ทีนี้มาหา $y$:

คำตอบ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

ระบบ #2

\[\left\( \begin(จัดแนว)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

มาแปลงนิพจน์แรก:

มาจัดการกับเรื่องที่สอง:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

โดยรวมแล้วระบบเริ่มต้นของเราจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

เมื่อดูที่ค่าสัมประสิทธิ์ของ $a$ เราจะเห็นว่าสมการแรกต้องคูณด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

เราลบส่วนที่สองออกจากโครงสร้างแรก:

ตอนนี้หา $a$:

คำตอบ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$

นั่นคือทั้งหมด ฉันหวังว่าวิดีโอสอนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อยากๆ นี้ ซึ่งก็คือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นอย่างง่าย จะมีบทเรียนอีกมากมายในหัวข้อนี้เพิ่มเติม: เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งจะมีตัวแปรมากขึ้น และสมการเองก็จะไม่เชิงเส้นอยู่แล้ว แล้วพบกันใหม่!