วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติและระบบ อสมการตรีโกณมิติแบบง่ายและซับซ้อน

อสมการคือความสัมพันธ์ในรูปแบบ a › b โดยที่ a และ b คือนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว อสมการสามารถเข้มงวดได้ - ‹, › และไม่เข้มงวด - ≥, ≤

อสมการตรีโกณมิติคือการแสดงออกของรูปแบบ: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a โดยที่ F(x) จะแสดงด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันขึ้นไป .

ตัวอย่างของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ: sin x ‹ 1/2 เป็นเรื่องปกติที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวแบบกราฟิกสองวิธีได้รับการพัฒนาสำหรับสิ่งนี้

วิธีที่ 1 - การแก้ไขอสมการโดยการสร้างกราฟฟังก์ชัน

หากต้องการค้นหาช่วงเวลาที่เป็นไปตามเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกัน sin x ‹ 1/2 คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. บน แกนพิกัดสร้างไซนัสอยด์ y = sin x
2. วาดกราฟบนแกนเดียวกัน อาร์กิวเมนต์ตัวเลขอสมการ เช่น เส้นตรงที่ผ่านจุด ½ ของพิกัด OY
3. ทำเครื่องหมายจุดตัดกันของกราฟทั้งสอง
4. แรเงาส่วนที่เป็นวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เมื่อมีสัญลักษณ์ที่เข้มงวดในนิพจน์ จุดตัดกันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากมีขนาดเล็กที่สุด ช่วงเวลาที่เป็นบวกไซนัสอยด์เท่ากับ 2π จากนั้นเราเขียนคำตอบดังนี้:

ถ้าสัญญาณของนิพจน์ไม่เข้มงวด จะต้องปิดช่วงการแก้ปัญหาด้วย วงเล็บเหลี่ยม- คำตอบของปัญหาสามารถเขียนได้เป็นอสมการต่อไปนี้:

วิธีที่ 2 - การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย

ปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้ วงกลมตรีโกณมิติ- อัลกอริทึมในการค้นหาคำตอบนั้นง่ายมาก:

1. ก่อนอื่นคุณต้องวาดวงกลมหนึ่งหน่วย
2. จากนั้นคุณจะต้องสังเกตค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งของอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาของอสมการในส่วนโค้งของวงกลม
3. จำเป็นต้องวาดเส้นตรงที่ผ่านค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งขนานกับแกน abscissa (OX)
4. หลังจากนั้น สิ่งที่เหลืออยู่คือการเลือกส่วนโค้งของวงกลมซึ่งเป็นชุดคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ
5. เขียนคำตอบลงในแบบฟอร์มที่ต้องการ

ให้เราวิเคราะห์ขั้นตอนของการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างของอสมการ sin x › 1/2 จุดαและβถูกทำเครื่องหมายบนวงกลม - ค่า

จุดของส่วนโค้งที่อยู่เหนือ α และ β คือช่วงเวลาในการแก้อสมการที่กำหนด

หากคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับ cos ส่วนโค้งของคำตอบจะอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรกับแกน OX ไม่ใช่ OY คุณสามารถพิจารณาความแตกต่างระหว่างช่วงการแก้ปัญหาของ sin และ cos ได้ในแผนภาพด้านล่างในข้อความ

คำตอบแบบกราฟิกสำหรับอสมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะแตกต่างจากทั้งไซน์และโคไซน์ นี่เป็นเพราะคุณสมบัติของฟังก์ชัน

อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์เป็นแทนเจนต์ของ วงกลมตรีโกณมิติและคาบบวกขั้นต่ำสำหรับทั้งสองฟังก์ชันคือ π หากต้องการใช้วิธีที่สองอย่างรวดเร็วและถูกต้องคุณต้องจำไว้ว่าแกนใด ค่าบาป, cos, tg และ ctg

แทนเจนต์แทนเจนต์วิ่งขนานกับแกน OY หากเราพล็อตค่าของอาร์คแทน a บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ต้องการที่สองจะอยู่ในควอเตอร์แนวทแยง มุม

พวกมันเป็นจุดพักสำหรับฟังก์ชัน เนื่องจากกราฟมีแนวโน้มไปหาพวกมัน แต่ไม่เคยไปถึงพวกมันเลย

ในกรณีของโคแทนเจนต์ แทนเจนต์จะขนานกับแกน OX และฟังก์ชันถูกขัดจังหวะที่จุด π และ 2π

อสมการตรีโกณมิติเชิงซ้อน

หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอสมการไม่เพียงแสดงด้วยตัวแปรเท่านั้น แต่ยังแสดงด้วยนิพจน์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้จัก แสดงว่าเรากำลังพูดถึงอยู่แล้ว ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อน- กระบวนการและขั้นตอนในการแก้ปัญหาค่อนข้างแตกต่างจากวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาของอสมการต่อไปนี้:

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกเกี่ยวข้องกับการสร้างไซน์ซอยด์ธรรมดา y = sin x โดยใช้ค่า x ที่เลือกโดยพลการ มาคำนวณตารางที่มีพิกัดสำหรับจุดควบคุมของกราฟกัน:

ผลลัพธ์ที่ได้ควรเป็นเส้นโค้งที่สวยงาม

เพื่อให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้น เรามาแทนที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด อสมการตรีโกณมิติและรู้จักวิธีแก้อสมการตรีโกณมิติ

ครูระดับอุดมศึกษา หมวดหมู่คุณสมบัติ:

เชอร์โกะ เอฟ.เอ็ม. หน้า ความก้าวหน้า โรงเรียนมัธยม MOBU ครั้งที่ 6

ซันคินา แอล.เอส. อาร์มาเวียร์ โรงเรียนมัธยมเอกชน” วิธีใหม่»

ไม่มีอยู่จริง เทคนิคสากลการสอนสาขาวิชาเกี่ยวกับวัฏจักรธรรมชาติและคณิตศาสตร์ ครูแต่ละคนพบวิธีการสอนของตนเองซึ่งเป็นที่ยอมรับเฉพาะตัวเขาเท่านั้น

ประสบการณ์การสอนหลายปีของเราแสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถเรียนรู้สื่อที่ต้องใช้สมาธิและการเก็บรักษาข้อมูลจำนวนมากในหน่วยความจำได้ง่ายขึ้น หากพวกเขาได้รับการสอนให้ใช้อัลกอริทึมในกิจกรรมของพวกเขา ระยะเริ่มแรกการฝึกอบรม หัวข้อที่ซับซ้อน- ในความเห็นของเรา หัวข้อดังกล่าวเป็นหัวข้อของการแก้อสมการตรีโกณมิติ

ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มต้นกับนักเรียนเพื่อระบุเทคนิคและวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราฝึกฝนและรวบรวมอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

ทำเครื่องหมายจุดบนแกนที่สอดคล้องกัน ( สำหรับ บาป x– แกน OA สำหรับเพราะ x– แกน OX)

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนที่จะตัดวงกลมที่จุดสองจุด

จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงฟังก์ชันส่วนโค้งตามคำจำกัดความ

เริ่มจากจุดที่มีป้ายกำกับ แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

โปรดทราบ ความสนใจเป็นพิเศษสู่ทิศทางแห่งทางเบี่ยง หากการเคลื่อนที่เสร็จสิ้นตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) จุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ หากทวนเข็มนาฬิกาจะเป็นค่าบวก

เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน

ลองดูการทำงานของอัลกอริทึมโดยใช้ตัวอย่าง

1) บาป ≥ 1/2;

สารละลาย:

เราพรรณนาวงกลมหน่วย.;

เราทำเครื่องหมายจุด ½ บนแกน OU

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกน

ซึ่งตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด

ตามคำจำกัดความของอาร์คไซน์ เราทราบก่อน

จุด π/6

แรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับ

เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน เหนือจุด ½

แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

การเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา เราได้จุด 5π/6

เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน

คำตอบ:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

อสมการที่ง่ายที่สุดแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกันหากบันทึกคำตอบไม่มีค่าตาราง

เมื่อนักเรียนแก้ไขความไม่เท่าเทียมบนกระดานในบทเรียนแรก ให้ท่องอัลกอริธึมแต่ละขั้นตอนออกมาดังๆ

2) 5 เพราะ x – 1 ≥ 0;

ร สารละลาย:ที่

5 เพราะ x – 1 ≥ 0;

เพราะ x ≥ 1/5;

วาดวงกลมหนึ่งหน่วย

เราทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด 1/5 บนแกน OX

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนซึ่ง

ตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด

จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงโคไซน์ส่วนโค้งตามคำจำกัดความ (0;π)

เราแรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้

เริ่มจากจุดที่ลงนาม อาร์คคอส 1/5 แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

การเคลื่อนที่จะกระทำตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) ซึ่งหมายความว่าจุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ - อาร์คคอส 1/5.

เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันตั้งแต่ค่าที่น้อยกว่าไปจนถึงค่าที่มากขึ้น

คำตอบ: x  [-อาร์คคอส 1/5 + 2π n, อาร์คคอส 1/5 + 2π n], n Z.

การปรับปรุงความสามารถในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติได้รับการอำนวยความสะดวกโดยคำถามต่อไปนี้: "เราจะแก้ไขกลุ่มความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร"; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งแตกต่างจากที่อื่นอย่างไร?”; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งมีความคล้ายคลึงกับอีกประการหนึ่งอย่างไร?”; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด"; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้าแทนที่จะเป็นเครื่องหมาย "" มีเครื่องหมาย "

งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้

นักเรียนจะได้รับความไม่เท่าเทียมที่ต้องแก้ไขในชั้นเรียน

คำถาม:เน้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องประยุกต์ใช้ การแปลงที่เท่ากันเมื่อลดอสมการตรีโกณมิติให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด?

คำตอบ 1, 3, 5.

คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่คุณต้องพิจารณาข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนให้เป็นเรื่องง่าย?

คำตอบ: 1, 2, 3, 5, 6.

คำถาม:ตั้งชื่อความไม่เท่าเทียมกันที่สามารถนำไปใช้ได้ สูตรตรีโกณมิติ?

คำตอบ: 2, 3, 6.

คำถาม:ตั้งชื่ออสมการที่สามารถนำวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่มาใช้ได้?

คำตอบ: 6.

งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้ เมื่อพัฒนาทักษะ สิ่งสำคัญคือต้องระบุขั้นตอนของการนำไปปฏิบัติและกำหนดไว้ มุมมองทั่วไปซึ่งนำเสนอในอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด