ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสูตรตัวเลข วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือเทอมเฉลี่ยในการกำหนดปริมาตรรวมของแอตทริบิวต์ที่กำหนดใน มวลรวมข้อมูลจะถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกันในทุกหน่วยที่รวมอยู่ในชุดนี้ ดังนั้น ผลผลิตเฉลี่ยต่อปีต่อพนักงานหนึ่งคนคือจำนวนผลผลิตที่จะตกกับพนักงานแต่ละคน หากปริมาณผลผลิตทั้งหมดถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกันระหว่างพนักงานทุกคนในองค์กร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยสูตร:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย- เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ต่อจำนวนของแอตทริบิวต์ในการรวม

ตัวอย่างที่ 1. ทีมงาน 6 คนได้รับ 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 พันรูเบิลต่อเดือน

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาค่าจ้างเฉลี่ย: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 พันรูเบิล

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต

หากชุดข้อมูลมีปริมาณมากและแสดงถึงชุดการกระจาย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจะถูกคำนวณ นี่คือวิธีกำหนดราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่อหน่วยการผลิต: ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของปริมาณและราคาของหน่วยการผลิต) หารด้วยปริมาณการผลิตทั้งหมด

เราแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- เท่ากับอัตราส่วน (ผลรวมของผลคูณของค่าแอตทริบิวต์กับความถี่ของการทำซ้ำของแอตทริบิวต์นี้) ถึง (ผลรวมของความถี่ของแอตทริบิวต์ทั้งหมด) ใช้เมื่อความแปรปรวนของประชากรที่ศึกษาเกิดขึ้นไม่เท่ากัน จำนวนครั้ง.

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาค่าจ้างเฉลี่ยของพนักงานในร้านต่อเดือน

เงินเดือนของคนงานหนึ่งพันรูเบิล เอ็กซ์	จำนวนคนงาน F

ค่าจ้างเฉลี่ยสามารถหาได้จากการหาร จำนวนเงินทั้งหมดค่าจ้างสำหรับ จำนวนทั้งหมดคนงาน:

คำตอบ: 3.35,000 รูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมการแปรผันของช่วง ขั้นแรกให้กำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วงเป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขอบเขตบนและล่าง แล้วจึงหาค่าเฉลี่ยของทั้งอนุกรม ในกรณีของช่วงเปิด ค่าของช่วงล่างหรือช่วงบนจะถูกกำหนดโดยค่าของช่วงที่อยู่ติดกัน

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าประมาณ

ตัวอย่างที่ 3. กำหนด อายุเฉลี่ยนักเรียนภาคค่ำ.

อายุปี!!x??	จำนวนนักเรียน	ค่าเฉลี่ยช่วงเวลา	ผลคูณของช่วงกลาง (อายุ) และจำนวนนักเรียน
		(18 + 20) / 2 \u003d 19 18 นิ้ว กรณีนี้ขีด จำกัด ของช่วงเวลาที่ต่ำกว่า คำนวณเป็น 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 หรือมากกว่า		(30 + 34) / 2 = 32

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าประมาณ ระดับของการประมาณขึ้นอยู่กับขอบเขตที่การกระจายจริงของหน่วยประชากรภายในช่วงเวลาใกล้เคียงกัน

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ไม่ใช่แค่ค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึง ค่าสัมพัทธ์(ความถี่).

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของค่าเฉลี่ยคือมันสะท้อนถึงสิ่งทั่วไปที่มีอยู่ในทุกหน่วยของประชากรที่ศึกษา ค่าของแอตทริบิวต์ของแต่ละหน่วยของประชากรแตกต่างกันไปภายใต้อิทธิพลของปัจจัยหลายอย่างซึ่งอาจมีทั้งค่าพื้นฐานและค่าสุ่ม สาระสำคัญของค่าเฉลี่ยอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันชดเชยการเบี่ยงเบนของค่าของแอตทริบิวต์ซึ่งเกิดจากการกระทำของปัจจัยสุ่มและสะสม (คำนึงถึง) การเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากการกระทำของหลัก ปัจจัย. สิ่งนี้ทำให้ค่าเฉลี่ยสามารถสะท้อนได้ ระดับทั่วไปสัญญาณและนามธรรมจาก คุณลักษณะเฉพาะมีอยู่ในแต่ละหน่วย

ถึง เฉลี่ยเป็นแบบพิมพ์จริง ๆ จะต้องคำนวณโดยคำนึงถึงหลักการบางอย่าง

หลักการพื้นฐานสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ย

1. ควรกำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ

2. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยจำนวนมากเพียงพอ

3. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรภายใต้สภาวะหยุดนิ่ง (เมื่อปัจจัยที่มีอิทธิพลไม่เปลี่ยนแปลงหรือเปลี่ยนแปลงไม่มาก)

4. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยโดยคำนึงถึงเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษาอยู่

การคำนวณเฉพาะส่วนใหญ่ ตัวชี้วัดทางสถิติขึ้นอยู่กับการใช้:

รวมเฉลี่ย

กำลังเฉลี่ย (ฮาร์มอนิก, เรขาคณิต, เลขคณิต, กำลังสอง, ลูกบาศก์);

ลำดับเหตุการณ์โดยเฉลี่ย (ดูหัวข้อ)

ค่าเฉลี่ยทั้งหมด ยกเว้นค่าเฉลี่ยรวม สามารถคำนวณได้สองแบบ - แบบถ่วงน้ำหนักหรือแบบไม่ถ่วงน้ำหนัก

รวมเฉลี่ย สูตรที่ใช้คือ:

ที่ไหน ฉัน= x ฉัน* ไฟ;

x ฉัน- ฉัน-th ตัวเลือกเครื่องหมายเฉลี่ย

ไฟ, - น้ำหนัก ผม- ตัวเลือกที่

ระดับเฉลี่ย ที่ ปริทัศน์สูตรการคำนวณ:

ระดับไหน เค- ประเภทของกำลังเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากค่าเฉลี่ยของเลขยกกำลังสำหรับข้อมูลเริ่มต้นเดียวกันนั้นไม่เหมือนกัน เมื่อเลขชี้กำลัง k เพิ่มขึ้น ค่าที่สอดคล้องกันก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ค่าเฉลี่ย:

ลำดับเหตุการณ์โดยเฉลี่ย ทันที ซีรีย์ไดนามิกกับ ในช่วงเวลาเท่ากันระหว่างวันที่ คำนวณโดยสูตร:

,

ที่ไหน x 1และ เอ็กซ์นค่าตัวบ่งชี้สำหรับวันที่เริ่มต้นและวันที่สิ้นสุด

สูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยพลังงาน

ตัวอย่าง. ตามตาราง 2.1 จำเป็นต้องคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยโดยทั่วไปสำหรับองค์กรสามแห่ง

ตารางที่ 2.1

เงินเดือนรัฐวิสาหกิจ AO

บริษัท	จำนวนอุตสาหกรรม การผลิตบุคลากร (อปพร.) ต่อ	กองทุนรายเดือน ค่าจ้างถู	ปานกลาง ค่าจ้าง,ถู.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
ทั้งหมด		1415130

เฉพาะเจาะจง สูตรการคำนวณขึ้นอยู่กับตารางข้อมูลใด 7 เป็นต้นฉบับ ดังนั้นตัวเลือกต่อไปนี้จึงเป็นไปได้: ข้อมูลของคอลัมน์ 1 (จำนวน PPP) และ 2 (การจ่ายเงินเดือนรายเดือน); หรือ - 1 (จำนวน PPP) และ 3 (RFP เฉลี่ย) หรือ 2 (เงินเดือนรายเดือน) และ 3 (เงินเดือนเฉลี่ย)

หากมีเพียงข้อมูลสำหรับคอลัมน์ 1 และ 2. ผลลัพธ์ของกราฟเหล่านี้มีค่าที่จำเป็นสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยที่ต้องการ ใช้สูตรของการรวมค่าเฉลี่ย:

หากมีเพียงข้อมูลสำหรับคอลัมน์ 1 และ 3จากนั้นจะทราบตัวส่วนของอัตราส่วนเดิม แต่ไม่ทราบตัวเศษ อย่างไรก็ตาม สามารถรับเงินเดือนได้โดยการคูณค่าจ้างเฉลี่ยด้วยจำนวน SPP ดังนั้นจึงสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยโดยรวมโดยใช้สูตร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

ต้องคำนึงถึงน้ำหนัก ( ไฟ) ใน แต่ละกรณีสามารถเป็นผลคูณของค่าสองหรือสามค่า

นอกจากนี้ยังใช้ค่าเฉลี่ยในการปฏิบัติทางสถิติอีกด้วย เลขคณิตไม่ถ่วงน้ำหนัก:

โดยที่ n คือปริมาตรของประชากร

ค่าเฉลี่ยนี้ใช้เมื่อน้ำหนัก ( ไฟ) ไม่มีอยู่ (แต่ละตัวแปรของลักษณะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว) หรือมีค่าเท่ากัน

หากมีเพียงข้อมูลสำหรับคอลัมน์ 2 และ 3เช่น ทราบตัวเศษของอัตราส่วนเดิม แต่ไม่ทราบตัวส่วน สามารถรับจำนวน PPP ของแต่ละองค์กรได้โดยการหารเงินเดือนด้วยเงินเดือนเฉลี่ย จากนั้นการคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของทั้งสามองค์กรโดยรวมจะดำเนินการตามสูตร ฮาร์มอนิกเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

ถ้าน้ำหนักเท่ากัน ( ไฟ) การคำนวณตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยสามารถทำได้ตาม ฮาร์มอนิกเฉลี่ยที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนัก:

ในตัวอย่างของเรา เราใช้ รูปแบบที่แตกต่างกันเฉลี่ยแต่ได้รับคำตอบเดียวกัน นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าสำหรับข้อมูลเฉพาะ มีการใช้อัตราส่วนเริ่มต้นเดียวกันของค่าเฉลี่ยในแต่ละครั้ง

ค่าเฉลี่ยสามารถคำนวณได้ทั้งแบบแยกส่วนและแบบช่วงเวลา ชุดการเปลี่ยนแปลง. ในกรณีนี้ การคำนวณจะทำตามค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต สำหรับ ซีรีส์ที่ไม่ต่อเนื่อง สูตรที่กำหนดใช้ในลักษณะเดียวกับตัวอย่างข้างต้น ในอนุกรมช่วงเวลา จุดกึ่งกลางของช่วงเวลาจะถูกกำหนดสำหรับการคำนวณ

ตัวอย่าง. ตามตาราง 2.2 กำหนดค่าของรายได้เงินสดเฉลี่ยต่อหัวต่อเดือนในภูมิภาคที่มีเงื่อนไข

ตารางที่ 2.2

ข้อมูลเริ่มต้น (ชุดรูปแบบ)

รายได้เงินสดเฉลี่ยต่อหัวต่อเดือน, х, ถู	ประชากร % ของทั้งหมด/
สูงสุด 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 ขึ้นไป	2,3
ทั้งหมด	100

ค่าเฉลี่ยใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติ ค่าเฉลี่ยกำหนดตัวบ่งชี้เชิงคุณภาพของกิจกรรมเชิงพาณิชย์: ต้นทุนการจัดจำหน่าย กำไร ความสามารถในการทำกำไร ฯลฯ

ปานกลาง นี่เป็นหนึ่งในการสรุปทั่วไปที่พบบ่อยที่สุด ความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับแก่นแท้ของค่าเฉลี่ยจะกำหนดความสำคัญพิเศษในระบบเศรษฐกิจตลาด เมื่อค่าเฉลี่ยผ่านค่าเฉลี่ยเดียวและสุ่ม ทำให้สามารถระบุทั่วไปและจำเป็น เพื่อระบุแนวโน้มของรูปแบบการพัฒนาเศรษฐกิจ

ค่าเฉลี่ย - สิ่งเหล่านี้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่พวกเขาพบการแสดงออกของการกระทำ เงื่อนไขทั่วไปความสม่ำเสมอของปรากฏการณ์ที่ศึกษา

ค่าเฉลี่ยทางสถิติคำนวณจากข้อมูลมวลของการสังเกตมวลที่จัดระบบทางสถิติอย่างถูกต้อง (แบบต่อเนื่องและแบบเลือก) อย่างไรก็ตาม ค่าเฉลี่ยทางสถิติจะเป็นไปตามวัตถุประสงค์และโดยทั่วไป หากคำนวณจากข้อมูลมวลสำหรับประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงคุณภาพ (ปรากฏการณ์มวล) ตัวอย่างเช่น หากเราคำนวณค่าจ้างเฉลี่ยในสหกรณ์และรัฐวิสาหกิจ และขยายผลไปยังประชากรทั้งหมด ค่าเฉลี่ยนั้นเป็นเรื่องสมมติ เนื่องจากคำนวณสำหรับประชากรที่แตกต่างกัน และค่าเฉลี่ยดังกล่าวจะสูญเสียความหมายทั้งหมด

ด้วยความช่วยเหลือของค่าเฉลี่ยมีความแตกต่างที่ราบรื่น ขนาดคุณสมบัติที่เกิดขึ้นด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่งในแต่ละหน่วยการสังเกต

ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของพนักงานขายขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายอย่าง: คุณสมบัติ อายุงาน อายุ รูปแบบการบริการ สุขภาพ และอื่นๆ

ผลผลิตเฉลี่ยสะท้อนถึงคุณสมบัติทั่วไปของประชากรทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยเป็นภาพสะท้อนของค่าของลักษณะที่ศึกษา ดังนั้นจึงวัดในมิติเดียวกับลักษณะนี้

ค่าเฉลี่ยแต่ละค่าแสดงลักษณะของประชากรที่ศึกษาตามคุณลักษณะใดคุณลักษณะหนึ่ง เพื่อให้ได้ภาพรวมที่สมบูรณ์และครอบคลุมของประชากรภายใต้การศึกษาในแง่ของคุณสมบัติที่จำเป็นหลายประการ โดยทั่วไปจำเป็นต้องมีระบบค่าเฉลี่ยที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์จากมุมต่างๆ

มีค่าเฉลี่ยต่างๆ:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

เฉลี่ยเรขาคณิต;

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง;

ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลา

พิจารณาค่าเฉลี่ยบางประเภทที่ใช้บ่อยที่สุดในสถิติ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย (ไม่ถ่วงน้ำหนัก) เท่ากับผลรวมของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ หารด้วยจำนวนของค่าเหล่านี้

แต่ละค่าของแอตทริบิวต์เรียกว่าตัวแปรและแสดงโดย x (); จำนวนหน่วยประชากรแสดงด้วย n ค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติ - โดย . ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือ:

ตามข้อมูลของชุดการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง จะเห็นได้ว่าค่าเดียวกันของแอตทริบิวต์ (ตัวเลือก) ซ้ำกันหลายครั้ง ดังนั้น ตัวแปร x จึงเกิดขึ้นในผลรวม 2 ครั้ง และตัวแปร x - 16 ครั้ง เป็นต้น

จำนวนค่าที่เหมือนกันของคุณสมบัติในชุดการกระจายเรียกว่าความถี่หรือน้ำหนักและแสดงด้วยสัญลักษณ์ n

คำนวณค่าจ้างเฉลี่ยต่อคนงาน ในรูเบิล:

กองทุนค่าจ้างแรงงานแต่ละกลุ่ม มีค่าเท่ากับสินค้าตัวเลือกต่อความถี่ และผลรวมของผลิตภัณฑ์เหล่านี้จะให้ใบเรียกเก็บเงินค่าจ้างรวมของพนักงานทุกคน

ตามนี้ การคำนวณสามารถแสดงในรูปแบบทั่วไป:

สูตรผลลัพธ์เรียกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

เนื้อหาทางสถิติอันเป็นผลมาจากการประมวลผลสามารถนำเสนอได้ไม่เฉพาะในรูปแบบของชุดการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังอยู่ในรูปของชุดการแปรผันของช่วงเวลาที่มีช่วงปิดหรือช่วงเปิด

การคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่มดำเนินการตามสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

ในทางปฏิบัติของสถิติเศรษฐกิจ บางครั้งจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือค่าเฉลี่ยของแต่ละส่วนของประชากร (ค่าเฉลี่ยบางส่วน) ในกรณีดังกล่าว ค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือบางส่วนจะถูกนำมาใช้เป็นตัวเลือก (x) โดยพิจารณาจากค่าเฉลี่ยทั้งหมดซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางเลขคณิตตามปกติ

คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต .

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการ:

1. จากความถี่ของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ x ที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น n ครั้ง ค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง

หากความถี่ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยตัวเลข ค่าของค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง

2. ตัวคูณรวมของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์สามารถนำมาจากเครื่องหมายของค่าเฉลี่ยได้:

3. ผลรวมเฉลี่ย (ผลต่าง) ของปริมาณตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไปเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของค่าเฉลี่ย:

4. ถ้า x \u003d c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ ดังนั้น
.

5. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของค่าของคุณลักษณะ X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต x เท่ากับศูนย์:

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ควบคู่ไปกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต สถิติใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถง่ายและถ่วงน้ำหนักได้

นอกจากค่าเฉลี่ยแล้ว ลักษณะของชุดการเปลี่ยนแปลงคือโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่น - นี่คือค่าของลักษณะ (ตัวแปร) ซึ่งซ้ำบ่อยที่สุดในประชากรที่ศึกษา สำหรับชุดการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง โหมดจะเป็นค่าของตัวแปรที่มีความถี่สูงสุด

สำหรับอนุกรมการแจกแจงช่วงเวลาที่มีช่วงเท่ากัน โหมดจะกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน
- ค่าเริ่มต้นช่วงเวลาที่มีโหมด

- ค่าของช่วงเวลาโมดอล

- ความถี่ช่วงเวลาโมดอล

- ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล

- ความถี่ของช่วงเวลาตามโมดอล

ค่ามัธยฐาน เป็นตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของแถวรูปแบบ ถ้าชุดการกระจายไม่ต่อเนื่องและมี เลขคี่สมาชิก จากนั้นค่ามัธยฐานจะเป็นตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของชุดคำสั่ง (ชุดคำสั่งคือการจัดเรียงหน่วยของประชากรในลำดับจากน้อยไปหามากหรือมากไปน้อย)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไร

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าต่างๆ คืออัตราส่วนของผลรวมของค่าเหล่านี้ต่อจำนวน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวเลขเรียกว่าผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยของอนุกรมตัวเลข

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขหลายตัวคืออะไร? และเท่ากับผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ ซึ่งหารด้วยจำนวนพจน์ในผลรวมนี้

วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ไม่มีอะไรยากในการคำนวณหรือหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขหลายตัว แค่บวกตัวเลขทั้งหมดที่แสดงแล้วหารผลรวมที่ได้ด้วยจำนวนเทอม ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้

ลองพิจารณากระบวนการนี้โดยละเอียด เราต้องทำอย่างไรจึงจะคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและได้ผลลัพธ์สุดท้ายของตัวเลขนี้

ก่อนอื่นในการคำนวณ คุณต้องกำหนดชุดของตัวเลขหรือจำนวนของมัน ชุดนี้สามารถประกอบด้วยตัวเลขขนาดใหญ่และขนาดเล็ก และตัวเลขเหล่านี้สามารถเป็นอะไรก็ได้

ประการที่สอง ต้องบวกตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดและรับผลรวม โดยธรรมชาติแล้วหากตัวเลขนั้นเรียบง่ายและมีจำนวนน้อยก็สามารถคำนวณด้วยมือได้ และถ้าชุดตัวเลขนั้นน่าประทับใจก็ควรใช้เครื่องคิดเลขหรือสเปรดชีต

และประการที่สี่ จำนวนที่ได้จากการบวกจะต้องหารด้วยจำนวนของตัวเลข เป็นผลให้เราได้ผลลัพธ์ซึ่งจะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุกรมนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีไว้เพื่ออะไร?

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับการแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหาในบทเรียนคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์อื่น ๆ ที่จำเป็นใน ชีวิตประจำวันบุคคล. เป้าหมายดังกล่าวอาจเป็นการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตเพื่อคำนวณค่าใช้จ่ายทางการเงินโดยเฉลี่ยต่อเดือน หรือคำนวณเวลาที่คุณใช้บนท้องถนน เพื่อค้นหาการเข้างาน ผลผลิต ความเร็ว ผลผลิต และอื่น ๆ อีกมากมาย

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณว่าคุณใช้เวลาเดินทางไปโรงเรียนเท่าไร ไปโรงเรียนหรือกลับบ้านทุกครั้งที่คุณใช้จ่ายบนท้องถนน เวลาที่แตกต่างกันเพราะเมื่อคุณเร่งรีบ คุณจะไปได้เร็วกว่า ดังนั้นการเดินทางจึงใช้เวลาน้อยลง แต่กลับบ้านคุณสามารถไปช้าๆพูดคุยกับเพื่อนร่วมชั้นชื่นชมธรรมชาติและใช้เวลามากขึ้นบนท้องถนน

ดังนั้นคุณจะไม่สามารถระบุเวลาที่ใช้บนท้องถนนได้อย่างแม่นยำ แต่ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณสามารถค้นหาเวลาที่คุณใช้บนท้องถนนได้โดยประมาณ

สมมติว่าในวันแรกหลังจากวันหยุดสุดสัปดาห์ คุณใช้เวลา 15 นาทีระหว่างทางจากบ้านไปโรงเรียน วันที่สองใช้เวลาเดินทาง 20 นาที ในวันพุธ คุณเดินทางครบระยะทางภายใน 25 นาที ในเวลาเดียวกันกับที่คุณทำ ทางของคุณในวันพฤหัสบดีและในวันศุกร์คุณไม่รีบร้อนและกลับมาครึ่งชั่วโมง

มาหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตบวกเวลาทั้งห้าวันกัน ดังนั้น,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

ตอนนี้หารจำนวนนี้ด้วยจำนวนวัน

ด้วยวิธีนี้ คุณได้เรียนรู้ว่าการเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนใช้เวลาประมาณยี่สิบสามนาที

การบ้าน

1. ใช้การคำนวณอย่างง่าย หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเข้าเรียนของนักเรียนในชั้นเรียนของคุณต่อสัปดาห์

2. ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

3. แก้ปัญหา:

รูปแบบตัวบ่งชี้ทางสถิติที่พบมากที่สุดที่ใช้ในการวิจัยทางเศรษฐกิจและสังคมคือค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นค่าทั่วไป ลักษณะเชิงปริมาณสัญญาณของประชากรทางสถิติ ค่าเฉลี่ยคือ "ตัวแทน" ของการสังเกตทั้งชุด ในหลายกรณี ค่าเฉลี่ยสามารถกำหนดได้จากอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ย (ISS) หรือสูตรตรรกะ: ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณค่าจ้างเฉลี่ยของพนักงานขององค์กร จำเป็นต้องหารกองทุนค่าจ้างทั้งหมดด้วยจำนวนพนักงาน: ตัวเศษของอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ยคือตัวบ่งชี้ที่กำหนด สำหรับค่าจ้างเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ที่กำหนดคือกองทุนค่าจ้าง สำหรับตัวบ่งชี้แต่ละตัวที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐกิจและสังคม สามารถรวบรวมอัตราส่วนอ้างอิงที่แท้จริงเพียงหนึ่งอัตราส่วนเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ควรเพิ่มเข้าไปด้วยเพื่อให้ประมาณการได้แม่นยำยิ่งขึ้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก (ที่มีจำนวนองค์ประกอบน้อยกว่า 30) ไม่ควรใช้ตัวส่วนของนิพจน์ใต้รูท น, ก n- 1.

แนวคิดและประเภทของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย- นี่คือตัวบ่งชี้ทั่วไปของประชากรทางสถิติซึ่งตอบแทนความแตกต่างของค่า สถิติช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบประชากรที่แตกต่างกันได้ มีอยู่ 2 ชั้นเรียนค่าเฉลี่ย: กำลังและโครงสร้าง ค่าเฉลี่ยโครงสร้างคือ แฟชั่น และ ค่ามัธยฐาน แต่ที่นิยมใช้กันมากที่สุด ค่าเฉลี่ยกำลังหลากหลายชนิด.

ค่าเฉลี่ยกำลัง

ค่าเฉลี่ยพลังงานสามารถ เรียบง่ายและ ถ่วงน้ำหนัก.

ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายจะคำนวณเมื่อมีค่าทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่มตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ซึ่งจัดเรียงตามลำดับโดยพลการตามสูตรทั่วไปต่อไปนี้ของกฎกำลังเฉลี่ย (สำหรับค่าต่างๆ ของ k (m)):

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณจากสถิติที่จัดกลุ่มโดยใช้สูตรทั่วไปต่อไปนี้:

โดยที่ x - ค่าเฉลี่ยของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา x i – ตัวแปร i-th ของคุณลักษณะเฉลี่ย ;

f i คือน้ำหนักของตัวเลือก i-th

โดยที่ X คือค่าของค่าสถิติแต่ละรายการหรือจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาการจัดกลุ่ม
ม. - เลขชี้กำลังซึ่งขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทต่อไปนี้:
ที่ m = -1 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก;
สำหรับ m = 0 ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
สำหรับ m = 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ที่ m = 2 รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง;
ที่ m = 3 ลูกบาศก์เฉลี่ย

การใช้สูตรทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ยอย่างง่ายและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่เลขชี้กำลังต่างๆ m เราได้สูตรเฉพาะของแต่ละประเภท ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดด้านล่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - ช่วงเวลาเริ่มต้น คำสั่งแรก, มูลค่าที่คาดหวังค่า ตัวแปรสุ่มนั่ง จำนวนมากการทดสอบ;

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่าเฉลี่ยที่ใช้บ่อยที่สุดและได้มาจากการแทนค่า สูตรทั่วไปม.=1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เรียบง่ายมันมี มุมมองถัดไป:

หรือ

โดยที่ X คือค่าของปริมาณที่จำเป็นในการคำนวณค่าเฉลี่ย N- ทั้งหมดค่า X (จำนวนหน่วยในประชากรที่ศึกษา)

ตัวอย่างเช่น นักเรียนสอบผ่าน 4 ครั้งและได้เกรดต่อไปนี้: 3, 4, 4 และ 5 คำนวณ เกรดเฉลี่ยตามสูตรง่ายๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 \u003d 16/4 \u003d 4ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ่วงน้ำหนักมีรูปแบบดังนี้

โดยที่ f คือจำนวนค่าที่มีค่า X (ความถี่) เท่ากัน >ตัวอย่างเช่น นักเรียนสอบผ่าน 4 ครั้งและได้เกรดต่อไปนี้: 3, 4, 4 และ 5 คำนวณคะแนนเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .หากกำหนดค่า X เป็นช่วงเวลา จุดกึ่งกลางของช่วงเวลา X จะถูกใช้สำหรับการคำนวณ ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขีดจำกัดบนและล่างของช่วงเวลา และถ้าช่วง X ไม่มีขีด จำกัด ล่างหรือบน (ช่วงเปิด) จากนั้นจะใช้ช่วง (ความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด บนและล่าง) ของช่วงเวลาที่อยู่ติดกันเพื่อค้นหาช่วง (ความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด บนและล่าง) ตัวอย่างเช่น ในองค์กรมีพนักงาน 10 คนที่มีประสบการณ์การทำงานสูงสุด 3 ปี, 20 คน - มีประสบการณ์การทำงานตั้งแต่ 3 ถึง 5 ปี, พนักงาน 5 คน - มีประสบการณ์การทำงานมากกว่า 5 ปี จากนั้นเราจะคำนวณระยะเวลาการทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต โดยพิจารณาจาก X ระยะกลางของระยะเวลาการทำงาน (2, 4 และ 6 ปี): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 ปี

ฟังก์ชัน AVERAGE

ฟังก์ชันนี้จะคำนวณค่าเฉลี่ย (เลขคณิต) ของอาร์กิวเมนต์

เฉลี่ย(หมายเลข 1, หมายเลข 2, ...)

Number1, number2, ... เป็นอาร์กิวเมนต์ 1 ถึง 30 ที่คำนวณค่าเฉลี่ย

อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นตัวเลขหรือชื่อ อาร์เรย์หรือการอ้างอิงที่มีตัวเลข หากอาร์กิวเมนต์ซึ่งเป็นอาร์เรย์หรือลิงก์ประกอบด้วยข้อความ บูลีน หรือเซลล์ว่าง ค่าเหล่านั้นจะถูกละเว้น อย่างไรก็ตาม เซลล์ที่มี ค่า Nullถูกนำมาพิจารณา

ฟังก์ชัน AVERAGE

คำนวณค่าเฉลี่ย ค่าเลขคณิตที่ระบุในรายการอาร์กิวเมนต์ นอกเหนือจากตัวเลข ข้อความและค่าตรรกะ เช่น TRUE และ FALSE สามารถเข้าร่วมในการคำนวณได้

AVERAGE(ค่า 1, ค่า 2,...)

ค่า1, ค่า2,... คือ 1 ถึง 30 เซลล์ ช่วงเซลล์ หรือค่าที่คำนวณค่าเฉลี่ย

อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นตัวเลข ชื่อ อาร์เรย์ หรือการอ้างอิง อาร์เรย์และลิงก์ที่มีข้อความจะถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์) ข้อความว่าง ("") ถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์) อาร์กิวเมนต์ที่มีค่า TRUE จะถูกตีความเป็น 1 อาร์กิวเมนต์ที่มีค่า FALSE จะถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกใช้บ่อยที่สุด แต่ก็มีบางครั้งที่จำเป็นต้องใช้ค่าเฉลี่ยประเภทอื่น ลองพิจารณากรณีดังกล่าวเพิ่มเติม

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสำหรับกำหนดผลรวมเฉลี่ยของส่วนกลับ

ฮาร์มอนิกเฉลี่ยจะใช้เมื่อข้อมูลต้นฉบับไม่มีความถี่ f โดย ค่าส่วนบุคคล X แต่แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ Xf แทน Xf=w เราแสดง f=w/X และแทนที่การกำหนดเหล่านี้เป็นสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เราได้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก:

ดังนั้น จะใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบฮาร์มอนิกเมื่อไม่ทราบความถี่ f แต่ทราบค่า w=Xf ในกรณีที่ w=1 ทั้งหมด นั่นคือ ค่าแต่ละค่าของ X เกิดขึ้น 1 ครั้ง จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยแบบฮาร์มอนิก: หรือ ตัวอย่างเช่น รถยนต์กำลังเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ด้วยความเร็ว 90 กม./ชม. และถอยหลังด้วยความเร็ว 110 กม./ชม. ในการกำหนดความเร็วเฉลี่ยเราใช้สูตรฮาร์มอนิกอย่างง่ายเนื่องจากตัวอย่างให้ระยะทาง w 1 \u003d w 2 (ระยะทางจากจุด A ไปยังจุด B เท่ากับจาก B ถึง A) ซึ่งเท่ากับผลคูณ ของความเร็ว (X) และเวลา ( f) ความเร็วเฉลี่ย= (1+1)/(1/90+1/110) = 99 กม./ชม.

ฟังก์ชัน SRHARM

ส่งกลับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของชุดข้อมูล ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนกลับ

SGARM(หมายเลข 1, หมายเลข 2, ...)

Number1, number2, ... เป็นอาร์กิวเมนต์ 1 ถึง 30 ที่คำนวณค่าเฉลี่ย คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะน้อยกว่าเสมอ เฉลี่ยเรขาคณิตซึ่งน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ

เฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสำหรับการประมาณค่าอัตราการเติบโตเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การหาค่าของคุณลักษณะที่ห่างจากค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดเท่ากัน

เฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตให้ได้มากที่สุด ผลลัพธ์ที่แน่นอนโดยเฉลี่ย ถ้างานคือการหาค่าดังกล่าวของ X ซึ่งจะมีระยะห่างเท่ากันทั้งจากค่าสูงสุดและจาก ค่าต่ำสุด x. ตัวอย่างเช่น ระหว่างปี 2548 ถึง 2551ดัชนีเงินเฟ้อ ในรัสเซียคือ: ในปี 2548 - 1.109; ในปี 2549 - 1,090; ในปี 2550 - 1,119; ในปี 2551 - 1,133 เนื่องจากดัชนีเงินเฟ้อเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (ดัชนีไดนามิก) คุณต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต: (1.109 * 1.090 * 1.119 * 1.133) ^ (1/4) = 1.1126 นั่นคือสำหรับรอบระยะเวลา จากปี 2548 ถึงปี 2551 ราคาเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 11.26% ต่อปี การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตผิดพลาดจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเท่ากับ 11.28%

ฟังก์ชัน SRGEOM

ส่งกลับค่าเฉลี่ย ค่าทางเรขาคณิตอาร์เรย์หรือช่วงเวลา ตัวเลขที่เป็นบวก. ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน CAGEOM สามารถใช้ในการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ย หากได้รับรายได้ทบต้นที่มีอัตราผันแปร

SRGEOM(หมายเลข 1; หมายเลข 2; ...)

Number1, number2, ... เป็นอาร์กิวเมนต์ 1 ถึง 30 ที่คำนวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิต คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

รากหมายถึงกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยกำลังสองของรากคือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สอง

รากหมายถึงกำลังสองใช้เมื่อค่าเริ่มต้นของ X สามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ เช่น เมื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย การใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองหลักคือการวัดความแปรผันของค่า X

ลูกบาศก์เฉลี่ย

ลูกบาศก์เฉลี่ยคือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สาม

ลูกบาศก์เฉลี่ยมีการใช้น้อยมาก เช่น เมื่อคำนวณดัชนีความยากจนของประชากร ประเทศกำลังพัฒนา(TIN-1) และสำหรับพัฒนาแล้ว (TIN-2) เสนอและคำนวณโดย UN