ค่าเฉลี่ยระหว่างตัวเลขสองตัว วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือเทอมเฉลี่ย ในการพิจารณาว่าปริมาณรวมของแอตทริบิวต์ที่กำหนดในข้อมูลนั้นกระจายเท่ากันในทุกหน่วยที่รวมอยู่ในกลุ่มประชากรนี้ ดังนั้น ผลผลิตเฉลี่ยต่อปีต่อพนักงานหนึ่งคนจึงเป็นมูลค่าของปริมาณการผลิตที่จะตกอยู่กับพนักงานแต่ละคน หากปริมาณผลผลิตทั้งหมดถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกันระหว่างพนักงานทุกคนขององค์กร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยสูตร:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย— เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของค่าแต่ละค่าของคุณสมบัติต่อจำนวนของคุณสมบัติโดยรวม

ตัวอย่างที่ 1 . ทีมงาน 6 คนได้รับ 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 พันรูเบิลต่อเดือน

ค้นหาเงินเดือนเฉลี่ย
วิธีแก้ปัญหา: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 พันรูเบิล

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต

หากชุดข้อมูลมีปริมาณมากและแสดงถึงชุดการกระจาย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจะถูกคำนวณ นี่คือวิธีกำหนดราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่อหน่วยการผลิต: ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของปริมาณและราคาของหน่วยการผลิต) หารด้วยปริมาณการผลิตทั้งหมด

เราแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- เท่ากับอัตราส่วน (ผลรวมของผลคูณของค่าแอตทริบิวต์กับความถี่ของการทำซ้ำของแอตทริบิวต์นี้) ถึง (ผลรวมของความถี่ของแอตทริบิวต์ทั้งหมด) ใช้เมื่อความแปรปรวนของประชากรที่ศึกษาเกิดขึ้นไม่เท่ากัน จำนวนครั้ง.

ตัวอย่างที่ 2 . ค้นหาค่าจ้างเฉลี่ยของพนักงานในร้านต่อเดือน

ค่าจ้างเฉลี่ยสามารถรับได้โดยการหารค่าจ้างทั้งหมดด้วยจำนวนคนงานทั้งหมด:

คำตอบ: 3.35,000 รูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมการแปรผันของช่วง ค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วงจะถูกกำหนดเป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขีดจำกัดบนและล่างก่อน จากนั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของทั้งอนุกรม ในกรณีของช่วงเปิด ค่าของช่วงล่างหรือช่วงบนจะถูกกำหนดโดยค่าของช่วงที่อยู่ติดกัน

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าประมาณ

ตัวอย่างที่ 3. กำหนดอายุเฉลี่ยของนักเรียนภาคค่ำ

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าประมาณ ระดับของการประมาณขึ้นอยู่กับขอบเขตที่การกระจายจริงของหน่วยประชากรภายในช่วงเวลาใกล้เคียงกัน

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ไม่เพียงแต่ค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้ค่าสัมพัทธ์ (ความถี่) เป็นน้ำหนักได้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายอย่างที่เปิดเผยสาระสำคัญและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น:

1. ผลคูณของค่าเฉลี่ยและผลรวมของความถี่จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของตัวแปรและความถี่เสมอ เช่น

2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมของค่าต่าง ๆ เท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้:

3. ผลรวมเชิงพีชคณิตของการเบี่ยงเบนของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์จากค่าเฉลี่ยคือศูนย์:

4. ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยน้อยกว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าอื่น ๆ ตามอำเภอใจ เช่น

คำนี้มีความหมายอื่น ดูความหมายเฉลี่ย

เฉลี่ย(ในวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ) ชุดตัวเลข - ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยจำนวน เป็นหนึ่งในมาตรการทั่วไปของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

มันถูกเสนอ (พร้อมกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก) โดยชาวพีทาโกรัส

กรณีพิเศษของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ย (ของประชากรทั่วไป) และค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ของกลุ่มตัวอย่าง)

บทนำ

แสดงชุดข้อมูล เอ็กซ์ = (x 1 , x 2 , …, x น) ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมักจะแสดงด้วยแถบแนวนอนเหนือตัวแปร (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ออกเสียงว่า " xด้วยเส้นประ").

ตัวอักษรกรีก μ ใช้เพื่อแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรทั้งหมด สำหรับตัวแปรสุ่มที่กำหนดค่าเฉลี่ย μ คือ ค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นหรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ถ้าชุด เอ็กซ์คือชุดของตัวเลขสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็น μ จากนั้นสำหรับตัวอย่างใดๆ x ผมจากคอลเลกชั่นนี้ μ = E( x ผม) คือความคาดหวังของกลุ่มตัวอย่างนี้

ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง μ และ x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) คือ μ เป็นตัวแปรทั่วไป เนื่องจากคุณสามารถดูตัวอย่างมากกว่าประชากรทั้งหมด ดังนั้น หากตัวอย่างถูกแสดงแบบสุ่ม (ในแง่ของทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดังนั้น x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (แต่ไม่ใช่ μ) จะถือว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นในตัวอย่าง ( การแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ย)

ปริมาณทั้งสองนี้คำนวณด้วยวิธีเดียวกัน:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

ถ้า เอ็กซ์เป็นตัวแปรสุ่ม จากนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็กซ์ถือได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าในการวัดปริมาณซ้ำ เอ็กซ์. นี่คือการแสดงให้เห็นของกฎของคนจำนวนมาก ดังนั้น ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจึงถูกนำมาใช้เพื่อประเมินค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จัก

ในพีชคณิตเบื้องต้น พิสูจน์ได้ว่าค่าเฉลี่ย น+ 1 ตัวเลขสูงกว่าค่าเฉลี่ย นตัวเลขเฉพาะในกรณีที่ตัวเลขใหม่มากกว่าค่าเฉลี่ยเดิม น้อยลงหากและเฉพาะในกรณีที่ตัวเลขใหม่น้อยกว่าค่าเฉลี่ย และจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเลขใหม่เท่ากับค่าเฉลี่ย ยิ่ง นความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยใหม่และเก่ายิ่งน้อยลงเท่านั้น

โปรดทราบว่ามี "ค่าเฉลี่ย" อื่นๆ อีกหลายอย่าง รวมถึงค่าเฉลี่ยกฎกำลัง ค่าเฉลี่ยคอลโมโกรอฟ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต และค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบต่างๆ (เช่น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก) .

ตัวอย่าง

• สำหรับตัวเลขสามตัว คุณต้องบวกกันแล้วหารด้วย 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)))

• สำหรับตัวเลขสี่ตัว คุณต้องบวกกันแล้วหารด้วย 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)))

หรือง่ายกว่า 5+5=10, 10:2. เพราะเราบวกเลข 2 ตัว เท่ากับว่าเราบวกเลขเท่าไหร่เราก็หารด้วยจำนวนนั้น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

สำหรับค่าที่กระจายอย่างต่อเนื่อง f (x) (\displaystyle f(x)) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในช่วง [ a ; b ] (\displaystyle ) ถูกกำหนดโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน:

F (x) ¯ [ ก ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

ปัญหาบางประการของการใช้ค่าเฉลี่ย

ขาดความแข็งแกร่ง

บทความหลัก: ความแข็งแกร่งในด้านสถิติ

แม้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักใช้เป็นค่าเฉลี่ยหรือแนวโน้มศูนย์กลาง แนวคิดนี้ใช้ไม่ได้กับสถิติเชิงตัวเลข ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก "ค่าเบี่ยงเบนมาก" เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงที่มีความเบ้มาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจไม่สอดคล้องกับแนวคิดของ "ค่าเฉลี่ย" และค่าเฉลี่ยจากสถิติที่มีประสิทธิภาพ (เช่น ค่ามัธยฐาน) อาจอธิบายแนวโน้มศูนย์กลางได้ดีกว่า

ตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณรายได้เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถตีความผิดเป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งอาจนำไปสู่ข้อสรุปว่ามีคนจำนวนมากที่มีรายได้มากกว่าที่เป็นจริง รายได้ "เฉลี่ย" ถูกตีความในลักษณะที่รายได้ของคนส่วนใหญ่ใกล้เคียงกับตัวเลขนี้ รายได้ "ค่าเฉลี่ย" (ในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) นี้สูงกว่ารายได้ของคนส่วนใหญ่ เนื่องจากรายได้ที่สูงและมีค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเบ้อย่างมาก (ในทางตรงกันข้าม รายได้ค่ามัธยฐาน "ต้านทาน" เอียงขนาดนั้น). อย่างไรก็ตาม รายได้ "เฉลี่ย" นี้ไม่ได้กล่าวถึงจำนวนคนที่ใกล้เคียงกับรายได้เฉลี่ย อย่างไรก็ตาม หากนำแนวคิดของ "ค่าเฉลี่ย" และ "ส่วนใหญ่" มาพิจารณาอย่างง่ายๆ อาจสรุปไม่ถูกต้องว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้สูงกว่าที่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น รายงานเกี่ยวกับรายได้สุทธิ "เฉลี่ย" ในเมืองเมดินา รัฐวอชิงตัน ซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้สุทธิต่อปีของผู้อยู่อาศัยทั้งหมด จะให้ตัวเลขที่สูงอย่างน่าประหลาดใจเนื่องจาก Bill Gates พิจารณาตัวอย่าง (1, 2, 2, 2, 3, 9) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 3.17 แต่ห้าในหกค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนี้

ดอกเบี้ยทบต้น

บทความหลัก: ผลตอบแทนการลงทุน

ถ้าตัวเลข คูณ, แต่ไม่ พับคุณต้องใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต บ่อยครั้งที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุนในด้านการเงิน

ตัวอย่างเช่น หากหุ้นลดลง 10% ในปีแรกและเพิ่มขึ้น 30% ในปีที่สอง การคำนวณการเพิ่มขึ้น "เฉลี่ย" ในช่วงสองปีนี้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ถูกต้อง (−10% + 30%) / 2 = 10%; ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องในกรณีนี้จะได้รับจากอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น ซึ่งการเติบโตต่อปีอยู่ที่ประมาณ 8.16653826392% ≈ 8.2% เท่านั้น

เหตุผลนี้คือเปอร์เซ็นต์มีจุดเริ่มต้นใหม่ในแต่ละครั้ง: 30% คือ 30% จากจำนวนที่น้อยกว่าราคา ณ ต้นปีแรก:หากหุ้นเริ่มต้นที่ 30 ดอลลาร์และลดลง 10% ก็จะมีมูลค่า 27 ดอลลาร์เมื่อเริ่มต้นปีที่สอง หากหุ้นเพิ่มขึ้น 30% จะมีมูลค่า 35.1 ดอลลาร์เมื่อสิ้นสุดปีที่สอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเติบโตนี้คือ 10% แต่เนื่องจากหุ้นเติบโตเพียง $5.1 ใน 2 ปี การเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 8.2% จึงให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ $35.1:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1] หากเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 10% ในวิธีเดียวกัน เราจะไม่ได้ค่าจริง: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]

ดอกเบี้ยทบต้น ณ สิ้นปีที่ 2: 90% * 130% = 117% กล่าวคือ เพิ่มขึ้นทั้งหมด 17% และดอกเบี้ยทบต้นเฉลี่ยต่อปีคือ 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \ประมาณ 108.2\%) นั่นคือ เพิ่มขึ้นเฉลี่ยปีละ 8.2%

ทิศทาง

บทความหลัก: สถิติปลายทาง

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรบางตัวที่เปลี่ยนแปลงตามวัฏจักร (เช่น เฟสหรือมุม) ควรใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของ 1° และ 359° จะเป็น 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° หมายเลขนี้ไม่ถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ

• ประการแรก การวัดเชิงมุมจะถูกกำหนดไว้สำหรับช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 360° เท่านั้น (หรือตั้งแต่ 0 ถึง 2π เมื่อวัดเป็นเรเดียน) ดังนั้น เลขคู่เดียวกันสามารถเขียนเป็น (1° และ −1°) หรือเป็น (1° และ 719°) ค่าเฉลี่ยของแต่ละคู่จะแตกต่างกัน: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• ประการที่สอง ในกรณีนี้ ค่า 0° (เทียบเท่ากับ 360°) จะเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตที่ดีที่สุด เนื่องจากตัวเลขเบี่ยงเบนจาก 0° น้อยกว่าค่าอื่นๆ (ค่า 0° มีความแปรปรวนน้อยที่สุด) เปรียบเทียบ:
  • จำนวน 1° เบี่ยงเบนจาก 0° เพียง 1°;
  • ตัวเลข 1° เบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้ 180° ไป 179°

ค่าเฉลี่ยสำหรับตัวแปรแบบวงกลมที่คำนวณตามสูตรข้างต้น จะถูกเลื่อนโดยเทียมเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยจริงไปที่กึ่งกลางของช่วงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ ค่าเฉลี่ยจึงถูกคำนวณด้วยวิธีที่แตกต่างกัน กล่าวคือ ตัวเลขที่มีความแปรปรวนน้อยที่สุด (จุดกึ่งกลาง) จะถูกเลือกเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ แทนที่จะลบออก จะใช้ระยะทางแบบโมดูโล (เช่น ระยะเส้นรอบวง) ตัวอย่างเช่น ระยะห่างโมดูลาร์ระหว่าง 1° ถึง 359° คือ 2° ไม่ใช่ 358° (บนวงกลมระหว่าง 359° ถึง 360°==0° - หนึ่งองศา ระหว่าง 0° ถึง 1° - รวมทั้งสิ้น 1° - 2 °)

4.3. ค่าเฉลี่ย สาระสำคัญและความหมายของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยในสถิติเรียกว่าตัวบ่งชี้ทั่วไปซึ่งแสดงลักษณะระดับทั่วไปของปรากฏการณ์ในเงื่อนไขเฉพาะของสถานที่และเวลา ซึ่งสะท้อนถึงขนาดของแอตทริบิวต์ที่แตกต่างกันต่อหน่วยของประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ ในทางปฏิบัติทางเศรษฐกิจ มีการใช้ตัวบ่งชี้ที่หลากหลายซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น ตัวบ่งชี้ทั่วไปของรายได้ของคนงานในบริษัทร่วมหุ้น (JSC) คือรายได้เฉลี่ยของคนงานหนึ่งคน ซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของกองทุนค่าจ้างและการจ่ายทางสังคมสำหรับช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา (ปี ไตรมาส เดือน ) ถึงจำนวนผู้ปฏิบัติงานในจชต.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นเทคนิคทั่วไปอย่างหนึ่ง ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงทั่วไปที่เป็นแบบฉบับ (ทั่วไป) สำหรับทุกหน่วยของประชากรที่ศึกษา ในขณะเดียวกันก็ไม่สนใจความแตกต่างระหว่างแต่ละหน่วย ในทุกปรากฏการณ์และการพัฒนานั้นมีการรวมกัน โอกาสและ ความต้องการ.เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเนื่องจากการทำงานของกฎหมายจำนวนมากการสุ่มจะยกเลิกซึ่งกันและกันทำให้สมดุลดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแยกออกจากคุณสมบัติที่ไม่มีนัยสำคัญของปรากฏการณ์จากค่าเชิงปริมาณของแอตทริบิวต์ในแต่ละรายการ กรณี. ในความสามารถในการแยกออกจากการสุ่มของค่าแต่ละค่า ความผันผวนอยู่ที่ค่าทางวิทยาศาสตร์ของค่าเฉลี่ย เช่น สรุปลักษณะรวม

ในกรณีที่มีความจำเป็นสำหรับการทำให้เป็นลักษณะทั่วไป การคำนวณคุณลักษณะดังกล่าวจะนำไปสู่การแทนที่ค่าแต่ละค่าที่แตกต่างกันของแอตทริบิวต์ ปานกลางตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะของปรากฏการณ์ทั้งหมดซึ่งทำให้สามารถระบุรูปแบบที่มีอยู่ในปรากฏการณ์ทางสังคมจำนวนมากซึ่งมองไม่เห็นในปรากฏการณ์เดียว

ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงลักษณะทั่วไป ระดับจริงของปรากฏการณ์ที่ศึกษา ระบุลักษณะระดับเหล่านี้และการเปลี่ยนแปลงของเวลาและพื้นที่

ค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะสรุปของความสม่ำเสมอของกระบวนการภายใต้เงื่อนไขที่ดำเนินการ

4.4. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

การเลือกประเภทของค่าเฉลี่ยจะพิจารณาจากเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้บางตัวและข้อมูลเริ่มต้น ในแต่ละกรณีจะใช้หนึ่งในค่าเฉลี่ย: เลขคณิต, การ์โมนิก, เรขาคณิต, กำลังสอง, ลูกบาศก์เป็นต้น ค่าเฉลี่ยที่แสดงเป็นของชั้นเรียน พลังปานกลาง.

นอกจากค่าเฉลี่ยของกฎกำลังแล้ว ในทางปฏิบัติทางสถิติ มีการใช้ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง ซึ่งถือว่าเป็นฐานนิยมและค่ามัธยฐาน

ให้เราอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพลังอำนาจ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบมากที่สุดคือ เฉลี่ย เลขคณิตใช้ในกรณีที่ปริมาณของแอตทริบิวต์ตัวแปรสำหรับประชากรทั้งหมดคือผลรวมของค่าแอตทริบิวต์ของแต่ละหน่วย ปรากฏการณ์ทางสังคมมีลักษณะเป็นการบวก (ผลรวม) ของปริมาณของคุณลักษณะที่แตกต่างกัน ซึ่งจะกำหนดขอบเขตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและอธิบายความชุกของมันเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไป ตัวอย่างเช่น กองทุนค่าจ้างทั้งหมดคือผลรวมของค่าจ้างของคนงานทั้งหมด การเก็บเกี่ยวรวมคือผลรวมของผลผลิตจากพื้นที่หว่านทั้งหมด

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณต้องหารผลรวมของค่าคุณลักษณะทั้งหมดด้วยจำนวน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกนำมาใช้ในแบบฟอร์ม ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักค่าเฉลี่ยอย่างง่ายทำหน้าที่เป็นรูปแบบเริ่มต้นที่กำหนด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายเท่ากับผลรวมอย่างง่ายของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะเฉลี่ย หารด้วยจำนวนรวมของค่าเหล่านี้ (ใช้ในกรณีที่ค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะไม่ได้จัดกลุ่ม):

ที่ไหน
- แต่ละค่าของตัวแปร (ตัวเลือก); ม - จำนวนหน่วยประชากร

จะไม่มีการระบุขีดจำกัดผลรวมเพิ่มเติมในสูตร ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาผลลัพธ์เฉลี่ยของคนงาน 1 คน (ช่างทำกุญแจ) หากทราบว่าคนงาน 15 คนผลิตได้กี่ส่วน เช่น ได้รับค่าลักษณะเฉพาะจำนวนหนึ่งชิ้น:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยสูตร (4.1), 1 ชิ้น:

ค่าเฉลี่ยของตัวเลือกที่ทำซ้ำในจำนวนครั้งที่ต่างกันหรือมีน้ำหนักต่างกันเรียกว่า ถ่วงน้ำหนักน้ำหนักคือจำนวนหน่วยในกลุ่มประชากรต่างๆ (กลุ่มรวมตัวเลือกเดียวกัน)

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต- ค่าเฉลี่ยที่จัดกลุ่ม , - คำนวณโดยสูตร:

, (4.2)

ที่ไหน
- น้ำหนัก (ความถี่ของการทำซ้ำของคุณสมบัติเดียวกัน)

- ผลรวมของผลคูณของขนาดของคุณลักษณะตามความถี่

- จำนวนหน่วยประชากรทั้งหมด

เราจะแสดงเทคนิคการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตโดยใช้ตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น ในการทำเช่นนี้ เราจะจัดกลุ่มข้อมูลเริ่มต้นและวางไว้ในตาราง 4.1.

ตารางที่ 4.1

การกระจายแรงงานเพื่อพัฒนาส่วนต่างๆ

ตามสูตร (4.2) ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตเท่ากัน ชิ้น:

ในบางกรณี น้ำหนักอาจไม่ได้แสดงด้วยค่าสัมบูรณ์ แต่ใช้ค่าสัมพัทธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์หรือเศษส่วนของหน่วย) จากนั้นสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตจะมีลักษณะดังนี้:

ที่ไหน
- โดยเฉพาะอย่างยิ่งเช่น ส่วนแบ่งของแต่ละความถี่ในผลรวมของทั้งหมด

หากนับความถี่เป็นเศษส่วน (สัมประสิทธิ์) แล้ว
= 1 และสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตคือ:

การคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม ดำเนินการตามสูตร:

,

ที่ไหน ฉจำนวนหน่วยในแต่ละกลุ่ม

ผลการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยกลุ่มแสดงในตาราง 4.2.

ตารางที่ 4.2

การกระจายคนงานตามอายุงานเฉลี่ย

ในตัวอย่างนี้ ตัวเลือกไม่ใช่ข้อมูลส่วนตัวเกี่ยวกับระยะเวลาการให้บริการของพนักงานแต่ละคน แต่เป็นค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละเวิร์กชอป เครื่องชั่ง ฉคือจำนวนคนงานในร้าน ดังนั้น ประสบการณ์ทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานทั่วทั้งองค์กรจะเป็นปี:

.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดการแจกแจง

หากกำหนดค่าของแอตทริบิวต์เฉลี่ยเป็นช่วง (“จาก - ถึง”) เช่น อนุกรมการแจกแจงช่วงเวลา จากนั้นเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต จุดกึ่งกลางของช่วงเวลาเหล่านี้จะถูกนำมาเป็นค่าของคุณลักษณะในกลุ่ม ซึ่งเป็นผลมาจากการสร้างอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่อง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ (ตารางที่ 4.3)

ลองย้ายจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่องโดยแทนที่ค่าช่วงเวลาด้วยค่าเฉลี่ย / (ค่าเฉลี่ยอย่างง่าย

ตารางที่ 4.3

การกระจายคนงาน AO ตามระดับค่าจ้างรายเดือน

กลุ่มคนทำงานเพื่อ	จำนวนคนงาน	ช่วงกลางของช่วงเวลา
ค่าจ้างถู	ต่อ ฉ	ถู., เอ็กซ์
900ขึ้นไป

ค่าของช่วงเวลาที่เปิด (ครั้งแรกและครั้งสุดท้าย) จะเท่ากับช่วงเวลาที่อยู่ติดกันตามเงื่อนไข (วินาทีและสุดท้าย)

ด้วยการคำนวณค่าเฉลี่ยดังกล่าว อนุญาตให้มีความไม่ถูกต้องบางประการ เนื่องจากมีการสันนิษฐานเกี่ยวกับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอของหน่วยของแอตทริบิวต์ภายในกลุ่ม อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดจะยิ่งเล็กลง ช่วงเวลายิ่งแคบ และยิ่งมีหน่วยในช่วงเวลามากขึ้น

หลังจากพบจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาแล้ว การคำนวณจะทำในลักษณะเดียวกับในชุดแบบไม่ต่อเนื่อง - ตัวเลือกจะคูณด้วยความถี่ (น้ำหนัก) และผลรวมของผลิตภัณฑ์จะถูกหารด้วยผลรวมของความถี่ (น้ำหนัก) , พันรูเบิล:

.

ดังนั้นระดับค่าตอบแทนเฉลี่ยของพนักงานใน JSC คือ 729 รูเบิล ต่อเดือน.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักเกี่ยวข้องกับการใช้เวลาและแรงงานจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี ขั้นตอนการคำนวณค่าเฉลี่ยสามารถทำให้ง่ายขึ้นและอำนวยความสะดวกได้โดยใช้คุณสมบัติของมัน ให้เรานำเสนอ (โดยไม่ต้องพิสูจน์) คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คุณสมบัติ 1. หากค่าลักษณะส่วนบุคคลทั้งหมด (เช่น ตัวเลือกทั้งหมด) ลดลงหรือเพิ่มขึ้น ผมครั้ง แล้วหาค่าเฉลี่ย ของคุณสมบัติใหม่จะลดลงหรือเพิ่มขึ้นตาม ผมครั้งหนึ่ง.

ทรัพย์สิน 2. หากคุณลักษณะเฉลี่ยลดลงทั้งหมดเย็บหรือเพิ่มขึ้นตามจำนวน A จากนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตลดลงหรือเพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำาคัญในจำานวนเดียวกัน A

ทรัพย์สิน3. หากน้ำหนักของตัวเลือกเฉลี่ยทั้งหมดลดลง หรือเพิ่มขึ้นเป็น ถึง ครั้ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง

ในฐานะน้ำหนักเฉลี่ย แทนที่จะใช้ตัวบ่งชี้แบบสัมบูรณ์ คุณสามารถใช้น้ำหนักเฉพาะในผลรวมทั้งหมด (ส่วนแบ่งหรือเปอร์เซ็นต์) ทำให้การคำนวณค่าเฉลี่ยง่ายขึ้น

เพื่อให้การคำนวณค่าเฉลี่ยง่ายขึ้น พวกเขาทำตามเส้นทางของการลดค่าของตัวเลือกและความถี่ การทำให้เข้าใจง่ายที่สุดทำได้เมื่อ และค่าของหนึ่งในตัวเลือกส่วนกลางที่มีความถี่สูงสุดจะถูกเลือกเป็น / - ค่าของช่วงเวลา (สำหรับแถวที่มีช่วงเวลาเดียวกัน) ค่า L เรียกว่า จุดเริ่มต้น ดังนั้นวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้จึงเรียกว่า "วิธีการนับจากศูนย์ตามเงื่อนไข" หรือ "วิธีแห่งช่วงเวลา".

สมมติว่าตัวเลือกทั้งหมด เอ็กซ์ลดลงครั้งแรกด้วยหมายเลข A เดียวกัน แล้วจึงลดลง ผมครั้งหนึ่ง. เราได้รับชุดการกระจายรูปแบบใหม่ของตัวแปรใหม่ .

แล้ว ตัวเลือกใหม่จะแสดง:

,

และค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ , -ช่วงเวลาการสั่งซื้อครั้งแรก- สูตร:

.

มันเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวเลือกเดิม อันดับแรกลดลง และ,แล้วเข้าไป ผมครั้งหนึ่ง.

เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง คุณต้องมีช่วงเวลาของลำดับแรก ม 1 คูณด้วย ผมและเพิ่ม และ:

.

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากอนุกรมแปรผันนี้เรียกว่า "วิธีแห่งช่วงเวลา".วิธีนี้ใช้ในแถวที่มีระยะห่างเท่ากัน

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีโมเมนต์แสดงโดยข้อมูลในตาราง 4.4.

ตารางที่ 4.4

การกระจายตัวของวิสาหกิจขนาดเล็กในภูมิภาคตามมูลค่าของสินทรัพย์การผลิตถาวร (OPF) ในปี 2543

กลุ่มวิสาหกิจในราคา OPF พันรูเบิล	จำนวนวิสาหกิจ ฉ	ช่วงกลาง, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

การหาช่วงเวลาของลำดับแรก

.

จากนั้นสมมติให้ A = 19 แล้วจะรู้ว่า ผม= 2 คำนวณ เอ็กซ์,พันรูเบิล.:

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

ในขั้นตอนของการประมวลผลทางสถิติสามารถตั้งค่างานวิจัยต่างๆ ได้ ซึ่งจำเป็นต้องเลือกค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา ในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้: ค่าที่แสดงถึงตัวเศษและตัวส่วนของค่าเฉลี่ยจะต้องสัมพันธ์กันทางตรรกะ

• ค่าเฉลี่ยกำลัง;
• ค่าเฉลี่ยของโครงสร้าง.

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

ค่าที่คำนวณค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย โดยที่บรรทัดด้านบนระบุว่าค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าเกิดขึ้น

ความถี่ (ความสามารถในการทำซ้ำของค่าคุณลักษณะแต่ละค่า)

วิธีต่างๆ ได้มาจากสูตรค่าเฉลี่ยกำลังทั่วไป:

(5.1)

สำหรับ k = 1 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต; k = -1 - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก; k = 0 - ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต k = -2 - รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยเป็นแบบธรรมดาหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเรียกว่าปริมาณที่คำนึงว่าตัวแปรบางตัวของค่าแอตทริบิวต์อาจมีตัวเลขต่างกัน ดังนั้นแต่ละตัวแปรจึงต้องคูณด้วยตัวเลขนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง "น้ำหนัก" คือจำนวนหน่วยประชากรในกลุ่มต่างๆ เช่น แต่ละตัวเลือกจะ "ถ่วงน้ำหนัก" ตามความถี่ เรียกความถี่ f น้ำหนักทางสถิติหรือ การชั่งน้ำหนักเฉลี่ย.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต- ประเภทของสื่อที่พบมากที่สุด ใช้เมื่อทำการคำนวณกับข้อมูลทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ซึ่งคุณต้องการรับผลรวมเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยของฟีเจอร์ เมื่อได้รับแล้ว ปริมาณรวมของฟีเจอร์ในประชากรจะไม่เปลี่ยนแปลง

สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( เรียบง่าย) มีรูปแบบ

โดยที่ n คือขนาดประชากร

ตัวอย่างเช่น เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานขององค์กรจะคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตัวบ่งชี้ที่กำหนดที่นี่คือค่าจ้างของพนักงานแต่ละคนและจำนวนพนักงานขององค์กร เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย จำนวนค่าจ้างทั้งหมดยังคงเท่าเดิม แต่กระจายเท่าๆ กันในหมู่คนงานทั้งหมด ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานในบริษัทขนาดเล็กที่มีพนักงาน 8 คน:

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย แต่ละค่าของแอตทริบิวต์ที่เป็นค่าเฉลี่ยสามารถทำซ้ำได้ ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงคำนวณโดยใช้ข้อมูลที่จัดกลุ่ม ในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงการใช้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักซึ่งดูเหมือนว่า

(5.3)

ดังนั้นเราต้องคำนวณราคาหุ้นเฉลี่ยของบริษัทร่วมทุนในตลาดหลักทรัพย์ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการทำธุรกรรมภายใน 5 วัน (5 รายการ) จำนวนหุ้นที่ขายในอัตราการขายมีการกระจายดังนี้

1 - 800 เอซี - 1,010 รูเบิล

2 - 650 เอซี - 990 ถู

3 - 700 อัค - 1,015 รูเบิล

4 - 550 เอซี - 900 ถู

5 - 850 อัค - 1,150 รูเบิล

อัตราส่วนเริ่มต้นสำหรับการกำหนดราคาหุ้นเฉลี่ยคืออัตราส่วนของจำนวนธุรกรรมทั้งหมด (OSS) ต่อจำนวนหุ้นที่ขาย (KPA)

วิธีการเฉลี่ย

3.1 สาระสำคัญและความหมายของค่าเฉลี่ยทางสถิติ ประเภทของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยในสถิติ ลักษณะทั่วไปของปรากฏการณ์และกระบวนการที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงคุณภาพตามแอตทริบิวต์ที่แตกต่างกันบางอย่างเรียกว่า ซึ่งแสดงระดับของแอตทริบิวต์ที่เกี่ยวข้องกับหน่วยของประชากร ค่าเฉลี่ย นามธรรม เพราะ กำหนดลักษณะค่าของแอตทริบิวต์สำหรับหน่วยที่ไม่มีตัวตนของประชากรแก่นแท้ของขนาดเฉลี่ยอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าทั่วไปและจำเป็น เช่น แนวโน้มและความสม่ำเสมอในการพัฒนาปรากฏการณ์มวล ถูกเปิดเผยผ่านตัวบุคคลและโดยบังเอิญ คุณสมบัติที่สรุปเป็นค่าเฉลี่ยมีอยู่ในทุกหน่วยของประชากร. ด้วยเหตุนี้ค่าเฉลี่ยจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการระบุรูปแบบที่มีอยู่ในปรากฏการณ์มวลและไม่สามารถสังเกตเห็นได้ในแต่ละหน่วยของประชากร

หลักการทั่วไปในการใช้ค่าเฉลี่ย:

จำเป็นต้องเลือกหน่วยประชากรที่เหมาะสมซึ่งคำนวณค่าเฉลี่ย

เมื่อกำหนดค่าเฉลี่ยจำเป็นต้องดำเนินการจากเนื้อหาเชิงคุณภาพของลักษณะเฉลี่ยโดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ของลักษณะที่ศึกษารวมถึงข้อมูลที่มีสำหรับการคำนวณ

ควรคำนวณค่าเฉลี่ยตามมวลรวมที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพซึ่งได้มาจากวิธีการจัดกลุ่มซึ่งเกี่ยวข้องกับการคำนวณระบบของตัวบ่งชี้ทั่วไป

ค่าเฉลี่ยโดยรวมควรได้รับการสนับสนุนจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม

ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลหลัก ขอบเขตและวิธีการคำนวณทางสถิติ มีดังต่อไปนี้: ประเภทหลักของค่าเฉลี่ย:

1) ค่าเฉลี่ยกำลัง(ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ฮาร์มอนิก เรขาคณิต ค่าเฉลี่ยรากกำลังสองและลูกบาศก์);

2) ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง (แบบไม่มีพารามิเตอร์)(โหมดและค่ามัธยฐาน)

ในสถิติ การกำหนดลักษณะที่ถูกต้องของประชากรภายใต้การศึกษาบนพื้นฐานของลักษณะที่แตกต่างกันในแต่ละกรณีจะได้รับจากประเภทค่าเฉลี่ยที่กำหนดไว้อย่างดีเท่านั้น คำถามที่ว่าควรใช้ค่าเฉลี่ยประเภทใดในกรณีใดกรณีหนึ่งจะได้รับการแก้ไขโดยการวิเคราะห์เฉพาะของประชากรที่กำลังศึกษา รวมทั้งขึ้นอยู่กับหลักการของความหมายของผลลัพธ์เมื่อสรุปผลหรือเมื่อชั่งน้ำหนัก หลักการเหล่านี้และหลักการอื่นๆ แสดงอยู่ในสถิติ ทฤษฎีค่าเฉลี่ย.

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถูกใช้เพื่อระบุลักษณะค่าเฉลี่ยของลักษณะตัวแปรในประชากรที่กำลังศึกษา ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตใช้เฉพาะเมื่อคำนวณอัตราเฉลี่ยของไดนามิก และค่าเฉลี่ยกำลังสองเมื่อคำนวณตัวบ่งชี้การแปรผันเท่านั้น

สูตรการคำนวณค่าเฉลี่ยแสดงในตารางที่ 3.1

ตารางที่ 3.1 - สูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย

ประเภทของค่าเฉลี่ย	สูตรการคำนวณ
	เรียบง่าย	ถ่วงน้ำหนัก
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2. ฮาร์มอนิกเฉลี่ย
3. ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
4. รากเฉลี่ยสแควร์

ชื่อ:- ปริมาณที่คำนวณค่าเฉลี่ย - ค่าเฉลี่ยโดยที่บรรทัดด้านบนระบุว่าค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าเกิดขึ้น - ความถี่ (ความสามารถในการทำซ้ำของค่าคุณลักษณะแต่ละค่า)

เห็นได้ชัดว่าค่าเฉลี่ยต่างๆ มาจาก สูตรทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ยกำลัง (3.1) :

, (3.1)

สำหรับ k = + 1 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต; k = -1 - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก; k = 0 - ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต k = +2 - รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยเป็นแบบธรรมดาหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ค่าถูกเรียกโดยคำนึงถึงค่าแอตทริบิวต์บางค่าอาจมีตัวเลขต่างกัน ในการนี้ แต่ละตัวเลือกจะต้องคูณด้วยจำนวนนี้ ในกรณีนี้ "น้ำหนัก" คือจำนวนหน่วยประชากรในกลุ่มต่างๆ เช่น แต่ละตัวเลือกจะ "ถ่วงน้ำหนัก" ตามความถี่ เรียกความถี่ f น้ำหนักทางสถิติหรือ การชั่งน้ำหนักเฉลี่ย.

ในท้ายที่สุด ตัวเลือกที่ถูกต้องของค่าเฉลี่ยถือว่าลำดับต่อไปนี้:

ก) การจัดตั้งตัวบ่งชี้ทั่วไปของประชากร

b) การกำหนดอัตราส่วนทางคณิตศาสตร์ของค่าสำหรับตัวบ่งชี้ทั่วไปที่กำหนด

c) การแทนที่ค่าแต่ละค่าด้วยค่าเฉลี่ย

ง) การคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้สมการที่เกี่ยวข้อง

3.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและคุณสมบัติและเทคนิคการคำนวณ ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต- ขนาดกลางที่พบมากที่สุด มันถูกคำนวณในกรณีเหล่านั้นเมื่อปริมาณของแอตทริบิวต์เฉลี่ยถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของค่าสำหรับแต่ละหน่วยของประชากรทางสถิติที่ศึกษา

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

1. ผลคูณของค่าเฉลี่ยและผลรวมของความถี่จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของตัวแปร (ค่าแต่ละค่า) และความถี่เสมอ

2. หากมีการลบ (เพิ่ม) ตัวเลขใดๆ จากแต่ละตัวเลือก ค่าเฉลี่ยใหม่จะลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยตัวเลขเดียวกัน

3. หากแต่ละตัวเลือกถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนที่กำหนด ค่าเฉลี่ยใหม่จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

4. หากความถี่ (น้ำหนัก) ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยจำนวนใด ๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลงจากนี้

5. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของแต่ละตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็นศูนย์เสมอ

เป็นไปได้ที่จะลบค่าคงที่โดยพลการออกจากค่าทั้งหมดของแอตทริบิวต์ (ดีกว่าคือค่าของตัวเลือกกลางหรือตัวเลือกที่มีความถี่สูงสุด) ลดความแตกต่างที่เกิดขึ้นด้วยปัจจัยร่วม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งตามค่าของช่วงเวลา ) และแสดงความถี่เป็นรายการพิเศษ (เป็นเปอร์เซ็นต์) และคูณค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้ด้วยปัจจัยร่วมและเพิ่มค่าคงที่โดยพลการ วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตนี้เรียกว่า วิธีการคำนวณจากเงื่อนไขศูนย์ .

เฉลี่ยเรขาคณิตพบการประยุกต์ใช้ในการกำหนดอัตราการเติบโตเฉลี่ย (อัตราการเติบโตเฉลี่ย) เมื่อค่าแต่ละค่าของลักษณะแสดงเป็นค่าสัมพัทธ์ นอกจากนี้ยังใช้หากจำเป็นต้องค้นหาค่าเฉลี่ยระหว่างค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของคุณลักษณะ (เช่น ระหว่าง 100 ถึง 1000000)

รากหมายถึงกำลังสองใช้ในการวัดการเปลี่ยนแปลงของคุณลักษณะในประชากร (การคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

ในทางสถิติมันใช้งานได้ กฎเสียงข้างมากสำหรับวิธีการ:

อันตราย X< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 หมายถึงโครงสร้าง (โหมดและค่ามัธยฐาน)

ในการกำหนดโครงสร้างของประชากรจะใช้ค่าเฉลี่ยพิเศษซึ่งรวมถึงค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยมหรือค่าเฉลี่ยโครงสร้าง หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณจากการใช้ตัวแปรทั้งหมดของค่าแอตทริบิวต์ ค่ามัธยฐานและฐานนิยมจะแสดงลักษณะของค่าของตัวแปรที่อยู่ในตำแหน่งเฉลี่ยที่แน่นอนในชุดรูปแบบอันดับ

แฟชั่น- ค่าที่พบมากที่สุดและพบบ่อยที่สุดของคุณสมบัติ สำหรับ ซีรีส์ที่ไม่ต่อเนื่องโหมดจะเป็นโหมดที่มีความถี่สูงสุด เพื่อกำหนดแฟชั่น ซีรีย์ช่วงเวลาขั้นแรกให้กำหนดช่วงเวลาโมดอล (ช่วงเวลาที่มีความถี่สูงสุด) จากนั้นภายในช่วงเวลานี้ จะพบค่าของคุณลักษณะซึ่งอาจเป็นโหมด

ในการค้นหาค่าเฉพาะของโหมดของอนุกรมช่วงเวลาจำเป็นต้องใช้สูตร (3.2)

(3.2)

โดยที่ X Mo คือขีดจำกัดล่างของช่วงเวลาโมดอล ฉัน Mo - ค่าของช่วงเวลาโมดอล; f Mo คือความถี่ของช่วงกิริยา f Mo-1 - ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล f Mo+1 - ความถี่ของช่วงเวลาหลังโมดอล

แฟชั่นถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในกิจกรรมทางการตลาดในการศึกษาความต้องการของผู้บริโภค โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการกำหนดขนาดของเสื้อผ้าและรองเท้าที่เป็นที่ต้องการมากที่สุด ในขณะที่ควบคุมนโยบายราคา

ค่ามัธยฐาน - ค่าของแอตทริบิวต์ตัวแปรซึ่งอยู่ตรงกลางของประชากรที่อยู่ในระยะ สำหรับ อันดับชุดเลขคี่ค่าแต่ละค่า (เช่น 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าที่อยู่ตรงกลางของซีรี่ส์ เช่น ค่าที่สี่คือ 6 สำหรับ อันดับซีรีส์ที่มีเลขคู่แต่ละค่า (เช่น 1, 5, 7, 10, 11, 14) ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งคำนวณจากค่าที่อยู่ติดกันสองค่า ในกรณีของเรา ค่ามัธยฐานคือ (7+10)/2= 8.5

ดังนั้น ในการหาค่ามัธยฐาน ก่อนอื่นจำเป็นต้องกำหนดเลขลำดับของมัน (ตำแหน่งของมันในชุดอันดับ) โดยใช้สูตร (3.3):

(หากไม่มีความถี่)

เอ็นฉัน=
(ถ้ามีความถี่) (3.3)

โดยที่ n คือจำนวนหน่วยในประชากร

ค่าตัวเลขของค่ามัธยฐาน ซีรีย์ช่วงเวลากำหนดโดยความถี่สะสมในชุดแปรผันแบบไม่ต่อเนื่อง ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นคุณต้องระบุช่วงเวลาสำหรับการค้นหาค่ามัธยฐานในชุดช่วงเวลาของการแจกแจง ค่ามัธยฐานคือช่วงแรกที่ผลรวมของความถี่สะสมเกินครึ่งหนึ่งของจำนวนการสังเกตทั้งหมด

ค่าตัวเลขของมัธยฐานมักจะถูกกำหนดโดยสูตร (3.4)

(3.4)

โดยที่ x Me - ขีด จำกัด ล่างของช่วงเวลามัธยฐาน iMe - ค่าของช่วงเวลา SMe -1 - ความถี่สะสมของช่วงเวลาที่นำหน้าค่ามัธยฐาน fMe คือความถี่ของช่วงเวลามัธยฐาน

ภายในช่วงเวลาที่พบ ค่ามัธยฐานจะถูกคำนวณโดยใช้สูตร Me = xl e โดยที่ปัจจัยที่สองทางด้านขวาของสมการแสดงตำแหน่งของค่ามัธยฐานภายในช่วงค่ามัธยฐาน และ x คือความยาวของช่วงเวลานี้ ค่ามัธยฐานแบ่งชุดการเปลี่ยนแปลงออกเป็นครึ่งหนึ่งตามความถี่ กำหนดเพิ่มเติม ควอไทล์ ซึ่งแบ่งอนุกรมการแปรผันออกเป็น 4 ส่วนที่มีขนาดความน่าจะเป็นเท่าๆ กัน และ เดซิลิตร แบ่งซีรีส์ออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆ กัน

รูปแบบทั่วไปของตัวบ่งชี้ทางสถิติที่ใช้ในการวิจัยทางเศรษฐกิจและสังคมคือค่าเฉลี่ย ซึ่งเป็นลักษณะเชิงปริมาณทั่วไปของสัญญาณของประชากรทางสถิติ ค่าเฉลี่ยคือ "ตัวแทน" ของการสังเกตทั้งชุด ในหลายกรณี ค่าเฉลี่ยสามารถกำหนดได้จากอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ย (ISS) หรือสูตรตรรกะ: ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณค่าจ้างเฉลี่ยของพนักงานขององค์กร จำเป็นต้องหารกองทุนค่าจ้างทั้งหมดด้วยจำนวนพนักงาน: ตัวเศษของอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ยคือตัวบ่งชี้ที่กำหนด สำหรับค่าจ้างเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ที่กำหนดคือกองทุนค่าจ้าง สำหรับตัวบ่งชี้แต่ละตัวที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐกิจและสังคม สามารถรวบรวมอัตราส่วนอ้างอิงที่แท้จริงเพียงหนึ่งอัตราส่วนเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ควรเพิ่มด้วยว่าเพื่อให้ประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่างขนาดเล็กได้แม่นยำยิ่งขึ้น (ที่มีจำนวนองค์ประกอบน้อยกว่า 30) ไม่ควรใช้ตัวส่วนของนิพจน์ใต้ราก น, ก n- 1.

แนวคิดและประเภทของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย- นี่คือตัวบ่งชี้ทั่วไปของประชากรทางสถิติซึ่งดับความแตกต่างของแต่ละบุคคลในค่าของปริมาณทางสถิติทำให้คุณสามารถเปรียบเทียบประชากรที่แตกต่างกันได้ มีอยู่ 2 ชั้นเรียนค่าเฉลี่ย: กำลังและโครงสร้าง ค่าเฉลี่ยโครงสร้างคือ แฟชั่น และ ค่ามัธยฐาน แต่ที่นิยมใช้กันมากที่สุด ค่าเฉลี่ยกำลังชนิดต่างๆ

ค่าเฉลี่ยกำลัง

ค่าเฉลี่ยพลังงานสามารถ เรียบง่ายและ ถ่วงน้ำหนัก.

ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายจะคำนวณเมื่อมีค่าทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่มตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ซึ่งจัดเรียงตามลำดับโดยพลการตามสูตรทั่วไปต่อไปนี้ของกฎกำลังเฉลี่ย (สำหรับค่าต่างๆ ของ k (m)):

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณจากสถิติที่จัดกลุ่มโดยใช้สูตรทั่วไปต่อไปนี้:

โดยที่ x - ค่าเฉลี่ยของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา x i – ตัวแปร i-th ของคุณลักษณะเฉลี่ย ;

f i คือน้ำหนักของตัวเลือก i-th

โดยที่ X คือค่าของค่าสถิติแต่ละรายการหรือจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาการจัดกลุ่ม
ม. - เลขชี้กำลังซึ่งขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทต่อไปนี้:
ที่ m = -1 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก;
สำหรับ m = 0 ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
สำหรับ m = 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ที่ m = 2 รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง;
ที่ m = 3 ลูกบาศก์เฉลี่ย

การใช้สูตรทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ยอย่างง่ายและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่เลขชี้กำลังต่างๆ m เราได้สูตรเฉพาะของแต่ละประเภท ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดด้านล่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - ช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับแรก, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าของตัวแปรสุ่มที่มีการทดลองจำนวนมาก

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่าเฉลี่ยที่ใช้บ่อยที่สุด ซึ่งได้จากการแทนค่า m = 1 ลงในสูตรทั่วไป ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เรียบง่ายมีรูปแบบดังนี้

หรือ

โดยที่ X คือค่าของปริมาณที่จำเป็นในการคำนวณค่าเฉลี่ย N คือจำนวนรวมของค่า X (จำนวนหน่วยในประชากรที่ศึกษา)

ตัวอย่างเช่น นักเรียนสอบผ่าน 4 ครั้งและได้คะแนน 3, 4, 4 และ 5 ลองคำนวณคะแนนเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ่วงน้ำหนักมีรูปแบบดังนี้

โดยที่ f คือจำนวนค่าที่มีค่า X (ความถี่) เท่ากัน >ตัวอย่างเช่น นักเรียนสอบผ่าน 4 ครั้งและได้เกรดต่อไปนี้: 3, 4, 4 และ 5 คำนวณคะแนนเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .หากกำหนดค่า X เป็นช่วงเวลา จุดกึ่งกลางของช่วงเวลา X จะถูกใช้สำหรับการคำนวณ ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขีดจำกัดบนและล่างของช่วงเวลา และถ้าช่วง X ไม่มีขีด จำกัด ล่างหรือบน (ช่วงเปิด) จากนั้นจะใช้ช่วง (ความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด บนและล่าง) ของช่วงเวลาที่อยู่ติดกันเพื่อค้นหาช่วง (ความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด บนและล่าง) ตัวอย่างเช่น ในองค์กรมีพนักงาน 10 คนที่มีประสบการณ์การทำงานสูงสุด 3 ปี, 20 คน - มีประสบการณ์การทำงานตั้งแต่ 3 ถึง 5 ปี, พนักงาน 5 คน - มีประสบการณ์การทำงานมากกว่า 5 ปี จากนั้นเราจะคำนวณระยะเวลาการทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต โดยพิจารณาจาก X ระยะกลางของระยะเวลาการทำงาน (2, 4 และ 6 ปี): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 ปี

ฟังก์ชัน AVERAGE

ฟังก์ชันนี้จะคำนวณค่าเฉลี่ย (เลขคณิต) ของอาร์กิวเมนต์

เฉลี่ย(หมายเลข 1, หมายเลข 2, ...)

Number1, number2, ... เป็นอาร์กิวเมนต์ 1 ถึง 30 ที่คำนวณค่าเฉลี่ย

อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นตัวเลขหรือชื่อ อาร์เรย์หรือการอ้างอิงที่มีตัวเลข หากอาร์กิวเมนต์ซึ่งเป็นอาร์เรย์หรือลิงก์ประกอบด้วยข้อความ บูลีน หรือเซลล์ว่าง ค่าเหล่านั้นจะถูกละเว้น อย่างไรก็ตามเซลล์ที่มีค่า Null จะถูกนับ

ฟังก์ชัน AVERAGE

คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่กำหนดในรายการอาร์กิวเมนต์ นอกเหนือจากตัวเลข ข้อความและค่าตรรกะ เช่น TRUE และ FALSE สามารถเข้าร่วมในการคำนวณได้

AVERAGE(ค่า 1, ค่า 2,...)

ค่า1, ค่า2,... คือ 1 ถึง 30 เซลล์ ช่วงเซลล์ หรือค่าที่คำนวณค่าเฉลี่ย

อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นตัวเลข ชื่อ อาร์เรย์ หรือการอ้างอิง อาร์เรย์และลิงก์ที่มีข้อความจะถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์) ข้อความว่าง ("") ถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์) อาร์กิวเมนต์ที่มีค่า TRUE จะถูกตีความเป็น 1 อาร์กิวเมนต์ที่มีค่า FALSE จะถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกใช้บ่อยที่สุด แต่ก็มีบางครั้งที่จำเป็นต้องใช้ค่าเฉลี่ยประเภทอื่น ลองพิจารณากรณีดังกล่าวเพิ่มเติม

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสำหรับกำหนดผลรวมเฉลี่ยของส่วนกลับ

ฮาร์มอนิกเฉลี่ยจะใช้เมื่อข้อมูลต้นฉบับไม่มีความถี่ f สำหรับแต่ละค่าของ X แต่แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ Xf แทน Xf=w เราแสดง f=w/X และแทนที่การกำหนดเหล่านี้เป็นสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เราได้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก:

ดังนั้น จะใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบฮาร์มอนิกเมื่อไม่ทราบความถี่ f แต่ทราบค่า w=Xf ในกรณีที่ w=1 ทั้งหมด นั่นคือ ค่าแต่ละค่าของ X เกิดขึ้น 1 ครั้ง จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยแบบฮาร์มอนิก: หรือ ตัวอย่างเช่น รถยนต์กำลังเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ด้วยความเร็ว 90 กม./ชม. และถอยหลังด้วยความเร็ว 110 กม./ชม. ในการกำหนดความเร็วเฉลี่ยเราใช้สูตรฮาร์มอนิกอย่างง่ายเนื่องจากตัวอย่างให้ระยะทาง w 1 \u003d w 2 (ระยะทางจากจุด A ไปยังจุด B เท่ากับจาก B ถึง A) ซึ่งเท่ากับผลคูณ ของความเร็ว (X) และเวลา ( f) ความเร็วเฉลี่ย = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 กม./ชม.

ฟังก์ชัน SRHARM

ส่งกลับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของชุดข้อมูล ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนกลับ

SGARM(หมายเลข 1, หมายเลข 2, ...)

Number1, number2, ... เป็นอาร์กิวเมนต์ 1 ถึง 30 ที่คำนวณค่าเฉลี่ย คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตซึ่งน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ

เฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสำหรับการประมาณค่าอัตราการเติบโตเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การหาค่าของคุณลักษณะที่ห่างจากค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดเท่ากัน

เฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตให้ผลลัพธ์ค่าเฉลี่ยที่แม่นยำที่สุดหากงานคือการหาค่าดังกล่าวของ X ซึ่งจะห่างจากทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ X ตัวอย่างเช่น ระหว่างปี 2548 ถึง 2551ดัชนีเงินเฟ้อ ในรัสเซียคือ: ในปี 2548 - 1.109; ในปี 2549 - 1,090; ในปี 2550 - 1,119; ในปี 2551 - 1,133 เนื่องจากดัชนีเงินเฟ้อเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (ดัชนีไดนามิก) คุณต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต: (1.109 * 1.090 * 1.119 * 1.133) ^ (1/4) = 1.1126 นั่นคือสำหรับรอบระยะเวลา จากปี 2548 ถึงปี 2551 ราคาเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 11.26% ต่อปี การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตผิดพลาดจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเท่ากับ 11.28%

ฟังก์ชัน SRGEOM

ส่งกลับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอาร์เรย์หรือช่วงของจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน CAGEOM สามารถใช้ในการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ย หากได้รับรายได้ทบต้นที่มีอัตราผันแปร

SRGEOM(หมายเลข 1; หมายเลข 2; ...)

Number1, number2, ... เป็นอาร์กิวเมนต์ 1 ถึง 30 ที่คำนวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิต คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

รากหมายถึงกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยกำลังสองของรากคือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สอง

รากหมายถึงกำลังสองใช้เมื่อค่าเริ่มต้นของ X สามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ เช่น เมื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย การใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองหลักคือการวัดความแปรผันของค่า X

ลูกบาศก์เฉลี่ย

ลูกบาศก์เฉลี่ยคือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สาม

ลูกบาศก์เฉลี่ยมีการใช้น้อยมาก ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณดัชนีความยากจนสำหรับประเทศกำลังพัฒนา (HPI-1) และสำหรับประเทศที่พัฒนาแล้ว (HPI-2) ซึ่งเสนอและคำนวณโดย UN

ในทางคณิตศาสตร์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข (หรือเรียกง่ายๆ ว่าค่าเฉลี่ย) คือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในชุดที่กำหนดหารด้วยจำนวน นี่คือแนวคิดทั่วไปและแพร่หลายที่สุดของค่าเฉลี่ย ตามที่คุณเข้าใจแล้ว ในการค้นหาคุณต้องรวมตัวเลขทั้งหมดที่ให้กับคุณ และหารผลลัพธ์ด้วยจำนวนเงื่อนไข

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไร?

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1. ตัวเลขที่ได้รับ: 6, 7, 11 คุณต้องหาค่าเฉลี่ย

การตัดสินใจ.

อันดับแรก มาหาผลรวมของตัวเลขทั้งหมด

ตอนนี้เราหารผลรวมตามจำนวนเทอม เนื่องจากเรามีสามเทอม ตามลำดับ เราจะหารด้วยสาม

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของ 6, 7 และ 11 คือ 8 ทำไมต้องเป็น 8 ใช่ เพราะผลรวมของ 6, 7 และ 11 จะเท่ากับ 3 แปด เห็นได้ชัดเจนในภาพประกอบ

ค่าเฉลี่ยค่อนข้างชวนให้นึกถึง "การจัดตำแหน่ง" ของชุดตัวเลข อย่างที่คุณเห็น กองดินสอกลายเป็นชั้นเดียว

พิจารณาตัวอย่างอื่นเพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับ

ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขที่ได้รับ: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 คุณต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การตัดสินใจ.

เราหาผลรวม

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

หารด้วยจำนวนเทอม (ในกรณีนี้คือ 15)

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของตัวเลขชุดนี้คือ 22

ตอนนี้พิจารณาจำนวนลบ ลองจำวิธีการสรุป ตัวอย่างเช่น คุณมีตัวเลขสองตัวคือ 1 และ -4 มาหาผลรวมของพวกเขากัน

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

รู้อย่างนี้แล้ว ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลข: 3, -7, 5, 13, -2

การตัดสินใจ.

การหาผลรวมของตัวเลข

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

เนื่องจากมี 5 เทอม เราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 5

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเลข 3, -7, 5, 13, -2 คือ 2.4

ในยุคแห่งความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีของเรา การใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อหาค่าเฉลี่ยจะสะดวกกว่ามาก Microsoft Office Excel เป็นหนึ่งในนั้น การหาค่าเฉลี่ยใน Excel ทำได้ง่ายและรวดเร็ว นอกจากนี้โปรแกรมนี้ยังรวมอยู่ในชุดซอฟต์แวร์จาก Microsoft Office ลองพิจารณาคำแนะนำสั้น ๆ ค่าของการใช้โปรแกรมนี้

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลข คุณต้องใช้ฟังก์ชัน AVERAGE ไวยากรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้คือ:
=ค่าเฉลี่ย(argument1, argument2, ... argument255)
โดยที่ argument1, argument2, ... argument255 เป็นตัวเลขหรือการอ้างอิงเซลล์ (เซลล์หมายถึงช่วงและอาร์เรย์)

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาทดสอบความรู้ที่ได้รับกัน

1. ป้อนตัวเลข 11, 12, 13, 14, 15, 16 ในเซลล์ C1 - C6
2. เลือกเซลล์ C7 โดยคลิกที่มัน ในเซลล์นี้ เราจะแสดงค่าเฉลี่ย
3. คลิกที่แท็บ "สูตร"
4. เลือกฟังก์ชันเพิ่มเติม > สถิติ เพื่อเปิด
5. เลือก ค่าเฉลี่ย หลังจากนั้น กล่องโต้ตอบควรเปิดขึ้น
6. เลือกและลากเซลล์ C1-C6 ไปที่นั่นเพื่อกำหนดช่วงในกล่องโต้ตอบ
7. ยืนยันการกระทำของคุณด้วยปุ่ม "ตกลง"
8. หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องในเซลล์ C7 คุณควรได้รับคำตอบ - 13.7 เมื่อคุณคลิกที่เซลล์ C7 ฟังก์ชัน (=Average(C1:C6)) จะแสดงขึ้นในแถบสูตร

การใช้ฟังก์ชันนี้มีประโยชน์มากสำหรับการลงบัญชี ใบแจ้งหนี้ หรือเมื่อคุณต้องการหาค่าเฉลี่ยของช่วงตัวเลขที่ยาวมากๆ ดังนั้นจึงมักใช้ในสำนักงานและบริษัทขนาดใหญ่ สิ่งนี้ช่วยให้คุณเก็บบันทึกตามลำดับและทำให้สามารถคำนวณบางอย่างได้อย่างรวดเร็ว (เช่น รายได้เฉลี่ยต่อเดือน) คุณยังสามารถใช้ Excel เพื่อหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันได้อีกด้วย