วันหนึ่งจำเป็นต้องเขียนโปรแกรมที่คำนวณค่าประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองของฟังก์ชันที่กำหนดในตารางตามฐานกำลัง - โดยวิธีการ กำลังสองน้อยที่สุด. ฉันจะทำการจองทันทีว่าฉันไม่ได้พิจารณาพื้นฐานตรีโกณมิติและฉันจะไม่ใช้สิ่งนี้ในบทความนี้ ในตอนท้ายของบทความ คุณจะพบซอร์สโค้ดสำหรับโปรแกรม C#

ทฤษฎี

ให้ค่าของฟังก์ชันโดยประมาณ ฉ(x)ที่กำหนดไว้ใน N+1โหนด ฉ(x 0), ..., ฉ(x N). ฟังก์ชันการประมาณจะถูกเลือกจากตระกูลพาราเมตริกบางตระกูล ฉ(x, ค), ที่ไหน c = (c 0 , ..., c n) ต- เวกเตอร์พารามิเตอร์ เอ็น > เอ็น.

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างปัญหาการประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองและปัญหาการแก้ไขคือจำนวนโหนดเกินจำนวนพารามิเตอร์ ที่ กรณีนี้เกือบทุกครั้งไม่มีเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ซึ่งค่าของฟังก์ชันการประมาณค่าจะตรงกับค่าของฟังก์ชันค่าประมาณที่โหนดทั้งหมด

ในกรณีนี้ ปัญหาการประมาณค่าเป็นปัญหาในการหาเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ดังกล่าว c = (c 0 , ..., c n) ตโดยที่ค่าของฟังก์ชันประมาณค่าจะเบี่ยงเบนจากค่าของฟังก์ชันประมาณค่าให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ฉ(x, ค)ทั่วทุกโหนด

กราฟแสดงปัญหาได้ดังนี้

ให้เราเขียนเกณฑ์สำหรับการประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองสำหรับวิธีกำลังสองน้อยที่สุด:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →นาที

การแสดงออกของรากคือ ฟังก์ชันกำลังสองเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามโดยประมาณ มีความต่อเนื่องและแตกต่างใน ค 0 , ..., ค น. แน่นอน ค่าต่ำสุดอยู่ที่จุดที่อนุพันธ์ย่อยทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ การเทียบอนุพันธ์ย่อยเท่ากับศูนย์ เราได้ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก (ต้องการ) ของพหุนามของการประมาณที่ดีที่สุด

วิธีกำลังสองน้อยที่สุดสามารถนำไปใช้กับวิธีต่างๆ ฟังก์ชันพาราเมตริก, แต่บ่อยครั้งในทางวิศวกรรม พหุนามในพื้นฐานอิสระเชิงเส้นบางส่วนถูกใช้เป็นฟังก์ชันการประมาณ ( φ เค(x), k=0,...,น}:
ฉ(x, ค)= Σ k=0 n [ คk φ เค(x)] .

ในกรณีนี้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสำหรับหาค่าสัมประสิทธิ์จะมีค่อนข้างมาก บางชนิด:

…

เพื่อให้ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A (ดีเทอร์มีแนนต์ของแกรม) จะแตกต่างจากศูนย์ เพื่อให้ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ระบบของฟังก์ชันพื้นฐานมีความจำเป็นและเพียงพอ φ เค(x), k=0,...,นเป็นอิสระเชิงเส้นบนชุดของโหนดการประมาณค่า

บทความนี้จะพิจารณาการประมาณค่ารูทค่าเฉลี่ยกำลังสองโดยพหุนามแบบยกกำลัง ( φ เค(x) = x k , k=0,...,น}.

ตัวอย่าง

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างกัน จำเป็นต้องถอน สูตรเอมพิริคัลสำหรับการพึ่งพาตารางที่กำหนด ฉ(x),โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
ย	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

ให้เราใช้เป็นฟังก์ชันโดยประมาณ
y = F(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2นั่นคือ n=2, N=4

ระบบสมการสำหรับกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:
ก 00 ค 0 + ก 01 ค 1 +… + ก 0n ค n = ข 0
ก 10 ค 0 + ก 11 ค 1 +… + ก 1n ค n = ข 1
…
ก n0 ค 0 + ก n1 ค 1 +… + ก nn ค n = ข n

a kj = Σ i=0 N [φ k (xi)φ j (xi) ], b j = Σ i=0 N

ค่าสัมประสิทธิ์คำนวณโดยสูตร:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i=0 N x i = 11.25, a 02 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94
a 10 = Σ i=0 N x i = 11.25, a 11 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94, a 12 = Σ i=0 N x i 3 = 94.92
a 20 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94, a 21 = Σ i=0 N x i 3 = 94.92, a 22 = Σ i=0 N x i 4 = 303.76
b 0 = Σ i=0 N y i = 11.25, b 1 = Σ i=0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i=0 N x i 2 y i = 90.21

เราแก้ระบบสมการและรับค่าสัมประสิทธิ์ต่อไปนี้:
ค 0 \u003d 4.822, ค 1 \u003d -3.882, ค 2 \u003d 0.999

ทางนี้
y = 4.8 - 3.9x + x2

กราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์

การใช้งานใน C#

และตอนนี้เรามาดูวิธีการเขียนโค้ดที่จะสร้างเมทริกซ์ดังกล่าว และที่นี่ปรากฎว่าทุกอย่างค่อนข้างง่าย:
ส่วนตัวสองเท่า [,] MakeSystem (สองเท่า [,] xyTable, int พื้นฐาน) ( double [,] matrix = double ใหม่ สำหรับ (int i = 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
ที่อินพุต ฟังก์ชันจะได้รับตารางค่าฟังก์ชัน - เมทริกซ์ คอลัมน์แรกมีค่า x ที่สอง ตามลำดับ y รวมถึงค่าของฐานกำลัง

ขั้นแรกให้จัดสรรหน่วยความจำสำหรับเมทริกซ์ซึ่งจะเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการแก้ระบบ สมการเชิงเส้น. จากนั้นในความเป็นจริงเราเขียนเมทริกซ์ - ใน sumA ค่าของสัมประสิทธิ์ aij ​​ถูกเขียนเป็น sumB - bi ทั้งหมดตามสูตรที่ระบุไว้ข้างต้นในส่วนทางทฤษฎี

ในการแก้ระบบคอมไพล์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นในโปรแกรมของฉัน จะใช้วิธี Gauss สามารถดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวรพร้อมโครงการได้

บ่อยครั้งที่ค่าของฟังก์ชันการสอดแทรก คุณ คุณ2 , ..., yn ถูกกำหนดจากการทดลองโดยมีข้อผิดพลาด ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะใช้ค่าประมาณที่แน่นอนที่โหนดการแก้ไข ในกรณีนี้ จะเป็นธรรมชาติมากกว่าที่จะประมาณฟังก์ชันไม่ใช่ตามจุด แต่โดย เฉลี่ย,นั่นคือหนึ่งในบรรทัดฐาน L p

Space 1 p - ชุดของฟังก์ชัน ง(x),กำหนดไว้ในส่วน [ก ข]และโมดูโลอินทิเกรตกับ ระดับ p-thถ้ามีการกำหนดบรรทัดฐาน

การบรรจบกันในบรรทัดฐานดังกล่าวเรียกว่าการบรรจบกันใน เฉลี่ย.สเปซ 1,2 เรียกว่า สเปซฮิลแบร์ต และการบรรจบกันในนั้นก็คือ rms

ให้ฟังก์ชัน Ax) และเซตของฟังก์ชัน φ(x) จากปริภูมิบรรทัดฐานเชิงเส้น ในบริบทของปัญหาการแก้ไข การประมาณ และการประมาณ สามารถกำหนดปัญหาสองข้อต่อไปนี้ได้

งานแรกเป็นการประมาณด้วยความแม่นยำที่กำหนด เช่น ตามที่กำหนดให้ อีหา φ(x) ที่ทำให้อสมการ |[Ax) - φ(x)|| จี..

งานที่สองเป็นการค้นหา การประมาณที่ดีที่สุดเช่น การค้นหาฟังก์ชัน φ*(x) ที่ตรงกับความสัมพันธ์:

กำหนดโดยไม่ต้องพิสูจน์ เงื่อนไขเพียงพอการมีอยู่ของการประมาณที่ดีที่สุด ในการทำเช่นนี้ ในปริภูมิเชิงเส้นของฟังก์ชัน เราเลือกชุดที่กำหนดพารามิเตอร์โดยนิพจน์

โดยที่เซตของฟังก์ชัน φ[(x), ..., φn(x) จะถือว่าเป็นอิสระเชิงเส้น

มันสามารถแสดงให้เห็นว่าในพื้นที่ใด ๆ ที่เป็นบรรทัดฐานสำหรับ การประมาณเชิงเส้น(2.16) การประมาณที่ดีที่สุดมีอยู่จริง แม้ว่าจะไม่ซ้ำกันในทุกปริภูมิเชิงเส้น

ให้เราพิจารณา Hilbert space LzCp) ของฟังก์ชันที่อินทิเกรตกำลังสองจริงโดยมีค่าน้ำหนัก p(x) > 0 ใน [ , โดยที่ผลคูณสเกลาร์ ( ก, เอช) กำหนดโดย

สูตร:

เราพบว่าการแทนที่ชุดค่าผสมเชิงเส้น (2.16) เป็นเงื่อนไขการประมาณที่ดีที่สุด

เท่ากับศูนย์ของอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์ (D, เค= 1, ..., PB, เราได้ระบบสมการเชิงเส้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสมการ (2.17) เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์แกรม ดีเทอร์มิแนนต์ของแกรมไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากสันนิษฐานว่าระบบของฟังก์ชัน φ[(x), ..., φn(x) เป็นอิสระเชิงเส้น

ดังนั้น การประมาณค่าที่ดีที่สุดจึงมีอยู่และไม่เหมือนใคร เพื่อให้ได้มานั้นจำเป็นต้องแก้ระบบสมการ (2.17) ถ้าระบบของฟังก์ชัน φ1(x), ..., φn(x) ถูกทำให้ตั้งฉาก นั่นคือ (φ/, φ,) = sy โดยที่ SCH,ไอเจ = 1, ..., พีจากนั้นระบบสมการสามารถแก้ไขได้ในรูปแบบ:

ค่าสัมประสิทธิ์ที่พบตามข้อ (2.18) ถาม, ..., th หน้าเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูเรียร์ทั่วไป

ถ้าเซตของฟังก์ชัน φ t (X), ..., φ "(x), ... ก่อตัวเป็นระบบที่สมบูรณ์ โดยอาศัยความเท่าเทียมกันของพาร์เซวาล สำหรับ Π -» ด้วยบรรทัดฐานของข้อผิดพลาดที่ลดลงอย่างไม่มีกำหนด ซึ่งหมายความว่าค่าประมาณที่ดีที่สุดจะแปลงค่า rms เป็น Dx) ด้วยความแม่นยำใดๆ ก็ตาม

เราทราบว่าการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของการประมาณที่ดีที่สุดโดยการแก้ระบบสมการ (2.17) นั้นเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ เนื่องจากเมื่อลำดับของเมทริกซ์ Gram เพิ่มขึ้น ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์อย่างรวดเร็ว และเมทริกซ์จะอยู่ในสภาพที่ไม่ดี การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ดังกล่าวจะนำไปสู่การสูญเสียความแม่นยำอย่างมาก ลองตรวจสอบดู

อนุญาต เป็นระบบของฟังก์ชัน φ„ i =1, ..., П, องศาถูกเลือก เช่น φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., พีจากนั้น สมมติว่าส่วนนั้นเป็นส่วนของการประมาณ เราจะพบเมทริกซ์แกรม

เมทริกซ์แกรมของแบบฟอร์ม (2.19) เรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์ฮิลแบร์ต มัน ตัวอย่างคลาสสิกเรียกว่าเมทริกซ์ปรับอากาศ

เมื่อใช้ MATLAB เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Hilbert ในรูปแบบ (2.19) สำหรับค่าแรกบางค่า พีรายการ 2.5 แสดงรหัสสำหรับโปรแกรมที่เกี่ยวข้อง

รายการ 23

% คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของ Hilbert matrices % ล้างพื้นที่ทำงานลบทั้งหมด;

%เลือก ค่าสูงสุดลำดับของเมทริกซ์ฮิลแบร์ต ptah = 6;

%build a loop เพื่อสร้างเมทริกซ์ %Hilbert และคำนวณหาปัจจัย

สำหรับ n = 1: nสูงสุด d(n)=det(สวัสดี ฉัน ข(n)); จบ

%แสดงค่าของดีเทอร์มิแนนต์ %ของเมทริกซ์ฮิลแบร์ต

f o g ta t ท้ายสั้น

หลังจากดำเนินการโค้ดในรายการ 2.5 แล้ว ค่าดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ของ Hilbert สำหรับเมทริกซ์หกตัวแรกควรปรากฏในหน้าต่างคำสั่ง MATLAB ตารางด้านล่างแสดงค่าตัวเลขที่สอดคล้องกันของคำสั่งเมทริกซ์ (n) และปัจจัย (d) ตารางแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ Hilbert มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ได้เร็วเพียงใดเมื่อออร์เดอร์เพิ่มขึ้น และเริ่มจากออร์เดอร์ที่ 5 และ 6 กลายเป็นปริมาณที่น้อยจนไม่สามารถยอมรับได้

ตารางค่าของเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ของฮิลแบร์ต

การตั้งฉากเชิงตัวเลขของระบบฟังก์ชัน φ, i = 1, ..., П ยังนำไปสู่การสูญเสียความแม่นยำที่สังเกตได้ ดังนั้น เพื่อนำมาพิจารณา เบอร์ใหญ่เงื่อนไขในการขยาย (2.16) จำเป็นต้องทำ orthogonalization ในการวิเคราะห์ กล่าวคือ หรือใช้ระบบสำเร็จรูปของฟังก์ชัน orthogonal

หากในระหว่างการแก้ไข องศามักจะถูกใช้เป็นระบบของฟังก์ชันฐาน จากนั้นในระหว่างการประมาณค่า โดยเฉลี่ยแล้ว ฟังก์ชันพื้นฐานจะเลือกพหุนามที่มีมุมฉากและน้ำหนักที่กำหนด ที่พบมากที่สุดคือพหุนาม Jacobi ซึ่งเป็นกรณีพิเศษซึ่งเป็นพหุนามของ Legendre และ Chebyshev นอกจากนี้ยังใช้พหุนาม Lagsrr และ Hermite สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพหุนามเหล่านี้ได้ เช่น ในภาคผนวก พหุนามตั้งฉากหนังสือ

3. การประมาณ RMS ของฟังก์ชัน

3.1 คำชี้แจงของปัญหา

พัฒนาโครงร่างอัลกอริทึมและเขียนโปรแกรมใน Turbo Pascal 7.0 เพื่อดำเนินการประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองของฟังก์ชันที่กำหนดในโหนด

3.2 การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์

ให้มีชุดของฟังก์ชันที่เป็นของปริภูมิเชิงเส้นของฟังก์ชัน โดยความใกล้เคียงโดยเฉลี่ยของฟังก์ชันอินทิกรัลและอินทิกรัล เราหมายถึงผลลัพธ์ของการประมาณอินทิกรัล

, (3.1)

ฟังก์ชันน้ำหนักอยู่ที่ไหน

ค่าประมาณนี้เรียกว่ารูตค่าเฉลี่ยกำลังสอง

3.3 การทบทวนวิธีการเชิงตัวเลขที่มีอยู่สำหรับการแก้ปัญหา

ปัญหาของการประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองเกิดขึ้นในหลายพื้นที่ การวิจัยประยุกต์ตัวอย่างเช่น เมื่อ การประมวลผลทางสถิติข้อมูลการทดลองโดยใช้การวิเคราะห์การถดถอย เมื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง ในงานกรอง ฯลฯ

เมื่อระดับความไม่แน่นอนในการตั้งค่าฟังก์ชันโดยประมาณ f(x i), i=1..m มีมากพอ ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับการประมวลผลข้อมูลการทดลอง จึงไม่มีเหตุผลที่จะเรียกร้องให้ตรงตามเงื่อนไขการแก้ไข นอกจากนี้ จำนวนจุดสำหรับการระบุฟังก์ชัน f(x i) มักจะค่อนข้างมาก ทั้งหมดนี้ทำให้การใช้การแก้ไขไม่เป็นที่พอใจเนื่องจากเงื่อนไขที่ไม่ดีของปัญหามิติสูงและปัญหาการบรรจบกันของกระบวนการแก้ไข

หนึ่งในฟังก์ชันการประมาณที่ง่ายที่สุดและใช้กันอย่างแพร่หลายคือพหุนามเชิงพีชคณิต

วิธีการประมาณค่ารูทค่าเฉลี่ยกำลังสองให้การสร้างพหุนาม Pn(x) ตามค่าที่น้อยที่สุด

วิธีการประมาณค่าที่พิจารณาจะลดค่าเบี่ยงเบนรูตค่าเฉลี่ยกำลังสองของโพลิโนเมียลที่ประมาณค่าจากฟังก์ชันที่กำลังประมาณค่าให้น้อยที่สุด แต่ไม่รับประกันว่าจะไม่มีข้อผิดพลาดในระบบที่มีนัยสำคัญ เพื่อป้องกันความเป็นไปได้นี้ จึงใช้พหุนามของการประมาณเครื่องแบบที่ดีที่สุด

ในช่องว่างของพารามิเตอร์ a 0 , a 1 ,...,a n มีอยู่ วิธีการที่แตกต่างกันเพื่อแก้ปัญหาการย่อฟังก์ชัน D(a) สิ่งที่ง่ายที่สุดนำไปสู่ความจำเป็นในการแก้ปัญหา ระบบปกติสมการพีชคณิตเชิงเส้น

อย่างไรก็ตาม แม้สำหรับ n > 5 เมทริกซ์ของระบบดังกล่าวกลับไม่มีเงื่อนไขเสียจนค่าของ a j ที่ได้จาก (3.4) แทบไม่มีประโยชน์ในการคำนวณ P n (x) ดังนั้น หากจำเป็นต้องสร้างพหุนามของการประมาณค่าเฉลี่ยกำลังสองที่ดีที่สุด ระดับสูงอัลกอริทึมอื่น ๆ ถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น วิธีการแยกส่วนค่าเอกพจน์

3.4 วิธีเชิงตัวเลขการแก้ปัญหา

สามารถพิจารณาได้สองประเด็น:

1 - เลือกฟังก์ชั่นเพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

2 - ค้นหาค่าประมาณที่ดีที่สุด เช่น ฟังก์ชันดังกล่าวที่สัมพันธ์กัน

. (3.6)

เราขยายฟังก์ชันในแง่ของระบบของฟังก์ชันอิสระเชิงเส้น:

. (3.7)

ในสิ่งต่อไปนี้ เพื่อย่อสัญกรณ์ เราจะใช้คำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์จุดในพื้นที่ฟังก์ชั่น :

.

แทนที่ (3.7) เป็นเงื่อนไข (3.6) เราได้รับ

เราได้รับความแตกต่างของนิพจน์นี้ด้วยความเคารพและการเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์

. (3.8)

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์แกรมของฟังก์ชัน โดยอาศัยอำนาจของตน ความเป็นอิสระเชิงเส้นดีเทอร์มิแนนต์นี้ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจากระบบ (3.8) เราสามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดฟังก์ชันตาม (3.6) และลดค่าอินทิกรัลของข้อผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุด . ดังนั้นจึงมีการประมาณค่ารูทเฉลี่ยกำลังสองที่ดีที่สุดและไม่เหมือนใคร

เมื่อใช้ระบบฟังก์ชันแบบออร์โธนอร์มัล ระบบ (3.8) จะลดความซับซ้อนลง:

,

เหล่านั้น. คือค่าสัมประสิทธิ์ของฟูริเยร์ และการประมาณที่ดีที่สุดคืออนุกรมฟูริเยร์ที่สิ้นสุดในบางพจน์

มีการพิสูจน์ว่าในปริภูมิที่เป็นบรรทัดฐานเชิงเส้นใดๆ ภายใต้การประมาณเชิงเส้นของรูปแบบ (3.4) การประมาณที่ดีที่สุดนั้นมีอยู่จริง แม้ว่ามันจะไม่ซ้ำกันก็ตาม

ในกรณีที่ฟังก์ชันไม่ตั้งฉาก ที่ ดีเทอร์มิแนนต์ Gram จะลดลง เข้าใกล้ศูนย์ จากนั้นระบบจะอยู่ในสภาพไม่ดีและวิธีแก้ปัญหาทำให้เกิดข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ ในสถานการณ์นี้ มักจะไม่เกินห้าหรือหกคำในผลรวม (3.7)

พหุนามที่ใช้กันมากที่สุดคือ Legendre, Chebyshev, Laguerre, Hermite, orthogonal ที่มีน้ำหนักที่กำหนด

พิจารณา กรณีพิเศษเมื่อจำเป็นต้องหาค่าประมาณที่ดีที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดในตาราง สำหรับฟังก์ชันจริงที่กำหนดบนเซตของจุดที่จำกัด ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ถูกกำหนดโดยสูตร

, (3.9)

จำนวนโหนดที่ระบุอยู่ที่ไหน

เงื่อนไขสำหรับการประมาณค่ารูทค่าเฉลี่ยกำลังสองที่ดีที่สุดเขียนได้ดังนี้:

. (3.10)

ทะลึ่ง ที่ไหน และแทนที่พหุนามนี้ใน (3.10) เราจะมาถึงระบบ (3.8) ซึ่งมีการคำนวณผลคูณสเกลาร์ตาม (3.9) ขั้นตอนการประมาณที่อธิบายไว้เรียกว่าวิธีการกำลังสองน้อยที่สุด

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเวอร์ชันที่พบมากที่สุดสอดคล้องกับกรณี ประเภทพลังงานฟังก์ชัน เช่น , และ .

จากนั้นระบบสมการ (3.8) จะอยู่ในรูปแบบ

, , (3.11)

แบบฟอร์มมากขึ้น ระดับสูงสิ่งที่เป็นนามธรรมและลักษณะทั่วไปมากกว่าการสอนแบบเดิมๆ” เพราะเหตุนี้, รูปแบบดั้งเดิมการเรียนรู้ล้มเหลวในการยกระดับความคิดทางคณิตศาสตร์ เด็กนักเรียนมัธยมต้นในระดับที่สูงขึ้น การศึกษานอกระบบจะแก้ปัญหานี้อย่างไร? การแก้ปัญหาพัฒนาคุณสมบัติใดของการคิดทางคณิตศาสตร์ งานที่ไม่ได้มาตรฐาน? ใน-...

เครือข่ายที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของโทโพโลยีต่างๆ ซอฟต์แวร์ระบบแอพพลิเคชั่นที่ออกแบบมาสำหรับ กิจกรรมระดับมืออาชีพผู้จัดการ รวมถึง: · ซอฟต์แวร์ระบบ; แพ็คเกจพื้นฐานของโปรแกรมประยุกต์ · วิธีการสนับสนุนเครือข่ายของคอมพิวเตอร์ในเครือข่ายท้องถิ่นและทั่วโลก ระบบโปรแกรมประยุกต์ ซอฟต์แวร์ทดสอบ ...

เพื่อให้เนียนขึ้น ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง Altman และด้วยเหตุนี้จึงแนะนำแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องในทฤษฎี จึงใช้การประมาณค่าปริพันธ์แบบรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองโดยใช้พหุนามขององศาที่แตกต่างกัน

เป็นที่ทราบกันดีว่าลำดับของพหุนามการประมาณค่าบนโหนดที่มีระยะเท่ากันไม่จำเป็นต้องบรรจบกับฟังก์ชัน แม้ว่าฟังก์ชันนั้นจะหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดก็ตาม สำหรับฟังก์ชั่นโดยประมาณด้วยความช่วยเหลือของการจัดเรียงโหนดที่เหมาะสมสามารถลดระดับของพหุนามได้ . โครงสร้างของฟังก์ชัน Altman นั้นสะดวกกว่าที่จะใช้การประมาณค่าของฟังก์ชันไม่ใช่ด้วยวิธีการแก้ไข แต่โดยการสร้างค่าประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองที่ดีที่สุดในปริภูมิเชิงเส้นที่ทำให้เป็นมาตรฐาน พิจารณาแนวคิดและข้อมูลพื้นฐานในการสร้างการประมาณที่ดีที่สุด ปัญหาการประมาณและการเพิ่มประสิทธิภาพถูกวางในพื้นที่บรรทัดฐานเชิงเส้น

ช่องว่างบรรทัดฐานเมตริกและเชิงเส้น

ให้มากที่สุด แนวคิดกว้างๆคณิตศาสตร์หมายถึง "set" และ "mapping" แนวคิดของ "ชุด" "ชุด" "ชุด" "ครอบครัว" "ระบบ" "คลาส" ในทฤษฎีชุดที่ไม่เข้มงวดถือเป็นคำพ้องความหมาย

คำว่า "ตัวดำเนินการ" เหมือนกับคำว่า "การแมป" คำว่า "การดำเนินการ", "ฟังก์ชัน", "การทำงาน", "การวัด" เป็นกรณีพิเศษของแนวคิด "การทำแผนที่"

คำว่า "โครงสร้าง" "พื้นที่" ในโครงสร้างจริง ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ยังได้รับความสำคัญพื้นฐาน โครงสร้างทางคณิตศาสตร์รวมถึงโครงสร้างทางทฤษฎีเซต (เซตที่เรียงลำดับและเซตที่เรียงลำดับบางส่วน); โครงสร้างพีชคณิตเชิงนามธรรม (เซมิกรุ๊ป, กลุ่ม, วงแหวน, วงแหวนหาร, ฟิลด์, พีชคณิต, โครงตาข่าย); โครงสร้างส่วนต่าง(ภายนอก รูปแบบความแตกต่าง, ช่องว่างเส้นใย) , , , , , , .

โครงสร้างเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นชุดจำกัดซึ่งประกอบด้วยชุดของพาหะ (ชุดหลัก) ฟิลด์ตัวเลข (ชุดเสริม) และการแมปที่กำหนดไว้ในองค์ประกอบของพาหะและตัวเลขของฟิลด์ ถ้าพาหะนำเป็นชุด จำนวนเชิงซ้อนจากนั้นจะมีบทบาทเป็นทั้งชุดหลักและชุดเสริม คำว่า "โครงสร้าง" เหมือนกับแนวคิดของ "พื้นที่"

ในการกำหนดช่องว่างก่อนอื่นจำเป็นต้องกำหนดชุดพาหะด้วยองค์ประกอบ (จุด) ซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรละตินและกรีก

ชุดขององค์ประกอบจริง (หรือเชิงซ้อน) สามารถทำหน้าที่เป็นพาหะ: ตัวเลข; เวกเตอร์, ; เมทริกซ์, ; ลำดับ ; ฟังก์ชั่น

ชุดยังสามารถทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบพาหะ: แกนจริง ระนาบ พื้นที่สามมิติ (และหลายมิติ) การเรียงสับเปลี่ยน การเคลื่อนไหว ชุดที่เป็นนามธรรม

คำนิยาม. สเปซเมตริกเป็นโครงสร้างที่ก่อตัวเป็นสามเท่า โดยที่การแมปไม่เป็นค่าลบ ฟังก์ชั่นจริงของข้อโต้แย้งสองข้อสำหรับ x และ y ใดๆ จาก M และเป็นไปตามสัจพจน์สามข้อ

• 1 - การไม่ปฏิเสธ; , ที่.
• 2- - สมมาตร;
• 3- - สัจพจน์ของการสะท้อนกลับ

ระยะห่างระหว่างองค์ประกอบอยู่ที่ไหน

ในพื้นที่เมตริก มีการระบุเมตริกและแนวคิดของความใกล้ชิดของสององค์ประกอบจากชุดสนับสนุนจะถูกสร้างขึ้น

คำนิยาม. ปริภูมิเชิงเส้น (เวกเตอร์) จริงเป็นโครงสร้างที่การแมปคือการดำเนินการบวกของการเพิ่มองค์ประกอบที่เป็นของมัน และการแมปคือการดำเนินการของการคูณจำนวนด้วยองค์ประกอบจาก

การดำเนินการหมายความว่าสำหรับสององค์ประกอบใดๆ องค์ประกอบที่สามถูกกำหนดโดยเฉพาะ เรียกว่าผลรวมและแสดงโดย และสัจพจน์ต่อไปนี้ถือเป็น

สมบัติการสับเปลี่ยน

คุณสมบัติร่วม

มีองค์ประกอบพิเศษใน B ซึ่งแสดงโดยสิ่งที่ถือเป็นองค์ประกอบใดๆ

สำหรับที่มีอยู่เช่นนั้น

องค์ประกอบนี้เรียกว่าตรงข้ามกับและแสดงโดย

การดำเนินการหมายความว่าสำหรับองค์ประกอบใดๆ และจำนวนใดๆ องค์ประกอบถูกกำหนด แสดงโดย และเป็นไปตามสัจพจน์:

องค์ประกอบ (จุด) ของปริภูมิเชิงเส้นเรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์ สัจพจน์ 1 - 4 กำหนดกลุ่ม (เพิ่มเติม) เรียกว่าโมดูลและเป็นตัวแทนของโครงสร้าง

หากการดำเนินการในโครงสร้างไม่เป็นไปตามสัจพจน์ โครงสร้างดังกล่าวจะเรียกว่า groupoid โครงสร้างนี้แย่มาก มันไม่มีสัจพจน์ของการเชื่อมโยงใด ๆ ดังนั้นโครงสร้างจึงเรียกว่า monoid (semigroup)

ในโครงสร้างด้วยความช่วยเหลือของการทำแผนที่และสัจพจน์ 1-8 คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงจะถูกตั้งค่า

ดังนั้นพื้นที่เชิงเส้นจึงเป็นโมดูลกลุ่มในโครงสร้างที่มีการเพิ่มการดำเนินการอีกหนึ่งรายการ - การคูณองค์ประกอบสนับสนุนด้วยตัวเลขที่มี 4 สัจพจน์ หากแทนที่จะเป็นการดำเนินการพร้อมกับการดำเนินการกลุ่มอีกหนึ่งกลุ่มของการคูณองค์ประกอบด้วยสัจพจน์ 4 ข้อและยืนยันสัจพจน์ของการกระจายโครงสร้างที่เรียกว่าฟิลด์ก็เกิดขึ้น

คำนิยาม. พื้นที่บรรทัดฐานเชิงเส้นเป็นโครงสร้างที่การแมปเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

• 1. และจากนั้นเท่านั้น เมื่อไร
• 2. , .
• 3. , .

และในสัจพจน์เพียง 11 ข้อ

ตัวอย่างเช่น ถ้าโครงสร้างฟิลด์ จำนวนจริง, ที่ไหน - จำนวนจริงเพิ่มโมดูลที่มีคุณสมบัติบรรทัดฐานทั้งสาม จากนั้นฟิลด์ของจำนวนจริงจะกลายเป็นช่องว่างบรรทัดฐาน

มีสองวิธีทั่วไปในการแนะนำบรรทัดฐาน: โดยการระบุรูปแบบช่วงเวลาอย่างชัดเจนของฟังก์ชันนูนที่เป็นเนื้อเดียวกัน , , หรือโดยการระบุผลคูณของสเกลาร์ ,

ให้แล้วสามารถกำหนดรูปแบบของฟังก์ชันได้ นับไม่ถ้วนวิธีโดยเปลี่ยนค่า:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

วิธีที่สองในการยอมรับการมอบหมายคือการนำการแมปอื่นมาใช้ในโครงสร้างพื้นที่

คำนิยาม. ปริภูมิแบบยุคลิดเป็นโครงสร้างที่ผลคูณของสเกลาร์ประกอบด้วยบรรทัดฐานและเป็นไปตามสัจพจน์:

• 4. และถ้าหากว่า

ในปริภูมิแบบยุคลิด บรรทัดฐานถูกสร้างขึ้นโดยสูตร

ตามมาจากคุณสมบัติ 1 - 4 ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่เป็นไปตามสัจพจน์ของบรรทัดฐานทั้งหมด หากผลิตภัณฑ์สเกลาร์อยู่ในรูปแบบ สูตรจะคำนวณบรรทัดฐาน

ไม่สามารถระบุบรรทัดฐานของช่องว่างได้โดยใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ,

ในช่องว่างที่มีผลคูณสเกลาร์ คุณสมบัติดังกล่าวไม่มีอยู่ในปริภูมิบรรทัดฐานเชิงเส้น (ความตั้งฉากขององค์ประกอบ ความเท่าเทียมกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เอกลักษณ์ของอพอลโลเนียส อสมการของปโตเลมี วิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพปัญหาการประมาณ

คำนิยาม. ลำดับที่ไม่สิ้นสุดขององค์ประกอบในปริภูมิบรรทัดฐานเชิงเส้นกล่าวกันว่าเป็นการบรรจบกันของบรรทัดฐาน (เพียงแค่บรรจบกันหรือมีขีดจำกัดใน) หากมีอยู่ องค์ประกอบเช่นนั้นสำหรับสิ่งใดๆ จะมีจำนวนขึ้นอยู่กับสิ่งนั้นสำหรับ

คำนิยาม. ลำดับขององค์ประกอบในเรียกว่าพื้นฐานหากมีหมายเลขขึ้นอยู่กับองค์ประกอบใด ๆ และพอใจ (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, p. 48)

คำนิยาม. สเปซ Banach เป็นโครงสร้างที่ลำดับพื้นฐานใดๆ มาบรรจบกันในบรรทัดฐาน

คำนิยาม. ปริภูมิฮิลแบร์ตเป็นโครงสร้างที่ลำดับพื้นฐานใดๆ มาบรรจบกันในบรรทัดฐานที่สร้างโดยผลคูณของสเกลาร์

การประมาณกำลังสอง

หากพล็อตกระจายดูเหมือนพาราโบลาแสดงว่าเรากำลังมองหาสูตรเอมพิริคัลในรูปแบบ สี่เหลี่ยมจตุรัส. สมมติว่าเส้นโค้งที่เข้าใกล้เป็นเหมือนพาราโบลา ซึ่งสมมาตรรอบแกน y จากนั้นพาราโบลาจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า

(4.4)

ลองใช้ระบบพิกัดกึ่งกำลังสอง นี่คือระบบพิกัดซึ่งมาตราส่วนเป็นกำลังสองตาม abscissa เช่น ค่าการหารถูกลงจุดตามนิพจน์ที่นี่ ม-มาตราส่วนในหน่วยความยาว เช่น หน่วยเป็นซม.

สเกลเชิงเส้นถูกลงจุดตามแกน y ตามนิพจน์

เราใส่จุดทดลองในระบบพิกัดนี้ หากจุดของกราฟนี้อยู่ในแนวเส้นตรงโดยประมาณ นี่เป็นการยืนยันสมมติฐานของเราว่าการพึ่งพาอาศัยกัน ยจาก xแสดงได้ดีโดยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม (4.4) เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ กและ ขตอนนี้คุณสามารถใช้หนึ่งในวิธีที่กล่าวถึงข้างต้น: วิธีด้ายยืด วิธีคะแนนที่เลือก หรือวิธีเฉลี่ย

วิธีการด้ายแน่นนำไปใช้ในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันเชิงเส้น

วิธีคะแนนที่เลือกเราสามารถสมัครได้แบบนี้ บนกราฟเส้นตรง ใช้สองจุด (ห่างจากกัน) เราระบุพิกัดของจุดเหล่านี้และ ( x, ย). จากนั้นเราก็สามารถเขียน

จากระบบสองสมการที่ลดลง เราพบว่า กและ ขและแทนที่ลงในสูตร (4.4) และรับรูปแบบสุดท้ายของสูตรเอมพิริคัล

อาจจะสร้างหรือไม่สร้างก็ได้ กราฟเส้นตรง, และรับตัวเลข , ( x,ย) โดยตรงจากตาราง อย่างไรก็ตามสูตรที่ได้รับจากการเลือกคะแนนนี้จะแม่นยำน้อยลง

กระบวนการแปลงกราฟโค้งเป็นเส้นตรงเรียกว่าแฟลตเทนนิ่ง

วิธีปานกลาง. มันถูกนำไปใช้ในลักษณะเดียวกับในกรณีของ การพึ่งพาเชิงเส้น. เราแบ่งคะแนนการทดลองออกเป็นสองกลุ่มโดยมีจำนวนคะแนนเท่ากัน (หรือเกือบเท่ากัน) ในแต่ละกลุ่ม ความเท่าเทียมกัน (4.4) สามารถเขียนใหม่เป็น

(4.5)

เราพบผลรวมของส่วนที่เหลือสำหรับคะแนนของกลุ่มแรกและเท่ากับศูนย์ เราทำเช่นเดียวกันสำหรับคะแนนของกลุ่มที่สอง เราได้สองสมการที่ไม่รู้จัก กและ ข. เราพบการแก้ระบบสมการ กและ ข.

โปรดทราบว่าเมื่อใช้วิธีนี้ ไม่จำเป็นต้องสร้างเส้นตรงโดยประมาณ พล็อตจุดในระบบพิกัดกึ่งกำลังสองจำเป็นเพียงเพื่อตรวจสอบว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม (4.4) เหมาะสำหรับสูตรเอมพิริคัล

ตัวอย่าง. เมื่อศึกษาผลกระทบของอุณหภูมิบนเส้นทางของโครโนมิเตอร์ จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ซี	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

ในกรณีนี้เราไม่สนใจอุณหภูมิ แต่ในส่วนเบี่ยงเบนจาก ดังนั้นเราจึงถือเป็นข้อโต้แย้ง ที่ไหน ที- อุณหภูมิเป็นองศาเซลเซียสของสเกลปกติ

เมื่อพล็อตจุดที่สอดคล้องกันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแล้ว เราสังเกตเห็นว่าพาราโบลาที่มีแกนขนานกับแกน y สามารถนำมาเป็นเส้นโค้งโดยประมาณได้ (รูปที่ 4) ลองใช้ระบบพิกัดกึ่งกำลังสองและวางแผนจุดทดลอง เราเห็นว่าจุดเหล่านี้พอดีกับเส้นตรงพอดี ดังนั้นสูตรเอมพิริคัล

สามารถค้นหาได้ในแบบ (4.4)

มากำหนดค่าสัมประสิทธิ์กัน กและ ขโดยวิธีถัวเฉลี่ย ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งคะแนนการทดลองออกเป็นสองกลุ่ม: ในกลุ่มแรก - สามคะแนนแรก, ในกลุ่มที่สอง - สี่คะแนนที่เหลือ เมื่อใช้ความเท่าเทียมกัน (4.5) เราจะหาผลรวมของส่วนที่เหลือสำหรับแต่ละกลุ่มและเทียบผลรวมแต่ละรายการเป็นศูนย์