การเคลื่อนที่ของอนุภาคผ่านบริเวณที่ตามกฎของกลศาสตร์แบบดั้งเดิม ไม่สามารถทะลุผ่านได้ สามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์ที่ไม่แน่นอน ความไม่แน่นอนของโมเมนตัม อาร์ในส่วนของ อา =เป็น อาร์ > -.เกี่ยวข้องกับการแพร่กระจายนี้ในค่าของโมเมนตัม, จลนพลศาสตร์

302

เช็กพลังงานได้

เพียงพอที่จะทำให้เสร็จ

พลังงานของอนุภาคนั้นมากกว่าพลังงานศักย์

รากฐานของทฤษฎีทางแยกอุโมงค์ถูกวางลงในผลงานของ L.I.

การลอดอุโมงค์ผ่านสิ่งกีดขวางที่อาจเกิดขึ้นนั้นอยู่ภายใต้ปรากฏการณ์มากมายในฟิสิกส์ของสถานะของแข็ง (เช่น ปรากฏการณ์ในชั้นสัมผัสที่ส่วนต่อประสานระหว่างสารกึ่งตัวนำสองตัว) ฟิสิกส์ของอะตอมและนิวเคลียร์ (เช่น การสลายตัว ปฏิกิริยาเทอร์โมนิวเคลียร์)

§ 222. ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้น

ในกลศาสตร์ควอนตัม

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้น- ระบบที่ทำการเคลื่อนที่หนึ่งมิติภายใต้การกระทำของแรงกึ่งยืดหยุ่นเป็นแบบจำลองที่ใช้ในปัญหาต่างๆ ของทฤษฎีคลาสสิกและทฤษฎีควอนตัม (ดู§ 142) ลูกตุ้มสปริง ลูกตุ้มเชิงฟิสิกส์และคณิตศาสตร์เป็นตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบคลาสสิก

พลังงานศักย์ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ [ดู (141.5)] คือ

ความถี่ธรรมชาติของออสซิลเลเตอร์อยู่ที่ไหน เสื้อ -มวลของอนุภาค

การพึ่งพา (222.1) มีรูปแบบของพาราโบลา (รูปที่ 303) เช่น "บ่อน้ำศักย์ไฟฟ้า" ในกรณีนี้คือพาราโบลา

แอมพลิจูดของการสั่นขนาดเล็กของออสซิลเลเตอร์แบบคลาสสิกนั้นพิจารณาจากพลังงานทั้งหมด อี(ดูรูปที่ 17)

Dinger โดยคำนึงถึงนิพจน์ (222.1) สำหรับพลังงานศักย์ จากนั้นสถานะคงที่ของควอนตัมออสซิลเลเตอร์จะถูกกำหนดโดยสมการชโรดิงเงอร์ของแบบฟอร์ม

= 0, (222.2)

ที่ไหน อี -พลังงานทั้งหมดของออสซิลเลเตอร์ ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสมการ (222.2) ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานเท่านั้น

(222.3)

สูตร (222.3) แสดงให้เห็นว่าพลังงานของควอนตัมออสซิลเลเตอร์สามารถ

มีเพียง ค่าที่ไม่ต่อเนื่องเช่น. เป็นเชิงปริมาณพลังงานถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับ "หลุม" รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มี "กำแพง" สูงไม่จำกัด (ดูมาตรา 220) ด้วยค่าพลังงานขั้นต่ำ = สุ-

การมีอยู่ของพลังงานขั้นต่ำ - เรียกว่า พลังงานจุดศูนย์ - เป็นเรื่องปกติสำหรับระบบควอนตัมและเป็นผลโดยตรงจากความสัมพันธ์ที่ไม่แน่นอน

การปรากฏตัวของการสั่นเป็นศูนย์หมายความว่าอนุภาคไม่สามารถอยู่ที่ด้านล่างของ "หลุมศักย์ไฟฟ้า" (โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของหลุม) แท้จริงแล้ว "การตกลงสู่ก้นหลุม" มีความเกี่ยวข้องกับการหายไปของโมเมนตัมของอนุภาค และในขณะเดียวกันก็คือความไม่แน่นอนของมันด้วย จากนั้นความไม่แน่นอนของพิกัดจะมีขนาดใหญ่โดยพลการ ซึ่งตรงกันข้ามกับการมีอยู่ของอนุภาคใน

"หลุมที่อาจเกิดขึ้น".

ข้อสรุปเกี่ยวกับการมีอยู่ของพลังงานของการสั่นแบบจุดศูนย์ของควอนตัมออสซิลเลเตอร์ขัดแย้งกับข้อสรุปของทฤษฎีคลาสสิก ตามที่พลังงานที่น้อยที่สุดที่ออสซิลเลเตอร์สามารถมีได้คือศูนย์ (สอดคล้องกับอนุภาคที่อยู่นิ่งในตำแหน่งสมดุล) . ตัวอย่างเช่น ตามข้อสรุปของฟิสิกส์คลาสสิกที่ ต= 0 พลังงานของการเคลื่อนที่แบบสั่นของอะตอมของคริสตัลควรจะหายไป ดังนั้นการกระเจิงของแสงเนื่องจากการสั่นของอะตอมจึงควรหายไปด้วย อย่างไรก็ตาม การทดลองแสดงให้เห็นว่าความเข้มของการกระเจิงของแสงเมื่ออุณหภูมิลดลงนั้นไม่เท่ากับศูนย์ แต่มีแนวโน้มที่จะมีค่าจำกัด ซึ่งแสดงว่าที่ ต 0 การสั่นของอะตอมในผลึกไม่หยุด นี่คือการยืนยันการมีอยู่ของความผันผวนเป็นศูนย์

นอกจากนี้ยังเป็นไปตามสูตร (222.3) ที่ระดับพลังงานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้นนั้นอยู่ในระยะห่างที่เท่ากันจากกันและกัน (ดูรูปที่ 303) กล่าวคือระยะห่างระหว่างระดับพลังงานที่อยู่ติดกันเท่ากับและค่าพลังงานต่ำสุด =

วิธีแก้ปัญหาควอนตัมออสซิลเลเตอร์อย่างเข้มงวดนำไปสู่ความแตกต่างที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งจากปัญหาแบบดั้งเดิม

รูปแบบของสมการคลื่นของระบบทางกายภาพถูกกำหนดโดยแฮมิลโทเนียน ซึ่งด้วยเหตุนี้ จึงมีนัยสำคัญพื้นฐานในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของกลศาสตร์ควอนตัม

รูปแบบของแฮมิลตันของอนุภาคอิสระนั้นถูกกำหนดไว้แล้วโดยข้อกำหนดทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับความเป็นเนื้อเดียวกันและไอโซโทรปีของอวกาศและหลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ ในกลศาสตร์แบบดั้งเดิม ข้อกำหนดเหล่านี้นำไปสู่การพึ่งพากำลังสองของพลังงานของอนุภาคต่อโมเมนตัม: ซึ่งค่าคงที่นี้เรียกว่ามวลของอนุภาค (ดู I, § 4) ในกลศาสตร์ควอนตัม ข้อกำหนดเดียวกันนำไปสู่ความสัมพันธ์เดียวกันสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานและโมเมนตัม - ปริมาณการอนุรักษ์ที่วัดได้พร้อมกัน (สำหรับอนุภาคอิสระ)

แต่เพื่อให้ความสัมพันธ์คงไว้ซึ่งพลังงานและค่าลักษณะเฉพาะของโมเมนตัม มันจะต้องถูกต้องสำหรับตัวดำเนินการด้วย:

แทนที่ (15.2) ที่นี่ เราได้รับแฮมิลตันของอนุภาคที่เคลื่อนที่อย่างอิสระในรูปแบบ

ตัวดำเนินการ Laplace อยู่ที่ไหน

แฮมิลตันของระบบอนุภาคที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์เท่ากับผลรวมของแฮมิลโทเนียนของแต่ละอนุภาค:

โดยที่ดัชนีเป็นตัวเลขของอนุภาค เป็นตัวดำเนินการ Laplace ซึ่งดำเนินการแยกความแตกต่างตามพิกัดของอนุภาค

ในกลศาสตร์แบบคลาสสิก (ที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพ) ปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคอธิบายได้ด้วยคำศัพท์เพิ่มเติมในฟังก์ชันแฮมิลตัน ซึ่งเป็นพลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของพิกัดของอนุภาค

ด้วยการเพิ่มฟังก์ชันเดียวกันนี้ให้กับแฮมิลโทเนียนของระบบ ปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคในกลศาสตร์ควอนตัมก็อธิบายไว้เช่นกัน:

เทอมแรกถือเป็นตัวดำเนินการพลังงานจลน์ และตัวที่สองเป็นตัวดำเนินการพลังงานศักย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Hamiltonian สำหรับหนึ่งอนุภาคในสนามภายนอกคือ

โดยที่ U(x, y, z) คือพลังงานศักย์ของอนุภาคในสนามภายนอก

การแทนที่นิพจน์ (17.2)-(17.5) ลงในสมการทั่วไป (8.1) ให้สมการคลื่นสำหรับระบบที่สอดคล้องกัน เราเขียนสมการคลื่นสำหรับอนุภาคในสนามภายนอกที่นี่

สมการ (10.2) ซึ่งกำหนดสถานะคงที่จะอยู่ในรูปแบบ

สมการ (17.6) และ (17.7) ตั้งขึ้นโดยชเรอดิงเงอร์ในปี พ.ศ. 2469 และเรียกว่าสมการชโรดิงเงอร์

สำหรับอนุภาคอิสระ สมการ (17.7) มีรูปแบบ

สมการนี้มีคำตอบจำกัดในพื้นที่ทั้งหมดสำหรับค่าบวกใดๆ ของพลังงาน E สำหรับสภาวะที่มีทิศทางการเคลื่อนที่แน่นอน คำตอบเหล่านี้คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัม และ ฟังก์ชันคลื่นทั้งหมด (ขึ้นกับเวลา) ของสถานะหยุดนิ่งดังกล่าวมีรูปแบบ

(17,9)

แต่ละฟังก์ชันดังกล่าว - คลื่นระนาบ - อธิบายสถานะที่อนุภาคมีพลังงาน E และโมเมนตัมที่แน่นอน ความถี่ของคลื่นนี้คือและเวกเตอร์คลื่นของมันที่สอดคล้องกับความยาวคลื่นเรียกว่าความยาวคลื่นของอนุภาค de Broglie

สเปกตรัมพลังงานของอนุภาคที่เคลื่อนที่อย่างอิสระจึงกลายเป็นแบบต่อเนื่อง ขยายจากศูนย์ถึงค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่าเหล่านี้ (ยกเว้นเพียงค่าที่เสื่อมลง และความเสื่อมนั้นมีมากมายหลายหลากไม่สิ้นสุด แท้จริงแล้ว สำหรับแต่ละค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ของ E นั้นสอดคล้องกับเซตของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่ไม่สิ้นสุด (17, 9) ซึ่งต่างกันในทิศทางเวกเตอร์สำหรับค่าสัมบูรณ์เดียวกัน

ให้เราติดตามว่าการเปลี่ยนขีดจำกัดไปสู่กลศาสตร์คลาสสิกเกิดขึ้นในสมการชโรดิงเงอร์ได้อย่างไร โดยพิจารณาจากอนุภาคเพียงอนุภาคเดียวในสนามภายนอกเพื่อความเรียบง่าย แทนที่สมการชโรดิงเงอร์ (17.6) นิพจน์ลิมิต (6.1) ของฟังก์ชันคลื่น เราได้รับหลังจากแยกความแตกต่าง

สมการนี้มีเงื่อนไขจริงและจินตภาพล้วน ๆ (จำได้ว่า S และ a เป็นจริง); เท่ากับศูนย์ทั้งสองอย่างแยกกัน เราได้สมการสองสมการ:

เราได้ละเลยคำศัพท์ที่อยู่ในสมการแรกของสมการเหล่านี้

(17,10)

นั่นคือ อย่างที่ควรจะเป็น สมการแฮมิลตัน-จาโคบีแบบคลาสสิกสำหรับการกระทำของอนุภาค S โดยวิธีการที่เราเห็นว่าสำหรับ กลไกแบบคลาสสิกนั้นใช้ได้จนถึงค่าของคำสั่งแรก (และไม่ใช่ศูนย์) จนถึงและรวมถึง

สมการที่สองที่ได้รับหลังจากการคูณด้วย 2a สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

สมการนี้มีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน: มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคในที่ใดที่หนึ่งในอวกาศ มีความเร็วแบบคลาสสิก v ของอนุภาค ดังนั้น สมการ (17.11) จึงไม่ใช่อะไรนอกจากสมการความต่อเนื่องที่แสดงว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็น "เคลื่อนที่" ตามกฎของกลศาสตร์คลาสสิกด้วยความเร็วคลาสสิก v ที่แต่ละจุด

งาน

ค้นหากฎการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่นภายใต้การแปลงแบบกาลิเลียน

การตัดสินใจ. ขอให้เราทำการแปลงฟังก์ชันคลื่นของการเคลื่อนที่อย่างอิสระของอนุภาค (คลื่นระนาบ) เนื่องจากฟังก์ชันใด ๆ สามารถขยายได้ในแง่ของคลื่นระนาบ จึงพบกฎการเปลี่ยนแปลงสำหรับฟังก์ชันคลื่นตามอำเภอใจเช่นกัน

คลื่นระนาบในกรอบอ้างอิง K และ K" (K" เคลื่อนที่สัมพันธ์กับ K ด้วยความเร็ว V):

และโมเมนตาและพลังงานของอนุภาคในทั้งสองระบบมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันตามสูตร

(ดู I, § 8) โดยแทนที่นิพจน์เหล่านี้ที่เราได้รับ

ในรูปแบบนี้ สูตรนี้ไม่มีปริมาณที่แสดงลักษณะการเคลื่อนที่อย่างอิสระของอนุภาคอีกต่อไป และสร้างกฎทั่วไปที่ต้องการสำหรับการแปลงฟังก์ชันคลื่นของสถานะโดยพลการของอนุภาค สำหรับระบบของอนุภาค เลขชี้กำลังใน (1) ควรรวมผลรวมของอนุภาคด้วย

สมการทั่วไปของชโรดิงเงอร์ สมการชโรดิงเงอร์สำหรับสภาวะหยุดนิ่ง

การตีความทางสถิติของคลื่น de Broglie (ดู § 216) และความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก (ดู 5 215) นำไปสู่ข้อสรุปว่าสมการการเคลื่อนที่ในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคขนาดเล็กในสนามพลังต่างๆ ควรเป็นสมการจาก ซึ่งผู้สังเกตได้สัมผัสกับคุณสมบัติของคลื่นของอนุภาค สมการพื้นฐานต้องเป็นสมการสำหรับฟังก์ชันคลื่น Ψ (x, y, z, t) เนื่องจากเป็นสมการนี้ หรือแม่นยำกว่านั้นคือปริมาณ |Ψ| 2 กำหนดความน่าจะเป็นที่อนุภาคอยู่ที่เวลา t ในปริมาตร dV นั่นคือ ในพื้นที่ที่มีพิกัด x และ x+dx, y และ y+dy, z และ z+dz เนื่องจากสมการที่ต้องการจะต้องคำนึงถึงคุณสมบัติคลื่นของอนุภาคด้วย ดังนั้น สมการจึงต้องเป็นสมการคลื่น คล้ายกับสมการอธิบายคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

สมการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์กันถูกกำหนดขึ้นในปี 1926 โดย E. Schrödinger สมการชเรอดิงเงอร์ เช่นเดียวกับสมการพื้นฐานทางฟิสิกส์ทั้งหมด (เช่น สมการของนิวตันในกลศาสตร์คลาสสิกและสมการของแมกซ์เวลล์สำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า) ไม่ได้มาจากการตั้งสมมติฐาน ความถูกต้องของสมการนี้ได้รับการยืนยันโดยข้อตกลงกับประสบการณ์ของผลลัพธ์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือซึ่งในทางกลับกันทำให้กฎของธรรมชาติมีลักษณะ สมการชโรดิงเงอร์มีรูปแบบ

โดยที่ h=h/(2π), m คือมวลของอนุภาค ∆ คือโอเปอเรเตอร์ Laplace ( ),

ผม - หน่วยจินตภาพ, U (x, y, z, t) - ฟังก์ชันศักย์ของอนุภาคในสนามแรงที่มันเคลื่อนที่ Ψ (x, y, z, t ) - ฟังก์ชันคลื่นที่ต้องการของอนุภาค

สมการ (217.1) ใช้ได้กับอนุภาคใดๆ (ที่มีการหมุนเท่ากับ 0; ดู§ 225) เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเล็กน้อย (เทียบกับความเร็วแสง) เช่น ด้วยความเร็ว υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

ต้องต่อเนื่อง 3) ฟังก์ชัน |Ψ| 2 ต้องบูรณาการ; เงื่อนไขนี้ในกรณีที่ง่ายที่สุดจะลดเงื่อนไขของการทำให้เป็นปกติของความน่าจะเป็น (216.3)

เพื่อให้ได้สมการชโรดิงเงอร์ ให้เราพิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่อย่างอิสระ ซึ่งตามแนวคิดของเดอ บร็อกลี มีความเกี่ยวข้องกับคลื่นระนาบ เพื่อความง่าย เราจะพิจารณากรณีหนึ่งมิติ สมการของระนาบคลื่นที่แพร่กระจายไปตามแกน x คือ (ดู§ 154)

หรือในรูปแบบที่ซับซ้อน . ดังนั้นคลื่นระนาบ de Broglie จึงมีรูปแบบ

(217.2)

(พิจารณาว่า ω = E/h, k=p/h) ในกลศาสตร์ควอนตัม เลขชี้กำลังจะถูกแทนด้วยเครื่องหมายลบ แต่เนื่องจากเป็นเพียง |Ψ| เท่านั้น 2 แล้ว สิ่งนี้ (ดู (217.2)) เป็นสิ่งที่ไม่จำเป็น แล้ว

,

; (217.3)

การใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงาน E และโมเมนตัม p (E = p 2 /(2m)) และการแทนที่นิพจน์ (217.3) เราได้สมการเชิงอนุพันธ์

ซึ่งสอดคล้องกับสมการ (217.1) สำหรับกรณี U = 0 (เราถือว่าเป็นอนุภาคอิสระ)

ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ในสนามพลังที่มีลักษณะเฉพาะด้วยพลังงานศักย์ U ดังนั้นพลังงานทั้งหมด E จะเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ ดำเนินการให้เหตุผลที่คล้ายกันโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง E และ p (สำหรับกรณีนี้ p 2 / (2m) = E - U) เราหมุนไปยังสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงกับ (217.1)

เหตุผลข้างต้นไม่ควรนำมาเป็นที่มาของสมการชโรดิงเงอร์ พวกเขาอธิบายเพียงว่าสมการนี้มาถึงได้อย่างไร การพิสูจน์ความถูกต้องของสมการชโรดิงเงอร์คือข้อตกลงกับประสบการณ์ของข้อสรุปที่นำไปสู่

สมการ (217.1) คือสมการชโรดิงเงอร์ทั่วไป เรียกอีกอย่างว่าสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา สำหรับปรากฏการณ์ทางกายภาพหลายอย่างที่เกิดขึ้นในพิภพขนาดเล็ก สมการ (217.1) สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการขจัดการพึ่งพา Ψ ตามเวลา หรืออีกนัยหนึ่ง เพื่อค้นหาสมการชโรดิงเงอร์สำหรับสภาวะที่อยู่นิ่ง ซึ่งเป็นสถานะที่มีค่าพลังงานคงที่ สิ่งนี้เป็นไปได้หากสนามพลังที่อนุภาคเคลื่อนที่อยู่นิ่ง เช่น ฟังก์ชัน U = U(x, y, z ) ไม่ขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจนและมีความหมายถึงพลังงานศักย์ ในกรณีนี้ คำตอบของสมการชโรดิงเงอร์สามารถแสดงเป็นผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งเป็นฟังก์ชันของพิกัดเท่านั้น ส่วนอีกฟังก์ชันหนึ่งเป็นเพียงฟังก์ชันของเวลา และการขึ้นต่อกันของเวลาแสดงโดยปัจจัย

,

โดยที่อี - พลังงานทั้งหมดของอนุภาค ซึ่งมีค่าคงที่ในกรณีของสนามที่อยู่นิ่ง แทน (217.4) เป็น (217.1) เราได้

ดังนั้น หลังจากหารด้วยตัวประกอบร่วม e – i (E/ h) t และการแปลงที่สอดคล้องกัน เราก็ได้สมการที่กำหนดฟังก์ชัน ψ:

(217.5)

สมการ (217.5) เรียกว่าสมการชโรดิงเงอร์สำหรับสถานะหยุดนิ่ง

สมการนี้รวมถึงพลังงานทั้งหมดของอนุภาคเป็นพารามิเตอร์ ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ มีการพิสูจน์ว่าสมการดังกล่าวมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด ซึ่งคำตอบที่มีความหมายทางกายภาพจะถูกเลือกโดยการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต สำหรับสมการชโรดิงเงอร์ เงื่อนไขดังกล่าวเป็นเงื่อนไขของความสม่ำเสมอของฟังก์ชันคลื่น: ฟังก์ชันคลื่นต้องมีขอบเขตจำกัด มีค่าเดียว และต่อเนื่องกันพร้อมกับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ดังนั้นคำตอบที่แสดงโดยฟังก์ชันปกติเท่านั้น . แต่การแก้ปัญหาปกติจะไม่เกิดขึ้นสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์ E แต่สำหรับชุดค่าที่กำหนดเท่านั้นซึ่งเป็นลักษณะของปัญหาที่กำหนด ค่าพลังงานเหล่านี้เรียกว่าเนื้อแท้ โซลูชันที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานเรียกว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ค่าลักษณะเฉพาะ E สามารถสร้างได้ทั้งแบบต่อเนื่องหรือแบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีแรก เราพูดถึงสเปกตรัมแบบต่อเนื่องหรือแบบต่อเนื่อง ในกรณีที่สองเป็นสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่อง

1. บทนำ

ทฤษฎีควอนตัมถือกำเนิดขึ้นในปี 1900 เมื่อ Max Planck เสนอข้อสรุปทางทฤษฎีเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิของร่างกายและรังสีที่ปล่อยออกมาจากร่างกายนี้ ซึ่งเป็นข้อสรุปที่นักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ เข้าใจยาก เช่นเดียวกับรุ่นก่อน ๆ ของเขา Planck เสนอว่าปรมาณู ออสซิลเลเตอร์ปล่อยรังสี แต่ในขณะเดียวกัน เขาเชื่อว่าพลังงานของออสซิลเลเตอร์ (และเป็นผลให้รังสีที่ปล่อยออกมาจากพวกมัน) มีอยู่ในรูปของส่วนเล็กๆ ที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งไอน์สไตน์เรียกว่าควอนตา พลังงานของแต่ละควอนตัมเป็นสัดส่วนกับความถี่ของรังสี แม้ว่าสูตรของพลังค์จะได้รับการชื่นชมอย่างกว้างขวาง แต่สมมติฐานที่เขาตั้งขึ้นนั้นยังคงไม่สามารถเข้าใจได้ เนื่องจากมันขัดแย้งกับฟิสิกส์คลาสสิก

ในปี 1905 ไอน์สไตน์ใช้ทฤษฎีควอนตัมเพื่ออธิบายบางแง่มุมของโฟโตอิเล็กทริกเอฟเฟกต์ นั่นคือการปล่อยอิเล็กตรอนจากพื้นผิวโลหะที่สัมผัสกับรังสีอัลตราไวโอเลต ระหว่างทาง ไอน์สไตน์สังเกตเห็นสิ่งที่ขัดแย้งกัน: แสงซึ่งเป็นที่รู้กันมานานถึงสองศตวรรษว่าเดินทางเป็นคลื่นอย่างต่อเนื่อง ภายใต้สถานการณ์บางอย่างอาจทำตัวเหมือนกระแสของอนุภาค

ประมาณแปดปีต่อมา Niels Bohr ได้ขยายทฤษฎีควอนตัมไปยังอะตอมและอธิบายความถี่ของคลื่นที่ปล่อยออกมาจากอะตอมที่กระตุ้นด้วยเปลวไฟหรือในประจุไฟฟ้า เออร์เนสต์ รัทเทอร์ฟอร์ดแสดงให้เห็นว่ามวลของอะตอมเกือบทั้งหมดกระจุกตัวอยู่ในนิวเคลียสส่วนกลางซึ่งมีประจุไฟฟ้าบวกและล้อมรอบด้วยระยะทางค่อนข้างไกลด้วยอิเล็กตรอนที่มีประจุลบ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่อะตอมโดยรวมเป็น เป็นกลางทางไฟฟ้า บอร์เสนอว่าอิเล็กตรอนสามารถอยู่ในวงโคจรที่ไม่ต่อเนื่องบางวงเท่านั้นที่สอดคล้องกับระดับพลังงานที่แตกต่างกัน และการ "กระโดด" ของอิเล็กตรอนจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่งด้วยพลังงานที่ต่ำกว่าจะมาพร้อมกับการปล่อยโฟตอนซึ่งมีพลังงานเท่ากัน ถึงความแตกต่างของพลังงานระหว่างวงโคจรทั้งสอง ความถี่ตามทฤษฎีของพลังค์เป็นสัดส่วนกับพลังงานของโฟตอน ดังนั้น แบบจำลองอะตอมของบอร์จึงสร้างการเชื่อมต่อระหว่างเส้นสเปกตรัมที่มีลักษณะเฉพาะของสสารที่แผ่รังสีออกมากับโครงสร้างอะตอม แม้จะประสบความสำเร็จในขั้นต้น แต่ในไม่ช้าแบบจำลองอะตอมของ Bohr ก็จำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนเพื่อขจัดความแตกต่างระหว่างทฤษฎีและการทดลอง นอกจากนี้ ทฤษฎีควอนตัมในขั้นตอนนั้นยังไม่ได้จัดเตรียมขั้นตอนที่เป็นระบบสำหรับการแก้ปัญหาควอนตัมมากมาย

ลักษณะสำคัญใหม่ของทฤษฎีควอนตัมเกิดขึ้นในปี 1924 เมื่อเดอ บรอยลีเสนอสมมติฐานที่รุนแรงเกี่ยวกับธรรมชาติของคลื่นของสสาร: ถ้าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เช่น แสง บางครั้งมีพฤติกรรมเหมือนอนุภาค (ดังที่ไอน์สไตน์แสดง) อนุภาคเช่น ในบางกรณีอิเล็กตรอนสามารถประพฤติตัวเหมือนคลื่นได้ ในสูตรของ de Broglie ความถี่ที่สอดคล้องกับอนุภาคจะสัมพันธ์กับพลังงานของมัน เช่นในกรณีของโฟตอน (อนุภาคของแสง) แต่นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของ de Broglie คือความสัมพันธ์ที่สมมูลกันระหว่างความยาวคลื่น มวลของอนุภาค และ ความเร็ว (โมเมนตัม) การมีอยู่ของคลื่นอิเล็กตรอนได้รับการพิสูจน์โดยการทดลองในปี 1927 โดย Clinton Davisson และ Lester Germer ในสหรัฐอเมริกา และโดย John Paget Thomson ในอังกฤษ

ด้วยความประทับใจในความคิดเห็นของ Einstein เกี่ยวกับแนวคิดของ de Broglie ชเรอดิงเงอร์จึงพยายามใช้คำอธิบายคลื่นของอิเล็กตรอนเพื่อสร้างทฤษฎีควอนตัมที่สอดคล้องกัน ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองอะตอมที่ไม่เพียงพอของ Bohr ในแง่หนึ่ง เขาตั้งใจที่จะนำทฤษฎีควอนตัมเข้าใกล้ฟิสิกส์คลาสสิกมากขึ้น ซึ่งได้สะสมตัวอย่างมากมายของคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของคลื่น ความพยายามครั้งแรกที่ทำโดยชเรอดิงเงอร์ในปี 2468 จบลงด้วยความล้มเหลว

ความเร็วของอิเล็กตรอนในทฤษฎี II ของชเรอดิงเงอร์นั้นใกล้เคียงกับความเร็วแสง ซึ่งจำเป็นต้องรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ไว้ในนั้น และคำนึงถึงการเพิ่มขึ้นอย่างมากของมวลของอิเล็กตรอนที่คาดการณ์ไว้ด้วยความเร็วที่สูงมาก

สาเหตุประการหนึ่งของความล้มเหลวของชเรอดิงเงอร์คือเขาไม่ได้คำนึงถึงการมีอยู่ของคุณสมบัติเฉพาะของอิเล็กตรอน ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าสปิน (การหมุนของอิเล็กตรอนรอบแกนของมันเอง เช่น ลูกข่าง) ซึ่งในเวลานั้นก็คือ รู้จักกันน้อย

ความพยายามครั้งต่อไปเกิดขึ้นโดยชเรอดิงเงอร์ในปี พ.ศ. 2469 ครั้งนี้ ความเร็วของอิเล็กตรอนถูกเลือกให้มีขนาดเล็กมากจนความต้องการที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพหายไปเอง

ความพยายามครั้งที่สองได้รับสมการของสมการคลื่นชโรดิงเงอร์ ซึ่งให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสสารในแง่ของฟังก์ชันคลื่น ชเรอดิงเงอร์เรียกทฤษฎีของเขาว่า กลศาสตร์คลื่น คำตอบของสมการคลื่นสอดคล้องกับการสังเกตการณ์เชิงทดลองและมีผลอย่างลึกซึ้งต่อการพัฒนาทฤษฎีควอนตัมในภายหลัง

ก่อนหน้านั้นไม่นาน Werner Heisenberg, Max Born และ Pascual Jordan ได้เผยแพร่ทฤษฎีควอนตัมอีกรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่า กลศาสตร์เมทริกซ์ ซึ่งอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมโดยใช้ตารางของสิ่งที่สังเกตได้ ตารางเหล่านี้เป็นชุดทางคณิตศาสตร์ที่เรียงลำดับในลักษณะหนึ่ง เรียกว่า เมทริกซ์ ซึ่งตามกฎที่ทราบแล้ว การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ สามารถดำเนินการได้ กลศาสตร์เมทริกซ์ยังทำให้สามารถบรรลุข้อตกลงกับข้อมูลการทดลองที่สังเกตได้ แต่ต่างจากกลไกของคลื่นตรงที่ไม่มีการอ้างอิงเฉพาะใดๆ เกี่ยวกับพิกัดเชิงพื้นที่หรือเวลา ไฮเซนเบิร์กยืนกรานโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการละทิ้งการแสดงภาพหรือแบบจำลองง่ายๆ ใดๆ โดยเน้นคุณสมบัติที่สามารถระบุได้จากการทดลองเท่านั้น

ชเรอดิงเงอร์แสดงให้เห็นว่ากลศาสตร์คลื่นและเมทริกซ์มีความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นพื้นฐานทั่วไปที่รอคอยมานานสำหรับการอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัม นักฟิสิกส์หลายคนชอบกลศาสตร์คลื่นมากกว่า เพราะเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของมันคุ้นเคยกับพวกเขามากกว่า และแนวคิดของมันดูเหมือน "เชิงกายภาพ" มากกว่า การดำเนินการกับเมทริกซ์นั้นยุ่งยากกว่า

ฟังก์ชัน Ψ การทำให้เป็นปกติของความน่าจะเป็น

การค้นพบคุณสมบัติคลื่นของอนุภาคขนาดเล็กบ่งชี้ว่ากลศาสตร์แบบดั้งเดิมไม่สามารถให้คำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับพฤติกรรมของอนุภาคดังกล่าวได้ มีความจำเป็นต้องสร้างกลไกของอนุภาคขนาดเล็ก ซึ่งจะคำนึงถึงคุณสมบัติของคลื่นด้วย กลศาสตร์ใหม่ที่สร้างขึ้นโดยชเรอดิงเงอร์ ไฮเซนเบิร์ก ดิแรคและคนอื่นๆ เรียกว่ากลศาสตร์คลื่นหรือควอนตัม

คลื่นเครื่องบิน De Broglie

เป็นการก่อตัวของคลื่นที่พิเศษมาก ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่สม่ำเสมออย่างอิสระของอนุภาคในทิศทางหนึ่งๆ และด้วยโมเมนตัมหนึ่งๆ แต่อนุภาคแม้ในพื้นที่ว่างและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสนามพลัง สามารถทำการเคลื่อนที่อื่นๆ ที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นที่ซับซ้อนกว่าได้ ในกรณีเหล่านี้ คำอธิบายที่สมบูรณ์เกี่ยวกับสถานะของอนุภาคในกลศาสตร์ควอนตัมไม่ได้มาจากระนาบของคลื่น Broglie แต่เกิดจากฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ซับซ้อนกว่า

ด้วยฟังก์ชันคลื่น ความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ของการตรวจพบอนุภาคในตำแหน่งต่างๆ ในอวกาศจะถูกกำหนด ในขั้นตอนนี้ เมื่อพูดถึงอัตราส่วนความน่าจะเป็นเท่านั้น ฟังก์ชันคลื่นจะถูกกำหนดโดยพื้นฐานจนถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจ ถ้าในทุกจุดในอวกาศ ฟังก์ชันคลื่นคูณด้วยค่าคงที่เดียวกัน (โดยทั่วไปคือจำนวนเชิงซ้อน) ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ จะได้ฟังก์ชันคลื่นใหม่ที่อธิบายสถานะเดียวกันทุกประการ มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดว่า Ψ เป็นศูนย์ในทุกจุดในอวกาศ เพราะ "ฟังก์ชันคลื่น" ดังกล่าวไม่เคยยอมให้ใครสรุปเกี่ยวกับความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ของการค้นหาอนุภาคในตำแหน่งต่างๆ ในอวกาศ แต่ความไม่แน่นอนในคำจำกัดความของ Ψ สามารถจำกัดให้แคบลงได้อย่างมากโดยการย้ายจากความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ไปเป็นค่าสัมบูรณ์ ให้เราจัดการปัจจัยที่ไม่แน่นอนในฟังก์ชัน Ψ เพื่อให้ค่า |Ψ|2dV ให้ความน่าจะเป็นสัมบูรณ์ในการค้นหาอนุภาคในองค์ประกอบปริมาตรอวกาศ dV จากนั้น |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* คือคอนจูเกตเชิงซ้อนของ Ψ) จะมีความหมายของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ควรคาดหวังเมื่อพยายามตรวจหาอนุภาคในอวกาศ ในกรณีนี้ Ψ จะยังคงถูกกำหนดตามปัจจัยเชิงซ้อนคงที่ตามอำเภอใจ ซึ่งโมดูลัสนั้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง ด้วยคำจำกัดความนี้ เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานจะต้องเป็นไปตาม:

โดยที่อินทิกรัลถูกยึดครองพื้นที่อนันต์ทั้งหมด หมายความว่าในทุกพื้นที่ อนุภาคจะถูกตรวจพบอย่างแน่นอน หากนำอินทิกรัลของ |Ψ|2 ไปใช้ในปริมาตร V1 จำนวนหนึ่ง เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในช่องว่างของปริมาตร V1

การทำให้เป็นมาตรฐาน (2) อาจเป็นไปไม่ได้หากอินทิกรัล (2) แตกต่างกัน ในกรณีนี้จะเป็นเช่นในกรณีของระนาบคลื่น Broglie เมื่อความน่าจะเป็นในการตรวจจับอนุภาคเท่ากันในทุกจุดในอวกาศ แต่กรณีดังกล่าวควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นอุดมคติของสถานการณ์จริงซึ่งอนุภาคไม่ได้ไปถึงอนันต์ แต่ถูกบังคับให้อยู่ในพื้นที่จำกัด การทำให้เป็นมาตรฐานนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ดังนั้น ความหมายทางกายภาพในทันทีจึงไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Ψ เอง แต่กับโมดูลัส Ψ*Ψ เหตุใดในทฤษฎีควอนตัมจึงทำงานด้วยฟังก์ชันคลื่น Ψ ไม่ใช่โดยตรงกับปริมาณที่สังเกตได้จากการทดลอง Ψ*Ψ สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการตีความคุณสมบัติคลื่นของสสาร - การรบกวนและการเลี้ยวเบน ที่นี่สถานการณ์เหมือนกับในทฤษฎีคลื่นทุกประการ (อย่างน้อยที่สุดในการประมาณเชิงเส้น) ยอมรับความถูกต้องของหลักการของการซ้อนทับของสนามคลื่นเอง ไม่ใช่ความเข้มของมัน และด้วยเหตุนี้จึงได้รวมไว้ในทฤษฎีปรากฏการณ์ของการแทรกสอดของคลื่นและการเลี้ยวเบน ดังนั้นในกลศาสตร์ควอนตัม หลักการของการซ้อนทับของฟังก์ชันคลื่นจึงเป็นที่ยอมรับว่าเป็นหนึ่งในหลักการหลักซึ่งประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้