การศึกษาทางสถิติของอนุกรมความแปรผันและการคำนวณค่าเฉลี่ย วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปที่เป็นนามธรรมของประชากรทั้งหมด มันทำลาย ดับ ลดความผันผวนแบบสุ่มและไม่สุ่ม อิทธิพลของลักษณะเฉพาะส่วนบุคคลให้ราบรื่น และช่วยให้คุณเป็นตัวแทนในค่าเดียว บางส่วน ลักษณะทั่วไปรวมหน่วยจริง เงื่อนไขหลักสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยทางวิทยาศาสตร์คือค่าเฉลี่ยแต่ละชุดจะกำหนดลักษณะชุดของหน่วยที่มีความสำคัญและโดยหลักแล้วจะสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะซึ่งเป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ ในบรรดาค่าเฉลี่ยที่หลากหลาย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถือเป็นค่าเฉลี่ยที่ใช้บ่อยที่สุด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือผลหารของการหารผลรวมของค่าทั้งหมดของคุณลักษณะด้วยตัวเลข ถูกกำหนดให้เป็น x สูตรคำนวณคือ

จากข้อมูลต่อไปนี้ เราคำนวณจำนวนหนังสือพิมพ์เฉลี่ยที่บุคคลต่างๆ อ่านในแต่ละวันในกลุ่มตัวอย่าง 10 คน:

สูตร (1) สำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่มกลายเป็น:

โดยที่ n คือความถี่สำหรับ ฉัน- ค่าลักษณะเฉพาะที่

หากพบค่าเฉลี่ยสำหรับอนุกรมการแจกแจงตามช่วงเวลา ค่าตรงกลางจะถือเป็นค่าของแอตทริบิวต์สำหรับแต่ละช่วงเวลาตามอัตภาพ

ขั้นตอนการคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่มทำได้สะดวกตามรูปแบบต่อไปนี้ (ตารางที่ 3)

มีวิธีที่ง่ายหลายวิธีในการคำนวณค่าเฉลี่ย เรา. 163 เป็นขั้นกลางจะพิจารณาการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยวิธีการนับจากศูนย์ที่มีเงื่อนไข

ตัวอย่าง.เราจัดกลุ่มข้อมูลข้างต้นตามจำนวนหนังสือพิมพ์ที่อ่าน (ดูหน้า 159) ดังนี้

ค่ามัธยฐานค่ามัธยฐานคือค่าของคุณลักษณะสำหรับหน่วยประชากรนั้นซึ่งอยู่ตรงกลางของชุดการกระจายความถี่

หากมีพจน์เป็นจำนวนคู่ในชุด (2k) ค่ามัธยฐานจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ากลางสองค่าของแอตทริบิวต์ หากจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ (2k+ 1) ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าแอตทริบิวต์ของวัตถุ (k + 1)

สมมติว่าในกลุ่มตัวอย่างจำนวน 10 คน ผู้ตอบแบบสอบถามจะถูกจัดอันดับตามระยะเวลาการทำงานในองค์กรหนึ่งๆ:

อันดับมัธยฐานคือ 5 และ 6 ดังนั้นค่ามัธยฐานคือ

ในช่วงอนุกรมด้วย ความหมายที่แตกต่างกันความถี่ การคำนวณหาค่ามัธยฐานแบ่งออกเป็น 2 ระยะ ขั้นแรกหาค่ามัธยฐานซึ่งตรงกับความถี่แรกสะสม ซึ่งเกินครึ่งหนึ่งของปริมาตรรวมของประชากร แล้วหาค่ามัธยฐานโดยใช้ สูตร

โดยที่ X0 คือจุดเริ่มต้น (ขีดจำกัดล่าง) ของช่วงค่ามัธยฐาน d คือค่าของช่วงค่ามัธยฐาน n = Sn t - ผลรวมของความถี่ (ความถี่สัมพัทธ์) ของช่วงเวลา n n - ความถี่ (สัมพัทธ์) สะสมตามช่วงค่ามัธยฐาน n me - ความถี่ (สัมพัทธ์) ของช่วงค่ามัธยฐาน

เรามาคำนวณตามข้อมูลในตารางกันดีกว่า 2 โดยที่ความถี่สัมพัทธ์สะสมจะแสดงอยู่ที่บรรทัดล่างสุด คนแรกซึ่งเกินครึ่งหนึ่งของประชากร (100/2 = 50%) เท่ากับ 57.9% ดังนั้นค่ามัธยฐานจึงอยู่ในช่วง 3-4 ปี ดังนั้น

ดังนั้น สำหรับตัวอย่างนี้ ค่ามัธยฐานของ 3.7 ปีแสดงให้เห็นว่า 50% ของครอบครัวมีอัตราส่วนอายุน้อยกว่าค่านี้ และอีก 50% มีมากกว่านั้น ค่ามัธยฐานสามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายแบบกราฟิกจากการสะสมของการแจกแจง (ดูรูปที่ 3)

ค่ามัธยฐานสามารถนำไปใช้กับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องได้ ค่าเศษส่วนมักไม่มีการตีความที่มีความหมายในทันที

ตามการกระจายตัวของคนงานตามประเภทภาษี ดูหน้า 156) คำนวณค่ามัธยฐานของการแจกแจงนี้โดยใช้สูตรข้างต้น 1 8 เราได้รับ

เราพบว่าคนงาน 50% มีหมวดหมู่น้อยกว่า 3.1 และ 50% มีหมวดหมู่ที่สูงกว่า

ค่ามัธยฐานตามที่ระบุไว้แล้ว จะแบ่งชุดความแปรผันที่ได้รับการจัดลำดับออกเป็นสองกลุ่มที่มีขนาดเท่ากัน

นอกจากค่ามัธยฐานแล้วเราสามารถพิจารณาค่าที่เรียกว่า ปริมาณโดยแบ่งอนุกรมการแจกแจงออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน ออกเป็น 10 ส่วน เป็นต้น

ควอไทล์ที่แบ่งอนุกรมออกเป็น 4 ประชากรเท่าๆ กัน เรียกว่า ควอร์ไทล์ มี Q1/4 ล่างและควอไทล์บน (รูปที่ 6) ค่า Q 1/2 คือค่ามัธยฐาน การคำนวณควอร์ไทล์เหมือนกับการคำนวณค่ามัธยฐานทุกประการ:

โดยที่ x 0 คือขอบเขตต่ำสุดของช่วงที่มีควอไทล์ล่าง (บน) n n - ความถี่ (ความถี่สัมพัทธ์) สะสมจนถึงช่วงรายไตรมาส n Q - ความถี่ (ความถี่สัมพัทธ์) ของช่วงรายไตรมาส d คือค่าของช่วงรายไตรมาส

เปอร์เซ็นต์ไทล์แบ่งชุดการสังเกตออกเป็น 100 ส่วน โดยแต่ละชุดมีจำนวนการสังเกตเท่ากัน Deciles แบ่งชุดของการสังเกตด้วยสิบ ส่วนที่เท่ากัน- ควอนไทล์คำนวณได้ง่าย ๆ จากการกระจายความถี่สะสม (สะสม)

แฟชั่น.ในสถิติ โหมดคือค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดของลักษณะเฉพาะ กล่าวคือ ค่าที่น่าจะเกิดขึ้นมากที่สุดในชุดของการสังเกตที่บันทึกไว้ ใน ซีรีส์ไม่ต่อเนื่องโหมด (Mo) คือค่าที่มีความถี่สูงสุด

ในชุดช่วงเวลา (ด้วย ในช่วงเวลาเท่ากัน) คลาสที่มีจำนวนการสังเกตมากที่สุดคือโมดอล ค่าของโหมดอยู่ภายในขีดจำกัดและคำนวณโดยสูตร

โดยที่ x 0 คือขีดจำกัดล่างของช่วงโมดอล d - ขนาดช่วงเวลา; n- - ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล n Mo - ความถี่คลาสกิริยา; n + - ความถี่ของช่วงเวลาตามโมดอลหนึ่ง

โดยสรุปซึ่งมีเพียงการดำเนินการจำแนกวัตถุตามบางส่วนเท่านั้น สัญญาณเชิงคุณภาพโหมดการคำนวณคือ วิธีเดียวเท่านั้นบ่งบอกถึงจุดศูนย์ถ่วงที่แน่นอนของมวลรวม

ข้อเสียของแฟชั่นมีดังต่อไปนี้: ไม่สามารถดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตได้ การพึ่งพามูลค่าของมันในช่วงเวลาการจัดกลุ่ม ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของค่ากิริยาช่วยหลายค่าของฟีเจอร์ในชุดการแจกแจง (ดูตัวอย่างรูปที่ 4, c)

การเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย- ความเหมาะสมในการใช้ค่าเฉลี่ยประเภทใดประเภทหนึ่งขึ้นอยู่กับเป็นอย่างน้อย เงื่อนไขต่อไปนี้: เป้าหมายการหาค่าเฉลี่ย ประเภทของการกระจาย ระดับการวัดคุณลักษณะ ข้อพิจารณาในการคำนวณ วัตถุประสงค์ของการหาค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับการตีความปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาอย่างมีความหมาย อย่างไรก็ตาม รูปร่างของการแจกแจงอาจทำให้การศึกษาค่าเฉลี่ยมีความซับซ้อนมากขึ้น ถ้าสำหรับการแจกแจงแบบสมมาตร (ดูรูปที่ 4 ก) โหมด ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหมือนกัน ดังนั้นสำหรับการแจกแจงแบบอสมมาตรจะไม่เป็นเช่นนั้น การเลือกค่าเฉลี่ยอาจได้รับผลกระทบจากประเภทของการแจกแจงด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับอนุกรมที่มีช่วงจำกัดเปิด เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่หากการแจกแจงใกล้เคียงกับสมมาตร คุณสามารถคำนวณค่ามัธยฐานได้ ซึ่งจะเหมือนกันในกรณีนี้

เชิงนามธรรม

ค่าเฉลี่ยและตัวชี้วัดการเปลี่ยนแปลง

1. สาระสำคัญของค่าเฉลี่ยในสถิติ

2. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

3. ตัวบ่งชี้หลักของความแปรปรวนและความสำคัญในสถิติ

1. สาระสำคัญของน้ำหนักปานกลางปลอมตัวอยู่ในสถิติ

อยู่ในขั้นตอนการศึกษาสังคมมวลชน ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจไม่จำเป็นต้องระบุตัวตนเหล่านั้น คุณสมบัติทั่วไป, ขนาดปกติ และ คุณสมบัติลักษณะ- ความจำเป็นในการมีตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยทั่วไปเกิดขึ้นเมื่อลักษณะเฉพาะของหน่วยประชากรที่ศึกษาแตกต่างกันไปในเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่น ผลผลิตรายวันของช่างทอในโรงงานทอผ้าขึ้นอยู่กับ เงื่อนไขทั่วไปการผลิต, ช่างทอใช้วัตถุดิบชนิดเดียวกัน, ทำงานบนเครื่องจักรชนิดเดียวกัน เป็นต้น ในขณะเดียวกัน ผลผลิตรายชั่วโมงของช่างทอแต่ละคนก็มีความผันผวน เช่น แตกต่างกันไปเพราะมันขึ้นอยู่กับ ลักษณะเฉพาะส่วนบุคคลช่างทอผ้าแต่ละคน (คุณสมบัติของเขา ประสบการณ์ระดับมืออาชีพฯลฯ) เพื่อระบุลักษณะผลผลิตรายวันของช่างทอผ้าทั้งหมดขององค์กรจำเป็นต้องคำนวณ ค่าเฉลี่ยผลผลิตรายวัน เนื่องจากมีเพียงตัวบ่งชี้นี้เท่านั้นที่จะสะท้อนถึงสภาวะการผลิตโดยทั่วไปสำหรับช่างทอ

ดังนั้นการคำนวณตัวบ่งชี้ทั่วไปโดยเฉลี่ยหมายถึงนามธรรม (นามธรรม) จากคุณสมบัติที่สะท้อนให้เห็นในคุณค่าของลักษณะเฉพาะในแต่ละหน่วยและระบุสิ่งที่พบบ่อยในประชากรที่กำหนด คุณสมบัติทั่วไปและคุณสมบัติ

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยในสถิติจึงเป็นลักษณะทั่วไปเชิงปริมาณของลักษณะเฉพาะและประชากรทางสถิติ เป็นการแสดงออกถึงลักษณะเฉพาะ ค่าทั่วไปของคุณลักษณะในหน่วยของประชากรที่เกิดขึ้นในสภาวะของสถานที่และเวลาที่กำหนดภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งชุด การกระทำของปัจจัยต่างๆ ทำให้เกิดความผันผวนและความแปรผันของลักษณะเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยคือการวัดการกระทำโดยทั่วไป ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมด ค่าเฉลี่ยแสดงถึงลักษณะของประชากรตามลักษณะเฉพาะที่ถูกนำมาเฉลี่ย แต่หมายถึงหน่วยของประชากร เช่น ผลผลิตเฉลี่ยต่อคนงาน ขององค์กรแห่งนี้หมายถึงอัตราส่วนของผลผลิตทั้งหมด (สำหรับช่วงเวลาใด ๆ ) ต่อจำนวนพนักงานทั้งหมด (โดยเฉลี่ยในช่วงเวลาเดียวกัน) เป็นการแสดงลักษณะเฉพาะของผลิตภาพแรงงานของประชากรกลุ่มหนึ่ง แต่หมายถึงคนงานคนหนึ่ง โดยเฉลี่ยแล้ว ปรากฏการณ์มวลได้รับการชำระคืน ความแตกต่างส่วนบุคคลหน่วยของประชากรทางสถิติในค่าของลักษณะเฉลี่ยเนื่องจากสถานการณ์สุ่ม ผลจากการยกเลิกร่วมกันนี้ สมบัติทางธรรมชาติทั่วไปของชุดปรากฏการณ์ทางสถิติที่กำหนดจะปรากฏเป็นค่าเฉลี่ย มีการเชื่อมโยงวิภาษวิธีระหว่างค่าเฉลี่ยและค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะค่าเฉลี่ยเช่นเดียวกับระหว่างค่าทั่วไปและค่าบุคคล ค่าเฉลี่ยเป็นหมวดหมู่ที่สำคัญที่สุดของวิทยาศาสตร์สถิติและ แบบฟอร์มที่สำคัญที่สุดตัวบ่งชี้ทั่วไป ปรากฏการณ์มากมาย ชีวิตสาธารณะมีความชัดเจนและแน่นอนเฉพาะเมื่อมีการสรุปทั่วไปในรูปแบบของค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น ผลิตภาพแรงงานที่กล่าวมาข้างต้น จำนวนคนงานทั้งหมด ผลผลิตทางการเกษตร เป็นต้น ค่าเฉลี่ยปรากฏในสถิติ วิธีการที่สำคัญที่สุดลักษณะทั่วไปทางวิทยาศาสตร์ ในแง่นี้พวกเขาพูดถึงวิธีการหาค่าเฉลี่ยซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านเศรษฐศาสตร์ หลายประเภท วิทยาศาสตร์เศรษฐศาสตร์ถูกกำหนดโดยใช้แนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ย

เงื่อนไขหลักสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องคือความสม่ำเสมอของประชากรทางสถิติตามลักษณะการเฉลี่ย ประชากรทางสถิติที่เป็นเนื้อเดียวกันคือประชากรที่มีองค์ประกอบ (หน่วย) ที่เป็นส่วนประกอบมีความคล้ายคลึงกันในลักษณะที่สำคัญการศึกษาครั้งนี้ เป็นสัญญาณและเป็นปรากฏการณ์ชนิดเดียวกันประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีลักษณะเหมือนกันบางประการ อาจมีลักษณะที่แตกต่างกันในลักษณะอื่นด้วย ปรากฏเฉพาะในค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรดังกล่าวเท่านั้น คุณสมบัติเฉพาะรูปแบบการพัฒนาปรากฏการณ์ที่วิเคราะห์ ค่าเฉลี่ยที่คำนวณสำหรับประชากรทางสถิติที่แตกต่างกัน เช่น ปรากฏการณ์หนึ่งที่มีปรากฏการณ์ที่แตกต่างกันในเชิงคุณภาพรวมกันจะสูญเสียไป ความหมายทางวิทยาศาสตร์- ค่าเฉลี่ยดังกล่าวเป็นสิ่งสมมติ ไม่เพียงแต่ไม่ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นจริงเท่านั้น แต่ยังบิดเบือนอีกด้วย ในการสร้างผลรวมทางสถิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน จะต้องดำเนินการจัดกลุ่มที่เหมาะสม ด้วยความช่วยเหลือของการจัดกลุ่มและในประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ ทำให้สามารถระบุคุณลักษณะเฉพาะได้

ในเชิงปริมาณ

กลุ่ม สำหรับแต่ละรายการ สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวเองได้ เรียกว่าค่าเฉลี่ยกลุ่ม (โดยเฉพาะ) ซึ่งตรงกันข้ามกับค่าเฉลี่ยทั่วไป (สำหรับประชากรโดยรวม) 2. ประเภทของค่าเฉลี่ยสิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งในวิธีการของค่าเฉลี่ยคือประเด็นของการเลือกรูปแบบของค่าเฉลี่ยเช่น สูตรที่คุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยได้อย่างถูกต้องและการเลือกน้ำหนักสำหรับค่าเฉลี่ย ส่วนใหญ่มักใช้ในทางสถิติค่าเฉลี่ยรวม, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก, ค่าเฉลี่ย

2.1 เรขาคณิต สี่เหลี่ยมจัตุรัสเฉลี่ย โหมด และค่ามัธยฐาน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นรูปแบบหนึ่งของค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณเป็นผลหารของการหารผลรวมของแต่ละค่า (ตัวเลือก) ของการแปรผัน ลงนามในหมายเลขของพวกเขาค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้ในกรณีที่ปริมาตรของลักษณะที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ในประชากรทางสถิติที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นเกิดจากการรวมค่าของลักษณะของหน่วยปรากฏการณ์ทั้งหมดในประชากรทางสถิติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายซึ่งถูกกำหนดโดยการรวมค่าเชิงปริมาณของคุณลักษณะที่แตกต่างกันและแบ่งจำนวนนี้ออกเป็นตัวเลือกและคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

X คือค่าเฉลี่ยของประชากรทางสถิติ

x i - ผลรวมของตัวแปรที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ของประชากรทางสถิติ

n i คือจำนวนตัวแปรที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ของประชากรทางสถิติ

2) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- ค่าเฉลี่ยของเครื่องหมายปรากฏการณ์ คำนวณโดยคำนึงถึงน้ำหนัก น้ำหนักของค่าเฉลี่ยคือความถี่ที่แต่ละค่าของคุณลักษณะที่ถูกเฉลี่ยจะถูกนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย การเลือกน้ำหนักเฉลี่ยขึ้นอยู่กับลักษณะของคุณลักษณะที่จะนำมาเฉลี่ยและลักษณะของข้อมูลที่สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยได้ เนื่องจากน้ำหนักของค่าเฉลี่ย จึงสามารถระบุจำนวนหน่วยหรือขนาดของส่วนของประชากรทางสถิติ (ในรูปของค่าสัมบูรณ์หรือค่าสัมพัทธ์) ที่มีความแปรผันที่กำหนด (ค่า) ของลักษณะเฉลี่ยของปรากฏการณ์ของ ประชากรทางสถิติตลอดจนค่าของตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้องกับลักษณะเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

X - ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

x คือค่าของตัวแปรที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ของประชากรทางสถิติ

วัตถุประสงค์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบง่ายและถ่วงน้ำหนักคือเพื่อหาค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะที่แตกต่างกันไป หากในประชากรทางสถิติที่ศึกษาตัวแปรของค่าของลักษณะเฉพาะเกิดขึ้นครั้งเดียวหรือมีน้ำหนักเท่ากันก็จะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย แต่ถ้าตัวแปรของค่าของคุณลักษณะที่กำหนดเกิดขึ้นในประชากรที่ศึกษา หลายครั้งหรือมีน้ำหนักต่างกัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้หาค่าเฉลี่ยของลักษณะการถ่วงน้ำหนักที่แตกต่างกัน

2.2 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเมื่อไม่มีข้อมูลโดยตรงเกี่ยวกับน้ำหนัก แต่ตัวแปรของคุณลักษณะที่มีค่าเฉลี่ย (x) และผลิตภัณฑ์ของค่าของตัวแปรตามจำนวนหน่วยที่มีการกำหนด ทราบค่า w (w = xf)

ค่าเฉลี่ยนี้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

1.) ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแบบง่าย:

X - หมายถึงฮาร์มอนิกอย่างง่าย

n คือจำนวนตัวแปรที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ของประชากรทางสถิติ

2) ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก:

X - ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก

x คือผลรวมของตัวแปรที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ของประชากรทางสถิติ

เมื่อใช้การถ่วงน้ำหนักแบบฮาร์มอนิก จะมีการระบุน้ำหนักและจะได้ผลลัพธ์แบบเดียวกับที่จะได้รับจากการคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์ หากทราบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด

2.3 ผลรวมเฉลี่ย

ยอดรวมเฉลี่ยคำนวณโดยใช้สูตร:

X - รวมเฉลี่ย

x คือผลรวมของตัวแปรที่แตกต่างกันของปรากฏการณ์ของประชากรทางสถิติ

การรวมเฉลี่ยจะถูกคำนวณในกรณีที่ทราบค่าของตัวเศษและตัวส่วนของอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ย (มีอยู่)

2.4 ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเป็นรูปแบบหนึ่งของค่าเฉลี่ยและคำนวณได้ดังนี้ รากที่ nองศาจากการทำงาน ค่านิยมส่วนบุคคล- ตัวแปรของลักษณะ (x) และถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ยเป็นหลัก

2.5 โหมดและค่ามัธยฐาน

พร้อมด้วยค่าเฉลี่ยที่กล่าวถึงข้างต้นในด้านคุณภาพ ลักษณะทางสถิติซีรีย์การเปลี่ยนแปลงที่เรียกว่า ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง - โหมดและค่ามัธยฐาน

โหมด (Mo) คือค่าลักษณะเฉพาะที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในหน่วยประชากร- สำหรับซีรีย์แยก ตัวเลือกนี้จะมีความถี่สูงสุด

ในซีรีย์การเปลี่ยนแปลงช่วงเวลา อันดับแรกสามารถกำหนดช่วงเวลาที่โหมดนั้นตั้งอยู่ได้ กล่าวคือ ช่วงเวลากิริยาที่เรียกว่า ในชุดรูปแบบที่มีช่วงเวลาเท่ากัน ช่วงโมดอลจะถูกกำหนดโดย ความถี่สูงสุดอยู่ในแถวที่มีระยะห่างไม่เท่ากัน ความหนาแน่นสูงสุดการแจกแจง

หากต้องการกำหนดโหมดในแถวที่มีช่วงเวลาเท่ากัน ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

Xn - ขีดจำกัดล่างของช่วงเวลาโมดอล

h - ขนาดช่วงเวลา

f 1 , f 2 , f 3 - ความถี่ (หรือรายละเอียด) ของช่วงเวลาก่อนโมดัล, กิริยาและหลังโมดัลตามลำดับ

ในชุดช่วงเวลา สามารถดูโหมดได้แบบกราฟิก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลากเส้นสองเส้นในคอลัมน์สูงสุดของฮิสโตแกรมจากขอบเขตของสองคอลัมน์ที่อยู่ติดกัน จากนั้น จากจุดตัดกัน เส้นตั้งฉากจะลดลงไปบนแกนแอบซิสซา ค่าของคุณสมบัติบนแกน x ที่สอดคล้องกับตั้งฉากจะเป็นโหมด

ในหลายกรณี เมื่อระบุลักษณะประชากรเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไป การตั้งค่าจะถูกกำหนดไว้ที่โหมดมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ดังนั้นเมื่อศึกษาราคาในตลาดจึงไม่ใช่ราคาเฉลี่ยสำหรับผลิตภัณฑ์บางอย่างที่ถูกบันทึกและศึกษาในเชิงไดนามิก แต่เป็นราคากิริยาช่วย เมื่อศึกษาความต้องการของประชากรสำหรับรองเท้าหรือเสื้อผ้าบางขนาด การพิจารณาขนาดกิริยาของรองเท้าและ ขนาดกลางจึงไม่มีความหมายในที่นี้เลย แฟชั่นไม่เพียงแต่มีความสนใจอย่างเป็นอิสระเท่านั้น แต่ยังมีบทบาทเป็นตัวบ่งชี้เสริมสำหรับค่าเฉลี่ยอีกด้วย หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าใกล้เคียงกับโหมด แสดงว่ามันเป็นเรื่องปกติ

ค่ามัธยฐาน (Me) คือค่าของคุณลักษณะของหน่วยกลางของซีรีส์จัดอันดับ (การจัดอันดับคือชุดค่าคุณลักษณะที่เขียนตามลำดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย)

หากต้องการหาค่ามัธยฐาน ให้หาเลขลำดับก่อน ในการทำเช่นนี้ หากจำนวนหน่วยเป็นเลขคี่ หน่วยหนึ่งจะถูกบวกเข้ากับผลรวมของความถี่ทั้งหมด และทุกอย่างจะถูกหารด้วยสอง ด้วยจำนวนหน่วยที่เท่ากันในแถวจะมีหน่วยกลางสองหน่วยและตามกฎทั้งหมดค่ามัธยฐานควรถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยของค่าของทั้งสองหน่วย ในกรณีนี้ ในทางปฏิบัติเมื่อมีหน่วยเป็นจำนวนคู่ ค่ามัธยฐานจะพบเป็นค่าของคุณลักษณะของหน่วย ซึ่งหมายเลขซีเรียลจะถูกกำหนดโดย จำนวนเงินทั้งหมดความถี่หารด้วยสอง เมื่อทราบหมายเลขซีเรียลของค่ามัธยฐานทำให้ง่ายต่อการค้นหาค่าโดยใช้ความถี่สะสม

ในอนุกรมช่วงเวลา หลังจากกำหนดหมายเลขซีเรียลของค่ามัธยฐานด้วยความถี่สะสม (รายละเอียด) แล้ว จะพบช่วงค่ามัธยฐาน จากนั้นใช้เทคนิคการแก้ไขที่ง่ายที่สุด ค่าของค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดเอง การคำนวณนี้แสดงโดยสูตรต่อไปนี้:

X n - ขีด จำกัด ล่างของช่วงค่ามัธยฐาน

h - ค่าของช่วงค่ามัธยฐาน

หมายเลขซีเรียลค่ามัธยฐาน

S Me - 1 ความถี่ (ความถี่) สะสมตามช่วงค่ามัธยฐาน

F Me - ความถี่ (โดยเฉพาะ) ของช่วงค่ามัธยฐาน

ตามสูตรที่เขียนไว้ จนถึงขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน ส่วนหนึ่งของค่าช่วงดังกล่าวจะถูกเพิ่มซึ่งตรงกับส่วนแบ่งของหน่วยของกลุ่มนี้ที่ไม่มีหมายเลขซีเรียลของค่ามัธยฐาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง การคำนวณค่ามัธยฐานจะขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ว่าการเติบโตของลักษณะเฉพาะระหว่างหน่วยของแต่ละกลุ่มเกิดขึ้นอย่างเท่าเทียมกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถคำนวณค่ามัธยฐานได้ด้วยวิธีอื่น เมื่อกำหนดช่วงค่ามัธยฐานแล้ว คุณสามารถลบออกจากขีดจำกัดด้านบนของช่วงค่ามัธยฐาน (Xв) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของช่วงเวลาที่ตรงกับส่วนแบ่งของหน่วยที่เกินหมายเลขซีเรียลของค่ามัธยฐาน เช่น ตามสูตรต่อไปนี้:

ค่ามัธยฐานสามารถกำหนดได้แบบกราฟิก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะมีการสร้างการสะสมและจากจุดบนสเกลของความถี่สะสม (รายละเอียด) ที่สอดคล้องกับเลขลำดับของค่ามัธยฐาน เส้นตรงจะถูกลากขนานกับแกน x จนกระทั่งมันตัดกับค่าสะสม จากนั้นจากจุดตัดของเส้นที่ระบุพร้อมกับการสะสม ตั้งฉากจะลดลงไปที่แกนแอบซิสซา ค่าของแอตทริบิวต์บนแกน x ที่สอดคล้องกับพิกัดที่วาด (ตั้งฉาก) จะเป็นค่ามัธยฐาน

การใช้หลักการเดียวกันนี้ทำให้ง่ายต่อการค้นหาค่าคุณลักษณะของหน่วยใดๆ ในซีรีส์จัดอันดับ

ดังนั้น ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลรูปแบบต่างๆ จึงสามารถใช้ตัวบ่งชี้ทั้งชุดได้

3. ตัวชี้วัดหลักและความสำคัญในสถิติ

เมื่อศึกษาคุณลักษณะที่แตกต่างกันระหว่างหน่วยประชากร เราไม่สามารถจำกัดตัวเองให้คำนวณเฉพาะค่าเฉลี่ยจากตัวแปรแต่ละตัวได้ เนื่องจากค่าเฉลี่ยเดียวกันอาจใช้ไม่ได้กับประชากรที่มีองค์ประกอบเดียวกัน นี้สามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้ ตัวอย่างที่มีเงื่อนไขสะท้อนข้อมูลจำนวนครัวเรือนในพื้นที่เกษตรกรรมใน 2 อำเภอ ได้แก่

จำนวนครัวเรือนโดยเฉลี่ยในฟาร์มเกษตรในสองอำเภอนั้นเท่ากัน - 160 ครัวเรือน นอกจากนี้องค์ประกอบของฟาร์มเกษตรในทั้งสองอำเภอยังห่างไกลจากความเหมือนกัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องวัดความแปรผันของลักษณะโดยรวม

เพื่อจุดประสงค์นี้ สถิติจะคำนวณคุณลักษณะหลายประการ เช่น ตัวชี้วัด ตัวบ่งชี้พื้นฐานที่สุดของการเปลี่ยนแปลงในลักษณะคือ ช่วงของการเปลี่ยนแปลง รซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและ ค่าต่ำสุดลักษณะเฉพาะในชุดรูปแบบที่กำหนด เช่น R = Xmax - Xmin ในตัวอย่างของเรา ในภูมิภาคที่ 1 R = 300 - 80 - 220 และในภูมิภาคที่สอง R = 180 - 145 = 35

ช่วงของตัวบ่งชี้ความแปรผันไม่สามารถใช้ได้เสมอไป เนื่องจากจะพิจารณาเพียงเท่านั้น ค่าสุดขีดลักษณะที่อาจแตกต่างจากหน่วยอื่น ๆ ทั้งหมดอย่างมาก บางครั้งพวกเขาจะพบอัตราส่วนของช่วงของการแปรผันต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต และใช้ค่านี้เรียกมันว่าตัวบ่งชี้ การสั่น

มีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดความแปรผันของอนุกรมได้แม่นยำยิ่งขึ้นโดยใช้ตัวบ่งชี้ที่คำนึงถึงความเบี่ยงเบนของตัวเลือกทั้งหมดจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต สถิติมีสองตัวบ่งชี้ดังกล่าว - ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นและค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยหมายถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบนของตัวเลือกจากค่าเฉลี่ย สัญญาณของการเบี่ยงเบนใน ในกรณีนี้จะถูกละเว้น มิฉะนั้นผลรวมของการเบี่ยงเบนทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ ตัวบ่งชี้นี้คำนวณโดยใช้สูตร:

b) สำหรับซีรีย์รูปแบบ:

โปรดทราบว่าค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยจะน้อยที่สุดหากคำนวณค่าเบี่ยงเบนจากค่ามัธยฐานเช่น ตามสูตร:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () คำนวณได้ดังนี้ - แต่ละส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยจะถูกยกกำลังสอง กำลังสองทั้งหมดจะถูกรวมเข้าด้วยกัน (โดยคำนึงถึงน้ำหนัก) หลังจากนั้นผลรวมของกำลังสองจะถูกหารด้วยจำนวนเทอมของอนุกรม และรากที่สองจะถูกแยกออกจาก ความฉลาดทาง

การกระทำทั้งหมดนี้แสดงโดยสูตรต่อไปนี้:

ก) สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม:

b) สำหรับซีรีย์รูปแบบ:

ฉ เช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ย นิพจน์ใต้รากเรียกว่าความแปรปรวน การกระจายตัวมีการแสดงออกที่เป็นอิสระในสถิติและอ้างอิงถึงตัวเลข ตัวชี้วัดที่สำคัญที่สุดรูปแบบต่างๆ

1. ค่าเฉลี่ย: สาระสำคัญ ความหมาย ประเภท

นักวิทยาศาสตร์คนสำคัญแห่งศตวรรษที่ 19 มีส่วนสำคัญในการพิสูจน์และพัฒนาทฤษฎีค่าเฉลี่ย อดอล์ฟ เกเตเลต์ (พ.ศ. 2339-2417) สมาชิกของ Belgian Academy of Sciences ซึ่งเป็นสมาชิกของ St. Petersburg Academy of Sciences

ค่าเฉลี่ย- ลักษณะทั่วไปของลักษณะที่กำลังศึกษาในประชากรที่กำลังศึกษา เธอกำหนดเขา ระดับปกติต่อหน่วยประชากรภายใต้เงื่อนไขเฉพาะของสถานที่และเวลา

ค่าเฉลี่ยชื่อเสมอ มีมิติ (หน่วยวัด) เดียวกันกับลักษณะเฉพาะของแต่ละหน่วยของประชากร

หลัก เงื่อนไขการใช้ค่าเฉลี่ยทางวิทยาศาสตร์คือความสม่ำเสมอเชิงคุณภาพของประชากรที่ใช้คำนวณค่าเฉลี่ย

กำลัง (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก, ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต, สี่เหลี่ยมจัตุรัสเฉลี่ย, ลูกบาศก์เฉลี่ย);

โครงสร้าง (โหมด, ค่ามัธยฐาน)

กำลังเฉลี่ย – รากของปริญญา เคจากค่าเฉลี่ยของตัวเลือกทั้งหมดที่ได้รับ เค- ปริญญามีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน – คุณลักษณะที่ใช้หาค่าเฉลี่ยเรียกว่าคุณลักษณะการหาค่าเฉลี่ย

เอ็กซ์ ฉัน หรือ ( เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 …เอ็กซ์ n) – ค่าของคุณลักษณะเฉลี่ยสำหรับแต่ละหน่วยของประชากร

ฉ ฉัน– การทำซ้ำของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์

ขึ้นอยู่กับวุฒิการศึกษา เคได้รับค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทต่างๆ สูตรการคำนวณที่แสดงด้านล่างในตารางที่ 1

ตารางที่ 1 - ประเภทของค่าเฉลี่ยพลังงาน

ความหมาย เค	ชื่อของค่าเฉลี่ย	สูตรเฉลี่ย
			ถ่วงน้ำหนัก
	ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก		, ว ฉัน = x ฉัน ฉ ฉัน
	ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
	ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	=	=
	จัตุรัสเฉลี่ย	=	=

ฉ ฉัน – ความถี่ของการทำซ้ำของแต่ละค่าของคุณลักษณะ (น้ำหนักของมัน)

ความถี่อาจเป็นน้ำหนักได้เช่นกัน เช่น อัตราส่วนของความถี่ของการทำซ้ำของแต่ละค่าของลักษณะต่อผลรวมของความถี่:

การเลือกประเภทของค่าเฉลี่ย:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายใช้ถ้าค่าเฉพาะของคุณลักษณะในหน่วยของประชากรไม่ได้เกิดซ้ำหรือเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวหรือเท่านั้น หมายเลขเดียวกันครั้งเช่น เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจากข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม

เมื่อค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะที่กำลังศึกษาเกิดขึ้นหลายครั้งในหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษาความถี่ของการทำซ้ำค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ (น้ำหนัก) จะปรากฏอยู่ในสูตรการคำนวณของค่าเฉลี่ยกำลัง ในกรณีนี้เรียกว่าสูตร ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก.

หากตามเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นที่ผลรวมของค่าที่ผกผันกับค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหาค่าเฉลี่ย ดังนั้นค่าเฉลี่ยจะเป็น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก.

หากเมื่อแทนที่แต่ละค่าของคุณลักษณะด้วยค่าเฉลี่ยจำเป็นต้องรักษาผลคูณของค่าแต่ละค่าไว้ไม่เปลี่ยนแปลงก็ควรใช้ ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ยในการวิเคราะห์อนุกรมเวลา

หากเมื่อแทนที่แต่ละค่าของคุณลักษณะด้วยค่าเฉลี่ย จำเป็นต้องรักษาผลรวมของกำลังสองของค่าดั้งเดิมไว้ไม่เปลี่ยนแปลง ค่าเฉลี่ยจะเป็น ค่าเฉลี่ยกำลังสอง- ค่าเฉลี่ยกำลังสองใช้ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเมื่อวิเคราะห์ความแปรผันของคุณลักษณะในชุดการแจกแจง

ค่าเฉลี่ยพลังงาน ประเภทต่างๆซึ่งคำนวณจากประชากรกลุ่มเดียวกันจะมีค่าเชิงปริมาณต่างกันและค่าเลขชี้กำลังก็จะมากขึ้น เค, ยิ่งค่าของค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันมากขึ้นเท่านั้น หากค่าเริ่มต้นทั้งหมดของแอตทริบิวต์เท่ากัน ค่าเฉลี่ยทั้งหมดจะเท่ากับค่าคงที่นี้:

กาม. ≤ เรขาคณิต ≤ เลขคณิต ≤ ตร.ม. ≤ ลูกบาศก์

นี้ คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยกำลังเพิ่มขึ้นตามเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกำหนดที่เรียกว่า ความสำคัญของค่าเฉลี่ย.

ค่าเฉลี่ยโครงสร้างจะใช้เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยกำลังไฟฟ้าเป็นไปไม่ได้หรือทำไม่ได้

ค่าเฉลี่ยโครงสร้างประกอบด้วย: แฟชั่นและ ค่ามัธยฐาน.

แฟชั่น – นี่คือค่าทั่วไปที่สุดของคุณลักษณะในหน่วยของประชากรที่กำหนด หากมีตัวเลือกและความถี่ในชุดการกระจาย ขนาดของโหมดจะสอดคล้องกับค่าของแอตทริบิวต์สำหรับจำนวนหน่วยที่ใหญ่ที่สุด (ความถี่สูงสุด) เช่น สำหรับอนุกรมรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง โหมดจะพบตามคำจำกัดความ

ค่ามัธยฐาน – ค่าของคุณลักษณะสำหรับหน่วยประชากรที่อยู่ตรงกลางของชุดการแจกแจงอันดับเมื่อค่าแต่ละค่าทั้งหมดของคุณลักษณะของหน่วยที่ศึกษาจัดเรียงจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปน้อย

ในกรณีที่สังเกตเป็นจำนวนคี่ ค่ามัธยฐานจะพบตามคำจำกัดความ เช่น ตัวเลือก (ที่ไหน n– จำนวนการสังเกต) ด้วยการสังเกตจำนวนเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดโดยสูตร:

สำหรับอนุกรมการแจกแจงตามช่วงเวลา ขนาดของโหมดและค่ามัธยฐานจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
;
,

ที่ไหน: - ขีดจำกัดล่างของช่วงกิริยาหรือค่ามัธยฐาน

ขนาดช่วง;

และ
- ความถี่ก่อนและหลังช่วงเวลากิริยา;

- ความถี่ของช่วงเวลากิริยาหรือค่ามัธยฐาน

- ผลรวมของความถี่สะสมในช่วงก่อนค่ามัธยฐาน

การคำนวณค่ามัธยฐานสำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มมีดังนี้:

1. ค่าลักษณะเฉพาะส่วนบุคคลจะถูกจัดเรียงจากน้อยไปหามาก 2. กำหนดหมายเลขซีเรียลของค่ามัธยฐาน ไม่ ฉัน = (n+1) / 2

ตัวบ่งชี้ความแปรผัน สาระสำคัญ ความหมาย ประเภท กฎของการแปรผัน

ในการวัดความแปรผันของลักษณะ จะใช้ตัวบ่งชี้สัมบูรณ์และตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ต่างๆ

ตัวชี้วัดที่แน่นอน (มาตรการ) ของการเปลี่ยนแปลง ได้แก่ ช่วงของความผันผวน ค่าเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ การกระจายตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ช่วงของการเปลี่ยนแปลง คือความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของแอตทริบิวต์:
.

ช่วงของการแปรผันแสดงขีดจำกัดภายในขนาดของคุณลักษณะที่ทำให้เกิดช่วงการแจกแจงมีความผันผวน

ค่าเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (MAD) - ค่าเฉลี่ยของ ค่าสัมบูรณ์การเบี่ยงเบนของตัวเลือกแต่ละรายการจากค่าเฉลี่ย

(เรียบง่าย),
(ถ่วงน้ำหนัก)

การกระจายตัว- ค่าเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวเลือกค่าแอตทริบิวต์จากค่าเฉลี่ย:

(เรียบง่าย),
(ถ่วงน้ำหนัก)

ความแปรปรวนสามารถแยกย่อยเป็นองค์ประกอบองค์ประกอบได้ ทำให้สามารถประเมินอิทธิพลของปัจจัยต่างๆ ที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของลักษณะ

เหล่านั้น. การกระจายตัวจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างกำลังสองเฉลี่ยของค่าแอตทริบิวต์และกำลังสองของค่าเฉลี่ย

คุณสมบัติการกระจายตัวช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของวิธีการคำนวณ:

ความแปรปรวนของค่าคงที่คือ 0

หากค่าแอตทริบิวต์ตัวแปรทั้งหมดลดลงตามจำนวนครั้งเท่ากัน ความแปรปรวนจะไม่ลดลง

หากค่าแอตทริบิวต์ตัวแปรทั้งหมดลดลงตามจำนวนครั้งเท่ากัน ( เคเท่า) จากนั้นการกระจายตัวจะลดลง เค 2 ครั้งหนึ่ง.

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (RMS) คือรากที่สองของความแปรปรวนและแสดงให้เห็นว่าค่าของคุณลักษณะแปรผันโดยเฉลี่ยเท่าใดในหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา:  =

RMS คือการวัดความน่าเชื่อถือ ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะสะท้อนถึงจำนวนประชากรทั้งหมดได้ดียิ่งขึ้น

ช่วงของการแปรผัน CAO และ MSD เป็นชื่อปริมาณ เช่น มีหน่วยวัดเดียวกันกับ ค่านิยมส่วนบุคคลเข้าสู่ระบบ.

ความแปรปรวนมี 4 ประเภท: รวม, กลุ่มระหว่าง, กลุ่มภายใน, กลุ่ม

ความแปรปรวนที่คำนวณสำหรับประชากรทั้งหมดโดยรวมเรียกว่า ความแปรปรวนทั้งหมดโดยจะวัดความผันผวนของคุณลักษณะที่ขึ้นต่อกัน (ผลลัพธ์) ที่เกิดจากอิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดโดยไม่มีข้อยกเว้น

ความแปรปรวนรวมเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มและระหว่างกลุ่ม:

หากประชากรถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม จากนั้นแต่ละกลุ่มสามารถกำหนดความแปรปรวนของตัวเองได้ ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของความแปรผันภายในกลุ่ม ความแปรปรวนของกลุ่ม– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม เช่น จากค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะในกลุ่มที่กำหนด

ที่ไหนเจ– หมายเลขซีเรียล xและ ฉ ภายในกลุ่ม

การกระจายตัวของกลุ่มแสดงถึงลักษณะเฉพาะที่แปรผันภายในกลุ่มเนื่องจากปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยที่เป็นรากฐานของการจัดกลุ่ม

การวัดความแปรผันของประชากรโดยรวมคำนวณได้ดังนี้ ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่ม:

ความแปรปรวนของกลุ่มอยู่ที่ไหน

n เจ– จำนวนหน่วยในกลุ่ม

ค่าเฉลี่ยของกลุ่มแตกต่างกันและจากค่าเฉลี่ยโดยรวม เช่น ต่างกันไป. การแปรผันของพวกมันเรียกว่าการแปรผันระหว่างกลุ่ม หากต้องการระบุลักษณะ ให้คำนวณกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยกลุ่มจากค่าเฉลี่ยโดยรวม:

ที่ไหน เจ – ค่าเฉลี่ยกลุ่ม – ค่าเฉลี่ยโดยรวม, n เจ– จำนวนยูนิตในกลุ่ม

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม(การกระจายตัวของค่าเฉลี่ยกลุ่ม) วัดความแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์เนื่องจากคุณลักษณะปัจจัยที่เป็นรากฐานของการจัดกลุ่ม

เมื่อเปรียบเทียบความแปรปรวนของลักษณะที่แตกต่างกันในประชากรเดียวกันหรือเมื่อเปรียบเทียบความแปรปรวนของลักษณะเดียวกันในประชากรหลาย ๆ คนที่มีค่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน จะใช้ตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ของการแปรผัน

ตัวบ่งชี้เหล่านี้คำนวณเป็นอัตราส่วนของตัวบ่งชี้สัมบูรณ์ของการแปรผันต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต (หรือค่ามัธยฐาน)

ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

ส่วนเบี่ยงเบนเชิงเส้นสัมพัทธ์

ค่าสัมประสิทธิ์การสั่น

ตัวบ่งชี้ความแปรปรวนสัมพัทธ์ที่ใช้กันมากที่สุดคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันซึ่งแสดงค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะเป็นเปอร์เซ็นต์

ใช้สำหรับ: การประเมินเปรียบเทียบความแปรผัน; ลักษณะความเป็นเนื้อเดียวกันของประชากร ประชากรจะถือว่าเป็นเนื้อเดียวกันหากค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงไม่เกิน 33% เช่น น้อยกว่า 33%

ซี กฎของการแปรผัน.

กฎของการแปรผันของค่านิยมส่วนบุคคลของคุณลักษณะหรือ "กฎสามซิกมา"นักสถิติชาวเบลเยียม A. Quetelet ค้นพบว่าความแปรผันของปรากฏการณ์มวลบางอย่างเป็นไปตามกฎการกระจายข้อผิดพลาด ซึ่งค้นพบโดย K. Gauss และ P. Laplace เกือบจะพร้อมกัน เส้นโค้งที่แสดงการกระจายนี้มีรูปร่างคล้ายระฆัง (รูปที่ 2)

โดย กฎหมายปกติ (คำนี้เสนอโดยนักสถิติชาวอังกฤษ เค. เพียร์สัน) การกระจาย ความแปรปรวนของแต่ละค่าของคุณลักษณะอยู่ภายในขีดจำกัด
(กฎสามซิกมา)

คุณสมบัติตามธรรมชาติของบุคคล (ส่วนสูง น้ำหนัก ความแข็งแกร่งทางกายภาพ) ลักษณะของผลิตภัณฑ์อุตสาหกรรม (ขนาด น้ำหนัก ความต้านทานไฟฟ้า ความยืดหยุ่น ฯลฯ) ในขอบเขตของปรากฏการณ์ทางสังคมที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว ผลกระทบของกฎหมายนี้ค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตามในบางกรณีการใช้งาน กฎสามซิกมาเป็นไปได้ในทางปฏิบัติ

กฎของการแปรผันของค่าเฉลี่ย. ความแปรผันของค่าเฉลี่ยน้อยกว่าความแปรผันของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ ค่าเฉลี่ยของลักษณะจะแตกต่างกันไปภายในขอบเขตต่อไปนี้:
, ที่ไหน n– จำนวนยูนิต

วิธีการจัดกลุ่มทำให้สามารถศึกษาสถานะและความสัมพันธ์ของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจได้หากกลุ่มมีลักษณะเฉพาะด้วยตัวบ่งชี้ที่เปิดเผยประเด็นที่สำคัญที่สุดของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

เมื่อวิเคราะห์และวางแผนแล้วไม่จำเป็นต้องพึ่งพา ข้อเท็จจริงแบบสุ่มแต่ในตัวบ่งชี้ที่แสดงพื้นฐานทั่วไปและรุนแรง คุณลักษณะนี้กำหนดโดยค่าเฉลี่ยประเภทต่างๆ รวมถึงโหมดและค่ามัธยฐาน

คำถามเกี่ยวกับความเป็นเนื้อเดียวกันของประชากรไม่ควรได้รับการตัดสินใจอย่างเป็นทางการจากรูปแบบของการกระจายตัว เช่นเดียวกับคำถามของค่าเฉลี่ยทั่วไป จะต้องตัดสินใจโดยพิจารณาจากสาเหตุและเงื่อนไขที่ก่อให้เกิดผลรวม ชุดที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นเป็นชุดซึ่งเป็นหน่วยที่ถูกสร้างขึ้นภายใต้อิทธิพลของสาเหตุและเงื่อนไขหลักทั่วไปที่กำหนด ระดับทั่วไปของลักษณะที่กำหนดซึ่งเป็นลักษณะของประชากรทั้งหมด

ตามทฤษฎีการจัดกลุ่มแบบ สำคัญในการประเมินความเป็นเนื้อเดียวกันของประชากรไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของการกระจาย แต่ขึ้นอยู่กับขนาดของความแปรผันและเงื่อนไขของการก่อตัวของมัน ประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพมีลักษณะเฉพาะจากการแปรผันภายในขีดจำกัดที่กำหนด หลังจากนั้นคุณภาพใหม่จะเริ่มต้นขึ้น ในเวลาเดียวกันขอบเขตเหล่านี้ในการประเมินความเป็นเนื้อเดียวกันเชิงคุณภาพของประชากรจะต้องเข้าใกล้จากมุมมองของสาระสำคัญของเรื่องและไม่เป็นทางการเนื่องจากมีปริมาณเท่ากันใน เงื่อนไขที่แตกต่างกันแสดงออกถึงคุณภาพใหม่ ตัวอย่างเช่น ด้วยจำนวนคนงานเท่ากัน องค์กรในบางอุตสาหกรรมจึงมีขนาดใหญ่ ในขณะที่บางอุตสาหกรรมมีขนาดเล็ก

เพื่อความครบวงจรและ การศึกษาเชิงลึกปรากฏการณ์เพื่อระบุลักษณะของประเภทของปรากฏการณ์ความสัมพันธ์และกระบวนการที่กำหนดโดยการพัฒนาระบบโดยรวมอย่างเป็นกลางจำเป็นต้องรวมค่าเฉลี่ยกลุ่มกับค่าเฉลี่ยทั่วไป การรวมกันของค่าเฉลี่ยดังกล่าวเป็นหนึ่งในองค์ประกอบหลักของการวิเคราะห์ ระบบที่ซับซ้อน- การรวมกันนี้เชื่อมโยงเข้าเป็นหนึ่งเดียวทั้งสองแบบเสริมกัน วิธีการทางสถิติ: วิธีหาค่าเฉลี่ยและวิธีการจัดกลุ่ม เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย แต่ละค่าที่แตกต่างกันในแต่ละกลุ่มจะถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยหนึ่งค่า ในเวลาเดียวกัน การเบี่ยงเบนแบบสุ่มค่าคุณลักษณะของแต่ละหน่วยในทิศทางที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงจะมีความสมดุลซึ่งกันและกันและหักล้างกัน และค่าเฉลี่ยจะแสดงขนาดโดยทั่วไปของลักษณะเฉพาะของกลุ่มที่กำหนด ค่าเฉลี่ยทำหน้าที่เป็นลักษณะของจำนวนทั้งสิ้นและในขณะเดียวกันก็หมายถึงองค์ประกอบส่วนบุคคลของมัน - ผู้ถือคุณสมบัติเชิงคุณภาพของปรากฏการณ์ ความหมายของค่าเฉลี่ยนั้นค่อนข้างเป็นรูปธรรม แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นนามธรรม ได้จากการสุ่มแต่ละหน่วยเพื่อระบุลักษณะร่วม ลักษณะเฉพาะของทุกหน่วยและรูปแบบนั้น ชุดนี้- เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจำนวนหน่วยประชากรจะต้องมีค่อนข้างมาก ค่าเฉลี่ยหมายถึงอัตราส่วนของปริมาตรรวมของปรากฏการณ์ต่อจำนวนหน่วยประชากรในกลุ่ม สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม นี่จะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

และสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่ามีความถี่ของตัวเอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก:

ที่ไหน เอ็กซ์ ฉัน– ค่าของแอตทริบิวต์; ฉ ฉัน– ความถี่ของค่าคุณลักษณะเหล่านี้

เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณเป็นอัตราส่วนของผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะต่อ จำนวนทั้งหมดมันไม่เคยเกินกว่าค่านิยมเหล่านี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการปรับปรุงการคำนวณ

1. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยจะเท่ากับศูนย์เสมอ:

การพิสูจน์. n

แบ่งทางซ้ายและ ด้านขวาบน

2. หากค่าของคุณลักษณะ (X i) มีการเปลี่ยนแปลง เคครั้งแล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็จะเปลี่ยนไปเช่นกัน xครั้งหนึ่ง.

การพิสูจน์.

เราแสดงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าใหม่ของแอตทริบิวต์ด้วย X จากนั้น:

ค่าคงที่ 1/ เคสามารถดึงออกมาเลยเครื่องหมายผลรวม แล้วเราจะได้:

3. ถ้าจากค่าทั้งหมดของคุณลักษณะ เอ็กซ์ ฉันลบหรือบวกสิ่งเดียวกัน จำนวนคงที่แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นตามจำนวนนี้

การพิสูจน์.

ค่าเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าคุณลักษณะจากจำนวนคงที่จะเท่ากับ:

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันทุกประการในกรณีที่บวกจำนวนคงที่

4. ถ้าความถี่ของค่าคุณลักษณะทั้งหมดลดลงหรือเพิ่มขึ้นตาม nครั้งแล้วค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง:

หากข้อมูลปริมาณรวมและ ค่านิยมที่ทราบลักษณะเฉพาะ แต่ที่ความถี่ที่ไม่รู้จัก จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักเพื่อกำหนดค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น มีข้อมูลเกี่ยวกับราคาขายกะหล่ำปลีและรายได้รวมสำหรับช่วงการขายต่างๆ (ตารางที่ 1)

ตารางที่ 1.

ราคาขายกะหล่ำปลีและรายได้รวมสำหรับช่วงการขายต่างๆ

เนื่องจากราคาเฉลี่ยแสดงถึงอัตราส่วนของรายได้รวมต่อปริมาณกะหล่ำปลีที่ขายทั้งหมด คุณต้องกำหนดปริมาณกะหล่ำปลีที่ขายในช่วงการขายต่างๆ เป็นอัตราส่วนของรายได้ต่อราคาก่อน จากนั้นจึงกำหนดราคาเฉลี่ยของกะหล่ำปลีที่ขาย

ในตัวอย่างของเรา ราคาเฉลี่ยจะเป็น:

หากเราคำนวณราคาขายเฉลี่ยในกรณีนี้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย เราก็จะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไป ซึ่งจะบิดเบือนสถานการณ์จริงและประเมินราคาขายเฉลี่ยสูงเกินไป เนื่องจากจะไม่คำนึงถึงความจริงที่ว่าส่วนแบ่งจำนวนมากของ ยอดขายตกอยู่ที่กะหล่ำปลีตอนปลายที่มีราคาต่ำกว่า

บางครั้งจำเป็นต้องกำหนดค่าเฉลี่ยเมื่อกำหนดค่าลักษณะเฉพาะไว้ในแบบฟอร์ม ตัวเลขเศษส่วนเช่น ผกผันกับจำนวนเต็ม (ตัวอย่างเช่น เมื่อศึกษาผลิตภาพแรงงานผ่านตัวบ่งชี้ผกผันความเข้มของแรงงาน) ในกรณีเช่นนี้ ขอแนะนำให้ใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก:

ดังนั้นเวลาเฉลี่ยที่ต้องใช้ในการสร้างหน่วยเอาต์พุตคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ถ้า X 1 = 1/4 ชั่วโมง, X 2 = 1/2 ชั่วโมง, X 3 = 1/3 ชั่วโมง ดังนั้นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลขเหล่านี้คือ:

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยจากอัตราส่วนของตัวบ่งชี้สองตัวที่มีชื่อเดียวกัน เช่น อัตราการเติบโต จะใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต คำนวณตามสูตร:

โดยที่ X 1 x X 2 ... x ... X 4 คืออัตราส่วนของปริมาณสองปริมาณที่มีชื่อเดียวกัน เช่น อัตราการเติบโตของลูกโซ่ n– จำนวนชุดความสัมพันธ์ของอัตราการเติบโต

ค่าเฉลี่ยที่พิจารณามีคุณสมบัติของ maorancy:

ยกตัวอย่างเรามี ค่าต่อไปนี้ เอ็กซ์(20; 40) ดังนั้นประเภทของค่าเฉลี่ยที่พิจารณาก่อนหน้านี้จะเท่ากับ:

เมื่อศึกษาองค์ประกอบของประชากรขนาดโดยทั่วไปของลักษณะสามารถตัดสินได้จากสิ่งที่เรียกว่าค่าเฉลี่ยโครงสร้าง - โหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่นเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในผลรวมในอนุกรมการแปรผันช่วง ช่วงโมดอลจะถูกพบเป็นครั้งแรก ในช่วงโมดอลที่พบ โหมดจะคำนวณโดยใช้สูตร:

โดยที่ X 0 คือขีดจำกัดล่างของช่วงโมดอล ง –ขนาดช่วงเวลา ฉ 1 ฉ 2 ฉ 3 – ความถี่ของช่วงก่อนโมดัล โมดอล และหลังโมดัล

ค่าโหมดในชุดช่วงเวลาสามารถหาได้ง่ายมากบนพื้นฐานของกราฟ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลากเส้นสองเส้นในคอลัมน์สูงสุดของฮิสโตแกรมจากขอบเขตของสองคอลัมน์ที่อยู่ติดกัน จากจุดตัดของเส้นเหล่านี้ เส้นตั้งฉากจะลดลงไปบนแกนแอบซิสซา ค่าของคุณสมบัติบนแกน x จะเป็นโหมด (รูปที่ 2)

ข้าว. 2

เพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ความสนใจสูงสุดมักจะแสดงถึงโหมดที่แสดงเป็นช่วงเวลาแทนที่จะเป็นตัวเลขที่ไม่ต่อเนื่อง สิ่งนี้อธิบายได้ตามจุดประสงค์ของโหมด ซึ่งควรเปิดเผยมิติทั่วไปของปรากฏการณ์

ค่าเฉลี่ยคือค่าปกติสำหรับทุกหน่วยของประชากรเนื้อเดียวกัน โหมดยังเป็นปริมาณทั่วไป แต่จะกำหนดขนาดของคุณลักษณะซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะโดยตรง แม้ว่าจะเป็นส่วนสำคัญ แต่ก็ยังไม่ใช่ของประชากรทั้งหมด เธอมี คุ้มค่ามากเพื่อแก้ปัญหาบางอย่าง เช่น ทำนายขนาดรองเท้าและเสื้อผ้าที่ควรออกแบบ การผลิตจำนวนมากฯลฯ

ค่ามัธยฐาน– ค่าของแอตทริบิวต์ที่อยู่ตรงกลางของซีรีส์จัดอันดับ ชี้ไปที่ศูนย์กลางของการกระจายหน่วยของประชากรและแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

ค่ามัธยฐานคือ ลักษณะที่ดีที่สุดแนวโน้มศูนย์กลาง เมื่อขอบเขตของช่วงเวลาที่รุนแรงเปิดออก ค่ามัธยฐานเป็นลักษณะที่ยอมรับได้มากขึ้นของระดับการกระจายแม้ว่าจะมีค่ามากหรือน้อยเกินไปในชุดการแจกจ่ายที่มีผลกระทบต่อ อิทธิพลที่แข็งแกร่งเป็นค่าเฉลี่ยแต่ไม่ใช่ค่ามัธยฐาน นอกจากนี้ค่ามัธยฐานยังมีคุณสมบัติของค่าต่ำสุดเชิงเส้น: ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบนของค่าของคุณลักษณะสำหรับทุกหน่วยของประชากรจากค่ามัธยฐานมีค่าน้อยที่สุดนั่นคือ

คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณระยะทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับการขนส่งประเภทต่างๆ การวางสถานีบริการในลักษณะที่ทำให้ระยะทางของรถทุกคันที่ให้บริการโดยสถานีที่กำหนดนั้นน้อยมาก เป็นต้น .

เมื่อค้นหาค่ามัธยฐาน จะมีการกำหนดหมายเลขซีเรียลในชุดการแจกจ่ายก่อน:

ถัดไปตามหมายเลขซีเรียลจะพบค่ามัธยฐานจากความถี่สะสมของซีรีย์ ในอนุกรมที่ไม่ต่อเนื่อง - โดยไม่ต้องคำนวณใด ๆ และในอนุกรมช่วงเวลาเมื่อทราบหมายเลขซีเรียลของค่ามัธยฐานช่วงค่ามัธยฐานจะถูกพบโดยใช้ความถี่สะสมซึ่งค่าของค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ไขที่ง่ายที่สุด ค่ามัธยฐานคำนวณโดยใช้สูตร:

ที่ไหน เอ็กซ์ 0 – ขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน ง– ขนาดช่วง; ฉ _ 1 – ความถี่สะสมจนถึงช่วงค่ามัธยฐาน ฉ– ความถี่ของช่วงมัธยฐาน

มาคำนวณค่าเฉลี่ย โหมด และค่ามัธยฐานโดยใช้ตัวอย่างกัน การกระจายช่วงเวลา- ข้อมูลได้รับในตาราง 2.

ดังนั้นตัวชี้วัดต่างๆ จึงสามารถใช้เป็นศูนย์กลางการกระจายได้ ได้แก่ ค่าเฉลี่ย โหมด และค่ามัธยฐาน

และแต่ละลักษณะเหล่านี้ก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง ดังนั้นจึงเป็นลักษณะของค่าเฉลี่ยที่การเบี่ยงเบนทั้งหมดจากค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะจะถูกยกเลิกร่วมกันนั่นคือ

ค่ามัธยฐานนั้นโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของลักษณะนั้น (โดยไม่คำนึงถึงสัญญาณของบัญชี) นั้นน้อยมาก แฟชั่นแสดงถึงมูลค่าของคุณลักษณะที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด ดังนั้น ควรเลือกคุณลักษณะใดลักษณะหนึ่งที่พิจารณา ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะที่ผู้วิจัยสนใจ ในบางกรณี คุณลักษณะทั้งหมดจะถูกคำนวณ

การเปรียบเทียบและการระบุความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้นช่วยทำให้ชัดเจนถึงคุณลักษณะของการแจกแจงชุดรูปแบบต่างๆ โดยเฉพาะ ดังนั้น ในอนุกรมแบบสมมาตร ดังเช่นในกรณีของเรา คุณลักษณะทั้งสาม (ค่าเฉลี่ย โหมด และค่ามัธยฐาน) ใกล้เคียงกัน ยิ่งความคลาดเคลื่อนระหว่างโหมดและค่าเฉลี่ยมากเท่าใด อนุกรมก็จะยิ่งไม่สมมาตรมากขึ้นเท่านั้น เป็นที่ยอมรับกันว่าสำหรับอนุกรมที่ไม่สมมาตรปานกลาง ความแตกต่างระหว่างโหมดและค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นมากกว่าความแตกต่างระหว่างค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตประมาณสามเท่า:

อัตราส่วนนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดตัวบ่งชี้หนึ่งตัวจากสองตัวที่รู้จัก จากนี้ไปการรวมกันของโหมด ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยก็มีความสำคัญต่อการกำหนดลักษณะการแจกแจงเช่นกัน

ในกระบวนการประมวลผลและสรุปข้อมูลทางสถิติมีความจำเป็นต้องกำหนดค่าเฉลี่ย ประชากรทางสถิติที่เป็นเนื้อเดียวกันแต่ละกลุ่มประกอบด้วยอย่างเพียงพอ จำนวนมากหน่วยที่มีขนาดลักษณะเชิงปริมาณแตกต่างกัน ในเวลาเดียวกัน แต่ละหน่วยของมวลรวมตามคำนิยาม มีลักษณะเฉพาะของมวลรวมทั้งหมด การคำนวณค่าเฉลี่ยช่วยให้เราสามารถระบุระดับลักษณะและลักษณะทั่วไปของประชากรที่กำลังศึกษาได้

ค่าเฉลี่ยเรียกว่าตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงลักษณะระดับทั่วไปของลักษณะที่แตกต่างกันต่อหน่วยประชากรภายใต้เงื่อนไขเฉพาะของสถานที่และเวลา

ความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับสาระสำคัญของค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวกำหนด พิเศษความสำคัญในระบบเศรษฐกิจตลาด เมื่อค่าเฉลี่ยผ่านรายบุคคลและการสุ่มช่วยให้เราสามารถระบุข้อมูลทั่วไปและความจำเป็น เพื่อระบุแนวโน้มของรูปแบบ การพัฒนาเศรษฐกิจ- ในสภาวะทางเศรษฐกิจที่แท้จริง รวมถึงกิจกรรมทางการค้า เหตุผลถาวร(ปัจจัย) ทำหน้าที่อย่างเท่าเทียมกันในแต่ละปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาและเป็นผู้สร้างปรากฏการณ์เหล่านี้ เพื่อนที่คล้ายกันซึ่งกันและกันและสร้างรูปแบบร่วมกันสำหรับทุกคน ผลลัพธ์ของหลักคำสอนเรื่องสาเหตุของปรากฏการณ์ทั่วไปและรายบุคคลคือการระบุค่าเฉลี่ยเป็นเทคนิคหลัก การวิเคราะห์ทางสถิติบนพื้นฐานของการยืนยันว่าค่าเฉลี่ยทางสถิติไม่ได้เป็นเพียงการวัดการวัดทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นประเภทของความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์ ในทฤษฎีทางสถิติ ค่าเฉลี่ยในชีวิตจริงโดยทั่วไปจะถูกระบุด้วยค่าจริงสำหรับประชากรที่กำหนด ค่าเบี่ยงเบนจากค่าดังกล่าวสามารถสุ่มได้เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ประสิทธิภาพของพนักงานขายขึ้นอยู่กับหลายสาเหตุ: คุณสมบัติ ประสบการณ์ อายุ รูปแบบการบริการ การอบรม สุขภาพ ฯลฯ และผลผลิตเฉลี่ย (การขาย) ต่อผู้ขายสะท้อนถึงคุณสมบัติทั่วไปทั่วไปของประชากรผู้ขายทั้งหมด ความสามารถของค่าเฉลี่ยในการรักษาคุณสมบัติของประชากรทางสถิติเรียกว่า การกำหนดทรัพย์สิน

ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงผลกระทบของเงื่อนไขทั่วไปรูปแบบของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา

ในทางปฏิบัติ การประมวลผลทางสถิติจากข้อมูล ปัญหาต่างๆ เกิดขึ้น มีคุณลักษณะของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้นจึงต้องใช้ค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันในการแก้ปัญหา

ตามระดับของลักษณะทั่วไปของข้อมูลจากประชากรที่กำลังศึกษาค่าเฉลี่ยอาจเป็นได้ ทั่วไปและกลุ่มค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้สำหรับประชากรโดยรวมเรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไปและค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้สำหรับแต่ละกลุ่มคือ ค่าเฉลี่ยกลุ่ม

แยกแยะ กำลังและโครงสร้างเฉลี่ย.

พลังค่าเฉลี่ยได้มาจากสูตรทั่วไปของแบบฟอร์ม:

ด้วยการเปลี่ยนแปลงของเลขชี้กำลังที่เราไปถึง บางประเภทปานกลาง:

ที่ - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก;

ที่ - ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต;

ที่ - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต;

ที่ - รากหมายถึงกำลังสอง.

คำถามว่าควรใช้ค่าเฉลี่ยประเภทใด กรณีพิเศษ, แก้ได้โดย การวิเคราะห์เฉพาะประชากรที่กำลังศึกษา เนื้อหาสาระของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา และการทำความเข้าใจผลลัพธ์ของการหาค่าเฉลี่ย จากนั้นจึงนำค่าเฉลี่ยไปใช้อย่างถูกต้องเมื่อได้รับค่าที่มีความหมายที่แท้จริงซึ่งเป็นผลมาจากค่าเฉลี่ย

มีการแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

– ลักษณะเชิงปริมาณซึ่งเรียกว่าค่าเฉลี่ย ลักษณะเฉลี่ย

– ค่าเฉลี่ยคุณลักษณะ (มีแถบด้านบน) ซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการหาค่าเฉลี่ย

ค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะสำหรับหน่วยของประชากรที่เรียกว่า ตัวเลือก;

– จำนวนทั้งหมดหน่วยประชากร

- ความถี่หรือการทำซ้ำของแต่ละค่าของคุณลักษณะ (น้ำหนัก)

คุณลักษณะการหาค่าเฉลี่ย (ดัชนี)

สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับความพร้อมของแหล่งข้อมูล หากไม่ได้ทำซ้ำแต่ละค่าของลักษณะการหาค่าเฉลี่ย (ตัวแปร) สำหรับค่าเฉพาะของลักษณะการหาค่าเฉลี่ย สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยกำลังอย่างง่ายแต่เมื่อเข้ามา. การวิจัยเชิงปฏิบัติค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะที่กำลังศึกษาเกิดขึ้นหลายครั้งในหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา ดังนั้นความถี่ของการทำซ้ำค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ (คือน้ำหนักของคุณลักษณะ) จะมีอยู่ในสูตรของค่าเฉลี่ยกำลัง ในกรณีนี้พวกเขาจะถูกเรียก สูตรค่าเฉลี่ยกำลังถ่วงน้ำหนักสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักอาจมีแทนความถี่ ความถี่

กำหนดเป็นอัตราส่วนของความถี่ของจุดสนใจต่อผลรวมของความถี่

ตารางที่ 9 แสดงสูตรการคำนวณ ประเภทต่างๆไพรม์กำลังและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

ตารางที่ 9. สูตรคำนวณค่าเฉลี่ยกำลัง

ความหมาย	ชื่อคนกลาง	สูตรเฉลี่ย
เรียบง่าย	ถ่วงน้ำหนัก
- 1	ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
	ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
	ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
	จัตุรัสเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต –ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุด คำนวณในกรณีที่ปริมาตรของลักษณะเฉลี่ยเกิดขึ้นเป็นผลรวมของค่าสำหรับแต่ละหน่วยของประชากร ตัวอย่างเช่นคุณต้องคำนวณระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของพนักงานสิบคนขององค์กรและกำหนดชุดค่าเดียวของแอตทริบิวต์ 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4 . จากนั้นปริมาตรของแอตทริบิวต์เฉลี่ย

และค่าเฉลี่ยคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยอย่างง่าย

หากข้อมูลเดียวกันถูกจัดกลุ่มตามค่าของแอตทริบิวต์ ค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกค่าส่วนใหญ่มักคำนวณเมื่อใด ข้อมูลทางสถิติไม่มีความถี่สำหรับตัวแปรแต่ละตัวของประชากร แต่มีข้อมูลเกี่ยวกับปริมาณของลักษณะเฉพาะโดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรแต่ละตัวของประชากร ตัวอย่างเช่น มีความจำเป็นต้องคำนวณราคาเฉลี่ยของหน่วยสินค้าและปริมาณการขายของผลิตภัณฑ์แต่ละประเภทจะได้รับในรูปแบบของซีรีส์ 600, 1,000, 850 (พันรูเบิล) และราคาที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละประเภท ของผลิตภัณฑ์ในรูปแบบของซีรีส์ 20, 40, 50 (พันรูเบิล ./ ชิ้น) จากนั้นราคาเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก

จะเห็นได้ว่าค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นรูปแบบที่แปลงแล้ว (ผกผัน) ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต แทนที่จะใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก คุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เสมอ แต่ในการดำเนินการนี้ คุณต้องกำหนดน้ำหนักของค่าคุณลักษณะแต่ละรายการก่อน

เมื่อใช้สูตร ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตตามกฎแล้วจะแสดงค่าแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะ ค่าสัมพัทธ์ไดนามิกที่สร้างขึ้นในรูปแบบของค่าลูกโซ่ (เป็นอัตราส่วนของระดับต่อมาของตัวบ่งชี้ต่อระดับก่อนหน้าในชุดไดนามิก) และช่วงเวลาของซีรีส์ไดนามิกจะเหมือนกัน (วัน เดือน ปี) ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจึงเป็นลักษณะเฉพาะ ค่าสัมประสิทธิ์เฉลี่ยการเจริญเติบโต. ตัวอย่างเช่น สำหรับข้อมูลอนุกรมไดนามิกที่นำเสนอในตารางที่ 10

ตารางที่ 10. พลวัตของการเติบโตของรายได้ประชากร

อัตราการเติบโตเฉลี่ยของรายได้ของประชากรคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเรขาคณิตอย่างง่าย

สูตร รากหมายถึงกำลังสองปริมาณที่ใช้ในการวัด ระดับปานกลางความผันผวนของค่าลักษณะรอบค่าเฉลี่ย ค่าเลขคณิตในแถวกระจายสินค้า ตัวอย่างเช่นเมื่อคำนวณตัวบ่งชี้ความแปรปรวนเช่นการกระจายตัวค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณจากการเบี่ยงเบนกำลังสองของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ย ค่าเลขคณิต(ดูบทที่ 6)

ค่าเฉลี่ยกำลังของประเภทต่างๆ ที่คำนวณจากประชากรกลุ่มเดียวกันจะมีความแตกต่างกัน ค่าเชิงปริมาณและยิ่งเลขชี้กำลังมาก ค่าของค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันก็จะยิ่งมากขึ้น

คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยพลังงานนี้เรียกว่า ความสำคัญของค่าเฉลี่ย

เพื่อกำหนดลักษณะโครงสร้างของประชากรจะใช้ตัวบ่งชี้พิเศษซึ่งเรียกว่า โครงสร้างเฉลี่ย. ตัวบ่งชี้เหล่านี้รวมถึงโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่นเรียกว่าค่าคุณลักษณะที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในหน่วยของประชากรที่กำหนด เธอตรงกัน ค่าที่แน่นอนเข้าสู่ระบบ.

ตัวอย่างเช่น, แบบสำรวจตัวอย่างจุดแลกเปลี่ยนเงินตรา 8 จุดทำให้สามารถกำหนดราคาที่แตกต่างกันต่อดอลลาร์ได้ (ตารางที่ 11) ในกรณีนี้ ราคากิริยาต่อดอลลาร์คือ เนื่องจากในชุดสำนักงานแลกเปลี่ยนเงินตราที่สำรวจนั้นเกิดขึ้นบ่อยที่สุด (3 ครั้ง)

หมายเลขสินค้า
ราคา 1$

ค่ามัธยฐาน– นี่คือค่าของลักษณะเฉพาะที่แบ่งจำนวนของอนุกรมการเปลี่ยนแปลงลำดับออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ข้อมูลจากตารางที่ 10 และจัดเรียงแต่ละค่าของแอตทริบิวต์จากน้อยไปหามาก

2150 2155 2155 2155 2160 21652165 2175

เลขลำดับของค่ามัธยฐานถูกกำหนดโดยสูตร

ก) ในกรณีของเลขคู่ เลขมัธยฐานไม่มีค่าจำนวนเต็ม (ในกรณีของเรา 4.5) ค่ามัธยฐานจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าใกล้เคียงและ

ข) กรณีลักษณะเฉพาะบุคคลเป็นจำนวนคี่ (เช่น )

ดังนั้นในกรณีนี้

จากตัวอย่างที่พิจารณา แนะนำให้หาค่าเฉลี่ยแบบโหมดและค่ามัธยฐาน เนื่องจากผู้วิจัยไม่มีปริมาณการขายในแต่ละรายการ จึงไม่สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยได้แม่นยำดี ราคาเลขคณิตสำหรับหนึ่งดอลลาร์ นอกจากนี้ ตัวอย่างที่พิจารณายังแสดงให้เห็นจุดที่การเลือกประเภทของค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันนั้นขึ้นอยู่กับข้อมูลที่มีอยู่เสมอ

4.3. คุณสมบัติและวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติทางเศรษฐกิจและสถิติ มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งซึ่งบางครั้งทำให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณสมบัติเหล่านี้มีดังต่อไปนี้:

1. หากตัวเลือกลดลงหรือเพิ่มขึ้นตามจำนวนคงที่

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นตามนั้น

2. หากตัวเลือกเปลี่ยนจำนวนครั้งคงที่ ค่าเฉลี่ยก็จะเปลี่ยนไปเช่นกัน

จำนวนครั้งเท่ากัน

3. หากความถี่ถูกหารหรือคูณด้วยจำนวนคงที่ ค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง

4. ผลคูณของค่าเฉลี่ยเลขคณิตด้วยผลรวมของความถี่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลือกตามความถี่

5. ผลรวมพีชคณิตส่วนเบี่ยงเบนของตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยคือศูนย์

คุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้เป็นไปตามคำจำกัดความของค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก (ดูหัวข้อ 4.2)

บางครั้งการใช้ค่านี้จะทำให้การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตง่ายขึ้น คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์- ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องลบอันใดก็ได้ออกจากตัวเลือกทั้งหมด ค่าคงที่ให้หารผลต่างผลลัพธ์ด้วยตัวประกอบร่วม แล้วคูณค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้ด้วยตัวประกอบร่วม แล้วบวกค่าคงที่ใดๆ ก็ได้ เป็นผลให้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้