ผลรวมของจำนวนอตรรกยะคือจำนวนอตรรกยะ สาระสำคัญและการกำหนด

ตัวเลขธรรมชาติ

คำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็ม ตัวเลขบวก- จำนวนธรรมชาติใช้ในการนับวัตถุและเพื่อวัตถุประสงค์อื่นๆ อีกมากมาย นี่คือตัวเลข:

นี่คือชุดตัวเลขตามธรรมชาติ
ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่? ไม่ 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ
เท่าไหร่ ตัวเลขธรรมชาติมีอยู่จริงเหรอ? มีอยู่ ชุดอนันต์ตัวเลขธรรมชาติ
จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคืออะไร? หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร? ไม่สามารถระบุได้ เนื่องจากมีจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนอนันต์

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การบวกจำนวนธรรมชาติ a และ b:

ผลคูณของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ a และ b:

c เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ

ผลต่างของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าค่า minuend มากกว่าค่า subtrahend ผลต่างของจำนวนธรรมชาติจะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นจะไม่เป็นเช่นนั้น

ผลหารของจำนวนธรรมชาติไม่ใช่จำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ a และ b

โดยที่ c เป็นจำนวนธรรมชาติ หมายความว่า a หารด้วย b ลงตัว ในตัวอย่างนี้ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหาร

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติที่จำนวนแรกหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนหารด้วยหนึ่งและตัวมันเองได้

จำนวนธรรมชาติเฉพาะนั้นหารด้วยตัวมันเองและตัวเดียวเท่านั้น ในที่นี้เราหมายถึงการแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างหมายเลข 2; 3; 5; 7 หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น. พวกนี้เป็นจำนวนธรรมชาติธรรมดา

หนึ่งไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะ

จำนวนที่มากกว่า 1 และไม่เป็นจำนวนเฉพาะจะเรียกว่าจำนวนประกอบ ตัวอย่างของจำนวนประกอบ:

หนึ่งไม่ถือเป็นจำนวนประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติคือหนึ่ง หมายเลขเฉพาะและตัวเลขประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน อักษรละตินเอ็น.

คุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติ:

สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก

ทรัพย์สินร่วมของการบวก

(ก + ข) + ค = ก + (ข + ค);

สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ

สมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ

(ab)c = ก(bc);

สมบัติการกระจายของการคูณ

ก (b + c) = ab + ac;

จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ ศูนย์ และสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็มลบ เช่น

1; -2; -3; -4;...

เซตของจำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษรละติน Z

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนเต็มและเศษส่วน

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนเป็นคาบได้ ตัวอย่าง:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

จากตัวอย่างจะเห็นชัดเจนว่าจำนวนเต็มใดๆ เป็น เศษส่วนเป็นระยะด้วยระยะเวลาเป็นศูนย์

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน m/n โดยที่ m คือจำนวนเต็ม จำนวนและเป็นธรรมชาติตัวเลข. ลองจินตนาการถึงเลข 3 (6) จากตัวอย่างที่แล้วว่าเป็นเศษส่วนดังกล่าว

เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะแสดงด้วยตัวอักษร N ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุ ได้แก่ 1,2,3,4, ... ในบางแหล่ง เลข 0 ก็ถือเป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน

เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจะแสดงด้วยตัวอักษร Z จำนวนเต็มล้วนเป็นตัวเลขธรรมชาติ ศูนย์ และจำนวนลบ:

1,-2,-3, -4, …

ตอนนี้เราบวกเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดเข้ากับเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด เศษส่วนสามัญ: 2/3, 18/17, -4/5 และอื่นๆ จากนั้นเราก็จะได้ชุดทั้งหมด จำนวนตรรกยะ.

เซตของจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร Q เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด (Q) เป็นเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขในรูปแบบ m/n, -m/n และเลข 0 ใน เป็น n,mอาจเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้ ควรสังเกตว่าจำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้ ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกันว่าเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์สามารถเขียนเป็นจำนวนตรรกยะได้

แต่แล้วอย่างเช่น หมายเลข 2.0100100010...ล่ะ? มันเป็นแบบไม่สิ้นสุดระยะเวลา ทศนิยม- และมันใช้ไม่ได้กับจำนวนตรรกยะ

ใน หลักสูตรของโรงเรียนในพีชคณิตจะศึกษาเฉพาะจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) เท่านั้น มากมายทุกคน ตัวเลขจริงเขียนแทนด้วยตัวอักษร R เซต R ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ

ตัวเลขอตรรกยะ- มันเป็นทศนิยมไม่สิ้นสุดทั้งหมด เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ- จำนวนอตรรกยะไม่มีการกำหนดพิเศษ

ตัวอย่างเช่น จำนวนทั้งหมดที่ได้จากการแยกรากที่สองของจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนธรรมชาติจะถือเป็นจำนวนอตรรกยะ (√2, √3, √5, √6 ฯลฯ)

แต่อย่าคิดว่าจำนวนอตรรกยะจะได้มาจากการแยกรากที่สองเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จำนวน “pi” ก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน และได้มาจากการหาร และไม่ว่าคุณจะพยายามแค่ไหน คุณก็ไม่สามารถดึงมันออกมาได้ รากที่สองจากจำนวนธรรมชาติใดๆ

นักคณิตศาสตร์โบราณรู้อยู่แล้วเกี่ยวกับส่วนของความยาวหนึ่งหน่วย ตัวอย่างเช่น พวกเขารู้ความไม่ลงตัวของเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเทียบเท่ากับความไม่ลงตัวของตัวเลข

ไม่มีเหตุผลคือ:

ตัวอย่างการพิสูจน์ความไร้เหตุผล

รากของ 2

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: มันเป็นตรรกยะ กล่าวคือ มันถูกแสดงในรูปของเศษส่วนที่ลดไม่ได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม ลองยกกำลังสองของความเท่าเทียมกัน:

.

ตามมาด้วยว่าคู่เป็นคู่ และ ปล่อยให้มันเป็นที่ทั้งหมด แล้ว

ดังนั้นแม้แต่ หมายถึงคู่ และ เราพบสิ่งนั้น และ เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน . ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานเดิมไม่ถูกต้อง และเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลอการิทึมไบนารีของจำนวน 3

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: มันเป็นตรรกยะ นั่นคือ มันถูกแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก และ สามารถเลือกให้เป็นค่าบวกได้ แล้ว

แต่แม้และแปลก เราได้รับความขัดแย้ง

จ

เรื่องราว

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้โดยปริยายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล เมื่อมานาวา (ประมาณ 750 ปีก่อนคริสตกาล - ประมาณ 690 ปีก่อนคริสตกาล) พบว่ารากที่สองของจำนวนธรรมชาติบางตัว เช่น 2 และ 61 ไม่สามารถแสดงออกมาอย่างชัดเจนได้ .

การพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมาจากฮิปปาซัสแห่งเมตาปอนตัส (ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเป็นชาวพีทาโกรัสที่พบข้อพิสูจน์นี้โดยการศึกษาความยาวของด้านข้างของรูปดาวห้าแฉก ในสมัยพีทาโกรัส เชื่อกันว่ามีหน่วยความยาวหน่วยเดียว ซึ่งมีขนาดเล็กเพียงพอและแบ่งแยกไม่ได้ ซึ่งเข้าสู่ส่วนใดๆ ก็ตามด้วยจำนวนเต็มครั้ง อย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสแย้งว่าไม่มีหน่วยความยาวเดียว เนื่องจากการสันนิษฐานว่ามีอยู่จริงทำให้เกิดความขัดแย้ง เขาแสดงว่าถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากของหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากมีจำนวนส่วนของหน่วยเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นตัวเลขนี้ต้องเป็นทั้งเลขคู่และคี่ หลักฐานมีลักษณะดังนี้:

• อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสามารถแสดงได้เป็น ก:ข, ที่ไหน กและ ขเลือกให้เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
• ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ก² = 2 ข².
• เพราะ ก- สม่ำเสมอ, กต้องเป็นเลขคู่ (เนื่องจากกำลังสองของเลขคี่จะเป็นเลขคี่)
• เพราะ ก:ขลดไม่ได้ ขจะต้องแปลก
• เพราะ กแม้เราจะแสดงถึง ก = 2ย.
• แล้ว ก² = 4 ย² = 2 ข².
• ข² = 2 ย² ดังนั้น ข- ถึงอย่างนั้น ขสม่ำเสมอ.
• อย่างไรก็ตามได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ขแปลก. ความขัดแย้ง

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเรียกอัตราส่วนนี้ของปริมาณที่เทียบไม่ได้ อะโลโกส(พูดไม่ได้) แต่ตามตำนานพวกเขาไม่ได้ให้ความเคารพต่อฮิปปาซัส มีตำนานเล่าว่าฮิปปาซัสได้ค้นพบในขณะที่เข้ามา การเดินทางทางทะเลและถูกชาวพีทาโกรัสคนอื่นๆ โยนลงน้ำ "เพื่อสร้างองค์ประกอบของจักรวาลซึ่งปฏิเสธหลักคำสอนที่ว่าเอนทิตีทั้งหมดในจักรวาลสามารถลดลงเหลือจำนวนเต็มและอัตราส่วนได้" การค้นพบฮิปปาซัสท้าทายคณิตศาสตร์พีทาโกรัส ปัญหาร้ายแรงทำลายสมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีทั้งหมดที่ว่าตัวเลขและวัตถุทางเรขาคณิตเป็นหนึ่งเดียวและแยกจากกันไม่ได้

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ระบบตัวเลข
การนับ ชุด	จำนวนธรรมชาติ () จำนวนเต็ม ()

การทำความเข้าใจตัวเลข โดยเฉพาะจำนวนธรรมชาติ เป็นหนึ่งใน "ทักษะ" ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด อารยธรรมหลายแห่ง แม้แต่อารยธรรมสมัยใหม่ ก็ได้ให้คุณสมบัติลึกลับบางอย่างมาจากตัวเลข เนื่องจากมีความสำคัญอย่างมากในการอธิบายธรรมชาติ แม้ว่า วิทยาศาสตร์สมัยใหม่และคณิตศาสตร์ไม่ได้ยืนยันคุณสมบัติ "มหัศจรรย์" เหล่านี้ ความสำคัญของทฤษฎีจำนวนก็ไม่อาจปฏิเสธได้

ในอดีต จำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งปรากฏขึ้นก่อน จากนั้นจึงบวกเศษส่วนอย่างรวดเร็วและจำนวนอตรรกยะบวกเข้าไป จำนวนศูนย์และจำนวนลบถูกนำมาใช้หลังจากเซตย่อยของเซตของจำนวนจริง ชุดสุดท้ายชุด จำนวนเชิงซ้อนปรากฏเฉพาะเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่เท่านั้น

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ไม่มีการป้อนตัวเลข ลำดับทางประวัติศาสตร์แม้จะค่อนข้างใกล้กันก็ตาม

จำนวนธรรมชาติ $\mathbb(N)$

เซตของจำนวนธรรมชาติมักแสดงเป็น $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ และมักจะเติมด้วยศูนย์เพื่อแสดงถึง $\mathbb(N)_0$

$\mathbb(N)$ กำหนดการดำเนินการของการบวก (+) และการคูณ ($\cdot$) ด้วย คุณสมบัติดังต่อไปนี้สำหรับ $a,b,c\in \mathbb(N)$ ใดๆ:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ เซต $\mathbb(N)$ ถูกปิดภายใต้การดำเนินการของการบวกและการคูณ
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ สับเปลี่ยน
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ การเชื่อมโยง
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ การกระจายตัว
5. $a\cdot 1=a$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ

เนื่องจากชุด $\mathbb(N)$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ แต่ไม่ใช่สำหรับการบวก การบวกศูนย์เข้ากับชุดนี้จึงทำให้แน่ใจได้ว่าจะมีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก

นอกเหนือจากการดำเนินการทั้งสองนี้แล้ว ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ($

1. $a b$ การผ่าตัดไตรโคโตมี
2. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq a$ แล้ว $a=b$ ความไม่สมมาตร
3. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq c$ แล้ว $a\leq c$ จะเป็นสกรรมกริยา
4. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a+c\leq b+c$
5. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a\cdot c\leq b\cdot c$

จำนวนเต็ม $\mathbb(Z)$

ตัวอย่างของจำนวนเต็ม:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

การแก้สมการ $a+x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นที่รู้จักว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ และ $x$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องมีการดำเนินการใหม่ - การลบ (-) หากมีจำนวนธรรมชาติ $x$ ที่เป็นไปตามสมการนี้ แล้ว $x=b-a$ อย่างไรก็ตาม สมการเฉพาะนี้ไม่จำเป็นต้องมีคำตอบบนเซต $\mathbb(N)$ ดังนั้นการพิจารณาเชิงปฏิบัติจึงต้องขยายชุดของจำนวนธรรมชาติเพื่อรวมคำตอบของสมการนั้นด้วย สิ่งนี้นำไปสู่การแนะนำชุดจำนวนเต็ม: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$

เนื่องจาก $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ จึงสมเหตุสมผลที่จะถือว่าการดำเนินการที่แนะนำก่อนหน้านี้ $+$ และ $\cdot$ และความสัมพันธ์ $ 1 $0+a=a+0=a$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ มีอยู่แล้ว หมายเลขตรงข้าม$-a$ สำหรับ $a$

คุณสมบัติ 5.:
5. ถ้า $0\leq a$ และ $0\leq b$ แล้ว $0\leq a\cdot b$

เซต $\mathbb(Z)$ จะถูกปิดภายใต้การดำเนินการลบเช่นกัน นั่นคือ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$

จำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

ตอนนี้ ให้พิจารณาสมการในรูปแบบ $a\cdot x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นที่รู้จักว่าเป็นจำนวนเต็ม และ $x$ เป็นที่รู้จัก เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาเป็นไปได้ จำเป็นต้องเริ่มดำเนินการหาร ($:$) และวิธีแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ $x=b:a$ นั่นคือ $x=\frac(b)(a)$ . ปัญหาเกิดขึ้นอีกครั้งว่า $x$ ไม่ได้เป็นของ $\mathbb(Z)$ เสมอไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องขยายชุดของจำนวนเต็ม นี่เป็นการแนะนำชุดของจำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$ ที่มีองค์ประกอบ $\frac(p)(q)$ โดยที่ $p\in \mathbb(Z)$ และ $q\in \mathbb(N)$ เซต $\mathbb(Z)$ เป็นเซตย่อยที่แต่ละสมาชิก $q=1$ ดังนั้น $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ และการดำเนินการของการบวกและการคูณจะขยายไปยังเซตนี้ตาม กฎต่อไปนี้ ซึ่งรักษาคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดไว้ในชุด $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

มีการแนะนำแผนกดังต่อไปนี้:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

บนเซต $\mathbb(Q)$ สมการ $a\cdot x=b$ มีคำตอบเฉพาะสำหรับแต่ละ $a\neq 0$ (ไม่ได้กำหนดไว้ว่าการหารด้วยศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีองค์ประกอบผกผัน $\frac(1)(a)$ หรือ $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ก)\cdot a=a)$

ลำดับของเซต $\mathbb(Q)$ สามารถขยายได้ดังนี้:
$\frac(p_1)(q_1)

เซต $\mathbb(Q)$ มีหนึ่งอัน ทรัพย์สินที่สำคัญ: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายเป็นอนันต์ ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะสองตัวที่อยู่ติดกัน ต่างจากเซตของจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

จำนวนอตรรกยะ $\mathbb(I)$

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ:
$\sqrt(2) \ประมาณ 1.41422135...$
$\pi\ประมาณ 3.1415926535...$

เนื่องจากระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ ก็มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายเป็นอนันต์ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปอย่างผิดพลาดว่าเซตของจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นมากจนไม่จำเป็นต้องขยายออกไปอีก แม้แต่พีทาโกรัสก็ยังทำผิดพลาดในสมัยของเขา อย่างไรก็ตาม ผู้ร่วมสมัยของเขาได้หักล้างข้อสรุปนี้แล้วเมื่อศึกษาคำตอบของสมการ $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) บนเซตของจำนวนตรรกยะ ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดเรื่องรากที่สอง จากนั้นคำตอบของสมการนี้จะอยู่ในรูปแบบ $x=\sqrt(2)$ สมการเช่น $x^2=a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะที่ทราบ และ $x$ เป็นจำนวนที่ไม่ทราบ ไม่ได้มีคำตอบสำหรับเซตของจำนวนตรรกยะเสมอไป และอีกครั้งที่จำเป็นต้องขยายสมการ ชุด. ชุดของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้น และตัวเลขเช่น $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... เป็นของชุดนี้

จำนวนจริง $\mathbb(R)$

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง เนื่องจาก $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ จึงมีเหตุผลอีกครั้งที่จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่นำมาใช้ยังคงรักษาคุณสมบัติไว้ในชุดใหม่ การพิสูจน์อย่างเป็นทางการในเรื่องนี้เป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นคุณสมบัติที่กล่าวมาข้างต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ของเซตของจำนวนจริงจึงถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ ในพีชคณิต วัตถุดังกล่าวเรียกว่าเขตข้อมูล ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงเรียกว่าเขตข้อมูลเรียงลำดับ

เพื่อให้นิยามของเซตของจำนวนจริงสมบูรณ์ จำเป็นต้องแนะนำสัจพจน์เพิ่มเติมที่แยกเซต $\mathbb(Q)$ และ $\mathbb(R)$ สมมติว่า $S$ เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตจำนวนจริง องค์ประกอบ $b\in \mathbb(R)$ เรียกว่าขอบเขตบนของเซต $S$ ถ้า $\forall x\in S$ เก็บ $x\leq b$ จากนั้นเราบอกว่าชุด $S$ นั้นมีขอบเขตอยู่ด้านบน ขอบเขตบนที่เล็กที่สุดของชุด $S$ เรียกว่า supremum และเขียนแทนด้วย $\sup S$ แนวคิดของขอบเขตล่าง ชุดขอบเขตด้านล่าง และ infinum $\inf S$ ได้รับการแนะนำในทำนองเดียวกัน ตอนนี้สัจพจน์ที่หายไปมีการกำหนดดังนี้:

สับเซตที่ไม่ว่างและมีขอบเขตบนของเซตจำนวนจริงจะมีค่าสูงสุด
นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟิลด์ของจำนวนจริงที่กำหนดในลักษณะข้างต้นนั้นไม่ซ้ำกัน

จำนวนเชิงซ้อน$\mathbb(C)$

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ โดยที่ $i = \sqrt(-1)$ หรือ $i^2 = -1$

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแสดงถึงคู่ลำดับของจำนวนจริงทั้งหมด นั่นคือ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ ซึ่งการดำเนินการของ การบวกและการคูณมีการกำหนดไว้ดังนี้:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนมีอยู่หลายรูปแบบ ซึ่งรูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือ $z=a+ib$ โดยที่ $(a,b)$ คือคู่ของจำนวนจริง และตัวเลข $i=(0,1)$ เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

มันง่ายที่จะแสดงว่า $i^2=-1$ การขยายเซต $\mathbb(R)$ ไปยังเซต $\mathbb(C)$ ช่วยให้เราสามารถหารากที่สองของ ตัวเลขติดลบซึ่งเป็นเหตุให้เกิดชุดจำนวนเชิงซ้อนขึ้นมา มันง่ายที่จะแสดงว่าเซตย่อยของเซต $\mathbb(C)$ ที่กำหนดโดย $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด สัจพจน์ของจำนวนจริง ดังนั้น $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ หรือ $R\subset\mathbb(C)$

โครงสร้างพีชคณิตของเซต $\mathbb(C)$ ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวกและการคูณมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. การสับเปลี่ยนของการบวกและการคูณ
2. ความสัมพันธ์ของการบวกและการคูณ
3. $0+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก
4. $1+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ
5. การคูณเป็นการแจกแจงด้วยการบวก
6. มีการผกผันเพียงตัวเดียวสำหรับทั้งการบวกและการคูณ