ผลบวกของตัวเลข 100 ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด

ในบทเรียนนี้ เราจะหาสูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด และแก้ปัญหาบางอย่างโดยใช้สูตรนี้

หัวเรื่อง : ความก้าวหน้า

บทเรียน: สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด

1. บทนำ

พิจารณาปัญหา: ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100

กำหนด: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

ค้นหา: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100

วิธีแก้ไข: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050

คำตอบ: 5050

ลำดับของจำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 คือ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: a1=1, d=1.

เราพบผลรวมของจำนวนธรรมชาติร้อยตัวแรกแล้ว นั่นคือผลรวมของ n ตัวแรก สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับการพิจารณาเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ Carl Friedrich Gauss ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 19 เขาแก้ปัญหาได้ตั้งแต่อายุ 5 ขวบ

ประวัติอ้างอิง: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - นักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง นักฟิสิกส์ และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ถือเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล "ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์" ผู้ได้รับรางวัลเหรียญ Copley (พ.ศ. 2381) สมาชิกต่างประเทศของสวีเดน (พ.ศ. 2364) และรัสเซีย (พ.ศ. 2367) Academies of Sciences ของ British Royal Society ตามตำนาน ครูสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียน เพื่อไม่ให้เด็กๆ ยุ่งเป็นเวลานาน แนะนำให้พวกเขาคำนวณผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 Young Gauss สังเกตเห็นว่าผลรวมของคู่ตรงกันข้ามกับตรงกันข้ามนั้นเหมือนกัน: 1+100 =101, 2+99=101 ฯลฯ และได้ผลลัพธ์ทันที: 101x50=5050

2. ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

พิจารณาปัญหาที่คล้ายกันสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ

ค้นหา: ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ให้เราแสดงว่านิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บมีค่าเท่ากันคือ นิพจน์ . ให้ d เป็นผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต แล้ว:

และอื่น ๆ ดังนั้น เราสามารถเขียน:

เราจะหาสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้ที่ไหน:

.

3. การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1. แก้ปัญหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

วิธีแก้ไข: a1=1, d=1, n=100

สูตรทั่วไป:

.

ในกรณีของเรา: .

คำตอบ: 5050

สูตรทั่วไป:

. ลองหาสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: .

ในกรณีของเรา: .

ในการค้นหา ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา

สามารถทำได้โดยใช้สูตรทั่วไป ขั้นแรก ใช้สูตรนี้เพื่อค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

เช่น. . วิธี .

ตอนนี้เราสามารถหา

การใช้สูตรหาผลบวกของ n พจน์แรกของการก้าวหน้าทางเลขคณิต

มาหากันเถอะ

4. ที่มาของสูตรที่สองสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

เราได้สูตรที่สองสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต กล่าวคือ: เราพิสูจน์ว่า .

การพิสูจน์:

ในสูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของการก้าวหน้าทางเลขคณิต ให้เราแทนนิพจน์สำหรับ คือ . เราได้รับ: , เช่น . คิวอีดี

ลองวิเคราะห์สูตรที่ได้รับ สำหรับการคำนวณตามสูตรแรก คุณต้องรู้เทอมแรก เทอมสุดท้าย และ n ตามสูตรที่สอง - คุณต้องรู้พจน์แรก ความแตกต่าง และ n

สุดท้าย โปรดทราบว่าในกรณีใด ๆ Sn เป็นฟังก์ชันกำลังสองของ n เนื่องจาก .

5. การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการใช้สูตรที่สองสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

สูตรทั่วไป:

.

ในกรณีของเรา:.

คำตอบ: 403.

2. หาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดที่ทวีคูณด้วย 4

(12; 16; 20; ... ; 96) - ชุดตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

ดังนั้นเราจึงมีความก้าวหน้าทางเลขคณิต

n หาได้จากสูตรของ:.

เช่น. . วิธี .

ใช้สูตรที่สองสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

มาหากันเถอะ

จำเป็นต้องหาผลรวมของคำศัพท์ทั้งหมดตั้งแต่วันที่ 10 ถึง 25

วิธีแก้ไขวิธีหนึ่งมีดังนี้

เพราะเหตุนี้, .

6. สรุปบทเรียน

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด สูตรเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาบางอย่าง

ในบทเรียนต่อไป เราจะทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1. Makarychev Yu. N. et al. พีชคณิตเกรด 9 (หนังสือเรียนสำหรับโรงเรียนมัธยม) - ม.: การศึกษา, 2535

2. Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov, K. I. พีชคณิตสำหรับเกรด 9 พร้อมความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์. - ม.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. บทเพิ่มเติมของหนังสือเรียนพีชคณิตเกรด 9.-M.: การศึกษา, 2545

4. Galitsky M. L. , Goldman A. M. , Zvavich L. I. การรวบรวมปัญหาในพีชคณิตสำหรับเกรด 8-9 (หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึกทางคณิตศาสตร์) - ม.: การศึกษา, 2539

5. Mordkovich A. G. พีชคณิตเกรด 9 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป - ม.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G. , Mishutina T. N. , Tulchinskaya E. E. พีชคณิตเกรด 9 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา - ม.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-8 (แนวทางสำหรับครูผู้สอน).-ม.: การตรัสรู้, 2526.

1. ส่วนวิทยาลัย ru ในวิชาคณิตศาสตร์

2. พอร์ทัลวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

3. เลขชี้กำลัง ru เว็บไซต์คณิตศาสตร์เพื่อการศึกษา

1. หมายเลข 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. พีชคณิตเกรด 9)

2. หมายเลข 12.96 (Galitsky M. L. , Goldman A. M. , Zvavich L. I. การรวบรวมปัญหาในพีชคณิตสำหรับเกรด 8-9)

เมื่อเรียนพีชคณิตในโรงเรียนมัธยม (เกรด 9) หนึ่งในหัวข้อที่สำคัญคือการศึกษาลำดับตัวเลขซึ่งรวมถึงความก้าวหน้า - เรขาคณิตและเลขคณิต ในบทความนี้ เราจะพิจารณาความก้าวหน้าทางเลขคณิตและตัวอย่างพร้อมคำตอบ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ จำเป็นต้องให้คำนิยามของความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณา รวมทั้งให้สูตรพื้นฐานที่จะใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตหรือพีชคณิตเป็นชุดของจำนวนตรรกยะที่เรียงลำดับ ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะแตกต่างจากค่าคงที่ก่อนหน้า ค่านี้เรียกว่าความแตกต่าง นั่นคือ การทราบสมาชิกใดๆ ของชุดตัวเลขที่เรียงลำดับและผลต่าง คุณสามารถเรียกคืนความก้าวหน้าทางเลขคณิตทั้งหมดได้

ลองมาเป็นตัวอย่าง ลำดับถัดไปของตัวเลขจะเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต: 4, 8, 12, 16, ... เนื่องจากความแตกต่างในกรณีนี้คือ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) แต่ชุดของตัวเลข 3, 5, 8, 12, 17 ไม่สามารถนำมาประกอบกับประเภทความก้าวหน้าที่พิจารณาได้อีกต่อไป เนื่องจากความแตกต่างของตัวเลขนี้ไม่ใช่ค่าคงที่ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

สูตรสำคัญ

ตอนนี้เราให้สูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการแก้ปัญหาโดยใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต ให้ a แทนสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม ความแตกต่างแสดงด้วยตัวอักษรละติน d จากนั้นนิพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:

1. ในการกำหนดค่าของเทอมที่ n สูตรนี้เหมาะสม: a n \u003d (n-1) * d + a 1
2. วิธีหาผลรวมของพจน์ n แรก: S n = (a n + a 1)*n/2

เพื่อให้เข้าใจถึงตัวอย่างใดๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตด้วยวิธีแก้ปัญหาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ก็เพียงพอแล้วที่จะจำสูตรทั้งสองนี้ เนื่องจากปัญหาใดๆ ของประเภทที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นสร้างขึ้นจากการใช้งาน นอกจากนี้ อย่าลืมว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยสูตร: d = a n - a n-1

ตัวอย่าง #1: การค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จัก

เรายกตัวอย่างง่ายๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและสูตรที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหา

ปล่อยให้ลำดับ 10, 8, 6, 4, ... จำเป็นต้องค้นหาคำศัพท์ห้าคำในนั้น

ต่อจากเงื่อนไขของโจทย์ที่รู้ 4 เทอมแรกแล้ว ห้าสามารถกำหนดได้สองวิธี:

1. ลองคำนวณส่วนต่างก่อน เรามี: d = 8 - 10 = -2 ในทำนองเดียวกัน เราสามารถใช้คำศัพท์อีกสองคำที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น d = 4 - 6 = -2 เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่า d \u003d a n - a n-1 จากนั้น d \u003d a 5 - a 4 จากที่เราได้รับ: a 5 \u003d a 4 + d เราแทนค่าที่ทราบ: a 5 = 4 + (-2) = 2
2. วิธีที่สองต้องการความรู้เรื่องความแตกต่างของความก้าวหน้าที่เป็นปัญหาด้วย ดังนั้นคุณต้องพิจารณาก่อน ดังที่แสดงไว้ด้านบน (d = -2) เมื่อรู้ว่าเทอมแรก a 1 = 10 เราใช้สูตรสำหรับจำนวน n ของลำดับ เรามี: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n แทน n = 5 ในนิพจน์สุดท้าย เราจะได้: a 5 = 12-2 * 5 = 2

อย่างที่คุณเห็น โซลูชันทั้งสองนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ผลต่าง d ของความก้าวหน้าเป็นค่าลบ ลำดับดังกล่าวเรียกว่า การลดลง เนื่องจากแต่ละเทอมที่ต่อเนื่องกันน้อยกว่าลำดับก่อนหน้า

ตัวอย่าง #2: ความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตอนนี้มาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยยกตัวอย่างวิธีการ

เป็นที่ทราบกันดีว่าในบางเทอมที่ 1 เท่ากับ 6 และเทอมที่ 7 เท่ากับ 18 จำเป็นต้องค้นหาผลต่างและคืนค่าลำดับนี้เป็นเทอมที่ 7

ลองใช้สูตรเพื่อหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก: a n = (n - 1) * d + a 1 เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขลงไปนั่นคือตัวเลข 1 และ 7 เรามี: 18 \u003d 6 + 6 * d จากนิพจน์นี้ คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: d = (18 - 6) / 6 = 2 ดังนั้น ส่วนแรกของปัญหาจึงได้รับคำตอบ

ในการคืนค่าลำดับไปยังสมาชิกตัวที่ 7 คุณควรใช้นิยามของความก้าวหน้าทางพีชคณิต นั่นคือ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d เป็นต้น เป็นผลให้เราคืนค่าลำดับทั้งหมด: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 และ 7 = 18.

ตัวอย่าง #3: ความก้าวหน้า

ให้เราทำให้เงื่อนไขของปัญหาซับซ้อนยิ่งขึ้น ตอนนี้คุณต้องตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราสามารถยกตัวอย่างต่อไปนี้: ให้ตัวเลขสองตัว เช่น 4 และ 5 จำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าทางพีชคณิตเพื่อให้มีคำศัพท์อีกสามคำที่เหมาะสมระหว่างค่าเหล่านี้

ก่อนที่จะเริ่มแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าหมายเลขที่กำหนดจะอยู่ในตำแหน่งใดในอนาคต เนื่องจากจะมีคำศัพท์อีกสามคำระหว่างพวกเขา ดังนั้น 1 \u003d -4 และ 5 \u003d 5 เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้ว เราจึงดำเนินการงานที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ อีกครั้งสำหรับเทอมที่ n เราใช้สูตร เราได้: a 5 \u003d a 1 + 4 * d จาก: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ในที่นี้ ความแตกต่างไม่ใช่ค่าจำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นสูตรสำหรับความก้าวหน้าทางพีชคณิตจึงยังคงเหมือนเดิม

ตอนนี้เรามาเพิ่มผลต่างที่พบเป็น 1 และกู้คืนสมาชิกที่ขาดหายไปของความก้าวหน้า เราได้รับ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, ซึ่งสอดคล้องกับสภาพของปัญหา

ตัวอย่าง #4: สมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า

เรายังคงยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตพร้อมวิธีแก้ปัญหา ในปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมด ทราบจำนวนแรกของความก้าวหน้าทางพีชคณิต ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาประเภทอื่น: ให้กำหนดตัวเลขสองตัวโดยที่ 15 = 50 และ 43 = 37 จำเป็นต้องค้นหาว่าลำดับนี้เริ่มต้นจากหมายเลขใด

สูตรที่ใช้มาจนถึงปัจจุบันถือว่ามีความรู้เกี่ยวกับ 1 และ d ไม่ทราบเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ในเงื่อนไขของปัญหา อย่างไรก็ตาม ลองเขียนนิพจน์สำหรับแต่ละคำที่เรามีข้อมูล: a 15 = a 1 + 14 * d และ a 43 = a 1 + 42 * d เราได้สมการสองสมการซึ่งมี 2 ปริมาณที่ไม่รู้จัก (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่าปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่ระบุจะแก้ปัญหาได้ง่ายที่สุดหากคุณแสดง 1 ในแต่ละสมการ แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ สมการแรก: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; สมการที่สอง: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้เราจะได้รับ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d ดังนั้นความแตกต่าง d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (กำหนดทศนิยม 3 ตำแหน่งเท่านั้น)

เมื่อรู้ d คุณสามารถใช้ 2 นิพจน์ด้านบนเป็น 1 ได้ ตัวอย่างเช่น อันดับแรก: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ คุณสามารถตรวจสอบได้ เช่น กำหนดสมาชิกลำดับที่ 43 ของความก้าวหน้าซึ่งระบุไว้ในเงื่อนไข เราได้: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเกิดจากการปัดเศษเป็นเศษส่วนในการคำนวณ

ตัวอย่าง #5: ผลรวม

ทีนี้มาดูตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ให้ความก้าวหน้าเป็นตัวเลขในรูปแบบต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ...,. จะคำนวณผลรวมของ 100 ของตัวเลขเหล่านี้ได้อย่างไร?

ด้วยการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ทำให้ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้นั่นคือเพิ่มจำนวนทั้งหมดตามลำดับซึ่งคอมพิวเตอร์จะทำทันทีที่มีคนกดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตาม ปัญหาสามารถแก้ไขได้ทางจิตใจหากคุณใส่ใจว่าชุดตัวเลขที่นำเสนอนั้นเป็นความก้าวหน้าทางพีชคณิตและความแตกต่างของมันคือ 1 ใช้สูตรสำหรับผลรวม เราได้รับ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

เป็นที่น่าสังเกตว่าปัญหานี้เรียกว่า "เกาส์เซียน" เนื่องจากเมื่อต้นศตวรรษที่ 18 ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียงซึ่งอายุเพียง 10 ขวบก็สามารถแก้ปัญหาในใจได้ในไม่กี่วินาที เด็กชายไม่รู้สูตรหาผลรวมของความก้าวหน้าทางพีชคณิต แต่เขาสังเกตเห็นว่าถ้าคุณเพิ่มคู่ของตัวเลขที่อยู่ริมลำดับ คุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ นั่นคือ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... และเนื่องจากผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100 / 2) ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ก็เพียงพอที่จะคูณ 50 ด้วย 101

ตัวอย่าง #6: ผลรวมของพจน์ตั้งแต่ n ถึง m

อีกตัวอย่างทั่วไปของผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีดังต่อไปนี้: ให้ชุดตัวเลข: 3, 7, 11, 15, ... คุณต้องหาว่าผลรวมของพจน์ตั้งแต่ 8 ถึง 14 จะเป็นเท่าใด

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสองวิธี อันดับแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จักตั้งแต่ 8 ถึง 14 จากนั้นจึงสรุปตามลำดับ เนื่องจากมีคำศัพท์น้อย วิธีนี้จึงใช้ความพยายามไม่เพียงพอ อย่างไรก็ตามมีการเสนอให้แก้ปัญหานี้ด้วยวิธีที่สองซึ่งเป็นสากลมากขึ้น

แนวคิดคือการหาสูตรสำหรับผลบวกของความก้าวหน้าทางพีชคณิตระหว่างเทอม m และ n โดยที่ n > m เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทั้งสองกรณี เราเขียนสองนิพจน์สำหรับผลรวม:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

เนื่องจาก n > m เห็นได้ชัดว่าผลรวม 2 รวมค่าแรกด้วย ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าถ้าเราใช้ผลต่างระหว่างผลรวมเหล่านี้และเพิ่มคำ a m เข้าไป (ในกรณีของผลต่างจะถูกลบออกจากผลรวม S n) จากนั้นเราจะได้คำตอบที่จำเป็นสำหรับปัญหา เรามี: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) จำเป็นต้องแทนสูตรสำหรับ a n และ a m ในนิพจน์นี้ จากนั้นเราจะได้: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

สูตรผลลัพธ์ค่อนข้างยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม ผลรวม S mn ขึ้นอยู่กับ n, m, a 1 และ d เท่านั้น ในกรณีของเรา a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8 เมื่อแทนจำนวนเหล่านี้แล้ว เราจะได้: S mn = 301

ดังที่เห็นได้จากวิธีแก้ปัญหาข้างต้น ปัญหาทั้งหมดขึ้นอยู่กับความรู้ของนิพจน์สำหรับเทอมที่ n และสูตรสำหรับผลรวมของเซตของเทอมแรก ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ปัญหาใดๆ เหล่านี้ ขอแนะนำให้คุณอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียด เข้าใจอย่างชัดเจนว่าคุณต้องการค้นหาอะไร จากนั้นจึงดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือการพยายามให้เรียบง่าย นั่นคือหากคุณสามารถตอบคำถามได้โดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คุณต้องทำเช่นนั้น เนื่องจากในกรณีนี้ความน่าจะเป็นที่จะผิดพลาดมีน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีคำตอบข้อ 6 เราสามารถหยุดที่สูตร S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m และ แบ่งงานทั่วไปออกเป็นงานย่อยแยกกัน (ในกรณีนี้ ให้หาเงื่อนไข a n และ a m ก่อน)

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ ขอแนะนำให้ตรวจสอบ ดังที่ได้ดำเนินการไปแล้วในตัวอย่างบางส่วนที่ให้มา ค้นพบความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้อย่างไร เมื่อเข้าใจแล้วก็ไม่ยาก

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นเรื่องง่าย ทั้งในความหมายและในสูตร. แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ ตั้งแต่ระดับประถมจนถึงค่อนข้างแข็ง

ก่อนอื่นมาจัดการกับความหมายและสูตรของผลรวมกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของผลรวมนั้นง่ายเหมือนการลด ในการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มสมาชิกทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากเงื่อนไขเหล่านี้มีน้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใดๆ แต่ถ้ามีมากหรือมาก ... การเพิ่มก็น่ารำคาญ) ในกรณีนี้สูตรจะบันทึก

สูตรผลรวมนั้นง่าย:

มาดูกันว่าตัวอักษรชนิดใดที่รวมอยู่ในสูตร สิ่งนี้จะชัดเจนขึ้นมาก

เอส เอ็น เป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ผลบวก ทั้งหมดสมาชิกด้วย แรกบน ล่าสุด.มันเป็นสิ่งสำคัญ เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน ทั้งหมดสมาชิกในแถวโดยไม่มีช่องว่างและกระโดด และแน่นอนว่าเริ่มจาก แรก.ในปัญหาต่างๆ เช่น การหาผลรวมของพจน์ที่สามและแปด หรือผลรวมของพจน์ที่ห้าถึงยี่สิบ การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)

1 - ครั้งแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย แรกหมายเลขแถว

หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า หมายเลขสุดท้ายของแถว ชื่อไม่ค่อยคุ้นเท่าไหร่แต่พอใส่ปริมาณแล้วเหมาะมาก แล้วคุณจะเห็นเอง

น คือหมายเลขของสมาชิกตัวสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนข้อที่เพิ่มเข้ามา

มากำหนดแนวคิดกันเถอะ ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง. กรอกคำถาม: สมาชิกประเภทใดที่จะ ล่าสุด,ถ้าให้ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?

สำหรับคำตอบที่มั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและ ... อ่านการบ้านอย่างละเอียด!)

ในงานค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เทอมสุดท้ายจะปรากฏเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ที่ควรจำกัดมิฉะนั้น จำนวนเฉพาะที่จำกัด ไม่มีอยู่จริงสำหรับวิธีแก้ปัญหา ไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าแบบใด: ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะได้รับอย่างไร: โดยชุดตัวเลขหรือตามสูตรของสมาชิกตัวที่ n

สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรทำงานตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข น.ที่จริงแล้ว ชื่อเต็มของสูตรมีลักษณะดังนี้: ผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจำนวนสมาชิกแรกสุดเหล่านี้ เช่น นถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลที่มีค่าทั้งหมดนี้มักถูกเข้ารหัส ใช่ ... แต่ไม่มีอะไร เราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้ในตัวอย่างด้านล่าง)

ตัวอย่างของงานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ก่อนอื่น ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:

ความยากหลักในการทำงานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือการกำหนดองค์ประกอบของสูตรที่ถูกต้อง

ผู้เขียนงานเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการที่ไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่คือไม่ต้องกลัว การทำความเข้าใจแก่นแท้ขององค์ประกอบก็เพียงพอแล้วที่จะถอดรหัสพวกมัน ลองมาดูตัวอย่างโดยละเอียดกัน เริ่มจากงานตาม GIA จริง

1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 หาผลบวกของ 10 พจน์แรก

ดีมาก ง้ายง่าย) การจะหาปริมาณตามสูตรต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1, ระยะสุดท้าย หนึ่ง, ใช่ จำนวนเทอมสุดท้าย น.

จะหาหมายเลขสมาชิกตัวสุดท้ายได้ที่ไหน น? ใช่ที่เดิมในสภาพ! มันบอกว่าหาผลรวม สมาชิก 10 ท่านแรกจะเป็นเลขอะไรนั้น ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) คุณจะไม่เชื่อหมายเลขของเขาคือสิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะแทนลงในสูตร 10แต่แทนที่จะ น- สิบ อีกครั้ง หมายเลขของสมาชิกตัวสุดท้ายจะเหมือนกับจำนวนสมาชิก

มันยังคงถูกกำหนด 1และ 10. คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ n ซึ่งให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหา ไม่ทราบวิธีการทำ? ไปที่บทเรียนก่อนหน้าโดยไม่มีสิ่งนี้ - ไม่มีอะไร

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

เอส เอ็น = เอส 10.

เราพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต มันยังคงแทนที่พวกเขาและนับ:

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป คำตอบ: 75.

งานอื่นขึ้นอยู่กับ GIA ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย:

2. ให้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ซึ่งความแตกต่างคือ 3.7; 1 \u003d 2.3 หาผลบวกของ 15 พจน์แรก

เราเขียนสูตรผลรวมทันที:

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของสมาชิกใดๆ ตามจำนวนของมัน เรากำลังมองหาสิ่งทดแทนง่ายๆ:

ก 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

มันยังคงแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดในสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:

คำตอบ: 423

โดยวิธีการที่ถ้าในสูตรผลรวมแทน หนึ่งแค่แทนสูตรของเทอมที่ n เราก็จะได้:

เราให้สิ่งที่คล้ายกัน เราได้รับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

อย่างที่คุณเห็น เทอมที่ n ไม่จำเป็นที่นี่ หนึ่ง. ในบางงานสูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่ ... คุณจำสูตรนี้ได้ และคุณสามารถถอนออกได้ในเวลาที่เหมาะสม ดังที่นี่ ท้ายที่สุดต้องจำสูตรสำหรับผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ในทุกวิถีทาง)

ตอนนี้งานในรูปแบบของการเข้ารหัสสั้น ๆ ):

3. หาผลรวมของจำนวนบวกสองหลักที่ทวีคูณของสาม

ยังไง! ไม่มีสมาชิกคนแรก ไม่มีคนสุดท้าย ไม่มีการก้าวหน้าเลย... จะอยู่ยังไง!?

คุณจะต้องคิดด้วยหัวของคุณและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข ตัวเลขสองหลักคืออะไร - เรารู้ ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว) ตัวเลขสองหลักจะเป็นอย่างไร แรก? 10 น่าจะเป็น.) สิ่งสุดท้ายเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! เลขสามตัวจะตามเขามา...

ผลคูณของสาม... หืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัวแล้วนี่! สิบหารสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ลงตัว... 12... หารลงตัว! ดังนั้นจึงมีบางอย่างเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนชุดตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ซีรีส์นี้จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละคำแตกต่างจากคำก่อนหน้าสามอย่างเคร่งครัด ถ้าเพิ่ม 2 หรือ 4 เข้าไปในพจน์ ให้พูดว่าผลลัพธ์ เช่น ตัวเลขใหม่จะไม่ถูกหารด้วย 3 อีกต่อไป คุณสามารถกำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตไปยังฮีปได้ทันที: d = 3.มีประโยชน์!)

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:

จะเป็นเลขอะไร นสมาชิกคนสุดท้าย? ใครก็ตามที่คิดว่า 99 นั้นเข้าใจผิดอย่างร้ายแรง ... ตัวเลข - พวกเขามักจะติดต่อกันและสมาชิกของเราก็กระโดดข้ามสามอันดับแรก พวกเขาไม่ตรงกัน

มีสองวิธีแก้ปัญหาที่นี่ วิธีหนึ่งคือสำหรับผู้ที่ทำงานหนักมาก คุณสามารถวาดภาพความก้าวหน้า ตัวเลขทั้งชุด และนับจำนวนคำศัพท์ด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สอง สำหรับคนช่างคิด คุณต้องจำสูตรสำหรับเทอมที่ n หากนำสูตรมาใช้กับโจทย์ของเรา เราจะได้ 99 เป็นสมาชิกตัวที่ 30 ของความก้าวหน้า เหล่านั้น. n = 30.

เราดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

เราดูและดีใจ) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณจำนวนเงินออกจากเงื่อนไขของปัญหา:

1= 12.

30= 99.

เอส เอ็น = เอส 30.

สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น แทนตัวเลขในสูตรแล้วคำนวณ:

คำตอบ: 1665

ปริศนายอดนิยมประเภทอื่น:

4. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะได้รับ:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ค้นหาผลรวมของพจน์ตั้งแต่ 20 ถึง 34

เราดูสูตรผลรวมแล้ว ... เราอารมณ์เสีย) สูตรขอเตือนไว้คำนวณผลรวม จากครั้งแรกสมาชิก. และในปัญหาคุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน

แน่นอนคุณสามารถวาดความก้าวหน้าทั้งหมดติดต่อกันและใส่สมาชิกตั้งแต่ 20 ถึง 34 แต่ ... มันกลับกลายเป็นเรื่องโง่เขลาและเป็นเวลานานใช่ไหม)

มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านั้น มาแบ่งซีรีส์ของเราออกเป็นสองส่วน ภาคแรกจะ ตั้งแต่เทอมที่หนึ่งถึงเทอมที่สิบเก้าส่วนที่สอง - ยี่สิบถึงสามสิบสี่เป็นที่ชัดเจนว่าหากเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก ส 1-19มาบวกเข้ากับผลรวมของสมาชิกในส่วนที่สองกัน ส20-34เราได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากเทอมแรกถึงเทอมที่สามสิบสี่ ส1-34. แบบนี้:

ส 1-19 + ส20-34 = ส1-34

นี่แสดงให้เห็นว่าการหาผลรวม ส20-34สามารถทำได้โดยการลบอย่างง่าย

ส20-34 = ส1-34 - ส 1-19

พิจารณาผลรวมทั้งสองทางด้านขวา จากครั้งแรกสมาชิก เช่น สูตรผลรวมมาตรฐานค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา เรามาเริ่มต้นกันไหม?

เราแยกพารามิเตอร์ความคืบหน้าออกจากเงื่อนไขของงาน:

d = 1.5

1= -21,5.

ในการคำนวณผลรวมของพจน์ 19 แรกและ 34 พจน์แรก เราจำเป็นต้องมีพจน์ที่ 19 และ 34 เรานับตามสูตรของเทอมที่ n เช่นเดียวกับปัญหาที่ 2:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

ไม่มีอะไรเหลือ ลบผลรวมของ 19 เทอมออกจากผลรวม 34 เทอม:

ส 20-34 = ส 1-34 - ส 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

คำตอบ: 262.5

หมายเหตุสำคัญ! มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ ดูเหมือนว่าจะไม่จำเป็น - S 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ ส20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกจากผลลัพธ์ทั้งหมด "หลอกหู" เช่นนี้มักจะช่วยไขปริศนาชั่วร้าย)

ในบทนี้ เราได้ตรวจสอบปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)

คำแนะนำการปฏิบัติ:

เมื่อแก้ปัญหาใดๆ สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ฉันขอแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที

สูตรของเทอมที่ n:

สูตรเหล่านี้จะบอกคุณได้ทันทีว่าต้องมองหาอะไร คิดไปในทิศทางใดเพื่อแก้ปัญหา ช่วยให้

และตอนนี้งานสำหรับโซลูชันอิสระ

5. จงหาผลรวมของตัวเลขสองหลักที่หารด้วยสามไม่ลงตัว

เจ๋งไหม) คำใบ้ซ่อนอยู่ในหมายเหตุถึงปัญหา 4 ปัญหา 3 จะช่วยได้

6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a 1 =-5.5; n+1 = n +0.5 จงหาผลรวมของพจน์ 24 พจน์แรก

ผิดปกติ?) นี่เป็นสูตรที่เกิดซ้ำ คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนก่อนหน้า อย่าเพิกเฉยต่อลิงค์ปริศนาดังกล่าวมักพบใน GIA

7. Vasya ประหยัดเงินสำหรับวันหยุด มากถึง 4,550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจที่จะให้คนที่รักที่สุด (ตัวฉันเอง) สองสามวันแห่งความสุข) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ปฏิเสธสิ่งใด ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรก และใช้จ่าย 50 รูเบิลในแต่ละวันมากกว่าวันก่อนหน้า! จนกว่าเงินจะหมด Vasya มีความสุขกี่วัน?

ยากไหม) สูตรเพิ่มเติมจากงาน 2 จะช่วยได้

คำตอบ (ระส่ำระสาย): 7, 3240, 6.

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้วัสดุใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การขยายความคิดของนักเรียนให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับงานที่แก้ไขโดยใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต การจัดกิจกรรมการค้นหาของนักเรียนเมื่อได้รับสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
• การพัฒนาทักษะเพื่อรับความรู้ใหม่อย่างอิสระใช้ความรู้ที่ได้รับแล้วเพื่อให้บรรลุงาน
• การพัฒนาความปรารถนาและความจำเป็นในการสรุปข้อเท็จจริงที่ได้รับการพัฒนาความเป็นอิสระ

งาน:

• สรุปและจัดระบบความรู้ที่มีอยู่ในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์"
• รับสูตรสำหรับการคำนวณผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
• สอนการนำสูตรที่ได้มาแก้ปัญหาต่างๆ
• ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ขั้นตอนการหาค่าของนิพจน์ตัวเลข

อุปกรณ์:

• การ์ดที่มีงานสำหรับการทำงานเป็นกลุ่มและคู่
• กระดาษประเมิน
• การนำเสนอ"ความก้าวหน้าเลขคณิต".

I. การทำให้ความรู้พื้นฐานเป็นจริง

1. ทำงานอิสระเป็นคู่

ตัวเลือกที่ 1:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เขียนสูตรแบบเรียกซ้ำที่กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต ยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตและระบุความแตกต่าง

ตัวเลือกที่ 2:

จดสูตรสำหรับพจน์ที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ค้นหาพจน์ที่ 100 ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ( หนึ่ง}: 2, 5, 8 …
ในเวลานี้ นักเรียนสองคนที่ด้านหลังกระดานกำลังเตรียมคำตอบสำหรับคำถามเดียวกัน
นักเรียนประเมินผลงานของคู่โดยเปรียบเทียบกับกระดาน (แจกแผ่นพับพร้อมคำตอบ)

2. ช่วงเวลาของเกม

แบบฝึกหัด 1.

ครู.ฉันรู้สึกถึงความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถามฉันเพียงสองคำถาม เพื่อที่หลังจากได้คำตอบแล้ว คุณสามารถบอกชื่อสมาชิกลำดับที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ได้อย่างรวดเร็ว (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

คำถามจากนักเรียน.

1. ระยะที่หกของความก้าวหน้าคืออะไรและแตกต่างกันอย่างไร?
2. ระยะที่แปดของความก้าวหน้าคืออะไรและแตกต่างกันอย่างไร?

หากไม่มีคำถามเพิ่มเติมครูสามารถกระตุ้นพวกเขาได้ - "ห้าม" กับ d (ความแตกต่าง) นั่นคือไม่อนุญาตให้ถามว่าความแตกต่างคืออะไร คุณสามารถถามคำถาม: ระยะที่ 6 ของความก้าวหน้าคืออะไร และระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าคืออะไร

ภารกิจที่ 2

มีตัวเลข 20 ตัวเขียนไว้บนกระดาน: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ครูยืนหันหลังให้กระดานดำ นักเรียนพูดจำนวนและครูเรียกหมายเลขนั้นทันที อธิบายว่าฉันทำได้อย่างไร?

ครูจำสูตรของเทอมที่ n น \u003d 3n - 2และการแทนค่าที่กำหนดของ n ค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน หนึ่ง .

ครั้งที่สอง คำชี้แจงของงานการศึกษา

ฉันเสนอให้แก้ปัญหาเก่าย้อนหลังไปถึง 2 พันปีก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งพบในกระดาษปาปิรีของอียิปต์

งาน:“จะบอกคุณว่า: แบ่งข้าวบาร์เลย์ 10 ตวงระหว่างคน 10 คน ผลต่างระหว่างแต่ละคนกับเพื่อนบ้านคือ 1/8 ของตวง”

• ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับหัวข้อความก้าวหน้าทางเลขคณิตอย่างไร? (คนถัดไปแต่ละคนได้รับมากกว่า 1/8 ของการวัด ดังนั้นผลต่างคือ d=1/8, 10 คน ดังนั้น n=10)
• คุณคิดว่าเลข 10 หมายถึงอะไร? (ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้า)
• คุณต้องรู้อะไรอีกบ้างเพื่อให้การแบ่งข้าวบาร์เลย์ตามเงื่อนไขของปัญหาเป็นเรื่องง่ายและสะดวก (ระยะแรกของความก้าวหน้า)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน- รับการพึ่งพาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้ากับจำนวนของพวกเขา เทอมแรกและผลต่าง และตรวจสอบว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องในสมัยโบราณหรือไม่

ก่อนจะได้สูตรมา มาดูกันว่า ชาวอียิปต์โบราณแก้ปัญหาอย่างไร

และพวกเขาแก้ไขดังนี้:

1) 10 มาตรการ: 10 = 1 มาตรการ - ส่วนแบ่งเฉลี่ย;
2) 1 การวัด ∙ = 2 การวัด - สองเท่า เฉลี่ยแบ่งปัน.
สองเท่า เฉลี่ยส่วนแบ่งคือผลรวมของหุ้นของบุคคลที่ 5 และ 6
3) 2 มาตรการ - 1/8 มาตรการ = 1 7/8 มาตรการ - สองเท่าของส่วนแบ่งของบุคคลที่ห้า
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ส่วนแบ่งที่ห้า; และอื่น ๆ คุณสามารถค้นหาส่วนแบ่งของแต่ละคนก่อนหน้าและที่ตามมา

เราได้รับลำดับ:

สาม. การแก้ปัญหาของงาน

1. ทำงานเป็นกลุ่ม

กลุ่มที่ 1:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติ 20 ตัวที่เรียงกัน: ส 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210

โดยทั่วไป

กลุ่มที่สอง:ค้นหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 (Legend of Little Gauss)

ส 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

บทสรุป:

กลุ่มที่สาม:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 21

วิธีแก้ไข: 1+21=2+20=3+19=4+18…

บทสรุป:

กลุ่ม IV:หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 101

บทสรุป:

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณานี้เรียกว่า "วิธีเกาส์"

2. แต่ละกลุ่มนำเสนอวิธีแก้ปัญหาบนกระดาน

3. การอธิบายทั่วไปของวิธีแก้ปัญหาที่เสนอสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยพลการ:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n

เราพบผลรวมนี้โดยโต้แย้งในทำนองเดียวกัน:

4. เราได้แก้ไขงานแล้วหรือยัง?(ใช่.)

IV. ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้สูตรที่ได้รับในการแก้ปัญหา

1. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเก่าตามสูตร

2. การประยุกต์ใช้สูตรในการแก้ปัญหาต่างๆ

3. แบบฝึกหัดสำหรับการสร้างความสามารถในการใช้สูตรในการแก้ปัญหา

ก) หมายเลข 613

ที่ให้ไว้ :( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(และ n): 1, 2, 3, ..., 1,500

หา: เอส 1500

วิธีการแก้: , และ 1 = 1 และ 1,500 = 1,500

B) ให้: ( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
(และ n): 1, 2, 3, ...
ส n = 210

หา: น
วิธีการแก้:

V. งานอิสระที่มีการตรวจสอบร่วมกัน

เดนิสไปทำงานเป็นคนส่งของ ในเดือนแรกเงินเดือนของเขาคือ 200 รูเบิล ในแต่ละเดือนต่อมาจะเพิ่มขึ้น 30 รูเบิล เขามีรายได้เท่าไหร่ในหนึ่งปี?

ที่ให้ไว้ :( และน) -ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1 = 200, d=30, n=12
หา: เอส 12
วิธีการแก้:

คำตอบ: เดนิสได้รับ 4,380 รูเบิลสำหรับปีนี้

วี.ไอ. การสอนการบ้าน.

1. หน้า 4.3 - เรียนรู้ที่มาของสูตร
2. №№ 585, 623 .
3. เขียนปัญหาที่จะแก้ไขโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน

1. ใบบันทึกคะแนน

2. ต่อประโยค

• วันนี้ในชั้นเรียนฉันได้เรียนรู้...
• เรียนสูตร...
• ฉันคิดว่า …

3. คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 500 ได้หรือไม่? คุณจะใช้วิธีใดในการแก้ปัญหานี้?

บรรณานุกรม.

1. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา. เอ็ด จี.วี. โดโรฟีวา.มอสโก: การตรัสรู้ 2552

ลำดับตัวเลข VI

§ 144 ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

พวกเขาบอกว่าครั้งหนึ่งเคยเป็นครูโรงเรียนประถมที่ต้องการครอบครองชั้นเรียนเป็นเวลานานด้วยงานอิสระทำให้เด็ก ๆ ทำงานที่ "ยาก" - เพื่อคำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

นักเรียนคนหนึ่งเสนอวิธีแก้ปัญหาทันที นี่คือ.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 ครั้ง

คาร์ล เกาส์ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลก*

* กรณีที่คล้ายกันกับ Gauss เกิดขึ้นจริง อย่างไรก็ตามที่นี่ง่ายมาก ตัวเลขที่ครูแนะนำคือตัวเลขห้าหลักและเป็นการก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยมีผลต่างสามหลัก

แนวคิดของการแก้ปัญหาดังกล่าวสามารถใช้เพื่อหาผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตใดๆ

บทแทรกผลรวมของพจน์สองพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจำกัด ซึ่งห่างจากจุดสิ้นสุดเท่ากัน จะเท่ากับผลรวมของพจน์สุดโต่ง

ตัวอย่างเช่น ในความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด

1, 2, 3.....98, 99, 100

เทอม 2 และ 99, 3 และ 98, 4 และ 97 ฯลฯ อยู่ในระยะเท่ากันจากจุดสิ้นสุดของความก้าวหน้านี้ ดังนั้นผลรวม 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 จึงเท่ากับผลรวมของพจน์สุดโต่ง 1 + 100

หลักฐานของบทแทรก ให้ความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่แน่นอน

ก 1 , ก 2 , ..., ก น - 1 , ก น

สมาชิกสองคนใด ๆ อยู่ห่างจากจุดสิ้นสุดเท่า ๆ กัน สมมติว่าหนึ่งในนั้นคือ เค - เทอมที่จากซ้าย นั่นคือ ก เค , และอื่น ๆ - เค เทอมที่ 3 จากขวา เช่น ก น -k+ หนึ่ง . แล้ว

ก เค + ก น -k+ 1 =[ก 1 + (เค - 1)ง ] + [ก 1 + (n - เค )ง ] = 2ก 1 + (น - 1)ง .

ผลรวมของเงื่อนไขที่รุนแรงของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

ก 1 + ก น = ก 1 + [ก 1 + (น - 1)ง ] = 2ก 1 + (น - 1)ง .

ทางนี้,

ก เค + ก น -k+ 1 = ก 1 + ก น

คิวอีดี

การใช้บทแทรกที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์ เป็นเรื่องง่ายที่จะได้สูตรทั่วไปสำหรับผลรวม พี สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ

ส น = ก 1 +ก 2 + ...+ ก น - 1 + ก น

ส น = ก น + ก น - 1 + ... + ก 2 + ก 1 .

เมื่อบวกความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ทีละเทอม เราจะได้รับ:

2ส น = (ก 1 +ก น ) + (ก 2 +ก น - 1)+...+(ก น - 1 +ก 2) + (ก น +ก 1)

ก 1 +ก น = ก 2 +ก น - 1 = ก 3 +ก น - 2 =... .

2ส น = น (ก 1 +ก น ),

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจะเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของจำนวนสมาชิกมากสุดกับจำนวนสมาชิกทั้งหมด

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

การออกกำลังกาย

971 หาผลรวมของเลขสามหลักคี่ทั้งหมด

972. ในหนึ่งวันนาฬิกาจะเดินกี่จังหวะหากตีเฉพาะจำนวนชั่วโมงทั้งหมด?

973. ผลรวมของครั้งแรกคืออะไร พี จำนวนธรรมชาติ?

974 หาสูตรสำหรับความยาวของเส้นทางที่ร่างกายเดินทางระหว่างการเคลื่อนไหวด้วยความเร่งสม่ำเสมอ:

ที่ไหน โวลต์ 0 - ความเร็วเริ่มต้นใน เมตร/วินาที , ก - อัตราเร่งใน เมตร/วินาที 2 , ที - เวลาเที่ยว วินาที.

975. หาผลรวมของเศษส่วนที่ลดไม่ได้ทั้งหมดที่มีตัวส่วนเป็น 3 ระหว่างจำนวนเต็มบวก ที และ พี (ที< п ).

976 คนงานดูแลเครื่องทอผ้า 16 เครื่องที่ทำงานโดยอัตโนมัติ ประสิทธิภาพต่อเครื่อง ก เมตร/ชม. พนักงานเปิดเครื่องแรกตอน 7 โมง ชม.และทีละ 5 ถัดไป นาทีช้ากว่าครั้งก่อน ค้นหาเอาต์พุตเป็นเมตรสำหรับ 2 ตัวแรก ชม.งาน.

977. แก้สมการ:

ก) 1 + 7 + 13 + ... + เอ็กซ์ = 280;

ข) ( เอ็กซ์ + 1) + (เอ็กซ์ + 4) + (เอ็กซ์ + 7) +...+ (เอ็กซ์ + 28) = 155

978 ตั้งแต่วันที่ 1 กรกฎาคมถึง 12 กรกฎาคม อุณหภูมิอากาศสูงขึ้นทุกวันโดยเฉลี่ย 1/2 องศา เมื่อรู้ว่าอุณหภูมิเฉลี่ยในช่วงเวลานี้อยู่ที่ 18 3/4 องศาให้กำหนดว่าวันที่ 1 กรกฎาคมจะมีอุณหภูมิอากาศเท่าใด

979. ค้นหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต พี ข้อกำหนดแรกสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง พี เท่ากับจำนวนของพวกเขา

980 หาผลรวมของพจน์ยี่สิบแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ก 6 + ก 9 + ก 12 + ก 15 = 20.