มีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่? คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

เรามาสนทนากันต่อเกี่ยวกับการกระทำกับเมทริกซ์กันดีกว่า กล่าวคือ ในระหว่างการศึกษาการบรรยายนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เรียนรู้. แม้ว่าคณิตจะยากก็ตาม

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร? ที่นี่เราสามารถวาดความคล้ายคลึงกับตัวเลขผกผันได้ เช่น ลองพิจารณาตัวเลขในแง่ดี 5 และจำนวนผกผัน ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้มีค่าเท่ากับหนึ่ง: . ทุกอย่างคล้ายกับเมทริกซ์! ผลคูณของเมทริกซ์และเมทริกซ์ผกผันเท่ากับ – เมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งเป็นเมทริกซ์อะนาล็อกของหน่วยตัวเลข อย่างไรก็ตาม สิ่งแรกอย่างแรก เรามาแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติที่สำคัญกันก่อน กล่าวคือ เรียนรู้วิธีค้นหาเมทริกซ์ผกผันนี้

คุณจำเป็นต้องรู้และสามารถทำอะไรได้บ้างเพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน? คุณต้องสามารถตัดสินใจได้ รอบคัดเลือก- คุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร เมทริกซ์และสามารถดำเนินการบางอย่างกับพวกเขาได้

มีสองวิธีหลักในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน:
โดยใช้ การบวกพีชคณิตและ โดยใช้การแปลงเบื้องต้น.

วันนี้เราจะศึกษาวิธีแรกที่ง่ายกว่านี้

เริ่มจากสิ่งที่แย่ที่สุดและเข้าใจยากที่สุด ลองพิจารณาดู สี่เหลี่ยมเมทริกซ์ เมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน คือเมทริกซ์ทรานสโพสด์ของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

แนวคิดเรื่องเมทริกซ์ผกผันมีอยู่เฉพาะกับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น, เมทริกซ์ "สองคูณสอง", "สามคูณสาม" ฯลฯ

การกำหนด: ดังที่คุณอาจสังเกตเห็นแล้วว่าเมทริกซ์ผกผันจะแสดงด้วยตัวยก

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์ขนาดสองคูณสอง แน่นอนว่าบ่อยครั้งที่สุดต้องใช้ "สามต่อสาม" แต่อย่างไรก็ตามฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ศึกษางานที่ง่ายกว่านี้เพื่อทำความเข้าใจหลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง:

ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์

มาตัดสินใจกัน สะดวกในการแจกแจงลำดับการกระทำทีละจุด

1) ขั้นแรกเราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์.

หากคุณเข้าใจการกระทำนี้ไม่ดี โปรดอ่านเนื้อหา จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

สำคัญ!ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับ ศูนย์– เมทริกซ์ผกผัน ไม่มีอยู่จริง.

ในตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ปรากฏว่า ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ

2) ค้นหาเมทริกซ์ของผู้เยาว์.

เพื่อแก้ปัญหาของเรา ไม่จำเป็นต้องรู้ว่าผู้เยาว์คืออะไร แต่แนะนำให้อ่านบทความนี้ วิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์.

เมทริกซ์ของผู้เยาว์จะมีมิติเดียวกันกับเมทริกซ์ กล่าวคือ ในกรณีนี้
สิ่งเดียวที่ต้องทำคือหาตัวเลขสี่ตัวแล้วใส่แทนเครื่องหมายดอกจัน

ลองกลับไปที่เมทริกซ์ของเราอีกครั้ง
มาดูองค์ประกอบด้านซ้ายบนกันก่อน:

จะหาได้อย่างไร ส่วนน้อย?
และสิ่งนี้ทำได้ดังนี้: ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้อยู่:

จำนวนที่เหลือคือ ส่วนน้อยขององค์ประกอบนี้ซึ่งเราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์:

พิจารณาองค์ประกอบเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้ปรากฏขึ้นในใจ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือองค์ประกอบรองขององค์ประกอบนี้ ซึ่งเราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของเรา:

ในทำนองเดียวกัน เราพิจารณาองค์ประกอบของแถวที่สองและค้นหาผู้เยาว์:


พร้อม.

มันง่ายมาก ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์ที่คุณต้องการ เปลี่ยนสัญญาณตัวเลขสองตัว:

นี่คือตัวเลขที่ฉันวงกลมไว้!

– เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

และเพียงแค่...

4) ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของการบวกพีชคณิต.

– เมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

5) คำตอบ.

จำสูตรของเราไว้
พบทุกสิ่งแล้ว!

ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันคือ:

ปล่อยให้คำตอบเหมือนเดิมดีกว่า ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วย 2 เนื่องจากผลลัพธ์จะเป็นเลขเศษส่วน ความแตกต่างนี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความเดียวกัน การดำเนินการกับเมทริกซ์.

จะตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร?

คุณต้องทำการคูณเมทริกซ์หรือ

การตรวจสอบ:

ได้รับการกล่าวถึงแล้ว เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมทริกซ์ที่มีหน่วยเป็น เส้นทแยงมุมหลักและเลขศูนย์ในที่อื่นๆ

ดังนั้นจึงพบเมทริกซ์ผกผันได้อย่างถูกต้อง

หากคุณดำเนินการ ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วย นี่เป็นหนึ่งในไม่กี่กรณีที่การคูณเมทริกซ์เป็นแบบสับเปลี่ยน ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในบทความ คุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์ นิพจน์เมทริกซ์- โปรดทราบว่าในระหว่างการตรวจสอบ ค่าคงที่ (เศษส่วน) จะถูกยกไปข้างหน้าและประมวลผลที่ส่วนท้ายสุด - หลังจากการคูณเมทริกซ์ นี่เป็นเทคนิคมาตรฐาน

เรามาดูกรณีทั่วไปในทางปฏิบัติกันดีกว่า - เมทริกซ์สามคูณสาม:

ตัวอย่าง:

ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์

อัลกอริธึมจะเหมือนกับกรณี "สองต่อสอง" ทุกประการ

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร: โดยที่ คือเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

1) ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์.

ที่นี่ปัจจัยกำหนดจะถูกเปิดเผย ในบรรทัดแรก.

อย่าลืมสิ่งนั้นด้วย ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างเรียบร้อยดี - มีเมทริกซ์ผกผันอยู่.

2) ค้นหาเมทริกซ์ของผู้เยาว์.

เมทริกซ์ของผู้เยาว์มีมิติ "สามคูณสาม" และเราต้องหาตัวเลขเก้าตัว

ฉันจะดูรายละเอียดของผู้เยาว์สองสามราย:

พิจารณาองค์ประกอบเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้อยู่:

เราเขียนตัวเลขสี่ตัวที่เหลือลงในดีเทอร์มิแนนต์ "สองต่อสอง"

ดีเทอร์มิแนนต์แบบ 2 คูณ 2 นี้ และ เป็นธาตุรองของธาตุนี้- จำเป็นต้องคำนวณ:


เพียงเท่านี้ พบผู้เยาว์แล้ว เราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์:

ดังที่คุณคงเดาได้ คุณต้องคำนวณปัจจัยกำหนดแบบสองต่อสองเก้าตัว แน่นอนว่ากระบวนการนี้น่าเบื่อ แต่กรณีไม่รุนแรงที่สุดอาจแย่กว่านั้นก็ได้

เพื่อรวมเข้าด้วยกัน – ค้นหาผู้เยาว์อีกคนในรูปภาพ:

ลองคำนวณผู้เยาว์ที่เหลือด้วยตัวเอง

ผลลัพธ์สุดท้าย:
– เมทริกซ์ของผู้เยาว์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

การที่ผู้เยาว์ทั้งหมดกลายเป็นแง่ลบนั้นเป็นเพียงอุบัติเหตุเท่านั้น

3) ค้นหาเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต.

ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์มีความจำเป็น เปลี่ยนสัญญาณอย่างเคร่งครัดสำหรับองค์ประกอบดังต่อไปนี้:

ในกรณีนี้:

เราไม่พิจารณาการค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ "สี่คูณสี่" เนื่องจากงานดังกล่าวสามารถทำได้โดยครูที่มีนิสัยทารุณเมื่อเกิดตัณหา (เพื่อให้นักเรียนคำนวณปัจจัยกำหนด "สี่คูณสี่" หนึ่งตัวและปัจจัยกำหนด "สามคูณสาม" 16 ตัว ). ในทางปฏิบัติของฉันมีกรณีดังกล่าวเพียงกรณีเดียวและลูกค้าของการทดสอบจ่ายเงินค่อนข้างแพงสำหรับการทรมานของฉัน =)

ในหนังสือเรียนและคู่มือหลายเล่ม คุณสามารถพบแนวทางที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน แต่ฉันแนะนำให้ใช้อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ข้างต้น ทำไม เพราะโอกาสที่จะสับสนในการคำนวณและเครื่องหมายมีน้อยกว่ามาก

การหาเมทริกซ์ผกผัน

ในบทความนี้ เราจะเข้าใจแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน คุณสมบัติ และวิธีการค้นหา ให้เราดูรายละเอียดเกี่ยวกับการแก้ตัวอย่างซึ่งจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนด

การนำทางหน้า

เมทริกซ์ผกผัน - คำจำกัดความ

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการเติมเต็มพีชคณิต

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน

ค้นหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันโดยการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

เมทริกซ์ผกผัน - คำจำกัดความ

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผันถูกนำมาใช้เฉพาะกับเมทริกซ์จตุรัสที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น นั่นคือสำหรับเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์

คำนิยาม.

เมทริกซ์เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์หากความเท่าเทียมกันเป็นจริง , ที่ไหน อี– เมทริกซ์ลำดับหน่วย nบน n.

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการเติมเต็มพีชคณิต

จะหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่กำหนดได้อย่างไร?

อันดับแรก เราต้องการแนวคิด เมทริกซ์ที่ถูกย้ายส่วนเสริมเมทริกซ์รองและพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์

คำนิยาม.

ส่วนน้อยkth คำสั่งเมทริกซ์ กคำสั่ง มบน nคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ เคบน เคซึ่งได้มาจากองค์ประกอบเมทริกซ์ กอยู่ในรายการที่เลือก เคเส้นและ เคคอลัมน์ - เคไม่เกินจำนวนที่น้อยที่สุด มหรือ n).

ส่วนน้อย (n-1)ทลำดับซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของทุกแถวยกเว้น ฉันและทุกคอลัมน์ยกเว้น จ, เมทริกซ์จตุรัส กคำสั่ง nบน nลองแสดงว่ามันเป็น .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รายย่อยได้มาจากเมทริกซ์จตุรัส กคำสั่ง nบน nโดยการขีดฆ่าองค์ประกอบต่างๆ ฉันเส้นและ จคอลัมน์.

ตัวอย่างเช่น มาเขียนกัน ไมเนอร์ 2ลำดับซึ่งได้จากเมทริกซ์ การเลือกองค์ประกอบของแถวที่สอง สาม และคอลัมน์แรก และคอลัมน์ที่สาม - นอกจากนี้เรายังจะแสดงไมเนอร์ซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ด้วย โดยขีดฆ่าบรรทัดที่สองและคอลัมน์ที่สาม - ให้เราอธิบายโครงสร้างของผู้เยาว์เหล่านี้: และ

คำนิยาม.

ส่วนเสริมพีชคณิตองค์ประกอบของเมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าไมเนอร์ (n-1)ทลำดับซึ่งได้จากเมทริกซ์ ก, ขีดฆ่าองค์ประกอบของมันออกไป ฉันเส้นและ จคอลัมน์คูณด้วย .

ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบจะแสดงเป็น ดังนั้น, .

ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบคือ

ประการที่สอง เราจำเป็นต้องมีคุณสมบัติสองประการของดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งเราจะกล่าวถึงในบทนี้ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์:

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเหล่านี้ของดีเทอร์มิแนนต์ คำจำกัดความ การดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขและแนวคิดของเมทริกซ์ผกผันเป็นจริง: โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายที่มีองค์ประกอบเป็นส่วนเสริมพีชคณิต

เมทริกซ์ ย่อมเป็นค่าผกผันของเมทริกซ์จริงๆ กเนื่องจากมีความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ - มาแสดงกันเถอะ

มาเขียนกันเถอะ อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ความเท่าเทียมกัน .

ลองดูอัลกอริทึมในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

กำหนดให้มีเมทริกซ์ - ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กัน กโดยแยกย่อยออกเป็นองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สาม:

ดีเทอร์มีแนนต์ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์ กย้อนกลับได้

ลองหาเมทริกซ์จากการบวกพีชคณิต:

นั่นเป็นเหตุผล

ลองย้ายเมทริกซ์จากการบวกพีชคณิต:

ตอนนี้เราพบเมทริกซ์ผกผันเป็น :

มาตรวจสอบผลลัพธ์กัน:

ความเท่าเทียมกัน พอใจจึงหาเมทริกซ์ผกผันได้ถูกต้อง

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน ความเท่าเทียมกัน คำจำกัดความของการดำเนินการกับเมทริกซ์และคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทำให้สามารถพิสูจน์เหตุผลต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน:

ค้นหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันโดยการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จตุรัส กคำสั่ง nบน n.

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับวิธีแก้ปัญหา nระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ ตัวแปรที่ไม่รู้จักในระบบสมการเหล่านี้คือองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผัน

ความคิดนั้นง่ายมาก ให้เราแสดงว่าเมทริกซ์ผกผันเป็น เอ็กซ์นั่นคือ - เนื่องจากโดยนิยามของเมทริกซ์ผกผันแล้ว

เราได้รับการจัดองค์ประกอบที่สอดคล้องกันตามคอลัมน์ nระบบสมการเชิงเส้น

เราแก้มันด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและสร้างเมทริกซ์ผกผันจากค่าที่พบ

ลองดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

กำหนดให้มีเมทริกซ์ - ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.

ยอมรับเถอะ - ความเท่าเทียมกันทำให้เรามีระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์สามระบบ:

เราจะไม่อธิบายวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบเหล่านี้ หากจำเป็น โปรดดูในส่วนนี้ การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น.

จากระบบสมการแรกที่เรามี จากที่สอง - จากที่สาม - . ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการจึงมีรูปแบบ - เราขอแนะนำให้ตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ถูกต้อง

มาสรุปกัน

เราพิจารณาแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน คุณสมบัติของเมทริกซ์ และวิธีการค้นหา 3 วิธี

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน

ภารกิจที่ 1แก้ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

จุดเริ่มต้นของแบบฟอร์ม

จบฟอร์ม

สารละลาย- ลองเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ: เวกเตอร์ B: B T = (1,2,3,4) ปัจจัยหลักรองสำหรับ (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 รองสำหรับ (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 รอง สำหรับ (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 รองสำหรับ (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 ปัจจัยกำหนดรอง ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

เมทริกซ์ที่ถูกย้ายการบวกพีชคณิต ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 เมทริกซ์ผกผัน ผลลัพธ์เวกเตอร์ X X = A -1 ∙ B XT = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

ดูด้วย คำตอบของ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผันออนไลน์ ในการดำเนินการนี้ ให้ป้อนข้อมูลของคุณและรับวิธีแก้ไขพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด

ภารกิจที่ 2- เขียนระบบสมการในรูปแบบเมทริกซ์แล้วแก้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น สารละลาย:xml:xls

ตัวอย่างที่ 2- เขียนระบบสมการในรูปแบบเมทริกซ์แล้วแก้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน สารละลาย:xml:xls

ตัวอย่าง- ให้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการพร้อมค่าไม่ทราบค่าสามค่ามา จำเป็น: 1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ สูตรแครมเมอร์- 2) เขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์แล้วแก้โดยใช้แคลคูลัสเมทริกซ์ คำแนะนำที่เป็นระบบ- หลังจากแก้ไขด้วยวิธีของแครเมอร์แล้ว ให้ค้นหาปุ่ม "การแก้ปัญหาโดยวิธีเมทริกซ์ผกผันสำหรับแหล่งข้อมูล" คุณจะได้รับวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสม ทำให้คุณไม่ต้องกรอกข้อมูลซ้ำอีก สารละลาย- ให้เราแสดงด้วย A เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งไม่รู้ X - เมทริกซ์คอลัมน์ของไม่ทราบ; B - คอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกฟรี:

เวกเตอร์ B: BT =(4,-3,-3) เมื่อคำนึงถึงสัญลักษณ์เหล่านี้ ระบบสมการนี้จะใช้รูปแบบเมทริกซ์ต่อไปนี้: A*X = B ถ้าเมทริกซ์ A ไม่ใช่เอกพจน์ (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เป็นศูนย์ จากนั้นจะมีเมทริกซ์ผกผัน A -1 เมื่อคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย A -1 เราจะได้: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E สัญกรณ์เมทริกซ์ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้น- ในการหาคำตอบของระบบสมการ จำเป็นต้องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน A -1 ระบบจะมีคำตอบถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่ใช่ศูนย์ ลองหาปัจจัยหลักกัน ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ 14 ≠ 0 เราก็เลย แก้ไขปัญหาต่อไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะค้นหาเมทริกซ์ผกผันผ่านการบวกพีชคณิต ขอให้เรามีเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ A:

เราคำนวณการเสริมพีชคณิต

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

XT =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 การตรวจสอบ. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 หมอ:xml:xls คำตอบ: -1,1,2.

เพื่อที่จะหาเมทริกซ์ผกผันทางออนไลน์ คุณจะต้องระบุขนาดของเมทริกซ์เอง โดยคลิกที่ไอคอน "+" หรือ "-" จนกว่าคุณจะพอใจกับจำนวนคอลัมน์และแถว จากนั้น ป้อนองค์ประกอบที่จำเป็นลงในฟิลด์ ด้านล่างคือปุ่ม "คำนวณ" - เมื่อคลิกแล้ว คุณจะได้รับคำตอบบนหน้าจอพร้อมวิธีแก้ไขโดยละเอียด

ในพีชคณิตเชิงเส้น บ่อยครั้งเราต้องจัดการกับกระบวนการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน มันมีอยู่เฉพาะสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ได้แสดงออกและสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสโดยมีเงื่อนไขว่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่ศูนย์ โดยหลักการแล้ว การคำนวณนั้นไม่ยาก โดยเฉพาะหากคุณกำลังเผชิญกับเมทริกซ์ขนาดเล็ก แต่ถ้าคุณต้องการการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นหรือตรวจสอบการตัดสินใจของคุณอย่างละเอียดถี่ถ้วน ควรใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะดีกว่า ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถแก้เมทริกซ์ผกผันได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ

การใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้นมาก นอกจากนี้ยังช่วยในการรวมเนื้อหาที่ได้รับในทางทฤษฎีซึ่งเป็นเครื่องจำลองสำหรับสมอง ไม่ควรถือเป็นการทดแทนการคำนวณด้วยตนเอง เพราะสามารถให้ประโยชน์ได้มากกว่า ทำให้เข้าใจอัลกอริทึมได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้ การตรวจสอบตัวเองซ้ำอีกครั้งก็ไม่เสียหายอะไร

เมทริกซ์ $A^(-1)$ เรียกว่าค่าผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส $A$ ถ้าเงื่อนไข $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ เป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ $E $ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งมีลำดับเท่ากับลำดับของเมทริกซ์ $A$

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์คือเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์เอกพจน์คือเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์

เมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ มีอยู่ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ $A$ ไม่ใช่เอกพจน์ หากมีเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ แสดงว่าเมทริกซ์นั้นไม่ซ้ำกัน

มีหลายวิธีในการค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และเราจะดูสองวิธี หน้านี้จะพูดถึงวิธีเมทริกซ์แบบแอดจอยต์ ซึ่งถือเป็นมาตรฐานในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูงส่วนใหญ่ วิธีที่สองในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน (วิธีการแปลงเบื้องต้น) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีเกาส์หรือวิธีเกาส์-จอร์แดน จะถูกกล่าวถึงในส่วนที่สอง

วิธีเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน

ให้เมทริกซ์ $A_(n\times n)$ ถูกกำหนดไว้ ในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ จำเป็นต้องมีสามขั้นตอน:

1. ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ และตรวจสอบให้แน่ใจว่า $\Delta A\neq 0$ นั่นคือ เมทริกซ์ A นั้นไม่ใช่เอกพจน์
2. เขียนการเสริมพีชคณิต $A_(ij)$ ของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ และเขียนเมทริกซ์ $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ จากพีชคณิตที่พบ เติมเต็ม
3. เขียนเมทริกซ์ผกผันโดยคำนึงถึงสูตร $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$

เมทริกซ์ $(A^(*))^T$ มักเรียกว่า adjoint (ส่วนกลับ, พันธมิตร) กับเมทริกซ์ $A$

หากแก้ปัญหาด้วยตนเอง วิธีแรกก็ใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์ที่มีคำสั่งซื้อค่อนข้างน้อยเท่านั้น: วินาที (), สาม (), ที่สี่ () หากต้องการค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ลำดับที่สูงกว่า จะใช้วิธีการอื่น ตัวอย่างเช่น วิธีเกาส์เซียน ซึ่งจะกล่าวถึงในส่วนที่สอง

ตัวอย่างหมายเลข 1

ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)$

เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่สี่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $\Delta A=0$ (นั่นคือ เมทริกซ์ $A$ เป็นเอกพจน์) เนื่องจาก $\Delta A=0$ จึงไม่มีเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ $A$

ตัวอย่างหมายเลข 2

หาค่าผกผันของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$

เราใช้วิธีเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน ก่อนอื่น เรามาค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนด $A$:

$$ \เดลต้า A=\ซ้าย| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. -

เนื่องจาก $\Delta A \neq 0$ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่ ดังนั้น เราจะหาคำตอบต่อไป การหาการเสริมพีชคณิต

\begin(ชิด) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; - A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; - A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(ชิด)

เราเขียนเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$

เราย้ายเมทริกซ์ผลลัพธ์: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the เมทริกซ์ผลลัพธ์มักเรียกว่าเมทริกซ์ adjoint หรือ allied ของเมทริกซ์ $A$) เมื่อใช้สูตร $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ เรามี:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

ดังนั้น พบเมทริกซ์ผกผัน: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ขวา) $ หากต้องการตรวจสอบความจริงของผลลัพธ์ ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบความจริงของค่าที่เท่ากันค่าใดค่าหนึ่ง: $A^(-1)\cdot A=E$ หรือ $A\cdot A^(-1)=E$ ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน $A^(-1)\cdot A=E$ เพื่อที่จะทำงานกับเศษส่วนน้อยลง เราจะแทนที่เมทริกซ์ $A^(-1)$ ที่ไม่อยู่ในรูปแบบ $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ และในรูปแบบ $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(อาร์เรย์ )\right)$:

คำตอบ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

ตัวอย่างหมายเลข 3

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

เริ่มต้นด้วยการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ คือ:

$$ \เดลต้า A=\ซ้าย| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. -

เนื่องจาก $\Delta A\neq 0$ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่ ดังนั้น เราจะหาคำตอบต่อไป เราพบการเสริมพีชคณิตของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่กำหนด:

เราเขียนเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตและย้ายมัน:

$$ A^*=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(อาร์เรย์) \right); - (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

เมื่อใช้สูตร $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ เราจะได้:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(อาร์เรย์) \right) $$

ดังนั้น $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(อาร์เรย์) \right)$ หากต้องการตรวจสอบความจริงของผลลัพธ์ ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบความจริงของค่าที่เท่ากันค่าใดค่าหนึ่ง: $A^(-1)\cdot A=E$ หรือ $A\cdot A^(-1)=E$ ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน $A\cdot A^(-1)=E$ เพื่อที่จะทำงานกับเศษส่วนน้อยลง เราจะแทนที่เมทริกซ์ $A^(-1)$ ที่ไม่อยู่ในรูปแบบ $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ และในรูปแบบ $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

การตรวจสอบสำเร็จ พบเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ ถูกต้อง

คำตอบ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(อาร์เรย์) \right)$

ตัวอย่างหมายเลข 4

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(อาร์เรย์) \right)$

สำหรับเมทริกซ์ลำดับที่สี่ การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้การบวกพีชคณิตนั้นค่อนข้างยาก อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างดังกล่าวเกิดขึ้นในเอกสารทดสอบ

ในการหาค่าผกผันของเมทริกซ์ คุณต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ ก่อน วิธีที่ดีที่สุดในการทำเช่นนี้ในสถานการณ์นี้คือการขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามแถว (คอลัมน์) เราเลือกแถวหรือคอลัมน์ใดๆ และค้นหาการเสริมพีชคณิตของแต่ละองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ที่เลือก

คล้ายกับการผกผันในคุณสมบัติหลายอย่าง

YouTube สารานุกรม

1 / 5

➤ วิธีค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ - bezbotvy

, เมทริกซ์ผกผัน (ค้นหาได้ 2 วิธี)

, เมทริกซ์ผกผัน # 1

út 28-01-2558. เมทริกซ์ผกผัน 3x3

út 27-01-2558. เมทริกซ์ผกผัน 2x2

คำบรรยาย

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), ที่ไหน เดช (\displaystyle \\det )หมายถึงปัจจัยกำหนด
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))สำหรับเมทริกซ์แปลงกลับได้สองตาราง เอ (\displaystyle A)และ B (\รูปแบบการแสดงผล B).
• (AT) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), ที่ไหน (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))หมายถึงเมทริกซ์ที่ถูกย้าย
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))สำหรับสัมประสิทธิ์ใดๆ k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• หากจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (b คือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์) โดยที่ x (\รูปแบบการแสดงผล x)เป็นเวกเตอร์ที่ต้องการ และถ้า A − 1 (\displaystyle A^(-1))มีอยู่แล้ว x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b)- มิฉะนั้น มิติของพื้นที่การแก้ปัญหาจะมากกว่าศูนย์ หรือไม่มีคำตอบเลย

วิธีการหาเมทริกซ์ผกผัน

หากเมทริกซ์กลับด้านได้ หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

วิธีการที่แน่นอน (โดยตรง)

วิธีเกาส์-จอร์แดน

ลองหาเมทริกซ์สองตัวกัน: กและโสด อี- มานำเสนอเมทริกซ์กัน กกับเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้วิธี Gauss-Jordan โดยใช้การแปลงตามแถว (คุณสามารถใช้การแปลงตามคอลัมน์ได้ แต่ไม่ได้ผสมกัน) หลังจากใช้แต่ละการดำเนินการกับเมทริกซ์แรกแล้ว ให้นำการดำเนินการเดียวกันกับเมทริกซ์ตัวที่สอง เมื่อการลดขนาดเมทริกซ์แรกเป็นหน่วยเสร็จสมบูรณ์ เมทริกซ์ตัวที่สองจะเท่ากับ เอ−1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เมทริกซ์แรกจะถูกคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์เบื้องต้นตัวใดตัวหนึ่ง Λ ฉัน (\displaystyle \แลมบ์ดา _(i))(เมทริกซ์การพาผ่านหรือเส้นทแยงมุมที่มีเมทริกซ์อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก ยกเว้นตำแหน่งเดียว):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \ลูกศรขวา \แลมบ์ดา =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a mm m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(มม.)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

เมทริกซ์ที่สองหลังจากใช้การดำเนินการทั้งหมดจะเท่ากับ Λ (\displaystyle \แลมบ์ดา)นั่นคือมันจะเป็นอันที่ต้องการ ความซับซ้อนของอัลกอริทึม - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

การใช้เมทริกซ์เสริมพีชคณิต

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ เอ (\displaystyle A), สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

ที่ไหน adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน;

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของอัลกอริทึมในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ O det และเท่ากับ O(n²)·O det

การใช้การสลายตัวของ LU/LUP

สมการเมทริกซ์ A X = ฉัน n (\displaystyle AX=I_(n))สำหรับเมทริกซ์ผกผัน X (\รูปแบบการแสดงผล X)ถือได้ว่าเป็นของสะสม n (\displaystyle n)ระบบของแบบฟอร์ม A x = b (\displaystyle Ax=b)- มาแสดงกันเถอะ ฉัน (\displaystyle i)คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ X (\รูปแบบการแสดงผล X)ผ่าน X ฉัน (\displaystyle X_(i))- แล้ว A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),เพราะ ฉัน (\displaystyle i)คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ ฉัน n (\displaystyle I_(n))คือเวกเตอร์หน่วย อี ฉัน (\displaystyle e_(i))- กล่าวอีกนัยหนึ่ง การค้นหาเมทริกซ์ผกผันต้องอาศัยการแก้สมการ n ด้วยเมทริกซ์เดียวกันและด้านขวามือต่างกัน หลังจากดำเนินการสลายตัว LUP (เวลา O(n³)) การแก้สมการ n แต่ละสมการจะใช้เวลา O(n²) ดังนั้นงานส่วนนี้จึงต้องใช้เวลา O(n³) ด้วย

ถ้าเมทริกซ์ A ไม่ใช่เอกพจน์ จึงสามารถคำนวณการสลายตัวของ LUP ได้ P A = L U (\displaystyle PA=LU)- อนุญาต P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D)- จากคุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผันเราสามารถเขียนได้: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1))- หากคุณคูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย U และ L คุณจะได้รูปแบบที่เท่ากันสองแบบ UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))และ DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1))- ความเท่าเทียมกันประการแรกคือระบบสมการเชิงเส้นn²สำหรับ n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ซึ่งทราบทางด้านขวามือ (จากคุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยม) ส่วนที่สองยังแสดงถึงระบบสมการเชิงเส้นn²ด้วย n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))ซึ่งทราบทางด้านขวามือ (จากคุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้วย) เมื่อรวมกันแล้วจะเป็นตัวแทนของระบบความเท่าเทียมกันn² เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราสามารถกำหนดองค์ประกอบ n² ทั้งหมดของเมทริกซ์ D แบบวนซ้ำได้ จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D เราได้ความเท่าเทียมกัน A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

ในกรณีของการใช้การสลายตัวของ LU ไม่จำเป็นต้องมีการเรียงสับเปลี่ยนคอลัมน์ของเมทริกซ์ D แต่ผลเฉลยอาจแตกต่างออกไปแม้ว่าเมทริกซ์ A จะไม่ใช่เอกพจน์ก็ตาม

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมคือ O(n³)

วิธีการวนซ้ำ

วิธีการของชูลทซ์

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(กรณี)))

การประมาณข้อผิดพลาด

การเลือกการประมาณค่าเบื้องต้น

ปัญหาในการเลือกการประมาณเริ่มต้นในกระบวนการผกผันเมทริกซ์แบบวนซ้ำที่พิจารณาในที่นี้ไม่อนุญาตให้เราปฏิบัติต่อพวกมันเหมือนวิธีการสากลอิสระที่แข่งขันกับวิธีการผกผันโดยตรงตาม ตัวอย่างเช่น ในการสลายตัวของเมทริกซ์ LU มีคำแนะนำในการเลือก U 0 (\displaystyle U_(0))รับรองการปฏิบัติตามเงื่อนไข ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (รัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์น้อยกว่าเอกภาพ) ซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ประการแรก จำเป็นต้องทราบจากข้างบนค่าประมาณสำหรับสเปกตรัมของเมทริกซ์ที่แปลงกลับได้ A หรือเมทริกซ์ A A T (\displaystyle AA^(T))(กล่าวคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกแบบสมมาตร และ ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )จากนั้นคุณก็สามารถรับได้ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), ที่ไหน ; ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ตามอำเภอใจ และ ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )แล้วพวกเขาก็เชื่อ U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))ที่ไหนด้วย α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right))- แน่นอนคุณสามารถทำให้สถานการณ์ง่ายขึ้นและใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงนั้นได้ ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), ใส่ U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))- ประการที่สอง เมื่อระบุเมทริกซ์เริ่มต้นในลักษณะนี้ ก็ไม่รับประกันว่าจะเป็นเช่นนั้น ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)จะเล็ก (บางทีมันอาจจะกลายเป็นด้วยซ้ำ ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) และอัตราการบรรจบกันระดับสูงจะไม่ถูกเปิดเผยทันที

ตัวอย่าง

เมทริกซ์ 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ]

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bเมทริกซ์)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) การผกผันของเมทริกซ์ 2x2 สามารถทำได้ภายใต้เงื่อนไขนั้นเท่านั้น.