คุณสมบัติของระบบตัวแปรสุ่มอิสระ ระบบตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

บ่อยครั้ง เมื่อศึกษาปรากฏการณ์สุ่ม เราไม่จำเป็นต้องจัดการกับตัวแปรสุ่มตัวเดียว แต่ต้องจัดการกับสอง สาม หรือมากกว่านั้น การเรียนรู้ร่วมกัน จำนวนจำกัดตัวแปรสุ่มนำไปสู่ระบบตัวแปรสุ่ม นี่คือตัวอย่างบางส่วนของระบบตัวแปรสุ่ม:

• 1. จุดลงจอด ยานอวกาศกระสวยอวกาศที่นำกลับมาใช้ซ้ำได้นั้นมีลักษณะพิเศษของระบบประกอบด้วยตัวแปรสุ่ม 3 ตัว ได้แก่ ละติจูด (cf) ลองจิจูด (A,) และระดับความสูง (H)
• 2. ผลการเรียนของนักเรียนที่ได้รับการสุ่มเลือกนั้นมีลักษณะของระบบตัวแปรสุ่ม - เครื่องหมายจะอยู่ในภาคผนวกของประกาศนียบัตร

ชุดลำดับของตัวแปรสุ่ม >,

กำหนดบนปริภูมิของเหตุการณ์เบื้องต้น เรียกว่าระบบที่มีตัวแปรสุ่ม n ตัว สะดวกในการพิจารณาว่าเป็นพิกัดของเวกเตอร์สุ่มใน ปริภูมิ n มิติ. ระบบที่มีตัวแปรสุ่ม n ตัวเป็นฟังก์ชันของเหตุการณ์เบื้องต้น กล่าวคือ

ให้กับแต่ละคน เหตุการณ์เบื้องต้นถูกเปรียบเทียบกับ ตัวเลขจริง- ค่าที่ยอมรับโดยตัวแปรสุ่ม (X, X 2, ..., XJ อันเป็นผลมาจากการทดลอง

ตัวแปรสุ่ม (X 1? X 2, ..., X) ที่รวมอยู่ในระบบสามารถเป็นแบบแยกและไม่ต่อเนื่อง (ต่อเนื่องและผสม) คำจำกัดความพื้นฐานทั้งหมดของแนวคิดของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวสามารถนำไปใช้ได้จริงโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ลองพิจารณาระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว (X;Y) แนวคิดพื้นฐานของมันสามารถสรุปได้ง่ายสำหรับกรณีนี้ มากกว่าส่วนประกอบ ระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X;Y) สามารถแสดงด้วยจุดสุ่มบนระนาบ OXY (รูปที่ 2.18) หรือเวกเตอร์สุ่ม (รูปที่ 2.19)

คุณลักษณะที่สมบูรณ์ของระบบตัวแปรสุ่มคือกฎการกระจายซึ่งมี รูปทรงต่างๆ:

• เมทริกซ์การกระจาย
• ฟังก์ชั่นการกระจาย
• ความหนาแน่นของการกระจาย

อะนาล็อกของอนุกรมการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบแยก X สำหรับระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว (X,Y) คือเมทริกซ์การกระจาย - ตารางสี่เหลี่ยมที่

ความน่าจะเป็นถูกจัดเรียงไว้

เหตุการณ์เป็นผลคูณของเหตุการณ์ (X = x ง)

และ (ย = ย)

เมทริกซ์การกระจายของตัวแปรสุ่มสองตัวแยกกันมีรูปแบบ:

สังเกตว่า

ในรูป รูปที่ 2.20 แสดงกราฟของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองมิติ (X, Y)

เมื่อทราบเมทริกซ์การกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองมิติ (X,Y) จึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดอนุกรมการกระจายของแต่ละองค์ประกอบ (ค่าผกผันใน กรณีทั่วไปเป็นไปไม่ได้).

สูตรที่ต้องการมีลักษณะดังนี้:

สูตรสากลที่สุดของกฎการแจกแจงสำหรับระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัวคือฟังก์ชันการแจกแจง ซึ่งเราแสดงไว้ ฉ(x, ย)

ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มสองตัว (X,Y) คือความน่าจะเป็นของการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันร่วมกัน: X x และ Y y เช่น

ทางเรขาคณิต ฉ(x, ย)ตีความว่าความน่าจะเป็นที่จุดสุ่ม (X, Y) จะตกลงไปเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสอนันต์โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด ( x, ย)ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายและด้านล่าง (รูปที่ 2.21)

โปรดทราบว่าจะไม่รวมเส้นขอบด้านบนและด้านขวาของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

หากกำหนดเมทริกซ์การแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัว (2.49) ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบสองมิติจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ให้เรานำเสนอคุณสมบัติบางประการของฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มสองมิติ

1. ชุดค่าฟังก์ชันการแจกแจง ฉ(x, ย)อยู่ในกลุ่มเช่น

2. ฟังก์ชั่นการกระจาย ฉ(x, ย)เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงของอาร์กิวเมนต์ทั้งสองตัว เช่น

3. ถ้าอย่างน้อยหนึ่งอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันการแจกแจง ฉ(x, ย)เปลี่ยนเป็น -oo จากนั้นฟังก์ชันการแจกแจงจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ เช่น

• 4. ถ้าทั้งสองอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันการแจกแจง ฉ(x, ย)หันไป +oo แล้วเธอก็กลายเป็น เท่ากับหนึ่งเช่น F(+oo, +oo) = 1
• 5. หากหนึ่งในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันการแจกแจงเปลี่ยนเป็น +oo ฟังก์ชันการแจกแจงของระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัวจะกลายเป็นฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่สอดคล้องกับอาร์กิวเมนต์อื่น เช่น

ที่ไหน F x (x) และ F 2 (y) - ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X และ Y ตามลำดับ

6. ฟังก์ชันการแจกแจงของระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว ฉ(x, ย)ถูกปล่อยให้ต่อเนื่องโดยคำนึงถึงข้อโต้แย้งแต่ละข้อ เช่น

รู้จักฟังก์ชันการกระจายตัว ฉ(x, ย)คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจุด ( เอ็กซ์, Y) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า G โดยมีด้านขนานกับแกนพิกัด ซึ่งจำกัดด้วย abscissas ก, ขและจัดลำดับ c และ d โดยให้ขอบซ้ายและล่างรวมอยู่ใน G แต่ไม่รวมขอบเขตด้านขวาและบน (รูปที่ 2.22)

ถ้าฟังก์ชันการกระจาย ฉ(x, ย)มีความต่อเนื่องและสามารถหาอนุพันธ์ได้ด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์แต่ละตัว ดังนั้นระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X, Y) จะเป็นแบบต่อเนื่อง และส่วนประกอบของระบบนี้เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่มสองมิติที่ต่อเนื่องกัน แนวคิดเรื่องความหนาแน่นของการแจกแจง (หรือความหนาแน่นของการแจกแจงร่วม) ถูกนำมาใช้เป็นกฎการแจกแจง ฉ(x, y)ซึ่งเป็นอนุพันธ์ย่อยผสมอันดับสองของฟังก์ชันการแจกแจง เช่น

ความหนาแน่นของการกระจาย ฉ(x, ย)แสดงถึงพื้นผิวบางอย่างซึ่งเรียกว่าพื้นผิวการกระจาย (รูปที่ 2.23)

ความหนาแน่นของการกระจาย ฉ(x, ย)มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• 1) ความหนาแน่นของการแจกแจงเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบเช่น ฉ(x, y) > 0;
• 2) ปริมาตรที่ถูกจำกัดโดยพื้นผิวการกระจายและระนาบ Oxy เท่ากับหนึ่ง, เช่น.

3) ความน่าจะเป็นที่จุดสุ่ม (X, Y) จะตกลงไปในพื้นที่ G ถูกกำหนดโดยสูตร

4) ฟังก์ชันการกระจายของระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X, Y) แสดงผ่านความหนาแน่นของการแจกแจงร่วมดังนี้

เช่นเดียวกับในกรณีของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่ง เราจะแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับองค์ประกอบความน่าจะเป็นสำหรับระบบที่มีตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสองตัว: f(x, y)dxdy.

องค์ประกอบของความน่าจะเป็น f(x, y)dxdyเท่ากับความน่าจะเป็นที่จุดสุ่ม (X, Y) จะตกลงไปเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเบื้องต้นที่มีมิติ ดีเอ็กซ์ และ ดี้ที่อยู่ติดกับจุดหนึ่ง (x, ย)(รูปที่ 2.24)

ความน่าจะเป็นนี้ประมาณเท่ากับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นฐานที่มีความสูง ฉ(x, y)ซึ่งวางอยู่บนสี่เหลี่ยมนี้

ความหนาแน่นของการแจกแจงขององค์ประกอบหนึ่งมิติ X และ Y ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสองมิติพบได้โดยใช้สูตร

ทราบความหนาแน่นของการแจกแจงร่วมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสองมิติ/(x, ใช่)คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันการกระจายของแต่ละส่วนประกอบได้:

หากทราบกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X และ Y ที่รวมอยู่ในระบบ (X, Y) จะสามารถกำหนดกฎการกระจายของระบบได้ก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระจากกัน ตัวแปรสุ่มสองตัว X และ Y จะเป็นอิสระก็ต่อเมื่อกฎการกระจายของตัวแปรแต่ละตัวไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่อีกตัวแปรใช้ มิฉะนั้นค่าของ X และ Y จะขึ้นอยู่กับ

เรานำเสนอเงื่อนไขความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่มสองตัวโดยไม่มีข้อพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2.2เพื่อให้ตัวแปรสุ่มแยกกันสองตัว X และ Y ที่สร้างระบบ (X, Y) เป็นอิสระต่อกัน จึงมีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับความเท่าเทียมกัน

สำหรับ Vi = 1, ปและ เจ = 1, ต.

ทฤษฎีบท 2.3เพื่อให้ตัวแปรสุ่ม X และ Y ที่รวมอยู่ในระบบ (X, Y) มีความเป็นอิสระ จำเป็นและเพียงพอที่ฟังก์ชันการกระจายของระบบจะเท่ากับผลคูณของฟังก์ชันการกระจายของส่วนประกอบต่างๆ เช่น

ทฤษฎีบท 2.4เพื่อให้ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X และ Y ที่รวมอยู่ในระบบ (X, Y) มีความเป็นอิสระจึงจำเป็นและเพียงพอต่อความเท่าเทียมกัน

นั่นคือความหนาแน่นของการกระจายข้อต่อของระบบ (X, Y) จะต้องเท่ากับผลคูณของความหนาแน่นของการกระจายของส่วนประกอบ

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม X และ Y ที่สร้างระบบขึ้นอยู่กับแนวคิดของกฎเงื่อนไขของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มเพื่อระบุลักษณะการพึ่งพา

เราจะไม่กล่าวถึงกฎการเผยแพร่แบบมีเงื่อนไขในคู่มือนี้ ผู้สนใจสามารถเข้าไปทำความคุ้นเคยได้ที่

เช่นเดียวกับตัวแปรสุ่ม X หนึ่งตัว ระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X, Y) สามารถระบุได้ด้วยคุณลักษณะเชิงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ จึงมักจะใช้ช่วงเวลาเริ่มต้นและจุดศูนย์กลางของคำสั่งซื้อขายต่างๆ

ช่วงเวลาแรกของการสั่งซื้อ (ถึง + ส) ของระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว (X และ Y) เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ เอ็กซ์ เคบน ใช่เช่น.

ช่วงเวลาสำคัญของการสั่งซื้อ (ถึง+ s) ของระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัว (X, Y) เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ทำงาน เอ็กซ์ เคบนU®เช่น

โดยที่สุ่มอยู่ตรงกลาง

ปริมาณ

โปรดจำไว้ว่าลำดับของช่วงเวลาเริ่มต้นและช่วงเวลาศูนย์กลางคือผลรวมของดัชนี กล่าวคือ (ถึง+ ส)

ให้เรานำเสนอสูตรในการค้นหาช่วงเวลาเริ่มต้นและช่วงเวลาศูนย์กลาง

สำหรับระบบที่มีตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัว เรามี
ให้เราเตือนคุณว่า

สำหรับระบบของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสองตัวที่เราได้รับ

ในทางปฏิบัติ ช่วงเวลาเริ่มต้นและศูนย์กลางของคำสั่งซื้อที่หนึ่งและที่สองมักถูกใช้บ่อยที่สุด

การสั่งซื้อครั้งแรกมีสองช่วงเวลาแรก:

เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X และ Y

จุดที่มีพิกัด ( ม[เอ็กซ์], M[Y]) บนระนาบ OXY - ลักษณะเฉพาะของตำแหน่งของจุดสุ่ม (เอ็กซ์,ใช่) นั่นคือการแพร่กระจายของมันเกิดขึ้นรอบจุด (ม[X, ม[ป]).

โมเมนต์ศูนย์กลางอันดับหนึ่งทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ

มีสามช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สอง:

ช่วงเวลา ก 11 มักพบในแอปพลิเคชัน จากสูตรนิพจน์ (2.66) และ (2.68) สำหรับการคำนวณมีดังนี้:

สำหรับระบบที่มีตัวแปรสุ่มสองตัวแยกกัน

สำหรับระบบที่มีตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสองตัว

มีสามช่วงเวลาสำคัญของลำดับที่สอง:

สองช่วงเวลาแรกในสูตร (2.74) คือการกระจายตัว และขณะนี้ { เรียกว่าความแปรปรวนร่วมหรือโมเมนต์สหสัมพันธ์ของระบบตัวแปรสุ่ม (X,Y) มีการกำหนดชื่อพิเศษสำหรับมัน K = K xyจากสูตรนิพจน์ (2.67) และ (2.69) สำหรับการคำนวณมีดังนี้:

สำหรับระบบตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

สำหรับระบบตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ช่วงเวลาสำคัญสามารถแสดงออกผ่านช่วงเวลาเริ่มต้นและในทางกลับกัน ดังนั้นความแปรปรวนร่วมจึงมักแสดงออกมาในรูปของช่วงเวลาเริ่มต้น

กล่าวคือ ความแปรปรวนร่วมของระบบของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ลบด้วยผลคูณของตัวแปรสุ่ม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์.

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติบางประการของความแปรปรวนร่วม:

1. ความแปรปรวนร่วมมีความสมมาตร กล่าวคือ เมื่อมีการสลับดัชนี จะไม่เปลี่ยนแปลง:

2. ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือความแปรปรวนร่วมกับตัวมันเอง กล่าวคือ

3. ถ้าสุ่มตัวแปร X และ ยมีความเป็นอิสระ ดังนั้นความแปรปรวนร่วมจะเป็นศูนย์:

มิติของโมเมนต์สหสัมพันธ์เท่ากับผลคูณของขนาดของตัวแปรสุ่ม X และ Y สะดวกกว่าในการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ไร้มิติที่แสดงลักษณะเฉพาะการพึ่งพาระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ Y ดังนั้นความแปรปรวนร่วมจึงถูกแบ่งออก โดยผลคูณของค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง a[X] x a[Y] และรับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์:

สัมประสิทธิ์นี้แสดงลักษณะของระดับการพึ่งพาของตัวแปรสุ่ม X และ Y และไม่ใช่การพึ่งพาใดๆ แต่เป็นเพียงเชิงเส้นเท่านั้น สำหรับตัวแปรสุ่ม X และ Y สองตัวใดๆ จะถือว่าอสมการต่อไปนี้:

ถ้า กรัม xy= 0 ดังนั้นจึงไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ Y และเรียกว่าไม่สัมพันธ์กัน ถ้า ก x ย เอฟ 0 จากนั้นตัวแปรสุ่ม X และ Y เรียกว่ามีความสัมพันธ์กัน

ยิ่ง r ใกล้ ±1 มากเท่าใด ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ Y ก็จะยิ่งใกล้ชิดมากขึ้นเท่านั้น หาก r = ±1 ดังนั้น ระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ Y จะมีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงเชิงฟังก์ชันที่เข้มงวดของรูปแบบ

จากความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่ม X และ Y พบว่าตัวแปรเหล่านี้ไม่มีความสัมพันธ์กัน แต่การสนทนาไม่เป็นความจริงในกรณีทั่วไป เช่น ถ้า กรัม xy= 0 นี่แสดงว่าไม่มีอยู่เท่านั้น การเชื่อมต่อเชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม พวกเขาสามารถเชื่อมโยงถึงกันได้ด้วยความสัมพันธ์แบบโค้ง

ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 2.5

เมทริกซ์การกระจายของระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X,Y) จะได้รับ

หา ลักษณะเชิงตัวเลขระบบ (X,Y): ม[เอ็กซ์], ม[ใช่], ง[X], ง[ใช่], st[X], a[Y], K)