ค่ามัธยฐานคือส่วนที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม นั่นคือแบ่งครึ่งด้วยจุดตัดกัน จุดที่ค่ามัธยฐานตัดกับด้านตรงข้ามที่มันออกมาเรียกว่าฐาน ผ่านจุดหนึ่งที่เรียกว่าจุดตัด ผ่านค่ามัธยฐานแต่ละส่วนของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับความยาวสามารถแสดงได้หลายวิธี

สูตรแสดงความยาวของมัธยฐาน

• บ่อยครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต นักเรียนต้องจัดการกับส่วนเช่นค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับความยาวของมันแสดงในรูปของด้าน:

โดยที่ a, b และ c เป็นด้าน นอกจากนี้ c คือด้านที่มัธยฐานตก นี่คือลักษณะของสูตรที่ง่ายที่สุด บางครั้งค่ามัธยฐานสามเหลี่ยมจำเป็นสำหรับการคำนวณเสริม มีสูตรอื่นด้วย

• หากทราบด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุม α ที่อยู่ระหว่างการคำนวณในระหว่างการคำนวณ ความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมซึ่งลดลงถึงด้านที่สามจะแสดงดังนี้

คุณสมบัติพื้นฐาน

• ค่ามัธยฐานทั้งหมดมีจุดร่วมหนึ่งจุดของจุดตัด O และพวกมันจะถูกหารด้วยอัตราส่วนสองต่อหนึ่ง ถ้าเรานับจากด้านบน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม
• ค่ามัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งหมด รูปสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็น 6 รูปเท่าๆ กัน ซึ่งจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย
• หากทั้งสามด้านเท่ากันในรูปสามเหลี่ยม ค่ามัธยฐานแต่ละด้านจะมีความสูงและเส้นแบ่งครึ่ง นั่นคือ ตั้งฉากกับด้านที่วาด และแบ่งครึ่งมุมที่ออกมา
• ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลดลงจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ไม่เท่ากับด้านอื่นจะเป็นความสูงและเส้นแบ่งครึ่งด้วย ค่ามัธยฐานที่ลดลงจากจุดยอดอื่นมีค่าเท่ากัน นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับหน้าจั่ว
• หากรูปสามเหลี่ยมเป็นฐานของพีระมิดปกติ ความสูงที่ลดลงบนฐานนี้จะถูกคาดการณ์ไปยังจุดตัดของค่ามัธยฐานทั้งหมด

• ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านที่ยาวที่สุดคือครึ่งหนึ่งของความยาว
• ให้ O เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรด้านล่างจะเป็นจริงสำหรับจุด M ใดๆ

• คุณสมบัติอื่นคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับกำลังสองของความยาวในแง่ของกำลังสองของด้านแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณสมบัติของด้านที่ดึงค่ามัธยฐาน

• หากคุณเชื่อมต่อจุดตัดสองจุดใดๆ ของค่ามัธยฐานกับด้านที่ลดระดับลง ส่วนผลลัพธ์จะเป็นเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและอยู่ห่างจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีจุดร่วมครึ่งหนึ่ง
• ฐานของความสูงและค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยม ตลอดจนจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดของความสูง จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน

โดยสรุป มีเหตุผลที่จะกล่าวว่าส่วนที่สำคัญที่สุดส่วนหนึ่งคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรนี้สามารถใช้หาความยาวของด้านอื่นๆ ได้

หากต้องการหาค่ามัธยฐานด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม คุณไม่จำเป็นต้องจำสูตรเพิ่มเติม ก็เพียงพอที่จะรู้อัลกอริทึมการแก้ปัญหา

อันดับแรก ให้ดูที่ปัญหาในแง่ทั่วไป

กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b, c หาความยาวของเส้นมัธยฐานที่ลากไปด้าน b

AB=a, AC=b, BC=c

ใน ray BF เราแยกส่วน FD, FD=BF ไว้

ลองเชื่อมต่อจุด D กับจุด A และ C

รูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามคุณลักษณะ) เนื่องจากเส้นทแยงมุมที่จุดตัดจะถูกแบ่งครึ่ง

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน: ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านของมัน

ดังนั้น: AC²+BD²=2(AB²+BC²) ดังนั้น b²+BD²=2(a²+c²)

BD²=2(a²+c²)-b² โดยการก่อสร้าง BF คือครึ่งหนึ่งของ BD ดังนั้น

นี่คือสูตรการหาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตามด้าน โดยปกติจะเขียนดังนี้:

มาดูปัญหาเฉพาะกัน

ด้านของสามเหลี่ยมคือ 13 ซม. 14 ซม. และ 15 ซม. หาค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ลากไปที่ด้านยาวกึ่งกลาง

การใช้เหตุผลที่คล้ายกัน เราได้รับ:

AC²+BD²=2(AB²+BC²)

14²+BD²=2(13²+15²)

รูปสามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน หรือเส้นหักปิดที่มีสามลิงก์ หรือรูปที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว (ดูรูปที่ 1)

องค์ประกอบพื้นฐานของสามเหลี่ยม abc

ยอดเขา – จุด A, B และ C;

ปาร์ตี้ – ส่วน a = BC, b = AC และ c = AB เชื่อมต่อจุดยอด;

มุม – α , β, γ เกิดจากด้านสามคู่ มุมมักมีป้ายกำกับในลักษณะเดียวกับจุดยอด โดยมีตัวอักษร A, B และ C

มุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและอยู่ภายในเรียกว่ามุมภายในและมุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม (2, p. 534)

ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากองค์ประกอบหลักในรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังถือว่าส่วนอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ ได้แก่ ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลาง

ส่วนสูง

ความสูงของสามเหลี่ยมคือเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม

ในการสร้างความสูง ให้ทำดังนี้

1) วาดเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม (ถ้าความสูงถูกวาดจากจุดยอดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน)

2) จากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นที่วาด วาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังเส้นนี้ ทำมุม 90 องศากับมัน

จุดตัดของความสูงกับด้านของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า ฐานสูง (ดูรูปที่ 2)

คุณสมบัติความสูงของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากจะแบ่งมันออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกับรูปสามเหลี่ยมเดิม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ความสูงทั้งสองของมันจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป

หากรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม ฐานของความสูงทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน ความสูงสองส่วนจะตกอยู่ที่ส่วนต่อขยายของด้านข้าง

ความสูงสามส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตัดกันที่จุดหนึ่ง และเรียกจุดนี้ว่า ออร์โธเซ็นเตอร์ สามเหลี่ยม.

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน(จากภาษาละติน Mediana - "กลาง") - นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ดูรูปที่ 3)

ในการสร้างค่ามัธยฐาน ให้ทำดังต่อไปนี้:

1) ค้นหาตรงกลางของด้านข้าง

2) เชื่อมต่อจุดซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมกับจุดยอดตรงข้ามกับส่วน

คุณสมบัติค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละส่วนในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากด้านบน จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง สามเหลี่ยม.

รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

เส้นแบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่ง(จาก lat. ทวิ - สองครั้ง "และ seko - ฉันตัด) เรียกส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่แบ่งครึ่งมุม (ดูรูปที่ 4)

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) สร้างรังสีที่โผล่ออกมาจากจุดยอดของมุมและแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เส้นแบ่งครึ่งมุม)

2) ค้นหาจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม

3) เลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดที่ด้านตรงข้าม

คุณสมบัติเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามในอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันทั้งสอง

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมด้านในและด้านนอกตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมตัดกับความต่อเนื่องของด้านตรงข้าม ดังนั้น ADBD=ACBC

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งในสามของสามเหลี่ยมนี้

ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในสองมุมและมุมภายนอกหนึ่งมุมของสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นเดียวกัน ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยม

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมไม่ขนานกับด้านตรงข้าม ฐานของมันก็อยู่บนเส้นเดียวกัน

เมื่อศึกษาหัวข้อใด ๆ ของหลักสูตรของโรงเรียน คุณสามารถเลือกงานขั้นต่ำที่แน่นอนได้ โดยต้องเข้าใจวิธีการแก้ปัญหาซึ่งนักเรียนจะสามารถแก้ปัญหาใด ๆ ในระดับข้อกำหนดของโปรแกรมสำหรับหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่ ฉันเสนอให้พิจารณางานที่จะช่วยให้คุณเห็นความสัมพันธ์ระหว่างแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ดังนั้นระบบงานที่รวบรวมไว้จึงเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการทำซ้ำ สรุป และจัดระบบสื่อการศึกษาในระหว่างการเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบ

ในการผ่านการสอบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับองค์ประกอบบางอย่างของรูปสามเหลี่ยมจะไม่ฟุ่มเฟือย พิจารณาคุณสมบัติของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมและปัญหาที่สามารถใช้คุณสมบัติเหล่านี้ได้ งานที่เสนอใช้หลักการของความแตกต่างของระดับ งานทั้งหมดแบ่งออกเป็นระดับตามเงื่อนไข (ระดับจะแสดงในวงเล็บหลังแต่ละงาน)

จำคุณสมบัติบางอย่างของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติ 1. พิสูจน์ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีวาดจากด้านบน ก, น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้าน เอบีและ เครื่องปรับอากาศ.

การพิสูจน์

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

ทรัพย์สิน 2. ค่ามัธยฐานตัดสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

การพิสูจน์

จากจุดยอด B ของสามเหลี่ยม ABC ให้วาดค่ามัธยฐาน BD และความสูง BE..gif" alt="(!LANG:Area" width="82" height="46">!}

เนื่องจากเซ็กเมนต์ BD เป็นค่ามัธยฐานแล้ว

คิว.อี.ดี.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} ทรัพย์สิน4. ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 6 รูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

การพิสูจน์

ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหกแต่ละรูปที่ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยม ABC นั้นเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยม AOF และวาง AK ตั้งฉากจากจุดยอด A ไปยังเส้น BF

เนื่องจากทรัพย์สิน 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

ทรัพย์สิน 6. ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

การพิสูจน์

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

ผลที่ตามมา:1. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

2. ถ้าความยาวของค่ามัธยฐานอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านที่ลากไป แสดงว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

งาน

เมื่อแก้ปัญหาที่ตามมาแต่ละครั้งจะใช้คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว

№1 หัวข้อ: การเพิ่มค่ามัธยฐานเป็นสองเท่า ความยาก: 2+

คุณสมบัติและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน คลาส: 8,9

สภาพ

ในความต่อเนื่องของค่ามัธยฐาน เช้าสามเหลี่ยม เอบีซีต่อจุด มส่วนที่ถูกเลื่อนออกไป นพ, เท่ากับ เช้า. จงพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยม เอบีดีซี- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีการแก้

ลองใช้หนึ่งในสัญลักษณ์ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม เอบีดีซีตัดกันที่จุด มและแบ่งครึ่ง, ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยม เอบีดีซี- สี่เหลี่ยมด้านขนาน