คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน "สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน"

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ รูปต่อไปนี้แสดงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีด้าน AB ขนานกับด้าน CD และด้าน BC ขนานกับด้าน AD

อย่างที่คุณอาจเดาได้ สี่เหลี่ยมด้านขนานก็คือ สี่เหลี่ยมนูน- ลองพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามและด้านตรงข้ามจะเท่ากัน มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน - พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แสดงในรูปต่อไปนี้

เส้นทแยงมุม BD แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD พวกมันจะเท่ากันตลอดด้าน BD และมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน เนื่องจากมุมที่วางขวางที่เส้นตัด BD ของเส้นคู่ขนาน BC และ AD และ AB และ CD ตามลำดับ ดังนั้น AB = ซีดี และ
พ.ศ. = ค.ศ. และจากความเท่าเทียมกันของมุม 1, 2, 3 และ 4 จะได้ว่ามุม A = มุม 1 + มุม 3 = มุม 2 + มุม 4 = มุม C

2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

จากนั้นสามเหลี่ยม AOB และสามเหลี่ยม COD จะเท่ากัน ตามแนวด้านข้างและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน (AB = CD เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ angle1 = angle2 และ angle3 = angle4 เป็นเหมือนมุมขวางเมื่อเส้น AB และ CD ตัดกับเซแคนต์ AC และ BD ตามลำดับ) จากนี้จึงเป็นไปตามที่ AO = OC และ OB = OD ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์

คุณสมบัติหลักทั้งหมดแสดงไว้ในสามรูปต่อไปนี้

แนวคิดเรื่องสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำจำกัดความ 1

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีสองอัน คุณสมบัติหลัก- ลองพิจารณาโดยไม่มีข้อพิสูจน์

คุณสมบัติ 1: ด้านตรงข้ามและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากันตามลำดับ

คุณสมบัติ 2: เส้นทแยงมุมที่วาดในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองพิจารณาคุณลักษณะสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้วนำเสนอในรูปแบบของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

หากด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ โดยที่ $AB||CD$ และ $AB=CD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ ในนั้น (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

พิจารณาเส้นคู่ขนาน $AB$ และ $CD$ และเส้นตัดกัน $AC$ แล้ว

\[\มุม CAB=\มุม DCA\]

เหมือนมุมที่ไขว้กัน

ตามเกณฑ์ $I$ ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

เนื่องจาก $AC$ เป็นของพวกเขา ด้านทั่วไปและ $AB=CD$ ตามเงื่อนไข วิธี

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

พิจารณาเส้นตรง $AD$ และ $CB$ และเส้นตัดขวาง $AC$; จากความเท่ากันสุดท้ายของมุมนอน เราจะได้ $AD||CB$.) ดังนั้น ตามคำจำกัดความ $1$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ โดยที่ $AD=BC$ และ $AB=CD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ ไว้ข้างใน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

เนื่องจาก $AD=BC$, $AB=CD$ และ $AC$ เป็นด้านร่วม ดังนั้นตามเกณฑ์ $III$ สำหรับความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม

\[\สามเหลี่ยม DAC=\สามเหลี่ยม ACB\]

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

ลองพิจารณาเส้น $AD$ และ $CB$ และเส้นตัดขวาง $AC$; ดังนั้น ตามคำนิยาม $1$ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

\[\มุม DCA=\มุม CAB\]

ให้เราพิจารณาเส้น $AB$ และ $CD$ และเส้นตัดขวาง $AC$; จากความเท่าเทียมกันสุดท้ายในมุมโกหก เราจะได้ $AB||CD$ ดังนั้น ตามคำจำกัดความที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3

หากเส้นทแยงมุมที่วาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วยจุดตัดกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $ABCD$ ลองวาดเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ลงไป ปล่อยให้พวกมันตัดกันที่จุด $O$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

เนื่องจากตามเงื่อนไข $BO=OD,\ AO=OC$ และมุม $\angle COB=\angle DOA$ นั้นเป็นแนวตั้ง ดังนั้น ด้วยเกณฑ์ $I$ สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

\[\สามเหลี่ยม BOC=\สามเหลี่ยม AOD\]

\[\มุม DBC=\มุม BDA\]

พิจารณาเส้น $BC$ และ $AD$ และเส้นตัดขวาง $BD$; โดยความเสมอภาคสุดท้ายข้ามมุมโกหก เราจะได้ $BC||AD$ $BC=AD$ เช่นกัน ดังนั้น ตามทฤษฎีบท $1$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สรุปบทเรียน

พีชคณิตเกรด 8

ครูสิซอย อ.ก.

โรงเรียน 2371

หัวข้อบทเรียน: “สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน”

ประเภทบทเรียน: รวม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีการดูดซับแนวคิดใหม่ - สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน

2) พัฒนาทักษะและแก้ไขความสามารถต่อไป ปัญหาทางเรขาคณิต;

3) การพัฒนาวัฒนธรรม คำพูดทางคณิตศาสตร์

แผนการสอน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร

(สไลด์ 1)

สไลด์นี้แสดงคำกล่าวของ Lewis Carroll นักเรียนจะได้รับแจ้งเกี่ยวกับจุดประสงค์ของบทเรียน มีการตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน

2. การอัพเดตความรู้

(สไลด์ 2)

บนกระดานมีงานให้ทำ งานช่องปาก- ครูเชิญชวนให้นักเรียนคิดถึงปัญหาเหล่านี้และยกมือให้ผู้ที่เข้าใจวิธีแก้ปัญหา หลังจากแก้ไขปัญหาสองข้อแล้ว นักเรียนคนหนึ่งจะถูกเรียกไปที่กระดานเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุม โดยจะเป็นผู้ก่อสร้างเพิ่มเติมตามแบบอย่างอิสระและพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยวาจา

นักเรียนใช้สูตรหาผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม:

3. ส่วนหลัก

(สไลด์ 3)

นิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนานบนกระดาน ครูพูดถึงตัวเลขใหม่และกำหนดคำจำกัดความโดยอธิบายที่จำเป็นโดยใช้ภาพวาด จากนั้น ในส่วนของตารางหมากรุกของงานนำเสนอ เขาแสดงวิธีการวาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้มาร์กเกอร์และไม้บรรทัด (เป็นไปได้หลายกรณี)

(สไลด์ 4)

ครูกำหนดคุณสมบัติแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เชิญชวนให้นักเรียนเล่าจากภาพวาดว่าได้รับอะไรและต้องพิสูจน์อะไร หลังจากนั้นงานที่กำหนดจะปรากฏบนกระดาน นักเรียนเดา (อาจด้วยความช่วยเหลือของครู) ว่าความเท่าเทียมกันที่ต้องการจะต้องพิสูจน์ผ่านความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมซึ่งสามารถหาได้จากการวาดเส้นทแยงมุม (เส้นทแยงมุมปรากฏบนกระดาน) จากนั้น นักเรียนเดาว่าเหตุใดรูปสามเหลี่ยมจึงเท่ากันทุกประการ และตั้งชื่อเครื่องหมายว่ารูปสามเหลี่ยมเท่ากัน (ปรากฏ แบบฟอร์มที่เหมาะสม- พวกเขาสื่อสารข้อเท็จจริงที่จำเป็นในการทำให้สามเหลี่ยมเท่ากันด้วยวาจา (ภาพที่สอดคล้องกันจะปรากฏขึ้นตามที่พวกเขาตั้งชื่อ) จากนั้นให้นักเรียนกำหนดคุณสมบัติ สามเหลี่ยมเท่ากันปรากฏเป็นจุดที่ 3 ของการพิสูจน์ จากนั้นพวกเขาก็ทำการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยปากเปล่าโดยอิสระ

(สไลด์ 5)

ครูกำหนดคุณสมบัติที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานปรากฏบนกระดาน ครูแนะนำให้ใช้ภาพเพื่อบอกว่าอะไรให้อะไรและอะไรต้องพิสูจน์ หลังจากที่นักเรียนรายงานสิ่งที่ได้รับและสิ่งที่ต้องพิสูจน์อย่างถูกต้องแล้ว เงื่อนไขของทฤษฎีบทก็จะปรากฏขึ้น นักเรียนเดาว่าความเท่าเทียมกันของส่วนของเส้นทแยงมุมสามารถพิสูจน์ได้จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเอโอบีและ ซี.โอ.ดี.- การใช้คุณสมบัติเดิมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะทำให้เดาได้ว่าด้านทั้งสองเท่ากันเอบีและ ซีดี- จากนั้นพวกเขาก็เข้าใจว่าจำเป็นต้องหามุมที่เท่ากันและพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของมุมที่อยู่ติดกันโดยใช้คุณสมบัติของเส้นคู่ขนาน ฝ่ายที่เท่าเทียมกันมุม ขั้นตอนเหล่านี้จะแสดงเป็นภาพบนสไลด์ ความจริงของทฤษฎีบทตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม - นักเรียนพูดและการแสดงภาพที่สอดคล้องกันปรากฏบนสไลด์

(สไลด์ 6)

ครูกำหนดคุณสมบัติที่สามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขึ้นอยู่กับเวลาที่เหลืออยู่จนจบบทเรียน ครูสามารถให้โอกาสนักเรียนพิสูจน์คุณสมบัตินี้ได้อย่างอิสระ หรือจำกัดตัวเองอยู่ในสูตร และปล่อยให้นักเรียนพิสูจน์เอง การบ้าน- การพิสูจน์อาจขึ้นอยู่กับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ ซึ่งทำซ้ำในตอนต้นของบทเรียน หรือจากผลรวมของมุมด้านเดียวภายในของเส้นคู่ขนานสองเส้นค.ศและ บี.ซี.และซีแคนต์ เป็นต้นเอบี.

4. การยึดวัสดุ

ในขั้นตอนนี้ นักเรียนใช้ทฤษฎีบทที่เรียนมาก่อนหน้านี้เพื่อแก้ปัญหา นักเรียนเลือกแนวคิดในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ เพราะ ตัวเลือกที่เป็นไปได้มีการออกแบบมากมายและทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่านักเรียนจะมองหาวิธีแก้ไขปัญหาอย่างไร ไม่มีการแสดงภาพวิธีแก้ปัญหา และนักเรียนจะวาดแต่ละขั้นตอนของการแก้ปัญหาบนกระดานแยกกันโดยอิสระ บันทึกโซลูชันลงในสมุดบันทึก

(สไลด์ 7)

เงื่อนไขของงานปรากฏขึ้น ครูเสนอแนะให้กำหนด “การให้” ตามเงื่อนไข หลังจากที่นักเรียนเรียบเรียงอย่างถูกต้องแล้ว หมายเหตุสั้น ๆเงื่อนไข “ให้” ปรากฏบนกระดาน กระบวนการแก้ไขปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:

ลองวาดส่วนสูง BH (เห็นภาพ)

สามเหลี่ยม AHB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม ก เท่ากับมุม C และเท่ากับ 30 0 (ตามคุณสมบัติของมุมตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) 2BH =AB (โดยคุณสมบัติของขาที่วางตรงข้ามกับมุม 30 0 นิ้ว) สามเหลี่ยมมุมฉาก- ดังนั้น AB = 13 ซม.

AB = CD, BC = AD (ตามคุณสมบัติ ฝั่งตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ดังนั้น AB = CD = 13 ซม. เนื่องจากเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 50 ซม. ดังนั้น BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 ซม.

คำตอบ: AB = CD = 13 ซม. BC = AD = 12 ซม.

(สไลด์ 8)

เงื่อนไขของงานปรากฏขึ้น ครูเสนอแนะให้กำหนด “การให้” ตามเงื่อนไข จากนั้นข้อความ “ให้” จะปรากฏบนหน้าจอ ใช้เส้นสีแดงเพื่อเน้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งคุณต้องพิสูจน์ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน กระบวนการแก้ไขปัญหาอาจมีลักษณะดังนี้:

เพราะ BK และ MD ตั้งฉากกับเส้นตรงหนึ่งเส้น จากนั้นเส้น BK และ MD จะขนานกัน

ผ่าน มุมที่อยู่ติดกันแสดงให้เห็นว่าผลรวมของมุมด้านเดียวภายในของเส้นตรง BM และ KD และเส้นตัด MD เท่ากับ 180 0 ดังนั้นเส้นเหล่านี้จึงขนานกัน

เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยม BMDK มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

5. จบบทเรียน พฤติกรรมของผลลัพธ์

(สไลด์ 8)

คำถามปรากฏบนสไลด์ หัวข้อใหม่ซึ่งนักเรียนตอบรับ

งบประมาณเทศบาล สถาบันการศึกษา

ค่าเฉลี่ยของ Savinskaya โรงเรียนมัธยมศึกษา

งานวิจัย

สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติใหม่

เสร็จสิ้นโดย: นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8B

โรงเรียนมัธยม MBOU Savinskaya

คุซเนตโซวา สเวตลานา อายุ 14 ปี

หัวหน้า: ครูคณิตศาสตร์

ตุลเชฟสกายา เอ็น.เอ.

พี. ซาวิโน

ภูมิภาคอิวาโนโว, รัสเซีย

2559

ฉัน. บทนำ _______________________________________ หน้า 3

ครั้งที่สอง จากประวัติความเป็นมาของสี่เหลี่ยมด้านขนาน _______________________หน้า 4

III คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ______________________________หน้า 4

IV. หลักฐานคุณสมบัติ _____________________________________ หน้า 5

วี. การแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติเพิ่มเติม __________ หน้า 8

วี. การประยุกต์คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานในชีวิต _______หน้า 11

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว บทสรุป _________________________________________________หน้า 12

8. วรรณกรรม _________________________________________________หน้า 13

การแนะนำ

"ท่ามกลางจิตใจที่เท่าเทียมกัน

ที่ ความเท่าเทียมกันของเงื่อนไขอื่น ๆ

ผู้รู้เรขาคณิตย่อมประเสริฐกว่า"

(เบลส ปาสคาล).

ในขณะที่ศึกษาหัวข้อ "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" ในบทเรียนเรขาคณิต เราได้พิจารณาคุณสมบัติสองประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณลักษณะสามประการ แต่เมื่อเราเริ่มแก้ปัญหา กลับกลายเป็นว่านี่ยังไม่เพียงพอ

ฉันมีคำถาม: สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติอื่น ๆ หรือไม่ และจะช่วยแก้ปัญหาได้อย่างไร?

และฉันตัดสินใจศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและแสดงให้เห็นว่าสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างไร

หัวข้อการวิจัย : สี่เหลี่ยมด้านขนาน

วัตถุประสงค์ของการศึกษา : คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
วัตถุประสงค์ของงาน:

การกำหนดและการพิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน

การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหา

งาน:

ศึกษาประวัติความเป็นมาของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและประวัติการพัฒนาคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หา อ่านต่อในประเด็นที่กำลังศึกษาอยู่

ศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและพิสูจน์มัน

แสดงการประยุกต์ใช้คุณสมบัติเหล่านี้เพื่อแก้ไขปัญหา

พิจารณาการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานในชีวิต
วิธีการวิจัย:

ทำงานร่วมกับการศึกษาและวิทยาศาสตร์ – วรรณกรรมยอดนิยม, แหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ต;

การศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎี

การระบุปัญหาต่างๆ ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติเพิ่มเติมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การสังเกต การเปรียบเทียบ การวิเคราะห์ การเปรียบเทียบ

ระยะเวลาการศึกษา : 3 เดือน: มกราคม-มีนาคม 2559

ในตำราเรียนเรขาคณิต เราอ่านคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อไปนี้: สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่

คำว่า "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" แปลว่า " เส้นขนาน"(จาก คำภาษากรีก Parallelos - ขนานและไวยากรณ์ - เส้น) คำนี้ถูกนำมาใช้โดย Euclid ในหนังสือ Elements ของเขา Euclid ได้พิสูจน์แล้ว คุณสมบัติดังต่อไปนี้สี่เหลี่ยมด้านขนาน: ด้านตรงข้ามและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน และเส้นทแยงมุมจะแบ่งครึ่ง Euclid ไม่ได้กล่าวถึงจุดตัดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีเพียงช่วงปลายยุคกลางเท่านั้นที่ได้รับการพัฒนา ทฤษฎีที่สมบูรณ์สี่เหลี่ยมด้านขนาน และในศตวรรษที่ 17 เท่านั้นที่ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนานปรากฏในหนังสือเรียนซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทของยุคลิดกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ที่สาม คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในตำราเรียนเรขาคณิต ให้คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพียง 2 ประการเท่านั้น:

มุมและด้านตรงข้ามเท่ากัน

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัดกัน

ในแหล่งข้อมูลต่างๆ เกี่ยวกับเรขาคณิต คุณจะพบคุณสมบัติเพิ่มเติมต่อไปนี้:

ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180 0

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตัดออกจากมุมนั้น สามเหลี่ยมหน้าจั่ว;

เส้นแบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่บนเส้นขนาน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันที่มุมขวา

เมื่อเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกัน มันจะเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ระยะห่างจากมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานถึงเส้นทแยงมุมเดียวกันจะเท่ากัน

หากคุณเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม คุณจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานอีกอัน

ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านที่อยู่ติดกัน

หากคุณวาดระดับความสูงจากมุมตรงข้ามสองมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉาก

IV การพิสูจน์คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180 0

ที่ให้ไว้:

ABCD – สี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิสูจน์:

เอ+
บี=

การพิสูจน์:

เอและ
B – มุมด้านเดียวภายในที่มีเส้นขนาน BC AD และเส้นตัด AB ซึ่งหมายถึง
เอ+
บี=

ที่ให้ไว้:เอบีซีดี - สี่เหลี่ยมด้านขนาน,

เอเค แบ่งครึ่ง
ก.

พิสูจน์: AVK – หน้าจั่ว

การพิสูจน์:

1)
1=
3 (นอนขวางที่ BC AD และซีแคนต์ AK )

2)
2=
3 เพราะ AK เป็นเส้นแบ่งครึ่ง

หมายถึง 1=
2.

3) ABC - หน้าจั่วเพราะว่า 2 มุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน

- เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกไป

ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

AK – เส้นแบ่งครึ่ง A,

CP - เส้นแบ่งครึ่ง C.

พิสูจน์:เอเค ║ เอสอาร์

การพิสูจน์:

1) 1=2 เพราะ AK เป็นเส้นแบ่งครึ่ง

2) 4=5 เพราะ ซีพี – เส้นแบ่งครึ่ง

3) 3=1 (มุมนอนขวางที่

BC ║ AD และ AK-secant)

4) A =C (โดยคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ซึ่งหมายถึง 2=3=4=5

4) จากย่อหน้า 3 และ 4 ตามมาว่า 1 = 4 และมุมเหล่านี้สอดคล้องกับเส้นตรง AK และ CP และเส้นตัด BC

นี่หมายถึง AK ║ CP (ขึ้นอยู่กับความขนานของเส้น)

- เส้นแบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่บนเส้นขนาน

ที่ให้ไว้: ABCD - สี่เหลี่ยมด้านขนาน

AK-เส้นแบ่งครึ่ง A,

DP แบ่งครึ่ง D

พิสูจน์:ดีพี อลาสก้า

การพิสูจน์:

1) 1=2 เพราะ AK - เส้นแบ่งครึ่ง

ให้ 1=2=x แล้ว A=2x

2) 3=4 เพราะ D Р – เส้นแบ่งครึ่ง

ให้ 3=4=y แล้ว D=2y

3) A + D =180 0 เพราะ ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180

2) พิจารณา โอดี

1+3=90 0 แล้ว
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. เส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่อตัดกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ที่ให้ไว้: ABCD - สี่เหลี่ยมด้านขนาน, AK-เส้นแบ่งครึ่ง A,

DP-เส้นแบ่งครึ่ง D,

CM เส้นแบ่งครึ่ง C,

BF - เส้นแบ่งครึ่ง บี .

พิสูจน์: KRNS - สี่เหลี่ยมผืนผ้า

การพิสูจน์:

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติก่อนหน้า 8=7=6=5=90 0 ,

หมายความว่า KRNS เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ที่ให้ไว้: ABCD-สี่เหลี่ยมด้านขนาน, AC-เส้นทแยงมุม

วีเค เครื่องปรับอากาศ ดี.พี. เอ.ซี.

พิสูจน์:พ.ศ.=DP

การพิสูจน์: 1) DCP = KAB เนื่องจากกากบาทภายในวางอยู่กับ AB ║ CD และเส้นตัดกระแส AC

2) เอเคบี= CDP (ตามด้านข้างและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน AB=CD CD P=AB K)

และในสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน ซึ่งหมายถึง DP=BK

ที่ให้ไว้:สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

พิสูจน์: VKDR เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

1) BP=KD (AD=BC, จุด K และ P

แบ่งด้านเหล่านี้ออกเป็นสองส่วน)

2) BP ║ KD (นอนบน AD พ.ศ.)

ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน BD และ AC เป็นเส้นทแยงมุม

พิสูจน์: เครื่องปรับอากาศ 2 +วดี 2 =2(เอบี 2 + ค.ศ 2 )

การพิสูจน์: 1)ถาม: เอ.ซี. ²=
+

2)บี รดี : บีดี 2 = บี ร 2 + อาร์ดี 2 (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

3) เอ.ซี. ²+ บีดี ²=SK²+ก K²+บี Р²+Рดี ²

4) เซาท์แคโรไลนา = BP = N(ความสูง )

5) เครื่องปรับอากาศ 2 +บีดี 2 = ชม 2 + ก ถึง 2 + ชม 2 +พีดี 2

6) อนุญาต ดี เค=ก พ=x, แล้ว ค ถึงดี : ชม 2 = ซีดี 2 - เอ็กซ์ 2 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส )

7) เอซี²+บีดี ² = คดี 2 - x²+ อลาสก้า 1 ²+ ซีดี 2 -เอ็กซ์ 2 +พีดี 2 ,

เอซี²+บีดี ²=2Сดี 2 -2x 2 + ก ถึง 2 +พีดี 2

8) ก ถึง=โฆษณา+ เอ็กซ์, รด=โฆษณา- เอ็กซ์,

เอซี²+บีดี ² =2ซีดี 2 -2x 2 +(ค.ศ +x) 2 +(ค.ศ -เอ็กซ์) 2 ,

เครื่องปรับอากาศ²+ ในด²=2 กับดี²-2 เอ็กซ์² +โฆษณา 2 +2โฆษณา เอ็กซ์+ เอ็กซ์ 2 +โฆษณา 2 -2AD เอ็กซ์+ เอ็กซ์ 2 ,
เครื่องปรับอากาศ²+ ในD²=2ซีดี 2 +2โฆษณา 2 =2(ซีดี 2 +โฆษณา 2 ).

วี - การแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติเหล่านี้

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งเป็นของด้านตรงข้าม ด้านที่สั้นที่สุดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 5 - ค้นหาด้านที่ยิ่งใหญ่ของมัน

ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

AK – เส้นแบ่งครึ่ง
เอ,

D K – เส้นแบ่งครึ่ง
ง , AB=5

หา: ดวงอาทิตย์

การตัดสินใจ

สารละลาย

เพราะ AK - เส้นแบ่งครึ่ง
แล้ว ABC ก็คือหน้าจั่ว

เพราะ D K – เส้นแบ่งครึ่ง
ดีแล้ว DCK - หน้าจั่ว

กระแสตรง =CK= 5

จากนั้น BC=VC+SC=5+5 = 10

คำตอบ: 10

2. ค้นหาเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมใดมุมหนึ่งแบ่งด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นส่วนๆ ขนาด 7 ซม. และ 14 ซม.

1 เคส

ที่ให้ไว้:
เอ,

VK=14 ซม., KS=7 ซม

หา:พี สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย

VS=VK+KS=14+7=21 (ซม.)

เพราะ AK – เส้นแบ่งครึ่ง
แล้ว ABC ก็คือหน้าจั่ว

AB=BK= 14 ซม

จากนั้น P=2 (14+21) =70 (ซม.)

เกิดขึ้น

ที่ให้ไว้: ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

D K – เส้นแบ่งครึ่ง
ดี

VK=14 ซม., KS=7 ซม

หา: P สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย

VS=VK+KS=14+7=21 (ซม.)

เพราะ D K – เส้นแบ่งครึ่ง
ดีแล้ว DCK - หน้าจั่ว

กระแสตรง =CK= 7

จากนั้น P = 2 (21+7) = 56 (ซม.)

คำตอบ: 70 ซม. หรือ 56 ซม

3. ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 10 ซม. และ 3 ซม. เส้นแบ่งครึ่งของสองมุมที่อยู่ติดกับด้านที่ใหญ่กว่าจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสามส่วน ค้นหาส่วนเหล่านี้

1 กรณี:เส้นแบ่งครึ่งตัดกันนอกสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ที่ให้ไว้: ABCD – สี่เหลี่ยมด้านขนาน, AK – เส้นแบ่งครึ่ง
เอ,

D K – เส้นแบ่งครึ่ง
ง , AB=3 ซม., BC=10 ซม

หา: VM, MN, NC

สารละลาย

เพราะ AM - แบ่งครึ่ง
แล้ว AVM ก็คือหน้าจั่ว

เพราะ DN – เส้นแบ่งครึ่ง
ดีแล้ว DCN - หน้าจั่ว

ดีซี=CN=3

จากนั้น MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 ซม.

กรณีที่ 2:เส้นแบ่งครึ่งตัดกันภายในสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพราะ AN - เส้นแบ่งครึ่ง
แล้ว ABN ก็คือหน้าจั่ว

เอบี=บีเอ็น = 3 ดี

และควรย้ายตะแกรงบานเลื่อนให้อยู่ในระยะทางเข้าประตูตามที่กำหนด

กลไกสี่เหลี่ยมด้านขนาน- กลไกสี่แท่งซึ่งมีลิงก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันถูกใช้เพื่อใช้การเคลื่อนไหวเชิงแปลโดยกลไกแบบบานพับ

สี่เหลี่ยมด้านขนานพร้อมลิงก์คงที่- ลิงค์หนึ่งไม่นิ่ง ส่วนอีกลิงค์หนึ่งสั่นไหว โดยคงขนานกับลิงค์ที่ไม่นิ่ง รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองรูปเชื่อมต่อกันด้านหลังอีกรูปหนึ่งทำให้จุดเชื่อมต่อปลายมีอิสระสองระดับ โดยปล่อยให้ขนานกับจุดเชื่อมต่อที่อยู่นิ่ง

ตัวอย่าง: ที่ปัดน้ำฝนกระจกหน้ารถบัส รถยก ขาตั้ง ไม้แขวนเสื้อ ระบบกันสะเทือนของรถยนต์

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีข้อต่อคงที่- ใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อรักษาอัตราส่วนคงที่ของระยะทางระหว่างจุดสามจุด ตัวอย่าง: การวาดภาพคัดลอก - อุปกรณ์สำหรับปรับขนาดภาพวาด

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน- ข้อต่อทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน การเข้าใกล้ (การหดตัว) ของบานพับคู่ตรงข้ามจะทำให้บานพับอีกสองตัวแยกออกจากกัน ลิงก์ทั้งหมดทำงานในการบีบอัด

ตัวอย่าง - แม่แรงรูปเพชรรถยนต์, เครื่องคัดลอกรถราง

กรรไกรหรือ กลไกรูปตัว Xหรือที่เรียกว่า กรรไกรนูเรมเบิร์ก- เวอร์ชันรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - สองลิงก์เชื่อมต่อกันตรงกลางด้วยบานพับ ข้อดีของกลไกคือความกะทัดรัดและความเรียบง่ายข้อเสียคือการมีคู่เลื่อนสองคู่ กลไกดังกล่าวสองอย่าง (หรือมากกว่า) ที่เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมก่อให้เกิดเพชรที่อยู่ตรงกลาง ใช้ในลิฟต์และของเล่นเด็ก

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว บทสรุป

ใครเรียนคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็กบ้าง?

เขาพัฒนาความสนใจ ฝึกสมอง

เจตจำนงของตัวเองปลูกฝังความเพียร

และความเพียรในการบรรลุเป้าหมาย

อ. มาร์คูวิช

ในระหว่างทำงานนี้ ฉันได้พิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว

ฉันเชื่อมั่นว่าการใช้คุณสมบัติเหล่านี้จะทำให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาได้เร็วขึ้น

ฉันแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำไปใช้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาเฉพาะ

ฉันได้เรียนรู้มากมายเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งไม่มีอยู่ในตำราเรขาคณิตของเรา

ฉันเชื่อว่าความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตมีความสำคัญมากในชีวิตผ่านตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การวิจัยของฉันบรรลุวัตถุประสงค์แล้ว

ความสำคัญของความรู้ทางคณิตศาสตร์นั้นเห็นได้จากความจริงที่ว่ามีการมอบรางวัลให้กับบุคคลที่จัดพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับบุคคลที่ใช้ชีวิตทั้งชีวิตโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากคณิตศาสตร์ ยังไม่มีใครได้รับรางวัลนี้เลยแม้แต่คนเดียว

8 วรรณกรรม

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐาน (a) และความสูง (h) คุณยังสามารถหาพื้นที่ของมันได้จากสองด้าน มุม และเส้นทแยงมุม

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ด้านตรงข้ามเหมือนกัน

ก่อนอื่น มาวาดเส้นทแยงมุม $AC$ กันก่อน เราได้สามเหลี่ยมสองรูป: $ABC$ และ $ADC$

เนื่องจาก $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเป็นจริงดังนี้:

$โฆษณา || BC \ลูกศรขวา \มุม 1 = \มุม 2$เหมือนนอนขวางทาง

$AB || ซีดี \ลูกศรขวา \angle3 = \มุม 4$เหมือนนอนขวางทาง

ดังนั้น (ตามเกณฑ์ที่สอง: และ $AC$ เป็นเรื่องธรรมดา)

และนั่นหมายความว่า $\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC$จากนั้น $AB = CD$ และ $AD = BC$

2. มุมตรงข้ามเหมือนกัน

ตามหลักฐาน คุณสมบัติ 1เรารู้ว่า $\มุม 1 = \มุม 2, \มุม 3 = \มุม 4$- ดังนั้นผลรวมของมุมตรงข้ามคือ: $\มุม 1 + \มุม 3 = \มุม 2 + \มุม 4$- เมื่อพิจารณาแล้วว่า $\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC$เราได้รับ $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $

3. เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

โดย ทรัพย์สิน 1เรารู้ว่าด้านตรงข้ามเหมือนกัน: $AB = CD$ สังเกตอีกครั้งว่าเส้นขวางที่วางเป็นมุมเท่ากัน

จึงเป็นที่ชัดเจนว่า $\สามเหลี่ยม AOB = \สามเหลี่ยม COD$ตามเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (สองมุมและด้านระหว่างสองมุม) นั่นคือ $BO = OD$ (ตรงข้ามมุม $\angle 2$ และ $\angle 1$ ) และ $AO = OC$ (ตรงข้ามมุม $\angle 3$ และ $ \มุม 4$ ตามลำดับ)

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากมีปัญหาเพียงจุดเดียว รูปนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของรูปนี้ได้

เพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น โปรดทราบว่าเครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตอบคำถามต่อไปนี้ - “จะหาได้อย่างไร?”- นั่นคือจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขที่กำหนดนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านทั้งสองเท่ากันและขนานกัน

$AB = ซีดี$ ; $AB || ซีดี \ลูกศรขวา ABCD$- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

มาดูกันดีกว่า ทำไม $AD || BC $ ?

$\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC$โดย ทรัพย์สิน 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ นอนขวางเมื่อ $AB $ และ $CD $ และเส้นตัด $AC $ ขนานกัน

แต่ถ้า $\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC$จากนั้น $\angle 3 = \angle 4 $ (อยู่ตรงข้าม $AD || BC $ ($\angle 3 $ และ $\angle 4 $ - พวกที่วางขวางก็เท่ากัน)

สัญญาณแรกถูกต้อง