ตารางลอการิทึมและคุณสมบัติของมัน คุณสมบัติของลอการิทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา

องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจากภาษากรีกจากคำว่า "number" หรือ "degree" และหมายถึงระดับที่จำเป็นต้องเพิ่มตัวเลขที่ฐานเพื่อค้นหาหมายเลขสุดท้าย

ประเภทของลอการิทึม

• log a b คือลอการิทึมของจำนวน b ฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - ลอการิทึมฐานสิบ (ลอการิทึมฐาน 10, a = 10);
• ln b - ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐานลอการิทึม e, a = e)

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ลอการิทึมของเลข b ถึงฐาน a เป็นเลขยกกำลัง ซึ่งกำหนดให้ฐาน a ต้องยกกำลังเป็นเลข b ผลลัพธ์จะออกเสียงดังนี้: "ลอการิทึมของ b เป็นฐานของ a" วิธีแก้ปัญหาลอการิทึมคือคุณต้องกำหนดระดับที่กำหนดด้วยตัวเลขตามตัวเลขที่ระบุ มีกฎพื้นฐานบางประการสำหรับการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการเปลี่ยนสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้สมการลอการิทึมจะได้รับการแก้ไข พบอนุพันธ์ ปริพันธ์ถูกแก้ไข และดำเนินการอื่น ๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว คำตอบของลอการิทึมนั้นก็คือสัญกรณ์อย่างง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติหลัก:

สำหรับ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใดๆ ; y > 0

• a log a b = b เป็นเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
• บันทึก 1 = 0
• บันทึก a = 1
• บันทึก a (x y ) = บันทึก a x + บันทึก a y
• บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
• บันทึก a 1/x = - บันทึก a x
• บันทึก a x p = p บันทึก a x
• บันทึก a k x = 1/k บันทึก a x สำหรับ k ≠ 0
• บันทึก a x = บันทึก a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่
• บันทึก a x = 1/บันทึก x a

วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนสำหรับการแก้ปัญหา

• ขั้นแรก ให้จดสมการที่ต้องการ

โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานเป็น 10 บันทึกจะถูกทำให้สั้นลง จะได้ลอการิทึมทศนิยม หากมีจำนวนธรรมชาติ e เราจะเขียนลงไปโดยลดเป็นลอการิทึมธรรมชาติ หมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือพลังในการยกเลขฐานเพื่อให้ได้เลข b

การแก้ปัญหาโดยตรงอยู่ในการคำนวณระดับนี้ ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม จะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาข้อมูลประจำตัวหลักได้โดยย้อนกลับไปเล็กน้อยในบทความ

เมื่อบวกและลบลอการิทึมด้วยตัวเลขสองตัวที่ต่างกันแต่มีฐานเดียวกัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมตัวเดียวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรการเปลี่ยนกับฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)

หากคุณกำลังใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องระวัง และนั่นคือ: ฐานของลอการิทึม a เป็นเพียงจำนวนบวก แต่ไม่เท่ากับหนึ่ง จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์

มีหลายกรณีที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมในรูปแบบตัวเลขได้ มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกนั้นไม่สมเหตุสมผลเพราะหลายองศาเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยเลขยกกำลังเป็นลอการิทึม

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งคำบอกกล่าวและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่จำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมสำหรับเหตุผลด้านความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
• ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยกับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและให้สาธิต ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

โดยตัวมันเองนั้นหมายถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนนำสูตรลอการิทึมไปใช้กับโซลูชัน เราจะเรียกคืนคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:

ตอนนี้เราแสดงตามสูตรเหล่านี้ (คุณสมบัติ) ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม.

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึมตามสูตร

ลอการิทึมจำนวนบวก b ในฐาน a (แสดงเป็นล็อก a b) คือเลขยกกำลังที่ a ต้องยกขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยที่ b > 0, a > 0 และ 1

ตามนิยามล็อก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ x = b ดังนั้นล็อก a x = x

ลอการิทึม, ตัวอย่าง:

บันทึก 2 8 = 3 เนื่องจาก 2 3 = 8

ล็อก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49

บันทึก 5 1/5 = -1 เนื่องจาก 5 -1 = 1/5

ลอการิทึมทศนิยมเป็นลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานเป็น 10 แสดงเป็น lg

ล็อก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100

ลอการิทึมธรรมชาติ- เช่นเดียวกับลอการิทึมลอการิทึมปกติ แต่มีฐาน e (e \u003d 2.71828 ... - เป็นจำนวนอตรรกยะ) เรียกว่าล.น.

เป็นที่พึงปรารถนาที่จะจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึม เพราะเราจะต้องใช้มันในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึม และอสมการ ลองทำแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง

• เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
  บันทึก a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ลอการิทึมของผลคูณจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึม
  บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a c

  บันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4

• ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
  ล็อก a (b/c) = ล็อก a b - ล็อก a c

  9 ล็อก 5 50 /9 ล็อก 5 2 = 9 ล็อก 5 50- ล็อก 5 2 = 9 ล็อก 5 25 = 9 2 = 81

• คุณสมบัติของดีกรีของเลขลอการิทึมและเลขฐานของลอการิทึม

  เลขชี้กำลังของเลขลอการิทึม log a b m = mlog a b

  เลขชี้กำลังฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b

  บันทึก a n b m = m/n* บันทึก a b,

  ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b

  บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3

• เปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
  บันทึก a b = บันทึก c b / บันทึก c a,

  ถ้า c = b จะได้ log b b = 1

  จากนั้น log a b = 1/log b a

  บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1

อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อพิจารณาตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราสามารถไปยังสมการลอการิทึมได้ เราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" ไม่ควรพลาด!

หากคุณยังมีข้อสงสัยเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา เขียนไว้ในความคิดเห็นของบทความ

หมายเหตุ: ตัดสินใจเลือกเรียนหลักสูตรอื่นในต่างประเทศ

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ลอการิทึมคืออะไร? จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร? คำถามเหล่านี้สร้างความสับสนให้กับบัณฑิตจำนวนมาก ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง - สมการกับลอการิทึม

สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อ? ดี. ตอนนี้ ประมาณ 10 - 20 นาที คุณ:

1. ทำความเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้สมการเลขยกกำลังทั้งชั้น แม้ว่าคุณจะไม่เคยได้ยินพวกเขา

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องรู้ตารางการคูณเท่านั้น และวิธีเพิ่มจำนวนเป็นเลขยกกำลัง ...

ฉันรู้สึกว่าคุณสงสัย ... เอาล่ะรักษาเวลา! ไป!

ขั้นแรก แก้สมการต่อไปนี้ในใจของคุณ:

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ลอการิทึมของจำนวนบวก b ถึงฐาน a (a>0, a ไม่เท่ากับ 1) เป็นจำนวน c โดยที่ a c = b: บันทึก a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

โปรดทราบว่าไม่มีการกำหนดลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นบวก นอกจากนี้ ฐานของลอการิทึมต้องเป็นจำนวนบวก ไม่เท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น ถ้าเรายกกำลังสอง -2 เราจะได้เลข 4 แต่ไม่ได้หมายความว่าฐาน -2 ลอการิทึมของ 4 เป็น 2

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บันทึก a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

สิ่งสำคัญคือโดเมนของคำจำกัดความของส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของสูตรนี้ต้องแตกต่างกัน ด้านซ้ายกำหนดไว้สำหรับ b>0, a>0 และ a ≠ 1 เท่านั้น ส่วนด้านขวากำหนดไว้สำหรับ b ใดๆ และไม่ขึ้นอยู่กับ a เลย ดังนั้นการประยุกต์ใช้ "เอกลักษณ์" ลอการิทึมพื้นฐานในการแก้สมการและอสมการสามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงใน DPV

ผลลัพธ์ที่ชัดเจนสองประการของคำจำกัดความของลอการิทึม

บันทึก a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
บันทึก a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

แน่นอน เมื่อยกกำลัง a ขึ้นเป็นเลขยกกำลังหนึ่ง เราจะได้เลขเดียวกัน และเมื่อยกกำลังเป็นศูนย์ เราจะได้เลขหนึ่ง

ลอการิทึมของผลคูณและลอการิทึมของผลหาร

บันทึก a (b c) = บันทึก a b + บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

บันทึก a b c = บันทึก a b − บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

ฉันต้องการเตือนเด็กนักเรียนเกี่ยวกับการใช้สูตรเหล่านี้อย่างไม่ไตร่ตรองเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ เมื่อใช้ "จากซ้ายไปขวา" ODZ จะแคบลง และเมื่อย้ายจากผลรวมหรือผลต่างของลอการิทึมไปยังลอการิทึมของผลคูณหรือผลหาร ODZ จะขยาย

อันที่จริง นิพจน์บันทึก a (f (x) g (x)) ถูกกำหนดไว้ในสองกรณี: เมื่อทั้งสองฟังก์ชันเป็นบวกอย่างเคร่งครัด หรือเมื่อ f(x) และ g(x) ทั้งคู่มีค่าน้อยกว่าศูนย์

การแปลงนิพจน์นี้เป็นผลรวมของล็อก a f (x) + บันทึก a g (x) เราถูกบังคับให้จำกัดเฉพาะในกรณีที่ f(x)>0 และ g(x)>0 เท่านั้น มีการจำกัดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ซึ่งเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้อย่างเด็ดขาด เนื่องจากอาจนำไปสู่การสูญเสียโซลูชัน มีปัญหาที่คล้ายกันสำหรับสูตร (6)

ระดับสามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

บันทึก a b p = p บันทึก a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

และอีกครั้งฉันต้องการเรียกความถูกต้อง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

บันทึก a (f (x) 2 = 2 บันทึก a f (x)

ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันถูกกำหนดอย่างชัดเจนสำหรับค่าทั้งหมดของ f(x) ยกเว้นศูนย์ ด้านขวาสำหรับ f(x)>0 เท่านั้น! การดึงพลังออกจากลอการิทึม เราทำให้ ODZ แคบลงอีกครั้ง ขั้นตอนย้อนกลับนำไปสู่การขยายช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ข้อสังเกตทั้งหมดนี้ไม่เพียงแต่ใช้กับกำลังของ 2 เท่านั้น แต่ยังใช้กับกำลังคู่ใดๆ

สูตรการย้ายฐานใหม่

บันทึก a b = บันทึก c b บันทึก c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

กรณีที่หายากเมื่อ ODZ ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลง หากคุณเลือกฐาน c อย่างชาญฉลาด (เป็นบวกและไม่เท่ากับ 1) สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่จะปลอดภัยอย่างยิ่ง

หากเราเลือกเลข b เป็นฐานใหม่ เราจะได้สูตรเฉพาะที่สำคัญ (8):

บันทึก a b = 1 บันทึก b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

ตัวอย่างง่ายๆ กับลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณ: lg2 + lg50
วิธีการแก้. lg2 + lg50 = lg100 = 2 เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของลอการิทึม (5) และนิยามของลอการิทึมทศนิยม

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ: lg125/lg5
วิธีการแก้. lg125/lg5 = log 5 125 = 3 เราใช้สูตรการเปลี่ยนฐานใหม่ (8)

ตารางสูตรที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม

บันทึก a b = b (a > 0, a ≠ 1)

บันทึก a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

บันทึก a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

บันทึก a (b c) = บันทึก a b + บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

บันทึก a b c = บันทึก a b − บันทึก a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

บันทึก a b p = p บันทึก a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

บันทึก a b = บันทึก c b บันทึก c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

บันทึก a b = 1 บันทึก b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)