ตารางฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟและปริพันธ์ อินทิกรัลสำหรับหุ่นจำลอง: วิธีแก้, กฎการคำนวณ, คำอธิบาย

ในเนื้อหาก่อนหน้านี้ มีการพิจารณาประเด็นการค้นหาอนุพันธ์และแสดงการนำไปประยุกต์ใช้ต่างๆ เช่น การคำนวณความชันของเส้นสัมผัสกันของกราฟ การแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด ศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้ว $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

รูปที่ 1.

ปัญหาในการค้นหาความเร็วชั่วขณะ $v(t)$ โดยใช้อนุพันธ์ตามเส้นทางที่รู้จักก่อนหน้านี้ซึ่งแสดงโดยฟังก์ชัน $s(t)$ ก็ได้รับการพิจารณาเช่นกัน

รูปที่ 2.

ปัญหาผกผันก็เป็นเรื่องปกติเช่นกัน เมื่อคุณต้องการค้นหาเส้นทาง $s(t)$ ที่ข้ามผ่านจุดหนึ่งของเวลา $t$ โดยรู้ความเร็วของจุด $v(t)$ หากเราจำได้ อัตราเร็วขณะนั้น $v(t)$ จะพบว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาธ $s(t)$: $v(t)=s’(t)$ ซึ่งหมายความว่าเพื่อที่จะแก้ปัญหาผกผัน นั่นคือ คำนวณเส้นทาง คุณต้องค้นหาฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์จะเท่ากับฟังก์ชันความเร็ว แต่เรารู้ว่าอนุพันธ์ของเส้นทางคือความเร็ว นั่นคือ: $s'(t) = v(t)$ ความเร็วเท่ากับความเร่งคูณเวลา: $v=at$ มันง่ายที่จะตัดสินว่าฟังก์ชันเส้นทางที่ต้องการจะมีรูปแบบ: $s(t) = \frac(at^2)(2)$ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์นัก ผลเฉลยที่สมบูรณ์จะมีรูปแบบ: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$ โดยที่ $C$ เป็นค่าคงที่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้นจะมีการหารือเพิ่มเติม ในตอนนี้ เรามาตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบที่พบ: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( เสื้อ)$.

เป็นที่น่าสังเกตว่าการค้นหาเส้นทางตามความเร็วเป็นความหมายทางกายภาพของแอนติเดริเวทีฟ

ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน $s(t)$ เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $v(t)$ เป็นชื่อที่ค่อนข้างน่าสนใจและแปลกตาใช่ไหมล่ะ มันมีความหมายที่ดีที่อธิบายสาระสำคัญของแนวคิดนี้และนำไปสู่ความเข้าใจ คุณจะสังเกตเห็นว่ามันมีสองคำ "แรก" และ "รูปภาพ" พวกเขาพูดเพื่อตัวเอง นั่นคือนี่คือฟังก์ชันที่เป็นค่าเริ่มต้นของอนุพันธ์ที่เรามี และใช้อนุพันธ์นี้ เรากำลังมองหาฟังก์ชันที่อยู่ตอนเริ่มต้น คือ "แรก" "ภาพแรก" นั่นคือ แอนติเดริเวทีฟ บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันดั้งเดิมหรือแอนติเดริเวทีฟ

ดังที่เราทราบแล้วว่ากระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าการสร้างความแตกต่าง และกระบวนการหาแอนติเดริเวทีฟเรียกว่าอินทิเกรต การดำเนินการของการอินทิเกรตเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการดำเนินการของการสร้างความแตกต่าง การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน

คำนิยาม.แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $f(x)$ ในช่วงหนึ่งคือฟังก์ชัน $F(x)$ ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันนี้ $f(x)$ สำหรับ $x$ ทั้งหมดจากช่วงที่ระบุ: $F' (x)=ฉ(x)$.

บางคนอาจมีคำถาม: $F(x)$ และ $f(x)$ มาจากไหนในคำจำกัดความ ถ้าในตอนแรกเรากำลังพูดถึง $s(t)$ และ $v(t)$ ความจริงก็คือ $s(t)$ และ $v(t)$ เป็นกรณีพิเศษของการกำหนดฟังก์ชันที่มีความหมายเฉพาะในกรณีนี้ นั่นคือ มันเป็นฟังก์ชันของเวลาและฟังก์ชันของความเร็ว ตามลำดับ เช่นเดียวกับตัวแปร $t$ ซึ่งหมายถึงเวลา และ $f$ และ $x$ เป็นรูปแบบดั้งเดิมของการกำหนดทั่วไปของฟังก์ชันและตัวแปร ตามลำดับ ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสัญลักษณ์ของแอนติเดริเวทีฟ $F(x)$ ก่อนอื่น $F$ คือเงินทุน สารต้านอนุพันธ์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ประการที่สอง ตัวอักษรจะเหมือนกัน: $F$ และ $f$ นั่นคือ สำหรับฟังก์ชัน $g(x)$ แอนติเดริเวทีฟจะแสดงด้วย $G(x)$ สำหรับ $z(x)$ – โดย $Z(x)$ กฎสำหรับการค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจะเหมือนกันเสมอไปโดยไม่คำนึงถึงสัญกรณ์

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $f(x)=\cos5x$

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้คำจำกัดความ หรือแทนข้อเท็จจริงที่ว่า $F'(x)=f(x)$ และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. ซึ่งหมายความว่า $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ เป็นแอนติเดริเวทีฟของ $f(x)=\cos5x$ Q.E.D.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาฟังก์ชันที่สอดคล้องกับแอนติเดริเวทีฟต่อไปนี้: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(ลิตร) = \sin l$

หากต้องการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ ให้คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:
ก) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$

ตัวอย่างที่ 3แอนติเดริเวทีฟสำหรับ $f(x)=0$ จะเป็นเท่าใด?
ลองใช้คำจำกัดความกัน ลองคิดว่าฟังก์ชันใดมีอนุพันธ์เท่ากับ $0$ เมื่อนึกถึงตารางอนุพันธ์ เราพบว่าค่าคงที่ใดๆ จะมีอนุพันธ์ดังกล่าว เราพบว่าแอนติเดริเวทีฟที่เรากำลังมองหาคือ: $F(x)= C$

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถอธิบายได้ทั้งทางเรขาคณิตและทางกายภาพ ในเชิงเรขาคณิต หมายความว่าเส้นสัมผัสของกราฟ $y=F(x)$ อยู่ในแนวนอนที่แต่ละจุดของกราฟ ดังนั้นจึงเกิดขึ้นพร้อมกันกับแกน $Ox$ ทางกายภาพอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าจุดที่มีความเร็วเท่ากับศูนย์ยังคงอยู่นั่นคือเส้นทางที่มันเดินทางไม่มีการเปลี่ยนแปลง จากข้อมูลนี้ เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท. (สัญลักษณ์ของความคงตัวของฟังก์ชัน- ถ้าในช่วงเวลาหนึ่ง $F'(x) = 0$ แล้วฟังก์ชัน $F(x)$ ในช่วงเวลานี้จะคงที่

ตัวอย่างที่ 4จงพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นแอนติเดริเวทีฟของ a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; ข) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; ค) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$ โดยที่ $a$ คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง
เมื่อใช้คำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ เราสรุปได้ว่าเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟที่มอบให้เรา เมื่อคำนวณ โปรดจำไว้ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ซึ่งก็คือจำนวนใดๆ ก็ตามจะเท่ากับศูนย์
ก) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
ค) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
ง) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

เราเห็นอะไร? ฟังก์ชันที่แตกต่างกันหลายฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันดั้งเดิมของฟังก์ชันเดียวกัน นี่แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันใดๆ มีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และอยู่ในรูปแบบ $F(x) + C$ โดยที่ $C$ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ นั่นคือการดำเนินการของการบูรณาการมีหลายค่า ซึ่งแตกต่างจากการดำเนินการของการสร้างความแตกต่าง จากนี้ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทที่อธิบายคุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ

ทฤษฎีบท. (คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ- ปล่อยให้ฟังก์ชัน $F_1$ และ $F_2$ เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $f(x)$ ในช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นสำหรับค่าทั้งหมดจากช่วงเวลานี้ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: $F_2=F_1+C$ โดยที่ $C$ เป็นค่าคงที่บางส่วน

ข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์สามารถตีความได้ในเชิงเรขาคณิต การใช้การแปลแบบขนานไปตามแกน $Oy$ เราสามารถหากราฟของแอนติเดริเวทีฟสองตัวใดๆ สำหรับ $f(x)$ จากกันและกัน นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของแอนติเดริเวทีฟ

เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าโดยการเลือกค่าคงที่ $C$ คุณสามารถมั่นใจได้ว่ากราฟของแอนติเดริเวทีฟจะผ่านจุดใดจุดหนึ่ง

รูปที่ 3.

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ ซึ่งกราฟจะผ่านจุด $(3; 1)$
ก่อนอื่น เรามาค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับ $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$
ต่อไป เราจะหาตัวเลข C ซึ่งกราฟ $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ จะผ่านจุด $(3; 1)$ ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการกราฟและแก้มันด้วย $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$
เราได้กราฟ $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ ซึ่งสอดคล้องกับแอนติเดริเวทีฟ $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$

ตารางแอนติเดริเวทีฟ

ตารางสูตรในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสามารถรวบรวมได้โดยใช้สูตรในการค้นหาอนุพันธ์

ตารางแอนติเดริเวทีฟ

ฟังก์ชั่น	สารต้านอนุพันธ์
$0$	$ซี$
$1$	$x+C$
$a\ใน R$	$ขวาน+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\บาป x$	$-\คอส x+C$
$\คอส x$	$\บาป x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$อี^x$	$อี^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\อาร์คซิน x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\อาร์คคอส x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของตารางได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: สำหรับแต่ละชุดของแอนติเดริเวทีฟที่อยู่ในคอลัมน์ทางขวา ให้ค้นหาอนุพันธ์ซึ่งจะส่งผลให้มีฟังก์ชันที่สอดคล้องกันในคอลัมน์ด้านซ้าย

กฎบางประการในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

ดังที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันจำนวนมากมีรูปแบบที่ซับซ้อนมากกว่าที่ระบุไว้ในตารางแอนติเดริเวทีฟ และสามารถเป็นการรวมผลบวกและผลคูณของฟังก์ชันจากตารางนี้โดยพลการได้ และนี่คือคำถามที่เกิดขึ้น: วิธีคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดังกล่าว ตัวอย่างเช่น จากตาราง เรารู้วิธีคำนวณแอนติเดริเวทีฟของ $x^3$, $\sin x$ และ $10$ ตัวอย่างเช่น เราสามารถคำนวณแอนติเดริเวทีฟ $x^3-10\sin x$ ได้อย่างไร? เมื่อมองไปข้างหน้า น่าสังเกตว่ามันจะเท่ากับ $\frac(x^4)(4)+10\cos x$
1. ถ้า $F(x)$ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ $f(x)$, $G(x)$ สำหรับ $g(x)$ ดังนั้นสำหรับ $f(x)+g(x)$ แอนติเดริเวทีฟจะเป็น เท่ากับ $ F(x)+G(x)$
2. ถ้า $F(x)$ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ $f(x)$ และ $a$ เป็นค่าคงที่ ดังนั้นสำหรับ $af(x)$ แอนติเดริเวทีฟจะเป็น $aF(x)$
3. ถ้า $f(x)$ แอนติเดริเวทีฟคือ $F(x)$, $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น $\frac(1)(a) F(ax+b)$ จะเป็นแอนติเดริเวทีฟ สำหรับ $f (ขวาน+b)$
การใช้กฎที่ได้รับเราสามารถขยายตารางแอนติเดริเวทีฟได้

ฟังก์ชั่น	สารต้านอนุพันธ์
$(ขวาน+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ขวาน+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ขวาน+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ขวาน+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาสารต้านอนุพันธ์สำหรับ:

ก) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

ข) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

ค) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

ง) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$

ก) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

ง) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$

การบูรณาการเป็นหนึ่งในการดำเนินการหลักในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตารางแอนติเดริเวทีฟที่ทราบอาจมีประโยชน์ แต่ตอนนี้ หลังจากการถือกำเนิดของระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ตารางเหล่านี้กำลังสูญเสียความสำคัญไป ด้านล่างนี้เป็นรายการพื้นฐานที่พบบ่อยที่สุด

ตารางอินทิกรัลพื้นฐาน

อีกทางเลือกหนึ่งที่มีขนาดกะทัดรัด

ตารางปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากฟังก์ชันตรรกยะ

จากฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว

ปริพันธ์ของฟังก์ชันทิพย์

"C" คือค่าคงที่ของการอินทิกรัลตามอำเภอใจ ซึ่งจะถูกกำหนดถ้าทราบค่าของอินทิกรัล ณ จุดใดๆ แต่ละฟังก์ชันมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์

เด็กนักเรียนและนักเรียนส่วนใหญ่มีปัญหาในการคำนวณปริพันธ์ หน้านี้ประกอบด้วย ตารางอินทิกรัลจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตรรกยะ อตรรกยะ และอสุรกายที่จะมาช่วยในการแก้โจทย์ ตารางอนุพันธ์จะช่วยคุณได้เช่นกัน

วิดีโอ - วิธีค้นหาอินทิกรัล

หากคุณไม่ค่อยเข้าใจหัวข้อนี้ ให้ดูวิดีโอซึ่งจะอธิบายทุกอย่างโดยละเอียด

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด

ข้อเท็จจริง 1. อินทิเกรตคือการกระทำผกผันของการสร้างความแตกต่าง กล่าวคือ การคืนค่าฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่ทราบของฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชั่นจึงถูกเรียกคืน เอฟ(x) เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x).

คำจำกัดความ 1. ฟังก์ชั่น เอฟ(x ฉ(x) ในช่วงเวลาหนึ่ง เอ็กซ์ถ้าสำหรับทุกค่า xจากช่วงเวลานี้ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่ เอฟ "(x)=ฉ(x) นั่นคือฟังก์ชันนี้ ฉ(x) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ เอฟ(x). .

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน เอฟ(x) = บาป x คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = cos x บนเส้นจำนวนทั้งหมด เนื่องจากค่าใดๆ ของ x (บาป x)" = (เพราะ x) .

คำจำกัดความ 2. อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน ฉ(x) คือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด- ในกรณีนี้จะใช้สัญกรณ์

∫

ฉ(x)ดีเอ็กซ์

,

ป้ายอยู่ที่ไหน ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล ฟังก์ชัน ฉ(x) – ฟังก์ชันปริพันธ์ และ ฉ(x)ดีเอ็กซ์ – การแสดงออกที่เป็นปริพันธ์

ดังนั้นหาก เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟบางตัวสำหรับ ฉ(x) , ที่

∫

ฉ(x)ดีเอ็กซ์ = เอฟ(x) +ค

ที่ไหน ค - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ (คงที่)

เพื่อให้เข้าใจความหมายของเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่เป็นอินทิกรัลไม่ จำกัด การเปรียบเทียบต่อไปนี้จึงเหมาะสม ให้มีประตู (ประตูไม้แบบดั้งเดิม) หน้าที่ของมันคือ “เป็นประตู” ประตูทำมาจากอะไร? ทำจากไม้. ซึ่งหมายความว่าเซตของแอนติเดริเวทีฟของปริพันธ์ของฟังก์ชัน "to be a door" ซึ่งก็คืออินทิกรัลไม่จำกัดของมันคือฟังก์ชัน "to be a tree + C" โดยที่ C เป็นค่าคงที่ ซึ่งในบริบทนี้สามารถ แสดงถึงชนิดของต้นไม้ เป็นต้น เช่นเดียวกับประตูที่ทำจากไม้โดยใช้เครื่องมือบางอย่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันก็ "สร้าง" จากฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟโดยใช้ สูตรที่เราเรียนรู้ขณะศึกษาอนุพันธ์ .

จากนั้นตารางฟังก์ชันของวัตถุทั่วไปและแอนติเดริเวทีฟที่สอดคล้องกัน ("เป็นประตู" - "เป็นต้นไม้", "เป็นช้อน" - "เป็นโลหะ" ฯลฯ ) จะคล้ายกับตารางพื้นฐาน อินทิกรัลไม่ จำกัด ซึ่งจะระบุไว้ด้านล่าง ตารางอินทิกรัลไม่จำกัดแสดงรายการฟังก์ชันทั่วไปพร้อมข้อบ่งชี้ของแอนติเดริเวทีฟซึ่งเป็นที่มาของฟังก์ชันเหล่านี้ ในส่วนของปัญหาในการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดนั้น อินทิกรัลกำหนดมาให้ซึ่งสามารถอินทิกรัลโดยตรงได้โดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากนัก นั่นคือ ใช้ตารางอินทิกรัลไม่จำกัด ในปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ปริพันธ์จะต้องถูกแปลงก่อนจึงจะสามารถใช้ปริพันธ์ของตารางได้

ข้อเท็จจริง 2. เมื่อคืนค่าฟังก์ชันเป็นแอนติเดริเวทีฟ เราต้องคำนึงถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ค่าคงที่) คและเพื่อไม่ให้เขียนรายการแอนติเดริเวทีฟที่มีค่าคงที่ต่างๆ ตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์ คุณต้องเขียนชุดแอนติเดริเวทีฟที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจ คตัวอย่างเช่นเช่นนี้: 5 x³+ซี ดังนั้นค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ค่าคงที่) จะรวมอยู่ในการแสดงออกของแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากแอนติเดริเวทีฟสามารถเป็นฟังก์ชันได้เช่น 5 xลูกบาศก์+4 หรือ 5 x³+3 และเมื่อหาอนุพันธ์แล้ว 4 หรือ 3 หรือค่าคงที่อื่นๆ จะเป็นศูนย์

ให้เราสร้างปัญหาการรวม: สำหรับฟังก์ชันนี้ ฉ(x) ค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว เอฟ(x), อนุพันธ์ของใครเท่ากับ ฉ(x).

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

สารละลาย. สำหรับฟังก์ชันนี้ แอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน

การทำงาน เอฟ(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) ถ้าเป็นอนุพันธ์ เอฟ(x) เท่ากับ ฉ(x) หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน คือดิฟเฟอเรนเชียล เอฟ(x) มีค่าเท่ากัน ฉ(x) ดีเอ็กซ์, เช่น.

(2)

ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่เพียงสารต้านอนุพันธ์เพียงอย่างเดียวสำหรับ พวกมันยังทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันด้วย

ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างความแตกต่าง

ดังนั้น หากมีแอนติเดริเวทีฟหนึ่งตัวสำหรับฟังก์ชันหนึ่ง ก็จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ที่แตกต่างกันไปตามเทอมคงที่ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันเขียนอยู่ในรูปแบบด้านบน สิ่งนี้ตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (ข้อความอย่างเป็นทางการของข้อเท็จจริง 2)ถ้า เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) ในช่วงเวลาหนึ่ง เอ็กซ์แล้วแอนติเดริเวทีฟอื่นๆ ของ ฉ(x) ในช่วงเวลาเดียวกันสามารถแสดงในรูปแบบได้ เอฟ(x) + ค, ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ในตัวอย่างถัดไป เราจะดูตารางปริพันธ์ซึ่งจะระบุไว้ในย่อหน้าที่ 3 ถัดจากคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด เราทำสิ่งนี้ก่อนที่จะอ่านทั้งตารางเพื่อให้สาระสำคัญของข้างต้นมีความชัดเจน และหลังจากตารางและคุณสมบัติแล้ว เราจะใช้พวกมันอย่างครบถ้วนระหว่างการรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาชุดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ:

สารละลาย. เราค้นหาชุดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟซึ่งฟังก์ชันเหล่านี้ถูก "สร้าง" เมื่อพูดถึงสูตรจากตารางอินทิกรัล ตอนนี้ก็แค่ยอมรับว่ามีสูตรแบบนั้นอยู่ แล้วเราจะศึกษาตารางอินทิกรัลไม่จำกัดเพิ่มเติมอีกสักหน่อย

1) การใช้สูตร (7) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ n= 3 เราได้

2) การใช้สูตร (10) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ n= 1/3 เราได้

3) ตั้งแต่

แล้วตามสูตร (7) ด้วย n= -1/4 เราพบ

ไม่ใช่ฟังก์ชันที่เขียนไว้ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล ฉและผลิตภัณฑ์ของมันตามส่วนต่าง ดีเอ็กซ์- โดยหลักแล้วจะทำเพื่อบ่งชี้ว่าตัวแปรใดที่ต้องการแอนติเดริเวทีฟ ตัวอย่างเช่น,

, ;

ในที่นี้ทั้งสองกรณีปริพันธ์จะเท่ากับ แต่ปริพันธ์ไม่จำกัดในกรณีที่ถือว่าแตกต่างกัน ในกรณีแรก ฟังก์ชันนี้ถือเป็นฟังก์ชันของตัวแปร xและอย่างที่สอง - เป็นฟังก์ชันของ z .

กระบวนการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเรียกว่าอินทิเกรตฟังก์ชันนั้น

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลไม่ จำกัด

สมมติว่าเราต้องหาเส้นโค้ง y=F(x)และเรารู้อยู่แล้วว่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่แต่ละจุดนั้นเป็นฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)อับซิสซาแห่งจุดนี้

ตามความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดของเส้นโค้ง y=F(x)เท่ากับมูลค่าของอนุพันธ์ ฟ"(x)- เราจึงต้องหาฟังก์ชันดังกล่าว ฉ(x)เพื่อที่ ฉ"(x)=ฉ(x)- ฟังก์ชั่นที่จำเป็นในงาน ฉ(x)เป็นแอนติเดริเวทีฟของ ฉ(x)- เงื่อนไขของปัญหาไม่ได้เกิดจากเส้นโค้งเดียว แต่เป็นไปตามกลุ่มของเส้นโค้ง y=F(x)- หนึ่งในเส้นโค้งเหล่านี้และเส้นโค้งอื่น ๆ สามารถรับได้จากการแปลแบบขนานตามแนวแกน เฮ้ย.

ลองเรียกกราฟของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟของ ฉ(x)เส้นโค้งอินทิกรัล ถ้า ฉ"(x)=ฉ(x)แล้วกราฟของฟังก์ชัน y=F(x)มีเส้นโค้งอินทิกรัล

ข้อเท็จจริง 3 อินทิกรัลไม่ จำกัด จะแสดงในเชิงเรขาคณิตโดยตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมด ดังภาพด้านล่าง ระยะทางของแต่ละเส้นโค้งจากจุดกำเนิดของพิกัดถูกกำหนดโดยค่าคงที่การรวมตามอำเภอใจ ค.

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

ข้อเท็จจริง 4. ทฤษฎีบท 1 อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์ และส่วนต่างของมันเท่ากับปริพันธ์

ความจริง 5. ทฤษฎีบท 2. อินทิกรัลไม่จำกัดของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ฉ(x) เท่ากับฟังก์ชัน ฉ(x) จนถึงระยะเวลาคงที่ , เช่น.

(3)

ทฤษฎีบทที่ 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างและการบูรณาการเป็นการดำเนินการผกผันร่วมกัน

ข้อเท็จจริง 6. ทฤษฎีบท 3 ตัวประกอบคงที่ในปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด , เช่น.

ในหน้านี้คุณจะพบกับ:

1. ที่จริงแล้วตารางแอนติเดริเวทีฟ - สามารถดาวน์โหลดในรูปแบบ PDF และพิมพ์ได้

2. วิดีโอเกี่ยวกับวิธีใช้ตารางนี้

3. ตัวอย่างการคำนวณแอนติเดริเวทีฟจากตำราเรียนและการทดสอบต่างๆ

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาต่างๆ ที่คุณต้องคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ซึ่งมักจะค่อนข้างซับซ้อน แต่ที่สำคัญที่สุด ไม่ใช่ฟังก์ชันยกกำลัง ฟังก์ชันทั้งหมดที่สรุปไว้ในตารางที่เสนอข้างต้นจะต้องทราบด้วยหัวใจ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ การศึกษาปริพันธ์เพิ่มเติมและการประยุกต์เพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติก็เป็นไปไม่ได้

วันนี้เราศึกษาเรื่องดั้งเดิมต่อไปและไปยังหัวข้อที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย ถ้าคราวที่แล้วเราดูแอนติเดริเวทีฟเฉพาะฟังก์ชันกำลังและโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย วันนี้เราจะดูตรีโกณมิติและอื่นๆ อีกมากมาย

อย่างที่ฉันบอกไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว แอนติเดริเวทีฟต่างจากอนุพันธ์ตรงที่ไม่เคยได้รับการแก้ไข "ทันที" โดยใช้กฎมาตรฐานใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น ข่าวร้ายก็คือว่า ไม่เหมือนกับอนุพันธ์ตรงที่ antiderivative อาจไม่ได้รับการพิจารณาเลย หากเราเขียนฟังก์ชันสุ่มโดยสมบูรณ์แล้วพยายามค้นหาอนุพันธ์ของมัน มีความเป็นไปได้สูงมากที่เราจะประสบความสำเร็จ แต่ในกรณีนี้แทบไม่เคยคำนวณแอนติเดริเวทีฟเลย แต่มีข่าวดี: มีคลาสของฟังก์ชันที่ค่อนข้างใหญ่ที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟที่คำนวณได้ง่ายมาก และโครงสร้างที่ซับซ้อนอื่นๆ ทั้งหมดที่มอบให้กับการทดสอบทุกประเภท การทดสอบอิสระ และการสอบ แท้จริงแล้ว ประกอบด้วยฟังก์ชันเบื้องต้นเหล่านี้ผ่านการบวก การลบ และการกระทำง่ายๆ อื่นๆ ต้นแบบของฟังก์ชันดังกล่าวได้รับการคำนวณและรวบรวมเป็นตารางพิเศษมานานแล้ว มันคือฟังก์ชันและตารางเหล่านี้ที่เราจะใช้งานในวันนี้

แต่เราจะเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำเช่นเคย: จำไว้ว่าแอนติเดริเวทีฟคืออะไร เหตุใดจึงมีจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด และวิธีพิจารณาลักษณะทั่วไปของพวกมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ฉันหยิบปัญหาง่ายๆ สองข้อขึ้นมา

การแก้ตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่าง #1

ขอให้เราสังเกตทันทีว่า $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ และโดยทั่วไปแล้ว การมีอยู่ของ $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ บอกเราทันทีว่าแอนติเดริเวทีฟที่ต้องการของฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ และแน่นอน ถ้าเราดูที่ตาราง เราจะพบว่า $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ไม่มีอะไรมากไปกว่า $\text(arctg)x$ ลองเขียนมันลงไป:

เพื่อที่จะค้นหา คุณต้องเขียนสิ่งต่อไปนี้:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+ค\]

ตัวอย่างหมายเลข 2

เรากำลังพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่นี่ด้วย ถ้าเราดูที่ตาราง นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

เราจำเป็นต้องค้นหาอันที่ผ่านจุดที่ระบุในบรรดาชุดแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

ในที่สุดเรามาเขียนมันลงไป:

มันง่ายมาก ปัญหาเดียวคือในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันอย่างง่าย คุณต้องเรียนรู้ตารางแอนติเดริเวทีฟ อย่างไรก็ตาม หลังจากที่ศึกษาตารางอนุพันธ์สำหรับคุณแล้ว ฉันคิดว่านี่จะไม่เป็นปัญหา

การแก้ปัญหาที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ขั้นแรกให้เขียนสูตรต่อไปนี้:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ

ตัวอย่าง #1

หากเราดูที่เนื้อหาของวงเล็บ เราจะสังเกตเห็นว่าในตารางของสารต้านอนุพันธ์ไม่มีนิพจน์สำหรับ $((e)^(x))$ อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจึงต้องขยายรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ ในการทำสิ่งนี้ เราใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

มาหาแอนติเดริเวทีฟของแต่ละเทอมกัน:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

ตอนนี้เรามารวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดไว้ในนิพจน์เดียวและรับแอนติเดริเวทีฟทั่วไป:

ตัวอย่างหมายเลข 2

คราวนี้ค่าดีกรีมีขนาดใหญ่ขึ้น ดังนั้น สูตรการคูณแบบย่อจึงค่อนข้างซับซ้อน เรามาเปิดวงเล็บกันดีกว่า:

ทีนี้ลองหาแอนติเดริเวทีฟของสูตรของเราจากโครงสร้างนี้:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนหรือเหนือธรรมชาติในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทั้งหมดคำนวณผ่านตาราง แต่นักเรียนที่เอาใจใส่อาจจะสังเกตเห็นว่าค่าต้านอนุพันธ์ $((e)^(2x))$ นั้นใกล้เคียงกับ $((e)^(x))$ มากกว่า $((a )^(x ))$. ดังนั้น บางทีอาจมีกฎพิเศษบางข้อที่อนุญาตให้รู้ค่าแอนติเดริเวทีฟ $((e)^(x))$ เพื่อค้นหา $((e)^(2x))$? ใช่ มีกฎดังกล่าวอยู่ และยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นส่วนสำคัญของการทำงานกับตารางแอนติเดริเวทีฟอีกด้วย ตอนนี้เราจะวิเคราะห์โดยใช้นิพจน์เดียวกับที่เราเพิ่งใช้เป็นตัวอย่าง

กฎสำหรับการทำงานกับตารางแอนติเดริเวทีฟ

มาเขียนฟังก์ชันของเราอีกครั้ง:

ในกรณีก่อนหน้านี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อแก้ไข:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ชื่อผู้ดำเนินการ(lna))\]

แต่ตอนนี้เรามาทำให้มันแตกต่างออกไปหน่อย: จำไว้ว่า $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ เป็นพื้นฐานอะไร อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เพราะอนุพันธ์ $((e)^(x))$ ไม่มีอะไรมากไปกว่า $((e)^(x))$ ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟของมันจะเท่ากับ $((e) ^ เท่าเดิม (เอ็กซ์))$. แต่ปัญหาคือเรามี $((e)^(2x))$ และ $((e)^(-2x))$ ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ของ $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \ไพรม์ ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

มาเขียนการก่อสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราค้นหาแอนติเดริเวทีฟ $((e)^(2x))$ เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

อย่างที่คุณเห็น เราได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม แต่เราไม่ได้ใช้สูตรเพื่อค้นหา $((a)^(x))$ ตอนนี้อาจดูงี่เง่า: เหตุใดการคำนวณจึงซับซ้อนเมื่อมีสูตรมาตรฐาน? อย่างไรก็ตาม ในนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณจะพบว่าเทคนิคนี้มีประสิทธิภาพมาก เช่น การใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

เพื่ออุ่นเครื่อง ลองหาแอนติเดริเวทีฟของ $((e)^(2x))$ ในทำนองเดียวกัน:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

เมื่อคำนวณการก่อสร้างของเราจะเขียนดังนี้:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

เราได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกประการ แต่ใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไป มันเป็นเส้นทางนี้ซึ่งตอนนี้ดูเหมือนซับซ้อนกว่าเล็กน้อยสำหรับเราซึ่งในอนาคตจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นและการใช้ตาราง

ใส่ใจ! นี่เป็นจุดสำคัญมาก: แอนติเดริเวทีฟ เช่น อนุพันธ์ สามารถนับได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม หากการคำนวณและการคำนวณทั้งหมดเท่ากัน คำตอบก็จะเหมือนกัน เราเพิ่งเห็นสิ่งนี้จากตัวอย่างของ $((e)^(-2x))$ - ในด้านหนึ่ง เราคำนวณแอนติเดริเวทีฟนี้แบบ "ผ่าน" โดยใช้คำจำกัดความและคำนวณโดยใช้การแปลง ในทางกลับกัน เราจำได้ว่า $ ((e)^(-2x))$ สามารถแสดงเป็น $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ จากนั้นเราใช้เท่านั้น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $( (a)^(x))$ อย่างไรก็ตาม หลังจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ผลลัพธ์ก็เหมือนเดิมตามที่คาดไว้

และตอนนี้เราเข้าใจทั้งหมดนี้แล้ว ก็ถึงเวลาก้าวไปสู่บางสิ่งที่สำคัญกว่านี้ ตอนนี้เราจะวิเคราะห์โครงสร้างง่ายๆ สองแบบ แต่เทคนิคที่จะใช้ในการแก้ปัญหาเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและมีประโยชน์มากกว่าแค่ "วิ่ง" ระหว่างแอนติเดริเวทีฟที่อยู่ใกล้เคียงจากตาราง

การแก้ปัญหา: การค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง #1

แบ่งจำนวนเงินที่อยู่ในตัวเศษออกเป็นเศษส่วนแยกกันสามส่วน:

นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติและเข้าใจได้ - นักเรียนส่วนใหญ่ไม่มีปัญหากับเรื่องนี้ ลองเขียนนิพจน์ของเราใหม่ดังนี้:

ตอนนี้เรามาจำสูตรนี้กัน:

ในกรณีของเราเราจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

เพื่อกำจัดเศษส่วนทั้งสามชั้นนี้ ฉันแนะนำให้ทำดังนี้:

ตัวอย่างหมายเลข 2

ตัวส่วนไม่เหมือนกับเศษส่วนก่อนหน้าตรงที่ตัวส่วนไม่ใช่ผลคูณ แต่เป็นผลรวม ในกรณีนี้ เราไม่สามารถแบ่งเศษส่วนของเราออกเป็นผลรวมของเศษส่วนง่ายๆ หลายตัวได้อีกต่อไป แต่เราต้องพยายามให้แน่ใจว่าตัวเศษมีนิพจน์เดียวกันกับตัวส่วนโดยประมาณ ในกรณีนี้ ทำได้ค่อนข้างง่าย:

สัญกรณ์นี้ซึ่งในภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่า "การบวกศูนย์" จะทำให้เราสามารถแบ่งเศษส่วนออกเป็นสองส่วนได้อีกครั้ง:

ตอนนี้เรามาดูสิ่งที่เรากำลังมองหา:

นั่นคือการคำนวณทั้งหมด แม้จะมีความซับซ้อนมากกว่าปัญหาก่อนหน้านี้ แต่ปริมาณการคำนวณกลับมีขนาดเล็กลงอีก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

และนี่คือจุดที่ปัญหาหลักในการทำงานกับแอนติเดริเวทีฟแบบตารางอยู่ ซึ่งเห็นได้ชัดเจนโดยเฉพาะในงานที่สอง ความจริงก็คือเพื่อที่จะเลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คำนวณได้ง่ายผ่านตารางเราจำเป็นต้องรู้ว่าเรากำลังมองหาอะไรกันแน่และในการค้นหาองค์ประกอบเหล่านี้นั้นการคำนวณแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดประกอบด้วย

กล่าวอีกนัยหนึ่งการจดจำตารางแอนติเดริเวทีฟนั้นไม่เพียงพอ - คุณต้องสามารถเห็นบางสิ่งที่ยังไม่มีอยู่ แต่ผู้เขียนและผู้คอมไพเลอร์ของปัญหานี้หมายถึงอะไร นั่นคือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ ครู และอาจารย์หลายคนโต้แย้งอยู่ตลอดเวลาว่า: "อะไรคือการใช้สารต้านอนุพันธ์หรือการอินทิเกรต - มันเป็นเพียงเครื่องมือหรือเป็นศิลปะจริงๆ" ในความเห็นส่วนตัวของฉัน การบูรณาการไม่ใช่ศิลปะเลย ไม่มีอะไรประเสริฐในนั้น มันเป็นเพียงการฝึกฝนและการฝึกฝนมากขึ้น และเพื่อฝึกฝน เรามาแก้ตัวอย่างที่จริงจังอีกสามตัวอย่างกัน

เราฝึกอบรมเรื่องการบูรณาการในทางปฏิบัติ

ภารกิจที่ 1

ลองเขียนสูตรต่อไปนี้:

\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\ถึง \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

มาเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

ลองเขียนใหม่ดังต่อไปนี้:

แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะเท่ากับ:

ปัญหาหมายเลข 3

ความยากของงานนี้คือ ไม่มีตัวแปร $x$ เลย ซึ่งต่างจากฟังก์ชันก่อนหน้าข้างต้น นั่นคือ ยังไม่ชัดเจนสำหรับเราว่าจะเพิ่มหรือลบอะไรเพื่อให้ได้สิ่งที่คล้ายกับสิ่งที่อยู่ด้านล่างเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม ที่จริงแล้ว นิพจน์นี้ถือว่าง่ายกว่านิพจน์ก่อนหน้าใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

คุณอาจถามว่าทำไมฟังก์ชันเหล่านี้ถึงเท่ากัน? มาตรวจสอบกัน:

มาเขียนใหม่อีกครั้ง:

มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรากันหน่อย:

และเมื่อฉันอธิบายทั้งหมดนี้ให้นักเรียนฟัง ปัญหาเดียวกันนี้มักจะเกิดขึ้น: ด้วยฟังก์ชันแรกทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย ส่วนฟังก์ชันที่สองคุณสามารถเข้าใจได้ด้วยโชคหรือการฝึกฝน แต่คุณมีสติทางเลือกประเภทใด จำเป็นต้องมีเพื่อที่จะแก้ตัวอย่างที่สาม? จริงๆแล้วไม่ต้องกลัวนะ เทคนิคที่เราใช้ในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟครั้งล่าสุดเรียกว่า "การสลายตัวของฟังก์ชันให้กลายเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด" และนี่เป็นเทคนิคที่จริงจังมากและจะมีการทุ่มเทบทเรียนวิดีโอแยกต่างหาก

ในระหว่างนี้ ฉันเสนอให้กลับไปที่สิ่งที่เราเพิ่งศึกษา นั่นคือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และทำให้ปัญหากับเนื้อหาค่อนข้างซับซ้อน

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นสำหรับการแก้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแอนติเดริเวทีฟ

ภารกิจที่ 1

สังเกตสิ่งต่อไปนี้:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของนิพจน์นี้ เพียงใช้สูตรมาตรฐาน - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$

ในกรณีของเรา แอนติเดริเวทีฟจะเป็นดังนี้:

แน่นอนว่าเมื่อเทียบกับการออกแบบที่เราเพิ่งแก้ไขไป การออกแบบนี้ดูง่ายกว่า

ปัญหาหมายเลข 2

ขอย้ำอีกครั้งว่าง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันนี้สามารถแบ่งออกเป็นสองพจน์ที่แยกจากกันได้อย่างง่ายดาย - เศษส่วนสองส่วนที่แยกจากกัน มาเขียนใหม่:

ยังคงต้องหาแอนติเดริเวทีฟของแต่ละคำเหล่านี้โดยใช้สูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น:

แม้ว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะมีความซับซ้อนมากขึ้นอย่างเห็นได้ชัดเมื่อเปรียบเทียบกับฟังก์ชันกำลัง แต่ปริมาณการคำนวณและการคำนวณโดยรวมกลับกลายเป็นว่าง่ายกว่ามาก

แน่นอนว่าสำหรับนักเรียนที่มีความรู้ สิ่งที่เราเพิ่งคุยกันไป (โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับฉากหลังของสิ่งที่เราได้คุยกันก่อนหน้านี้) อาจดูเหมือนเป็นสำนวนเบื้องต้น อย่างไรก็ตาม เมื่อเลือกปัญหาทั้งสองนี้สำหรับบทเรียนวิดีโอวันนี้ ฉันไม่ได้ตั้งเป้าหมายที่จะบอกเทคนิคที่ซับซ้อนและซับซ้อนอีกอย่างหนึ่งให้คุณทราบ - ทั้งหมดที่ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นคือคุณไม่ควรกลัวที่จะใช้เทคนิคพีชคณิตมาตรฐานในการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม .

โดยใช้เทคนิค "ลับ"

โดยสรุป ฉันอยากจะดูเทคนิคที่น่าสนใจอีกเทคนิคหนึ่ง ซึ่งในอีกด้านหนึ่งไปไกลกว่าสิ่งที่เราพูดคุยกันเป็นหลักในวันนี้ แต่ในทางกลับกัน ประการแรก มันไม่ซับซ้อนเลย กล่าวคือ แม้แต่นักเรียนระดับเริ่มต้นก็สามารถเชี่ยวชาญได้ และประการที่สอง มักพบได้ในการทดสอบและงานอิสระทุกประเภท เช่น ความรู้นี้จะมีประโยชน์มากนอกเหนือจากความรู้เรื่องตารางแอนติเดริเวทีฟ

ภารกิจที่ 1

แน่นอนว่า เรามีบางอย่างที่คล้ายกับฟังก์ชันกำลังมาก ในกรณีนี้เราควรทำอย่างไร? ลองคิดดู: $x-5$ ไม่ได้แตกต่างมากนักจาก $x$ - พวกเขาเพิ่งบวก $-5$ มาเขียนแบบนี้:

\[((x)^(4))\ถึง \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

ลองหาอนุพันธ์ของ $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

เป็นไปตามนี้:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ ขวา))^(\นายก ))\]

ไม่มีค่าดังกล่าวในตาราง ดังนั้นเราจึงได้สูตรนี้มาใช้เองโดยใช้สูตรต้านอนุพันธ์มาตรฐานสำหรับฟังก์ชันกำลัง ลองเขียนคำตอบดังนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

นักเรียนหลายคนที่ดูวิธีแก้ปัญหาแรกอาจคิดว่าทุกอย่างง่ายมาก เพียงแทนที่ $x$ ในฟังก์ชันยกกำลังด้วยนิพจน์เชิงเส้น แล้วทุกอย่างจะเข้าที่ น่าเสียดายที่ทุกอย่างไม่ง่ายนัก และตอนนี้เราจะได้เห็นสิ่งนี้

โดยการเปรียบเทียบกับนิพจน์แรก เราเขียนได้ดังนี้:

\[((x)^(9))\ถึง \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

เมื่อกลับไปที่อนุพันธ์ของเรา เราสามารถเขียนได้ว่า:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\ไพรม์ ))\]

สิ่งนี้จะตามมาทันที:

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

โปรดทราบ: หากครั้งล่าสุดไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ในกรณีที่สอง แทนที่จะเป็น $-10$ กลับปรากฏ $-30$ อะไรคือความแตกต่างระหว่าง $-10$ และ $-30$? แน่นอนว่าด้วยปัจจัย $-3$ คำถาม: มันมาจากไหน? หากคุณมองใกล้ ๆ คุณจะเห็นว่ามันคำนวณมาจากการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน - ค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ที่ $x$ จะปรากฏอยู่ในแอนติเดริเวทีฟด้านล่าง นี่เป็นกฎที่สำคัญมาก ซึ่งในตอนแรกฉันไม่ได้วางแผนที่จะพูดคุยเลยในบทเรียนวิดีโอของวันนี้ แต่ถ้าไม่มีการนำเสนอแอนติเดริเวทีฟแบบตารางก็จะไม่สมบูรณ์

ลองทำใหม่อีกครั้ง ให้มีฟังก์ชันกำลังหลักของเรา:

\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ตอนนี้ แทนที่จะเป็น $x$ ลองแทนที่นิพจน์ $kx+b$ แทน แล้วจะเกิดอะไรขึ้น? เราจำเป็นต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

เราอ้างสิ่งนี้บนพื้นฐานอะไร? ง่ายมาก มาหาอนุพันธ์ของการก่อสร้างที่เขียนไว้ด้านบน:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

นี่เป็นการแสดงออกแบบเดียวกับที่มีอยู่เดิม ดังนั้น สูตรนี้จึงถูกต้องเช่นกัน และสามารถใช้เพื่อเสริมตารางแอนติเดริเวทีฟได้ หรือควรจำทั้งตารางจะดีกว่า

บทสรุปจาก “ความลับ: เทคนิค:

• ฟังก์ชันทั้งสองที่เราเพิ่งตรวจสอบไป จริงๆ แล้วสามารถลดลงเหลือแอนติเดริเวทีฟที่ระบุในตารางได้โดยการขยายองศา แต่ถ้าเราสามารถรับมือกับระดับที่ 4 ได้ไม่มากก็น้อย ฉันก็จะไม่ถือว่าระดับที่ 9 กล้าด้วยซ้ำ ที่จะเปิดเผย
• หากเราขยายองศาออกไป เราก็จะได้การคำนวณปริมาณมากจนงานง่ายๆ ทำให้เราใช้เวลานานอย่างไม่เหมาะสม
• นั่นคือเหตุผลว่าทำไมปัญหาดังกล่าวซึ่งมีสำนวนเชิงเส้นจึงไม่จำเป็นต้องแก้ไขแบบ "หัวทิ่ม" ทันทีที่คุณเจอแอนติเดริเวทีฟที่แตกต่างจากตารางในตารางเฉพาะเมื่อมีนิพจน์ $kx+b$ อยู่ข้างใน ให้จำสูตรที่เขียนไว้ข้างต้นทันที แทนที่มันลงในตารางแอนติเดริเวทีฟ แล้วทุกอย่างจะออกมาสวยงามมาก เร็วขึ้นและง่ายขึ้น

เนื่องจากความซับซ้อนและความจริงจังของเทคนิคนี้ เราจะกลับมาพิจารณาหลายครั้งในบทเรียนวิดีโอในอนาคต แต่นั่นคือทั้งหมดสำหรับวันนี้ ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยนักเรียนที่ต้องการเข้าใจการต่อต้านอนุพันธ์และการบูรณาการได้จริงๆ

คำจำกัดความ 1

แอนติเดริเวทีฟ $F(x)$ สำหรับฟังก์ชัน $y=f(x)$ บนเซ็กเมนต์ $$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ แต่ละจุดของเซกเมนต์นี้ และความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นสำหรับอนุพันธ์ของมัน:

คำจำกัดความ 2

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ ซึ่งกำหนดบนเซกเมนต์หนึ่งๆ เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ อินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดด้วยสัญลักษณ์ $\int f(x)dx $

จากตารางอนุพันธ์และคำจำกัดความ 2 เราได้ตารางอินทิกรัลพื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบความถูกต้องของสูตร 7 จากตารางปริพันธ์:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

ลองแยกความแตกต่างทางขวามือ: $-\ln |\cos x|+C$

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

ตัวอย่างที่ 2

ตรวจสอบความถูกต้องของสูตร 8 จากตารางปริพันธ์:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

ลองแยกความแตกต่างทางขวามือ: $\ln |\sin x|+C$

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

อนุพันธ์กลายเป็นปริพันธ์ ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3

ตรวจสอบความถูกต้องของสูตร 11" จากตารางอินทิกรัล:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

ลองแยกความแตกต่างของด้านขวามือ: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (ก^(2) +x^(2) ) \]

อนุพันธ์กลายเป็นปริพันธ์ ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบความถูกต้องของสูตร 12 จากตารางปริพันธ์:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

ลองแยกความแตกต่างของด้านขวามือ: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $อนุพันธ์กลายเป็นปริพันธ์ ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบความถูกต้องของสูตร 13" จากตารางอินทิกรัล:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

ลองแยกความแตกต่างทางด้านขวามือ: $\arcsin \frac(x)(a) +C$

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

อนุพันธ์กลายเป็นปริพันธ์ ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบความถูกต้องของสูตร 14 จากตารางปริพันธ์:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

ลองแยกความแตกต่างทางด้านขวามือ: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ น. a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

อนุพันธ์กลายเป็นปริพันธ์ ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอินทิกรัล:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

ลองใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลผลรวม:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

ขอให้เราใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการวางตัวประกอบคงที่ไว้นอกเครื่องหมายอินทิกรัล:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

ตามตารางอินทิกรัล:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

เมื่อคำนวณอินทิกรัลแรก เราใช้กฎข้อ 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

เพราะฉะนั้น,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]