ตารางคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและกราฟ ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชั่นที่ไหน เอ็กซ์ – ปริมาณตัวแปร, ก– เรียกหมายเลขที่กำหนด ฟังก์ชั่นพลังงาน .

หากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น กราฟของมันจะเป็นเส้นตรง (ดูย่อหน้าที่ 4.3 รูปที่ 4.7)

ถ้าอย่างนั้น- ฟังก์ชันกำลังสองกราฟของมันคือพาราโบลา (ดูย่อหน้าที่ 4.3 รูปที่ 4.8)

หากกราฟของมันคือลูกบาศก์พาราโบลา (ดูย่อหน้าที่ 4.3 รูปที่ 4.9)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

นี้ ฟังก์ชันผกผันสำหรับ

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชั่นแปลก

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ฟังก์ชันศูนย์: เอ็กซ์= 0 – มีเพียงศูนย์เท่านั้น

6. ฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

8. กราฟของฟังก์ชันสมมาตรกับกราฟของพาราโบลาลูกบาศก์เทียบกับเส้นตรง ย=เอ็กซ์และแสดงไว้ในรูปที่. 5.1.

ฟังก์ชั่นพลังงาน

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชั่นคือเท่ากัน

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ฟังก์ชันศูนย์:ศูนย์เดียว เอ็กซ์ = 0.

6. ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:ใช้ค่าที่น้อยที่สุดสำหรับ เอ็กซ์= 0 มันเท่ากับ 0

7. การเพิ่มและลดช่วงเวลา:ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลาและเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา

8. กราฟของฟังก์ชัน(สำหรับแต่ละ เอ็น Î เอ็น) มีความ “คล้ายกัน” กับกราฟ พาราโบลากำลังสอง(กราฟฟังก์ชันแสดงในรูปที่ 5.2)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชั่นแปลก

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ฟังก์ชันศูนย์: เอ็กซ์= 0 – มีเพียงศูนย์เท่านั้น

6. ค่าสูงสุดและต่ำสุด:

7. การเพิ่มและลดช่วงเวลา:ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

8. กราฟของฟังก์ชัน(สำหรับแต่ละ ) จะ “คล้ายกัน” กับกราฟของลูกบาศก์พาราโบลา (กราฟฟังก์ชันแสดงในรูปที่ 5.3)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชั่นแปลก

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ฟังก์ชันศูนย์:ไม่มีศูนย์

6. ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:ฟังก์ชันไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดสำหรับสิ่งใด ๆ

7. การเพิ่มและลดช่วงเวลา:ฟังก์ชันกำลังลดลงในขอบเขตของคำจำกัดความ

8. เส้นกำกับ:(แกน โอ้) – เส้นกำกับแนวตั้ง;

(แกน โอ้) – เส้นกำกับแนวนอน

9. กราฟของฟังก์ชัน(สำหรับสิ่งใด ๆ เอ็น) “คล้ายกัน” กับกราฟของไฮเปอร์โบลา (กราฟฟังก์ชันแสดงในรูปที่ 5.4)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชั่นคือเท่ากัน

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:ฟังก์ชันไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดสำหรับสิ่งใด ๆ

6. การเพิ่มและลดช่วงเวลา:ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นและลดลงตาม

7. เส้นกำกับ: เอ็กซ์= 0 (แกน โอ้) – เส้นกำกับแนวตั้ง;

ย= 0 (แกน โอ้) – เส้นกำกับแนวนอน

8. กราฟฟังก์ชันพวกมันคือไฮเปอร์โบลากำลังสอง (รูปที่ 5.5)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชันไม่มีคุณสมบัติของคู่และคี่

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ฟังก์ชันศูนย์: เอ็กซ์= 0 – มีเพียงศูนย์เท่านั้น

6. ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:ฟังก์ชันรับค่าที่น้อยที่สุดเท่ากับ 0 ที่จุดนั้น เอ็กซ์= 0; มูลค่าสูงสุดไม่มี

8. แต่ละฟังก์ชันของเลขชี้กำลังบางตัวจะเป็นค่าผกผันของฟังก์ชันที่ให้มา

9. กราฟของฟังก์ชัน"คล้าย" กราฟของฟังก์ชันใดๆ เอ็นและแสดงไว้ในรูปที่. 5.6.

ฟังก์ชั่นพลังงาน

1. ขอบเขต:

2. ความหมายหลายประการ:

3. คู่และคี่:ฟังก์ชั่นแปลก

4. ความถี่ของฟังก์ชัน:ไม่ใช่เป็นระยะ

5. ฟังก์ชันศูนย์: เอ็กซ์= 0 – มีเพียงศูนย์เท่านั้น

8. กราฟของฟังก์ชันแสดงในรูปที่. 5.7.

ความก้าวหน้าของบทเรียน: การทำซ้ำ การทำงาน. คุณสมบัติของฟังก์ชัน การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ 1. คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง 2. คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง การรวมเนื้อหาที่ศึกษา การนับช่องปาก การนับช่องปาก สรุปบทเรียน การบ้าน การบ้าน.

โดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระจะสร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน x y=f(x) f โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน โดเมนของค่าของฟังก์ชันทั้งหมด ค่าที่ตัวแปรตามสร้างโดเมนของค่าของฟังก์ชัน Function คุณสมบัติฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน ให้ฟังก์ชันกำหนดโดยที่ xY y x.75 3 0.6 4 0.5 กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดทั้งหมด ประสานงานเครื่องบิน, abscissas ซึ่งเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน การทำงาน. คุณสมบัติฟังก์ชัน

Y x โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน 4 y=f(x) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: โดเมนของค่าของฟังก์ชัน: ฟังก์ชัน คุณสมบัติฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคู่ y x y=f(x) กราฟ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนของ op-amp ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียก แม้ว่า f(-x) = f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน คุณสมบัติฟังก์ชัน

ฟังก์ชันแปลก y x y=f(x) กราฟ ฟังก์ชั่นคี่สมมาตรโดยคำนึงถึงที่มาของพิกัด O(0;0) ฟังก์ชัน y=f(x) เรียกว่าคี่ ถ้า f(-x) = -f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน คุณสมบัติฟังก์ชัน

นิยามของฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันโดยที่ p เป็นจำนวนจริงที่กำหนดเรียกว่าฟังก์ชันกำลัง p y=x p P=x y 0 ความก้าวหน้าของบทเรียน

ฟังก์ชันกำลัง x y 1. โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันกำลังของแบบฟอร์มโดยที่ n – จำนวนธรรมชาติ, เป็นจำนวนจริงทั้งหมด 2. ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นเลขคี่ กราฟของพวกเขามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกตรรกยะ โดเมนของคำจำกัดความคือตัวเลขบวกทั้งหมดและเลข 0 ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังดังกล่าวก็เป็นตัวเลขบวกทั้งหมดและเลข 0 ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่เป็นคู่หรือคี่ . y x คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง

ฟังก์ชันกำลังพร้อมเหตุผล ตัวบ่งชี้เชิงลบ- โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นจำนวนบวกทั้งหมด ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชันดังกล่าวลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด y x คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง ความคืบหน้าของบทเรียน

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ

สำหรับคู่ n :

ฟังก์ชั่นตัวอย่าง:

กราฟทั้งหมดของฟังก์ชันดังกล่าวจะผ่านจุดคงที่สองจุด: (1;1), (-1;1) ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันประเภทนี้คือความเท่าเทียมกัน กราฟมีความสมมาตรสัมพันธ์กับแกน op-amp

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชัน

สำหรับคี่ n :

ฟังก์ชั่นตัวอย่าง:

กราฟทั้งหมดของฟังก์ชันดังกล่าวผ่านจุดคงที่สองจุด: (1;1), (-1;-1) ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันประเภทนี้คือ กราฟมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน

ให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน

กำลังของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a ที่มีเลขชี้กำลังบวกตรรกยะเรียกว่าตัวเลข

ระดับ จำนวนบวกและมีเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะเรียกว่าตัวเลข

เพื่อความเท่าเทียมกัน:

ตัวอย่างเช่น: - - นิพจน์ไม่มีอยู่ตามคำจำกัดความของกำลังที่มีค่าลบ ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล- มีอยู่เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

มาดูการพิจารณาฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะกันดีกว่า

ตัวอย่างเช่น:

หากต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันนี้ คุณสามารถสร้างตารางได้ เราจะทำมันแตกต่างออกไป: ก่อนอื่นเราจะสร้างและศึกษากราฟของตัวส่วน - เรารู้จักมัน (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชันตัวส่วนผ่านจุดคงที่ (1;1) เมื่อพล็อตฟังก์ชันดั้งเดิม จุดที่กำหนดยังคงอยู่ เมื่อรูทมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ฟังก์ชันจะมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และในทางกลับกัน เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ ฟังก์ชันก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. กราฟฟังก์ชัน

ลองพิจารณาฟังก์ชันอื่นจากตระกูลฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่

เป็นสิ่งสำคัญตามคำนิยาม

ลองพิจารณากราฟของฟังก์ชันในตัวส่วน: เรารู้จักกราฟของฟังก์ชันนี้ โดยจะเพิ่มขอบเขตคำจำกัดความและผ่านจุด (1;1) (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. กราฟของฟังก์ชัน

เมื่อพล็อตกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม จุด (1;1) จะยังคงอยู่ ในขณะที่รากมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน แต่ฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และในทางกลับกัน เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ ฟังก์ชันก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. กราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่พิจารณาช่วยให้เข้าใจว่ากราฟไหลอย่างไรและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาคืออะไร - ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะลบ

กราฟของฟังก์ชันในตระกูลนี้ผ่านจุด (1;1) ฟังก์ชันจะลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

ขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชันไม่ได้จำกัดจากด้านบน แต่ถูกจำกัดจากด้านล่าง ฟังก์ชันนี้ไม่มีทั้งค่าสูงสุดหรือค่าใดค่าหนึ่ง ค่าต่ำสุด.

ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ยอมรับได้ทุกอย่าง ค่าบวกจากศูนย์ถึงบวกอนันต์

ฟังก์ชั่นนูนลง (รูปที่ 15.7)

จุด A และ B อยู่บนเส้นโค้ง โดยมีการวาดส่วนผ่านจุดเหล่านั้น เส้นโค้งทั้งหมดอยู่ใต้ส่วนนั้น เงื่อนไขนี้เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับจุดสองจุดบนเส้นโค้งโดยพลการ ดังนั้นฟังก์ชันจึงนูนลง ข้าว. 7.

ข้าว. 7. ความนูนของฟังก์ชัน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าฟังก์ชันของตระกูลนี้มีขอบเขตจากด้านล่างเป็นศูนย์ แต่ไม่มีค่าที่น้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 - หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

กราฟ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=x^(2n)$

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังคี่ตามธรรมชาติ
โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

$f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด

พิสัยเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

$f\left(x\right)0$ สำหรับ $x\in (0,+\infty)$

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
ฟังก์ชันนี้มีลักษณะเว้าสำหรับ $x\in (-\infty ,0)$ และนูนสำหรับ $x\in (0,+\infty)$

กราฟ (รูปที่ 3)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มกันก่อน
คำจำกัดความ 3

ระดับ จำนวนจริง$a$ ที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม $n$ ถูกกำหนดโดยสูตร:

รูปที่ 4.
ตอนนี้ให้เราพิจารณาฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม คุณสมบัติ และกราฟของมัน
คำจำกัดความที่ 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ เรียกว่าฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ถ้าปริญญา. มากกว่าศูนย์แล้วเราก็มาถึงกรณีของฟังก์ชันยกกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ- เราได้พูดคุยกันแล้วข้างต้น สำหรับ $n=0$ เราได้รับ ฟังก์ชันเชิงเส้น$y=1$. เราจะฝากการพิจารณาไว้กับผู้อ่าน ยังคงต้องพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ
คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ
โดเมนของคำจำกัดความคือ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคู่ แสดงว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ถ้าเป็นเลขคี่ แสดงว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่

$f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด

ขอบเขต:

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ แล้ว $(0,+\infty)$; ถ้าเป็นเลขคี่ แล้ว $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$

ถ้าไม่ ตัวบ่งชี้ที่สม่ำเสมอฟังก์ชันลดลงเป็น $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ฟังก์ชันจะลดลงเป็น $x\in (0,+\infty)$ และเพิ่มขึ้นเป็น $x\in \left(-\infty ,0\right)$

$f(x)\ge 0$ ทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ