ตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติของทุกมุม ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขและเชิงมุม

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกรวบรวมสำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 และ 360 องศาและมุมที่สอดคล้องกันเป็นเรเดียน ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตารางแสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ และโคซีแคนต์ เพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหา ตัวอย่างโรงเรียนค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในตารางนั้นเขียนเป็นเศษส่วนโดยคงเครื่องหมายของการดึงรากที่สองออกจากตัวเลข ซึ่งมักจะช่วยลดนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนได้ สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ค่าของบางมุมไม่สามารถกำหนดได้ สำหรับค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมดังกล่าว จะมีเส้นประในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมดังกล่าวมีค่าเท่ากับอนันต์ ในหน้าแยกต่างหากคือสูตรสำหรับลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ แสดงค่าสำหรับมุมต่อไปนี้: บาป 0, บาป 30, บาป 45, บาป 60, บาป 90, บาป 180, บาป 270, บาป 360 ใน องศาวัดซึ่งสอดคล้องกับ sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi ในการวัดมุมเรเดียน โต๊ะเรียนไซนัส

สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติโคไซน์ ตารางแสดงค่าของมุมต่อไปนี้: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 ในหน่วยวัดองศา ซึ่งสอดคล้องกับ cos 0 pi, cos pi ถึง 6, cos pi คูณ 4, cos pi คูณ 3, cos pi คูณ 2, cos pi, cos 3 pi คูณ 2, cos 2 pi ในหน่วยวัดมุมเรเดียน ตารางโคไซน์ของโรงเรียน

ตารางตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติแทนเจนต์ให้ค่าสำหรับมุมต่อไปนี้: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 ในการวัดองศาซึ่งสอดคล้องกับ tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi ในการวัดมุมเรเดียน กำลังติดตามค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดไว้ tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 และถือว่าเท่ากับอนันต์

สำหรับโคแทนเจนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติในตารางตรีโกณมิติ ค่าของมุมต่อไปนี้จะได้รับ: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 ในหน่วยวัดองศา ซึ่งสอดคล้องกับ ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 ในการวัดมุมเรเดียน ค่าต่อไปนี้ของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ตรีโกณมิติไม่ได้กำหนดไว้ ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi และถือว่าเท่ากับอินฟินิตี้

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ secant และ cosecant ถูกกำหนดสำหรับมุมเดียวกันในหน่วยองศาและเรเดียนเช่น sine, cosine, tangent, cotangent

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ไม่ได้มาตรฐานแสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมในหน่วยองศา 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 องศา และหน่วยเรเดียน pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 เรเดียน ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะแสดงในรูปของเศษส่วนและรากที่สองเพื่อลดความซับซ้อนของการลดเศษส่วนในตัวอย่างโรงเรียน

สัตว์ประหลาดตรีโกณมิติอีกสามตัว อันแรกคือแทนเจนต์ของ 1.5 องศาครึ่ง หรือ pi หารด้วย 120 อันที่สองคือโคไซน์ของ pi หารด้วย 240, pi/240 ที่ยาวที่สุดคือโคไซน์ของ pi หารด้วย 17, pi/17

วงกลมตรีโกณมิติของค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์แสดงให้เห็นสัญญาณของไซน์และโคไซน์ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับผมบลอนด์ ค่าโคไซน์จะถูกขีดเส้นใต้ด้วยเส้นประสีเขียวเพื่อไม่ให้สับสน การแปลงองศาเป็นเรเดียนยังแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนเช่นกัน เมื่อเรเดียนแสดงผ่าน pi

นี้ ตารางตรีโกณมิติแทนค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมตั้งแต่ 0 ศูนย์ถึง 90 เก้าสิบองศาในช่วงเวลาหนึ่งองศา สำหรับสี่สิบห้าองศาแรก ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะต้องดูที่ด้านบนของตาราง คอลัมน์แรกประกอบด้วยองศา ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะถูกเขียนในสี่คอลัมน์ถัดไป

สำหรับมุมตั้งแต่สี่สิบห้าองศาถึงเก้าสิบองศา ชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเขียนไว้ที่ด้านล่างของตาราง คอลัมน์สุดท้ายประกอบด้วยองศา ค่าของโคไซน์ ไซน์ โคแทนเจนต์และแทนเจนต์เขียนในสี่คอลัมน์ก่อนหน้า คุณควรระวัง เพราะชื่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนล่างของตารางตรีโกณมิติแตกต่างจากชื่อในส่วนบนของตาราง ไซน์และโคไซน์มีการแลกเปลี่ยนกัน เช่นเดียวกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ นี่เป็นเพราะความสมมาตรของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงในรูปด้านบน ไซนัสมี ค่าบวก 0 ถึง 180 องศาหรือ 0 ถึง pi ค่าลบของไซน์อยู่ระหว่าง 180 ถึง 360 องศาหรือจาก pi ถึง 2 pi ค่าโคไซน์เป็นค่าบวกตั้งแต่ 0 ถึง 90 และ 270 ถึง 360 องศา หรือ 0 ถึง 1/2 pi และ 3/2 ถึง 2 pi แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีค่าบวกตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาและจาก 180 ถึง 270 องศาซึ่งสอดคล้องกับค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1/2 pi และจาก pi ถึง 3/2 pi แทนเจนต์เชิงลบและโคแทนเจนต์เชิงลบคือ 90 ถึง 180 องศา และ 270 ถึง 360 องศา หรือ 1/2 pi ถึง pi และ 3/2 pi ถึง 2 pi เมื่อกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมที่มากกว่า 360 องศาหรือ 2 pi ควรใช้คุณสมบัติคาบของฟังก์ชันเหล่านี้

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ sine, tangent และ cotangent เป็นฟังก์ชันคี่ ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับมุมลบจะเป็นค่าลบ โคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่ - ค่าโคไซน์สำหรับ มุมลบจะเป็นบวก เมื่อคูณและหารฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณต้องปฏิบัติตามกฎของเครื่องหมาย

ตารางค่าของไซน์ฟังก์ชันตรีโกณมิติแสดงค่าสำหรับมุมต่อไปนี้
เอกสาร
หน้าแยกมีสูตรการหล่อ ตรีโกณมิติฟังก์ชั่น. ที่ โต๊ะค่าสำหรับตรีโกณมิติฟังก์ชั่นไซนัสที่ให้ไว้ค่าสำหรับต่อไปมุม: บาป 0, บาป 30, บาป 45 ...
เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เสนอเป็นแอนะล็อกที่สมบูรณ์ของแคลคูลัสเชิงซ้อนสำหรับตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ n ที่มีองศาอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ n และมีไว้สำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของแบบไม่เชิงเส้น
เอกสาร
... ฟังก์ชั่นเท่ากับ ฟังก์ชั่นรูปภาพ จากทฤษฎีบทนี้ ควร, อะไร สำหรับหาพิกัด U,V ก็พอคำนวน การทำงาน... เรขาคณิต; โพลินาร์ ฟังก์ชั่น(แอนะล็อกหลายมิติของสองมิติ ตรีโกณมิติฟังก์ชั่น) คุณสมบัติของพวกเขา โต๊ะและการประยุกต์ใช้; ...
ตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานสำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา
จากนิยามตรีโกณมิติของฟังก์ชัน $\sin$, $\cos$, $\tan$ และ $\cot$ เราสามารถหาค่าของมุม $0$ และ $90$ องศาได้:
$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ ไม่ได้กำหนดไว้;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ ไม่ได้กำหนดไว้
ที่ หลักสูตรโรงเรียนเรขาคณิตในการศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉากจะค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ และ $90°$
ค่าที่พบของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมที่ระบุเป็นองศาและเรเดียนตามลำดับ ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) เพื่อความสะดวกในการท่องจำและใช้งาน จะถูกป้อนลงในตารางที่ชื่อว่า ตารางตรีโกณมิติ, ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นต้น
เมื่อใช้สูตรการลดขนาด ตารางตรีโกณมิติสามารถขยายเป็นมุม 360°$ และ $2\pi$ เรเดียนตามลำดับ:
การใช้คุณสมบัติคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ละมุมที่แตกต่างจากมุมที่ทราบอยู่แล้วโดย $360°$ สามารถคำนวณและบันทึกลงในตารางได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม $0°$ จะมีค่าเท่ากันสำหรับมุม $0°+360°$ และสำหรับมุม $0°+2 \cdot 360°$ และสำหรับมุม $0°+3 \ cdot 360°$ และอื่นๆ

การใช้ตารางตรีโกณมิติ คุณสามารถกำหนดค่าของทุกมุมของวงกลมหนึ่งหน่วยได้
ในวิชาเรขาคณิตของโรงเรียนควรจดจำค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวบรวมไว้ในตารางตรีโกณมิติเพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหา ปัญหาตรีโกณมิติ.
การใช้โต๊ะ
ในตาราง การหาฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จำเป็นและค่าของมุมหรือเรเดียนที่ต้องการคำนวณฟังก์ชันนี้ก็เพียงพอแล้ว ที่จุดตัดของแถวที่มีฟังก์ชันและคอลัมน์ที่มีค่า เราจะได้ค่าที่ต้องการของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด
ในรูป คุณสามารถดูวิธีการหาค่า $\cos⁡60°$ ซึ่งเท่ากับ $\frac(1)(2)$

ใช้ตารางตรีโกณมิติแบบขยายในทำนองเดียวกัน ข้อดีของการใช้งานคือ ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว การคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติของเกือบทุกมุม ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาค่า $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 ได้อย่างง่ายดาย °$:
ตาราง Bradis ของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน
ความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่ามุมใดๆ ก็ตามสำหรับค่าจำนวนเต็มขององศาและค่าจำนวนเต็มเป็นนาทีทำให้สามารถใช้ตาราง Bradis ได้ ตัวอย่างเช่น ค้นหาค่า $\cos⁡34°7"$ ตารางแบ่งออกเป็น 2 ส่วนคือ ตารางค่า $\sin$ และ $\cos$ และตารางของ $\tan$ และ $\ ค่า cot$
ตาราง Bradis ทำให้สามารถรับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยประมาณได้อย่างแม่นยำด้วยทศนิยม 4 ตำแหน่ง
การใช้ตาราง Bradis
โดยใช้ตารางของ Bradys สำหรับไซน์ เราจะพบ $\sin⁡17°42"$ ในการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ทางด้านซ้ายของตารางไซน์และโคไซน์ เราจะหาค่าขององศา - $17°$ และใน บรรทัดบนสุดที่เราพบค่าของนาที - $42"$. ที่ทางแยกเราได้รับค่าที่ต้องการ:
$\sin17°42"=0.304$.
หากต้องการหาค่าของ $\sin17°44"$ คุณต้องใช้การแก้ไขที่ด้านขวาของตาราง ใน กรณีนี้เป็นค่าของ $42"$ ซึ่งอยู่ในตาราง คุณต้องเพิ่มการแก้ไขสำหรับ $2"$ ซึ่งเท่ากับ $0.0006$ เราได้รับ:
$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.
ในการหาค่าของ $\sin17°47"$ เรายังใช้การแก้ไขทางด้านขวาของตาราง ในกรณีนี้ เราจะนำค่าของ $\sin17°48"$ เป็นฐานและลบค่าแก้ไขของ $1"$:
$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.
เมื่อคำนวณโคไซน์ เราทำการกระทำที่คล้ายกัน แต่เราดูที่องศาในคอลัมน์ด้านขวาและนาทีในคอลัมน์ด้านล่างของตาราง ตัวอย่างเช่น $\cos20°=0.9397$
ไม่มีการแก้ไขค่าแทนเจนต์สูงถึง $90°$ และโคแทนเจนต์มุมเล็ก ตัวอย่างเช่น ลองหา $\tan 78°37"$ ซึ่งตามตารางคือ $4,967$

เลือกหมวดหมู่ หนังสือ คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ การควบคุมการเข้าถึงและการจัดการ ความปลอดภัยจากอัคคีภัยซัพพลายเออร์อุปกรณ์ที่มีประโยชน์เครื่องมือวัด (CMI) การวัดความชื้น - ซัพพลายเออร์ในสหพันธรัฐรัสเซีย การวัดแรงดัน การวัดต้นทุน เครื่องวัดการไหล การวัดอุณหภูมิ การวัดระดับ เกจวัดระดับ. เทคโนโลยีไร้ร่องลึก ระบบท่อระบายน้ำ ซัพพลายเออร์ของปั๊มในสหพันธรัฐรัสเซีย ซ่อมปั้ม. อุปกรณ์ท่อ. บัตเตอร์ฟลายวาล์ว (ดิสก์วาล์ว) เช็ควาล์ว. เกราะควบคุม ตัวกรองตาข่าย ตัวเก็บโคลน ตัวกรองแบบแม็กนีโตเมคานิกส์ บอลวาล์ว. ท่อและองค์ประกอบของท่อ ซีลสำหรับเกลียว ครีบ ฯลฯ มอเตอร์ไฟฟ้า, ไดรฟ์ไฟฟ้า… ตัวอักษรแบบแมนนวล, นิกาย, หน่วย, รหัส… ตัวอักษร, รวม กรีกและละติน สัญลักษณ์ รหัส อัลฟ่า เบต้า แกมมา เดลต้า เอปซิลอน... ประเภทของเครือข่ายไฟฟ้า การแปลงหน่วยเดซิเบล ฝัน. พื้นหลัง. หน่วยของอะไร? หน่วยวัดความดันและสุญญากาศ การแปลงหน่วยแรงดันและสุญญากาศ หน่วยความยาว การแปลหน่วยความยาว (ขนาดเชิงเส้น ระยะทาง) หน่วยปริมาณ การแปลงหน่วยปริมาตร หน่วยความหนาแน่น การแปลงหน่วยความหนาแน่น หน่วยพื้นที่. การแปลงหน่วยพื้นที่ หน่วยวัดความแข็ง การแปลงหน่วยความแข็ง หน่วยอุณหภูมิ การแปลงหน่วยอุณหภูมิในหน่วยเคลวิน / เซลเซียส / ฟาเรนไฮต์ / Rankine / Delisle / Newton / Reamure หน่วยการวัดมุม ("มิติเชิงมุม") การแปลงหน่วย ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม ข้อผิดพลาดมาตรฐานการวัด ก๊าซมีความแตกต่างกันในฐานะสื่อการทำงาน ไนโตรเจน N2 (สารทำความเย็น R728) แอมโมเนีย (สารทำความเย็น R717) สารป้องกันการแข็งตัว ไฮโดรเจน H^2 (สารทำความเย็น R702) ไอน้ำ อากาศ (บรรยากาศ) ก๊าซธรรมชาติ-ก๊าซธรรมชาติ ก๊าซชีวภาพเป็นก๊าซเสีย ก๊าซเหลว. เอ็นจีแอล ก๊าซแอลเอ็นจี โพรเพนบิวเทน ออกซิเจน O2 (สารทำความเย็น R732) น้ำมันและสารหล่อลื่น มีเทน CH4 (สารทำความเย็น R50) คุณสมบัติของน้ำ คาร์บอนมอนอกไซด์ บจก. คาร์บอนมอนอกไซด์. คาร์บอนไดออกไซด์คาร์บอนไดออกไซด์ (สารทำความเย็น R744). คลอรีน Cl2 ไฮโดรเจนคลอไรด์ HCl หรือที่เรียกว่ากรดไฮโดรคลอริก สารทำความเย็น (สารทำความเย็น). สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R11 - Fluorotrichloromethane (CFCI3) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R12 - Difluorodichloromethane (CF2CCl2) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R125 - Pentafluoroethane (CF2HCF3) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R134a - 1,1,1,2-Tetrafluoroethane (CF3CFH2) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R22 - ไดฟลูออโรคลอโรมีเทน (CF2ClH) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R32 - ไดฟลูออโรมีเทน (CH2F2) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / เปอร์เซ็นต์โดยมวล วัสดุอื่นๆ - คุณสมบัติทางความร้อน สารกัดกร่อน - เม็ดทราย, ความวิจิตร, อุปกรณ์เจียร ดิน ดิน ทราย และหินอื่นๆ ตัวชี้วัดการคลายตัว การหดตัว และความหนาแน่นของดินและหิน การหดตัวและคลายโหลด มุมลาด. ความสูงของหิ้งทิ้ง ไม้. ไม้แปรรูป ไม้. บันทึก ฟืน… เซรามิกส์ กาวและข้อต่อกาว น้ำแข็งและหิมะ (น้ำแข็งน้ำ) โลหะ อลูมิเนียมและโลหะผสมอลูมิเนียม ทองแดง บรอนซ์และทองเหลือง บรอนซ์ ทองเหลือง ทองแดง (และการจำแนกประเภทของโลหะผสมทองแดง) นิกเกิลและโลหะผสม ความสอดคล้องกับเกรดโลหะผสม เหล็กและโลหะผสม ตารางอ้างอิงของน้ำหนักของผลิตภัณฑ์เหล็กแผ่นรีดและ ท่อ. +/-5% น้ำหนักท่อ น้ำหนักโลหะ คุณสมบัติทางกลเหล็ก แร่เหล็กหล่อ. แร่ใยหินชนิดหนึ่ง. ผลิตภัณฑ์อาหารและวัตถุดิบอาหาร คุณสมบัติ ฯลฯ ลิงค์ไปยังส่วนอื่นของโครงการ ยาง พลาสติก อีลาสโตเมอร์ โพลีเมอร์ คำอธิบายโดยละเอียดอีลาสโตเมอร์ PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE/ P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (ดัดแปลง PTFE), ความแข็งแรงของวัสดุ โสภณ. วัสดุก่อสร้าง. คุณสมบัติทางกายภาพ ทางกล และทางความร้อน คอนกรีต. สารละลายคอนกรีต วิธีการแก้. อุปกรณ์ก่อสร้าง เหล็กและอื่น ๆ ตารางการบังคับใช้วัสดุ ทนต่อสารเคมี. การบังคับใช้อุณหภูมิ ทนต่อการกัดกร่อน วัสดุปิดผนึก - ยาแนวรอยต่อ PTFE (fluoroplast-4) และวัสดุอนุพันธ์ เทป FUM กาวแอนแอโรบิก กาวซิลิโคน (organosilicon) กราไฟต์ แร่ใยหิน พาร์โรไนต์ และวัสดุที่ได้มาจากพาโรไนต์ กราไฟท์ขยายตัวทางความร้อน (TRG, TMG) องค์ประกอบ คุณสมบัติ. แอปพลิเคชัน. การผลิต. แฟลกซ์สุขาภิบาล ซีลยางอิลาสโตเมอร์ ฉนวนและวัสดุฉนวนความร้อน (ลิงค์ไปยังส่วนโครงการ) เทคนิคและแนวคิดทางวิศวกรรม การป้องกันการระเบิด ป้องกันการกระแทก สิ่งแวดล้อม. การกัดกร่อน การเปลี่ยนแปลงสภาพภูมิอากาศ (ตารางความเข้ากันได้ของวัสดุ) ประเภทของความดัน อุณหภูมิ ความหนาแน่น ตก (สูญเสีย) ของความดัน — แนวคิดทางวิศวกรรม ป้องกันไฟ. ไฟไหม้ ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ (ระเบียบ). คู่มือคณิตศาสตร์ TAU เลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและผลรวมของอนุกรมตัวเลขบางชุด ตัวเลขทางเรขาคณิต. คุณสมบัติ สูตร ปริมณฑล พื้นที่ ปริมาณ ความยาว สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ องศา เป็น เรเดียน ร่างแบน. คุณสมบัติ ด้าน มุม เครื่องหมาย เส้นรอบวง ความเท่ากัน ความคล้ายคลึง คอร์ด ภาค พื้นที่ ฯลฯ สี่เหลี่ยม ตัวเลขไม่ปกติ, ปริมาณ ร่างกายผิด. ค่าเฉลี่ยสัญญาณ. สูตรและวิธีการคำนวณพื้นที่ กราฟ การสร้างกราฟ การอ่านแผนภูมิ ปริพันธ์และ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. อนุพันธ์แบบตารางและอินทิกรัล ตารางอนุพันธ์ ตารางอินทิกรัล ตารางพื้นฐาน หาอนุพันธ์ หาอินทิกรัล ดิฟฟิวรี่. ตัวเลขที่ซับซ้อน. หน่วยจินตภาพ พีชคณิตเชิงเส้น (เวกเตอร์, เมทริกซ์) คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก อนุบาล- เกรด 7 ตรรกะทางคณิตศาสตร์ แก้สมการ สี่เหลี่ยมและ สมการสองกำลังสอง. สูตร. วิธีการ วิธีการแก้ สมการเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีลำดับสูงกว่าลำดับแรก ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด = สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่วิเคราะห์ได้ของลำดับที่หนึ่ง ระบบพิกัด. คาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ขั้ว ทรงกระบอก และทรงกลม สองมิติและสามมิติ ระบบตัวเลข ตัวเลขและตัวเลข (จริง ซับซ้อน ....) ตารางระบบตัวเลข ซีรีย์พาวเวอร์ Taylor, Maclaurin (=McLaren) และ ซีรี่ย์เป็นระยะฟูริเยร์ การสลายตัวของฟังก์ชันเป็นอนุกรม ตารางลอการิทึมและสูตรพื้นฐาน ตารางค่าตัวเลข ตารางของ Bradys ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตร และกราฟ sin, cos, tg, ctg….ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ วิธีการเชิงตัวเลขอุปกรณ์-มาตรฐาน ขนาด เครื่องใช้ในครัวเรือน เครื่องใช้ในบ้าน ระบบระบายน้ำและระบายน้ำ. ความจุ แทงค์ อ่างเก็บน้ำ แทงค์น้ำ เครื่องมือวัดและการควบคุม เครื่องมือวัดและระบบอัตโนมัติ การวัดอุณหภูมิ สายพานลำเลียง สายพานลำเลียง ตู้คอนเทนเนอร์ (ลิงค์) อุปกรณ์ห้องปฏิบัติการ ปั๊มและสถานีสูบน้ำ ปั๊มสำหรับของเหลวและเยื่อกระดาษ ศัพท์แสงทางวิศวกรรม พจนานุกรม. คัดกรอง การกรอง การแยกอนุภาคผ่านตะแกรงและตะแกรง ความแข็งแรงโดยประมาณของเชือก สายเคเบิล สายไฟ เชือกที่ทำจากพลาสติกชนิดต่างๆ ผลิตภัณฑ์ยาง. ข้อต่อและสิ่งที่แนบมา เส้นผ่านศูนย์กลางตามเงื่อนไข, ค่าเล็กน้อย, Du, DN, NPS และ NB เส้นผ่านศูนย์กลางเมตริกและนิ้ว เอสดีอาร์ กุญแจและรูกุญแจ มาตรฐานการสื่อสาร สัญญาณในระบบอัตโนมัติ (I&C) สัญญาณอินพุตและเอาต์พุตแบบอะนาล็อกของเครื่องมือ เซ็นเซอร์ เครื่องวัดการไหล และอุปกรณ์อัตโนมัติ อินเทอร์เฟซการเชื่อมต่อ โปรโตคอลการสื่อสาร (การสื่อสาร) โทรศัพท์ อุปกรณ์ท่อ. เครน, วาล์ว, วาล์วประตู…. ความยาวของอาคาร ครีบและเกลียว มาตรฐาน มิติที่เชื่อมต่อ กระทู้ การกำหนด ขนาด การใช้ ประเภท ... (ลิงก์อ้างอิง) การเชื่อมต่อท่อส่ง ("ถูกสุขอนามัย" "ปลอดเชื้อ") ในอุตสาหกรรมอาหาร ผลิตภัณฑ์นม และยา ท่อท่อ เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ทางเลือกของเส้นผ่านศูนย์กลางท่อ อัตราการไหล. ค่าใช้จ่าย. ความแข็งแกร่ง. ตารางการเลือก แรงดันตกคร่อม ท่อทองแดง. เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อโพลีไวนิลคลอไรด์ (PVC) เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นโพลีเอทิลีน เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อโพลีเอทิลีน PND. เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเหล็ก (รวมถึงสแตนเลส) เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นเหล็ก ท่อเป็นสแตนเลส ท่อสแตนเลส. เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นสแตนเลส ท่อเหล็กคาร์บอน เส้นผ่าศูนย์กลางท่อและลักษณะอื่นๆ ท่อเป็นเหล็ก ฟิตติ้ง. ครีบตาม GOST, DIN (EN 1092-1) และ ANSI (ASME) การเชื่อมต่อหน้าแปลน การเชื่อมต่อหน้าแปลน การเชื่อมต่อหน้าแปลน องค์ประกอบของท่อ โคมไฟไฟฟ้า ขั้วต่อไฟฟ้าและสายไฟ (สายเคเบิล) มอเตอร์ไฟฟ้า มอเตอร์ไฟฟ้า อุปกรณ์สวิตช์ไฟฟ้า (ลิงค์ไปยังส่วน) มาตรฐาน ชีวิตส่วนตัววิศวกร ภูมิศาสตร์สำหรับวิศวกร ระยะทาง เส้นทาง แผนที่….. วิศวกรในชีวิตประจำวัน ครอบครัว เด็ก นันทนาการ เสื้อผ้าและที่อยู่อาศัย ลูกวิศวกร. วิศวกรในสำนักงาน วิศวกรและคนอื่นๆ. การขัดเกลาทางสังคมของวิศวกร ความอยากรู้ วิศวกรพักผ่อน สิ่งนี้ทำให้เราตกใจ วิศวกรและอาหาร สูตรยูทิลิตี้ เคล็ดลับสำหรับร้านอาหาร การค้าระหว่างประเทศสำหรับวิศวกร เราเรียนรู้ที่จะคิดในทางที่ดี ขนส่งและการเดินทาง รถยนต์ส่วนตัว จักรยาน.... ฟิสิกส์และเคมีของมนุษย์ เศรษฐศาสตร์สำหรับวิศวกร นักการเงิน Bormotologiya - ภาษามนุษย์. แนวคิดทางเทคโนโลยีและภาพวาด การเขียนกระดาษ การวาดภาพ สำนักงานและซองจดหมาย ขนาดมาตรฐานภาพถ่าย การระบายอากาศและการปรับอากาศ น้ำประปาและน้ำทิ้ง การจ่ายน้ำร้อน (DHW) แหล่งน้ำดื่มน้ำเสีย การจ่ายน้ำเย็น อุตสาหกรรมกัลวานิค เครื่องทำความเย็น ไอน้ำสาย/ระบบ สาย/ระบบคอนเดนเสท สายไอน้ำ. ท่อคอนเดนเสท อุตสาหกรรมอาหารจัดหา ก๊าซธรรมชาติโลหะเชื่อม สัญลักษณ์และการกำหนดอุปกรณ์บนแบบและไดอะแกรม เงื่อนไข ภาพกราฟิกในโครงการทำความร้อน การระบายอากาศ เครื่องปรับอากาศ และการจ่ายความร้อนและความเย็น ตามมาตรฐาน ANSI / ASHRAE 134-2005 การทำหมันของอุปกรณ์และวัสดุ การจ่ายความร้อน อุตสาหกรรมอิเล็กทรอนิกส์ แหล่งพลังงาน การอ้างอิงทางกายภาพ ตัวอักษร ตำแหน่งที่ยอมรับ. ค่าคงที่ทางกายภาพพื้นฐาน ความชื้นเป็นสิ่งสัมบูรณ์ สัมพัทธ์ และเฉพาะเจาะจง ความชื้นในอากาศ ตารางไซโครเมทริก ไดอะแกรม Ramzin ความหนืดของเวลา หมายเลข Reynolds (Re) หน่วยความหนืด ก๊าซ คุณสมบัติของก๊าซ ค่าคงที่แก๊สส่วนบุคคล แรงดันและสุญญากาศ สุญญากาศ ความยาว ระยะทาง มิติเชิงเส้น เสียง อัลตร้าซาวด์ ค่าสัมประสิทธิ์การดูดซับเสียง (เชื่อมโยงไปยังส่วนอื่น) สภาพภูมิอากาศ ข้อมูลสภาพอากาศ ข้อมูลธรรมชาติ สนิป 23-01-99. อาคารภูมิอากาศวิทยา (สถิติข้อมูลภูมิอากาศ) SNIP 23-01-99 ตารางที่ 3 - อุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนและรายปี° C อดีตสหภาพโซเวียต SNIP 23-01-99 ตารางที่ 1 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของช่วงเย็นของปี อาร์เอฟ SNIP 23-01-99 ตารางที่ 2 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูร้อน อดีตสหภาพโซเวียต SNIP 23-01-99 ตารางที่ 2 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูร้อน อาร์เอฟ SNIP 23-01-99 ตารางที่ 3 อุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนและรายปี° C อาร์เอฟ สนิป 23-01-99. ตารางที่ 5a* - เฉลี่ยรายเดือนและรายปี ความดันบางส่วนไอน้ำ hPa = 10^2 Pa อาร์เอฟ สนิป 23-01-99. ตารางที่ 1 พารามิเตอร์ภูมิอากาศของฤดูหนาว อดีตสหภาพโซเวียต ความหนาแน่น. น้ำหนัก. แรงดึงดูดเฉพาะ. ความหนาแน่นจำนวนมาก แรงตึงผิว. ความสามารถในการละลาย ความสามารถในการละลายของก๊าซและของแข็ง แสงและสี ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน การดูดกลืน และการหักเหของแสง ตัวอักษรสี :) - การกำหนด (รหัส) ของสี (สี) คุณสมบัติของวัสดุและตัวกลางในการแช่แข็ง ตาราง ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสำหรับวัสดุต่างๆ ปริมาณความร้อนรวมถึงการเดือด หลอมเหลว เปลวไฟ ฯลฯ…… ข้อมูลเพิ่มเติมดู: ค่าสัมประสิทธิ์ (ตัวบ่งชี้) ของอะเดียแบท การพาความร้อนและการแลกเปลี่ยนความร้อนเต็มที่ ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงเส้นเชิงความร้อน การขยายตัวเชิงปริมาตรเชิงความร้อน อุณหภูมิ การเดือด การหลอมเหลว อื่นๆ... การแปลงหน่วยอุณหภูมิ ความไวไฟ อุณหภูมิอ่อนตัว จุดเดือด จุดหลอมเหลว การนำความร้อน ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อน อุณหพลศาสตร์ ความร้อนจำเพาะการกลายเป็นไอ (การควบแน่น). เอนทาลปีของการกลายเป็นไอ ความร้อนจำเพาะของการเผาไหม้ (ค่าความร้อน) ความต้องการออกซิเจน ไฟฟ้าและ ปริมาณแม่เหล็กโมเมนต์ไดโพลเป็นแบบไฟฟ้า ค่าคงที่ไดอิเล็กตริก. ค่าคงที่ทางไฟฟ้า ความยาว คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า(ไดเรกทอรีของส่วนอื่น) ความตึงเครียด สนามแม่เหล็กแนวคิดและสูตรไฟฟ้าและแม่เหล็ก ไฟฟ้าสถิต โมดูลเพียโซอิเล็กทริก ความแข็งแรงทางไฟฟ้าของวัสดุ ไฟฟ้า ความต้านทานไฟฟ้าและการนำไฟฟ้า ศักย์ไฟฟ้า หนังสืออ้างอิงทางเคมี "ตัวอักษรเคมี (พจนานุกรม)" - ชื่อ, ตัวย่อ, คำนำหน้า, การกำหนดสารและสารประกอบ สารละลายและสารผสมที่เป็นน้ำสำหรับการแปรรูปโลหะ สารละลายที่เป็นน้ำสำหรับทาและขจัดสารเคลือบโลหะ สารละลายที่เป็นน้ำสำหรับทำความสะอาดคราบเขม่าคาร์บอน (คราบน้ำมัน คราบเขม่าเครื่องยนต์) สันดาปภายใน… ) สารละลายน้ำสำหรับการทู่ สารละลายในน้ำสำหรับการกัดเซาะ - การกำจัดออกไซด์ออกจากพื้นผิว สารละลายในน้ำสำหรับฟอสเฟต สารละลายในน้ำและของผสมสำหรับออกซิเดชันทางเคมีและการทำสีของโลหะ สารละลายและสารผสมที่เป็นน้ำสำหรับการขัดด้วยสารเคมี สารละลายน้ำและตัวทำละลายอินทรีย์ ตัวบ่งชี้ไฮโดรเจนพีเอช ตารางค่า pH การเผาไหม้และการระเบิด การเกิดออกซิเดชันและการลดลง คลาส หมวดหมู่ การกำหนดความเป็นอันตราย (ความเป็นพิษ) สารเคมี ระบบธาตุ องค์ประกอบทางเคมีดี.ไอ. เมนเดเลเยฟ ตารางธาตุ. ความหนาแน่นของตัวทำละลายอินทรีย์ (g/cm3) ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ 0-100 องศาเซลเซียส คุณสมบัติของโซลูชั่น ค่าคงที่การแยกตัว ความเป็นกรด ความเป็นเบส ความสามารถในการละลาย มิกซ์ ค่าคงที่ทางความร้อนของสาร เอนทาลปี เอนโทรปี พลังงานกิ๊บส์… (ลิงก์ไปยังหนังสืออ้างอิงทางเคมีของโครงการ) วิศวกรรมไฟฟ้า หน่วยงานกำกับดูแล ระบบจ่ายไฟอย่างต่อเนื่อง ระบบจัดส่งและควบคุม ระบบสายเคเบิลที่มีโครงสร้าง ศูนย์ข้อมูล

แนวคิดของไซน์ () โคไซน์ () แทนเจนต์ () โคแทนเจนต์ () เชื่อมโยงกับแนวคิดของมุมอย่างแยกไม่ออก เพื่อให้ได้ความเข้าใจที่ดีในสิ่งเหล่านี้ ได้อย่างรวดเร็วก่อน แนวคิดที่ซับซ้อน (ซึ่งทำให้เด็กนักเรียนหลายคนรู้สึกสยดสยอง) และเพื่อให้มั่นใจว่า "มารไม่น่ากลัวเท่าที่เขาวาด" มาเริ่มกันตั้งแต่ต้น และเข้าใจแนวคิดของมุม

แนวคิดของมุม: เรเดียน, องศา

ลองดูที่ภาพ เวกเตอร์ "หัน" สัมพันธ์กับจุดด้วยจำนวนหนึ่ง ดังนั้นการวัดการหมุนนี้สัมพันธ์กับตำแหน่งเริ่มต้นจะเป็น มุม.

คุณจำเป็นต้องรู้อะไรอีกเกี่ยวกับแนวคิดของมุม แน่นอนหน่วยของมุม!

มุม ทั้งในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ สามารถวัดเป็นองศาและเรเดียน

มุมของ (หนึ่งองศา) เรียกว่า มุมกลางในวงกลม โดยยึดตามส่วนโค้งวงกลมเท่ากับส่วนหนึ่งของวงกลม ดังนั้น วงกลมทั้งหมดประกอบด้วย "ชิ้นส่วน" ของส่วนโค้งวงกลม หรือมุมที่วงกลมอธิบายนั้นมีค่าเท่ากัน

นั่นคือ รูปด้านบนแสดงมุมที่เท่ากัน นั่นคือ มุมนี้ใช้ส่วนโค้งวงกลมที่มีขนาดของเส้นรอบวง

มุมในหน่วยเรเดียนเรียกว่ามุมศูนย์กลางในวงกลม โดยอิงจากส่วนโค้งวงกลม ซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม อืม เข้าใจมั้ย? ถ้าไม่เช่นนั้นเรามาดูภาพกัน

ดังนั้น รูปแสดงมุมเท่ากับเรเดียน นั่นคือ มุมนี้อิงจากส่วนโค้งวงกลม ซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม (ความยาวเท่ากับความยาวหรือรัศมี เท่ากับความยาวโค้ง) ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งจึงคำนวณโดยสูตร:

มุมศูนย์กลางเป็นเรเดียนอยู่ที่ไหน

เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว คุณตอบได้ไหมว่ามีกี่เรเดียนที่มีมุมที่วงกลมอธิบายไว้ ใช่ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องจำสูตรสำหรับเส้นรอบวงของวงกลม เธออยู่ที่นั่น:

ทีนี้ ลองหาความสัมพันธ์ของสูตรทั้งสองนี้แล้วได้มุมที่วงกลมอธิบายไว้ เท่ากัน นั่นคือ เมื่อเทียบค่าเป็นองศาและเรเดียน เราก็ได้ค่านั้น ตามลำดับ, . อย่างที่คุณเห็น ต่างจาก "ดีกรี" คำว่า "เรเดียน" จะถูกละเว้น เนื่องจากหน่วยวัดมักจะชัดเจนจากบริบท

มีกี่เรเดียน? ถูกตัอง!

เข้าใจแล้ว? จากนั้นยึดไปข้างหน้า:

ความยากลำบากใด ๆ ? แล้วดู คำตอบ:

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุม

ดังนั้นด้วยแนวคิดของมุมที่คิดออก แต่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร? ลองคิดออก การทำเช่นนี้เราจะช่วย สามเหลี่ยมมุมฉาก.

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ใช่แล้ว ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก (ในตัวอย่าง นี่คือด้าน) ขาเป็นสองข้างที่เหลือและ (ที่อยู่ติดกับ มุมฉาก) ยิ่งกว่านั้น ถ้าเราพิจารณาขาที่สัมพันธ์กับมุม ขาก็คือขาที่อยู่ติดกัน และขาที่อยู่ตรงข้ามกัน ทีนี้ มาตอบคำถามกัน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร?

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

โคไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

มุมแทนเจนต์- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) กับข้างเคียง (ใกล้)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

โคแทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) กับด้านตรงข้าม (ไกล)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

คำจำกัดความเหล่านี้จำเป็น จดจำ! เพื่อให้จำง่ายขึ้นว่าหารด้วยอะไร คุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าใน แทนเจนต์และ โคแทนเจนต์มีเพียงขานั่งและด้านตรงข้ามมุมฉากจะปรากฏเฉพาะใน ไซนัสและ โคไซน์. จากนั้นคุณสามารถสร้างห่วงโซ่ของความสัมพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน;

โคแทนเจนต์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

ประการแรก จำเป็นต้องจำไว้ว่า ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ในฐานะอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมเดียว) ไม่ไว้วางใจ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูภาพ:

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ จากรูปสามเหลี่ยม: แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมจากรูปสามเหลี่ยมได้: . คุณเห็นไหม ความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ให้แก้ไขมันซะ!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปด้านล่าง เราจะพบ

อืม เข้าใจแล้ว? จากนั้นลองด้วยตัวคุณเอง: คำนวณมุมเดียวกัน

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดขององศาและเรเดียน เราถือว่าวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว. มีประโยชน์มากในการศึกษาตรีโกณมิติ ดังนั้นเราจึงอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นใน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด. รัศมีวงกลม เท่ากับหนึ่งในขณะที่จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน (ในตัวอย่างของเรา นี่คือรัศมี)

แต่ละจุดของวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดตามแนวแกนและพิกัดตามแกน พิกัดเหล่านี้คืออะไร? และโดยทั่วไปแล้ว พวกเขาจะทำอย่างไรกับหัวข้อที่มีอยู่? ในการทำเช่นนี้ ให้นึกถึงสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณาแล้ว ในรูปด้านบน คุณจะเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดสองรูป พิจารณาสามเหลี่ยม. เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะตั้งฉากกับแกน

จากสามเหลี่ยมเท่ากับอะไร? ถูกตัอง. นอกจากนี้ เรารู้ว่านั่นคือรัศมีของวงกลมหน่วย ดังนั้น . แทนค่านี้ลงในสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

แล้วจากสามเหลี่ยมเท่ากับอะไร? แน่นอน ! แทนค่าของรัศมีลงในสูตรนี้และรับ:

คุณช่วยบอกฉันได้ไหมว่าพิกัดของจุดที่เป็นของวงกลมคืออะไร? ไม่มีทาง? และถ้าคุณรู้ตัวและเป็นเพียงตัวเลข? ตรงกับพิกัดอะไร? แน่นอนว่าพิกัด! ตรงกับพิกัดอะไร? ถูกต้อง ประสาน! ดังนั้นประเด็น

แล้วอะไรล่ะที่เท่ากันและ? ใช่แล้ว ลองใช้คำจำกัดความที่เหมาะสมของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แล้วได้สิ่งนั้น a

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

สิ่งที่เปลี่ยนไปใน ตัวอย่างนี้? ลองคิดออก ในการทำเช่นนี้ เราหันไปหาสามเหลี่ยมมุมฉากอีกครั้ง พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก: มุม (ประชิดมุม) ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมมีค่าเท่าใด ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด ค่าของโคไซน์ของมุม - พิกัด; และค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

มีการกล่าวไว้แล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีอยู่ในทิศทางบวกของแกน จนถึงตอนนี้ เราหมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกาแล้ว แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนมันตามเข็มนาฬิกา? ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมที่มีขนาดที่แน่นอน แต่มันจะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้น เมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกา เราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา - เชิงลบ.

เรารู้ว่าการปฏิวัติทั้งหมดของเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมเท่ากับหรือ เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีทีละน้อย แน่นอนคุณทำได้! ในกรณีแรก เวกเตอร์รัศมีจะทำการหมุนหนึ่งรอบและหยุดที่ตำแหน่งหรือ

ในกรณีที่สอง นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะทำการหมุนครบสามครั้งและหยุดที่ตำแหน่งหรือ

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่ต่างกันหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ) สอดคล้องกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม ภาพเดียวกันจะสอดคล้องกับมุม เป็นต้น รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนด้วยสูตรทั่วไปหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ)

ตอนนี้ เมื่อรู้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้ วงกลมหน่วยพยายามตอบว่าค่าเท่ากับอะไร:

นี่คือวงกลมหน่วยที่จะช่วยคุณ:

ความยากลำบากใด ๆ ? แล้วมาคิดกัน ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมบางอย่าง มาเริ่มกันตามลำดับ: มุมที่ สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด ดังนั้น:

ไม่ได้อยู่;

นอกจากนี้ ตามตรรกะเดียวกัน เราจะพบว่ามุมต่างๆ สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดตามลำดับ เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว ก็สามารถกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดที่เกี่ยวข้องได้ง่าย ลองด้วยตัวคุณเองก่อนแล้วจึงตรวจสอบคำตอบ

คำตอบ:

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางต่อไปนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและตามตารางด้านล่าง ต้องจำไว้:

อย่ากลัวตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่งตัวอย่าง เพียงพอ ท่องจำค่าที่สอดคล้องกัน:

ในการใช้วิธีนี้ จำเป็นต้องจำค่าของไซน์สำหรับการวัดทั้งสามของมุม () รวมถึงค่าของแทนเจนต์ของมุมด้วย เมื่อทราบค่าเหล่านี้แล้ว มันค่อนข้างง่ายที่จะกู้คืนทั้งตาราง - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

เมื่อรู้สิ่งนี้คุณสามารถคืนค่าได้ ตัวเศษ " " จะตรงกัน และ ตัวส่วน " " จะตรงกัน ค่าโคแทนเจนต์จะถูกโอนตามลูกศรที่แสดงในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมด้วยลูกศรก็เพียงพอที่จะจำค่าทั้งหมดจากตาราง

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุด (พิกัดของมัน) บนวงกลม รู้พิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมการหมุน?

แน่นอนคุณทำได้! มาออกกันเถอะ สูตรทั่วไปเพื่อหาพิกัดของจุด.

ตัวอย่างเช่น เรามีวงกลมดังกล่าว:

เราได้รับว่าจุดเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมมีค่าเท่ากัน จำเป็นต้องหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนจุดทีละองศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัดของจุดจะสัมพันธ์กับความยาวของส่วน ความยาวของส่วนสอดคล้องกับพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมนั่นคือมันเท่ากับ ความยาวของเซ็กเมนต์สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

จากนั้นเราก็มีจุดพิกัด

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราจะหาค่าของพิกัด y ของจุดนั้น ทางนี้,

ดังนั้นใน ปริทัศน์พิกัดจุดถูกกำหนดโดยสูตร:

พิกัดศูนย์วงกลม

รัศมีวงกลม,

มุมการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหนึ่งหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเป็นศูนย์ และรัศมีเท่ากับหนึ่ง:

มาลองชิมสูตรเหล่านี้กัน ฝึกหาจุดบนวงกลมกัน?

1. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการเปิดจุด

2. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุด

3. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการเปิดจุด

4. จุด - ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมมีค่าเท่ากัน จำเป็นต้องหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้น

5. จุด - ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมมีค่าเท่ากัน จำเป็นต้องหาพิกัดของจุดที่ได้จากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้น

มีปัญหาในการหาพิกัดของจุดบนวงกลมใช่หรือไม่?

แก้ตัวอย่างห้าตัวอย่างนี้ (หรือเข้าใจวิธีแก้ปัญหาให้ดี) แล้วคุณจะได้เรียนรู้วิธีการค้นหา!

1.

จะเห็นได้ว่า และเรารู้ว่าอะไรที่สอดคล้องกับจุดกลับตัวเต็มของจุดเริ่มต้น ทางนี้, จุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับตอนเปิดเครื่อง เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว เราจะพบพิกัดของจุดที่ต้องการ:

2. วงกลมเป็นหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรแบบง่ายได้:

จะเห็นได้ว่า เรารู้ว่าสิ่งที่สอดคล้องกับสอง เลี้ยวเต็มจุดเริ่ม. ดังนั้นจุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเมื่อหันไป เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว เราจะพบพิกัดของจุดที่ต้องการ:

ไซน์และโคไซน์คือ ค่าตาราง. เราจำค่านิยมของพวกเขาและรับ:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

3. วงกลมเป็นหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรแบบง่ายได้:

จะเห็นได้ว่า ลองอธิบายตัวอย่างที่พิจารณาในรูป:

รัศมีทำให้มุมที่มีแกนเท่ากับและ รู้ว่าค่าตารางของโคไซน์และไซน์มีค่าเท่ากันและกำหนดว่าโคไซน์ที่นี่ใช้ ความหมายเชิงลบและไซน์เป็นบวก เรามี:

มากกว่า ตัวอย่างที่คล้ายกันทำความเข้าใจเมื่อศึกษาสูตรการลดฟังก์ชันตรีโกณมิติในหัวข้อ

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

4.

มุมการหมุนของเวกเตอร์รัศมี (ตามเงื่อนไข)

เพื่อหาสัญญาณที่สอดคล้องกันของไซน์และโคไซน์ เราสร้างหน่วยวงกลมและมุม:

อย่างที่คุณเห็น ค่า นั่นคือ ค่าบวก และค่า นั่นคือ ค่าลบ เมื่อทราบค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน เราได้รับว่า:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรของเราแล้วหาพิกัด:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

5. เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรในรูปแบบทั่วไป โดยที่

พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม (ในตัวอย่างของเรา

รัศมีวงกลม (ตามเงื่อนไข)

มุมการหมุนของเวกเตอร์รัศมี (ตามเงื่อนไข)

แทนที่ค่าทั้งหมดลงในสูตรและรับ:

และ - ค่าตาราง เราจำและแทนที่ลงในสูตร:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

สรุปและสูตรพื้นฐาน

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) กับขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้)

โคแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) กับด้านตรงข้าม (ไกล)

บทความนี้ได้รวบรวม ตารางของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์. ก่อนอื่นเราให้ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... , 360 องศา ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πเรเดียน). หลังจากนั้นเราจะให้ตารางไซน์และโคไซน์รวมถึงตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดย V. M. Bradis และแสดงวิธีใช้ตารางเหล่านี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำทางหน้า

ตารางของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

บรรณานุกรม.
- พีชคณิต: Proc. สำหรับ 9 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน / ยู. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด. S. A. Telyakovsky.- M.: การตรัสรู้, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2536. - 351 น.: ป่วย. - ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4
- พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: การตรัสรู้, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3
- Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า รร. 2527-351 น.
- แบรดดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: สำหรับการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ครั้งที่ 2 - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2