ตารางตรีโกณมิติ. มาลองชิมสูตรเหล่านี้ฝึกหาจุดบนวงกลมกันดีไหม? เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอเป็นอะนาล็อกที่สมบูรณ์ของแคลคูลัสเชิงซ้อนสำหรับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ n มิติที่มีจำนวนองศาเท่าใดก็ได้

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ก่อนอื่น ให้ฉันเตือนคุณเกี่ยวกับข้อสรุปง่ายๆ แต่มีประโยชน์มากจากบทเรียน "ไซน์และโคไซน์คืออะไร แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออะไร"

นี่คือผลลัพธ์นั้น:

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เชื่อมต่อกันแน่นกับมุมของพวกมัน เรารู้สิ่งหนึ่ง เราจึงรู้อีกสิ่งหนึ่ง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์คงที่ของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเอง ทำไม เกือบ?เพิ่มเติมเกี่ยวกับด้านล่าง

ความรู้นี้จะช่วยคุณได้มาก! มีงานมากมายที่คุณต้องเปลี่ยนจากไซน์เป็นมุมและในทางกลับกัน สำหรับสิ่งนี้มี ตารางไซน์ในทำนองเดียวกันสำหรับงานที่มีโคไซน์ - ตารางโคไซน์และคุณเดาได้ว่ามี ตารางสัมผัสและ ตารางโคแทนเจนต์)

ตารางจะแตกต่างกัน ตัวยาวที่คุณเห็นอะไรพูดว่า sin37 ° 6 'เท่ากับ เราเปิดตาราง Bradis มองหามุม 37 องศา 6 ลิปดา และเห็นค่า 0.6032 แน่นอนว่าการจำตัวเลขนี้ (และอีกหลายพันตัว ค่าตาราง) ไม่จำเป็นเลย

ในความเป็นจริง ในยุคของเรา ตารางยาวของโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ไม่จำเป็นจริงๆ เครื่องคิดเลขที่ดีเพียงเครื่องเดียวก็แทนที่มันได้อย่างสมบูรณ์ แต่ก็ไม่เจ็บที่จะรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของตารางดังกล่าว เพื่อความรู้ทั่วไป)

แล้วทำไมบทเรียนนี้? - คุณถาม.

แต่ทำไม. ในจำนวนมุมที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นมีอยู่ พิเศษ,ที่คุณควรรู้ ทั้งหมด. เรขาคณิตและตรีโกณมิติของโรงเรียนทั้งหมดสร้างขึ้นจากมุมเหล่านี้ นี่คือ "สูตรคูณ" ชนิดหนึ่งของตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณไม่รู้ว่า sin50° เท่ากับอะไร จะไม่มีใครตัดสินคุณ) แต่ถ้าคุณไม่รู้ว่า sin30° เท่ากับอะไร ก็เตรียมตัวรับผีสางที่สมน้ำสมเนื้อได้เลย...

เช่น พิเศษมุมยังพิมพ์อย่างเหมาะสม หนังสือเรียนมักจะเสนอให้ท่องจำ ตารางไซน์และตารางโคไซน์เป็นเวลาสิบเจ็ดมุม และแน่นอนว่า, ตารางแทนเจนต์และตารางโคแทนเจนต์สำหรับสิบเจ็ดมุมเดียวกัน... นั่นคือ มีการเสนอให้จำ 68 ค่า ซึ่งโดยวิธีการคล้ายกันมากทำซ้ำและเปลี่ยนสัญญาณเป็นระยะ ๆ สำหรับคนที่ไม่มีหน่วยความจำภาพในอุดมคติ - นั่นเป็นงานอื่น ... )

เราจะไปทางอื่น มาแทนที่การท่องจำเชิงกลด้วยตรรกะและความเฉลียวฉลาด จากนั้นเราต้องจำค่า 3 (สาม!) สำหรับตารางไซน์และตารางโคไซน์ และ 3 (สาม!) ค่าสำหรับตารางแทนเจนต์และตารางโคแทนเจนต์ และนั่นแหล่ะ หกค่าจำง่ายกว่า 68 นะผมว่า...)

อื่น ค่าที่จำเป็นเราจะออกจากหกเหล่านี้ด้วยเอกสารโกงทางกฎหมายที่ทรงพลัง - วงกลมตรีโกณมิติ หากคุณยังไม่ได้ศึกษาหัวข้อนี้ ไปที่ลิงค์ อย่าขี้เกียจ วงกลมนี้ไม่ได้มีไว้สำหรับบทเรียนนี้เท่านั้น เขาไม่สามารถถูกแทนที่ได้ สำหรับตรีโกณมิติทั้งหมดในครั้งเดียว. การไม่ใช้เครื่องมือดังกล่าวถือเป็นบาป! คุณไม่ต้องการ? นั่นคือธุรกิจของคุณ จดจำ ตารางไซน์ ตารางโคไซน์ ตารางแทนเจนต์ ตารางโคแทนเจนต์ค่ามุมต่างๆ ทั้งหมด 68 ค่า)

มาเริ่มกันเลย เริ่มต้นด้วยการแบ่งมุมพิเศษเหล่านี้ออกเป็นสามกลุ่ม

กลุ่มแรกของมุม

พิจารณากลุ่มแรก มุมสิบเจ็ด พิเศษ. มี 5 มุม: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°

นี่คือลักษณะของตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมเหล่านี้:

มุม x (เป็นองศา)	0	90	180	270	360
มุม x (เป็นเรเดียน)	0
บาป x	0	1	0	-1	0
เพราะ x	1	0	-1	0	1
ทีจีเอ็กซ์	0	ไม่ใช่คำนาม	0	ไม่ใช่คำนาม	0
ctg x	ไม่ใช่คำนาม	0	ไม่ใช่คำนาม	0	ไม่ใช่คำนาม

ผู้ที่ต้องการจำ - จำ แต่ฉันต้องบอกทันทีว่าสิ่งเหล่านี้และเลขศูนย์ในหัวของฉันสับสนมาก แข็งแกร่งกว่าที่คุณต้องการมาก) ดังนั้นเราจึงเปิดลอจิกและวงกลมตรีโกณมิติ

เราวาดวงกลมและทำเครื่องหมายมุมเดียวกันนี้: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° ฉันทำเครื่องหมายที่มุมเหล่านี้ด้วยจุดสีแดง:

คุณจะเห็นได้ทันทีว่าลักษณะเฉพาะของมุมเหล่านี้คืออะไร ใช่! นี่คือมุมที่ตก บนแกนพิกัด!จริงๆแล้วนั่นเป็นสาเหตุที่ผู้คนสับสน ... แต่เราจะไม่สับสน ลองหาวิธีหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้โดยไม่ต้องท่องจำมาก

อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งของมุมคือ 0 องศา ตรงกันอย่างสมบูรณ์ด้วยมุม 360 องศา ซึ่งหมายความว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้เหมือนกันทุกประการ ฉันทำเครื่องหมายมุม 360 องศาเพื่อทำให้วงกลมสมบูรณ์

สมมติว่าในสภาพแวดล้อมที่ตึงเครียดของการสอบ Unified State คุณสงสัย ... อะไรนะ เท่ากับไซน์ 0 องศา? ดูเหมือนว่าเป็นศูนย์ ... แล้วถ้าเป็นหน่วยล่ะ! หน่วยความจำเชิงกลเป็นสิ่งนั้น ในสภาวะที่ไม่เอื้ออำนวยความสงสัยเริ่มแทะ ... )

ใจเย็น สงบเท่านั้น!) ฉันจะบอกคุณ เทคนิคการปฏิบัติซึ่งจะให้คำตอบที่ถูกต้อง 100% และขจัดข้อสงสัยทั้งหมดอย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น ลองหาวิธีกำหนดไซน์ของ 0 องศาอย่างชัดเจนและเชื่อถือได้ และในเวลาเดียวกัน โคไซน์ 0 มันอยู่ในค่าเหล่านี้ แปลกพอที่คนมักจะสับสน

ในการทำเช่นนี้ให้วาดเป็นวงกลม ตามอำเภอใจมุม เอ็กซ์. ในไตรมาสแรกเพื่อไม่ให้ห่างจาก 0 องศา สังเกตแกนของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เอ็กซ์,ทุกอย่างเป็นชินาร์ แบบนี้:

และตอนนี้ - ความสนใจ! ลดมุม เอ็กซ์ให้นำด้านที่เคลื่อนที่ได้ไปที่แกน โอ้. วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) แล้วดูทุกอย่าง

ตอนนี้เปิดตรรกะพื้นฐาน!.ดูและคิดว่า: sinx ทำงานอย่างไรเมื่อมุม x ลดลง เมื่อมุมเข้าใกล้ศูนย์?มันหด! และ cosx - เพิ่มขึ้น!มันยังคงคิดอยู่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับไซน์เมื่อมุมยุบลงอย่างสมบูรณ์? เมื่อใดที่ด้านที่กำลังเคลื่อนที่ของมุม (จุด A) ตกลงบนแกน OX และมุมจะเท่ากับศูนย์ เห็นได้ชัดว่าไซน์ของมุมจะเป็นศูนย์เช่นกัน และโคไซน์จะเพิ่มขึ้นเป็น ... ถึง ... ความยาวของด้านเคลื่อนที่ของมุม (รัศมีของวงกลมตรีโกณมิติ) เป็นเท่าใด ความสามัคคี!

นี่คือคำตอบ ไซน์ของ 0 องศาคือ 0 โคไซน์ของ 0 องศาคือ 1 หุ้มเกราะอย่างแน่นอนและไม่ต้องสงสัยเลย!) เพียงเพราะไม่เช่นนั้น มันเป็นไปไม่ได้.

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถค้นหา (หรือชี้แจง) ไซน์ของ 270 องศาได้ หรือโคไซน์ 180 วาดวงกลม ตามอำเภอใจมุมหนึ่งในสี่ถัดจากแกนพิกัดที่เราสนใจ ขยับด้านข้างของมุมทางจิตใจและจับว่าไซน์และโคไซน์จะกลายเป็นอะไรเมื่อด้านข้างของมุมตกลงบนแกน นั่นคือทั้งหมด

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องจดจำอะไรสำหรับกลุ่มมุมนี้ ไม่จำเป็นที่นี่ ตารางไซน์...ใช่และ ตารางโคไซน์- เช่นกัน) อย่างไรก็ตามหลังจากใช้วงกลมตรีโกณมิติหลายครั้งค่าทั้งหมดเหล่านี้จะถูกจดจำด้วยตัวเอง และถ้าพวกเขาลืม ฉันจะวาดวงกลมใน 5 วินาทีและอธิบายให้ชัดเจน ง่ายกว่าโทรหาเพื่อนจากห้องน้ำโดยเสี่ยงใบรับรองใช่ไหม)

สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ทุกอย่างเหมือนกัน เราวาดเส้นสัมผัส (โคแทนเจนต์) บนวงกลม - และทุกอย่างจะมองเห็นได้ทันที โดยที่พวกมันมีค่าเท่ากับศูนย์และไม่มีอยู่จริง อะไรนะ คุณไม่รู้เกี่ยวกับเส้นสัมผัสและโคแทนเจนต์เหรอ? สิ่งนี้น่าเศร้า แต่แก้ไขได้) เยี่ยมชมมาตรา 555 แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในวงกลมตรีโกณมิติ - และไม่มีปัญหา!

หากคุณเข้าใจวิธีนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมทั้งห้านี้อย่างชัดเจน ยินดีด้วย! ในกรณีที่ฉันแจ้งให้คุณทราบว่าตอนนี้คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันได้แล้ว มุมใดๆ ที่ตกลงบนแกนและนี่คือ 450° และ 540° และ 1800° และแม้แต่จำนวนอนันต์ ... ) ฉันนับ (ถูกต้อง!) มุมบนวงกลม - และไม่มีปัญหากับฟังก์ชั่น

แต่ด้วยการนับมุมปัญหาและข้อผิดพลาดก็เกิดขึ้น ... วิธีหลีกเลี่ยงสิ่งเหล่านี้เขียนไว้ในบทเรียน: วิธีวาด (นับ) มุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติเป็นองศา พื้นฐาน แต่มีประโยชน์มากในการต่อสู้กับข้อผิดพลาด)

และนี่คือบทเรียน: วิธีวาด (นับ) มุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติเป็นเรเดียน - มันจะกะทันหันกว่านี้ ในแง่ของความเป็นไปได้ สมมติว่าพิจารณาว่ามุมใดในเซมิแอกเชียลทั้งสี่มุมตรงกัน

คุณทำได้ในไม่กี่วินาที ฉันไม่ได้ล้อเล่น! เพียงไม่กี่วินาที แน่นอนว่าไม่ใช่แค่ 345 "pi" ... ) และ 121 และ 16 และ -1345 ค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มใด ๆ นั้นดีสำหรับคำตอบทันที

จะเป็นอย่างไรถ้ามุม

คิด! คำตอบที่ถูกต้องจะได้รับใน 10 วินาที สำหรับใด ๆ ค่าเศษส่วนเรเดียนที่มีตัวส่วนเป็นสอง

ที่จริงนี่เป็นสิ่งที่ดี วงกลมตรีโกณมิติ. ความจริงที่ว่าความสามารถในการทำงานด้วย บางมุมจะขยายโดยอัตโนมัติ ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด มุม

ดังนั้นด้วยห้ามุมจากสิบเจ็ด - คิดออก

มุมกลุ่มที่สอง

กลุ่มต่อไปมุมคือ 30°, 45° และ 60° ทำไมสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่เช่น 20, 50 และ 80 ใช่มันเกิดขึ้นแบบนี้ ... ในอดีต) ต่อไปจะเห็นว่ามุมเหล่านี้ดีแค่ไหน

ตารางของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์สำหรับมุมเหล่านี้มีลักษณะดังนี้:

มุม x (เป็นองศา)	0	30	45	60	90
มุม x (เป็นเรเดียน)	0
บาป x	0				1
เพราะ x	1				0
ทีจีเอ็กซ์	0		1		ไม่ใช่คำนาม
ctg x	ไม่ใช่คำนาม		1		0

ฉันทิ้งค่าเป็น 0° และ 90° จากตารางก่อนหน้าเพื่อความสมบูรณ์) เพื่อให้ชัดเจนว่ามุมเหล่านี้อยู่ในไตรมาสแรกและเพิ่มขึ้น จาก 0 ถึง 90 สิ่งนี้จะเป็นประโยชน์กับเราต่อไป

ต้องจดจำค่าตารางสำหรับมุม 30°, 45° และ 60° ขีดข่วนถ้าคุณต้องการ แต่ที่นี่ก็มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นสำหรับตัวคุณเอง) ให้ความสนใจกับ ค่าตารางไซน์มุมเหล่านี้ และเปรียบเทียบกับ ค่าตารางโคไซน์...

ใช่! พวกเขาคือ เดียวกัน!อยู่เฉพาะใน ลำดับย้อนกลับ. มุมเพิ่มขึ้น (0, 30, 45, 60, 90) - และค่าไซน์ เพิ่มจาก 0 ถึง 1 คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยเครื่องคิดเลข และค่าโคไซน์ - ลดจาก 1 ถึงศูนย์ นอกจากนี้ค่าตัวเอง เดียวกัน.สำหรับมุม 20, 50, 80 สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น...

ดังนั้นข้อสรุปที่เป็นประโยชน์ พอที่จะเรียนรู้ สามค่าสำหรับมุม 30, 45, 60 องศา และจำไว้ว่าพวกมันเพิ่มขึ้นในไซน์ และลดลงในโคไซน์ ไปทางไซน์) พบกันครึ่งทาง (45°) เช่น ไซน์ของ 45 องศาเท่ากับโคไซน์ของ 45 องศา แล้วพวกเขาก็แยกทางกันอีกครั้ง ... สามความหมายสามารถเรียนรู้ได้ใช่ไหม?

ด้วยแทนเจนต์ - โคแทนเจนต์ รูปภาพจะเหมือนกันโดยเฉพาะ หนึ่งต่อหนึ่ง. เฉพาะค่าที่แตกต่างกัน จำเป็นต้องเรียนรู้ค่าเหล่านี้ (อีกสามค่า!)

การท่องจำเกือบทั้งหมดจบลงแล้ว คุณเข้าใจ (หวังว่า) วิธีกำหนดค่าสำหรับมุมทั้งห้าที่อยู่บนแกนและเรียนรู้ค่าสำหรับมุม 30, 45, 60 องศา รวม 8.

ยังคงต้องจัดการกับกลุ่ม 9 มุมสุดท้าย

นี่คือมุม:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. สำหรับมุมเหล่านี้ คุณจำเป็นต้องรู้ตารางเหล็กของไซน์ ตารางโคไซน์ ฯลฯ

ฝันร้ายใช่ไหม)

และถ้าคุณเพิ่มมุมที่นี่ เช่น: 405 °, 600 ° หรือ 3000 ° และอีกมากมาย หลายมุมที่สวยงามเหมือนกัน?)

หรือมุมเป็นเรเดียน? ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับมุม:

และอีกมากมายที่คุณควรรู้ ทั้งหมด.

สิ่งที่สนุกที่สุดคือการรู้ ทั้งหมด - เป็นไปไม่ได้ในหลักการหากคุณใช้หน่วยความจำเครื่องกล

และมันง่ายมาก เป็นระดับเบื้องต้น - ถ้าคุณใช้วงกลมตรีโกณมิติ หากคุณได้ลงมือปฏิบัติจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ มุมที่น่ากลัวเหล่านั้นในหน่วยองศาจะลดลงอย่างง่ายดายและสวยงามให้เหลือเท่าเดิม:

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เราเริ่มศึกษาตรีโกณมิติด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เรามานิยามกันว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมทั้งแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

จำได้ว่า มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือครึ่งหนึ่งของมุมที่กางออก

มุมแหลม- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา เกี่ยวกับมุมดังกล่าว "ทื่อ" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมฉากมักจะแสดงแทน โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน ตัวเล็กเท่านั้น ดังนั้นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม A จึงแสดงแทน

มุมจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกที่เกี่ยวข้อง

ด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านตรงข้ามมุมแหลม

ขาตรงข้ามมุม ก็เรียก ตรงข้าม(เทียบกับมุม). ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งพาดอยู่ที่มุมด้านใดด้านหนึ่ง ก็เรียก ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาข้างเคียงต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับฝั่งตรงข้าม (หรืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์เท่ากัน):

ให้ความสนใจกับอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์กับเราในการแก้ปัญหา

มาพิสูจน์กันหน่อย

โอเค เราได้ให้คำจำกัดความและสูตรที่เป็นลายลักษณ์อักษรแล้ว แต่ทำไมเราถึงต้องการไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรารู้ว่า ผลบวกของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ.

เราทราบความสัมพันธ์ระหว่าง ปาร์ตี้สามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส: .

ปรากฎว่าเมื่อรู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยมแล้ว คุณก็จะหามุมที่สามได้ เมื่อรู้ด้านสองด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณจะหาด้านที่สามได้ ดังนั้นสำหรับมุม - อัตราส่วนสำหรับด้านข้าง - ของมันเอง แต่จะทำอย่างไรถ้าในสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่ง (ยกเว้นมุมขวา) และด้านหนึ่งเป็นที่รู้จัก แต่คุณต้องหาด้านอื่น

นี่คือสิ่งที่ผู้คนในสมัยก่อนทำแผนที่ของพื้นที่และท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว การวัดทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม- ให้อัตราส่วนระหว่าง ปาร์ตี้และ มุมสามเหลี่ยม. เมื่อทราบมุมแล้ว คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดโดยใช้ตารางพิเศษ และเมื่อรู้ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่งแล้ว คุณจะหาส่วนที่เหลือได้

เราจะวาดตารางค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จาก ถึง

สังเกตขีดสีแดงสองขีดในตาราง สำหรับค่ามุมที่สอดคล้องกันจะไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

มาวิเคราะห์ปัญหาต่างๆ ในตรีโกณมิติจากงาน Bank of FIPI กัน

1. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , . หา .

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , , . หา .

มาหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน

แก้ไขปัญหา.

บ่อยครั้งในปัญหาจะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม และ หรือ มีมุม และ . จำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาให้ขึ้นใจ!

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามมุมที่ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นใหญ่กว่าขาหลายเท่า

เราพิจารณาปัญหาสำหรับการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก - นั่นคือสำหรับการค้นหา บุคคลที่ไม่รู้จักหรือมุม แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ที่ ใช้ตัวเลือกในวิชาคณิตศาสตร์ มีปัญหามากมายที่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ของมุมนอกของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป

โต๊ะหลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, … องศา

จากนิยามตรีโกณมิติของฟังก์ชัน $\sin$, $\cos$, $\tan$ และ $\cot$ เราสามารถหาค่าของมุม $0$ และ $90$ องศาได้:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ ไม่ได้กำหนดไว้;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ ไม่ได้กำหนดไว้

ที่ หลักสูตรของโรงเรียนรูปทรงเรขาคณิตในการศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉากพบฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ และ $90°$

ค่าที่พบของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมที่ระบุในหน่วยองศาและเรเดียนตามลำดับ ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) เพื่อความสะดวกในการท่องจำและนำไปใช้ โดยใส่ไว้ใน ตารางที่เรียกว่า ตารางตรีโกณมิติ, ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นต้น

เมื่อใช้สูตรการลด ตารางตรีโกณมิติสามารถขยายเป็น $360°$ และ $2\pi$ เรเดียนตามลำดับ:

การใช้คุณสมบัติคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ละมุมที่แตกต่างจากค่าที่ทราบอยู่แล้ว $360°$ สามารถคำนวณและบันทึกในตารางได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม $0°$ จะมีค่าเท่ากันสำหรับมุม $0°+360°$ และสำหรับมุม $0°+2 \cdot 360°$ และสำหรับมุม $0°+3 \ cdot 360°$ และอื่นๆ

เมื่อใช้ตารางตรีโกณมิติ คุณสามารถกำหนดค่าของทุกมุมของวงกลมหนึ่งหน่วยได้

ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนควรจดจำค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวบรวมไว้ในตารางตรีโกณมิติเพื่อความสะดวกในการแก้ ปัญหาตรีโกณมิติ.

ใช้โต๊ะ

ในตารางก็เพียงพอที่จะค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จำเป็นและค่าของมุมหรือเรเดียนที่ต้องคำนวณฟังก์ชันนี้ ที่จุดตัดของแถวที่มีฟังก์ชันและคอลัมน์ที่มีค่า เราจะได้ค่าที่ต้องการของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด

ในรูป คุณสามารถดูวิธีหาค่า $\cos⁡60°$ ซึ่งเท่ากับ $\frac(1)(2)$

ตารางตรีโกณมิติแบบขยายถูกใช้ในทำนองเดียวกัน ข้อดีของการใช้งานคือการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติของเกือบทุกมุมดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาค่า $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 ได้ง่ายๆ °$:

ตาราง Bradis ของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

ความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่ามุมใดๆ สำหรับค่าจำนวนเต็มขององศาและค่าจำนวนเต็มของนาทีทำให้สามารถใช้ตาราง Bradis ได้ ตัวอย่างเช่น หาค่า $\cos⁡34°7"$ ตารางแบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ ตารางของค่า $\sin$ และ $\cos$ และตารางของ $\tan$ และ $\ ค่า cot$

ตาราง Bradis ทำให้สามารถรับค่าโดยประมาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยความแม่นยำถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง

การใช้ตาราง Bradis

เมื่อใช้ตารางของ Bradys สำหรับไซน์ เราจะพบ $\sin⁡17°42"$ ในการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ทางด้านซ้ายของตารางไซน์และโคไซน์ เราจะพบค่าขององศา - $17°$ และใน บรรทัดบนสุดเราพบค่าของนาที - $42"$ ที่จุดตัดกัน เราได้ค่าที่ต้องการ:

$\sin17°42"=0.304$

ในการหาค่าของ $\sin17°44"$ คุณต้องใช้การแก้ไขทางด้านขวาของตาราง ใน กรณีนี้สำหรับค่า $42"$ ซึ่งอยู่ในตาราง คุณต้องเพิ่มค่าแก้ไขสำหรับ $2"$ ซึ่งเท่ากับ $0.0006$ เราได้รับ:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$

ในการหาค่า $\sin17°47"$ เรายังใช้การแก้ไขทางด้านขวาของตาราง เฉพาะในกรณีนี้ เราจะใช้ค่า $\sin17°48"$ เป็นฐานและลบค่าแก้ไขสำหรับ $1"$:

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$

เมื่อคำนวณโคไซน์ เราจะดำเนินการที่คล้ายกัน แต่เราดูที่องศาในคอลัมน์ด้านขวา และนาทีในคอลัมน์ด้านล่างของตาราง ตัวอย่างเช่น $\cos20°=0.9397$

ไม่มีการแก้ไขสำหรับค่าแทนเจนต์สูงถึง $90°$ และค่าโคแทนเจนต์มุมเล็ก ตัวอย่างเช่น ลองหา $\tan 78°37"$ ซึ่งตามตารางคือ $4,967$

1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติแทน ฟังก์ชันพื้นฐานซึ่งอาร์กิวเมนต์คือ มุม. ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและ มุมที่คมชัดในสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีความหลากหลายมาก ตัวอย่างเช่น กระบวนการคาบสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อนุกรมฟูเรียร์) ฟังก์ชันเหล่านี้มักปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชัน

2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ประกอบด้วย 6 ฟังก์ชันต่อไปนี้: ไซนัส, โคไซน์, สัมผัสกัน,โคแทนเจนต์, แบ่งและ โคซีแคนท์. สำหรับแต่ละ ฟังก์ชั่นที่ระบุมีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

3. ความหมายทางเรขาคณิตฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนำมาใช้อย่างสะดวกสบาย วงกลมหน่วย. รูปด้านล่างแสดงวงกลมที่มีรัศมี r=1 จุด M(x,y) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนวงกลม มุมระหว่างเวกเตอร์รัศมี OM และทิศทางบวกของแกน Ox คือ α

4. ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
sinα=y/r
เนื่องจาก r=1 ดังนั้นไซน์จึงเท่ากับพิกัดของจุด M(x,y)

5. โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
cosα=x/r

6. สัมผัสกันมุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อ abscissa x:
tanα=y/x,x≠0

7. โคแทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อพิกัด y:
cotα=x/y,y≠0

8. เซแคนท์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อ abscissa x ของจุด M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. โคเซแคนท์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อพิกัด y ของจุด M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. ใน วงกลมหน่วยเส้นโครง x, y ของจุด M(x,y) และรัศมี r ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ x,y เป็นขา และ r เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นคำจำกัดความข้างต้นของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ใช้กับ สามเหลี่ยมมุมฉากมีการกำหนดในลักษณะนี้:
ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของขาข้างเคียงต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
สัมผัสกันมุม α เรียกว่าขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์มุม α เรียกว่าขาที่อยู่ติดกันตรงข้าม
เซแคนท์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาข้างเคียง
โคเซแคนท์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาตรงข้าม

11. กราฟฟังก์ชันไซน์
y=sinx, โดเมน: x∈R, โดเมน: −1≤sinx≤1

12. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
y=cosx, โดเมน: x∈R, ช่วง: −1≤cosx≤1

13. กราฟฟังก์ชันสัมผัส
y=tanx, โดเมน: x∈R,x≠(2k+1)π/2, โดเมน: −∞

14. กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์
y=cotx, โดเมน: x∈R,x≠kπ, โดเมน: −∞

15. กราฟของฟังก์ชันซีแคนต์
y=secx, โดเมน: x∈R,x≠(2k+1)π/2, โดเมน: secx∈(−∞,−1]∪∪)